苏科版数学八年级上册第三章测试卷
一、选择题
1．（2020八上·本溪期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
2．（2023八上·新昌期中）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（ ）
A．7 B． C．6 D．
3．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A．26 B．18 C．20 D．21
4．（2019八上·福田期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
5．（2021八上·银川期末）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
6．（2021八上·惠民月考）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（2020八上·惠安期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（ ）．
A．4 B．6 C．2 D．2
8．（2021八上·河西期末）如图，在中，，AD，CE是的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．AC B．BC C．AD D．CE
二、填空题
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.1《探索勾股定理》同步训练）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
10．（2021八上·潍坊月考）如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
11．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
12．（2024八上·成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
13．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米.
14．（2020八上·郑州月考）如图，Rt△ABC的面积为20cm2，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 .
15．（2018八上·佳木斯期中）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．
16．（2024八上·肃州期末）如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm．
三、解答题
17．（2021八上·三水期中）如图，折叠矩形的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 的长
18．（2024八上·长春期中）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，∠EDC=90°，DC=3，CE=5，BD=7，AB=8，AE=1，求四边形ABDE的面积．
19．（2023八上·都昌期中）阅读下列解题过程：
已知a、b、c为的三边长，且满足，试判断的形状.
解：因为， ①
所以. ②
所以. ③
所以是直角三角形. ④
回答下列问题：
（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？该步的序号为 ；
（2）错误的原因为 ；
（3）请你将正确的解答过程写下来.
四、综合题
20．（2020八上·长清期中）如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上（墙与地面垂直），这时梯子下端 与墙角 距离为7米．
（1）求梯子顶端 与地面的距离 的长；
（2）若梯子的顶端 下滑到 ，使 ，求梯子的下端 滑动的距离 的长．
21．（2016八上·江东期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
22．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
23．（2022八上·大丰期中）在四边形中，和有公共顶点O，且.
（1）如图1，O是边上的一点.若.求证：.
（2）如图1，O是边上的一点.若，连接，交点为E，求的度数.
（3）如图2，B、O、C三点不在一条线上，且，满足，求的面积.
24．（2022八上·杭州期中）在中，，是射线上的一点，过点分别作于点，于点．
（1）如图1，若是边上的中点，求证：．
（2）过点作于点．
①如图2，若是边上的任意一点，求证：；
②若点是射线上一点，，，，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=BC-BD=8-x，
在Rt△ACD中，AC=6，
∴AC2+CD2=AD2，
即62+（8-x）2=x2，
解得：x=
∴BD=．
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，在Rt△ACD中，根据勾股定理可列关于x的方程，解方程即可求解．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理， ，故选C．
【分析】运用勾股定理进行计算．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（ ）2+（ ）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可：三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝10m，
故小鸟至少飞行10m.
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：D．
【分析】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，从而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，从而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AD与BC的延长线交于点G，过点E作 于F，
易得 是等腰直角三角形，
∴
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC， ，
∴EF=EC，，
∴
设
则 ， ，
∵AD⊥BE，
∴ ，
∵在△ABD和△GBD中，
∴△ABD≌△GBD（ASA）
∴DG=AD=2，
∴AG=4，
∵在直角△ACG中，ACG=90°， ，AG=4， ，
∴
∴
∴ =4.
故答案为：A.
【分析】过点E作 于F，设 ，运用等腰直角三角形将其它各未知线段用 表示；延长AD与BC的延长线交于点G，依据ASA判定△ABD≌△GBD，依据全等的性质求得DG=AD=2， ，继而得到AG=4， ；接着在直角△ACG中，运用勾股定理列出关于的方程，解出代入到 中即可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：D．
【分析】接PC，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即得AD垂直平分BC，可得PB=PC，即得PB+PE=PC+PE，由三角形三边关系可知P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.
9．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
10．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=6，与EF垂直平分AB，得到点A、B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论。
11．【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
12．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，如图，
由题意可得BC=12米，AC=12-7=5米，
由勾股定理可得(米)，
故答案为：13.
【分析】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，可得BC=12米，AC=12-7=5米，利用勾股定理即可求解.
13．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
14．【答案】20cm2
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分的面积= π（ AC）2+ π（ BC）2+S△ABC﹣ π（ AB）2，
= （AC2+BC2﹣AB2）+S△ABC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴阴影部分的面积=S△ABC=20cm2.
故答案为20cm2.
【分析】观察图形，可得阴影部分的面积等于以AC、CB为直径的两个半圆的面积加上△ABC的面积再减去以AB为直径的半圆的面积，列式并整理，再用勾股定理即可求解．
15．【答案】50
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．
故答案为：50
【分析】由题意可知，AB是直角三角形ABC的斜边，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即AC2+BC2=25，所以AB2+AC2+BC2=50.
16．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
17．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= (cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC= ，则DE= ，EF= ，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC= ，则DE= ，EF= ，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。
18．【答案】解：在Rt△DEC中， ∠EDC=90°，DC=3，CE=5，
∴DE=，
在△ABC中，AB=8，BC=BD+CD=7+3=10，AC=AE+CE=5+1=6，
∴，，，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△DEC中根据勾股定理可以求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可以证得△ABC是直角三角形，利用，即可求解.
19．【答案】（1）③
（2）忽略了的可能
（3）解：因为，
所以.
所以或.故或.
所以是等腰三角形或直角三角形.
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（1） ③ ；
（2）除数可能为0；
【分析】（1）（2）利用等式的性质及可能为0分析求解即可；
（3）根据等式的性质及勾股定理化简，再分类讨论求解即可.
20．【答案】（1）解：在 中， 米， 米，
故 米，
（2）解：在 中， 米， 米，
故 米，
故 米．
答：梯子的下端 滑动的距离 的长为8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长；
（2）利用勾股定理得出DC的长进而得出答案。
21．【答案】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= = =2 （cm）
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8﹣t，
解得：t= ；
即出发时间为 秒时，△PQB是等腰三角形
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= = =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
22．【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
23．【答案】（1）证明∶如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解：如图，连接，交于点Q，
∵，
∴，，，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴
.
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠4=∠2，则∠4=∠3，据此证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OA=OC，OB=OD，∠BOA=∠COD=50°，由角的和差关系可得∠AOC=∠DOB=130°，结合等腰三角形的性质可得∠ACO、∠DBO的度数，然后根据外角的性质进行求解即可；
（3）连接AC、BD，交于点Q，由全等三角形的性质可得∠COD=∠AOB=90°，OA=OC，OB=OD，AB=CD，结合等腰三角形的性质以及角的和差关系可得∠OAC=∠OCA=∠OBD=∠ODB，进而推出∠DQC=90°，由勾股定理可得AD2=AQ2+DQ2，BC2=BQ2+CQ2，则AD2+BC2=AB2+CD2=2AB2，据此可得AB的值，然后求出AO、BO的值，再利用三角形的面积公式进行计算即可.
24．【答案】（1）证明：如图1中，连接 ．
， ，
平分 ，
， ，
；
（2）解：①证明：如图2，连接 ．
则 的面积 的面积 的面积，
即 ，
，
；
②如图3，连接 ，过点 作 于点 ．
的面积 的面积 的面积，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF；
（2）①连接AD，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 +△ACD的面积， 结合三角形的面积计算公式即可得出结论；②连接AD，过点A作AH⊥BC于点H，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 -△ACD的面积，结合三角形的面积计算公式即可得出DE-DF=BG，根据等腰三角形的三线合一得BH=CH=3，利用勾股定理算出AH，再利用等面积法算出BG，最后根据ED=DF+BG即可算出答案.
1 / 1苏科版数学八年级上册第三章测试卷
一、选择题
1．（2020八上·本溪期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
2．（2023八上·新昌期中）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=BC-BD=8-x，
在Rt△ACD中，AC=6，
∴AC2+CD2=AD2，
即62+（8-x）2=x2，
解得：x=
∴BD=．
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，在Rt△ACD中，根据勾股定理可列关于x的方程，解方程即可求解．
3．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A．26 B．18 C．20 D．21
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理， ，故选C．
【分析】运用勾股定理进行计算．
4．（2019八上·福田期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（ ）2+（ ）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可：三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形
5．（2021八上·银川期末）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝10m，
故小鸟至少飞行10m.
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
6．（2021八上·惠民月考）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：D．
【分析】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，从而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，从而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.
7．（2020八上·惠安期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（ ）．
A．4 B．6 C．2 D．2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AD与BC的延长线交于点G，过点E作 于F，
易得 是等腰直角三角形，
∴
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC， ，
∴EF=EC，，
∴
设
则 ， ，
∵AD⊥BE，
∴ ，
∵在△ABD和△GBD中，
∴△ABD≌△GBD（ASA）
∴DG=AD=2，
∴AG=4，
∵在直角△ACG中，ACG=90°， ，AG=4， ，
∴
∴
∴ =4.
故答案为：A.
【分析】过点E作 于F，设 ，运用等腰直角三角形将其它各未知线段用 表示；延长AD与BC的延长线交于点G，依据ASA判定△ABD≌△GBD，依据全等的性质求得DG=AD=2， ，继而得到AG=4， ；接着在直角△ACG中，运用勾股定理列出关于的方程，解出代入到 中即可.
8．（2021八上·河西期末）如图，在中，，AD，CE是的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．AC B．BC C．AD D．CE
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：D．
【分析】接PC，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即得AD垂直平分BC，可得PB=PC，即得PB+PE=PC+PE，由三角形三边关系可知P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.
二、填空题
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.1《探索勾股定理》同步训练）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
10．（2021八上·潍坊月考）如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=6，与EF垂直平分AB，得到点A、B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论。
11．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
12．（2024八上·成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，如图，
由题意可得BC=12米，AC=12-7=5米，
由勾股定理可得(米)，
故答案为：13.
【分析】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，可得BC=12米，AC=12-7=5米，利用勾股定理即可求解.
13．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米.
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
14．（2020八上·郑州月考）如图，Rt△ABC的面积为20cm2，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 .
【答案】20cm2
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分的面积= π（ AC）2+ π（ BC）2+S△ABC﹣ π（ AB）2，
= （AC2+BC2﹣AB2）+S△ABC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴阴影部分的面积=S△ABC=20cm2.
故答案为20cm2.
【分析】观察图形，可得阴影部分的面积等于以AC、CB为直径的两个半圆的面积加上△ABC的面积再减去以AB为直径的半圆的面积，列式并整理，再用勾股定理即可求解．
15．（2018八上·佳木斯期中）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．
【答案】50
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．
故答案为：50
【分析】由题意可知，AB是直角三角形ABC的斜边，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即AC2+BC2=25，所以AB2+AC2+BC2=50.
16．（2024八上·肃州期末）如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm．
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
三、解答题
17．（2021八上·三水期中）如图，折叠矩形的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 的长
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= (cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC= ，则DE= ，EF= ，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC= ，则DE= ，EF= ，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。
18．（2024八上·长春期中）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，∠EDC=90°，DC=3，CE=5，BD=7，AB=8，AE=1，求四边形ABDE的面积．
【答案】解：在Rt△DEC中， ∠EDC=90°，DC=3，CE=5，
∴DE=，
在△ABC中，AB=8，BC=BD+CD=7+3=10，AC=AE+CE=5+1=6，
∴，，，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△DEC中根据勾股定理可以求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可以证得△ABC是直角三角形，利用，即可求解.
19．（2023八上·都昌期中）阅读下列解题过程：
已知a、b、c为的三边长，且满足，试判断的形状.
解：因为， ①
所以. ②
所以. ③
所以是直角三角形. ④
回答下列问题：
（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？该步的序号为 ；
（2）错误的原因为 ；
（3）请你将正确的解答过程写下来.
【答案】（1）③
（2）忽略了的可能
（3）解：因为，
所以.
所以或.故或.
所以是等腰三角形或直角三角形.
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（1） ③ ；
（2）除数可能为0；
【分析】（1）（2）利用等式的性质及可能为0分析求解即可；
（3）根据等式的性质及勾股定理化简，再分类讨论求解即可.
四、综合题
20．（2020八上·长清期中）如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上（墙与地面垂直），这时梯子下端 与墙角 距离为7米．
（1）求梯子顶端 与地面的距离 的长；
（2）若梯子的顶端 下滑到 ，使 ，求梯子的下端 滑动的距离 的长．
【答案】（1）解：在 中， 米， 米，
故 米，
（2）解：在 中， 米， 米，
故 米，
故 米．
答：梯子的下端 滑动的距离 的长为8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长；
（2）利用勾股定理得出DC的长进而得出答案。
21．（2016八上·江东期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= = =2 （cm）
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8﹣t，
解得：t= ；
即出发时间为 秒时，△PQB是等腰三角形
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= = =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
22．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
23．（2022八上·大丰期中）在四边形中，和有公共顶点O，且.
（1）如图1，O是边上的一点.若.求证：.
（2）如图1，O是边上的一点.若，连接，交点为E，求的度数.
（3）如图2，B、O、C三点不在一条线上，且，满足，求的面积.
【答案】（1）证明∶如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解：如图，连接，交于点Q，
∵，
∴，，，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴
.
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠4=∠2，则∠4=∠3，据此证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OA=OC，OB=OD，∠BOA=∠COD=50°，由角的和差关系可得∠AOC=∠DOB=130°，结合等腰三角形的性质可得∠ACO、∠DBO的度数，然后根据外角的性质进行求解即可；
（3）连接AC、BD，交于点Q，由全等三角形的性质可得∠COD=∠AOB=90°，OA=OC，OB=OD，AB=CD，结合等腰三角形的性质以及角的和差关系可得∠OAC=∠OCA=∠OBD=∠ODB，进而推出∠DQC=90°，由勾股定理可得AD2=AQ2+DQ2，BC2=BQ2+CQ2，则AD2+BC2=AB2+CD2=2AB2，据此可得AB的值，然后求出AO、BO的值，再利用三角形的面积公式进行计算即可.
24．（2022八上·杭州期中）在中，，是射线上的一点，过点分别作于点，于点．
（1）如图1，若是边上的中点，求证：．
（2）过点作于点．
①如图2，若是边上的任意一点，求证：；
②若点是射线上一点，，，，求的长度．
【答案】（1）证明：如图1中，连接 ．
， ，
平分 ，
， ，
；
（2）解：①证明：如图2，连接 ．
则 的面积 的面积 的面积，
即 ，
，
；
②如图3，连接 ，过点 作 于点 ．
的面积 的面积 的面积，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF；
（2）①连接AD，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 +△ACD的面积， 结合三角形的面积计算公式即可得出结论；②连接AD，过点A作AH⊥BC于点H，根据△ABC的面积 =△ABD的面积 -△ACD的面积，结合三角形的面积计算公式即可得出DE-DF=BG，根据等腰三角形的三线合一得BH=CH=3，利用勾股定理算出AH，再利用等面积法算出BG，最后根据ED=DF+BG即可算出答案.
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