【培优版】北师大版数学八年级上册5.1认识二元一次方程组 同步练习
一、选择题
1．（2019八上·龙华期末）某公司有生手工和熟手工两个工种的工人，已知一个生手工每天制造的零件比一个熟手工少30个，一个生手工与两个熟手工每天共可制造180个零件，求一个生手工与一个熟手工每天各能制造多少个零件 设一个生手工每天能制作 个零件，一个熟手工每天能制造 个零件，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·揭阳期末）芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·东阳月考）已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·西乡期末）关于x，y的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，但仍能求出m的值是（ ）
A．2 B．3 C．-1 D．-2
5．（2018八上·长春开学考）已知 是二元一次方程2x-y=14的解，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
6．（北师大版数学八年级上册第五章第一节《认识二元一次方程》组同步检测）二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019八上·深圳开学考）甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
8．（2024七下·玉州期末）甲种防腐药水含药30%，乙种防腐药水含药75%，现用这两种防腐药水配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023八上·盐湖月考）已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为15，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小27，求这个两位数，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，所列方程组（不用化简）为 ．
10．（2023八上·涪城开学考）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(‘两’为我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何 ”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 .
11．（2024七下·赣县区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似地，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ．
12．（2022七上·咸阳月考）写出二元一次方程的一组解 。（写出一组即可）
13．（2022八上·绵阳竞赛）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 .
三、解答题
14．（【名师面对面】数学七年级下册素养达标评价B本评价10二元一次方程） 已知二元一次方程 ．
（1） 用含 的代数式表示 ．
（2）根据所给出的 的值， 求出对应的 的值， 填入表内：
-2 -1 0 1 2
（3） 写出方程的 5 个解．
15．（2024八上·前郭尔罗斯期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若，求m和n的值；
解：由题意得：，
∴∴，解得．
请解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若a，b，c是的边长，满足，c是的最长边，且c为奇数，则c可能取何值？
16．（2023七下·二道期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如……都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．
解：由2x+5y＝24，得：，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程2x+5y＝24的正整数解为 或 ．
问题：
（1）若为非负整数，则满足条件的整数x的值有 个．
（2）直接写出满足方程2x+3y＝8的正整数解 _
（3）若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设一个生手每天制作x个零件，一个熟手工每天制造y个零件
由题意可知，
故答案为：A.
【分析】根据题目中的两个等量关系式，即可得到方程组。
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=4代入x-2y=2中，得4-2y=2，解得y=1，
把x=4，y=1代入x+2y= 中，得=4+2×1=6.
故答案为：A .
【分析】把x=4代入方程组中第二个方程求出y值，再将x、y值代入第一个方程求出即可.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴ 关于x，y的方程组的解满足
解得
故答案为：D.
【分析】由整体换元的思想可得，进而求解即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x-y=4得：
，解得： ，
∴方程组的解为 ，
将方程组的解代入 得： ，
∴m=3；
故答案为：B.
【分析】由题意把x=2代入方程x-y=4可求得y的值，再把x、y的值代入方程3x+my=0可得关于m的方程，解方程即可求解.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入二元一次方程2x-y=14，得
7k=14，
解得k=2．
故答案为：A．
【分析】根据方程的解的定义，将方程2x-y=14中x，y用k替换得到k的一元一次方程，进行求解．
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】∵x+3y=10，
∴x=10-3y，
∵x、y都是非负整数，
∴y=0时，x=10；
y=1时，x=7；
y=2时，x=4；
y=3时，x=1．
∴二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有4对．
故选：D．
【分析】因为二元一次方程x+3y=10中x的系数是1，所以先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是非负整数，把最小的非负整数y=0代入，计算出对应的x的值，再把y=1代入，再算出对应的x的值，依此求出结果．注意任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，必须使方程中两个未知数的值都是非负整数．
注意：最小的非负整数是0．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】根据题意可知，
故答案为：C。
【分析】根据题目中两种商品的原价以及调整后的价格之间的关系，列出二元一次方程组即可得到答案。
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：．
故答案为：B．
【分析】根据等量关系：甲种防腐药水+乙种防腐药水=18千克，甲种防腐药+乙种防腐药=18×50%千克，可得出关于x、y的二元一次方程组．
9．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设十位上的数字为x，个位上的数字为y，
∵ 一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为15，
∴x+y=15，
∵ 对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小27，
∴10y+x=10x+y-27，
∴所列方程组为，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系求出x+y=15，再求出10y+x=10x+y-27，最后列方程组即可。
10．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设马每匹x两，牛每头y两，
由题意可列方程组：，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系列方程组求解即可。
11．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【分析】先明确算筹，根据例子和图（2）列出二元一次方程组．
12．【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：当x=2时，6-y=4
解之：y=2，
∴此方程的解为
【分析】将x=2代入方程，可求出对应的y的值，可得到原方程的一组解.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组整理得：
，即，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，再利用整体替换的思想得，据此即可得出答案.
14．【答案】（1）解：∵ ，
∴.
∴.
（2）解：当x=-2时，y=-2×6+2=-10；
当x=-1时，y=-1×6+2=-4；
当x=0时，y=0×6+2=2；
当x=1时，y=1×6+2=8；
当x=2时，y=2×6+2=14.
根据以上结果，补全表格如下：
-2 -1 0 1 2
-10 -4 2 8 14
（3）解：根据（2）的分析，直接写出该二元一次方程的 5 个解为：
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【分析】（1）将3x移到左边，然后等号两边同时乘以-2即可；（2）分别代入各x的具体值到（1）所得的代数式计算出y即可；（3）直接从（2）摘抄出5个解即可.
15．【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
∴，解得：，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴，解得：
又∵a，b，c是的边长，
∴，
又∵c为奇数，且c为最长边，
∴或9．
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程组的解；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）先根据题意结合完全平方公式即可得到，进而根据非负性即可列出二元一次方程组，从而求出x和y即可求解；
（2）先根据题意求出a和b，进而根据三角形三边关系结合题意即可求解。
16．【答案】（1）6
（2）
（3）解：共有2种截法，
截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；
截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵是非负整数
∴ x-3是20的正因数
∴ x-3=1或x-3=2或 x-3=4或 x-3=5或 x-3=10或 x-3=20
∴ x=4或 x=5或 x=7或 x=8或 x=13或 x=23
则满足条件的整数x的值有6个．
（2）解2x+3y＝8
∴ x=
∵ x，y为正整数
∴ 8-3y=2
解得满足方程2x+3y＝8的正整数解是
【分析】本题考查解二元一次方程。（1）根据非负整数的要求，可知x-3是20的正因数，则可得x的值；（2）根据方程的解是正整数，可得x，y的值；（3）根据题意列方程，则求出的3m和4米的段数都是正整数，利用（1）（2）的方法可得结果。
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册5.1认识二元一次方程组 同步练习
一、选择题
1．（2019八上·龙华期末）某公司有生手工和熟手工两个工种的工人，已知一个生手工每天制造的零件比一个熟手工少30个，一个生手工与两个熟手工每天共可制造180个零件，求一个生手工与一个熟手工每天各能制造多少个零件 设一个生手工每天能制作 个零件，一个熟手工每天能制造 个零件，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设一个生手每天制作x个零件，一个熟手工每天制造y个零件
由题意可知，
故答案为：A.
【分析】根据题目中的两个等量关系式，即可得到方程组。
2．（2024八上·揭阳期末）芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=4代入x-2y=2中，得4-2y=2，解得y=1，
把x=4，y=1代入x+2y= 中，得=4+2×1=6.
故答案为：A .
【分析】把x=4代入方程组中第二个方程求出y值，再将x、y值代入第一个方程求出即可.
3．（2024七下·东阳月考）已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴ 关于x，y的方程组的解满足
解得
故答案为：D.
【分析】由整体换元的思想可得，进而求解即可得出答案.
4．（2021八上·西乡期末）关于x，y的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，但仍能求出m的值是（ ）
A．2 B．3 C．-1 D．-2
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x-y=4得：
，解得： ，
∴方程组的解为 ，
将方程组的解代入 得： ，
∴m=3；
故答案为：B.
【分析】由题意把x=2代入方程x-y=4可求得y的值，再把x、y的值代入方程3x+my=0可得关于m的方程，解方程即可求解.
5．（2018八上·长春开学考）已知 是二元一次方程2x-y=14的解，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入二元一次方程2x-y=14，得
7k=14，
解得k=2．
故答案为：A．
【分析】根据方程的解的定义，将方程2x-y=14中x，y用k替换得到k的一元一次方程，进行求解．
6．（北师大版数学八年级上册第五章第一节《认识二元一次方程》组同步检测）二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】∵x+3y=10，
∴x=10-3y，
∵x、y都是非负整数，
∴y=0时，x=10；
y=1时，x=7；
y=2时，x=4；
y=3时，x=1．
∴二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有4对．
故选：D．
【分析】因为二元一次方程x+3y=10中x的系数是1，所以先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是非负整数，把最小的非负整数y=0代入，计算出对应的x的值，再把y=1代入，再算出对应的x的值，依此求出结果．注意任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，必须使方程中两个未知数的值都是非负整数．
注意：最小的非负整数是0．
7．（2019八上·深圳开学考）甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】根据题意可知，
故答案为：C。
【分析】根据题目中两种商品的原价以及调整后的价格之间的关系，列出二元一次方程组即可得到答案。
8．（2024七下·玉州期末）甲种防腐药水含药30%，乙种防腐药水含药75%，现用这两种防腐药水配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：．
故答案为：B．
【分析】根据等量关系：甲种防腐药水+乙种防腐药水=18千克，甲种防腐药+乙种防腐药=18×50%千克，可得出关于x、y的二元一次方程组．
二、填空题
9．（2023八上·盐湖月考）已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为15，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小27，求这个两位数，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，所列方程组（不用化简）为 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设十位上的数字为x，个位上的数字为y，
∵ 一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为15，
∴x+y=15，
∵ 对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小27，
∴10y+x=10x+y-27，
∴所列方程组为，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系求出x+y=15，再求出10y+x=10x+y-27，最后列方程组即可。
10．（2023八上·涪城开学考）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(‘两’为我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何 ”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设马每匹x两，牛每头y两，
由题意可列方程组：，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系列方程组求解即可。
11．（2024七下·赣县区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似地，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【分析】先明确算筹，根据例子和图（2）列出二元一次方程组．
12．（2022七上·咸阳月考）写出二元一次方程的一组解 。（写出一组即可）
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：当x=2时，6-y=4
解之：y=2，
∴此方程的解为
【分析】将x=2代入方程，可求出对应的y的值，可得到原方程的一组解.
13．（2022八上·绵阳竞赛）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组整理得：
，即，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，再利用整体替换的思想得，据此即可得出答案.
三、解答题
14．（【名师面对面】数学七年级下册素养达标评价B本评价10二元一次方程） 已知二元一次方程 ．
（1） 用含 的代数式表示 ．
（2）根据所给出的 的值， 求出对应的 的值， 填入表内：
-2 -1 0 1 2
（3） 写出方程的 5 个解．
【答案】（1）解：∵ ，
∴.
∴.
（2）解：当x=-2时，y=-2×6+2=-10；
当x=-1时，y=-1×6+2=-4；
当x=0时，y=0×6+2=2；
当x=1时，y=1×6+2=8；
当x=2时，y=2×6+2=14.
根据以上结果，补全表格如下：
-2 -1 0 1 2
-10 -4 2 8 14
（3）解：根据（2）的分析，直接写出该二元一次方程的 5 个解为：
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【分析】（1）将3x移到左边，然后等号两边同时乘以-2即可；（2）分别代入各x的具体值到（1）所得的代数式计算出y即可；（3）直接从（2）摘抄出5个解即可.
15．（2024八上·前郭尔罗斯期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若，求m和n的值；
解：由题意得：，
∴∴，解得．
请解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若a，b，c是的边长，满足，c是的最长边，且c为奇数，则c可能取何值？
【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
∴，解得：，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴，解得：
又∵a，b，c是的边长，
∴，
又∵c为奇数，且c为最长边，
∴或9．
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程组的解；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）先根据题意结合完全平方公式即可得到，进而根据非负性即可列出二元一次方程组，从而求出x和y即可求解；
（2）先根据题意求出a和b，进而根据三角形三边关系结合题意即可求解。
16．（2023七下·二道期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如……都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．
解：由2x+5y＝24，得：，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程2x+5y＝24的正整数解为 或 ．
问题：
（1）若为非负整数，则满足条件的整数x的值有 个．
（2）直接写出满足方程2x+3y＝8的正整数解 _
（3）若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
【答案】（1）6
（2）
（3）解：共有2种截法，
截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；
截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵是非负整数
∴ x-3是20的正因数
∴ x-3=1或x-3=2或 x-3=4或 x-3=5或 x-3=10或 x-3=20
∴ x=4或 x=5或 x=7或 x=8或 x=13或 x=23
则满足条件的整数x的值有6个．
（2）解2x+3y＝8
∴ x=
∵ x，y为正整数
∴ 8-3y=2
解得满足方程2x+3y＝8的正整数解是
【分析】本题考查解二元一次方程。（1）根据非负整数的要求，可知x-3是20的正因数，则可得x的值；（2）根据方程的解是正整数，可得x，y的值；（3）根据题意列方程，则求出的3m和4米的段数都是正整数，利用（1）（2）的方法可得结果。
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