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第5课时 回顾与思考
第六章 数据的分析
★平均数： n 个数 x1， x2， x3，…， xn 的算术平均数
＝ .
★极差：一组数据中 与 的差叫做极差.
★方差：样本 x1， x2，…， xn 的平均数是 ，则样本的方差 s2＝
.
★标准差：方差的 ，就是标准差.
最大数据
最小数据
[（ x1－ ）2＋（ x2－ ）2＋…＋（ xn － ）2]
算术平方根
考点一：体现数据集中趋势的数——平均数、众数、中位数
例1 某校为普及网络安全知识，对全校学生进行了网络安全知识测
试，现随机从七、八两个年级各抽取20名学生的测试成绩（单位：分）
进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：95，80，85，100，85，95，90，65，85，75，90，90，
70，90，100，80，80，90，95，75
八年级：80，80，60，95，65，100，90，80，85，85，95，75，
80，90，70，80，95，75，100，90
【整理数据】
成绩 x （分） 60≤ x ≤70 70＜ x ≤80 80＜ x ≤90 90＜ x ≤100
七年级 2 5 8 5
八年级 3 a 5 5
【分析数据】
统计量 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
七年级 85.75 87.5 c
八年级 83.5 b 80
【应用数据】
请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题：
（1）求出表格中 a 、 b 、 c 的值；
解：（1） a ＝7， b ＝82.5， c ＝90；
（2）若八年级共有600名学生，请估计八年级学生中测试成绩大于
80分的人数；
解：（2）600× ＝300人，
答：估计八年级学生中测试成绩大于80分的有300人；
（3）你认为哪个年级学生对网络安全知识掌握更好，请你写出两条
理由.
解：（3）七年级学生对网络安全知识掌握更好，理由：第一，七年
级学生测试成绩的平均数大于八年级；第二，七年级学生测试成绩的中
位数大于八年级.（第三，七年级学生测试成绩的众数大于八年级）
1. 某市五月份连续五天的日最高气温（单位：℃）分别为23、20、20、
21、26，这组数据的中位数和众数分别是（ D ）
A. 22℃和26℃ B. 22℃和20℃
C. 21℃和26℃ D. 21℃和20℃
2. 在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数为：9.5，
9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数
据的平均数是（ D ）
A. 9.2 B. 9.3 C. 9.4 D. 9.5
D
D
3. 为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量情
况，结果如表：
月用水量（吨） 4 5 6 9
户数 3 4 2 1
则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ C ）
A. 中位数是5吨 B. 众数是5吨
C. 极差是3吨 D. 平均数是5.3吨
C
考点二：体现数据稳定性的数——极差、方差、标准差
例2 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳
高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：
m）如下：
甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
（1）甲、乙两名运动员的平均成绩分别是多少？
解：（1） ＝（1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋
1.67）÷8＝1.69m，
＝（1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75）÷8＝
1.68m，
∴甲运动员的平均成绩是1.69m，乙运动员的平均成绩是1.68m；
（2）哪位运动员的成绩更为稳定？
解：（2） ＝[（1.70－1.69）2＋（1.65－1.69）2＋（1.68－1.69）
2＋（1.69－1.69）2＋（1.72－1.69）2＋（1.73－1.69）2＋（1.68－1.69）
2＋（1.67－1.69）2]÷8＝0.0006，
＝[（1.60－1.68）2＋（1.73－1.68）2＋（1.72－1.68）2＋（1.61
－1.68）2＋（1.62－1.68）2＋（1.71－1.68）2＋（1.70－1.68）2＋（1.75
－1.68）2]÷8＝0.00315，
∵ ＜ ，
∴甲运动员的成绩更为稳定；
（3）若预测超过1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可
能选哪位运动员参赛？若预测超过1.70m才能获得冠军呢？
解：（3）若预测超过1.65m就很可能获得冠军，则选甲运动员参
赛，因为甲运动员有7次成绩超过1.65m，而乙运动员只有5次成绩超过
1.65m；
若预测超过1.70 m 才能获得冠军，则选乙运动员参赛，因为甲运动
员仅有2次成绩超过1.70 m ，而乙运动员有4次成绩超过1.70 m .
4. 某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ， y ，10，
11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜ x － y ｜的值为
（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
5. 若样本 x1＋1， x2＋1，…， xn ＋1的平均数为18，方差为2，则对于样
本 x1＋2， x2＋2，…， xn ＋2，下列结论正确的是（ C ）
A. 平均数为18，方差为2
B. 平均数为19，方差为3
C. 平均数为19，方差为2
D. 平均数为20，方差为4
6. 样本数据3，6， a ，4，2的平均数是4，则这个样本的方差是
（ A ）
A. 2 B. C. 3 D. 2
C
A
7. 若样本数据1，2，3， a 的平均数是3；样本数据4，5， a ， b 的平均数
是5.求0，1，2，3，4， a ， b 的方差是多少？
解：∵数据1，2，3， a 的平均数是3，
∴ a ＝4×3－1－2－3＝6，
∵数据4，5， a ， b 的平均数是5，
∴ b ＝4×5－4－5－ a ＝5，
＝（0＋1＋2＋3＋4＋6＋5）÷7＝3，
s2＝[（0－32）＋（1－3）2＋（2－3）2＋（3－3）2＋（4－3）2＋（6－
3）2＋（5－3）2]÷7＝4.
8. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高（单位：cm）
如下：
甲：21 42 39 14 19 22 37 41 40 25
乙：27 16 40 41 16 44 40 40 27 44
（1）根据以上数据分别求甲、乙两种玉米苗株高的极差、方差和标
准差；
解：（1）甲种玉米苗株高的极差是42－14＝28cm，
乙种玉米苗株高的极差是44－16＝28cm，
＝30cm， ＝33.5cm，
＝104.2， ＝110.05，
s甲≈10.21， s乙≈10.49；
（2）哪种玉米苗长得高些？
解：（2） ＝30cm， ＝33.5cm，
∵ ＜ ，
∴乙种玉米苗长得高些；
（3）哪种玉米苗长得整齐些？
解：（3） ＝104.2， ＝110.05，
∵ ＜ ，∴甲种玉米苗长得整齐些.
9. 如图是连续十周甲、乙两名运动员体能测试成绩的折线统计图.教练组
规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格.
（1）请根据图中所提供的信息填写表格：
平均数 中位数 体能测试成绩合格次数
甲 65
乙 60
解：（1）填表：
平均数 中位数 体能测试成绩合格次数
甲 60 65 2
乙 60 57.5 4
（2）请从下面两种不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩
较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好.
解：（2）①乙；②甲；
（3）依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效
果较好.
解：（3）从折线统计图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升的
趋势，但是乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格次数
比甲多，
∴乙训练的效果较好.
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第1课时 平均数
第六章 数据的分析
★算术平均数： n 个数 x1， x2， x3，…， xn 的算术平均数
＝ ，算术平均数简称平均数.
★加权平均数：如果一组数据 x1， x2， x3，…， xn 的权分别为 f1，
f2， f3，…， fn ，那么这组数据的加权平均数为：
＝ .
★当 n 个数据都在 a 附近时，可用 ＝ '＋ a （其中 '是每个数据与
a 的差的平均数）.
例1 用简化计算法求下列各组数据的平均数：
（1）15，23，17，18，22；
解：（1）每个数据减去20后，得到新数据：－5，3，－3，－
2，2，
则新数据的平均数为（－5＋3－3－2＋2）÷5＝－1，
∴原数据的平均数为20－1＝19；
（2）105，103，101，100，114，108，110，106，98，102.
解：（2）每个数据减去100后，得到新数据：5，3，1，0，14，8，
10，6，－2，2，
则新数据的平均数为（5＋3＋1＋0＋14＋8＋10＋6－2＋2）÷10＝
4.7，
∴原数据的平均数为100＋4.7＝104.7.
1. 若1，3， x ，5，6五个数的平均数为4，则 x 的值为（ D ）
A. 3 B. 4 C. D. 5
2. 数据1，2，3，4，5的平均数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
C
3. 某中学初二（1）班一次数学测试的平均成绩为80分，男生的平均成绩
为82分，女生的平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为
（ C ）
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 3∶2 D. 2∶3
C
4. 数据2024，2026，2023，2024，2025，2022的平均数是 .
2024
例2 学校准备推荐一位老师参加业务技能比赛，对甲、乙两位老师
进行三项测试，他们各自的成绩（百分制）如表：
老师 课件制作 片段教学 综合素质
甲 85 78 85
乙 73 80 82
学校将课件制作、片段教学、综合素质按三项得分的2∶3∶5确
定最终成绩，并根据成绩择优推荐，请你通过计算说明推荐哪位老师
参加比赛.
解：老师甲的平均成绩为：
＝82.9分，
老师乙的平均成绩为：
＝79.6分，
∵82.9＞79.6，∴推荐老师甲参加比赛.
5. 学期期末，某班评选一名优秀学生干部，班长、学习委员和团支部书
记的得分情况如表所示：
班长 学习委员 团支部书记
思想表现 24 28 26
学习成绩 26 26 24
工作能力 28 24 26
假设在评选优秀学生干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面
的重要性之比为3∶3∶4，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部.
解：班长的成绩为24×0.3＋26×0.3＋28×0.4＝26.2分，
学习委员的成绩为28×0.3＋26×0.3＋24×0.4＝25.8分，
团支部书记的成绩为26×0.3＋24×0.3＋26×0.4＝25.4分，
∵26.2＞25.8＞25.4，
∴班长应当选为优秀学生干部.
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第4课时 数据的离散程度
第六章 数据的分析
★极差：一组数据中 与 的差叫做极差.
★方差：样本 x1， x2，…， xn 的平均数是 ，则样本的方差 s2＝
.
★标准差：方差的 就是标准差.
★刻画数据离散程度的统计量有 、 、 .
最大数据
最小数据
[（ x1－ ）2＋（ x2－ ）2＋…＋（ xn － ）2]
算术平方根
极差
方差
标准差
例1 已知 A 组数据：0，1，－2，－1，0，－1，3.
（1）求 A 组数据的平均数；
解：（1）平均数为0；
（2）从 A 组数据中选取5个数据，记这5个数据为 B 组数据，要求 B
组数据满足两个条件：①它的平均数与 A 组数据的平均数相等；②它的
方差比 A 组数据的方差大.你选取的 B 组数据是 .
解：（2）－1，－2，3，－1，1.（答案不唯一）
1. 一组数据3，4，5，5，6，8的极差是（ D ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 甲、乙两班各50名同学参加体操表演竞选，经测量并计算得两班同学
身高的平均数和方差为： ＝165cm， ＝165cm， ＝7.5， ＝
21.6，组委会从身高整齐美观效果来看，应选 班参加表演.
3. 对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是8.5环，方差分
别是 ＝0.4， ＝3.2， ＝1.6，在这三名射击手中成绩最稳定的
是 .
D
甲
甲
4. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高
的平均数均为166cm，且方差分别为 ＝1.5， ＝2.5， ＝2.9，
＝3.3，则这四队女演员的身高最整齐的是 队.
甲
例2 某校要从九年级（一）班和（二）班中各选取10名女同学组成
礼仪队，选取的两班女生的身高（单位：厘米）如下：
（一）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
（二）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
（1）完成统计分析表：
班级 平均数 方差 中位数 极差
（一）班 168 168 6
（二）班 168 3.8
答案：（1）如表所示；
班级 平均数 方差 中位数 极差
（一）班 168 3.2 168 6
（二）班 168 3.8 168 6
（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被
选取.
答案：（2）选方差作为选择标准，
∵（一）班方差＜（二）班方差，
∴（一）班女同学身高更整齐，（一）班能被选取.
5. 某工厂从甲、乙两名工人中选派一人参加操作技能比赛.现分别从
他们在培训期间参加的若干次测试成绩（单位：分）中随机抽取8
次，记录如表：
甲 95 82 88 81 93 79 84 78
乙 83 92 80 95 90 80 85 75
你认为应选派哪名工人参加技能比赛？请说明理由.
解：应选派甲参加技能比赛，理由如下：
甲的平均成绩 ＝85分，
乙的平均成绩 ＝85分，
＝35.5， ＝41，
∵ ＝ ， ＜ ，
∴甲、乙两人的平均成绩一样，但甲的成绩更稳定，
∴应选派甲参加技能比赛.
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第2课时 中位数与众数
第六章 数据的分析
★中位数：一般地， n 个数按从小到大的顺序排列，处在最中间位置
的一个数据或者最中间 的平均数叫做这组数据的中位数.
★众数：一组数据中出现次数 的那个数据叫做这组数据的
众数.
两个数据
最多
例1 小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，
如图是他们投标成绩的统计图.
（1）根据图中信息填写表格：
平均数 中位数 众数
小亮 7
小莹 7 9
解：（1）如表所示；
平均数 中位数 众数
小亮 7 7 7
小莹 7 7.5 9
（2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好.
解：（2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹
的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好.
1. 一组数据6，8，7，8，10，9的中位数和众数分别是（ C ）
A. 7和8 B. 8和7
C. 8和8 D. 8和9
2. 数据5，7，8，8，9的众数是（ C ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
C
C
3. 某中学生物兴趣小组调查了本地区几棵古树的生长年代，记录数据如
下（单位：年）：200，240，220，200，210.这组数据的中位数是
（ B ）
A. 200年 B. 210年
C. 220年 D. 240年
B
4. 下列数据：3，2，3，4，5，2，2的中位数是 .
5. 某校九（1）班8名学生的体重（单位：kg）分别是39，40，43，43，
43，45，45，46.这组数据的众数是 kg.
6. 在参加植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，9，
9，10，11，9，则这组数据的众数是 棵.
3
43
9
例2 为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强
学校、家庭的联系，某中学积极组织全体教师开展“课外访万家活
动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生
家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，将
数据绘制成表格：
年收入 （单位：万元） 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；
解：（1）平均数是（2＋2.5×3＋3×5＋4×2＋5×2＋9＋13）÷15
＝4.3万元，
中位数是3万元，众数是3万元；
（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的
一般水平较为合适？请简要说明理由.
解：（2）虽然平均数为4.3万元，但年收入达到4.3万元的家庭只有4
个，大部分家庭的年收入未达到这一水平，而中位数和众数3万元是大部
分家庭可以达到的水平，因此用中位数或众数来代表这15名学生家庭年
收入的一般水平较为合适.
7. 某班“环卫小组”为了宣传环保的重要性，随机调查了本班10名同学
的家庭在同一天内丢弃垃圾的情况.经统计，丢弃垃圾的质量（单位：千
克）如下：
2 3 3 4 4 3 5 3 4 5
根据上述数据，回答下列问题：
（1）写出上述10个数据的中位数、众数；
解：（1）中位数：3.5千克，众数：3千克；
（2）若这个班共有50名同学，请你根据上述数据的平均数，估算这50个
家庭在这一天丢弃垃圾的总质量.
解：（2） ＝ ＝3.6千克，
3.6×50＝180千克，
答：这50个家庭在这一天丢弃垃圾的总质量约为180千克.
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第3课时 从统计图分析数据的集中趋势
第六章 数据的分析
★条形统计图能清楚地表示出每个项目的 ；扇形统计
图能清楚地表示出各部分在总体中所占的 ；折线统计图能清
楚地反映事物的变化情况.
★从统计图中获取信息，根据信息分析数据的集中趋势.
具体数目
百分比
例 6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选
25名同学参加比赛，成绩分为 A 、 B 、 C 、 D 四个等级，其中相应等级
的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班
的成绩进行整理并绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
解：（1）补全统计图如图所示；
（2）求表中 a 、 b 、 c 的值：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 a b 90
二班 87.6 80 c
解：（2） a ＝87.6， b ＝90， c ＝100；
②从平均数和众数的角度来比较两个班的成绩；
③从 B 级以上（包括 B 级）的人数的角度来比较两个班的成绩.
解：（3）①从平均数和中位数的角度来比较，一班的成绩更
好；②从平均数和众数的角度来比较，二班的成绩更好；③从 B 级
以上（包括 B 级）的人数的角度来比较，一班的成绩更好.（选择一
个角度分析即可）
（3）请从以下给出的三个角度中任选一个对这次竞赛成绩的结果进
行分析.
①从平均数和中位数的角度来比较两个班的成绩；
1. 图1是小明一周的支出情况统计图，下列说法正确的是（ C ）
A. 从图中可以直接看出总消费数额
B. 从图中可以直接看出具体消费数额
C. 从图中可以直接看出各项消费数额占总消费数额的百
分比
D. 从图中可以直接看出各项消费数额在一周中的具体变
化情况
图1
C
2. 某住宅小区六月份1日至5日每天用水量变化情况如图2所示，那么这5
天平均每天的用水量是 吨.
图2
32
3. 如图3是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：
千米/时）
（1）找出该样本数据的众数和中位数；
解：（1）∵该样本数据中车速是52千米/时的有8辆，最多，
∴该样本数据的众数为52千米/时，
样本容量为2＋5＋8＋6＋4＋2＝27，
∵按照车速从小到大的顺序排列，第14辆车的车速是52千米/时，
∴中位数为52千米/时；
（2）计算平均速度；（结果保留一位小数）
解：（2）平均速度为（50×2＋51×5＋52×8＋53×6＋54×4＋55×2）
÷27≈52.4千米/时；
（3）若某车以50.5千米/时的速度经过该路口，能否说该车的速度要比一
半以上车的速度快？并说明判断理由.
图3
解：（3）不能，理由如下：
∵样本的中位数为52千米/时，
∴可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要快于52千米/时，
∴不能说该车的速度要比一半以上车的速度快.
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