人教A版必修第一册高中数学2.1等式性质与不等式性质 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
普通高中教科书数学必修第一册
2.1　相等关系与不等关系（第一课时）
第二章 一元二次函数、方程和不等式
引入新知
问题1：生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志，你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
①最低限速
②限制
③限制
④限制宽
④通行时间
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
文字语言 数学符号 文字语言
大于 ＞ 大于，高于，超过
小于 ＜ 小于，低于，少于
大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于
小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过
引入新知
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 应不少于，
蛋白质的含量应不少于；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
问题1
学习新知
问题2
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
学习新知
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是负数，那么a学习新知
这个基本事实可以表示为：
从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小．
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”
学习新知
等式性质与不等式性质
等式性质 不等式性质
总结新知
图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
认识新知
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。
大正方形的构成：
4个全等的直角三角形
1个小正方形
等面积法
相等关系
不等关系
第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的.
1.赵爽弦图的不等关系
认识新知
1.赵爽弦图的不等关系（面积关系）
大正方形面积
>4个直角三角形的面积和
a,b>0
大正方形面积
=4个等腰直角三角形的面积和
Q：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。
认识新知
2
4
2.重要不等式
认识新知
探究新知
探究新知
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
应用新知
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
（3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
（4）作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．
其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论，
其中变形是判断符号的前提．
应用新知
注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．
(3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小．
应用新知
随堂小练
反思感悟　
在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质．
随堂小练
不等式与不等式关系
1．不等式与不等关系：
2．比较两个实数大小关系的依据：
3．作差比较法：
用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化．
作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论
总结新知
4．重要不等式：
普通高中教科书数学必修第一册
2.1　相等关系与不等关系（第二课时）
第二章 一元二次函数、方程和不等式
开拓·奉献 团结·进取·勤奋·求实
回顾
1.比较大小：作差法(与0比较)
作差→变形(化为因式的积或平方和)→与0比较
①画图
②配方
2.重要不等式：
可用于求最值
>
>
导入新知
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？
思考
等式有下面的基本性质
性质1 如果a=b,那么b=a;(对称性）
性质2 如果a=b,b=c,那么a=c;(传递性）
性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;(加法）
性质4 如果a=b,那么ac=bc;(乘法）
性质5 如果a=b,c≠0,那么.(乘法）
可以发现，性质1,2反映了相等关系自身的特性，性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．
（运算的不变性即为性质）
探究新知
探究
类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗，并加以证明吗？
等式
不等式
对称性
传递性
探究新知
等式
不等式
加法
注：不等式两边同时加上（或减去）同一个实数，不等式与原不等式同向．
（不等号方向不变）
注：不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边．
移项法则：
探究新知
等式
不等式
乘法
注：
不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变；
不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反．
探究新知
利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质．
例如，利用性质2，3可以推出：
探究新知
实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据
探究新知
1.对称性
2.传递性
3.可加性
5.同向可加性
4.可乘性
6.同向可乘性(同号)
7.正数乘方性
8.正数开方性
>
探究新知
例2.
应用新知
应用新知
反思感悟　
(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件．
(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件．
应用新知
【跟踪练习】对于实数a，b，c有下列结论：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若c>a>b>0，则 ；
⑤若a>b， ，则a>0，b<0．
其中正确结论的有____________．
② ③ ④ ⑤
应用新知
比较大小的方法
①特殊值法
②性质法
③作差法：作差并与0比较
④作商法：作商并与1比较
可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立.
总结新知