人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.2画轴对称图形（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2023八上·北京市期中）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2023八上·天津市期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（ ）条．
A．2 B．3 C．5 D．6
3．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册3.3《轴对称与坐标变化》同步训练）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）.B（1，﹣1）.C（﹣1，﹣1）.D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，则点P2011的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
4．（2023八上·千山期中）如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2023八上·长治期中）小莹和小博下棋，小莹执圆子，小博执方子．如图．棋盘中心方子的位置用表示．右下角方子的位置用表示，小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形则她放的位置是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·朝阳期中）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·沙坪坝月考）下列说法中正确的有（ ） 个
①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②点位于第三象限；③点到y轴的距离为m；④点和点关于x轴对称，则的值为5；⑤若，则点在第一、三象限角平分线上．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标练习题 (1)）已知点A（4，3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=﹣3对称，则平面内点B的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）
二、填空题（每题3分）
9．（2024八上·双城期末）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种．
10．（2024八上·钱塘期末）已知点，把点向上平移6个单位得到点．若点和关于轴对称，则的值为 ．
11．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为 .
12．（2021八上·杭州期末）平面直角坐标系中，已知点A(a，3)，点B(2，b)，若线段AB被x轴垂直平分，则 .
13．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.2 画轴对称图形 同步练习（2））已知P1点关于x轴的对称点P2(3－2a，2a－5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则P1点的坐标是
三、解答题
14．（2023八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
15．（2023八上·丰台期中）在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点（，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（3，4）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；
（2）当点在第三象限时，点（，1），N（3，），Q（，）中可以是点的二次反射点的是 ；
（3）若点A在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，求射线与轴所夹锐角的度数；
（4）若点A在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
2．【答案】C
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】如图，根据题意共画出5种位置的线段MN
故选：C
【分析】因为正方形是轴对称图形有四条对称轴，所有至少可以找到4种对称关系的线段，排除答案A、B；再观察线段AB，在正方形内部矩形内还可以画出1条对称线段，共5条。
3．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：根据题意可得：P1(2，0)，P2(0，-2)，P3(-2，0)，P4(0，2)，P5(2，0)……，以(2，0)，(0，-2)，(-2，0)和(0，2)这四个点坐标进行循环，则2011÷4=502···3，则p2011的坐标为(-2，0).
【分析】根据画图可以得到点的坐标是进行循环的，每四个点的坐标进行循环一次，根据规律求出点P2011的坐标.
4．【答案】B
【知识点】作图﹣轴对称
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；利用轴对称设计图案
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，
当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，
∵点在第一象限，，，，
∴，，
∴，
∵直线垂直平分，点是直线与轴的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当；
作，交过点且平行于轴的直线与，
当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，
∵，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点与轴交点坐标为（，），
由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，
∴的取值范围是，
故答案为：D
【分析】作出图形，分情况讨论：当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，根据三角形内角和定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，由直线垂直平分，点是直线与轴的交点，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，即；作，交过点且平行于轴的直线与，当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，根据直线平行性质及平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则点与轴交点坐标为（，），由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，即的取值范围是.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：设点B的横坐标为x，
∵点A（4，3）与点B关于直线x=﹣3对称，
∴ =﹣3，
解得x=﹣10，
∵点A、B关于直线x=﹣3对称，
∴点A、B的纵坐标相等，
∴点B（﹣10，3）．
故选D．
【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．
9．【答案】5
【知识点】利用轴对称设计图案
10．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
11．【答案】(-2，0)，(2，0)，(0，4)或(0，-4)
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解： 已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，
∴点B的坐标为(1，2)，
①P 在x轴上时，，解得OP=2，
∴点P的坐标为 (-2，0)或(2，0)；
②P 在y轴上时，，解得OP=4，
∴点P的坐标为 (0，4)或(0，-4)；
综上所述： 点P的坐标为 (-2，0)，(2，0)，(0，4)或(0，-4)
故答案为：(-2，0)，(2，0)，(0，4)或(0，-4).
【分析】根据关于x轴对称的点坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得点B的坐标为(1，2)，分类讨论：①P 在x轴上时，②P 在y轴上时，结合三角形面积公式，分别求解点P坐标，即可得解.
12．【答案】-1
【知识点】线段垂直平分线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 解： 线段AB被x轴垂直平分，
点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，
a=2，b=-3，
a+b=2+（-3）=-1.
故答案为：-1.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数”可求得a、b的值，再求和即可.
13．【答案】(－1，1)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：已知P2（3-2a，2a-5）是第三象限内的整点，则有
，
解得1.5＜a＜2.5．
又因为3-2a和2a-5都必须为整数，那么2a必须为整数，
又3＜2a＜5，因此2a=4，解得a=2；
代入可得到P2点的坐标是（-1，-1），
所以P1的坐标为（-1，1）．
故答案为：（-1，1）
【分析】根据第三象限内的点其横坐标和纵坐标都是负数得出不等式组，求解得出a的取值范围，再根据该点的横纵坐标都是整数，从而得出a的值，求出P2点的坐标，再根据关于x轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出P1的坐标。
14．【答案】（1）A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；（2）PP2=6．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
15．【答案】（1）（，4）；（4，）
（2）（，1）
（3）解：如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
【知识点】一次函数的图象；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
【分析】
（1）根据一次反射点，二次反射点的定义即可求出答案.
（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可求出答案.
（3）作图，判断出射线与轴的夹角，即可求出答案.
（4）利用图象法，结合等腰直角三角形的性质即可求出答案.
（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
（3）如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.2画轴对称图形（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2023八上·北京市期中）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
2．（2023八上·天津市期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（ ）条．
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】如图，根据题意共画出5种位置的线段MN
故选：C
【分析】因为正方形是轴对称图形有四条对称轴，所有至少可以找到4种对称关系的线段，排除答案A、B；再观察线段AB，在正方形内部矩形内还可以画出1条对称线段，共5条。
3．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册3.3《轴对称与坐标变化》同步训练）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）.B（1，﹣1）.C（﹣1，﹣1）.D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，则点P2011的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：根据题意可得：P1(2，0)，P2(0，-2)，P3(-2，0)，P4(0，2)，P5(2，0)……，以(2，0)，(0，-2)，(-2，0)和(0，2)这四个点坐标进行循环，则2011÷4=502···3，则p2011的坐标为(-2，0).
【分析】根据画图可以得到点的坐标是进行循环的，每四个点的坐标进行循环一次，根据规律求出点P2011的坐标.
4．（2023八上·千山期中）如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】作图﹣轴对称
5．（2023八上·长治期中）小莹和小博下棋，小莹执圆子，小博执方子．如图．棋盘中心方子的位置用表示．右下角方子的位置用表示，小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形则她放的位置是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；利用轴对称设计图案
6．（2023八上·朝阳期中）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，
当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，
∵点在第一象限，，，，
∴，，
∴，
∵直线垂直平分，点是直线与轴的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当；
作，交过点且平行于轴的直线与，
当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，
∵，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点与轴交点坐标为（，），
由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，
∴的取值范围是，
故答案为：D
【分析】作出图形，分情况讨论：当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，根据三角形内角和定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，由直线垂直平分，点是直线与轴的交点，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，即；作，交过点且平行于轴的直线与，当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，根据直线平行性质及平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则点与轴交点坐标为（，），由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，即的取值范围是.
7．（2023八上·沙坪坝月考）下列说法中正确的有（ ） 个
①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②点位于第三象限；③点到y轴的距离为m；④点和点关于x轴对称，则的值为5；⑤若，则点在第一、三象限角平分线上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
8．（初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标练习题 (1)）已知点A（4，3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=﹣3对称，则平面内点B的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：设点B的横坐标为x，
∵点A（4，3）与点B关于直线x=﹣3对称，
∴ =﹣3，
解得x=﹣10，
∵点A、B关于直线x=﹣3对称，
∴点A、B的纵坐标相等，
∴点B（﹣10，3）．
故选D．
【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．
二、填空题（每题3分）
9．（2024八上·双城期末）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种．
【答案】5
【知识点】利用轴对称设计图案
10．（2024八上·钱塘期末）已知点，把点向上平移6个单位得到点．若点和关于轴对称，则的值为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
11．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为 .
【答案】(-2，0)，(2，0)，(0，4)或(0，-4)
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解： 已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，
∴点B的坐标为(1，2)，
①P 在x轴上时，，解得OP=2，
∴点P的坐标为 (-2，0)或(2，0)；
②P 在y轴上时，，解得OP=4，
∴点P的坐标为 (0，4)或(0，-4)；
综上所述： 点P的坐标为 (-2，0)，(2，0)，(0，4)或(0，-4)
故答案为：(-2，0)，(2，0)，(0，4)或(0，-4).
【分析】根据关于x轴对称的点坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得点B的坐标为(1，2)，分类讨论：①P 在x轴上时，②P 在y轴上时，结合三角形面积公式，分别求解点P坐标，即可得解.
12．（2021八上·杭州期末）平面直角坐标系中，已知点A(a，3)，点B(2，b)，若线段AB被x轴垂直平分，则 .
【答案】-1
【知识点】线段垂直平分线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 解： 线段AB被x轴垂直平分，
点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，
a=2，b=-3，
a+b=2+（-3）=-1.
故答案为：-1.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数”可求得a、b的值，再求和即可.
13．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.2 画轴对称图形 同步练习（2））已知P1点关于x轴的对称点P2(3－2a，2a－5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则P1点的坐标是
【答案】(－1，1)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：已知P2（3-2a，2a-5）是第三象限内的整点，则有
，
解得1.5＜a＜2.5．
又因为3-2a和2a-5都必须为整数，那么2a必须为整数，
又3＜2a＜5，因此2a=4，解得a=2；
代入可得到P2点的坐标是（-1，-1），
所以P1的坐标为（-1，1）．
故答案为：（-1，1）
【分析】根据第三象限内的点其横坐标和纵坐标都是负数得出不等式组，求解得出a的取值范围，再根据该点的横纵坐标都是整数，从而得出a的值，求出P2点的坐标，再根据关于x轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出P1的坐标。
三、解答题
14．（2023八上·渠县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【答案】（1）A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；（2）PP2=6．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
15．（2023八上·丰台期中）在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点（，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（3，4）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；
（2）当点在第三象限时，点（，1），N（3，），Q（，）中可以是点的二次反射点的是 ；
（3）若点A在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，求射线与轴所夹锐角的度数；
（4）若点A在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．
【答案】（1）（，4）；（4，）
（2）（，1）
（3）解：如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
【知识点】一次函数的图象；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
【分析】
（1）根据一次反射点，二次反射点的定义即可求出答案.
（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可求出答案.
（3）作图，判断出射线与轴的夹角，即可求出答案.
（4）利用图象法，结合等腰直角三角形的性质即可求出答案.
（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
（3）如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
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