南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试
数学2024.9.18
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题
C．和q都是真命题 D．和都是真命题
3．已知向量，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ）
A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70%
C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50
5．已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则a=（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．与的图象有相同的对称轴 B．与的值域相同
C．与有相同的零点 D．与的最小正周期相同
10．已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A．
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．l上存在点E，使得为等边三角形
11．设函数，则（ ）
A．当时，是的极小值点
B．恒有两个单调性相同的区间
C．当有三个零点时，可取得的整数有2个
D．点为曲线的对称中心
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列满足，，，且，则________．
13．已知，，则________．
14．在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色．
①若区域A，B，C，D涂2种颜色，区域E，F，G，H涂另外2种颜色，则有________种不同涂法．
②若区域A，B，C，D涂4种颜色（A、B、C、D涂的颜色互不相同），区域E，F，G，H也涂这4种颜色（E，F，G，H涂的颜色互不相同），则有________种不同涂法。
四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，且，求的面积．
16．（本小题满分15分）已知函数，曲线在处的切线为直线l．
（1）求直线l的方程；
（2）求函数在闭区间上的最值．
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，，平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：AD⊥平面PBD；
（2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值．
18．（本小题满分17分）我省某市为吸引游客，推出免费门票项目．该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响．规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点．
（1）若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望；
（2）乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率．
19．（本小题满分17分）已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明．南宁市 2025 届普通高中毕业班摸底测试参考答案（含评分细则）
（数 学）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D B C A C
二选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分。有两个
正确选项的仅选其中一个给 3 分；有三个正确选项的仅选其中一个给 2 分，
仅选其中两个给 4 分。
题号 9 10 11
答案 AD BC BCD
1.D z i(1 7i) 7 i，则 z 7 i，故选 D．
2.B 当 x 1时 x3 x2 ，所以 p 为真命题；当 x 0时 x4 0，所以 q为假命题，
则 q 是真命题,故选 B．
3.A 由 2 2 2得 2 4 4 2 4,4 2 4 2a b a b a a b + b a a b + b 4，两式相减得，
1
a b 1，所以1 4a b + 4 4，则a b ，故选 A．
4
4.D 成绩在[70,80)上频率为1 10 (0.01 0.02 0.02 0.03) 0.2，所以成绩在
[70,80)上有0.2 50 10人，成绩在[50,60),[60,70),[80,90),[90,100]的人数分别为 5，
10，15，10 人，所以成绩在[80,90) 上的人数最多，A 正确；成绩不低于 70
分的学生所占比例为1 10(0.01 0.02) 0.7，B 正确；50 名学生成绩的平均分
为 x 55 0.1 65 0.2 75 0.2 85 0.3 95 0.2 78，成绩的中位数为 80 分，
所以 50 名学生成绩的平均分小于其成绩的中位数，C 正确；50 名学生成绩
的极差在[30,50]上，不一定为 50，D 错误，故选 D ．
1
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
y y y y
5.B 设M (x, y)(y 0)，则 k ,k 由 整理得AM BM , kAM .kBM 2,
x 1 x 1 x 1 x 1
y2
x2 1(y 0)，故选 B ．
2
1 x 1
6.C 由题可 f ' (x) 1 .m ,当x (0,1)时，f ' (x) 0;当x (1, )时，f ' (x) 0,
mx x
所以 f(x)在（0，1）上递减，在（1， ）上递增，则 f (x)min =f(1)=1-lnm 0，
所以 m≤e，又 x＞0，mx＞0,即 m＞0.则 0＜m≤e,故选 C.
7.A 由正三棱台 ABC A1B1C1的侧面积为 6 得，等腰梯形 ABB1 A1的面积为 2，
1 AB A B
由 (AB A B ) 2 ( 1 1 )2 2得， A1B1 2 A
2
1B1 1，解得1 1
2 2
A1B1 1，则 AB 3A1B1 3，将正三棱台 ABC A1B1C1补成正三棱
PA 1 2
锥P ABC，如图所示，则 1 .所以PA1 ，则
PA 3 21 2
3
PA 2 ，过 P 作PO 平面 ABC，则 O 为△ABC 的中心，所以
2
3
2AO 2 3，则 AO 3 ，易知 PAO为 AA1与平面 ABC 所成的角，
sin 60
AO 3 6
在Rt △ PAO中， cos PAO ，故选 A．
PA 3 3
2
2
x2 (2 x)2 2x2 4x 4
8.C 因为 g(x) g(2 x) 2，
x2 2x 2 (2 x)2 2(2 x) 2 x2 2x 2
所以 y g(x)关于点(1,1)对称.要使 AB BC ，则B(1,1) ,所以将B(1,1)代入
f (x) ax得a 1 ,当a 1时 f (x) x关于点 (1,1)对称,显然 AB BC ,故选 C ．
sin x, x [2kπ, 2k π] π
9.AD f (x) sin x , (k Z), g(x) sin(2x ) cos 2x，
sin x, x [2kπ π, 2kπ] 2
在同一坐标系中作出 f (x)与 g(x)的图象，如图所示，
2
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
由图知，x 0是 f (x)与 g(x)的图象相同的对称轴，A正确；f (x)的值域为[0,1]，
g(x)的值域为[ 1,1]，所以 f (x)与 g(x)的值域不同，B 错误； f (x)与 g(x)没有
相同的零点，C 错误; f (x)与 g(x)的最小正周期均为 π，D 正确，故选 AD．
10 .BC 易知F(1,0),准线 l的方程为 x 1，则直线 x y 1 0经过焦点F ．
y2 4x,
由 整理得 x
2 6x 1 0，设 A(x1 , y1), B(x2 , y2 )，
x y 1 0,
则 x1 x2 6，根据抛物线的定义可知， AB x1 x2 2 8，
A 错误；如图，过 A, B作 AA l, BB l，垂足为 A , B ，则 KF 2，又 KFD 45 ，
所以|BF|=|BB1|，所以 | BD | 2 | BB' | 2 | BF | ,B 正确；以 AF 为直径的圆的半
AF OF AA
径为 r ，易知四边形 AFOA 为直角梯形，其中位线长为
2 2
AA 1 AF
，所以以 AF 为直径的圆与 y 相切，C 正确；
2 2
当△ AEF 为等边三角形时， AF AE ，由抛物线的定义可知 AE l ，所以
EAF 45 ，这与△ AEF 为等边三角形矛盾，所以 l上不存在点 E，使得△ AEF
为等边三角形，D 错误，故选 BC．
2
11．BCD 当a 1时，f (x) 3x2 x 2 ，令 f (x) 0 ，解得 x1 1, x2 ，
3
2 2 2
当 x ( , ) (1, )时 f (x) 0，当 x ( ,1)时 f (x) 0 ;所以 f (x)在 ( , )
3 3 3
2
和 (1, )上单调递减，在 ( ,1)上单调递增，所以 x 1是 f (x)的极大值点，A
3
错误； f (x) 3ax2 ax 2a，则 a2 4 ( 3a) 2a 25a2 0，所以 f (x) 0恒
3
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
有两个根，结合二次函数的图象可知， f (x)恒有两个相同的单调区间，B 正
2
确；由上得 f (x) 3ax2 ax 2a a(3x 2)(x 1)，当a 0时 f (x)在 ( , )和
3
2
(1, )上单调递减，在 ( ,1)上单调递增，要使 f (x)有三个零点，则
3
2 22
f ( ) a b 0, 3 27 3a 22 3 b 22
解 b a,即 ；
3a 2 27 2 a 27f (1) b 0,
2
2 2
当a 0时， f (x)在 ( , )和 (1, )上单调递增，在 ( ,1)上单调递减，
3 3
2 22
f ( ) a b 0,
要使 3 27
22 3 3 b 22
f (x)有三个零点，则 解 a b a,即 .
3a 27 2 2 a 27f (1) b 0,
2
b
综上可知使得 f (x)有三个零点， 可取得的整数为﹣1，0，C 正确；
a
1
设 g(x) f (x) 3ax2 ax 2a，则 g (x) 6ax a，令 g (x) 0得 x
6
1 1
因为 g (x) 6ax a的零点为曲线 f (x)的对称中心的横坐标，所以点 ( , f ( ))
6 6
为曲线 y f (x)的对称中心，D 正确，故选 BCD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．1 当n 1得a3 a1 a2，又 a1 2, a2 1, a3 3得 3 2 1，解得 2 .
则 an 2 2an an 1 , a4 2a2 a3 2 1 3 5 , a5 2a3 a4 2 ( 3) 5 1．
3 tan sin cos
13． 由 2得 2 ,所以 sin cos 2cos sin .
5 tan cos sin
1 2
则 sin( ) sin cos cos sin cos sin ，所以sin cos .
5 5
3
所以sin( ) sin cos cos sin ．
5
14．① 24 （2 分） ② 216 （3 分） 若区域 A,B,C,D 涂 2 种颜色，区域
E,F,G,H 涂另外 2 种颜色，则 AC, BD, EG, FH 同色，先选两种颜色涂 A,B,C,D
区域，则有C2 2种涂法，区域 E,F,G,H 有 2 种涂法，故有 24 A2 A2 C4 A
2 2
2 A2 24种涂
4
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
法．区域 A,B,C,D 涂 4 种颜色有 A44 24种涂法，不妨设区域 A,B,C,D 分别
涂 a,b,c,d 颜色,则区域 E,F,G,H 也涂这 4 种颜色有 (a,b,c,d), (a,d ,b,c), (a,d ,c,b),
(c,d ,a,b), (c,a,b,d), (c,b,a,d), (d ,a,b,c), (d ,a,c,b), (d ,b,a,c),有 9 种涂法，共有
24 9 216种涂法.
三、解答题：共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题 13 分) 设锐角△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c. 已知
2 bcsin2A=b2+c2－a2 . (1)求 A ;(2)若 a=2 2 ,且 2 c cosB=a sinC 求△ABC的
面积.
解: (1) 由 2 bcsin2A=b2+c2－a2得 2 2 bcsinAcosA=b2+c2－a2……1 分
【备注 1】正确写出应用二倍角公式给 1 分。
2+ 2 2
即 √2sin cos = = cos …………………………….…1 分
2
【备注 2】正确写出或体现应用余弦定理公式给 1 分。
√2
在锐角△ABC中 cosA≠0,所以sin = ………………….…….....1 分(3 分）
2
√2
【备注 3】见“sin = ”给 1 分
2
又0 < < ,所以 = . …………………………………………...2 分(5 分)
2 4
【备注 4】见“ = ”给 2 分
4
(2) 由√2 cos = sin 及正弦定理得√2sin cos = sin sin ….1 分
√2 1
又 sinA≠0 所以√2cos = sin = 所以cos = .………..…..….1 分
2 2
1
【备注 5】见“cos = ”给 1 分.
2
又 0 < < ,所以 = ………………………………………….2 分(9 分)
2 3
【备注 6】见“ = ”给 2 分
3
5 5 √6+√2
则 = = , 所以sin = sin = …………...…1 分(10 分)
4 3 12 12 4
5
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
√3
sin 2√2×
由正弦定理得 = = 2 = 2√3 ……………...…….…1 分(11 分)
sin √2
2
【备注 7】另解：写出“c 6 2 ”给 1 分。
1 1 √6+√2
故 面积为 sin = × 2√2 × 2√3 × = 3 + √3. …..2 分(13 分)
2 2 4
【备注 8】结果正确即可给 2分，若结果错误但正确写出面积公式可给 1分。
【备注 9】无其他解答过程，只正确写出正弦定理、余弦定理公式各给 1 分。
16. (本题 15分)已知函数 f(x)=(4x+1)ex , 曲线 y=f(x)在(0,f(0))处的切线为直线
l. (1)求直线 l的方程; (2)求函数 f(x)在闭区间[－2,1]上的最值.
解: (1)依题意,求导得 f ' (x) =(4x+5)ex…………………….…......…2 分(2 分)
【备注 1】求导结果正确给 2 分
f(0)= e0 =1………………………………….…………..………...…1 分
则 ′(0) = 5 0 = 5…………………………………………………1 分(4 分)
【备注 2】若不写“f(0)= e0 =1，则 ′(0) = 5 0 = 5”;只正确写出切点坐标
(0,1)也给这 1 分。
所以直线 l的方程为 y=5x+1………………………………….….2 分(6 分)
【备注 3】直线方程结果正确给 2 分
(2)由(1)可知 f ' (x) =(4x+5)ex
5 5
当 x 时 f ' (x) 0，则 f (x)在 ( , )上单调递增；………1 分
4 4
5 5
当 x 时 f ' (x) 0，则 f (x)在 ( , )上单调递减；………1 分(8 分)
4 4
5 5
【备注 4】正确写出“在 x 时 f (x)单调递增”、“ 在 x 时 f (x)在上单
4 4
5 5 5 5
调递减”给 1 分;写成闭区间[ , )、 ( , ] ,[ ,1]、[ 2, ]也正确。
4 4 4 4
5
5
因为 f ( ) 4e 4 , f ( 2) 7e 2 , f (1) 5e ………………………3 分(11 分)
4
6
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
【备注 5】正确写出结果,每对一个给 1 分.
则 f (x)在闭区间[-2,1]上最大值为 5e, …………………..……2 分
5
最小值为 4e 4 .…………………………………………………2 分(15 分)
【备注 6】正确写出结果,每对一个给 2 分.
17. (本题 15分)如图,四棱锥 P-ABCD中,AB⊥BC , CD⊥BC,
BC=CD= 2 ,AB= 2 2 ,平面 PBD⊥平面 ABCD
(1)证明: AD⊥平面 PBD ;
(2)若 PB=PD,四棱锥 P-ABCD 的体积为 2 , 求二面角 A-PB-D 的正弦值.
解：(1)取 中点 , 连接 . …………….………..…1 分
【备注 1】只要体现有作图过程,可给 1 分
P
因为 , , = = √2, = 2√2,
D C
则 为正方形.则∠ = ∠ = 90 , ∠ = 45 . A B
E
在 中, = = √2, 所以∠ = 45
则∠ = 90 即 . ………………….……………….…2 分(3 分)
【备注 2】本段 2 分中,若出现写出“ ”或“∠ = 90 ”且前面
有必要的证明过程,就给 2 分; 若前面没有证明过程而直接写出“ ”
或“∠ = 90 ”,统一给 1 分.
因为平面 平面 , 平面 ∩平面 =
所以 平面 . ………………………………………......…2 分(5 分)
【备注 3】本段 2 分中,若不写出“平面 ∩平面 = ”而直接得结
果,则只给 1 分（即扣 1 分）.
7
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
(2)连接 , 设 ∩ = , 则 为 的中点, 连接 .
因为 = , 所以 . ………………..…..1 分(6 分)
【备注 4】见“ ”给 1 分。
面 面 , 面 ∩面 = , 面 ,
所以 平面 . ……………………………………………1 分(7 分)
【备注 5】见“ 平面 ”给 1 分。
1 1
由四棱锥 体积为 2 , 则 × ( + ) = 2
3 2
1 1
即 × × 3√2 × √2 × = 2, 解得 = 2. …………………2 分(9 分)
3 2
【备注 6】见结果正确“ = 2”给 2 分。
由 OE∥AD 可知 , , 两两垂直, 以 为原点, , , 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 , ….…….1 分(10 分)
【备注 7】见建系结果正确或图中正确标出建系结果，即可给 1 分。
则 (2, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2),
= (2, 1, 2), = ( 2, 2,0), = (1, 0, 0).
设平面 的法向量为 = ( , , ),
= 0, 2 2 = 0,
由{ 得{ 令 = 2, 则 = (2, 2, 1)
= 0, 2 + 2 = 0,
由 // 可知, 平面 , 所以 是平面 的法向量,
记为 = = (1, 0, 0) ………………………………………..……3 分(13 分)
【备注 8】本段 3 分,求两个法向量,对一个给 2 分，对两个给 3 分;若法向量
= 0,
都不对，但写有数量积等于 0 如：“{ ” (或外积法)，表示方法
= 0,
正确，统一给 1 分
8
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
, 2 √5则cos = = ,故二面角 正弦值为 . ……....2分(15分)
| | | | 3 3
【备注 9】结果正确即可给 2 分;若结果错误,但前面能正确写出求夹角原始
公式“cos , = ” 可给 1 分.
| | | |
其他解法如下：
第一问解法二： 第二问解法二：
9
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
第二问解法三： 第二问解法四：
第二问解法五：
10
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
第二问解法六
18.(本题 17 分) 我省某市为吸引游客, 推出免费门票项目. 该市设置自然
风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机, 自然风光类抽中的概
1 1
率为 , 历史文化类、特色体验类抽中的概率均为 ,这三类抽奖之间互不影响.
3 2
规定凡在该市的景区游玩的游客, 每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一
次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点.
(1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次, 设 表示甲获得免费票景点个数,
求 的分布列和数学期望；
(2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖, 已知乙抽中 (至少抽中一
个), 求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率.
解: (1) 表示甲获得免费票景点个数, 则 = 0,1,2,3, …………..……1 分
11
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
1 1 1 1
则 ( = 0) = (1 ) × (1 ) × (1 ) = ; ………………………1 分
3 2 2 6
1 1 1 1 1 1 5
( = 1) = × (1 ) × (1 ) + (1 ) × 12 (1 ) × = . …..1 分 3 2 2 3 2 2 12
1 1 1 1 1 1
2 1
( = 2) = × 2 × × (1 ) + (1 ) × ( ) = . ………………1 分 3 2 2 3 2 3
1 1 1 1
( = 3) = × × = …………………………………….………1 分(5 分)
3 2 2 12
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 5 1 1
P
6 12 3 12
【备注 1】若仅给出分布列而没有前面的求解过程：表中数字全对时本 5 分
段共给 4 分（即扣掉过程分 1 分）；当表中概率数字不全对时，若表头第一
行数字全对给 1 分，第二行每个概率值对一个给 1 分（共不超过 3 分）
1 5 1 1 4
( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = .. …………...........……3 分(8 分)
6 12 3 12 3
【备注 2】体现数学期望公式（乘积和，至少写有两项）给 1 分,结果正确
给 2分；如果没有过程只写正确结果 E(X)=4/3给 2分(扣求数学期望过程分).
（2）设“乙抽中”为事件 , “乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽
奖与抽中”分别为事件 1, 1, “乙在自然风光类、历史文化类抽奖机中抽
奖与抽中”分别为事件 2, 2, “乙在历史文化类、特色体验类抽奖机中抽
奖与抽中”分别为事件 3, 3.. ………………………………..….…1 分（9 分）
【备注 3】体现至少设出一个事件过程，可给 1 分。
1 1 1 2
则 ( 1) = ( 1) ( 1| 1) = × [1 (1 ) (1 )] = . …………1 分 3 3 2 9
1 1 1 2
( 2) = ( 2) ( 2| 2) = × [1 (1 ) (1 )] = .. ……………1 分 3 3 2 9
1 1 1 1
( 3) = ( 3) ( 3| 3) = × [1 (1 ) (1 )] = ….……1 分(12 分) 3 2 2 4
因事件 M1,M2,M3两两互斥,
12
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
所以 ( ) = ( 1 ∪ 2 ∪ 3) = ( 1) + ( 2) + ( 3). ……1 分
【备注 4】正确写出求互斥事件概率公式给 1 分.
2 2 1 25
= + + = ..…………………………………………………….1 分(14 分)
9 9 4 36
【备注 5】结果正确给 1 分
( 1 ) ( 1) ( 1| 则 ( | ) = = 1
) 2 36 8
1 . = × = ………..….…2 分(16 分) ( ) ( ) 9 25 25
【备注 6】计算结果正确,给 1 分；若结果不对，但写出几何条件公式
( 1 )“ ( 1| ) = ”给 1 分. ( )
8
故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为 . ………1 分(17 分)
25
8
【备注 7】作答正确给 1 分,若写出“ 为所求”也算作答正确.
25
2 2 3
19. (本题 17 分) 已知椭圆 : + = 1( > > 0)经过点（ b, b)
2 2 1
, 2
2
为 的左、右顶点, , 为 上不同于 1, 2的两动点.若直线 1 斜率与直线
7
2 斜率比值恒为常数 , 按下面方法构造数列 { }: 的短半轴长为 5
时,
直线 与 轴交于点 ( , +1 0).
(1)求椭圆 的离心率; (2)证明: 数列{ }是等比数列; (3)设顶点 1到直线
5
的最大距离为 , 证明: .
3 1
2 2 2
解: (1)由椭圆 经过点( ,
√3 3 1
)得 + = 1,故 = . ………......1 分
2 2 4 2 2 4
2 1
【备注 1】见“ = ”或“ 2 = 4 2”或“ = 2 ”给 1 分。
2 4
2 2 √3 √3
则 = √ = √1 = ,所以椭圆 离心率为 . ………….......…2 分(3 分)
2 2 2 2
【备注 2】见结果正确给 2 分,若结果错误,但体现离心率公式正确给 1 分.
2 2
(2)证明: 由(1)及题意可知 : 2 + 2 = 1,
, ,
4 1
( 2 0), 2(2 0)……1 分
2 2
【备注 3】写出“ 2 + 2 = 1”给 1 分 4
13
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
设 ( ,1 ,1), ( 2 2), 当直线 斜率为 0 时 , 关于 轴对称,
所以 1 斜率与 2 的斜率之商为﹣1.不合题意. ..…………….….1分(5分)
设 方程为 = + , …………………………………….……1 分
【备注 4】正确设出直线 方程(可以其他形式)给 1 分.
因为 不过顶点 1, 2所以 ≠ ±2 .
= + ,
由{ 2 2 得( 2 + 4) 2 + 2 + 2 4 2 = 0.
2 + = 1,
4
2
则△= 4 2 2 4( 2 + 4)( 2 4 2 2 2 ) = 16(
2 + 4 2 ) > 0
2 2 4 2
1 + 2 = , 1 2 =
. ……………………………..……1 分(7 分)
2+4 2+4
【备注 5】至少正确写出韦达定理中一个式子,给 1 分.
4 2 2
所以 1 2 = ( 1 + 2)……………………………………..…1 分 2
【备注 6】写出“ 1 + 2”与“ 1 2”关系，给 1 分
1 则 = 1
2 2 . ………………………………………..….…1 分
2 1+2 2
【备注 7】正确写出直线斜率公式给 1 分.
( 2 + 2 ) 1 2 1 + ( 2 ) 1
= =
( 1 + + 2 ) 2 2 1 + ( + 2 ) 2
4 2 2 ( 1 + 2) + ( 2 2
) 1
=
4 2
2
( 1 + 2) + ( + 2 ) 2 2
2 (2 + )( 1+ 2) 2 = 1
2
= . ……………………….…1 分(10 分)
2 + (2 )( 1+ 2)+2 2 2 +
1 2 2 2 + 【备注 8】见能化简到“ = ”或“ = ”并前面有必要的
2 2 + 1 2
化简过程才给 1 分.
7 1
= 所以 = . ………………………………………………1 分(11 分) 5 3
1 1
则直线 方程为 = ,即 经过点( , 0)…….….1 分 3 3
14
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
1
【备注 9】正确写出“ 经过点( , 0)”给 1 分.
3
, 1 1因为 与 轴交于点 (
+1
+1 0),所以 +1 = , = . 3 3
1
所以数列{ }是以 为公比的等比数列. ………………………….....1分(13分) 3
1 1
(3) 证明: 由(2)可知, = ( ) 1. ………………………...….1 分(14 分) 3
1 1
所以{ }是递减数列,则 = ( ) 1 1 ……………………...1 分 3
1 1
【备注 10】见“ = ( ) 1 1”给 1 分. 3
1
顶点 1( 2 , 0)到直线 : = 0距离为 3
1
|2 |
= 3
5
=
5
,当 = 0时取等号; ……………........…1 分(16 分)
√ 2+1 3√ 2+1 3
1
|2 | 5
【备注 11】见“ = 3 ”或“ ”给 1 分.
√ 2+1 3
5
故
3 1
. …………………........................................................…1 分(17 分)
15
{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}
