(共16张PPT)
第6课时 专题勾股定理与动点问题
第一章 勾股定理
★动点问题是几何综合问题的一种，在解题时，需要寻找图中的不
动点，弄清动与不动的关系，再结合勾股定理，搭建动与不动的桥梁，
才能解决问题.
类型一：动点中的最值问题
例1 如图，正方形 ABCD 的边长为4，点 E 在 AB 上，且 BE ＝1， F
为对角线 AC 上一动点，求△ BFE 周长的最小值.
解：如图，连接 ED 交 AC 于点 F ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴点 B ， D 关于 AC 对称，∴ BF ＝ DF ，
∴ C△ BFE ＝ BF ＋ EF ＋ BE ＝ DE ＋ BE ，
此时△ BEF 的周长最小，
∵正方形 ABCD 的边长为4，
∴ AD ＝ AB ＝4，∠ DAB ＝90°，
∵点 E 在 AB 上且 BE ＝1，∴ AE ＝3，
∴ DE2＝ AD2＋ AE2＝25，∴ DE ＝5，
∴ C△ BFE ＝6，
∴△ BFE 周长的最小值为6.
1. 如图1，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°，点 D 在 BC 上， BD ＝
3， DC ＝1，点 P 是 AB 上的动点，求 PC ＋ PD 的最小值.
图1
解：如图，作点 C 关于 AB 的对称点C'，连接DC'交 AB 于点 P ，连接
CP 、BC'，
此时 PC ＋ PD 的值最小，且 PC ＋ PD ＝PC'＋ PD ＝DC'，
∵ BD ＝3， DC ＝1，∴ BC ＝ AC ＝4，
由对称性可知∠C'BA＝∠ CBA ＝45°， BC ＝BC'＝4，
∴∠CBC'＝90°，
根据勾股定理可得DC'2＝BC'2＋ BD2＝25，
∴DC'＝5，
∴ PC ＋ PD 的最小值为5.
类型二：动点中的存在性问题
例2 如图，长方形 ABCD 中， AD ＝9cm， AB ＝4cm， E 为边 AD 上
一动点，从点 D 出发，以1cm/s的速度向终点 A 运动，同时动点 P 从点 B
出发，以 a cm/s的速度沿 BC 向终点 C 运动，运动的时间为 t s.
（1）当 t ＝3时，求线段 CE 的长；
解：（1）∵四边形 ABCD 是长方形，
∴ BC ＝ AD ＝9cm， CD ＝ AB ＝4cm，
当 t ＝3时， DE ＝3cm，
在Rt△ CDE 中， CE2＝ CD2＋ DE2＝25，
∴ CE ＝5cm；
解：（2）存在.
当 a ＝1时， DE ＝ t cm， BP ＝ t cm，
∴ CP ＝（9－ t ）cm，
在Rt△ CDE 中， CE2＝16＋ t2，
∵△ CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形，
∴①当 CE ＝ CP 时，
16＋ t2＝（9－ t ）2，解得 t ＝ ；
②当 CE ＝ PE 时， CP ＝2 DE ，
∴9－ t ＝2 t ，解得 t ＝3，
综上所述， t 的值为 或3；
（2）若 a ＝1，是否存在△ CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形？若存
在，求 t 的值；若不存在，说明理由；
（3）当点 C ， E 关于直线 DP 对称时，直接写出 t 与 a 的值.
解：（3）如图，过点 P 作 PF ⊥ AD 于点 F ，
∵ BP ＝ at cm， DE ＝ t cm，
∴ CP ＝ BC － BP ＝（9－ at ）cm，
∵点 C ， E 关于直线 DP 对称，
∴ DE ＝ CD ＝4cm， PE ＝ CP ，
∴ t ＝4，
∴ BP ＝4 a cm， CP ＝ PE ＝（9－4 a ）cm，
∵ PF ＝ CD ＝4cm， DF ＝ CP ，
∴在Rt△ PEF 中， EF ＝ DF － DE ＝（5－4 a ）cm，
由勾股定理得 EF2＋ PF2＝ PE2，
∴（5－4 a ）2＋16＝（9－4 a ）2，
解得 a ＝ .
2. 如图2，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝10， BC ＝6，点 P 从点 A 出
发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 A － B － C 方向，朝着点 C 运动.设
点 P 的运动时间为 t 秒（ t ＞0），在运动过程中，是否存在点 P 恰好在∠
BAC 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由.
图2
解：存在.
当点 P 在∠ BAC 的平分线上时，如图，过点 P 作 PD ⊥ AB 于点 D ，
∵ AP 平分∠ BAC ， PC ⊥ AC ， PD ⊥ AB ，
∴ PD ＝ PC ，
∴ PD ＝ PC ＝ AB ＋ BC －2 t ＝16－2 t ， BP ＝2 t － AB ＝2 t －10，
在Rt△ ACP 和Rt△ ADP 中，，
∴Rt△ ACP ≌Rt△ ADP （HL），∴ AC ＝ AD ，
∵ AC2＝ AB2－ BC2＝64，∴ AD ＝ AC ＝8，
∴ BD ＝ AB － AD ＝2，
在Rt△ BDP 中， BD2＋ PD2＝ BP2，
即22＋（16－2 t ）2＝（2 t －10）2，
解得 t ＝ ，∴ t 的值为 .
谢 谢 观 看(共12张PPT)
第5课时 专题折叠和旋转中勾股定理的应用
第一章 勾股定理
★折叠和旋转中勾股定理的应用是一个比较综合的问题，一般需要
利用折叠、旋转前后图形对应线段、对应角相等，将已知线段与角转化
到一个直角三角形中，利用勾股定理搭建已知和未知之间的桥梁，才能
解决问题.
类型一：勾股定理与折叠
例1 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝8，△ ABE 沿 BE 折
叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 F 处，求 AE 的长.
解：∵四边形 ABCD 是长方形，
∴ AB ＝ CD ＝6， AD ＝ BC ＝8，∠ A ＝90°，
∴ BD2＝ AB2＋ AD2＝100，∴ BD ＝10，
由折叠可知： AE ＝ EF ， AB ＝ BF ＝6，∠ A ＝∠ BFE ＝90°，
∴ DF ＝ BD － BF ＝4，
设 AE ＝ EF ＝ x ，则 DE ＝8－ x ，
在Rt△ DEF 中， DE2＝ EF2＋ DF2，
即（8－ x ）2＝ x2＋16，解得 x ＝3，
∴ AE 的长为3.
1. 如图1，在长方形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8，将△ ABC 沿着 AC 对折
至△ AEC 的位置， CE 与 AD 交于点 F ，则 AF 的长为（ C ）
A . 3 B . 4 C . 5 D . 6
图1
C
2. 如图2，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与BC边的中点D'重合，
若BC＝8，CD＝6，求CF的长.
图2
解：由翻折得 DF ＝FD'，
设 DF ＝FD'＝ x ，则 CF ＝6－ x ，
在Rt△CFD'中，FD'2＝CD'2＋ CF2，
∵CD'＝ BC ＝4，
∴ x2＝42＋（6－ x ）2，解得 x ＝ ，
∴ CF ＝6－ x ＝ .
类型二：勾股定理与旋转
例2 如图， P 是正△ ABC 内的一点，且 PA ＝6， PB ＝8， PC ＝
10，将△ APB 绕点 B 逆时针旋转一定角度后，得到△ CQB .
（1）求点 P 与点 Q 之间的距离；
解：（1）如图，连接 PQ ，
由旋转得： BQ ＝ BP ＝8， QC ＝ PA ＝6，∠
QBC ＝∠ ABP ，∠ BQC ＝∠ BPA ，
∴∠ QBC ＋∠ PBC ＝∠ ABP ＋∠ PBC ，即∠
QBP ＝∠ ABC ，
∵△ ABC 是正三角形，
∴∠ ABC ＝60°，∴∠ QBP ＝60°，
∴△ BPQ 是正三角形，
∴ PQ ＝ BP ＝ BQ ＝8，
∴点 P 与点 Q 之间的距离为8；
（2）求∠ APB 的度数.
解：（2）如图，在△ PQC 中，
∵ PQ ＝8， QC ＝6， PC ＝10，
∴ PQ2＋ QC2＝ PC2，
∴∠ PQC ＝90°，
由（1）得∠ BQP ＝60°，
∴∠ APB ＝∠ BQC ＝∠ BQP ＋∠ PQC ＝150°.
3. 如图3，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， P 是△ ABC 内的一
点，且 PB ＝1， PC ＝2， PA ＝3，求∠ BPC 的度数.
图3
由旋转得 CP ＝ CD ＝2，∠ DCP ＝90°， DB ＝ PA ＝3，
∴△ CPD 为等腰直角三角形，
∴ PD2＝ PC2＋ CD2＝8，∠ CPD ＝45°，
在△ PDB 中， PB ＝1， PD2＝8， DB ＝3，
解：如图，把△ ACP 绕点 C 逆时针旋转90°得到△ BCD ，连接 DP ，
∵ PB2＋ PD2＝12＋8＝32＝ DB2，
∴△ PBD 为直角三角形，且∠ DPB ＝90°，
∴∠ BPC ＝∠ CPD ＋∠ DPB ＝135°.
谢 谢 观 看(共10张PPT)
第4课时 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
★勾股定理的应用：勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，关键
是利用数学建模思想，转化为直角三角形，再根据勾股定理求解.
例1 如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm.如果用
一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ，请计算所用细线最
短需要多长？
解：如图，将长方体沿 AB 边剪开，侧面展开得到矩形AA'B'B，连
接AB'，
由题意得， AB ＝A'B'＝3cm，AA'＝4cm，
∴AB'2＝A'B'2＋AA'2＝25，∴AB'＝5cm，
答：所用细线最短需要5cm.
1. 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为
320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂（如图①），彩旗完全展平时
是如图②所示的长方形（单位：cm），则彩旗下垂时最低处离地面的高
度 h 是（ C ）
A. 230cm B. 200cm
C. 170cm D. 160cm
图1
C
2. 一个透明的圆柱形状的玻璃杯，由内部测得其底面半径为3cm，高为
8cm，今有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则
吸管露出杯口长度最少为 cm.
2
3. 如图2，圆柱的底面半径为 cm，高为9cm，点 A 、 B 分别是圆柱两底
面圆周上的点，且点 A 、 B 在同一母线上，用一根棉线从点 A 顺着圆柱侧
面绕3圈到点 B ，则这根棉线至少长 .
图2
15cm
例2 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水
源，为了不至于走散，他们用两部对话机联络，已知对话机的有效距离
为15千米，早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时
后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10∶00，甲、乙两人相
距多远？还能保持联络吗？
解：根据题意画出图形如图，
由题意知， OA ＝12千米， OB ＝5千米，
在Rt△ OAB 中， AB2＝ OA2＋ OB2＝169，
∴ AB ＝13千米，
∴上午10∶00，甲、乙两人相距13千米，
∵13＜15，∴甲、乙两人还能保持联络.
4. 已知一个三角形的三边长分别为3，4， x ，若此三角形是直角三角
形，则 x2＝ .
5. 如图3，一艘船以12海里/时的速度离开港口 O ，向东北方向航行，另
一艘轮船在同时同地以16海里/时的速度向东南方向航行，它们离开港口
半小时分别到达 A 地、 B 地，求 A 、 B 两地间的距离.
25或7
解：如图，连接 AB ，
由题意得： OA ＝12× ＝6海里，
OB ＝16× ＝8海里，
∵∠ AOB ＝90°，
∴ AB2＝ OA2＋ OB2＝100，
∴ AB ＝10海里，
答： A 、 B 两地间的距离为10海里.
图3
谢 谢 观 看(共14张PPT)
第2课时 探索勾股定理（2）
第一章 勾股定理
★勾股定理的证明：勾股定理的证明一般采取拼图，从不同角度表
示图形的 ，加以证明.主要有以下三种拼图方式：
面积
（1）已知直角三角形两边求出第三边；
（2）用于证明平方关系的问题.
★勾股定理的主要作用：
例1 （1）在△ ABC 中， AB ＝15， AC ＝20， BC 边上的高 AD ＝
12，则 BC 的长为（ ）
A. 25 B. 7
C. 25或7 D. 不能确定
【分析】该题要考虑 BC 边上的高在△ ABC 内和△ ABC 外两种情况.
答案：C.
（2）如图，在△ ABC 中，∠ A ＝90°， DE 为 BC 的垂直平分线，求
证： BE2－ AE2＝ AC2.
证明：如图，连接 EC ，
∵ DE 为 BC 的垂直平分线，
∴ BE ＝ CE ，
由勾股定理得 AE2＋ AC2＝ CE2＝ BE2，
∴ BE2－ AE2＝ AC2.
1. 如图1，是由一个正方形与一个直角三角形构成的图形，则此正方形的
面积是 .
图1
16cm2
2. 如图2，小正方形网格的边长为1，△ ABC 的三边 a ， b ， c 的大小关系
是（ C ）
A. a ＜ c ＜ b B. a ＜ b ＜ c
C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a
图2
C
3. 小丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆的绳子垂到地面还多1m，当她
把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为
（ C ）
A. 10m B. 11m C. 12m D. 13m
4. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝9， BC ＝12，则点 C 到 AB 的距离是
（ A ）
A. B. C. D.
C
A
例2 图①中大正方形的面积可表示为（ a ＋ b ）2，也可表示为 c2＋
4× ab ，即（ a ＋ b ）2＝ c2＋4× ab ，由此推导出一个重要的结论： a2
＋ b2＝ c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.请你用两种方法求
图②（其中四个直角三角形的较小的直角边长都为 a ，较大的直角边长
都为 b ，斜边长都为 c ）的大正方形面积，并验证勾股定理.
解：大正方形的面积为 c2，
四个全等直角三角形的面积为2 ab ，
中间小正方形的面积为（ b － a ）2，
则 c2＝2 ab ＋（ b － a ）2＝ a2＋ b2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
5. 如图3，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三
个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面
积分别为 S1， S2， S3，探索 S1， S2， S3之间的关系，并说明理由.
图3
解： S3＝ S1＋ S2，理由如下：
设大圆的半径为 R ，两个小圆半径分别是 r1、 r2，
则 S1＝π ， S2＝π ， S3＝π R2，
由勾股定理知，（2 R ）2＝（2 r1）2＋（2 r2）2，
∴ R2＝ ＋ ，
∴ S3＝ S1＋ S2.
谢 谢 观 看(共36张PPT)
第7课时 回顾与思考
第一章 勾股定理
★勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c ，那
么 .
★勾股定理的逆定理：在△ ABC 中，若
，则这个三角形是直角三角形.
★满足 的三个正整
数，称为勾股数.
c2＝ a2＋ b2
两条边的平方和等于第三
边的平方
两个较小数的平方和等于第三个数的平方
考点一：勾股定理
点拨：①已知直角三角形的任意两边求第三边；②已知直角三角形
的任意一边确定另两边的数量关系；③证明包含平方关系的几何问题.
例1 如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点 A 出发，沿北
偏东60°方向走了4km到达点 B ，然后再沿北偏西30°方向走了3km到达目
的地点 C . 求 A 、 C 两点之间的距离.
解：如图，过点 B 作 BE ∥ AD ，
∴∠ DAB ＝∠ ABE ＝60°，
∵30°＋∠ CBA ＋∠ ABE ＝180°，
∴∠ CBA ＝90°，
即△ ABC 为直角三角形，
在Rt△ ABC 中， AC2＝ BC2＋ AB2＝25，
∴ AC ＝5km，
答： A 、 C 两点之间的距离为5km.
1. 如果一个直角三角形的三条边长是三个自然数，其中有两边的长分别
为6和10，那么这个三角形的第三条边长是 .
2. 在Rt△ ABC 中，斜边 AB ＝2，则2 AB2－ AC2－ BC2＝ .
8
4
考点二：勾股定理的逆定理
点拨：勾股定理的逆定理主要用于判断一个三角形是否是直角三角
形，也常用于证明两直线垂直.
例2 如果一个三角形的三边长分别为 a ， b ， c 且满足 a2＋ b2＋ c2＋
12.5＝3 a ＋4 b ＋5 c ，求这个三角形的面积.
解：∵ a2＋ b2＋ c2＋12.5＝3 a ＋4 b ＋5 c ，
∴（ a －1.5）2＋（ b －2）2＋（ c －2.5）2＝0，
∴ a ＝1.5， b ＝2， c ＝2.5，
∵1.52＋22＝2.52，∴ a2＋ b2＝ c2，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积为 ab ＝1.5.
3. 下列所给数据为三角形的各边长，能组成直角三角形的有（ C ）
① a2＋ b2，2 ab ， a2－ b2（ a ， b 都是正整数，且 a ＞ b ）；②9，15，
25；③15，17，8；④11，60，61；⑤2 m2＋2 m ，2 m2＋2 m ＋1，2 m ＋1
（ m 是正整数）.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
4. 已知 a ， b ， c 为△ ABC 三边且满足 a2 c2－ b2 c2＝ a4－ b4，则它的形状
为（ D ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
D
5. 如图1， CD 是△ ABC 中 AB 边上的高，且 CD2＝ AD · DB ，试说明∠
ACB ＝90°.
图1
解：∵ CD ⊥ AB ，
∴∠ ADC ＝∠ BDC ＝90°，
∴ AC2＝ AD2＋ CD2， BC2＝ CD2＋ BD2，
∴ AC2＋ BC2
＝ AD2＋2 CD2＋ BD2
＝ AD2＋2 AD · DB ＋ BD2
＝（ AD ＋ BD ）2＝ AB2，
∴△ ABC 为直角三角形，
∴∠ ACB ＝90°.
图1
考点三：相关数学思想方法
（一）方程思想
点拨：若不能直接用勾股定理求边，则引入未知数建立方程求解.
例3 如图，有一直立标杆，它的上部被风从 B 处吹折，杆顶 C 着
地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处 D 比前一次低0.5m，故杆
顶 E 着地比前一次远1m，求原标杆的高.
解：依题意得 AC ＝2m， AE ＝3m，
设原标杆的高为 x m，
在Rt△ ABC 中， AB2＋ AC2＝ BC2，
即 AB2＋22＝（ x － AB ）2，
整理得 x2－2 x · AB ＝4，
在Rt△ ADE 中， AD2＋ AE2＝ DE2，
即（ AB －0.5）2＋32＝（ x － AB ＋0.5）2，
整理得 x2－2 x · AB ＋ x ＝9，
∴4＋ x ＝9，解得 x ＝5，
答：原标杆的高为5m.
6. 如图2所示，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在点C'的位
置上，已知 AB ＝3， BC ＝7，求重合部分△ EBD 的面积.
图2
解：设 AE ＝ x ，则 DE ＝7－ x ，
在△ ABE 和△C'DE中，
，
∴△ ABE ≌△C'DE（AAS），
∴ BE ＝ DE ＝7－ x ，
由勾股定理得， AE2＋ AB2＝ BE2，
即 x2＋32＝（7－ x ）2，解得 x ＝ ，
∴ DE ＝7－ x ＝ ，
∴ S△ EBD ＝ DE · AB ＝ .
图2
7. 如图3，△ ABC 中，∠ B ＝22.5°，∠ C ＝60°， AB 的垂直平分线
DF 交 BC 于 D ，交 AB 于 F ， AE ⊥ BC 于 E ，连接 AD ，若 BD2＝
72，求 EC2的值.
图3
解：∵∠ B ＝22.5°， DF 垂直平分 AB ，
∴∠ ADE ＝2∠ B ＝45°， AD ＝ BD ，
∵ AE ⊥ BC ，
∴∠ DAE ＝90°－∠ ADE ＝45°，
∴ AE2＝ AD2＝ BD2＝36，
∵∠ C ＝60°，∴∠ CAE ＝30°，
∴ AC ＝2 EC ，
由勾股定理得， AE2＋ EC2＝ AC2，
即36＋ EC2＝4 EC2，∴ EC2＝12.
图3
（二）转化思想
点拨：非直角三角形可以作辅助线构造直角三角形解决；立体图形
上两点最短路线问题应转化为平面图形解决.
例4 如图所示，木长二丈，它的一周是三尺，生长在木下的葛藤缠
木七周，上端恰好与木平齐，问葛藤至少长多少尺？（1丈＝10尺）
解：如图所示：
一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长7×3＝21尺，
∵202＋212＝841＝292，
∴葛藤至少长29尺.
8. 如图4，正方体 ABCD －A'B'C'D'的棱长为2， P 为棱AA'的中点， Q 为
棱BB'上任意一点.
（1）当点 Q 在什么位置时， PQ ＋ QC 的值最小？
解：（1）如图，将ABB'A'面与BCC'B'面在平面上
展开，
图4
则当 P 、 Q 、 C 三点在同一条直线上时， PQ ＋ QC 的值最小，
∵AA'＝ AB ＝ BC ＝2， P 为AA'的中点，
∴ AP ＝ AA'＝1， AC ＝4，
∵ S△ PAC ＝ S四边形 ABQP ＋ S△ BCQ ，
∴ AP · AC ＝ （ BQ ＋ AP ）· AB ＋ BQ · BC ，
即2＝ BQ ＋1＋ BQ ，∴ BQ ＝0.5，
∴当 BQ ＝0.5时， PQ ＋ QC 的值最小；
（2）若 x ＝ PQ ＋ QC ，求 x2的最小值.
解：（2）在（1）的条件下， x2即能取到最小值，
为 AP2＋ AC2＝12＋42＝17.
图4
9. 如图5，长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、5cm.若一只蚂蚁从点 P
开始经过4个侧面爬行一圈到达点 Q ，则蚂蚁爬行的最短路径长
为 cm；如果从点 P 开始经过4个侧面缠绕 n 圈到达点 Q ，那么所用
细线最短长度的平方是 （用含 n 的代数式表示）.
13
25＋144 n2
图5
（三）分类讨论思想
点拨：在直角三角形中并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类
讨论；等腰三角形不知道腰和底，此时也要讨论，即分类讨论思想.
例5 在△ ABC 中， AB ＝15， AC ＝13，高 AD ＝12，求 BC 的长.
解：①当△ ABC 为锐角三角形时，如图1，
在Rt△ ACD 中， AC ＝13， AD ＝12，
∴ CD2＝ AC2－ AD2＝25，∴ CD ＝5，
在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，
∴ BD2＝ AB2－ AD2＝81，∴ BD ＝9，
∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝14；
②当△ ABC 为钝角三角形时，如图2，
在Rt△ ACD 中， AC ＝13， AD ＝12，
∴ CD2＝ AC2－ AD2＝25，∴ CD ＝5，
在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，
∴ BD2＝ AB2－ AD2＝81，∴ BD ＝9，
∴ BC ＝ BD － CD ＝4，
综上所述， BC 的长为14或4.
10. 一个等腰三角形的周长为14，一边长为4，求底边上高的平方.
解：①当4为腰长时，底边长为6，
底边上的高的平方为42－（ ）2＝7；
②当4为底边长时，腰长为5，
底边上的高的平方为52－（ ）2＝21，
综上所述，底边上高的平方为7或21.
（四）构造法
点拨：构造全等三角形将已知线段转化到一个三角形中，再利用勾
股定理或者勾股定理的逆定理解决问题.
例6 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， P 是△ ABC 内
一点，且 PA ＝6， PB ＝2， PC ＝4，求∠ BPC 的度数.
解：如图，将△ PAC 绕点 C 逆时针旋转90°得到△ DBC ，
则△ DBC ≌△ PAC ，
∴ DC ＝ PC ＝4， DB ＝ PA ＝6，∠ PCD ＝90°，
∴ PD2＝ DC2＋ PC2＝32，
∵ DB2＝ PB2＋ PD2，
∴△ PBD 是直角三角形，且∠ BPD ＝90°，
∵∠ CPD ＝∠ CDP ＝45°，
∴∠ BPC ＝∠ CPD ＋∠ BPD ＝135°.
11. 如图6，已知△ ABC 是等边三角形， O 是△ ABC 内一点， OA ＝5，
OB ＝4， OC ＝3，则∠ BOC ＝ .
图6
150°
12. 如图7， P 是等边△ ABC 内一点， PA ＝2， BP2＝12， PC ＝4，则∠
BPC ＝ .
图7
90°
谢 谢 观 看(共12张PPT)
第1课时 探索勾股定理（1）
第一章 勾股定理
★勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c ，那
么 ，即：直角三角形两直角边的平方和等于
.
★使用勾股定理一定要先判断是否是直角三角形.
c2＝ a2＋ b2
斜边的平
方
例1 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边
分别为 a 、 b 、 c .
（1）若 a ∶ b ＝5∶12， c ＝26，求 b 的值；
【分析】（1）可设每份为 x ，列方程求解；
答案：（1） b ＝24；
（2）若 a ＝6， b ＝8，求 c 及斜边上的高 h 的值.
【分析】（2）直接用勾股定理求出 c 的值，用面
积法求出斜边上的高 h 的值.
答案：（2） c ＝10， h ＝4.8.
1. 如图1，三个正方形的三边恰好围成一个直角三角形，其中两个正方形
的面积为100和225，则第三个正方形的面积是（ B ）
A. 125
B. 325
C. 256
D. 355
图1
2. 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ A ）
A. 8 B. 13 C. 25 D. 64
B
A
3. 已知在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，若 a ＝9， c ＝15，则 b ＝ ；若
a ＝12， b ＝16，则 c ＝ .
4. 如图2，小张为测量校园内池塘 A ， B 两点间的距离，他在池塘边选定
一点 C ，使∠ ABC ＝90°，并测得 AC ＝26m， BC ＝24m，则 A ， B 两点
间的距离为 .
图2
12
20
10m
5. 如图3，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 .（结果保
留π）
图3
72π
例2 如图，折叠矩形（四个角都是直角，对边相等）的一边 AD 使
点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB ＝8cm， BC ＝10cm，求 EC 的长.
解：由折叠知， AF ＝ AD ＝10cm， DE ＝ EF ，
在Rt△ ABF 中， BF2＝ AF2－ AB2＝36，
∴ BF ＝6cm，∴ FC ＝ BC － BF ＝4cm，
设 EC ＝ x cm，则 DE ＝ EF ＝（8－ x ）cm，
在Rt△ EFC 中， EC2＋ FC2＝ EF2，
即 x2＋42＝（8－ x ）2，解得 x ＝3，
∴ EC 的长为3cm.
6. 如图4，在矩形纸片 ABCD 中， AB ＝18cm，把矩形纸片沿直线 AC 折
叠，点 B 落在点 E 处， AE 交 DC 于点 F ，若 AD ＝12cm，求 AF 的长.
图4
解：根据折叠前后边角的相等关系可知：
CE ＝ CB ＝ AD ＝12cm，∠ E ＝∠ D ＝90°，
∵∠ DFA ＝∠ EFC ，
∴△ ADF ≌ CEF （AAS），
∴ DF ＝ EF ， AF ＝ CF ，
设 AF ＝ x cm，则 EF ＝ DF ＝（18－ x ）cm，
在Rt△ ADF 中， AD2＋ DF2＝ AF2，
即122＋（18－ x ）2＝ x2，
解得： x ＝13，
∴ AF 的长为13cm.
谢 谢 观 看(共12张PPT)
第3课时 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
★勾股定理的逆定理：△ ABC 中，若
，则这个三角形是直角三角形.
★满足 的三个正整
数，称为勾股数.常用的勾股数组：3、4、5；5、12、13；6、8、10；
7、24、25；8、15、17；9、40、41等.若 a ， b ， c 是勾股数，则 ka ，
kb ， kc （ k 为正整数）也是勾股数.
两条边的平方和等于第三边
的平方
两个较小数的平方和等于第三个数的平方
例1 （1）下列由线段 a ， b ， c 组成的三角形不是直角三角形的是
（ ）
A. a ＝3， b ＝4， c ＝5
B. a ＝12， b ＝13， c ＝5
C. a ＝15， b ＝8， c ＝17
D. a ＝13， b ＝14， c ＝15
【分析】A. 32＋42＝52，B. 52＋122＝132，C. 152＋82＝172，A、B、
C是直角三角形；D. 132＋142≠152，不是直角三角形.
答案：D.
（2）已知 a 、 b 、 c 为△ ABC 的三边，且满足（ a － b ）（ a2＋ b2－
c2）＝0，则△ ABC 是（ ）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【分析】由（ a － b ）（ a2＋ b2－ c2）＝0，可得 a ＝ b 或 a2＋ b2＝
c2，即可判断△ ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D.
1. 满足下列条件的△ ABC 中，直角三角形的个数为（ A ）
① a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ；
② a ＝6，∠ A ＝45°；
③∠ A ＝32°，∠ B ＝58°；
④ a ＝7， b ＝24， c ＝25；
⑤ a ＝2， b ＝2， c ＝4.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
A
2. 三角形的三边长分别为 a 、 b 、 c ，且满足（ a ＋ b ）2－ c2＝2 ab ，则
此三角形是（ B ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3. 下列各组数中，属于勾股数的是（ B ）
A . 4，5，6 B . 12，16，20
C . －10，24，26 D . 0.6，0.8，1
4. 在△ABC中，已知BC＝41，AC＝40，AB＝9，则△ABC为
三角形， 是最大的角.
B
B
直角
∠ A
5. 如果一个三角形的三边长分别为15、20、25，那么这个三角形最长边
上的高为 .
6. 已知｜ x －6｜＋｜ y －8｜＋（ z －10）2＝0，则以 x ， y ， z 为三边长
的三角形是 三角形.
12
直角
例2 如图， P 为等边△ ABC 内的一点，连接 AP ， BP ， CP ，以 PB
为边作∠ PBQ ＝60°，且 BQ ＝ BP ，连接 CQ .
（1）猜想 AP 与 CQ 的大小关系，并证明；
解：（1）猜想： AP ＝ CQ ，
证明：由△ ABP ≌△ CBQ （SAS），从而得到
AP ＝ CQ ；
（2）若 PA ∶ PB ∶ PC ＝5∶12∶13，连接 PQ ，试判断△ PQC 的形
状，并说明理由.
解：（2）△ PQC 是直角三角形.理由：设 PA ＝
5 a ， PB ＝12 a ， PC ＝13 a ，由△ PBQ 为等边三角
形得 PQ ＝12 a ，由（1）可得 CQ ＝5 a ，根据勾股定
理逆定理可得△ PQC 是直角三角形.
7. 如图，四边形 ABCD 中， AB ＝3cm， AD ＝4cm， BC ＝13cm， CD ＝
12cm，且∠ A ＝90°，求四边形 ABCD 的面积.
解：如题图，连接 BD ，
在Rt△ ABD 中， BD2＝ AB2＋ AD2＝25，
∴ BD ＝5cm，
在△ BDC 中，∵ CD2＋ BD2＝ BC2，
∴△ BDC 是直角三角形，且∠ BDC ＝90°，
∴ S四边形 ABCD ＝ S△ ABD ＋ S△ BDC ＝ ×3×4＋ ×5×12＝36cm2.
谢 谢 观 看
