人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.1轴对称（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
2．（2024八上·余姚期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：C、图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，∴是轴对称图形，C正确；
A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，A、B、D错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐一判断即可.
3．（2023八上·临海期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+∠DEA=∠BDA' + ∠A'DE ，
∴α + β = θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α-β，
∴α + β = θ +180°-α-β，
∴θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算每个选项中的角的关系即可。
4．（2019八上·霸州期中）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°，
故答案为：B.
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解.
5．（2020八上·绵阳期末）如图，在四边形 ABCD 中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=70°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=70°，
∴∠EAF=110°-70°=40°，
故答案为：B．
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠EAA′+∠A″AF=70°，即可得出答案．
6．（2020八上·林州月考）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称；③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称；⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称，共5个.
故答案为：A.
【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形.
7．（2023八上·徐闻期中）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
8．（2023八上·砀山月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴上，轴于点C，点A关于直线的对称点D恰好在上，点E与点O关于直线对称，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：作图连接OD，因为根据题意已知点A关于直线OB的对称点为D，所以AD⊥OB，OA=OD，∠AOB=∠DOB，所以AO⊥x轴，BC⊥x轴，所以AO∥BC，所以∠B=35°=∠AOB=∠DOB，所以∠BOC=90°-35°=55°，∠DOC=90°-35°-35°=20°，因为点E与点O关于直线对称，所以∠DOE=∠DEO=20°。
故答案为：D.
【分析】根据题意已知的条件可以证明出AO∥BC，∠B=35°=∠AOB=∠DOB，∠DOE=∠DEO，根据90°-∠AOB-BOD即可得出答案。
二、填空题（每题3分）
9．（2023八上·西安月考）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接.下列结论中正确的是 .（填序号）
①；②；③若，则；④.
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长EB至点G，使得BE=BG，假设AC与DE交于点M，如下图：
∵∠ABC=90°，BE=BG
∴AB垂直平分∠GAE
∴∠GAE=2∠BAE，AG=AE
∵
∴∠GAE=∠CAD
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠GAC=∠EAD；
∵AG=AE，∠GAC=∠EAD，AC=AD；
∴△AGC≌△AED（SAS）
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，②正确；
∵AB垂直平分∠GAE
∴∠G=∠AEG=∠AED
∴EA平分∠BDE
当∠BAE≠∠EAM时，∠AME≠90°；
∴无法证明AC⊥DE，①错误；
设∠BAE=a，则∠CAD=2a，∠ACD=∠ADC=90°-a；
∵CD∥AB
∴∠BAC=∠ACD=90°-a
∴∠CAE=90°-a-a=90°-2a
∴∠DAE=90°-2a+2a=90°
∴AE⊥AD，③正确；
∵△AGC≌△AED
∴CG=DE
∴CG=CE+GE=CE+2BE，④正确；
综上所述，正确的为②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据垂直平分线的判定和性质，可得∠GAE=2∠BAE，AG=AE；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，CG=DE；根据平行线的性质，可得∠BAC=∠ACD；根据交的和差性质，可得∠DAE=90°-2a+2a=90°.
10．（2023八上·张湾期中）如图，点P是∠AOB内一点，点P关于OA的对称点为C，点P关于OB的对称点为D，连结CD交OA、OB于点M和点N，连结PM、PN．若∠AOB＝70°，则∠MPN的大小为 度．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由对称的性质得：∠AOP=∠AOC，∠POB=∠DOB，
∵ ∠AOB=70°，
∴ ∠COD=2∠AOB=140°，
∴ ∠DCO+∠CDO=40°，
由对称的性质得：∠DCO=∠MPO，∠CDO=∠NPO，
∴ ∠MPO+∠NPO=40°，即∠MPN=∠MPO+∠NPO=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据对称的性质得∠DCO=∠MPO，∠CDO=∠NPO，∠AOP=∠AOC，∠POB=∠DOB，推出 ∠COD=2∠AOB=140°，再根据三角形的内角和定理得 ∠DCO+∠CDO=40°即可求得.
11．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
【答案】65
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
OD垂直平分AB，
AO=BO，
∠OAB=∠OBA.
AB=AC，∠BAC=50°，
∠ABC=∠ACB=65°.
OA平分∠BAC，
∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，
∠OBA=25°，
∠OBC=40°.
在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，
△ABO≌△ACO（SAS），
BO=CO，
∠OBC=∠OCB=40°.
△EOF与△ECF关于EF对称，
OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC，
∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°.
故答案为：65.
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。
12．（2023八上·深圳期末）如图，在中，点D是BC边的中点，E是AC边上一点，将沿DE折叠至，点C的对应点为，连接BE、，若，则的面积最大值为 ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过点作于H，
∵点是边的中点，，
∴，，
∵将沿折叠至，点的对应点为，
∴，，即
∴，
∴，
当，即点与点重合时，的面积最大，最大面积为
故答案为：3．
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的面积公式．过点作于，由轴对称性质可得，，利用三角形的面积运算可推出，结合图像分析可的面积最大时的条件，代入数据可求求出面积的最大值．
13．（2021八上·建华期末）如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 ，再求出，最后找出规律求解即可。
三、解答题
14．（2023八上·田家庵期中）如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）连接AP，求证：AP平分；
（3）设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）
【答案】（1）证明：如图，连接PB，PC．∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，∴，∴点P在线段BC的垂直平分线上．
（2）证明：由（1）知，，∴，∵PE垂直平分AB，∴，，
∴，，∴，
同理，∴，即AP平分．
（3）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，，
设，，∴，，
在中，，，
∴，即，
在四边形AEPM中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换可得，最后利用垂直平分线的判定方法可得点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等边对等角的性质可得，，再利用等量代换证出，即可证出AP平分；
（3）设，，∴，，利用三角形的内角和可得，即， 再利用四边形的内角和求出即可.
15．（2023八上·龙湖期末）在中，，直线l过点C．
（1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长；
（2）当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒．
①______；（用含t的代数式表示）
②当N在路径上时， ______；（用含的代数式表示）
③直接写出当与全等时的值．
【答案】（1）；
（2）①；②；③当与全等时，或5或．
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.1轴对称（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024八上·余姚期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·临海期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
4．（2019八上·霸州期中）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
5．（2020八上·绵阳期末）如图，在四边形 ABCD 中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
6．（2020八上·林州月考）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2023八上·徐闻期中）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2023八上·砀山月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴上，轴于点C，点A关于直线的对称点D恰好在上，点E与点O关于直线对称，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
9．（2023八上·西安月考）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接.下列结论中正确的是 .（填序号）
①；②；③若，则；④.
10．（2023八上·张湾期中）如图，点P是∠AOB内一点，点P关于OA的对称点为C，点P关于OB的对称点为D，连结CD交OA、OB于点M和点N，连结PM、PN．若∠AOB＝70°，则∠MPN的大小为 度．
11．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
12．（2023八上·深圳期末）如图，在中，点D是BC边的中点，E是AC边上一点，将沿DE折叠至，点C的对应点为，连接BE、，若，则的面积最大值为 ．
13．（2021八上·建华期末）如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为 ．
三、解答题
14．（2023八上·田家庵期中）如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）连接AP，求证：AP平分；
（3）设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）
15．（2023八上·龙湖期末）在中，，直线l过点C．
（1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长；
（2）当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒．
①______；（用含t的代数式表示）
②当N在路径上时， ______；（用含的代数式表示）
③直接写出当与全等时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：C、图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，∴是轴对称图形，C正确；
A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，A、B、D错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+∠DEA=∠BDA' + ∠A'DE ，
∴α + β = θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α-β，
∴α + β = θ +180°-α-β，
∴θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算每个选项中的角的关系即可。
4．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°，
故答案为：B.
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=70°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=70°，
∴∠EAF=110°-70°=40°，
故答案为：B．
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠EAA′+∠A″AF=70°，即可得出答案．
6．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称；③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称；⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称，共5个.
故答案为：A.
【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形.
7．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
8．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：作图连接OD，因为根据题意已知点A关于直线OB的对称点为D，所以AD⊥OB，OA=OD，∠AOB=∠DOB，所以AO⊥x轴，BC⊥x轴，所以AO∥BC，所以∠B=35°=∠AOB=∠DOB，所以∠BOC=90°-35°=55°，∠DOC=90°-35°-35°=20°，因为点E与点O关于直线对称，所以∠DOE=∠DEO=20°。
故答案为：D.
【分析】根据题意已知的条件可以证明出AO∥BC，∠B=35°=∠AOB=∠DOB，∠DOE=∠DEO，根据90°-∠AOB-BOD即可得出答案。
9．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长EB至点G，使得BE=BG，假设AC与DE交于点M，如下图：
∵∠ABC=90°，BE=BG
∴AB垂直平分∠GAE
∴∠GAE=2∠BAE，AG=AE
∵
∴∠GAE=∠CAD
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠GAC=∠EAD；
∵AG=AE，∠GAC=∠EAD，AC=AD；
∴△AGC≌△AED（SAS）
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，②正确；
∵AB垂直平分∠GAE
∴∠G=∠AEG=∠AED
∴EA平分∠BDE
当∠BAE≠∠EAM时，∠AME≠90°；
∴无法证明AC⊥DE，①错误；
设∠BAE=a，则∠CAD=2a，∠ACD=∠ADC=90°-a；
∵CD∥AB
∴∠BAC=∠ACD=90°-a
∴∠CAE=90°-a-a=90°-2a
∴∠DAE=90°-2a+2a=90°
∴AE⊥AD，③正确；
∵△AGC≌△AED
∴CG=DE
∴CG=CE+GE=CE+2BE，④正确；
综上所述，正确的为②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据垂直平分线的判定和性质，可得∠GAE=2∠BAE，AG=AE；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，CG=DE；根据平行线的性质，可得∠BAC=∠ACD；根据交的和差性质，可得∠DAE=90°-2a+2a=90°.
10．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由对称的性质得：∠AOP=∠AOC，∠POB=∠DOB，
∵ ∠AOB=70°，
∴ ∠COD=2∠AOB=140°，
∴ ∠DCO+∠CDO=40°，
由对称的性质得：∠DCO=∠MPO，∠CDO=∠NPO，
∴ ∠MPO+∠NPO=40°，即∠MPN=∠MPO+∠NPO=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据对称的性质得∠DCO=∠MPO，∠CDO=∠NPO，∠AOP=∠AOC，∠POB=∠DOB，推出 ∠COD=2∠AOB=140°，再根据三角形的内角和定理得 ∠DCO+∠CDO=40°即可求得.
11．【答案】65
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
OD垂直平分AB，
AO=BO，
∠OAB=∠OBA.
AB=AC，∠BAC=50°，
∠ABC=∠ACB=65°.
OA平分∠BAC，
∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，
∠OBA=25°，
∠OBC=40°.
在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，
△ABO≌△ACO（SAS），
BO=CO，
∠OBC=∠OCB=40°.
△EOF与△ECF关于EF对称，
OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC，
∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°.
故答案为：65.
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。
12．【答案】3
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过点作于H，
∵点是边的中点，，
∴，，
∵将沿折叠至，点的对应点为，
∴，，即
∴，
∴，
当，即点与点重合时，的面积最大，最大面积为
故答案为：3．
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的面积公式．过点作于，由轴对称性质可得，，利用三角形的面积运算可推出，结合图像分析可的面积最大时的条件，代入数据可求求出面积的最大值．
13．【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 ，再求出，最后找出规律求解即可。
14．【答案】（1）证明：如图，连接PB，PC．∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，∴，∴点P在线段BC的垂直平分线上．
（2）证明：由（1）知，，∴，∵PE垂直平分AB，∴，，
∴，，∴，
同理，∴，即AP平分．
（3）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，，
设，，∴，，
在中，，，
∴，即，
在四边形AEPM中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换可得，最后利用垂直平分线的判定方法可得点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等边对等角的性质可得，，再利用等量代换证出，即可证出AP平分；
（3）设，，∴，，利用三角形的内角和可得，即， 再利用四边形的内角和求出即可.
15．【答案】（1）；
（2）①；②；③当与全等时，或5或．
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
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