2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：3.3抛物线（含解析）

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2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：3.3抛物线
一、选择题
1．若点在抛物线上,F为抛物线的焦点,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为的直线与C在第一象限内相交于点P，过点P作于点M，连接MF交C于点N，若，则的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
3．抛物线的焦点在直线上，则( )
A.12 B.6 C.3 D.
4．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
5．已知抛物线的焦点为F，为C上一点，则( )
A. B.5 C.6 D.
6．记抛物线的焦点为F，点A在E上，，则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7．已知抛物线，经过的动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则为( )
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.随着直线l的变化，可能是锐角、直角或钝角
8．若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值为( )
A. B.0 C.或0 D.8或0
二、多项选择题
9．已知点在抛物线（）上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.抛物线的准线方程为 B.抛物线的焦点坐标为
C.点B的坐标为 D.的面积为8
10．已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与抛物线C的准线相交于点N，则( )
A.的最小值为2
B.当直线l的斜率为时，
C.设直线，的斜率分别为，，则
D.过点B作直线的垂线，垂足为Q，交直线于点P，则
11．已知抛物线的顶点为O,准线为,焦点为F,过F作直线l交抛物线于M,N两点(M在N的左边),则( )
A.
B.若直线经过点,则
C.线段的最小值为2
D.若,则直线l的斜率为
12．直线过抛物线的焦点,且与C交于M,N两点,则( )
A. B.
C.的最小值为6 D.的最小值为12
三、填空题
13．如图，已知抛物线，点P是E的准线l上一动点，过点P作E的两条切线，切点分别为M，N，点D为线段的中点，连接与E交于点G，在点G作E的切线与，分别交于点S，T，，的面积分别记为，，则________.
14．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数a的取值范围是__________.
15．已知抛物线的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向l引垂线,垂足分别为,,若,那么内切圆的半径为___________.
16．已知抛物线的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交y轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且，则________________．
四、解答题
17．已知抛物线的准线与x轴的交点为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点的直线l与抛物线C交于P，Q两点，求证：为定值.
18．已知抛物线与交于A，B两点，其中点A在第一象限，且，抛物线C的准线l与x轴交于点P.
(1)求以线段为直径的圆的方程；
(2)若M，N在抛物线C上，且，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
19．已知抛物线的方程为，过点作直线l交抛物线于A，B两点，且M为线段AB的中点.
求：（1）直线l的方程；
（2）线段AB的长度.
20．如图，已知抛物线C的顶点为，焦点为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线于M，N两点，求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由点在抛物线上,得,即.
由抛物线的焦半径公式可得：.
2．答案：C
解析：如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，则，轴.
由抛物线的性质可得，所以.
设直线的倾斜角为，则，因为过点F作斜率为的直线与C在第一象限内相交于点P，
所以
解得（负值已舍去），所以，
所以，所以，即.
3．答案：B
4．答案：B
解析：因为抛物线的标准方程为：，
焦点在y轴正半轴上，且，所以焦点坐标为，
故选:B.
5．答案：B
解析：将代入C，解得，由抛物线的定义可知.
故选：B
6．答案：B
解析：过点A作的垂线，垂足为D，则，
则，如图所示.
所以的最小值为3.
故选：B.
7．答案：B
解析：如图，设经过点T的直线的方程为，
与抛物线联立方程得：，
设，，则，，
则，
，所以为直角.
故选:B.
8．答案：C
解析：若，则直线与抛物线只有一个交点；若，由得，则，所以.综上可知或，故选C.
9．答案：ABD
解析：将的坐标代入抛物线方程，得，因此抛物线的方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确.易知轴，所以，故C错误.易得，所以，故D正确.选ABD.
10．答案：BCD
解析：，设直线l的方程为.
对于A，把代入得，
设，，则,，
所以，A错；
对于B，当直线l的斜率为时，，B对；
对于C，由题意知
则，，
所以，C对；
对于D，由有，
因为的方程为，令得，
所以点P为的中点，即，D对.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：A选项,抛物线的标准方程为,准线为,则,,,,解得,故A正确;又,过F作直线l交抛物线于M,N两点,显然l的斜率存在,设直线l的方程为,联立,整理得,恒成立,设,,则,,,B选项,若直线l经过点,则,,故B错误;C选项,当时,的最小值为2,故C正确;D选项,,,又,,,解得,又因为,所以,故D正确,故选ACD.
12．答案：BD
解析：对于A,B,由直线与x轴的交点坐标为,则,即,故A错误,B正确;
对于C,D,当直线垂直于x轴,即时,取得最小值,且最小值为.故C错误,D正确.
故选：BD.
13．答案：/0.25
解析：由题意知，设，，，
由，得，所以，故，
所以的方程为，且即.
又因过点，所以，同理，
所以直线的方程为，所以直线过点，
由消去y并化简得，
根据韦达定理可知，，所以，
所以.直线的方程为，
所以，即，因为，
所以点G为的中点，，
所以，且为的中位线，所以.
故答案为：
14．答案：
解析：抛物线的准线为直线.当且时，曲线为椭圆在x轴及其上方的部分，因为直线与曲线只有一个交点，所以，解得.当时，曲线为圆在x轴及其上方的部分，此时直线与其只有一个交点.当时，曲线为双曲线在x轴上方的一支，此时直线与曲线只有一个交点.综上所述，实数a的取值范围为.
15．答案：
解析：不妨设A在第一象限,由抛物线定义可知,且.
,因此.
,
所以,设,,,,
因为,所以,
所以,所以,
结合,解得,,
因为准线,所以,,
,,.
所以,所以为直角三角形,
设其内切圆半径r,那么.
.
故答案为：.
16．答案：2
解析：过M作准线l的垂线，垂足为Q，设MQ交y轴于点P，
O为坐标原点．由题可得，
因为，则，所以，所以．
由抛物线的定义可得，
又，所以，因为准线l与y轴平行，且O到焦点的距离与到准线的距离相等，所以N平分FT，则有，
故答案为：2.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意，可得，即，
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意知，直线l不与y轴垂直，
设直线l的方程为，，.
由得，则，，.
又，，
所以
.
所以为定值.
18．答案：(1)；
(2)直线过定点.
解析：（1）由题意得，A，B两点的纵坐标分别为2，，
代入中，解得（舍去），，
代入中，得，解得，抛物线，，
则以线段为直径的圆的方程为.
（2）如图：
显然直线与x轴不平行，设直线的方程为，
联立，消去x得，.
设，，则，.
，且M，N是抛物线上异于B的不同两点，，.
，同理得，，
，，，即，
，所以直线过定点.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，.
因为点A，B均在抛物线上，所以
，得，
所以.
因为点为线段AB的中点，
所以，，所以.
又因为直线l过点，
所以直线l的方程为，即.
（2）由得，所以，.
所以，
所以线段AB的长度为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知条件可设抛物线C的方程为，
则，.抛物线C的方程是.
（2）设，，，，
直线AO的方程是，直线BO的方程是.
联立直线l的方程与直线AO的方程得消去y，得.
点M的横坐标，
则点M的纵坐标.
同理，可得点N的横坐标，点N的纵坐标.
.①
设直线AB的方程为.
由消去y，并整理得.
由根与系数的关系，得
则.②
将②代入①，得.
设，，则.
①当时，；
②当时，
.
综上，当，即时，取得最小值.
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