沪科版数学九年级上册二次函数与反比例函数综合素养检测
一、选择题
1．（2024九下·包头月考）如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）．
A．50 B．25 C．15 D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质
2．（2024八下·义乌月考）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（ ）
A．15 B．12 C．10 D．18
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
3．（2020九下·扎鲁特旗月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=图象在第一三象限，
只有C选项图象符合．
故选C．
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
二、填空题
4．（2024九下·徐汇月考）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第二象限的图象经过点，且，则的值是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的概念
5．（2024八下·商水期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
6．（2024八下·德化月考）如图，M为双曲线（）上的一点，分别交直线于点D、C两点．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
三、解答题
7．（2024八下·攀枝花期中）如图，一次函数（，b为常数，）与反比例函数（常数，，）的图象交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象说明，当取何值时，；
（3）连接，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
8．（2024九下·伊春模拟）如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，直接写出点 P 的坐标.
【答案】（1）；
（2）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
9．（2024九下·秦淮期中）某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：
（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；
（2）设第x天每件电子产品的成本是Р元，P与x之间的关系可用下图中的函数图象来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
【答案】（1）第20天；（2）第19天时，利润最大，最大值为15210元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
10．（2024九上·贵州期中）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集为________．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
11．（2024九上·昆明开学考）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3．∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，解得．
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标：
∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1．
∴A（1，0），B（﹣3，0）．
∴AB=4．
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，∴AB |n|=10，解得：n=±5．
当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【 分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质.
（1）将点A，C的坐标代入二次函数的y=x2+bx+c解析式中，可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可求出二次函数的解析式；
（2）令y=0，可列出方程，解方程可求出A和B的坐标，据此可求出AB，设P（m，n），利用三角形的面积公式可列出方程AB |n|=10，解解方程可求出n的值，再将n的值代入函数解析式可求出m的值，据此可求出点P的坐标.
12．（2024九上·贵州期中）如图，已知抛物线与直线的一个交点在轴上、另一交点为点，直线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出时的取值范围；
（3）点是抛物线上之间的一点，连接，当面积最小时，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
13．（2024九下·丰城期中） 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
【答案】（1）解：∵矩形，米，米，
∴米，米，
∴，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）解：由题意，当时：，
解得：，
当时，，
∴．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)求出抛物线的顶点，设抛物线的顶点式，再将(0，7)代入即可求出抛物线解析式；
(2)临界高度为8m，令y=8，求出对应x的值，即可求出m的取值范围.
14．（2024九下·乐平期中） 陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？
【答案】（1）解：∵在矩形中，米，米，
∴米，米，
∴，，，
∴抛物线的对称轴是直线，
又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米，
∴，
设抛物线的解析式是：，
将点C代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设这个正方形窗户 的边长为米，
即，
∴点G的纵坐标是：(米)，
由抛物线和正方形的对称性可知：，
∴(米)，
∴点G的横坐标是：(米)，
∴，
将点G代入抛物线解析式得：，
解得：(舍去)
∴这个正方形窗户的边长为1米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据已知条件信息转化为坐标点信息，合理利用顶点式简化计算量求出抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线及正方形的几何图形的对称性，设元表示点坐标，找出等量关系代入抛物线解析式中计算目标边长即可.
15．（2024九上·绥阳期末）在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】二次函数的定义；二次函数的最值
16．（2024九下·杭州期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点．
（1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值．
（3）已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）当时，；当时，
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
17．（2024九下·东台模拟）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
18．（2024九下·江宁期中）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点E在线段的延长线上．
（1）当点D在线段上时，
①设的长为x米，请用含x的代数式表示的长；
②若要求所围成的小型农场的面积为12平方米，求DF的长；
（2）当点D在线段延长线上，为多少时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）①米；②4米
（2）小型农场的宽为3米时，小型农场的面积最大，最大面积为平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
19．（2024九下·青岛模拟）如图，抛物线与直线相交于两点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）把拋物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
（3）的最大值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
1 / 1沪科版数学九年级上册二次函数与反比例函数综合素养检测
一、选择题
1．（2024九下·包头月考）如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）．
A．50 B．25 C．15 D．
2．（2024八下·义乌月考）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（ ）
A．15 B．12 C．10 D．18
3．（2020九下·扎鲁特旗月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2024九下·徐汇月考）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第二象限的图象经过点，且，则的值是 ．
5．（2024八下·商水期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则 ．
6．（2024八下·德化月考）如图，M为双曲线（）上的一点，分别交直线于点D、C两点．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，则的值为 ．
三、解答题
7．（2024八下·攀枝花期中）如图，一次函数（，b为常数，）与反比例函数（常数，，）的图象交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象说明，当取何值时，；
（3）连接，，求的面积．
8．（2024九下·伊春模拟）如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，直接写出点 P 的坐标.
9．（2024九下·秦淮期中）某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：
（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；
（2）设第x天每件电子产品的成本是Р元，P与x之间的关系可用下图中的函数图象来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
10．（2024九上·贵州期中）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集为________．
11．（2024九上·昆明开学考）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
12．（2024九上·贵州期中）如图，已知抛物线与直线的一个交点在轴上、另一交点为点，直线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出时的取值范围；
（3）点是抛物线上之间的一点，连接，当面积最小时，求点的坐标．
13．（2024九下·丰城期中） 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
14．（2024九下·乐平期中） 陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？
15．（2024九上·绥阳期末）在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
16．（2024九下·杭州期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点．
（1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值．
（3）已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值．
17．（2024九下·东台模拟）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024九下·江宁期中）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点E在线段的延长线上．
（1）当点D在线段上时，
①设的长为x米，请用含x的代数式表示的长；
②若要求所围成的小型农场的面积为12平方米，求DF的长；
（2）当点D在线段延长线上，为多少时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
19．（2024九下·青岛模拟）如图，抛物线与直线相交于两点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）把拋物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质
2．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=图象在第一三象限，
只有C选项图象符合．
故选C．
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
4．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的概念
5．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
6．【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
7．【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
8．【答案】（1）；
（2）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
9．【答案】（1）第20天；（2）第19天时，利润最大，最大值为15210元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
10．【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
11．【答案】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3．∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，解得．
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标：
∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1．
∴A（1，0），B（﹣3，0）．
∴AB=4．
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，∴AB |n|=10，解得：n=±5．
当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【 分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质.
（1）将点A，C的坐标代入二次函数的y=x2+bx+c解析式中，可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可求出二次函数的解析式；
（2）令y=0，可列出方程，解方程可求出A和B的坐标，据此可求出AB，设P（m，n），利用三角形的面积公式可列出方程AB |n|=10，解解方程可求出n的值，再将n的值代入函数解析式可求出m的值，据此可求出点P的坐标.
12．【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
13．【答案】（1）解：∵矩形，米，米，
∴米，米，
∴，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）解：由题意，当时：，
解得：，
当时，，
∴．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)求出抛物线的顶点，设抛物线的顶点式，再将(0，7)代入即可求出抛物线解析式；
(2)临界高度为8m，令y=8，求出对应x的值，即可求出m的取值范围.
14．【答案】（1）解：∵在矩形中，米，米，
∴米，米，
∴，，，
∴抛物线的对称轴是直线，
又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米，
∴，
设抛物线的解析式是：，
将点C代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设这个正方形窗户 的边长为米，
即，
∴点G的纵坐标是：(米)，
由抛物线和正方形的对称性可知：，
∴(米)，
∴点G的横坐标是：(米)，
∴，
将点G代入抛物线解析式得：，
解得：(舍去)
∴这个正方形窗户的边长为1米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据已知条件信息转化为坐标点信息，合理利用顶点式简化计算量求出抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线及正方形的几何图形的对称性，设元表示点坐标，找出等量关系代入抛物线解析式中计算目标边长即可.
15．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】二次函数的定义；二次函数的最值
16．【答案】（1）；
（2）当时，；当时，
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
17．【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
18．【答案】（1）①米；②4米
（2）小型农场的宽为3米时，小型农场的面积最大，最大面积为平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
19．【答案】（1），
（2）
（3）的最大值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
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