人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.1轴对称（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2017八上·东台期末）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
2．（广东省深圳市福田区耀华实验学校2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE＝4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ △ACD的周长为18
∴AD+DC+AC＝18
∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4
∴AB＝2AE＝8，AD＝BD
∴BD+CD+AC=18
∴BC+AC=18
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝8+18＝26
故选：D．
【分析】
先根据 △ACD的周长为18 ，可以得出：AD+DC+AC＝18，再根据 DE是AB的垂直平分线 得出AB＝2AE＝8，AD＝BD，从而得出：BC+AC=18，而△ABC的周长为AB+AC+BC，代入数值，即可求出 △ABC的周长 ．
3．（2023八上·九龙坡期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形
D．到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A、三角形的三条高不一定都在三角形内，例如直角三角形的高在边上，故该选项不正确，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故该选项不正确，不符合题意；
C、三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，故该选项正确，符合题意；
D、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的高，外角的性质，中线的性质以及角平分线的性质逐项分析判断，即可求解．
4．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BD，CD
∵DG是BC的垂直平分线
∴BD=CD
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE=CF
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE=AF
∵BE=CF
∴AB-BE=AC+CF
∴6-BE=4+BE
解得：BE=1
故答案为：A
【分析】连接BD，CD，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），则BE=CF，AE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．（2024八上·衡山期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，
在△ABC中，∠BAC=105°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，
∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=75°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°，
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可得∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，再利用三角形内角和求出∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，最后利用角的运算和等量代换可得∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°.
6．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
7．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB=EA，GB=GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG=16，
∴EA+GC+EG=16，
∴GA+EG+EG+EG+EC=16，
∴AC+2EG=16，
∵EG=1，
∴AC=14.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得EB=EA，GB=GC，结合周长的概念可得AC+2EG=16，然后根据EG的值就可求出AC.
8．（2023八上·呼和浩特月考）如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．以上恒成立的结论有（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
二、填空题（每题3分）
9．（2024八上·顺庆期末）已知点与点关于轴对称，则 ．
【答案】
【知识点】轴对称的性质
10．（2015八上·丰都期末）如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC=18cm，BC=16cm，则△BCE的周长为 cm．
【答案】34
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=18cm，BC=16cm，
∴△BCE的周长是BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=34cm，
故答案为34．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AE=BE，求出三角形BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
11．（2024八上·广水期末）如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为 ．
【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 点关于，的对称点分别是，，
∴PC=P1C，PD=P2D，
∴的周长为PC+PD+CD=P1C+P2D+CD=P1P2=6cm.
故答案为：6cm.
【分析】由对称性可得PC=P1C，PD=P2D，根据的周长为PC+PD+CD=P1C+P2D+CD=P1P2即可求解.
12．（2024八上·三台期末）如图，△ABC的外角的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥BA于点D，PE⊥AC于点E，若AD=2，AC=8，则AB= 。
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据全等三角形的判定方法可证，，进而可得，，结合线段关系加以计算即可求解。
13．（2024八上·江油期末）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
三、解答题
14．（2023八上·中江期中） 已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
在△BGD与△CFD中，，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）解：BE+CF＞EF．
连接EG，
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据BG∥AC，得出∠DBG=∠DCF，再由D为BC中点，得到BD=CD，最后根据ASA证明△BGD≌△CFD，得出BG=CF。
（2）根据△BGD≌△CF得到GD＝FD，BG＝CF，再由垂直平分线到线段端点的距离相等得到EG＝EF，最后根据在△EBG中三边关系即可得到BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF。
15．（2022八上·徐汇期中）如图，在中，是的中点，，，于点，若，，求的长．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.1轴对称（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2017八上·东台期末）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
2．（广东省深圳市福田区耀华实验学校2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE＝4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
3．（2023八上·九龙坡期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形
D．到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
4．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八上·衡山期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．（2023八上·呼和浩特月考）如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．以上恒成立的结论有（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
二、填空题（每题3分）
9．（2024八上·顺庆期末）已知点与点关于轴对称，则 ．
10．（2015八上·丰都期末）如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC=18cm，BC=16cm，则△BCE的周长为 cm．
11．（2024八上·广水期末）如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为 ．
12．（2024八上·三台期末）如图，△ABC的外角的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥BA于点D，PE⊥AC于点E，若AD=2，AC=8，则AB= 。
13．（2024八上·江油期末）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
三、解答题
14．（2023八上·中江期中） 已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
15．（2022八上·徐汇期中）如图，在中，是的中点，，，于点，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ △ACD的周长为18
∴AD+DC+AC＝18
∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4
∴AB＝2AE＝8，AD＝BD
∴BD+CD+AC=18
∴BC+AC=18
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝8+18＝26
故选：D．
【分析】
先根据 △ACD的周长为18 ，可以得出：AD+DC+AC＝18，再根据 DE是AB的垂直平分线 得出AB＝2AE＝8，AD＝BD，从而得出：BC+AC=18，而△ABC的周长为AB+AC+BC，代入数值，即可求出 △ABC的周长 ．
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A、三角形的三条高不一定都在三角形内，例如直角三角形的高在边上，故该选项不正确，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故该选项不正确，不符合题意；
C、三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，故该选项正确，符合题意；
D、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的高，外角的性质，中线的性质以及角平分线的性质逐项分析判断，即可求解．
4．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BD，CD
∵DG是BC的垂直平分线
∴BD=CD
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE=CF
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE=AF
∵BE=CF
∴AB-BE=AC+CF
∴6-BE=4+BE
解得：BE=1
故答案为：A
【分析】连接BD，CD，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），则BE=CF，AE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，
在△ABC中，∠BAC=105°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，
∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=75°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°，
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可得∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，再利用三角形内角和求出∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，最后利用角的运算和等量代换可得∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB=EA，GB=GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG=16，
∴EA+GC+EG=16，
∴GA+EG+EG+EG+EC=16，
∴AC+2EG=16，
∵EG=1，
∴AC=14.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得EB=EA，GB=GC，结合周长的概念可得AC+2EG=16，然后根据EG的值就可求出AC.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
9．【答案】
【知识点】轴对称的性质
10．【答案】34
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=18cm，BC=16cm，
∴△BCE的周长是BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=34cm，
故答案为34．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AE=BE，求出三角形BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
11．【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 点关于，的对称点分别是，，
∴PC=P1C，PD=P2D，
∴的周长为PC+PD+CD=P1C+P2D+CD=P1P2=6cm.
故答案为：6cm.
【分析】由对称性可得PC=P1C，PD=P2D，根据的周长为PC+PD+CD=P1C+P2D+CD=P1P2即可求解.
12．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据全等三角形的判定方法可证，，进而可得，，结合线段关系加以计算即可求解。
13．【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
14．【答案】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
在△BGD与△CFD中，，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）解：BE+CF＞EF．
连接EG，
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据BG∥AC，得出∠DBG=∠DCF，再由D为BC中点，得到BD=CD，最后根据ASA证明△BGD≌△CFD，得出BG=CF。
（2）根据△BGD≌△CF得到GD＝FD，BG＝CF，再由垂直平分线到线段端点的距离相等得到EG＝EF，最后根据在△EBG中三边关系即可得到BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF。
15．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
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