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第6课时 实 数
第二章 实 数
★实数： 和 统称为实数.
★ 与数轴上的点一一对应.
有理数
无理数
实数
例1 将下列各数填在相应括号内.
π， ，3.14，0. ， ，1－ ， ＋ .
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
正实数集合{ …}.
解：整数集合{ ， ＋ ，…}；
有理数集合{3.14，0. ， ， ＋ ，…}；
正实数集合{π， ，3.14，0. ，…}.
1. 把下列各数的序号填在相应的横线上：
①－ ；②2 ；③ ；④0.26；⑤ ；⑥0；⑦10.512；⑧｜
｜；⑨0.404004…（相邻两个4之间0的个数逐次加1）.
（1）有理数： ；
（2）无理数： ；
（3）正实数： ；
（4）负实数： .
①③④⑥⑦
②⑤⑧⑨
②④⑤⑦⑧⑨
①③
例2 在数轴上画出表示 的数.
【分析】由22＋32＝13，得 是以2、3为直角边的直角三角形的
斜边.
解：如图，点 A 表示的数是 .
2. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，则｜ a －2.5｜＝（ B ）
A. a －2.5 B. 2.5－ a
C. a ＋2.5 D. － a －2.5
B
3. 在数轴上，到原点距离为 个单位的点表示的数是 ± .
4. 的相反数是 ；π－4的绝对值是 .
5. 在数轴上画出表示数－ 的点.
解：如图，点 A 表示的数是－ .
±
4－π
例3 计算： ＋ －（ ）2－｜ ＋ ｜.
【分析】有理数的运算法则在实数中同样适用.
解：原式＝2＋3－7－｜ －4｜
＝ －6.
6. 化简：｜1－ ｜＋｜ － ｜＋｜ －2｜.
解：原式＝ －1＋ － ＋2－ ＝1.
7. 写出适合下列条件的数：
（1）大于－ 小于 的所有整数；
解：（1）∵－4＜－ ＜－3，2＜ ＜3，
∴大于－ 小于 的所有整数为：－3，－2，－1，0，1，2；
（2）大于－ 的所有负整数.
解： （2）∵－4＜－ ＜－3，
∴大于－ 的所有负整数为：－3，－2，－1.
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第3课时 平方根（2）
第二章 实 数
★平方根：如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，那么 叫
做 的平方根，记作： .特别地，0的平方根是 ，
记作： .
★一个正数有两个平方根，它们 ；0的平方根
为 ； 没有平方根.
★（ ）2＝ （ a ≥0）； ＝ .
x
a
x ＝±
0
± ＝0
互为相反数
0
负数
a
｜ a ｜
例1 求下列各数的平方根：
（1）144；（2） ；（3）（－5）2；（4）0.
解：（1）± ＝±12；
（2）± ＝± ；
（3）± ＝±5；
（4）± ＝0.
1. 下列式子中，正确的是（ B ）
A. ＝－5 B. － ＝－5
C. ＝±5 D. ＝±5
B
2. （1） 的平方根是 ± ；
（2）（－ ）2的算术平方根是 ；
（3）9－2的算术平方根是 ；
（4） 的值为 ， 的平方根为 ± ；
2. （5）（－4）2的平方根是 ，算术平方根是 .
±
2
±
±4
4
（1）81；
解：± ＝±9.
（2） ；
解：± ＝± .
（3）7； （4）（－16）2.
解：± .
（2） ；
解：± ＝±16.
3. 求下列各数的平方根：
例2 如果 ＝1－2 a ，那么 a 满足的条件
是 .
【分析】由 ＝｜ a ｜，再根据绝对值的性质即可求解.答案： a
≤ .
4. （1）若 ＋ x －3＝0，则 x 的取值范围是 ；
（2）若 a ＜1，化简： －1＝ .
5. （1）若2 x ＋1的平方根是±5，则 ＝ ；
（2）一个自然数的算术平方根为 a （ a ＞0），则与这个自然数相邻的
两个自然数的算术平方根为 .
x ≤3
－ a
7
，
例3 求下列各式中的 x 的值.
（1）9 x2＝36；（2）（3 x －1）2＝25.
解：（1）∵9 x2＝36，
∴ x2＝4，∴ x ＝± ＝±2；
（2）∵（3 x －1）2＝25，
∴3 x －1＝±5，∴ x ＝2或－ .
6. 求下列各式中的 x 的值.
（1）9 x2－25＝0；
解：（1）移项，两边都除以9，得 x2＝ ，
开方，得 x ＝± ；
（2）4（ x ＋1）2－81＝0.
解：（2）移项，两边都除以4，
得（ x ＋1）2＝ ，
开方，得 x ＋1＝± ，
∴ x ＝ 或－ .
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第2课时 平方根（1）
第二章 实 数
★ 算术平方根：如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，那么
叫做 的算术平方根，记作： .特别地，0的算术平
方根是 ，记作： .
★算术平方根 具有双重非负性： ≥0， a ≥0.
★当 a ≥0时，（ ）2＝ a .
正
数 x
a
x ＝
0
＝0
例1 求下列各数的算术平方根.
（1）1.69；（2）2 ；（3）10－2；（4）（－7）2.
解：（1）∵1.32＝1.69，∴ ＝1.3；
（2）∵（ ）2＝ ＝2 ，∴ ＝ ；
（3）∵（10－1）2＝10－2，∴ ＝0.1；
（4）∵72＝（－7）2，∴ ＝7.
1. 的值为（ D ）
A. ±3 B. －3 C. D. 3
2. 下列说法正确的是（ D ）
A. 0.01是0.1的算术平方根
B. ±5是25的算术平方根
C. －2是（－2）2的算术平方根
D. 6是36的算术平方根
D
D
3. 计算：
（1） ＝ ；
（2） ＝ ；
（3）－ ＝ － ；
（4） ＝ .
14
－
0.12
4. 的算术平方根是 .
5. 求下列各数的算术平方根.
（1）225；
解：（1）∵152＝225，∴ ＝15；
（2）2.89；
解：（2）∵（1.7）2＝2.89，∴ ＝1.7.
（3）5 ；
解：（3）∵（ ）2＝5 ，∴ ＝ ；
2
（4）（－8）2.
解：（4）∵82＝（－8）2，∴ ＝8.
例2 （1）使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ）
A. x ＞3 B. x ≥3
C. x ＞4 D. x ≥3且 x ≠4
【分析】根据算术平方根的被开方数一定为非负数可得 x －3≥0，
根据除数不为0可得 x －4≠0，解得 x ≥3且 x ≠4，故选D.
（2）若 a 、 b 是实数，且满足 ＋｜ a －2｜＝0，求（ a ＋
b ）2025的值.
解：由题意得，2 b ＋6＝0， a －2＝0，
解得 b ＝－3， a ＝2，
∴（ a ＋ b ）2025＝（－1）2025＝－1.
6. 若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ D ）
A. x ＞0 B. x ≥－2
C. x ≥2 D. x ≤2
7. （1）若｜ a －2｜＋ ＋（ c －4）2＝0，则 a － b ＋ c ＝ ；
（2）已知 x ， y 为实数，且 ＋3（ y －2）2＝0，则 x － y ＝
.
D
3
－
1
8. 若 ＋｜ x －3｜＝0，求 xy 的值.
解：由题意得， x －3＝0， x － y ＋1＝0，
解得 x ＝3， y ＝4，
∴ xy ＝34＝81.
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第8课时 二次根式（2）
第二章 实 数
★判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次
根式的定义，进行直观地观察被开方数不含能开得尽方的因数或因式，
且被开方数中不含有分母.
★ ＝ · （ a ≥0， b ≥0）；
＝ （ a ≥0， b ＞0）.
例1 若式子 ＝ 成立，则 x 应该满足的条件是（ ）
A. x －1≥0
B. 2－ x ＞0
C. x －1≥0，且2－ x ≠0
D. x －1≥0，且2－ x ＞0
【分析】根据商的算术平方根的性质，以及代数式有意义的条件，
可得 x －1≥0，且2－ x ＞0，故选D.
1. 二次根式 有意义的条件是（ B ）
A. x ≥－3 B. x ＞－3
C. x ≠－3 D. x ＜－3
2. 下列各式是最简二次根式的是（ B ）
A. B. 2 C. D.
B
B
3. 下列各式成立的是（ D ）
A. ＝
B. ＝3
C. ＝ × ＝
D. 当 a ＜ b ＜0时， ＝
D
例2 计算：
（1） ； （2） ；
（3）－2 ； （4） ；
（5）（ ）2－｜1－ ｜＋5 .
解：（1）原式＝ ＝ ；
（2）原式＝ ＝ ＝ ；
（3）原式＝－2 ＝－3 ；
（4）原式＝ ＝ ；
（5）原式＝2－ ＋1＋ ＝3.
4. 把下列各式化成最简二次根式：
（1） ＝ 3 ；
（2） ＝ .
3
5. 计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ；
（3）原式＝ .
（4） ； （5） ；
解：（4）原式＝ ＝ ＝ ；
（5）原式＝ ＝ ＝ .
（6）（－1）2025＋ －｜－ ｜－（π－2025）0.
解：原式＝－1＋2－ －1＝－ .
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第5课时 估算、用计算器开方
第二章 实 数
★估计一个数的平方根、立方根，主要依据一个正数在两个正数之
间，那么它的算术平方根或立方根一定在这两个数的
之间.
★在用计算器求平方根和立方根时，关键是掌握按键顺序.
★一个正数扩大为原来的100倍，它的算术平方根扩大为原来
的 倍；一个正数扩大为原来的1000倍，它的立方根扩大为原来
的 倍.
算术平方根或立
方根
10
10
例1 如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的
面积为1.
（1）图中阴影部分的面积是多少？
解：（1） S阴影＝2×2＋4×（1×3）÷2＝10；
（2）阴影部分正方形的边长是多少？
解：（2）阴影部分正方形的边长为 ；
（3）估计边长的值在哪两个相邻整数之间？
解：（3）∵9＜10＜16，∴3＜ ＜4，
即边长的值在3与4之间.
1. 估计68的立方根的值在（ C ）
A. 2与3之间 B. 3与4之间
C. 4与5之间 D. 5与6之间
2. 估计 的值在（ C ）
A. 1与2之间 B. 2与3之间
C. 3与4之间 D. 4与5之间
3. （1）｜ －1｜＝ －1 ；
（2）｜ －2｜＝ 2－ .
C
C
－1
2－
4. 若a是 的整数部分，b是 的整数部分，则a2＋b2＝ .
13
例2 比较大小：
（1） －3与－ ；
解：（1）∵－1＜ －3＜0，－2＜－ ＜－1，∴ －3＞－
；
（2） 与1＋ .
解：（2）∵1＜ ＜2，2＜1＋ ＜3，
∴ ＜1＋ .
解：（2）∵1＜ ＜2，2＜1＋ ＜3，
∴ ＜1＋
5. 比较下列各数的大小：（填“＞”“＜”或“＝”）
（1）－ － ；（2） ；
（3） －2 － .
＞
＜
＞
例3 利用计算器计算：（结果精确到小数点后四位）
（1） ；（2） .
答案：（1）0.5681；（2）－0.7334.
6. 显示的结果是（ A ）
A. 15 B. ±15 C. －15 D. 25
7. 用计算器求 的结果为（保留四个有效数字）（ C ）
A. 12.17 B. ±1.868
C. 1.868 D. －1.868
8. 将 ， ， 用“＜”连接起来为（ D ）
A. ＜ ＜ B. ＜ ＜
C. ＜ ＜ D. ＜ ＜
A
C
D
9. 若 ＝3.733， ＝1.732，则 ＝ ，
＝ .
0.3733
－17.32
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第12课时 专题二次根式的化简
第二章 实 数
★二次根式的化简，需要根据二次根式的有关概念、性质及运算法
则进行，有些题还需要运用乘法公式、整体思想等知识进行计算.
类型一：利用二次根式定义和非负性进行化简
例1 已知 ＋ ＋｜ x －2 y ｜＋｜ z ＋4 y ｜＝0，则2
xyz 的相反数是（ ）
A. － B. C. － D.
解：在 ＋ ＋｜ x －2 y ｜＋｜ z ＋4 y ｜＝0中，
∵ ≥0， ≥0，｜ x －2 y ｜≥0，｜ z ＋4 y ｜≥0，
∴2 x －1＝0， x －2 y ＝0， z ＋4 y ＝0，
解得 x ＝ ， y ＝ ， z ＝－1，
∴2 xyz ＝2× × ×（－1）＝－ ，
∴2 xyz 的相反数是 ，
故选B.
1. 若1＜ a ＜3，则化简 － 的结果是
（ B ）
A . 5－2a B . 2a－5 C . －3 D . 3
2. 已知y＝2 ＋3 －3，则xy＝ .
B
8
解： ＋
＝ ＋
＝ ＋ ，
∵ x ＝6，∴ x ＋1＞0， x －8＜0，
∴原式＝ x ＋1－（ x －8）＝9.
3. 先化简，再求值： ＋ ，其中 x ＝6.
类型二：利用乘法公式进行化简
例2 计算：
（1） －2×｜－ ｜；
解：（1）原式＝ ×（2＋ ）－2× ＝
（4－3）2024×（2＋ ）－2× ＝2＋ － ＝2；
（2）（3 ＋2 ）（3 －2 ）－ .
解：（2）原式＝ － －（2＋12－4 ）＝18－
12－14＋4 ＝4 －8.
4. 计算：
（1） － （ － ）；
解：原式＝5＋2 －1＋2 ＝4＋4 .
（2）｜1－ ｜－（－ ）－2＋（ ＋1）（ －1）.
解：原式＝ －1－3＋3－1
＝2 －1－3＋3－1
＝2 －2.
类型三：利用整体思想进行化简
例3 若 a ＝ ，求 a4－4 a3－4 a ＋3的值.
解：∵ a ＝ ＝ ＝ ＋2，
∴ a －2＝ ，∴（ a －2）2＝5，
∴ a2－4 a ＋4＝5，∴ a2－4 a ＝1，
∴ a4－4 a3－4 a ＋3
＝ a2（ a2－4 a ）－4 a ＋3
＝ a2－4 a ＋3
＝4，
即 a4－4 a3－4 a ＋3的值为4.
5. 若 a ＝ ，则2 a2－8 a ＋1＝ .
6. 已知 a ＝ ＋ ， b ＝ － .
－1
（1）求 a2－ b2的值；
（1） a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）
＝2 ×2 ＝4 ；
（2）求 a2－ ab ＋ b2的值.
解：∵ a ＝ ＋ ， b ＝ － ，
∴ a ＋ b ＝2 ， a － b ＝2 ， ab ＝3－2＝1，
（2） a2－ ab ＋ b2＝（ a ＋ b ）2－3 ab
＝ －3×1
＝9.
类型四：先确定符号再化简
例4 已知 a ＋ b ＝－8， ab ＝8，化简求值： b ＋ a .
解：∵ a ＋ b ＝－8， ab ＝8，
∴ a ， b 同为负数，
∴原式＝ b ＋ a
＝（－ － ）
＝－
＝－ ×
＝－12 .
7. 已知 a ＋ b ＝－6， ab ＝1，求 ＋ 的值.
解：∵ a ＋ b ＝－6， ab ＝1，∴ a ＜0， b ＜0，
∴原式＝－ － ＝－ ，
当 a ＋ b ＝－6， ab ＝1时，
原式＝－ ＝6.
类型五：利用二次根式的整数部分和小数部分化简
例5 已知 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，求 b （ ＋ a ）
的值.
解：∵3＜ ＜4，
∴ a ＝3， b ＝ －3，
把 a ＝3， b ＝ －3代入 b （ ＋ a ），
得 ×（ －3）（ ＋3）＝ ×4＝1.
8. （1）已知 ＋7的小数部分是 a ，7－ 的小数部分是 b ，求 a
＋ b 的值；
解：（1）∵4＜7＜9，∴2＜ ＜3，
∴9＜ ＋7＜10，4＜7－ ＜5，
∴ ＋7的小数部分是 ＋7－9＝ －2，7－ 的小数部分是7－
－4＝3－ ，
∴ a ＝ －2， b ＝3－ ，
∴ a ＋ b ＝ －2＋3－ ＝1；
（2）设5＋ 的整数部分用 a 表示，小数部分用 b 表示，3－ 的整数
部分用 c 表示，小数部分用 d 表示，求 ab － cd 的值.
解：（2）∵1＜3＜4，∴1＜ ＜2，
∴6＜5＋ ＜7，1＜3－ ＜2，
∴ a ＝6， b ＝5＋ －6＝ －1， c ＝1， d ＝3－ －1＝2－ ，
∴ ab － cd ＝6×（ －1）－1×（2－ ）＝6 －6－2＋ ＝7
－8.
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第11课时 二次根式（5）
第二章 实 数
★分母有理化指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也
就是将分母中的根号化去.
★如果两个二次根式的积不含根号，那么称这两个二次根式互为有
理化因式.如 的有理化因式是± ， ＋ 的有理化因式是 －
或者 － .
★分母有理化就是将分子、分母同时乘以分母的有理化因式.
例1 下列各组代数式中，互为有理化因式的是（ ）
A. ＋1与1－
B. ＋ y 与－ － y
C. 2－ 与 －2
D. 与 x
【分析】A. （ ＋1）（1－ ）＝1－3 x ，满足有理化因式的
定义，正确；B. （ ＋ y ）（－ － y ）＝－（ x ＋ y2＋2 y ），不
满足有理化因式的定义，错误；C. （2－ ）（ －2）＝4 － x －
4，不满足有理化因式的定义，错误；D. · x ＝ x ，不满足有理
化因式的定义，错误.故选A.
1. （1） ＋ 的一个有理化因式是 － （答案不唯一） ；
（2） x － 的一个有理化因式是 x ＋ （答案不唯一） .
2. 下列各式中，不互为有理化因式的是（ C ）
A. －2 与
2. B. －2与 ＋2
C. 与
D. x ＋ y 与－ x ＋ y
－ （答案不唯一）
x ＋ （答案不唯一）
C
例2 阅读下面的材料，并解答问题：
＝ ＝ －1；
＝ ＝ － ；
＝ ＝ － ；
….
（1）填空： ＝ ， ＝ （ n 为
正整数）；
解：（1）由题意得：
原式＝
＝ － ，
原式＝
＝ － ，
故答案为： － ， － ；
（2）化简： .
解：（2）原式＝ ＝2 ＋2.
3. 计算：
（1） ＝ ；
（2） ＝ ；
（3） ＝ －1 ；
（4） ＝ ＋1 .
－1
＋1
4. 计算： －2－ .
解：原式＝2＋1－2＋（2 ＋3）
＝2 ＋4.
5. 已知 a ＝ ， b ＝ ，求 ＋ －4的值.
解：由题意可知： a ＝3＋2 ， b ＝3－2 ，
∴ a ＋ b ＝6， ab ＝1，
原式＝ －4
＝ －4
＝36－2－4
＝30.
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第14课时 回顾与思考
第二章 实 数
★有理数与 统称实数，有理数是有限小数和无限
小数，无理数是 小数.
★（ ）2（ a ≥0）＝ ； ＝ ；（ ）3
＝ ； ＝ ； ＝ － .
★ · ＝ （ a ≥0， b ≥0）；
＝ （ a ≥0， b ＞0）.
无理数
循
环
无限不循环
a
｜ a ｜
a
a
－
考点一：平方根与算术平方根
点拨：注意平方根与算术平方根的区别.
例1 （1） 的平方根是 ；
解：∵ ＝7，7的平方根是± ，
∴ 的平方根是± ，
故答案为：± .
（2）10－4的算术平方根是 ；
解：∵10－4＝0.0001，
∴10－4的算术平方根是0.01，
故答案为：0.01.
（3）若 ＋｜ b2－16｜＝0，则 ab 的值为 ；
解：由题意得 a －2＝0， b2－16＝0，
解得 a ＝2， b ＝±4，
∴ ab ＝±8，故答案为：±8.
（4）一个正数的两个平方根分别为 a ＋3和2 a ＋3，则 a ＝ .
解：由题意得 a ＋3＋2 a ＋3＝0，即3 a ＝－6，解得 a ＝－2，故答
案为：－2.
1.25的平方根是（ C ）
A. 5 B. －5 C. ±5 D. ±
2. 的平方根是（ D ）
A. 6 B. －6 C. ±6 D. ±
C
D
3. 当 m ≥0时， 表示（ C ）
A. m 的平方根
B. 一个有理数
C. m 的算术平方根
D. 一个正数
4. 下列说法：①±3是9的平方根；②9的平方根是±3；③3是9的平方
根；④9的平方根是3，其中正确的有（ A ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
C
A
5. 若一个自然数的算术平方根是 n ，则下一个自然数的算术平方根是
（ D ）
A. n ＋1 B. n2＋1
C. D.
D
6. 若2（ x ＋5）2＝8，则 x ＝ .
－3或－7
考点二：立方根
点拨：理解立方根的概念.
例2 （1）若－2 x2－ ny2与3 x4 y2 m＋ n 是同类项，则 m －3 n 的立方根
是 ；
解：由题意得 m ＝2， n ＝－2，
∴ m －3 n ＝8， ＝2，故答案为：2.
（2）若 x3－3＝ ，则 x ＝ .
解：∵ x3－3＝ ，∴ x ＝ ，故答案为： .
7. 下列语句中，正确的是（ D ）
A. 一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B. 一个实数的立方根不是正数就是负数
C. 负数没有立方根
D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或±1
D
8. 一个数的立方根与算术平方根相等，则这个数是 .
9. 若（ x －0.7）3＝0.027，则 x ＝ .
0或1
1
考点三：实数
点拨：实数的相关概念与有理数中相关概念基本相同.
例3 （1）在实数 ， ，0， ， ，－1.414中，无理数有
（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：B.
（2）如图，矩形 OABC 的边 OA 长为2，边 AB 长为1， OA 在数轴
上，以原点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则
这个点表示的实数是（ ）
A. B. 2 C. D. 2.5
解：由题意得，OB＝ ＝ ，
∴这个点表示的数是 ，故选 C .
10. 以下说法：①若a是无理数，则 是实数；②若a是有理数，则 是
无理数；③若a是整数，则 是有理数；④若a是自然数，则 是实数.
其中正确的是（ D ）
A. ①④ B. ②③ C. ③ D. ④
D
11.3－2 的相反数是 2 －3 ， 的倒数为 .
12. 实数 a 、 b 在数轴上的位置如图1所示，化简：｜ a ｜－ －
.
图1
解：原式＝－ a － b －（ b － a ）＝－2 b .
2 －3
考点四：二次根式
例4 计算：
（1）｜1－ ｜＋ － －（π－3）0－ ；
解：（1）原式＝ －1＋ －2 －1－3
＝－5；
（2） －2 ＋ － .
解：（2）原式＝4 － ＋ －（ －1）
＝3 ＋1.
13. 若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 .
14. 已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则 a
＝ ， b ＝ .
x ＞1
0
2
（1）2 ＋3 － － ；
解：原式＝4 ＋2 － －
＝2 .
15. 计算：
（2） － ÷2＋（3－ ）（1＋ ）；
解：原式＝4 － ＋3＋ － －1
＝4 － ＋2.
（3） －（ ）2＋（π－ ）0－ ＋｜ －2｜；
解：原式＝ －3＋1－3 ＋2－
＝－3 .
（4）（2－ ）2025（2＋ ）2026－2 －（－ ）0.
解：原式＝[（2－ ）（2＋ ）]2025·（2＋ ）－ －1
＝2＋ － －1
＝1.
考点五：化简求值
例5 （1）已知实数 x 、 y 满足 y ＝ － ＋3，试求
－ 的值；
解：（1）根据题意得 x ＝2， y ＝3，
∴原式＝
＝4－2 －4－2
＝－4 ；
（2）已知 a ＝2＋ ， b ＝2－ ，求代数式 的值；
解：（2）∵ a ＋ b ＝2＋ ＋2－ ＝4，
ab ＝（2＋ ）（2－ ）＝－1，
∴原式＝ ＝ ；
解：（3）∵ a2＋ b2－4 a －2 b ＋5＝0，
∴（ a －2）2＋（ b －1）2＝0，
∴ a ＝2， b ＝1，
∴原式＝ ＝
＝ ＝
＝3＋2 .
（3）已知 a2＋ b2－4 a －2 b ＋5＝0，求代数式 的值.
16. （1）已知 y ＝ － ＋2，则 x2＋ y2＝ ；
（2）如果化简 ＋｜ x －2｜的结果为2 x －3，那么 x 的取值
范围是 ；
（3）已知9＋ 和9－ 的小数部分分别是 a 和 b ，则 ab －3 a ＋4 b
＋8的值是 .
6
x ≥2
8
17. （1）已知 x ＝ ， y ＝ ，求 x2－ xy ＋ y2的值；
解：∵ xy ＝1， x ＝（ ＋ ）2， y ＝（ － ）2， x － y ＝4 ，
∴原式＝（ x － y ）2＋ xy
＝（4 ）2＋1
＝97.
（2）已知 ＝4，且（ y －2 x ＋1）2＋ ＝0，求 x ＋ y ＋ z 的值；
解：∵（ y －2 x ＋1）2＋ ＝0， ＝4，
∴，∴，
∴原式＝64＋127＋3＝194.
（3）若 y ＝ ，求2 x ＋ y 的值；
解：∵，∴ x ＝2， y ＝0，
∴原式＝2×2＋0＝4.
17. （4）已知｜1－ ｜＝ x ，化简： ＋
；
解：由题意可知0≤ x ≤1，
∴原式＝｜ x － ｜＋｜ x ＋ ｜，
当0≤ x ≤ 时，
原式＝ － x ＋ x ＋ ＝1；
当 ＜ x ≤1时，
原式＝ x － ＋ x ＋ ＝2 x .
（5）已知0≤ x ≤3，化简： ＋ .
解：原式＝｜ x ｜＋｜ x －3｜，
∵0≤ x ≤3，
∴原式＝ x ＋3－ x ＝3.
图2
18. 如图2，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ ABC ＝60°，点 D 是 BC 边上的
点， CD ＝1，将△ ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，
若点 P 是直线 AD 上的动点，求△ PEB 周长的最小值.
解：如图，连接 PC ，
∵△ AED 是由△ ACD 翻折得到的，
∴ DE ＝ CD ＝1， PE ＝ PC ，
∴ C△ PEB ＝ PE ＋ PB ＋ BE ＝ PC ＋ PB ＋ BE ，
∴当点 P 与点 D 重合时，△ PEB 的周长最小，为 BC ＋ BE 的值，
设 BD ＝ x ，则 BC ＝1＋ x ，
∵∠ ACB ＝90°，∠ ABC ＝60°，
∴∠ DEB ＝∠ AED ＝90°，∠ EDB ＝30°，
∴ BE ＝ ，
在Rt△ BDE 中， BD2＝ BE2＋ DE2，
即 x2＝ ＋1，解得 x ＝ ，
∴ BE ＝ ， BC ＝1＋ ，
∴ BC ＋ BE ＝ ＋1，
∴△ PEB 周长的最小值为 ＋1.
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第10课时 二次根式（4）
第二章 实 数
★同类二次根式：几个二次根式化成 后，如
果 ，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
★二次根式的加减，实质上就是合并同类二次根式.
最简二次根式
被开方数相同
例1 下列二次根式与 不是同类二次根式的是（ ）
A. 3 B. C. D.
【分析】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二
次根式.
答案：B.
1. 下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ D ）
A. B. C. D.
2. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a ＝ .
D
5
例2 计算下列各式.
（1） ÷ － × ＋ ；
【分析】（1）根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，
再合并同类二次根式即可；
（2）（ －2 －3 ）－（ － ）；
【分析】（2）先化为最简二次根式，去括号，再合并同类二次
根式；
【分析】（3）先根据乘法运算律去括号，再化为最简二次根式，最
后合并同类二次根式即可.
解：（1）原式＝4－ ＋2 ＝4＋ ；
（2）原式＝3 － － － ＋2
＝ ＋ ；
（3）原式＝ －2 －6×
＝3 －6 －3 ＝－6 .
（3）（ －2 ）× －6 .
3. 下列计算正确的是（ C ）
A. ＋ ＝ B. × ＝6
C. － ＝ D. ÷ ＝4
4. 计算： － ＝ .
C
（1） ＋ ＋ － ；
解：原式＝5 ＋5 ＋3 －4
＝8 ＋ .
5. 计算：
（2）（ －3 ＋2 ）× .
解：原式＝ －3 ＋2
＝4 －3 ＋
＝ .
6. 已知 x ＝ ＋1， y ＝ －1.
（1）求 xy 的值；
解：（1）原式＝（ ）2－12＝1；
（2）求 x2＋ y2＋ xy 的值.
解：（2）原式＝（ x ＋ y ）2－ xy
＝（2 ）2－1
＝7.
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第1课时 认识无理数
第二章 实 数
★有理数： 和 统称有理数，有理数可以表示成有
限小数和 .
★实数中还存在一种我们没有学过的数，这种数既不是 也
不是 ，如腰长为1的等腰直角三角形的斜边长.
★无理数： 叫做无理数.
整数
分数
无限循环小数
整数
分数
无限不循环小数
例1 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的正方形网格，任意连
接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度
是有理数的线段和一条长度不是有理数的线段.（要求：所作线段不得与
网格中已有的线重合）
【分析】根据题意可知，要画出的线段为一直角三角形的斜边.
解：如图， AB 的长度为有理数， CD 的长度为无理数.（答案不唯
一，合理即可）
1. 下列说法正确的是（ D ）
A. 不循环小数是无理数
B. 分数不是有理数
C. 有理数都是有限小数
D. 面积为3的正方形的边长是无理数
D
2. 有四种说法：① π是有理数；② 0. 是分数；③ 3－π是无理数；④ 0
是整数，且是正数，其中正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 小明设计了一面长方形的彩旗，它的长为6，宽为3，则彩旗对角线长 a
的取值范围是（ C ）
A. 4＜ a ＜5 B. 5＜ a ＜6
C. 6＜ a ＜7 D. 7＜ a ＜8
B
C
例2 把下列各数填在相应大括号内.
－ ，0，3.14，－ ，0.2121121112…（相邻两个2之间1的个数依
次多1），0. ， .
负有理数集合{ …}；
正分数集合{ …}；
无理数集合{ …}；
正数集合{ …}.
解：负有理数集合{－ ，－ ，…}；
正分数集合{3.14，0. ，…}；
无理数集合{0.2121121112…（相邻两个2之间1的个数依次多1），
，…}；
正数集合{3.14，0.2121121112…（相邻两个2之间1的个数依次多
1），0. ， ，…}.
4. 把下列各数分别填在相应的大括号内.
－ ， ，0，3.14，0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加
1），0. ，－ .
有理数集合{－ ，0，3.14，0. ，－ ，…}；
无理数集合{ ，0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加
1），…}；
－ ，0，3.14，0. ，－ ，
，0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加
1），
4. 正数集合{ ，3.14，0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加
1），0. ，…}；
负数集合{－ ，－ ，…}.
，3.14，0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加
1），0. ，
－ ，－ ，
例3 直角三角形两直角边长分别为2，3，斜边长为 a ，估算 a 的值.
（结果精确到十分位）
【分析】按要求求无理数的值时，可采用“夹逼法”逐渐“逼
近”，求出其近似值.
答案：3.6.
5. 王大爷要挖一个面积为200m2的正方形鱼池.
（1）这个正方形鱼池的边长是不是有理数？说明理由；
解：（1）不是有理数.
理由：设鱼池的边长为 x m，则 x2＝200，
∵196＜ x2＜225，∴14＜ x ＜15，
∴ x 不是整数，
又∵ x2＝200，∴ x 不是分数，
∴ x 不是有理数；
（2）请计算出鱼池的边长.（结果精确到0.1m）
解：（2）∵14.142＜200＜14.152，
∴鱼池的边长约为14.1m.
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第13课时 专题二次根式与勾股定理
第二章 实 数
★直角三角形中，其边有可能是二次根式，在运算中，需要用到二
次根式的计算.
类型一：勾股定理与格点问题
例1 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A 、
B 、 C 都在格点上，连接 AB 、 AC 、 BC .
（1）请直接写出线段 AB 、 AC 的长度；
解：（1）由勾股定理可得 AB ＝ ＝
， AC ＝ ＝2 ；
（2）请判断△ ABC 的形状，并说明理由.
解：（2）△ ABC 是等腰直角三角形，
理由：由（1）可知 AB2＝10， AC2＝20，
又∵ BC2＝32＋12＝10，
∴ AB2＋ BC2＝ AC2，
∴△ ABC 是直角三角形，
又∵ AB ＝ BC ＝ ，
∴△ ABC 是等腰直角三角形.
1. 如图1，小正方形的边长为1，求△ ABC 中 AC 边上的高.
图1
解：如图，过点 B 作 BG ⊥ AC 于点 G ，
在Rt△ ACF 中， AF ＝2， CF ＝1，
∴ AC ＝ ＝ ，
∵ S△ ABC ＝ S正方形 AFED － S△ BCE － S△ ABD － S△ ACF ＝4－ ×1×1－2×
×2×1＝ ＝ AC · BG ，
∴ × BG ＝ ，∴ BG ＝ ，
即△ ABC 中 AC 边上的高为 .
类型二：利用二次根式求直角三角形的边
例2 如图，在等腰Rt△ ABC 中， AB ＝ BC ＝4，点 D 在边 BC 上且
CD ＝1，点 E ， F 分别为边 AB ， AC 上的动点，连接 DE ， EF ， DF 得到
△ DEF ，求△ DEF 周长的最小值.
解：如图，作点 D 关于 AB 的对称点 G ，关于 AC 的对称点 H ，连接
GH 交 AB 、 AC 于点 E 、 F ，连接 CH ，
∵△ ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ ACB ＝45°，
由对称性知， GB ＝ DB ＝3， CH ＝ CD ＝1，∠ FCH ＝∠ FCD ＝
45°， FH ＝ FD ， EG ＝ ED ，
∴∠ HCG ＝∠ FCD ＋∠ FCH ＝90°， GC ＝ GB ＋ BC ＝7，
∵ C△ DEF ＝ DE ＋ EF ＋ DF ＝ GE ＋ EF ＋ FH ，
∴当 G 、 E 、 F 、 H 四点在同一直线上时，△ DEF 的周长最小，为
GH 的长，
在Rt△ CHG 中， GH ＝ ＝5 ，
∴△ DEF 周长的最小值为5 .
2. 如图2，在Rt△ ABC 中， AB ＝ BC ＝2， D 为 AB 的中点， E 为边 AC 上
的动点，连接 ED ， EB ，求△ BDE 周长的最小值.
图2
解：如图，作点 D 关于直线 AC 的对称点D'，连接AD'，连接BD'交 AC 于
点 E ，
∵ AB ＝ BC ＝2，
∴△ ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ BAC ＝45°，
∵ D 为 AB 的中点，∴ AD ＝ BD ＝1，
由对称性知，AD'＝ AD ＝1，∠D'AE＝∠ DAE ＝45°，D'E＝ DE ，
∴∠DAD'＝∠ DAE ＋∠D'AE＝90°，
∵ C△ BDE ＝ BD ＋ DE ＋ BE ＝ BD ＋D'E＋ BE ，
∴当D'、 E 、 B 三点在同一直线上时，△ BDE 的周长最小，为 BD ＋BD'
的值，
在Rt△BAD'中，BD'＝ ＝ ，
∴△ BDE 周长的最小值为1＋ .
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第9课时 二次根式（3）
第二章 实 数
★ · ＝ （ a ≥0， b ≥0）；
＝ （ a ≥0， b ＞0）.
例1 计算下列各式.
（1） × ；
解：（1）原式＝ ＝6；
（2） ÷ ；
解：（2）原式＝ ＝ ＝ ；
（3） ；
解：（3）原式＝ ＝ ；
（4） ÷（－ ）× .
【分析】利用二次根式的积和商进行计算，得到结果.
解：（4）原式＝－ × ＝－ ×5 ＝－9 .
1. 计算： ÷ ＝（ A ）
A. B. 5 C. D.
A
2. 下列计算正确的是（ C ）
A. 2 ×3 ＝6
B. 4 ·4 ＝
C. 2 ·3 ＝6
D. ＝－
3. 若 和 都有意义，则 a 满足的条件是（ C ）
A. a ≥0 B. a ≤0 C. a ＝0 D. a ≠0
C
C
4. 若 x ＝ ，则 x ＝ .
5. 计算 · 的结果是 .
6. 计算（ － ）÷ 的结果是 .
2
3
例2 计算：
（1）（ ＋1）2－（ － ）（ ＋ ）；
解：（1）原式＝5＋2 ＋1－5＋2
＝3＋2 ；
（2）（ － ）2024（ ＋ ）2025.
【分析】利用乘法公式进行计算.
解：（2）原式＝[（ － ）（ ＋ ）]2024·（ ＋ ）＝
＋ .
7. 计算：
（1） ×（－ ）÷ ；
解：原式＝3 ×（－5 ）÷
＝－15 ÷
＝－15.
（2）（ ＋1）2－（ － ）（ ＋ ）.
解：原式＝（7＋2 ）－（3－2）
＝6＋2 .
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第7课时 二次根式（1）
第二章 实 数
★二次根式：形如 （ ）的式子叫做二次根式.
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数不含 ；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
★（ ）2（ a ≥ 0）＝ ； ＝ .
★ ＝ · （ a ≥0， b ≥0）；
＝ （ a ≥0， b ＞0）.
a ≥0
分母
a
｜ a ｜
例1 已知实数 x ， y 满足 y ＝ － ＋5，求代数式 yx
的值.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，求出 x ， y 的值，再代
入 yx 即可.
解：由题意得 x －2≥0，2－ x ≥0，
∴ x ＝2，代入得 y ＝5，
∴ yx ＝52＝25.
1. 若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是（ B ）
A. x ＝1 B. x ≥1 C. x ＜1 D. x ≤1
2. 已知 y ＝ ＋5，则 的值为 .
B
2
例2 计算：
（1） ；
解：（1）原式＝ × ＝9×8＝72；
（2） ；
解：（2）原式＝ × ＝5 ；
（3） ；
解：（3）原式＝ ＝10 ；
（4） ；
解：（4）原式＝ ＝ × ＝3 ；
（5） .
【分析】利用积的算术平方根的性质，先化简，再计算.
解：（5）原式＝ ＝ × ＝3 .
3. 下列根式属于最简二次根式的是（ A ）
A. B.
C. D.
A
4. 若 x ＝3，则 x ＝ .
5. 化简下列各式：
（1） ＝ ；
（2） ＝ 9 .
60
9
6. 化简：
（1） ＝ 11 ；
（2） ＝ 5 .
11
5
7. 计算：
（1）π0＋2－1－ － ；
解：原式＝1＋ － －
＝1－
＝ .
（2）（－1）3＋ ＋（ －1）0－ .
解：原式＝－1＋2 ＋1－
＝ .
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第4课时 立方根
第二章 实 数
★立方根：如果一个数 x 的立方等于 a ，即 x3＝ a ，那么 叫
做 的立方根，记作： .
★正数有 个立方根，0有 个立方根，负数有 个
立方根.
★（ ）3＝ ； ＝ ； ＝ － .
x
a
x ＝
1
1
1
a
a
－
例1 求下列各数的立方根.
（1）－8；（2） ；（3）（－5）3；（4）27000；（5）0.
【分析】根据立方根的定义进行计算.
答案：（1）－2；（2） ；（3）－5；（4）30；（5）0.
1. －125的立方根是（ A ）
A. －5 B. ±5 C. 5 D.
2. 下列说法中，正确的是（ D ）
A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C. 负数没有立方根
D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1或0或1
A
D
3. 下列说法正确的是（ D ）
A. －4没有立方根
B. 1的立方根是±1
C. 的立方根是
D. －5的立方根是
D
例2 求下列各式的值.
（1） ×（－ ）；
解：（1）原式＝ ×（－ ）＝ ；
（2） － － － .
【分析】由立方根和平方根的定义求解.
解：（2）原式＝－6－9＋4－1＝－12.
4. 计算：
（1） ＝ ；
（2） ＝ － ；
（3） ＝ ；
（4） ＝ － .
5
－
－
5. （1） 的立方根是 ， 的平方根是 ；
（2） 的立方根是 .
6. 计算： － － － .
解：原式＝ －1＋5－ ＝3.
2
±2
－2
例3 求下列各式中 x 的值.
（1） x3＋1＝ ；（2）（2 x －1）3＝125.
【分析】利用立方根的定义求解.
解：（1） x3＝－ ，
∴ x ＝ ＝－ ；
（2）2 x －1＝ ＝5，
∴2 x ＝6，∴ x ＝3.
7. 已知 ＋2＝0，求 x ＋17的平方根.
解：∵ ＝－2，
∴5 x ＋32＝－8，∴ x ＝－8，
∴ x ＋17＝9，∴± ＝±3.
8. 求3（ x －1）3＋81＝0中 x 的值.
解：3（ x －1）3＝－81，
∴（ x －1）3＝－27，
∴ x －1＝－3，∴ x ＝－2.
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