苏科版数学八年级上册第六章测试卷
一、选择题
1．（2021八上·海州期末）一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，
∴该直线经过第一、三象限．
又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，
∴该直线与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
【分析】根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．
2．（2024八上·江北期末）一次函数y=ax+b与y=abx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
3．（2024八上·富县期末）已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下：
… …
… …
则下列说法正确的是（ ）
A．函数值随着的增大而增大
B．函数图象不经过第四象限
C．不等式的解集为
D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
4．（2024八上·鄞州期末）如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
5．（2015八上·南山期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t= 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得 ，解得 ，
∴y乙=100t﹣100，
令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，
当100﹣40t=50时，可解得t= ，
当100﹣40t=﹣50时，可解得t= ，
又当t= 时，y甲=50，此时乙还没出发，
当t= 时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当t的值为 或 或 或t= 时，两车相距50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个，
故选B．
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
6．（2021八上·河南期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线上，y随着x的增大而减小
又∵
∴
故答案为：A.
【分析】由于中k＜0，可知y随着x的增大而减小，据此解答即可.
7．（2024八上·沙坪坝期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
8．（2020八上·余杭期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，则关于 的不等式组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
解得
∵直线 与直线 交于点
∴
∵
∴
解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为：-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时，
∴
∴
∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知， 的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标，后画出函数图象，根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
二、填空题
9．（2023八上·江北期末）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为 .
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为a，则B（，a），C（+a，a），然后将点C的坐标代入y=kx中进行计算可得k的值.
10．（2021八上·宝应期末）已知关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，则一次函数 和 的图象交点坐标为 .
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵已知关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，
∴一次函数 和 的图象交点坐标为 .
故答案为： .
【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两一次函数的交点坐标是两函数解析式所组成的方程组的解可直接得到答案.
11．（2024八上·成都期末）如图，已知直线：和直线：相交于点，且，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；一次函数与不等式（组）的关系；勾股定理
12．（2024八上·海曙期末） 一次函数的图象不经过第 象限．
【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=2x-6，k=2＞0，
∴图象必经过第一、三象限，
∵b=-6＜0，
∴图象必经过第三、四象限，
∴图象经过第一、三、四象限，
∴不经过第二象限.
故答案为：二.
【分析】利用直线y=kx+b（k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图像必过第一二象限，当b＜0时，图像必过第三四象限，据此可得到已知一次函数所经过的象限，由此可得答案.
13．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 .
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，根据等腰直角三角形的判定和性质可得AB=AD，证明出∠EAD=∠OBA，根据AAS判定△AOB≌△DEA推出 DE=AO，AE=BO，从而得到D点坐标，根据待定系数法，即可求得.
14．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
15．（2024八上·姑苏期末）如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
16．（2023八上·宁波期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：令y=-x+2中的x=0得y=2，令y=0得x=2，
∴A（0，2），B（2，0），
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C（1，1），
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∴P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN上，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，
∴
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴
∴CP'＝OB BH 1＝2-（）-1=.
故答案为：.
【分析】分别令y=-x+2中的x=0与y=0算出对应的对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，可得△OAB是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得点C的坐标，由于P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，故P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN上，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，进而算出NB，在Rt△HBN中根据勾股定理算出BH，即可解决问题.
17．（2021八上·南京期末）已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】正比例函数的图象和性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴＝k，
检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意；
②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，
∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
18．（2021八上·嘉兴期末）若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经过第四象限，则 4a+b的取值范围为 .
【答案】3<4a+b<6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴3=2a+b，即2a=3-b，b=3-2a，
∴4a+b=4a+3-2a=2a+3，
又∵图象不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0
∴2a+3＞3，3-2a≥0
∴3＜4a+b≤6
故答案为：3<4a+b<6.
【分析】由 y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)得：2a=3-b，b=3-2a，再将4a+b变形为2a+3；由图象不经过第四象限得：a＞0，b≥0，列出关于2a的一元一次不等式2a+3＞3，3-2a≥0即可求出4a+b的范围.
三、解答题
19．（2024八上·灵武期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）的值是2或6
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
20．（2024八上·婺城期末）已知实数x，y满足．
（1）用含x的代数式表示y，则 ．
（2）若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l．
①求l关于x的函数表达式；
②求l的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【知识点】函数解析式；三角形三边关系；等腰三角形的概念
21．（沪科版八年级数学上册期中考试试卷）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件） 购进所需费用（元）
A B
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【答案】（1）解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）解：设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，
根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
∵在w=10m+10000中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000，
∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可知，A种商品的总价与B种商品的总价等于购进所需的费用，由等量关系可列出二元一次方程组，解出方程组即可求得A种商品与B种商品的进价；
（2）由题意可知，设购进B种商品m件，则A种商品为1000-m件，则利润W=(30-20)(1000-m)+(100-80)m，整理得W=10000+10m，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，求出m的取值范围，当m取最大值时，W最大。
22．（2021八上·铁西月考）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）A，B两城相距 千米；
（2）当1≤t≤4时，求乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式；
（3）乙车出发后 小时追上甲车．
【答案】（1）300
（2）解：设乙对应的函数解析式为y=mx+n，
，
解得，
即乙对应的函数解析式为y=100x-100(1≤t≤4)；
（3）1.5
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知，
A、B两城相距300千米；
故答案为：300；
（3）设甲对应的函数解析式为：y=kx，
300=5k，
解得，k=60，
即甲对应的函数解析式为：y=60x，
令60x=100x-100，解得x=2.5，
2. 5-1=1.5（小时），
即乙车出发后1.5小时追上甲车；
故答案为：1.5．
【分析】（1）观察图象的纵坐标可知，A、B两城相距300千米；
（2） 设乙对应的函数解析式为y=mx+n， 将（1，0）（4，300）代入可得关于m、n的方程组，解之即可；（3）利用待定系数法求出甲对应的函数解析式，求出图象中两直线交点的横坐标即可.
23．（2024八上·新昌期末）已知一次函数，它的图象经过，两点．
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）当时，求函数值y的取值范围．
【答案】（1）解：把点，分别代入得：
解得
∴y与x之间的函数关系式为：
（2）解：当时，；当时，．
∵，y随x的增大而增大
∴当时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）求出端点处函数值，求出根据函数的增减性，即可得到函数值的取值范围.
24．（2024八上·宁波期末）已知关于的一次函数．当时，；当时，．
（1）求的值；
（2）若是该函数图象上的两点，求证：．
【答案】（1）解：由题意得
解得
（2）解：把分别代入得
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把两组对应的x，y代入解二元一次方程组，求得k，b
（2）把代入函数解析式，再相减即可证明
四、综合题
25．（2024八上·上城期末）一次函数恒过定点．
（1）若一次函数还经过点，求的表达式；
（2）若有另一个一次函数．
①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：；
②设函数，当时，函数有最大值6，求的值．
【答案】（1）解：一次函数经过点和点，
，，解得：，，
的表达式为：；
（2）解：①证明：一次函数恒过定点，
，
，
的表达式为：，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
点在一次函数的图象上，
，
，
即，
，
；
②解：由①得，，
，
，
，
有以下两种情况：
（ⅰ）当时，
对于，随的增大而减小，
又，
当时，为最大，
，
解得：
（ⅱ）当时，
对于，随的增大而增大，
又，
当时，为最大，
，
解得：，
综上所述：当时，函数有最大值6，的值为或1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）①将点(1，0)代入y1=ax+b可得b=-a，从而得到y1=ax-a，将A、B两点的坐标分别代入两函数解析式可得p=ma-a，p=-na+a，将两等式联立求解即可得出m+n=2；
②先求出y=y1-y2=2ax-2a，然后当时，当时两种情况分别讨论，结合一次函数图形的性质，求解即可.
26．（2024八上·长春期末）如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，当点P不与点A重合时，连结AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连结PQ，设与长方形ABCD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为.
（1）当点Q与点D重合时，求t的值；
（2）当点P与点B重合时，求DQ的长；
（3）当点C在外部时，求S与t之间的函数关系式；
（4）若长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，直接写出t的取值范围及这个轴对称图形的最长边的长.
【答案】（1）解：
（2）解：2
（3）解：
（4），四边形的最长边10.
【知识点】分段函数；矩形的性质；等腰梯形的性质；轴对称图形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：
(1) 当点Q与点D重合时 。AQ=AD=BC=4，AP=AQ=4，
t=4÷2=2
故答案为：2
(2) 当点P与点B重合时， AP=AB=6，AQ=AP=6，
∴DQ=AQ-AD=6-4=2
故答案为：2
(3) 点C在外部时， 有3种情形：
情形1，P在线段AB上，Q在线段AD上，即0情形2：P在线段AB上，Q在线段AD的延长线上，即2情形3，P在线段AB的延长上，Q在线段AD的延长线上，即3设PQ与CD交于点E，与BC相交于F，则
综上，
(4) 长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形， 那么这个对称图形是等腰梯形，如图所示。此时P在线段AB上，Q在线段AD的延长线上，即2∵拼成的图形是轴对称，∴BP=DE，
∴6-2t=2t-4，解得，t=2.5
∴AP=5，
∴等腰梯形的最长边为5+5=10。
【分析】
(1)当点Q与点D重合时 。AP=AQ=AD=BC=4，再除以运动速度可计算出时间。
(2) 当点P与点B重合时， AQ=AP=AB=6，再减去AD可得DQ的长。
(3)点C在外部时， 有3种情形，需要分别进行求解，注意每种情形中t的范围。
(4)长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，而PQ≠AB，所以不能拼成菱形，所以这个对称图形只能是等腰梯形，根据BP=DE可求出t，然后再求出最长边的长。
1 / 1苏科版数学八年级上册第六章测试卷
一、选择题
1．（2021八上·海州期末）一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024八上·江北期末）一次函数y=ax+b与y=abx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是( )
A． B．
C． D．
3．（2024八上·富县期末）已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下：
… …
… …
则下列说法正确的是（ ）
A．函数值随着的增大而增大
B．函数图象不经过第四象限
C．不等式的解集为
D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为
4．（2024八上·鄞州期末）如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2015八上·南山期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t= 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021八上·河南期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
7．（2024八上·沙坪坝期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020八上·余杭期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，则关于 的不等式组 的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·江北期末）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为 .
10．（2021八上·宝应期末）已知关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，则一次函数 和 的图象交点坐标为 .
11．（2024八上·成都期末）如图，已知直线：和直线：相交于点，且，当时，的取值范围是 ．
12．（2024八上·海曙期末） 一次函数的图象不经过第 象限．
13．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 .
14．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为 ．
15．（2024八上·姑苏期末）如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．
16．（2023八上·宁波期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
17．（2021八上·南京期末）已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是 .
18．（2021八上·嘉兴期末）若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经过第四象限，则 4a+b的取值范围为 .
三、解答题
19．（2024八上·灵武期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求的值．
20．（2024八上·婺城期末）已知实数x，y满足．
（1）用含x的代数式表示y，则 ．
（2）若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l．
①求l关于x的函数表达式；
②求l的取值范围．
21．（沪科版八年级数学上册期中考试试卷）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件） 购进所需费用（元）
A B
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
22．（2021八上·铁西月考）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）A，B两城相距 千米；
（2）当1≤t≤4时，求乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式；
（3）乙车出发后 小时追上甲车．
23．（2024八上·新昌期末）已知一次函数，它的图象经过，两点．
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）当时，求函数值y的取值范围．
24．（2024八上·宁波期末）已知关于的一次函数．当时，；当时，．
（1）求的值；
（2）若是该函数图象上的两点，求证：．
四、综合题
25．（2024八上·上城期末）一次函数恒过定点．
（1）若一次函数还经过点，求的表达式；
（2）若有另一个一次函数．
①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：；
②设函数，当时，函数有最大值6，求的值．
26．（2024八上·长春期末）如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，当点P不与点A重合时，连结AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连结PQ，设与长方形ABCD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为.
（1）当点Q与点D重合时，求t的值；
（2）当点P与点B重合时，求DQ的长；
（3）当点C在外部时，求S与t之间的函数关系式；
（4）若长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，直接写出t的取值范围及这个轴对称图形的最长边的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，
∴该直线经过第一、三象限．
又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，
∴该直线与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
【分析】根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．
2．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
4．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
5．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得 ，解得 ，
∴y乙=100t﹣100，
令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，
当100﹣40t=50时，可解得t= ，
当100﹣40t=﹣50时，可解得t= ，
又当t= 时，y甲=50，此时乙还没出发，
当t= 时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当t的值为 或 或 或t= 时，两车相距50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个，
故选B．
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线上，y随着x的增大而减小
又∵
∴
故答案为：A.
【分析】由于中k＜0，可知y随着x的增大而减小，据此解答即可.
7．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
解得
∵直线 与直线 交于点
∴
∵
∴
解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为：-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时，
∴
∴
∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知， 的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标，后画出函数图象，根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
9．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为a，则B（，a），C（+a，a），然后将点C的坐标代入y=kx中进行计算可得k的值.
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵已知关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，
∴一次函数 和 的图象交点坐标为 .
故答案为： .
【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两一次函数的交点坐标是两函数解析式所组成的方程组的解可直接得到答案.
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；一次函数与不等式（组）的关系；勾股定理
12．【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=2x-6，k=2＞0，
∴图象必经过第一、三象限，
∵b=-6＜0，
∴图象必经过第三、四象限，
∴图象经过第一、三、四象限，
∴不经过第二象限.
故答案为：二.
【分析】利用直线y=kx+b（k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图像必过第一二象限，当b＜0时，图像必过第三四象限，据此可得到已知一次函数所经过的象限，由此可得答案.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，根据等腰直角三角形的判定和性质可得AB=AD，证明出∠EAD=∠OBA，根据AAS判定△AOB≌△DEA推出 DE=AO，AE=BO，从而得到D点坐标，根据待定系数法，即可求得.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
16．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：令y=-x+2中的x=0得y=2，令y=0得x=2，
∴A（0，2），B（2，0），
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C（1，1），
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∴P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN上，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，
∴
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴
∴CP'＝OB BH 1＝2-（）-1=.
故答案为：.
【分析】分别令y=-x+2中的x=0与y=0算出对应的对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，可得△OAB是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得点C的坐标，由于P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，故P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN上，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，进而算出NB，在Rt△HBN中根据勾股定理算出BH，即可解决问题.
17．【答案】或
【知识点】正比例函数的图象和性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴＝k，
检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意；
②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，
∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
18．【答案】3<4a+b<6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴3=2a+b，即2a=3-b，b=3-2a，
∴4a+b=4a+3-2a=2a+3，
又∵图象不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0
∴2a+3＞3，3-2a≥0
∴3＜4a+b≤6
故答案为：3<4a+b<6.
【分析】由 y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)得：2a=3-b，b=3-2a，再将4a+b变形为2a+3；由图象不经过第四象限得：a＞0，b≥0，列出关于2a的一元一次不等式2a+3＞3，3-2a≥0即可求出4a+b的范围.
19．【答案】（1）
（2）
（3）的值是2或6
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
20．【答案】（1）
（2）①；②
【知识点】函数解析式；三角形三边关系；等腰三角形的概念
21．【答案】（1）解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）解：设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，
根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
∵在w=10m+10000中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000，
∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可知，A种商品的总价与B种商品的总价等于购进所需的费用，由等量关系可列出二元一次方程组，解出方程组即可求得A种商品与B种商品的进价；
（2）由题意可知，设购进B种商品m件，则A种商品为1000-m件，则利润W=(30-20)(1000-m)+(100-80)m，整理得W=10000+10m，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，求出m的取值范围，当m取最大值时，W最大。
22．【答案】（1）300
（2）解：设乙对应的函数解析式为y=mx+n，
，
解得，
即乙对应的函数解析式为y=100x-100(1≤t≤4)；
（3）1.5
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知，
A、B两城相距300千米；
故答案为：300；
（3）设甲对应的函数解析式为：y=kx，
300=5k，
解得，k=60，
即甲对应的函数解析式为：y=60x，
令60x=100x-100，解得x=2.5，
2. 5-1=1.5（小时），
即乙车出发后1.5小时追上甲车；
故答案为：1.5．
【分析】（1）观察图象的纵坐标可知，A、B两城相距300千米；
（2） 设乙对应的函数解析式为y=mx+n， 将（1，0）（4，300）代入可得关于m、n的方程组，解之即可；（3）利用待定系数法求出甲对应的函数解析式，求出图象中两直线交点的横坐标即可.
23．【答案】（1）解：把点，分别代入得：
解得
∴y与x之间的函数关系式为：
（2）解：当时，；当时，．
∵，y随x的增大而增大
∴当时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）求出端点处函数值，求出根据函数的增减性，即可得到函数值的取值范围.
24．【答案】（1）解：由题意得
解得
（2）解：把分别代入得
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把两组对应的x，y代入解二元一次方程组，求得k，b
（2）把代入函数解析式，再相减即可证明
25．【答案】（1）解：一次函数经过点和点，
，，解得：，，
的表达式为：；
（2）解：①证明：一次函数恒过定点，
，
，
的表达式为：，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
点在一次函数的图象上，
，
，
即，
，
；
②解：由①得，，
，
，
，
有以下两种情况：
（ⅰ）当时，
对于，随的增大而减小，
又，
当时，为最大，
，
解得：
（ⅱ）当时，
对于，随的增大而增大，
又，
当时，为最大，
，
解得：，
综上所述：当时，函数有最大值6，的值为或1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）①将点(1，0)代入y1=ax+b可得b=-a，从而得到y1=ax-a，将A、B两点的坐标分别代入两函数解析式可得p=ma-a，p=-na+a，将两等式联立求解即可得出m+n=2；
②先求出y=y1-y2=2ax-2a，然后当时，当时两种情况分别讨论，结合一次函数图形的性质，求解即可.
26．【答案】（1）解：
（2）解：2
（3）解：
（4），四边形的最长边10.
【知识点】分段函数；矩形的性质；等腰梯形的性质；轴对称图形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：
(1) 当点Q与点D重合时 。AQ=AD=BC=4，AP=AQ=4，
t=4÷2=2
故答案为：2
(2) 当点P与点B重合时， AP=AB=6，AQ=AP=6，
∴DQ=AQ-AD=6-4=2
故答案为：2
(3) 点C在外部时， 有3种情形：
情形1，P在线段AB上，Q在线段AD上，即0情形2：P在线段AB上，Q在线段AD的延长线上，即2情形3，P在线段AB的延长上，Q在线段AD的延长线上，即3设PQ与CD交于点E，与BC相交于F，则
综上，
(4) 长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形， 那么这个对称图形是等腰梯形，如图所示。此时P在线段AB上，Q在线段AD的延长线上，即2∵拼成的图形是轴对称，∴BP=DE，
∴6-2t=2t-4，解得，t=2.5
∴AP=5，
∴等腰梯形的最长边为5+5=10。
【分析】
(1)当点Q与点D重合时 。AP=AQ=AD=BC=4，再除以运动速度可计算出时间。
(2) 当点P与点B重合时， AQ=AP=AB=6，再减去AD可得DQ的长。
(3)点C在外部时， 有3种情形，需要分别进行求解，注意每种情形中t的范围。
(4)长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，而PQ≠AB，所以不能拼成菱形，所以这个对称图形只能是等腰梯形，根据BP=DE可求出t，然后再求出最长边的长。
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