【培优版】北师大版数学八年级上册第四章 一次函数 章节测试卷

【培优版】北师大版数学八年级上册第四章 一次函数 章节测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．如果一次函数当自变量的取值范围是时，函数值y的取值范围是，那么此函数的解析式是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】设一次函数解析式为，
（1）当时，；时，；代入解析式得：，解得：，函数解析式为；
（2）当时，；时，；代入解析式得，，解得：，函数解析式为．
故选C．
2．（2023八上·砀山月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；垂线段最短及其应用；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：点，则，，，的周长为，当于点P时，最小，即的周长最小.一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，当时，，当时，，，.在中，，由勾股定理得.又，，，。
故答案为：B.
【分析】根据题意当点，则，，即可得出的值，然后就可以求出的周长和OP的最小值，所以当于点P时，OP为最小值，然后求出OP的长，根据周长公式即可求出答案。
3．（2020八上·深圳期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为4（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线I所表示的函数表达式为（　　）
A．y= B．y= C．y=x+1 D．y=
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】 ∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3）∴AC=7，DO=3∴四边形ABCD面积为。设直线CD解析式为y=mx+n（m≠0），
则解得∴y=-x+3。设过点B的直线l为y=kx+2k-1联立方程组，得解得直线CD与该直线的交点为，直线y=kx+2k-1与x轴交点为∴，∴k=，∴。
故答案为：D
【分析】考查一次函数的表达式求法。掌握平面内点的坐标与四边形的关系，熟练运用待定系数法求函数表达式。
4．（2019八上·长兴期末）如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是（　　）
A．(2，2) B．(2.5，1.5) C．(3，1) D．(1.5，2.5)
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：依题可得：
A（4，0），B（0，4），
设光线射在OB的点N处，作点P关于OB的对称点P1，作点P关于AB的对称点P2，如图：
由反射规律可知点P1、Q、N、P2四点共线，
∵P（2，0），
∴P1（-2，0），
设P2（x，y），
∴，
解得：，
设直线P1P2解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线P1P2解析式为y=x+，
∴，
解得：，
∴Q（，）.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得A（4，0），B（0，4），设光线射在OB的点N处，作点P关于OB的对称点P1，作点P关于AB的对称点P2，由反射规律可知点P1、Q、N、P2四点共线，根据点关于点对称分别求出P1、P2点坐标，由待定系数法求得直线P1P2解析式，将直线P1P2解析式与y=-x+4联立解方程即可得答案.
5．（2021八上·深圳期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距千米；
②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
③乙车出发后小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距千米时，或
其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都符合题意；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③符合题意；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达B城，；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，故④不符合题意；
综上可知正确的有①②③共三个，
故答案为：C．
【分析】结合函数图象，对每个结论一一判断即可。
6．（2020八上·淳安期中）若点 、 是一次函数 图象上不同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：
，
∵ ,
∴a+1>0,
∴a>-1.
故答案为：D.
【分析】把代入原式，化简再分解因式，根据 ,得出a+1>0, 从而求出a的取值范围.
7．（2022八上·怀宁期中）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（　　）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：甲登山上升的速度是 （米/分钟），
乙提速后的速度为： （米/分钟），
，
，
故①②符合题意；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为 ，
∴ ，解得 ，
∴函数关系式为 ．
同理求得 段对应的函数关系式为 ，
当 时，解得： ，
∴乙登山 分钟时追上甲，故③不符合题意；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据速度等于高度除以时间可得出甲登山上升的速度，根据高度等于速度乘以时间可得出乙提速后的速度，根据函数图象和题意得出甲、乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；根据函数图象和题意得出登山多长时间时，甲、乙在距地面的高度差。
8．（2023八上·亳州月考）在同一直角坐标系中，一次函数（和是常数）与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：联立，解得：，
∴交点的横坐标为1，D排除；
由A选项中函数图象的增减性可得，，则两函数图象都应与y轴正半轴相交，不符合题意；
B选项中交点在x轴上，则，
所以和互为相反数，
所以两函数图象的陡峭程度应该相同，不符合题意；
由C选项中函数图象的增减性可得，，
所以，
所以交点位于第四象限，符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象和性质判定。先求出交点的横坐标为1，排除D选项；然后根据A选项中函数图象的增减性，与y轴的交点位置推出矛盾，可得A错误；根据B选项中交点在x轴上，可得，则两函数图象的陡峭程度应该相同，故B错误；根据C选项中函数图象的增减性，交点位置进行验证，可知C选项符合题意．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2023八上·深圳期中）如图，直线AB的解析式为y＝-x+b，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（4，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为　 　．
【答案】（5，4）
【知识点】一次函数的图象；平行线的性质；三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：把A（4，0）代入y＝-x+b中，得b=4，
∴y=-x+4，
∴B（0，4），即OB=4，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵OB：OC＝4：1 ，
∴OC=1，即C（-1，0），
∴AC=5，
由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，
∴D（5，4），
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴直线y=x垂直平分AB，
则点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），
∴△ABD'≌△ABD，
∴△ABC≌△ABD'，
∴ 以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为（5，4）或（4，5）；
故答案为：（5，4）或（4，5）.
【分析】求出OB、OC的长，易得△AOB为等腰直角三角形，从而得出AC=5，由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，由△AOB为等腰直角三角形，可得直线y=x垂直平分AB，求出点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），则△ABD'≌△ABD≌△ABC，继而得解.
10．（2023八上·双流月考） 如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为　 　 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小.
当x=0时，y=2×0+4=4，
∴点B的坐标为(0，4)；
当y=0时，2x+4=0，解得：x=-2，
∴点A的坐标为(-2，0)．
∵M、N分别是AB、OA的中点，
∴点M的坐标为(-1，2)，点N的坐标为(-1，0)，
∴点M′的坐标为(1，2)．
设直线M′N的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将M′(1，2)，N(-1，0)代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直线M′N的解析式为y=x+1．
当x=0时，y=0+1=1，
∴点P的坐标为(0，1)．
故答案为：(0，1)．
【分析】作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合M、N分别是AB、OA的中点，可得出点M，N的坐标，由点M′与点M关于y轴对称可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
11．（2022八上·泗县期中）如图，平面直角坐标系中，A（4，4），B为y轴正半轴上一点，连接AB，在第一象限作AC＝AB，∠BAC＝90°，过点C作直线CD⊥x轴于D，直线CD与直线y＝x交于点E，且ED＝5EC，则直线BC解析式为　 　．
【答案】y＝-x+10
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过A作AM⊥y轴，交y轴于M，交CD于N，
则∠BMA＝∠ANC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAM+∠CAN＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵A（4，4），
∴OM＝DN＝4，AM＝4，
在△ABM和△CAN中，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AN＝BM，CN＝AM＝4，
∵ED＝5EC，
∴设EC＝a，ED＝5a，
∵A（4，4），
∴点A在直线y＝x上，
∵CN＝4a-4，
则4a-4＝4，
∴a＝2，即CD＝8，ED＝10．
∵点E在直线y＝x上，
∴E（10，10），
∴MN＝10，C（10，8），
∴AN＝BM＝10-4＝6，
∴B（0，10），
设直线BC的解析式是y＝kx+10，
把C（10，8）代入得：k＝-，
即直线BC的解析式是y＝-x+10，
故答案为：y＝-x+10．
【分析】过A作AM⊥y轴，交y轴于M，交CD于N，先利用“AAS”证明△ABM≌△CAN，可得AN＝BM，CN＝AM＝4，设EC＝a，ED＝5a，结合CN＝4a-4，求出a＝2，即CD＝8，ED＝10，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可。
12．（2021八上·平阴期末）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，OB2A2B3都是边长为2的等边三角形，边0A在y轴上，点B1，B2，B3，……都在直线y＝x上，则点A2022的坐标是　 　
【答案】（，2024）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意知OB2022=2×2022=4044，
设B2022（x，），
则x2+（）2=40442，
解得x=，
∴B2022（，2022），
∴A2022（，2024），
故答案为：（，2024）．
【分析】先求出OB2022的长度，由于点B2022在直线y＝x上，可设B2022（x，），根据勾股定理建立关于x方程并解之，即得点B2022的坐标，再根据B2022和A2022的关系即可求出结论.
13．（2021八上·青岛期中）已知A、B、C三地顺次在同一直线上，A、C两地相距1400千米，甲乙两车均从A地出发，向B地方向匀速前进，甲车出发5小时后，乙车出发，经过一段时间后两车在B地相遇，甲车到达B地后便在B地卸货，卸完货后从B地按原车速的 返回A地，而乙车到B地后立刻继续以原速前往C地，到达C地后按原车速的 原路返回A地，结果甲乙两车同时返回A地，若两车间的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）之间的关系如图所示，则甲车在B地卸货用了　 　小时．
【答案】1.5
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意得：
甲车原来的的速度为：300÷5＝60（千米/时），
乙车原来的的速度为：（60×10﹣200）÷（10﹣5）＝80（千米/时），
设甲车出发x小时后得到B地，根据题意得：
60x＝80（x﹣5），
解得x＝20，
所以A、B两地的距离为：60×20＝1200（千米），
所以B、C两地的距离为：1400﹣1200＝200（千米），
乙车前往C地和返回A地所用时间为：200÷80+1400÷（80× ）＝16.5（小时），
所以甲车在B地卸货所用时间为：16.5﹣1200÷（60× ）＝1.5（小时）．
故答案为：1.5
【分析】根据题意可得出甲、乙两车原来的速度，根据两车在B地相遇，列方程即可求出A、B两地的距离，再次根据路程=速度×时间，即可得解。
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
（1）求AB的长.
（2）求点C和点D的坐标.
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=S△OCD 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令x=0，得y=4，∴B(0，4)，∴OB=4.
令y=0，得0=-x+4，解得x=3，∴A(3，0)，∴OA=3.
在Rt△OAB中，AB==5.
（2）解：由折叠，得AC=AB=5，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0).
设OD=m，则CD=DB=m+4.
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即(m+4)2=m2+82，解得m=6.
∵点D在y轴的负半轴上，∴D(0，-6).
（3）解：y轴上存在一点P，使得S△PAB=S△OCD.
∵S△OCD=OD·OC=×6×8=24，∴S△PAB=S△OCD=12.
∵点P在y轴上，∴S△PAB=PB·OA，
即×3PB=12，解得PB=8，
∴点P的坐标为(0，12)或(0，-4).
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB；
（2） 由折叠，得AC=AB=5， 从而得C的坐标， 设OD=m，则CD=DB=m+4，在Rt△OCD中，利用勾股定理得方程，解方程即可求解；
（3）根据面积公式求得S△OCD=24，从而得S△PAB=12，根据面积公式求得PB长，从而可得解.
15．（2024八上·遂川期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点坐标为，过点作轴，且为等腰直角三角形．
（1）如图，当，时，求证：；
（2）当为直角边时，请给出相应图形分别求出所有可能的值，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴
（2）解：所有可能的b值为或3或．C点的坐标分别为（3，6）、（3，-3），（3，-2）
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）①如图1：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上时，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，
∴，
∵点P坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
A的坐标为（6，0）
CP=OA=6
C的坐标为（3，6）
②如图2：当B在y轴正半轴上，A在x负半轴上时，作轴于M，则，
∵，
∴，
∴；
A的坐标为（-6，0）
BM=OA=6
C的坐标为（3，-3）
③如图3：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上且P在的延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
A的坐标为（2，0）
cp=OA=2
C的坐标为（3，-2）
综上所述，当为直角边时，所有可能的b值为或3或．C点的坐标分别为（3，6）、（3，-3），（3，-2）
【分析】（1）要证明两三角形全等，观察两三角形，有一组对应角是直角，同角的余角相等，又得一组对应角相等，且已知AB=AC，故可由AAS定理判定全等；
（2）根据题意勾画草图，可发现AB为直角边时，A点和B点有三种位置关系，正确找到这三种位置关系，是解决本题的关键之一；分别画图讨论每种情况下的b值，由全等性质得到对应边相等，再结合坐标系可得b=-3时，C的坐标为（3，6），b=3时，C的坐标为（3，-3），b=-1时，C的坐标为（3，-2）.
16．（2024八上·安徽期中）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系：折线BCDA表示小亮与甲地的距离（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）小明步行的速度是　 　米/分钟，小亮骑自行车的速度是　 　米/分钟；
（2）线段OA与BC相交于点E，求点E坐标；
（3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值．
【答案】（1）；
（2）解：方法1：设OA的表达式为y=k1x，将A（30，1500）代入，得k1=50，则OA的表达式为ｙ=50x
设BC的表达式为y=k2x+b，将B（0，1500），（10，0）代入，得
所以BC的表达式为y=-150x+1500
即E（7.5，375）
方法2：点的横坐标为：，纵坐标为：，
即点的坐标为；
（3）解：的值是，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）小明步行的速度为1500÷30=50（m/min）；小亮骑自行车的速度为1500÷10=150（m/min）；
故答案为：50；150；
（3）根据题意可得：
①两人相遇前，（50+150）x+100=1500，解得：x=7；
②两人相遇后，（50+150）x-100=1500，解得：x=8；
③小亮从甲地到追上小明时，50x-100=150（x-10），解得：x=14，
综上，当x的值为7，8或14时，小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米，
故答案为：x的值为7，8或14.
【分析】（1）根据函数图象中数据，再利用“速度=路程÷时间”求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，再联立方程组求出点E的坐标即可；
（3）分类讨论，①两人相遇前，②两人相遇后，③小亮从甲地到追上小明时，再分别列出方程求解即可.
17．（2023八上·南城期中）已知一次函数．当时，；当时，．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积．
【答案】（1）解：由当时，；当时，可得，解得，，
该一次函数的表达式为；
（2）解：如图，设函数图象与轴、轴分别交于点、，
当时，；
即点坐标为
当时，；即点坐标为
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式.把，，代入，解方程组即可得出答案；
（2）根据（1）得出的一次函数的解析式，求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标.利用交点坐标即可求出图形的面积.
18．（2023八上·太原期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使.设点的横坐标为.
（1）求，两点的坐标；
（2）若点落在直线上，求的值；
（3）请从A，B两题中任选一题作答.我选择 题.
.若线段的长等于的一半时，求的值.
.若的面积等于面积的一半，求的值.
【答案】（1）解：把代入，，
所以，
把代入，得，
解，得，
所以，.
（2）解：因为点在线段上，且横坐标为，
所以，
因为，所以.
因为轴，
所以
因为点在线段上
所以把代入，得，
解，得.
（3）解：A.因为轴交直线于点，所以所以
由（1）得，，所以.
因为，所以
当时，解得；
当时，解得
B.因为轴交直线于点，所以 所以
因为，，所以，，所以
因为.
因为，所以，即，所以.
当时，解得；
当时，解得.
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入求出与坐标轴的交点坐标即可；
（2）先求出，再将点E的坐标代入可得，再求出m的值即可；
（3）先设，求出，再根据题意列出方程求解即可.
19．（2018八上·徐州期末）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y= x+3的图象经过点B、C．
（1）点C的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．
①求证：△CMD是等腰三角形；
②当CD=5时，求直线l的函数表达式．
【答案】（1）（0，3）；（﹣4，2）
（2）解：①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP= =3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，
∴点M的坐标是（﹣4，1）．
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得 ，解得 故直线l的解析式为y= x+3．
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y= x+3经过点B、C，
设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=vx+3x+3中得y=3，
∴C（0，3）；
设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y= x+3中得y=2，
∴B（﹣4，2）；
故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；
【分析】（1）由一次函数的解析式代入x=0，求得y=3，所以点C为（0，3）；点B与点A得横坐标相同，因此将x=-4代入一次函数解析式中得y=2，所以B的坐标为（﹣4，2）。
（2）①由AB∥y轴证明出∠OCM=∠CMD，又因为∠OCM=∠MCD，所以∠CMD=∠MCD，即三角形CDM的两底角相等，所以三角形CDM为等腰三角形。
②若要求直线的函数解析式，须知道已知点，作辅助线DP。利用勾股定理可得CP=3，结合图形的性质可得点M坐标为（﹣4，1），将点M、C的坐标代入一次函数解析式中，即可解得函数解析式。
20．（2018八上·苏州期末）如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC=4 ，
（1）求AC所在直线的解析式；
（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．
（3）求EF所在的直线的函数解析式．
【答案】（1）解：∵ ，∴ 可设OC=x，则OA=2x，
在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，
∴x2+（2x）2=（4 ）2，解得x=4或x=-4（不合题意，舍去），∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4），
设直线AC解析式为y=kx+b，∴ ，解得： ，∴直线AC解析式为y= x+4
（2）解：由折叠的性质可知AE=CE，设AE=CE=y，则OE=8-y，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，∴（8-y）2+42=y2，解得y=5，
∴AE=CE=5，
∵∠AEF=∠CEF，∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF=5，
∴S△CEF= CF OC= ×5×4=10，
即重叠部分的面积为10；
（3）解：由（2）可知OE=3，CF=5，
∴E（3，0），F（5，4），
设直线EF的解析式为y=k′x+b′，
∴ ，
解得： ，
∴直线EF的解析式为y=2x-6
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【分析】
（1）设OC=x，则OA=2x，在Rt△OCE中，在Rt△AOC中，利用勾股定理可得OC2+OA2=AC2，求得A（8，0），C（0，4），然后用待定系数法确定直线的解析式。
（2）由折叠的性质可知AE=CE，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，解得AE=CE=5：再利用BC//OA，得到∠CFE=∠CEF，所以CE=CF=5，然后根据三角形的面积公式计算S△CEF（3）首先求出E、F两点的坐标，然后利用待定系数法求出直线EF所在的解析式。
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册第四章 一次函数 章节测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．如果一次函数当自变量的取值范围是时，函数值y的取值范围是，那么此函数的解析式是（　　）
A． B．
C．或 D．或
2．（2023八上·砀山月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
3．（2020八上·深圳期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为4（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线I所表示的函数表达式为（　　）
A．y= B．y= C．y=x+1 D．y=
4．（2019八上·长兴期末）如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是（　　）
A．(2，2) B．(2.5，1.5) C．(3，1) D．(1.5，2.5)
5．（2021八上·深圳期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距千米；
②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
③乙车出发后小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距千米时，或
其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2020八上·淳安期中）若点 、 是一次函数 图象上不同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022八上·怀宁期中）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（　　）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023八上·亳州月考）在同一直角坐标系中，一次函数（和是常数）与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2023八上·深圳期中）如图，直线AB的解析式为y＝-x+b，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（4，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为　 　．
10．（2023八上·双流月考） 如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为　 　 ．
11．（2022八上·泗县期中）如图，平面直角坐标系中，A（4，4），B为y轴正半轴上一点，连接AB，在第一象限作AC＝AB，∠BAC＝90°，过点C作直线CD⊥x轴于D，直线CD与直线y＝x交于点E，且ED＝5EC，则直线BC解析式为　 　．
12．（2021八上·平阴期末）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，OB2A2B3都是边长为2的等边三角形，边0A在y轴上，点B1，B2，B3，……都在直线y＝x上，则点A2022的坐标是　 　
13．（2021八上·青岛期中）已知A、B、C三地顺次在同一直线上，A、C两地相距1400千米，甲乙两车均从A地出发，向B地方向匀速前进，甲车出发5小时后，乙车出发，经过一段时间后两车在B地相遇，甲车到达B地后便在B地卸货，卸完货后从B地按原车速的 返回A地，而乙车到B地后立刻继续以原速前往C地，到达C地后按原车速的 原路返回A地，结果甲乙两车同时返回A地，若两车间的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）之间的关系如图所示，则甲车在B地卸货用了　 　小时．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
（1）求AB的长.
（2）求点C和点D的坐标.
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=S△OCD 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
15．（2024八上·遂川期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点坐标为，过点作轴，且为等腰直角三角形．
（1）如图，当，时，求证：；
（2）当为直角边时，请给出相应图形分别求出所有可能的值，并直接写出点的坐标．
16．（2024八上·安徽期中）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系：折线BCDA表示小亮与甲地的距离（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）小明步行的速度是　 　米/分钟，小亮骑自行车的速度是　 　米/分钟；
（2）线段OA与BC相交于点E，求点E坐标；
（3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值．
17．（2023八上·南城期中）已知一次函数．当时，；当时，．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积．
18．（2023八上·太原期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使.设点的横坐标为.
（1）求，两点的坐标；
（2）若点落在直线上，求的值；
（3）请从A，B两题中任选一题作答.我选择 题.
.若线段的长等于的一半时，求的值.
.若的面积等于面积的一半，求的值.
19．（2018八上·徐州期末）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y= x+3的图象经过点B、C．
（1）点C的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．
①求证：△CMD是等腰三角形；
②当CD=5时，求直线l的函数表达式．
20．（2018八上·苏州期末）如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC=4 ，
（1）求AC所在直线的解析式；
（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．
（3）求EF所在的直线的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】设一次函数解析式为，
（1）当时，；时，；代入解析式得：，解得：，函数解析式为；
（2）当时，；时，；代入解析式得，，解得：，函数解析式为．
故选C．
2．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；垂线段最短及其应用；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：点，则，，，的周长为，当于点P时，最小，即的周长最小.一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，当时，，当时，，，.在中，，由勾股定理得.又，，，。
故答案为：B.
【分析】根据题意当点，则，，即可得出的值，然后就可以求出的周长和OP的最小值，所以当于点P时，OP为最小值，然后求出OP的长，根据周长公式即可求出答案。
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】 ∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3）∴AC=7，DO=3∴四边形ABCD面积为。设直线CD解析式为y=mx+n（m≠0），
则解得∴y=-x+3。设过点B的直线l为y=kx+2k-1联立方程组，得解得直线CD与该直线的交点为，直线y=kx+2k-1与x轴交点为∴，∴k=，∴。
故答案为：D
【分析】考查一次函数的表达式求法。掌握平面内点的坐标与四边形的关系，熟练运用待定系数法求函数表达式。
4．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：依题可得：
A（4，0），B（0，4），
设光线射在OB的点N处，作点P关于OB的对称点P1，作点P关于AB的对称点P2，如图：
由反射规律可知点P1、Q、N、P2四点共线，
∵P（2，0），
∴P1（-2，0），
设P2（x，y），
∴，
解得：，
设直线P1P2解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线P1P2解析式为y=x+，
∴，
解得：，
∴Q（，）.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得A（4，0），B（0，4），设光线射在OB的点N处，作点P关于OB的对称点P1，作点P关于AB的对称点P2，由反射规律可知点P1、Q、N、P2四点共线，根据点关于点对称分别求出P1、P2点坐标，由待定系数法求得直线P1P2解析式，将直线P1P2解析式与y=-x+4联立解方程即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都符合题意；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③符合题意；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达B城，；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，故④不符合题意；
综上可知正确的有①②③共三个，
故答案为：C．
【分析】结合函数图象，对每个结论一一判断即可。
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：
，
∵ ,
∴a+1>0,
∴a>-1.
故答案为：D.
【分析】把代入原式，化简再分解因式，根据 ,得出a+1>0, 从而求出a的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：甲登山上升的速度是 （米/分钟），
乙提速后的速度为： （米/分钟），
，
，
故①②符合题意；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为 ，
∴ ，解得 ，
∴函数关系式为 ．
同理求得 段对应的函数关系式为 ，
当 时，解得： ，
∴乙登山 分钟时追上甲，故③不符合题意；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据速度等于高度除以时间可得出甲登山上升的速度，根据高度等于速度乘以时间可得出乙提速后的速度，根据函数图象和题意得出甲、乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；根据函数图象和题意得出登山多长时间时，甲、乙在距地面的高度差。
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：联立，解得：，
∴交点的横坐标为1，D排除；
由A选项中函数图象的增减性可得，，则两函数图象都应与y轴正半轴相交，不符合题意；
B选项中交点在x轴上，则，
所以和互为相反数，
所以两函数图象的陡峭程度应该相同，不符合题意；
由C选项中函数图象的增减性可得，，
所以，
所以交点位于第四象限，符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象和性质判定。先求出交点的横坐标为1，排除D选项；然后根据A选项中函数图象的增减性，与y轴的交点位置推出矛盾，可得A错误；根据B选项中交点在x轴上，可得，则两函数图象的陡峭程度应该相同，故B错误；根据C选项中函数图象的增减性，交点位置进行验证，可知C选项符合题意．
9．【答案】（5，4）
【知识点】一次函数的图象；平行线的性质；三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：把A（4，0）代入y＝-x+b中，得b=4，
∴y=-x+4，
∴B（0，4），即OB=4，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵OB：OC＝4：1 ，
∴OC=1，即C（-1，0），
∴AC=5，
由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，
∴D（5，4），
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴直线y=x垂直平分AB，
则点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），
∴△ABD'≌△ABD，
∴△ABC≌△ABD'，
∴ 以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为（5，4）或（4，5）；
故答案为：（5，4）或（4，5）.
【分析】求出OB、OC的长，易得△AOB为等腰直角三角形，从而得出AC=5，由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，由△AOB为等腰直角三角形，可得直线y=x垂直平分AB，求出点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），则△ABD'≌△ABD≌△ABC，继而得解.
10．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小.
当x=0时，y=2×0+4=4，
∴点B的坐标为(0，4)；
当y=0时，2x+4=0，解得：x=-2，
∴点A的坐标为(-2，0)．
∵M、N分别是AB、OA的中点，
∴点M的坐标为(-1，2)，点N的坐标为(-1，0)，
∴点M′的坐标为(1，2)．
设直线M′N的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将M′(1，2)，N(-1，0)代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直线M′N的解析式为y=x+1．
当x=0时，y=0+1=1，
∴点P的坐标为(0，1)．
故答案为：(0，1)．
【分析】作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合M、N分别是AB、OA的中点，可得出点M，N的坐标，由点M′与点M关于y轴对称可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
11．【答案】y＝-x+10
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过A作AM⊥y轴，交y轴于M，交CD于N，
则∠BMA＝∠ANC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAM+∠CAN＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵A（4，4），
∴OM＝DN＝4，AM＝4，
在△ABM和△CAN中，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AN＝BM，CN＝AM＝4，
∵ED＝5EC，
∴设EC＝a，ED＝5a，
∵A（4，4），
∴点A在直线y＝x上，
∵CN＝4a-4，
则4a-4＝4，
∴a＝2，即CD＝8，ED＝10．
∵点E在直线y＝x上，
∴E（10，10），
∴MN＝10，C（10，8），
∴AN＝BM＝10-4＝6，
∴B（0，10），
设直线BC的解析式是y＝kx+10，
把C（10，8）代入得：k＝-，
即直线BC的解析式是y＝-x+10，
故答案为：y＝-x+10．
【分析】过A作AM⊥y轴，交y轴于M，交CD于N，先利用“AAS”证明△ABM≌△CAN，可得AN＝BM，CN＝AM＝4，设EC＝a，ED＝5a，结合CN＝4a-4，求出a＝2，即CD＝8，ED＝10，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可。
12．【答案】（，2024）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意知OB2022=2×2022=4044，
设B2022（x，），
则x2+（）2=40442，
解得x=，
∴B2022（，2022），
∴A2022（，2024），
故答案为：（，2024）．
【分析】先求出OB2022的长度，由于点B2022在直线y＝x上，可设B2022（x，），根据勾股定理建立关于x方程并解之，即得点B2022的坐标，再根据B2022和A2022的关系即可求出结论.
13．【答案】1.5
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意得：
甲车原来的的速度为：300÷5＝60（千米/时），
乙车原来的的速度为：（60×10﹣200）÷（10﹣5）＝80（千米/时），
设甲车出发x小时后得到B地，根据题意得：
60x＝80（x﹣5），
解得x＝20，
所以A、B两地的距离为：60×20＝1200（千米），
所以B、C两地的距离为：1400﹣1200＝200（千米），
乙车前往C地和返回A地所用时间为：200÷80+1400÷（80× ）＝16.5（小时），
所以甲车在B地卸货所用时间为：16.5﹣1200÷（60× ）＝1.5（小时）．
故答案为：1.5
【分析】根据题意可得出甲、乙两车原来的速度，根据两车在B地相遇，列方程即可求出A、B两地的距离，再次根据路程=速度×时间，即可得解。
14．【答案】（1）解：令x=0，得y=4，∴B(0，4)，∴OB=4.
令y=0，得0=-x+4，解得x=3，∴A(3，0)，∴OA=3.
在Rt△OAB中，AB==5.
（2）解：由折叠，得AC=AB=5，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0).
设OD=m，则CD=DB=m+4.
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即(m+4)2=m2+82，解得m=6.
∵点D在y轴的负半轴上，∴D(0，-6).
（3）解：y轴上存在一点P，使得S△PAB=S△OCD.
∵S△OCD=OD·OC=×6×8=24，∴S△PAB=S△OCD=12.
∵点P在y轴上，∴S△PAB=PB·OA，
即×3PB=12，解得PB=8，
∴点P的坐标为(0，12)或(0，-4).
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB；
（2） 由折叠，得AC=AB=5， 从而得C的坐标， 设OD=m，则CD=DB=m+4，在Rt△OCD中，利用勾股定理得方程，解方程即可求解；
（3）根据面积公式求得S△OCD=24，从而得S△PAB=12，根据面积公式求得PB长，从而可得解.
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴
（2）解：所有可能的b值为或3或．C点的坐标分别为（3，6）、（3，-3），（3，-2）
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）①如图1：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上时，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，
∴，
∵点P坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
A的坐标为（6，0）
CP=OA=6
C的坐标为（3，6）
②如图2：当B在y轴正半轴上，A在x负半轴上时，作轴于M，则，
∵，
∴，
∴；
A的坐标为（-6，0）
BM=OA=6
C的坐标为（3，-3）
③如图3：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上且P在的延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
A的坐标为（2，0）
cp=OA=2
C的坐标为（3，-2）
综上所述，当为直角边时，所有可能的b值为或3或．C点的坐标分别为（3，6）、（3，-3），（3，-2）
【分析】（1）要证明两三角形全等，观察两三角形，有一组对应角是直角，同角的余角相等，又得一组对应角相等，且已知AB=AC，故可由AAS定理判定全等；
（2）根据题意勾画草图，可发现AB为直角边时，A点和B点有三种位置关系，正确找到这三种位置关系，是解决本题的关键之一；分别画图讨论每种情况下的b值，由全等性质得到对应边相等，再结合坐标系可得b=-3时，C的坐标为（3，6），b=3时，C的坐标为（3，-3），b=-1时，C的坐标为（3，-2）.
16．【答案】（1）；
（2）解：方法1：设OA的表达式为y=k1x，将A（30，1500）代入，得k1=50，则OA的表达式为ｙ=50x
设BC的表达式为y=k2x+b，将B（0，1500），（10，0）代入，得
所以BC的表达式为y=-150x+1500
即E（7.5，375）
方法2：点的横坐标为：，纵坐标为：，
即点的坐标为；
（3）解：的值是，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）小明步行的速度为1500÷30=50（m/min）；小亮骑自行车的速度为1500÷10=150（m/min）；
故答案为：50；150；
（3）根据题意可得：
①两人相遇前，（50+150）x+100=1500，解得：x=7；
②两人相遇后，（50+150）x-100=1500，解得：x=8；
③小亮从甲地到追上小明时，50x-100=150（x-10），解得：x=14，
综上，当x的值为7，8或14时，小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米，
故答案为：x的值为7，8或14.
【分析】（1）根据函数图象中数据，再利用“速度=路程÷时间”求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，再联立方程组求出点E的坐标即可；
（3）分类讨论，①两人相遇前，②两人相遇后，③小亮从甲地到追上小明时，再分别列出方程求解即可.
17．【答案】（1）解：由当时，；当时，可得，解得，，
该一次函数的表达式为；
（2）解：如图，设函数图象与轴、轴分别交于点、，
当时，；
即点坐标为
当时，；即点坐标为
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式.把，，代入，解方程组即可得出答案；
（2）根据（1）得出的一次函数的解析式，求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标.利用交点坐标即可求出图形的面积.
18．【答案】（1）解：把代入，，
所以，
把代入，得，
解，得，
所以，.
（2）解：因为点在线段上，且横坐标为，
所以，
因为，所以.
因为轴，
所以
因为点在线段上
所以把代入，得，
解，得.
（3）解：A.因为轴交直线于点，所以所以
由（1）得，，所以.
因为，所以
当时，解得；
当时，解得
B.因为轴交直线于点，所以 所以
因为，，所以，，所以
因为.
因为，所以，即，所以.
当时，解得；
当时，解得.
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入求出与坐标轴的交点坐标即可；
（2）先求出，再将点E的坐标代入可得，再求出m的值即可；
（3）先设，求出，再根据题意列出方程求解即可.
19．【答案】（1）（0，3）；（﹣4，2）
（2）解：①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP= =3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，
∴点M的坐标是（﹣4，1）．
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得 ，解得 故直线l的解析式为y= x+3．
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y= x+3经过点B、C，
设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=vx+3x+3中得y=3，
∴C（0，3）；
设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y= x+3中得y=2，
∴B（﹣4，2）；
故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；
【分析】（1）由一次函数的解析式代入x=0，求得y=3，所以点C为（0，3）；点B与点A得横坐标相同，因此将x=-4代入一次函数解析式中得y=2，所以B的坐标为（﹣4，2）。
（2）①由AB∥y轴证明出∠OCM=∠CMD，又因为∠OCM=∠MCD，所以∠CMD=∠MCD，即三角形CDM的两底角相等，所以三角形CDM为等腰三角形。
②若要求直线的函数解析式，须知道已知点，作辅助线DP。利用勾股定理可得CP=3，结合图形的性质可得点M坐标为（﹣4，1），将点M、C的坐标代入一次函数解析式中，即可解得函数解析式。
20．【答案】（1）解：∵ ，∴ 可设OC=x，则OA=2x，
在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，
∴x2+（2x）2=（4 ）2，解得x=4或x=-4（不合题意，舍去），∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4），
设直线AC解析式为y=kx+b，∴ ，解得： ，∴直线AC解析式为y= x+4
（2）解：由折叠的性质可知AE=CE，设AE=CE=y，则OE=8-y，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，∴（8-y）2+42=y2，解得y=5，
∴AE=CE=5，
∵∠AEF=∠CEF，∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF=5，
∴S△CEF= CF OC= ×5×4=10，
即重叠部分的面积为10；
（3）解：由（2）可知OE=3，CF=5，
∴E（3，0），F（5，4），
设直线EF的解析式为y=k′x+b′，
∴ ，
解得： ，
∴直线EF的解析式为y=2x-6
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【分析】
（1）设OC=x，则OA=2x，在Rt△OCE中，在Rt△AOC中，利用勾股定理可得OC2+OA2=AC2，求得A（8，0），C（0，4），然后用待定系数法确定直线的解析式。
（2）由折叠的性质可知AE=CE，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，解得AE=CE=5：再利用BC//OA，得到∠CFE=∠CEF，所以CE=CF=5，然后根据三角形的面积公式计算S△CEF（3）首先求出E、F两点的坐标，然后利用待定系数法求出直线EF所在的解析式。
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