苏科版数学八年级上册第二章测试卷
一、选择题
1．（2024八上·三台期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得为轴对称图形，
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．（2024八上·衡山期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
故答案为：D.
【分析】利用三角形三线合一的性质分析求解即可.
3．（2021八上·大化期中）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
∴这个公园应建的位置是的三边垂直平分线的交点上，
故答案为：B．
【分析】根据”线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”进行解答即可.
4．（2021八上·绵阳期中）如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（ ）
A．19° B．20° C．24° D．25°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴
∴
∴
∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质得到∠B=∠EDB，结合三角形外角性质得∠AED=2∠B；根据折叠的性质得出∠C=2∠B，∠EAD=60°，∠ADE=∠ADC；根据邻补角的性质得到∠ADC=90°-∠B，然后在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理列一元一次方程求解，即可求出结果.
5．（2020八上·郯城期末）如图， 是等边三角形， ，则 的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】 是等边三角形，
，
又 ，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形三边相等，结合已知BC=BD，易证 、 都是等腰三角形，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得 的度数.
6．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】AD平分∠BAC，DE⊥AB ， DF⊥AC ，
DE=DF，
故①正确，符合题意；
∠BAC=60°， AD平分∠BAC，
DE⊥AB ， DF⊥AC ，
，
故 ② 正确，符合题意；
由题意可得
设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，
∠E=∠BMD=90°，
∠EBM=120°，
∠ABC=60°，
由于不知道∠ABC是否为60°，
不能判定DM平分∠EDF，故③ 错误，不符合题意；
连接BD、DC，如图，
DM垂直平分BC，
BD=CB，
DE=FD，
BE=FC，
AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又AE=AF，BE=FC，
AB+AC=2AE，
故④ 正确，符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质可判断①正确，符合题意；由题意结合已知条件可得从而得到，可判断② 正确，符合题意；设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，可得∠ABC=60°，但由于条件不足可判断③ 错误，不符合题意；利用HL证明可得BE=FC，从而判断④ 正确，符合题意；
7．（2023八上·丰南期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，先根据等边三角形的性质得到=，进而结合三角形全等的判定与性质证明 (AAS) 即可得到AE=CF，PE=QF，同理可证 ，进而得到AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，从而即可求解。
8．（2023八上·江夏期中）如图，在中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④若，，则，其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC为的外角平分线，，，
∴
∵D在的垂直平分线上，
∴则①正确；
在EA上截取，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴则④正确；
∵
∴
∴
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，则②正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共四个.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质和垂直平分线的性质得DE=DF，∠F=∠AED，AD=BD，再利用"HL"判断出Rt△ADE≌Rt△BDF，即可判断①；利用三角形外角的性质和全等三角形的性质即可得到∠DCF=∠ABD据此即可判断②；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可判断③；在EA上截取EM=EC，再利用"AAS"证明△AMD≌△ACD进而即可判断④.
二、填空题
9．（2023八上·香洲月考）如图中，，平分，，，则的面积是 .
【答案】14
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C=90°，AM平分∠BAC，
∴MD=MC=4，
∴△ABM的面积．
故答案为：14.
【分析】过点M作MD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得MC=MD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
10．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝ ．
【答案】3cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【分析】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
11．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
12．（2024八上·浙江期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥OB，如图，
∵
∴OP平分∠AOB，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：3.
【分析】过点P作PN⊥OB，进而逆用角平分线的性质得到OP平分∠AOB，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到进而即可求解.
13．（2021八上·盐池期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当4为腰时，三边长为4、4、8，而4+4=8，此时无法构成三角形
当4为底边时，三边长为4、8、8，此时可以构成三角形
则这个等腰三角形的周长为4+8+8=20.
故答案为：20.
【分析】分4为腰、4为底边，利用三角形的三边关系以及等腰三角形的性质判断是否能构成三角形，进而求出周长.
14．（2023八上·期中）等腰三角形有一个角是36°，则它的顶角度数是 ．
【答案】36°或108°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形有一个角是36° ，则可以分两种情况进行讨论：
（1）顶角就为36°；
（2）36°为底角，则根据等腰三角形的性质可得另外一个底角也为36°，则顶角为：180°-36°-36°=108°.
故答案为：36°或108°.
【分析】分36°为底角和顶角两种情况进行讨论即可求解.
15．（2024八上·交城期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝9，则线段CE长为 .
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
作BM⊥AM于M，
∵ AB＝BC，∠ABC＝120° ，
∴AM=BM，∠A=∠ACB=30°，
∴AB=2BM，∠ECD=120°-30°=90°，
∴∠BME=∠DCE=90°，
∵AB=2CD，
∴BM=CD，
在△BME与△DCE中：
∴△BME≌△DCE(AAS).
∴ME=CE=MC，
∴AE=3CE=9.
∴CE=3.
故答案为：3.
【分析】作BM⊥AM于M，根据等腰三角形的性质和30°直角三角形性质得到BM=CD，∠BME=∠DCE=90°，再证明△BME≌△DCE，得到CE与AE的关系即可.
16．（2024八上·昆明期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为 ．
【答案】18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作B点关于MN的对称点刚好为A点，连接AC，则为PB+PC的最小值，此时P点与N点重合，即最小周长=BC+AC=8+10=18
故答案为：18.
【分析】此类题为将军饮马问题，作其中一个定点关于动点运动直线的对称点，再把对称点与另外一个动点连接，即可解出本题。
17．（2023八上·龙南期中）如图所示，在等腰中，为的中点，点在上，，若点是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 .
【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
分两种情况：
① 点P在线段HC上时，如图所示。
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
② 当点P在线段AH上时，如图所示。
同理可得，
∴，
∴，
故答案为： 或，
．
【分析】根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。连接AD，过D作，，分两种情况：点P在线段HC上或点P在线段AH上，利用HL证或，再利用全等三角形的对应角相等求解。
18．（2023八上·朝阳期中） 如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，则下面结论：①PE=2AE；②D为PQ的中点；③CQ=2AE；④CQ+2CD=2；其中正确的结论有： ．
【答案】②③④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示
①PE=2AE；
△ABC是等边三角形
PE⊥AC
故①不正确
②D为PQ的中点；
过点P作PFBC交AC于F
在三角形PFD和三角形QCD中
故②正确
③CQ=2AE；
由上一问知，PE⊥AC
(三线合一)
故③正确
④CQ+2CD=2；
如图所示
由②的全等证明可知CD=FD，CQ=FP=AF
故④正确
综上，
故填：②③④
【分析】根据等边三角形的性质，三边相等三个内角都是60°及三线合一的性质，由三角形全等得到等边等条件，逐一判定线段之间的数量关系。
三、作图题
19．（2023八上·船营期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）和直线l．
（1）在直线l上找一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
（2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形△A2B2C2；
（3）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是
（A）对应点连线互相平行．
（B）对应点连线被直线l垂直平分．
（C）对应点连线被直线l平分或与直线l重合．
【答案】（1）
（2）
（3）（3）
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：点P到AB，BC的距离相等，则点P在∠ABC的平分线上，过点B作BP⊥l于P，则P为所求；
（2）如图所示： △A1B1C1 与 △ABC 关于直线l对称，运用平移规律，得出 △A2B2C2 ；
（3）点C与点C2在直线l上，点A和点A2在4×4网格对角格点上，点B和点B2在4×8网格对角格点上，则A与A2的连线被直线l平分，点B与点B2的连线被直线l平分。
【分析】本题考查网格作图、角平分线的性质、图形的平移、轴对称变换等知识。（1）根据要求，点P到AB、BC的距离相等，则点P在∠ABC的角平分线上，AB与BC均在4×2的网格对角线上，则∠ABC的角平分线是过点B垂直于l的网格线，与l交于点P；（2） 画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1 ，运用轴对称的性质，找出各点的对应点即可；运用平移的性质，找出平移后的各点对应点；（3） 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，得出结论。
四、解答题
20．（2023八上·花垣期中） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
21．（2023八上·南宁期中） 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得∠B=∠C；
（2）根据等腰三角形的判定和等腰三角形三线重合的性质，即可求证.’
22．（2023八上·临江期中）如图，在△ABC中，AB=AC， BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，且DM= AC，E为BC延长线上一点，且CE= BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：△DBE是等腰三角形。
【答案】（1）解：∵ AB=AC，AM平分∠BAC，
∴，
∴ME=MC+CE=6.
（2）证明：如图所示：过点D作DN⊥BC，
∵ AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵ D为AC的中点，且DM= AC，DN⊥BC，
∴MN=NC，
∵BM=CE，
∴BN=NE，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
∴BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再计算求解即可；
（2）先求出AM⊥BC，再求出点D在线段BE的垂直平分线上，最后证明等腰三角形即可。
23．（2024八上·昆明期中）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长
【答案】（1）证明：∵∠BAC = 90°，
∠C = 30°，
∴∠ABC = 60° ，
∵BF 平分∠ ABC，
∴∠ABF = ∠CBF = 30° ，
∴BF = CF
∵AD ⊥ BC ，
∴∠ADB = 90° ，
∴∠AEF = ∠BED = 90° - ∠CBF = 60° ，
∵∠AFB = 90° - ∠ABF = 60°，
∴∠AFE = ∠AEF = 60° ，
∴△AEF 是等边三角形 ．
（2）解：∵∠ADB = 90°，∠ABC = 60° ，
∴∠BAE = ∠ABF = 30° ，
∴ AE = BE ，
由（1）知△AEF 是等边三角形，
∴ AE = EF = 2 ，
∴BE = EF = 2 ，
∴BF = 2EF = 4 ，
由（1）知，CF = BF = 4 ．
【知识点】等边三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠BAC=90°，∠C=30°可求出∠ABC=60°，再根据BF平分∠ABC，AD⊥BC可求出∠EAF=∠AEF=60°，即可证明△AEF为等边三角形。
（2）根据∠ABC=60°，BF平分∠ABC，可得∠EBA=∠BAE=30°，EF=AE=AF=BE=2，即BF=4，∠C=∠FBC=30°，即可得CF=BF=4.
24．（2024八上·浏阳期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ▲ ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°-2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝ [180°-（60°-2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE-∠ACB＝60°+α-60°＝α．
（2）解：结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF-AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①根据轴对称性质可得AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AB=AC，进而得到AE=AC；
②首先根据轴对称性质得出∠BAF＝∠EAF＝α，根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=60°，从而得出∠EAC=60°-2α，由①知AE=AC，从而得出∠ACE=∠AEC=60°+α，故而得出∠BCF＝∠ACE-∠AC＝α；
（2）如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，由（1）②知∠BAF＝∠BCF＝α，故而得出∠ABC＝∠AFC＝60°，从而可判定△CFG是等边三角形，故而GF＝FC，然后再根据SAS证得△ACG≌△BCF，由全等三角形性质得出AG=BF，又根据对称性可知EF=BF，故而AG=EF，即可得出AF=GF+AG=EF+CF.
25．（2023八上·怀仁期中）图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【答案】（1）证明：∵是正三角形，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，是正三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
∴，
同理可得
∴，
∴，，
∴cm，
∵△ABC是正三角形，
∴，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴cm．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，进而结合题意得到，再结合等边三角形的判定即可求解；
（2）根据等边三角形的性质得到，，再根据三角形全等判定与性质证明，进而同理可得，，再根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
26．（2023八上·衡阳期中）如图（1），在和中，D为边上一点，平分．
图（1） 图（2）
（1）求证：；
（2）如图（2），若，连接交于为边上一点，满足，连接交于．
①求的度数；
②若平分，试说明：平分．
【答案】（1）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：①解：在△BCF和△DCG中，，
∴△BCF≌△DCG（SAS）；
∴∠CBF＝∠CDG，
在△BCF和△DHF中，∵∠BFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACB＝60°；
②证明：如图（2）所示：
由（1）得：△ABC≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ECM＝60°，
∵EB平分∠DEC，
∴∠DEC＝2∠1，
∵∠ECM＝∠2+∠1＝60°，∠DCM＝∠A+∠ABC＝120°，
∴∠A+∠ABC＝2（∠2+∠1）＝2∠2+2∠1＝2∠2+∠A，
∴∠ABC＝2∠2，
∴BE平分∠ABC．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先运用角平分线的性质得到∠ACB＝∠ECD，进而根据三角形全等的判定（SAS）即可求解；
（2）①先根据三角形全等的判定与性质即可得到∠CBF＝∠CDG，进而结合题意即可得到∠DHF＝∠ACB＝60°；
②先根据三角形全等的性质得到∠DEC＝∠A，进而结合题意得到∠ECM＝60°，再根据角平分线的性质得到∠DEC＝2∠1，从而结合题意运用角平分线的判定即可求解。
1 / 1苏科版数学八年级上册第二章测试卷
一、选择题
1．（2024八上·三台期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·衡山期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．（2021八上·大化期中）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
4．（2021八上·绵阳期中）如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（ ）
A．19° B．20° C．24° D．25°
5．（2020八上·郯城期末）如图， 是等边三角形， ，则 的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八上·丰南期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．（2023八上·江夏期中）如图，在中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④若，，则，其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八上·香洲月考）如图中，，平分，，，则的面积是 .
10．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝ ．
11．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
12．（2024八上·浙江期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
13．（2021八上·盐池期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
14．（2023八上·期中）等腰三角形有一个角是36°，则它的顶角度数是 ．
15．（2024八上·交城期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝9，则线段CE长为 .
16．（2024八上·昆明期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为 ．
17．（2023八上·龙南期中）如图所示，在等腰中，为的中点，点在上，，若点是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 .
18．（2023八上·朝阳期中） 如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，则下面结论：①PE=2AE；②D为PQ的中点；③CQ=2AE；④CQ+2CD=2；其中正确的结论有： ．
三、作图题
19．（2023八上·船营期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）和直线l．
（1）在直线l上找一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
（2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形△A2B2C2；
（3）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是
（A）对应点连线互相平行．
（B）对应点连线被直线l垂直平分．
（C）对应点连线被直线l平分或与直线l重合．
四、解答题
20．（2023八上·花垣期中） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
21．（2023八上·南宁期中） 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
22．（2023八上·临江期中）如图，在△ABC中，AB=AC， BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，且DM= AC，E为BC延长线上一点，且CE= BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：△DBE是等腰三角形。
23．（2024八上·昆明期中）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长
24．（2024八上·浏阳期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ▲ ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
25．（2023八上·怀仁期中）图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
26．（2023八上·衡阳期中）如图（1），在和中，D为边上一点，平分．
图（1） 图（2）
（1）求证：；
（2）如图（2），若，连接交于为边上一点，满足，连接交于．
①求的度数；
②若平分，试说明：平分．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得为轴对称图形，
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
故答案为：D.
【分析】利用三角形三线合一的性质分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
∴这个公园应建的位置是的三边垂直平分线的交点上，
故答案为：B．
【分析】根据”线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”进行解答即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴
∴
∴
∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质得到∠B=∠EDB，结合三角形外角性质得∠AED=2∠B；根据折叠的性质得出∠C=2∠B，∠EAD=60°，∠ADE=∠ADC；根据邻补角的性质得到∠ADC=90°-∠B，然后在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理列一元一次方程求解，即可求出结果.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】 是等边三角形，
，
又 ，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形三边相等，结合已知BC=BD，易证 、 都是等腰三角形，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得 的度数.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】AD平分∠BAC，DE⊥AB ， DF⊥AC ，
DE=DF，
故①正确，符合题意；
∠BAC=60°， AD平分∠BAC，
DE⊥AB ， DF⊥AC ，
，
故 ② 正确，符合题意；
由题意可得
设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，
∠E=∠BMD=90°，
∠EBM=120°，
∠ABC=60°，
由于不知道∠ABC是否为60°，
不能判定DM平分∠EDF，故③ 错误，不符合题意；
连接BD、DC，如图，
DM垂直平分BC，
BD=CB，
DE=FD，
BE=FC，
AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又AE=AF，BE=FC，
AB+AC=2AE，
故④ 正确，符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质可判断①正确，符合题意；由题意结合已知条件可得从而得到，可判断② 正确，符合题意；设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，可得∠ABC=60°，但由于条件不足可判断③ 错误，不符合题意；利用HL证明可得BE=FC，从而判断④ 正确，符合题意；
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，先根据等边三角形的性质得到=，进而结合三角形全等的判定与性质证明 (AAS) 即可得到AE=CF，PE=QF，同理可证 ，进而得到AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，从而即可求解。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC为的外角平分线，，，
∴
∵D在的垂直平分线上，
∴则①正确；
在EA上截取，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴则④正确；
∵
∴
∴
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，则②正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共四个.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质和垂直平分线的性质得DE=DF，∠F=∠AED，AD=BD，再利用"HL"判断出Rt△ADE≌Rt△BDF，即可判断①；利用三角形外角的性质和全等三角形的性质即可得到∠DCF=∠ABD据此即可判断②；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可判断③；在EA上截取EM=EC，再利用"AAS"证明△AMD≌△ACD进而即可判断④.
9．【答案】14
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C=90°，AM平分∠BAC，
∴MD=MC=4，
∴△ABM的面积．
故答案为：14.
【分析】过点M作MD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得MC=MD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
10．【答案】3cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【分析】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
11．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
12．【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥OB，如图，
∵
∴OP平分∠AOB，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：3.
【分析】过点P作PN⊥OB，进而逆用角平分线的性质得到OP平分∠AOB，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到进而即可求解.
13．【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当4为腰时，三边长为4、4、8，而4+4=8，此时无法构成三角形
当4为底边时，三边长为4、8、8，此时可以构成三角形
则这个等腰三角形的周长为4+8+8=20.
故答案为：20.
【分析】分4为腰、4为底边，利用三角形的三边关系以及等腰三角形的性质判断是否能构成三角形，进而求出周长.
14．【答案】36°或108°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形有一个角是36° ，则可以分两种情况进行讨论：
（1）顶角就为36°；
（2）36°为底角，则根据等腰三角形的性质可得另外一个底角也为36°，则顶角为：180°-36°-36°=108°.
故答案为：36°或108°.
【分析】分36°为底角和顶角两种情况进行讨论即可求解.
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
作BM⊥AM于M，
∵ AB＝BC，∠ABC＝120° ，
∴AM=BM，∠A=∠ACB=30°，
∴AB=2BM，∠ECD=120°-30°=90°，
∴∠BME=∠DCE=90°，
∵AB=2CD，
∴BM=CD，
在△BME与△DCE中：
∴△BME≌△DCE(AAS).
∴ME=CE=MC，
∴AE=3CE=9.
∴CE=3.
故答案为：3.
【分析】作BM⊥AM于M，根据等腰三角形的性质和30°直角三角形性质得到BM=CD，∠BME=∠DCE=90°，再证明△BME≌△DCE，得到CE与AE的关系即可.
16．【答案】18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作B点关于MN的对称点刚好为A点，连接AC，则为PB+PC的最小值，此时P点与N点重合，即最小周长=BC+AC=8+10=18
故答案为：18.
【分析】此类题为将军饮马问题，作其中一个定点关于动点运动直线的对称点，再把对称点与另外一个动点连接，即可解出本题。
17．【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
分两种情况：
① 点P在线段HC上时，如图所示。
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
② 当点P在线段AH上时，如图所示。
同理可得，
∴，
∴，
故答案为： 或，
．
【分析】根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。连接AD，过D作，，分两种情况：点P在线段HC上或点P在线段AH上，利用HL证或，再利用全等三角形的对应角相等求解。
18．【答案】②③④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示
①PE=2AE；
△ABC是等边三角形
PE⊥AC
故①不正确
②D为PQ的中点；
过点P作PFBC交AC于F
在三角形PFD和三角形QCD中
故②正确
③CQ=2AE；
由上一问知，PE⊥AC
(三线合一)
故③正确
④CQ+2CD=2；
如图所示
由②的全等证明可知CD=FD，CQ=FP=AF
故④正确
综上，
故填：②③④
【分析】根据等边三角形的性质，三边相等三个内角都是60°及三线合一的性质，由三角形全等得到等边等条件，逐一判定线段之间的数量关系。
19．【答案】（1）
（2）
（3）（3）
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：点P到AB，BC的距离相等，则点P在∠ABC的平分线上，过点B作BP⊥l于P，则P为所求；
（2）如图所示： △A1B1C1 与 △ABC 关于直线l对称，运用平移规律，得出 △A2B2C2 ；
（3）点C与点C2在直线l上，点A和点A2在4×4网格对角格点上，点B和点B2在4×8网格对角格点上，则A与A2的连线被直线l平分，点B与点B2的连线被直线l平分。
【分析】本题考查网格作图、角平分线的性质、图形的平移、轴对称变换等知识。（1）根据要求，点P到AB、BC的距离相等，则点P在∠ABC的角平分线上，AB与BC均在4×2的网格对角线上，则∠ABC的角平分线是过点B垂直于l的网格线，与l交于点P；（2） 画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1 ，运用轴对称的性质，找出各点的对应点即可；运用平移的性质，找出平移后的各点对应点；（3） 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，得出结论。
20．【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
21．【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得∠B=∠C；
（2）根据等腰三角形的判定和等腰三角形三线重合的性质，即可求证.’
22．【答案】（1）解：∵ AB=AC，AM平分∠BAC，
∴，
∴ME=MC+CE=6.
（2）证明：如图所示：过点D作DN⊥BC，
∵ AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵ D为AC的中点，且DM= AC，DN⊥BC，
∴MN=NC，
∵BM=CE，
∴BN=NE，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
∴BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再计算求解即可；
（2）先求出AM⊥BC，再求出点D在线段BE的垂直平分线上，最后证明等腰三角形即可。
23．【答案】（1）证明：∵∠BAC = 90°，
∠C = 30°，
∴∠ABC = 60° ，
∵BF 平分∠ ABC，
∴∠ABF = ∠CBF = 30° ，
∴BF = CF
∵AD ⊥ BC ，
∴∠ADB = 90° ，
∴∠AEF = ∠BED = 90° - ∠CBF = 60° ，
∵∠AFB = 90° - ∠ABF = 60°，
∴∠AFE = ∠AEF = 60° ，
∴△AEF 是等边三角形 ．
（2）解：∵∠ADB = 90°，∠ABC = 60° ，
∴∠BAE = ∠ABF = 30° ，
∴ AE = BE ，
由（1）知△AEF 是等边三角形，
∴ AE = EF = 2 ，
∴BE = EF = 2 ，
∴BF = 2EF = 4 ，
由（1）知，CF = BF = 4 ．
【知识点】等边三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠BAC=90°，∠C=30°可求出∠ABC=60°，再根据BF平分∠ABC，AD⊥BC可求出∠EAF=∠AEF=60°，即可证明△AEF为等边三角形。
（2）根据∠ABC=60°，BF平分∠ABC，可得∠EBA=∠BAE=30°，EF=AE=AF=BE=2，即BF=4，∠C=∠FBC=30°，即可得CF=BF=4.
24．【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°-2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝ [180°-（60°-2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE-∠ACB＝60°+α-60°＝α．
（2）解：结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF-AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①根据轴对称性质可得AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AB=AC，进而得到AE=AC；
②首先根据轴对称性质得出∠BAF＝∠EAF＝α，根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=60°，从而得出∠EAC=60°-2α，由①知AE=AC，从而得出∠ACE=∠AEC=60°+α，故而得出∠BCF＝∠ACE-∠AC＝α；
（2）如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，由（1）②知∠BAF＝∠BCF＝α，故而得出∠ABC＝∠AFC＝60°，从而可判定△CFG是等边三角形，故而GF＝FC，然后再根据SAS证得△ACG≌△BCF，由全等三角形性质得出AG=BF，又根据对称性可知EF=BF，故而AG=EF，即可得出AF=GF+AG=EF+CF.
25．【答案】（1）证明：∵是正三角形，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，是正三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
∴，
同理可得
∴，
∴，，
∴cm，
∵△ABC是正三角形，
∴，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴cm．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，进而结合题意得到，再结合等边三角形的判定即可求解；
（2）根据等边三角形的性质得到，，再根据三角形全等判定与性质证明，进而同理可得，，再根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
26．【答案】（1）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：①解：在△BCF和△DCG中，，
∴△BCF≌△DCG（SAS）；
∴∠CBF＝∠CDG，
在△BCF和△DHF中，∵∠BFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACB＝60°；
②证明：如图（2）所示：
由（1）得：△ABC≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ECM＝60°，
∵EB平分∠DEC，
∴∠DEC＝2∠1，
∵∠ECM＝∠2+∠1＝60°，∠DCM＝∠A+∠ABC＝120°，
∴∠A+∠ABC＝2（∠2+∠1）＝2∠2+2∠1＝2∠2+∠A，
∴∠ABC＝2∠2，
∴BE平分∠ABC．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先运用角平分线的性质得到∠ACB＝∠ECD，进而根据三角形全等的判定（SAS）即可求解；
（2）①先根据三角形全等的判定与性质即可得到∠CBF＝∠CDG，进而结合题意即可得到∠DHF＝∠ACB＝60°；
②先根据三角形全等的性质得到∠DEC＝∠A，进而结合题意得到∠ECM＝60°，再根据角平分线的性质得到∠DEC＝2∠1，从而结合题意运用角平分线的判定即可求解。
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