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第8课时 回顾与思考
第三章 位置与坐标
一、选择题
1. 下列数据不能确定物体位置的是（ C ）
A. 6楼8号
B. 大学路19号
C. 红星电影院2排
D. 东经110°，北纬114°
C
2. 若点 A （ a －2，3）和点 B （－1， b ＋5）关于 y 轴对称，则点 C
（ a ， b ）在（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 点（3，－1）到原点的距离为（ D ）
A. 2 B. 3 C. 1 D.
D
D
二、填空题
4. 若电影院中的5排2号记为（5，2），则3排5号记为 .
5. （1）已知点 P 到 x 轴的距离为2，到 y 轴的距离为3，且在第四象限
内，则点 P 的坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系内，线段 AB ∥ x 轴，且 AB ＝3，若点 B 的坐标为
（2，4），则点 A 的坐标是 ；
（3）在平面直角坐标系中，按照一定规律写出了下列各点坐标： A1
（2，2）， A2（3，5）， A3（4，10）， A4（5，17），…，按照此规
律，点 A10的坐标为 .
（3，5）
（3，－2）
（5，4）或（－1，4）
（11，101）
三、解答题
6. 有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点 A （－2，1）， B
（－3，－4）可识别.请根据以上信息解答下列问题：
（1）在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑
C （3，2）的位置；
第6题图
解：（1）建立平面直角坐标系，主要建筑 C （3，2）的位置如图所示；
（2）标志点 A 与主要建筑 C 的图上距离为 .
解：（2）如图，连接 AC ，
∴ AC ＝ ＝ ，
故答案为： .
第6题图
7. 已知点 P （3 m －6， m ＋1），试分别根据下列条件，求出点 P 的
坐标：
（1）点 P 在 y 轴上；
解：（1）∵点 P （3 m －6， m ＋1）在 y 轴上，
∴3 m －6＝0，解得 m ＝2，
即 P （0，3）；
（2）点 P 在 x 轴上；
解：（2）∵点 P （3 m －6， m ＋1）在 x 轴上，
∴ m ＋1＝0，解得 m ＝－1，
即 P （－9，0）；
（3）点 P 的横坐标比纵坐标大1；
解：（3）∵点 P （3 m －6， m ＋1）的横坐标比纵坐标大1，
∴3 m －6－1＝ m ＋1，解得 m ＝4，
即 P （6，5）；
（4）点 P 在过点 A （3，－2），且与 x 轴平行的直线上.
解：（4）∵点 P 在过点 A （3，－2），且与 x 轴平行的直线上，
∴ m ＋1＝－2，解得 m ＝－3，
即 P （－15，－2）.
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A （0，1）， C （4，3）两点.
（1）△ ABC 关于 y 轴对称的图形为△ A1 B1 C1，则点 C1的坐标
为 ；
（－4，3）
第8题图
（2）△ A1 B1 C1的面积是 ；
解：（2）∵△ ABC 与△ A1 B1 C1关于 y 轴对称，
∴ ＝ S△ ABC ＝ ×3×2＝3，
故答案为：3；
第8题图
3
（3）画出与△ ABC 全等的△ ABD （点 D 不与点 C 重合），点 D 的坐标
为 .
解：（3）如图所示，
第8题图
由图可知， D1（－1，3），
D2（－1，－1），
D3（4，－1），
故答案为：（－1，3）或
（－1，－1）或（4，－1）.
（－1，3）或（－1，－1）或（4，－1）
一、填空题
9. 如图，把一个等腰直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系中，点 A 和点
B 的坐标分别是（0，1）和（2，1），点 C 在 x 轴正半轴上.∠ BAC 的平
分线 AD 交 x 轴于点 D ，则点 D 的坐标是 .
第9题图
（ ＋1，0）
二、解答题
10. 如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A （0，2）， B （－2，
0）， C （4，0）.
（1）△ ABC 的面积为 ；
解：（1） S△ ABC ＝ BC · AO ＝6，
故答案为：6；
第10题图
6
（2）将点 B 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应
点 D ，求△ ACD 的面积；
解：（2）如图，连接 OD ，
第10题图
由题意知 D （5，4），
∴ S△ ACD ＝ S△ AOD ＋ S△ COD － S△ AOC
＝ ×2×5＋ ×4×4－ ×2×4＝9；
（3）点 P （ m ，3）是平面内一点，若△ PAO 的面积等于△ CAO 的面
积，请直接写出点 P 的坐标.
解：（3）由题意知点 P 是直线 y ＝3上的一个动点，
∵ S△ PAO ＝ S△ CAO ，
∴ ×2｜ m ｜＝ ×2×4，
解得 m ＝±4，
∴ P （－4，3）或 P （4，3）.
第10题图
解答题
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定
义：“水平底” a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” h ：任意两
点纵坐标差的最大值，则“矩面积” S ＝ ah .例如：三点坐标分别为
（1，2），（－3，1），（2，－2），则“水平底” a ＝5，“铅垂高”
h ＝4，“矩面积” S ＝ ah ＝20.已知点 A （1，2）， B （－3，1）， P
（0， t ）.
（1）若 A ， B ， P 三点的“矩面积” S ＝12，求点 P 的坐标；
解：（1）“水平底” a ＝1－（－3）＝4，
∵“矩面积” S ＝12，∴“铅垂高” h ＝3，
①当 t ＞2时， h ＝ t －1，
则 t －1＝3，解得 t ＝4，
∴点 P 的坐标为（0，4）；
②当 t ＜1时， h ＝2－ t ，
则2－ t ＝3，解得 t ＝－1，
∴点 P 的坐标为（0，－1）；
③当1≤ t ≤2时， h ＝2－1＝1，不符合题意，
∴此种情况不存在，
综上所述，点 P 的坐标为（0，4）或（0，－1）；
（2）直接写出 A ， B ， P 三点的“矩面积” S 的最小值.
解：（2）∵“水平底” a ＝4，
∴当1≤ t ≤2时，“铅垂高” h 有最小值，为1，
∴ A ， B ， P 三点的“矩面积” S 的最小值为4.
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第4课时 平面直角坐标系（3）
第三章 位置与坐标
一、选择题
1. 已知点 P 在第三象限内，如果点 P 到 x 轴的距离是6，到 y 轴的距离是
2，那么点 P 的坐标为（ B ）
A. （－6，2） B. （－2，－6）
C. （－2，6） D. （2，－6）
2. 在平面直角坐标系中，点 P （3，4）到原点的距离是（ C ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. ±5
B
C
3. 若点 A （ m －3， m ＋1）在第二、四象限的角平分线上，则点 A 的坐
标为（ C ）
A. （－1，1） B. （－2，－2）
C. （－2，2） D. （2，2）
C
二、填空题
4. 点 P 的横坐标是－3，且到 x 轴的距离为5，则点 P 的坐标是
.
（－3，
5）或（－3，－5）
5. 如图，在 x 轴， y 轴上分别截取 OA ， OB ，使 OA ＝ OB ，再分别以点
A ， B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点 P . 若
点 P 的坐标为（ a ，2 a －3），则 a 的值为 .
3
第5题图
三、解答题
6. 已知点 P （2 a －2， a ＋5）在第二象限，且它到 x 轴、 y 轴的距离相
等，求 a2025＋ 的值.
解：∵点 P 在第二象限，且它到 x 轴、 y 轴的距离相等，
∴2 a －2＝－（ a ＋5），解得 a ＝－1，
∴ a2025＋ ＝（－1）2025－1＝－2.
7. 已知点 A （－2，0）， B （4，0）， C （－2，－3）.
（1）求 A 、 B 两点之间的距离；
解：（1）∵ A （－2，0）， B （4，0），
∴ A 、 B 两点都在 x 轴上，
∴ AB ＝｜4－（－2）｜＝6，
∴ A 、 B 两点之间的距离为6；
（2）求点 C 到 x 轴的距离；
解：（2）点 C 到 x 轴的距离是3；
（3）求△ ABC 的面积.
解：（3）∵ A 、 B 两点都在 x 轴上，
∴ S△ ABC ＝ AB ·｜ yC ｜＝9.
8. 在平面直角坐标系中，有点 A （1，2 a ＋1）， B （－ a ， a －3）.
（1）当点 A 在第一象限的角平分线上时，求 a 的值；
解：（1）由题意，得2 a ＋1＝1，解得 a ＝0；
（2）当点 B 到 x 轴的距离是到 y 轴距离的2倍时，求点 B 所在的象限；
解：（2）由题意，得｜ a －3｜＝2｜－ a ｜，
解得 a ＝－3或1，
当 a ＝－3时，点 B （3，－6）在第四象限；
当 a ＝1时，点 B （－1，－2）在第三象限；
（3）若线段 AB ∥ x 轴，求△ AOB 的面积.
解：（3）∵ AB ∥ x 轴，∴2 a ＋1＝ a －3，
解得 a ＝－4，
∴ A （1，－7）， B （4，－7），∴ AB ＝3，
∴ S△ AOB ＝ AB ·｜ yA ｜＝ .
一、填空题
9. 如图，△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （0，2）， B （4，0）， C
（6，4），则△ ABC 的周长为 ，△ ABC 的面积
为 .
4 ＋2
10
第9题图
二、解答题
10. 如图，在直角坐标系中，点 B 的坐标为（ a ， b ），且 a 、 b 满足
＋（ a －2）2＝0.
（1）求点 B 的坐标；
（1）解：∵ ＋（ a －2）2＝0，
∴ ＝0，（ a －2）2＝0，
∴，解得，
∴点 B 的坐标为（2，2）；
第10题图
（2）点 A 为 y 轴上一动点，过点 B 作 BC ⊥ AB 交 x 轴正半轴于点 C ，求
证： BA ＝ BC .
第10题图
（2）证明：如图，过点 B 作 BM ⊥ y 轴于点 M ， BN ⊥ x 轴于点 N ，
则∠ MBN ＝∠ AMB ＝∠ CNB ＝90°，
∵ BC ⊥ AB ，
∴∠ ABC ＝90°，
∴∠ ABM ＝∠ CBN ，
∵ B （2，2），∴ BM ＝ BN ，
在△ ABM 和△ CBN 中，
，
∴△ ABM ≌△ CBN （ASA），
∴ BA ＝ BC .
解答题
11. 阅读材料：
已知点 P1（ x1， y1）、 P2（ x2， y2），则其两点间的距离为 P1 P2＝
.
回答问题：
（1）已知点 A （－2，3）、 B （4，－5），试求 A 、 B 两点间的距离；
解：（1） AB ＝ ＝10；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为 A （0，6）、 B （－3，2）、 C
（3，2），请判断此三角形的形状，并说明理由；
解：（2）△ ABC 为等腰三角形.理由如下：
∵ AB ＝ ＝5，
BC ＝3－（－3）＝6，
AC ＝ ＝5，
∴ AB ＝ AC ，
∴△ ABC 为等腰三角形；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 A （－1，3）、 B （0，1）、 C
（2，2），请判断此三角形的形状，并说明理由；
解：（3）△ ABC 为等腰直角三角形.理由如下：
∵ AB ＝ ＝ ，
BC ＝ ＝ ，
AC ＝ ＝ ，
且（ ）2＋（ ）2＝（ ）2，
∴ AB ＝ BC ， AB2＋ BC2＝ AC2，
∴△ ABC 为等腰直角三角形；
（4）已知点 M （－4，2）、 N （2，－6），点 P 在 y 轴上，且 PM ＝
PN ，求点 P 的坐标.
解：（4）设点 P 的坐标为（0， y ），
∵ PM ＝ PN ，∴ PM2＝ PN2，
即（－4－0）2＋（2－ y ）2＝（2－0）2＋（－6－ y ）2，解得 y ＝－ ，
∴点 P 的坐标为（0，－ ）.
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第7课时 轴对称与坐标变化
第三章 位置与坐标
一、选择题
1. 点（3，3）关于 x 轴对称的点是（ A ）
A. （3，－3） B. （－3，3）
C. （3，3） D. （－3，－3）
2. 已知点 M （2， a ）与点 N （ b ，3）关于 y 轴对称，则 ba 的值为（ D ）
A. 6 B. －6 C. 8 D. －8
A
D
3. 如图， x 轴是△ AOB 的对称轴， y 轴是△ BOC 的对称轴，点 A 的坐标
为（1，2），则点 C 的坐标为（ A ）
A. （－1，－2） B. （1，－2）
C. （－1，2） D. （－2，－1）
第3题图
A
二、填空题
4. 在平面直角坐标系中，点 P （－2，3）关于直线 x ＝1的对称点的坐标
是 .
5. 已知△ ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，若△A'B'C'与△ ABC 关
于 y 轴对称，则点 A 的对应点A'的坐标是 .
（4，3）
（3，2）
第5题图
三、解答题
6. 如图，已知平面直角坐标系中 A （－1，3）， B （2，0）， C （－3，
－1）.在图中作出△ ABC 关于 y 轴的对称图形△ A1 B1 C1，并写出点 A1，
B1， C1的坐标.
第6题图
解：如图所示：
A1（1，3）， B1（－2，0）， C1（3，－1）.
7. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形
的边长为1，请按要求完成下列各题：
第7题图
（1）写出△ ABC 三个顶点的坐标；
解：（1） A （0，－2）， B （2，－4），
C （4，0）；
（2）画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1 C1 ，
写出点 A1 的坐标；
解：（2）如题图，△ A1 B1 C1 即为所画图形，A1 （0，2）；
第7题图
（3）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A2 B2 C2 ，写出点 C2 的坐标；
解：（3）如题图，△ A2 B2 C2 即为所画图形，C2 （－4，0）；
第7题图
第7题图
（4）求△ ABC 的面积.
第7题图
解：（4）如题图，作 BE ∥ x 轴交 y 轴于点 E ，作 CD ⊥ x 轴交 EB 的延长
线于点 D ，
∴ S△ ABC ＝ S正方形 OCDE － S△ AOC － S△ CBD
－ S△ ABE ＝4×4－ ×2×4－ ×2×4－
×2×2＝6.
第7题图
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （－4，1）， B （1，1）， C
（－3，3）.
（1）画出△ ABC ，判断△ ABC 的形状是 三角形；
第8题图
第8题图
直角
解：（1）△ ABC 如题图所示，
∵ AB ＝5， AC ＝ ，
BC ＝2 ，
∴ AB2＝ AC2＋ BC2，
∴△ ABC 为直角三角形，
故答案为：直角；
（2）点 C 关于 x 轴的对称点C’
的坐标为 ；
（－3，－3）
（3）已知点 P 是 y 轴正半轴上一点，若 S△ ABC ＝ S△ ABP ，则点 P 的坐标
是 .
第8题图
第8题图
解：（3）设 P （0， yP ）（ yP ＞0），
∵ S△ ABC ＝ AB ·｜ yC － yB ｜＝5，
∴ S△ ABP ＝ AB ·｜ yP － yB ｜＝5，
∴｜ yP －1｜＝2，
解得 yP ＝3或－1（舍），
∴ P （0，3），
故答案为：（0，3）.
（0，3）
一、填空题
9. 如图，点 B ， C 在 x 轴上，∠ BCD ＝15°，点 B 与点 A （0，3）关于射
线 CD 对称.则：
第9题图
（1）∠ BAO ＝ °；
15
（2）点 B 的坐标为 .
（3 －6，0）
二、解答题
10. 如图，在平面直角坐标系中.
第10题图
（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1 B1 C1；
解：（1）△ A1 B1 C1 如题图所示；
第10题图
（2）直接写出 A1 ， B1 ， C1 三点的坐标；
解：（2） A1 （2，3）， B1 （3，1），
C1 （－1，－2）；
第10题图
（3）请在坐标系中的 x 轴上找一点 P ，
使得 PA ＋ PB 的值最小.
解：（3）如题图，作点 B 关于 x 轴的对称点B'，连接AB'交 x 轴于点 P ，
连接 BP ，此时 PA ＋ PB 的值最小，点 P 即为所求.
第10题图
解答题
11. 已知△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线 l 过点 M
（3，0）且平行于 y 轴.
第11题图
（1）作出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1 B1 C1，并写出△ A1 B1 C1各顶点的坐标；
解：（1）如题图，△ A1 B1 C1即为所求，
A1（0，4）， B1（2，2）， C1（1，1）；
第11题图
（2）如果点 P 的坐标是（－ a ，0），其中 a ＞0，点 P 关于 y 轴的对称点
是 P1，点 P1关于直线 l 的对称点是 P2，求 P1 P2的长；（用含 a 的代数式
表示）
第11题图
图1
图1
解：（2）①如图1，当0＜ a ≤3时， P1（ a ，0），
∵点 P1与点 P2关于直线 l ： x ＝3对称，
∴设 P2（ x ，0），则 ＝3，即 x ＝6－ a ，
∴ P2（6－ a ，0），
∴ P1 P2＝6－ a － a ＝6－2 a ；
②如图2，当 a ＞3时， P1（ a ，0），
∵点 P1与点 P2关于直线 l ： x ＝3对称，
∴设 P2（ x ，0），则 ＝3，即 x ＝6－ a ，
∴ P2（6－ a ，0），
∴ P1 P2＝ a －（6－ a ）＝2 a －6，
综上所述，当0＜ a ≤3时， P1 P2＝6－2 a ；
当 a ＞3时， P1 P2＝2 a －6；
图2
图2
（3）通过计算判断， PP2的长会不会随点 P 位置的变化而变化？
解：（3）当0＜ a ≤3时，
PP2＝ PP1＋ P1 P2＝2 a ＋6－2 a ＝6；
当 a ＞3时，
PP2＝ PP1－ P1 P2＝2 a －（2 a －6）＝6，
∴ PP2的长不会随点 P 位置的变化而变化.
第11题图
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第1课时 确定位置
第三章 位置与坐标
一、选择题
1. 下列数据不能确定物体位置的是（ C ）
A. 3楼6号 B. 南大街27号
C. 北偏东60° D. 东经120°，北纬37°
2. 台风来袭，气象台需要确定台风中心位置，需要由观测点确定的是
（ D ）
A. 台风的类型 B. 方位角
C. 距离 D. 方位角，距离
C
D
3. 如图，若用（4，2）表示点 A 的位置，则表示点 M ， N 的位置的有序
数对分别是（ B ）
A. （2，3），（4，5） B. （2，3），（5，4）
C. （3，2），（4，5） D. （3，2），（5，4）
第3题图
B
二、填空题
4. 如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，3）表示
.
5. 如图是某市地图简图的一部分，如果图中“故宫”所在区域用“ E 2”
表示，那么“鼓楼”所在的区域表示为 .
4排3
号
D 1
第5题图
三、解答题
6. 如图是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室在4楼3门，我们用（4，3）来表示其位置.试根据此方法，结合图形，完成下列问题：
第6题图
（1）儿科诊室可以表示为 ；
（2）口腔科诊室在 楼 门；
（3）与院长室同楼层的有 ；
（4）与神经科诊室同楼层的有
；
（5）表示为（1，2）的诊室是 ；
（6）表示为（3，5）的诊室是 ；
（7）在3楼7门的是 .
（2，4）
1
7
外科
儿科、
内科
骨科
皮肤科
第6题图
妇科
7. 如图，根据下列描述，在图中标出每个同学家的位置.
第7题图
（1）小红家在学校东偏北30°方向150米处；
（2）学校在小平家北偏西45°方向200米处；
（3）小华家在学校南偏西60°方向100米处；
（4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处.
解：如图所示：
8. 如图，如果用（1，0）表示点 A 的位置，那么：
（1）（4，2）和（5，6）分别表示哪两点的位置？
解：（1）（4，2）表示点 B 的位置，（5，6）
表示点 C 的位置；
第8题图
（2）图中 D 、 E 两点的位置如何表示？
解：（2）点 D 的位置为（7，4），点 E 的位置
为（8，3）；
第8题图
（3）若从点 A 运动到点 B 有这样一条路径：（1，0）→（1，1）→
（1，2）→（2，2）→（3，2）→（4，2），用同样方法写出一条由点
A 到点 B 的其他途径.
解：（3）从点 A 运动到点 B 的路径为（1，0）
→（2，0）→（3，0）→（4，0）→（4，1）→
（4，2）（答案不唯一，合理即可）.
第8题图
一、填空题
9. 将自然数按以下规律排列：
数2在第二行，第一列，与有序数对（2，1）对应；同理可得数5与（1，
3）对应；数14与（3，4）对应；根据这一规律，与数2025对应的有序数
对为 .
（45，1）
二、解答题
10. 如图是某学校平面图的一部分，其中 A 代表音乐楼， B 代表实验楼， C 代表图书馆，正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，试结合图形回答下列问题：
（1）若用（1，4）表示音乐楼 A 的位置，则实验楼 B 和图书馆 C 的位置
如何表示？
解：（1）实验楼 B 用（4，1）表示，图书馆
C 用（5，8）表示；
第10题图
（2）图书馆 C 在音乐楼 A 的什么方向上？实验楼 B 在音乐楼 A 的什么方
向上？
解：（2）图书馆 C 在音乐楼 A 的东北方向
（北偏东45°方向）上，实验楼 B 在音乐楼 A
的东南方向（南偏东45°方向）上；
第10题图
（3）三座楼房之间修三条路 AC ， AB ， BC ，且已知这三条路的长度存在下列关系： AC2＋ AB2＝ BC2.量得点 B 到点 A 的距离为3 ，若记东偏北方向为“＋”，东偏南方向为“－”，则点 B 相对于点 A 的位置记作
（－45°，3 ），那么点 C 相对于点 A 的位置如何表示？
第10题图
解：（3）点 C 相对于点 A 的位置记作（＋
45°，4 ）.
解答题
11. 如图1，将射线 OX 按逆时针方向旋转β度角，得到射线 OY ，如果点 P
为射线 OY 上的一点，且 OP ＝ a ，那么我们规定用（ a ，β）表示点 P 在
平面内的位置，并记为 P （ a ，β）.例如，图2中，如果 OM ＝8，∠ XOM
＝110°，那么点 M 在平面内的位置记为 M （8，110），根据图形，解答
下列问题：
第11题图
（1）如图3，如果点 N 在平面内的位置记为 N （6，30），那么 ON
＝ ，∠ XON ＝ °；
解：（1）根据点 N 在平面内的位置为 N （6，30）可知， ON ＝6，∠
XON ＝30°，
故答案为：6，30；
第11题图
6
30
（2）如果点 A 、 B 在平面内的位置分别记为 A （5，30）， B （12，
120），试画出图形并求出 A 、 B 两点之间的距离.
第11题图
∵ A （5，30）， B （12，120），
∴∠ BOX ＝120°，∠ AOX ＝30°， OA ＝5， OB ＝12，
∴∠ AOB ＝90°，
在Rt△ AOB 中， AB ＝ ＝13，
∴ A 、 B 两点之间的距离为13.
解：（2）如图所示：
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第5课时 平面直角坐标系（4）
第三章 位置与坐标
一、选择题
1. 如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上的点 M ， N 的坐标分
别为（0，2），（1，1），则点 P 的坐标为（ B ）
A. （－1，2） B. （2，－1）
C. （－2，1） D. （1，－2）
第1题图
B
2. 如图，将长为3的矩形 ABCD 放在平面直角坐标系中，若点 D 的坐标为
（6，3），则点 A 的坐标为（ D ）
A. （5，3） B. （4，3）
C. （4，2） D. （3，3）
第2题图
D
3. 等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ＝5， BC ＝6，建立适当的直角坐标系，使
B 、 C 两点落在 x 轴上，且关于 y 轴对称，则点 A 的坐标为（ C ）
A. （0，4） B. （0，－4）
C. （0，4）或（0，－4） D. 无法确定
C
二、填空题
4. 已知点 A （1，4）， B （0，2）， C （4，0），则△ ABC 的周长为
.
5. 如图，在平面直角坐标系中，∠ BAC ＝120°， AB ＝ AC ， BC ＝4，则
A （ ， ）、 B （ ， ）、 C （ ， ）.
3
＋5
0
－2
0
2
0
第5题图
三、解答题
6. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为6，建立适当的直角坐标系，并写出
各个顶点的坐标.
第6题图
解：以点 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴， AD 所在的直线为 y 轴
建立平面直角坐标系如题图所示，则点 A 、 B 、 C 、 D 的坐标分别是
（0，0）、（6，0）、（6，6）、（0，6）.（答案不唯一）
第6题图
7. 如图，矩形的两条边长分别为4，6，在网格中建立适当的直角坐
标系，使它的一个顶点的坐标为（－2，－3）.请你写出另外三个顶
点的坐标.
第7题图
解：如题图，建立直角坐标系，
则矩形的另外三个顶点的坐标分别为 B （2，－3）， C （2，3）， D
（－2，3）.（答案不唯一）
第7题图
8. 如图，在长方形 ABCD 中，已知 AB ＝6， AD ＝4，在长方形 ABCD 外
画△ ABE ，使 AE ＝ BE ＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶
点的坐标.
第8题图
则点 A 的坐标是（0，4），点 B 的坐标是（6，4），点 C 的坐标是（6，
0），点 D 的坐标是（0，0），
作 EG ⊥ CD 于点 G ，交 AB 于点 F ，
∴ FG ＝ AD ＝4， AF ＝ DG ，
∵ AE ＝ BE ，∴ AF ＝ DG ＝ AB ＝3，
在Rt△ AEF 中， EF ＝ ＝4，
∴ EG ＝ EF ＋ FG ＝8，
∴点 E 的坐标是（3，8）.（答案不唯一）
解：以点 D 为坐标原点， OC 和 AD 所在直线为 x 轴和 y 轴建立直角坐标系如图所示，
一、填空题
9. 在平面直角坐标系中，以任意两点 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2）为端点
的线段的中点坐标为（ ， ）.现有 A （3，4）， B （1，
8）， C （－2，6）三点，已知点 D 为线段 AB 的中点，点 C 为线段 AE 的
中点，则线段 DE 的中点坐标为 .
（－ ，7）
二、解答题
10. 如图，已知直角坐标系内两点 A （3 ，0）和 B （0，3），以线段
AB 为边作等边△ ABC ，求顶点 C 的坐标.
第10题图
解：∵ A （3 ，0）， B （0，3），
∴ OA ＝3 ， OB ＝3，
∴在Rt△ OAB 中， AB ＝ ＝6＝2 OB ，
∴∠ OAB ＝30°，∠ OBA ＝60°，
以 AB 为边作等边三角形，分两种情况讨论：
①如图1，当顶点 C 在 AB 的上方时，
∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ BAC ＝60°，
∴∠ OAC ＝90°，即 AC ⊥ x 轴，
∵ AC ＝ AB ＝6，∴ C （3 ，6）；
②如图2，当顶点 C 在 AB 的下方时，
∵∠ OAB ＝30°，∠ BAC ＝60°，
∴∠ OAC ＝30°，∴ AO 平分∠ BAC ，
∵△ ABC 为等边三角形，∴ AO 垂直平分 BC ，
∴点 C 在 y 轴的负半轴上，
∵ BC ＝6，∴ OC ＝3，∴ C （0，－3），
综上所述，顶点 C 的坐标为（3 ，6）或（0，－3）.
解答题
11. 如图，已知 A 、 B 两村庄的坐标分别为（2，2）、（5，1），一辆汽
车从原点 O 出发，在 x 轴所代表的公路上行驶.
第11题图
（1）汽车行驶到离 B 村最近的点的坐标是
；
（5，0）
（2）汽车行驶到 x 轴上的某一点 P 时到 A 、 B 两村的距离之差最大.
①请在图中标出点 P ，并写出点 P 的坐标；
②求出 PA － PB 的最大值，并说明理由；
第11题图
解： （2）①如图，连接 AB 并延长，与 x 轴交于点 P ，点 P 即为所求， P （8，0）；
②∵ PA － PB ≤ AB ，
∴当点 P 在 AB 的延长线与 x 轴的交点上时，
PA － PB 的值最大，
最大值为 AB ＝
＝ ；
（3）在 y 轴上有一村庄 Q ，若 Q 村到 A 村的距离等于 A 村到 B 村的距
离，请你求出 Q 村的坐标.
第11题图
解：（3）设 Q （0， m ），
∵ QA ＝ AB ，∴（2－ m ）2＋（2－0）2＝10，
解得 m ＝2＋ 或2－ ，
∴ Q 村的坐标为（0，2＋ ）或（0，2－ ）.
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第6课时 专题坐标与图形面积
第三章 位置与坐标
解答题
1. 如图，已知△ ABC ， C （－4，4），求△ ABC 的面积.
第1题图
解：由图可知：
A （－2，0）， B （4，0），
∴ AB ＝2＋4＝6，
∴ S△ ABC ＝ AB · yC ＝12.
2. 在平面直角坐标系内，已知点 A （8，0）， B （3，0），点 C 是点 A 关
于点 B 的对称点.
（1）求点 C 的坐标；
解：（1）∵ A （8，0）， B （3，0），∴ AB ＝5，
∵点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，
∴ BC ＝ AB ＝5，∴ C （－2，0）；
（2）若 P （0，2），过点 P 作直线 l ∥ x 轴，点 A 关于直线 l 的对称点是
点 D ，求△ BCD 的面积.
解：（2）∵ P （0，2），∴直线 l 为 y ＝2，
∴ D （8，4），∴ AD ＝4，
∴ S△ BCD ＝ BC · AD ＝10.
3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A （－ a ，2）， B （ a ， b ），且 a ，
b 满足 b ＝ ＋ ＋6.
（1）求 a ， b 的值；
解：（1）∵ b ＝ ＋ ＋6，
∴ a －5≥0，5－ a ≥0，
∴ a ＝5，∴ b ＝6；
第3题图
解：（2）设 C （0， m ），由（1）知， A
（－5，2）， B （5，6），
∴ S△ AOB ＝ ×（2＋6）×10－ ×5×2－
×5×6＝20，
∴ m ·[5－（－5）]＝20，解得 m ＝4，
∴ C （0，4），∴ S△ BOC ＝ ×4×5＝10.
第3题图
（2） AB 与 y 轴交于点 C ，连接 OA ， OB ，求点 C 的坐标及△ BOC
的面积.
4. 在平面直角坐标系中，已知 A （0， a ）， B （ b ，0）， C （ b ，
c ），其中 a ， b ， c 满足｜ a －2｜＋（ b －3）2＝0， c ＝2 b － a .
（1）求 a ， b ， c 的值；
解：（1）∵｜ a －2｜＋（ b －3）2＝0，
∴ a －2＝0， b －3＝0，即 a ＝2， b ＝3，
∴ c ＝2×3－2＝4；
（2）在第二象限内有一点 P （ m ，1），请用含 m 的式子表示四边形
ABOP 的面积；若四边形 ABOP 的面积与△ ABC 的面积相等，请求出点 P
的坐标.
解：（2）由（1）得 OA ＝2， OB ＝3， BC ＝4，
∵ P （ m ，1），点 P 在第二象限，∴｜ m ｜＝－ m ，
∴ S四边形 ABOP ＝ OA · ＋ OA · OB ＝3－ m ，
由题意得 S△ ABC ＝ BC · OB ＝6，
∴3－ m ＝6，解得 m ＝－3，
∴点 P 的坐标为（－3，1）.
5. 如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为（ a ，0），
（ b ，0），且｜ a ＋1｜＋ ＝0，点 C 的坐标为（0，3）.
（1）直接写出 a ， b 及 S△ ABC 的值；
解：（1） a ＝－1， b ＝5，
S△ ABC ＝9；
第5题图
（2）若点 M 在 x 轴上，且 S△ ACM ＝ S△ ABC ，试求点 M 的坐标.
解：（2）设 M （ m ，0），
则 AM ＝｜ m ＋1｜，
∵ S△ ACM ＝ S△ ABC ，
∴ AM · OC ＝3，
即 ｜ m ＋1｜×3＝3，解得 m ＝1或－3，
∴点 M 的坐标为（1，0）或（－3，0）.
第5题图
解答题
6. 如图，点 A （ a ， b ）， B （－ b ，－ a ），且满足（ a ＋1）3＝27， b
＝ ，连接 AB 交 x 轴于点 G .
第6题图
（1）直接写出点 A ， B 的坐标；
解：（1） A （2，4）， B （－4，－2）；
（2）在第四象限内有一点 C （ a ， n ）（ n ＜－2），连接 CB 并延长，
交 x 轴于点 D ，连接 AC ， AD . 若 S△ ABD ＝ S△ ABC ，求点 D 的坐标；
第6题图
第6题图
解：（2）由（1）得 A （2，4）， B （－4，－2）， C （2， n ），设 D
（ m ，0），
∵ S△ ABD ＝ S△ ADC － S△ ABC ＝ S△ ABC ，
∴ （4－ n ）（2－ m ）－
（4－ n ）×6＝
× （4－ n ）×6，
解得 m ＝－6，∴ D （－6，0）；
（3）若 P 为直线 AB 上一点（异于点 A ， B ， G ），过点 P 作 AB 的垂线
交 x 轴于点 E ，∠ PEG 和∠ BGE 的平分线所在的直线相交于点 Q ，当点
P 在直线 AB 上运动时，请画出图形并求出∠ EQG 的度数.
第6题图
解：（3）当点 P 在 x 轴上方时，如图1，
∵ EQ 平分∠ PEG ，直线 GQ 平分∠ EGB ，
∴设∠ PEQ ＝∠ GEQ ＝α，∠ AGQ ＝ ∠ BGE ＝β，
∵ PE ⊥ AB ，∴∠ AGE ＝90°－2α，
∵∠ AGE ＝180°－2β，∴β－α＝45°，
∵∠ EQG ＋β＝90°＋α，∴∠ EQG ＝45°；
当点 P 在 x 轴下方时，如图2，
∵ PE ⊥ AB ，∴∠ PEG ＋∠ PGE ＝90°，
∵ EQ 平分∠ PEG ， GQ 平分∠ BGE ，
∴∠ QEG ＝ ∠ PEG ，∠ QGE ＝ ∠ PGE ，
∴∠ EQG ＝180°－（∠ QEG ＋∠ QGE ）＝
180°－ （∠ PEG ＋∠ PGE ）＝135°，
综上所述，∠ EQG 的度数为45°或135°.
解答题
7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC ，点 A 在 y 轴的正半轴
上，点 B 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 x 轴上.
第7题图
（1）如图1，若点 B 、 C 关于 y 轴对称，∠ ABC ＝∠ BAC ，若 D 是 AB 的
中点，连接 OD ，求证：△ OBD 是等边三角形；
（1）证明：∵点 B 、 C 关于 y 轴对称，点 A 在 y 轴上，
∴ AB ＝ AC ， OB ＝ OC ＝ BC ，
∵∠ ABC ＝∠ BAC ，∴ BC ＝ AC ，∴ AB ＝ BC ＝ AC ，
∴△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC ＝60°，
又∵点 D 是 AB 的中点，∴ BD ＝ AB ，
∴ BD ＝ OB ，∴△ OBD 是等边三角形；
（2）如图2，若∠ BAC ＝90°，△ ABC 是一个轴对称图形， E ， F 分别是
边 AB ， AC 上一点，且 EO ⊥ FO ，连接 EF ，若点 E 的坐标为（－3，1）.
①求点 F 的坐标；
②求△ EOF 的面积；
第7题图
第7题图
（2）解：①如题图2，分别过点 E 、 F 作 EP 、 FQ 垂直 x 轴、 y 轴于点
P 、 Q ，
由题意得 AB ＝ AC ， AO ⊥ BC ， PE ＝1， PO ＝3，
∴∠ ABO ＝∠ OAC ＝45°， OB ＝ OA ，
∵ OE ⊥ OF ，∴∠ EOF ＝90°，∴∠ BOE ＝∠ AOF ，
∴△ BOE ≌△ AOF （ASA），∴ OE ＝ OF ，
∵∠ EPO ＝∠ FQO ＝90°，∴△ OPE ≌△ OQF （AAS），
∴ PE ＝ QF ＝1， PO ＝ QO ＝3，∴ F （1，3）；
②∵∠ EOF ＝90°， OE ＝ OF ， E （－3，1），
∴ OF ＝ OE ＝ ＝ ，∴ S△ EOF ＝ OE · OF ＝5；
（3）如图3，若点 C 与坐标原点 O 重合，∠ OBA ＝45°，点 D 是 y 轴的负
半轴上一动点，连接 BD ，过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ，交线段 OB 于点
M ，连接 OH .
①若线段 OD ＝2024，求点 M 的坐标；
②问点 D 在运动的过程中，∠ AHO 的度数是否发生
改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由.
第7题图
第7题图
（3）解：①∵∠ AOM ＝∠ AHD ＝90°，∴∠ ADH ＝∠ AMO ，
∵∠ AOM ＝∠ BOD ， AO ＝ BO ，∴△ AOM ≌△ BOD （AAS），
∴ OM ＝ OD ＝2024，∴ M （－2024，0）；
②∠ AHO 的度数不变，
如题图3，作 OI ⊥ BD 于点 I ， OJ ⊥ AH 于点 J ，
易证△ AJO ≌△ BIO （AAS），∴ OJ ＝ OI ，
∴Rt△ HJO ≌Rt△ HIO （HL），
∴∠ AHO ＝∠ OHD ＝ ∠ AHD ＝45°.
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第2课时 平面直角坐标系（1）
第三章 位置与坐标
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，点（8，－15）所在的象限是（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ C ）
A. 实数 B. 有理数
C. 有序实数对 D. 有序有理数对
D
C
3. 在平面直角坐标系中，点 M （ m －3， m ＋1）在 x 轴上，则点 M 的坐
标为（ A ）
A. （－4，0） B. （0，－2）
C. （－2，0） D. （0，－4）
A
二、填空题
4. 若点 A （ a ，3）在 y 轴上，则点 B （ a －3， a ＋2）所在的象限是
第 象限.
5. 如图，已知 A 、 B 两点的坐标分别为（－3，3）、（3，3），则点 C
的坐标为 .
二
（－1，5）
第5题图
三、解答题
6. 如图，写出 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 各点的坐标.
第6题图
解： A （2，3）， B （3，2）， C （－3，1）， D （－2，－2）， E
（1，0）， F （0，－3）.
7. 如图，已知 A 、 B 两点的坐标分别是（2，－3）、（－4，－3）.
（1）请你建立合适的平面直角坐标系；
解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；
第7题图
（2）标出点 P （4，3）、点 Q （－2，2）的位置.
解：（2）点 P 、点 Q 的位置如图所示.
第7题图
8. 已知点 P （ a －2，2 a ＋8），分别根据下列条件求出点 P 的坐标.
（1）点 P 在 x 轴上；
解：（1）∵点 P （ a －2，2 a ＋8）在 x 轴上，
∴2 a ＋8＝0，解得 a ＝－4，
∴ a －2＝－6，∴ P （－6，0）；
（2）点 P 在 y 轴上；
解：（2）∵点 P （ a －2，2 a ＋8）在 y 轴上，
∴ a －2＝0，解得 a ＝2，
∴2 a ＋8＝12，∴ P （0，12）；
（3）点 P 的横坐标比纵坐标小4.
解：（3）∵点 P 的横坐标比纵坐标小4，
∴ a －2＝2 a ＋8－4，解得 a ＝－6，
∴2 a ＋8＝－4， a －2＝－8，
∴ P （－8，－4）.
一、填空题
9. 点 P （ x ， y ）经过某种变换后得到点P'（－ y ＋1， x ＋2），我们把点
P'（－ y ＋1， x ＋2）叫做点 P （ x ， y ）的终结点.已知点 P1的终结点为
点 P2，点 P2的终结点为点 P3，点 P3的终结点为点 P4，这样依次得到点
P1， P2， P3， P4，…， Pn .若点 P1的坐标为（2，0），则点 P2025的坐标
为 .
（2，0）
二、解答题
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A （－3 b ，0）为 x 轴负半轴上一
点，点 B （0，4 b ）为 y 轴正半轴上一点，其中 b 满足方程3（ b ＋1）＝6.
（1）求点 A ， B 的坐标；
第10题图
解：（1）∵3（ b ＋1）＝6，解得 b ＝1，
∴ A （－3，0）， B （0，4）；
（2）点 C 为 y 轴上一点，且△ ABC 的面积为12，求点 C 的坐标.
解：（2）∵ A （－3，0）， B （0，4），
∴ OA ＝3， OB ＝4，
设 C （0， y ），则 BC ＝｜ y －4｜，
∴ S△ ABC ＝ BC · OA ＝ ｜ y －4｜＝12，
∴｜ y －4｜＝8，
解得 y ＝－4或12，
∴点 C 的坐标为（0，－4）或（0，12）.
第10题图
解答题
11. 如图，点 A 的坐标是（2，2），连接 OA ，若点 P 在 x 轴上，且△ APO
是等腰三角形，求点 P 的坐标.
第11题图
解：△ APO 是等腰三角形，分三种情况：
①如图1，当 OA ＝ PA 时，
∵ A （2，2），∴ P （4，0）；
图1
图1
②如图2，当 AP ＝ OP 时，
∵ A （2，2），
∴ P （2，0）；
图2
图2
③如图3、4，当 OA ＝ OP 时，
图3
图3
图4
∵ A （2，2），∴ OA ＝2 ，
∴ OP ＝ OA ＝2 ，
∴ P （2 ，0）或 P （－2 ，0），
图4
综上所述，点 P 的坐标为（4，0）或
（2，0）或（2 ，0）或（－2
，0）.
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第3课时 平面直角坐标系（2）
第三章 位置与坐标
一、选择题
1. 已知点 A （3，－2）、 B （1，－2），则直线 AB （ B ）
A. 与 x 轴垂直 B. 与 x 轴平行
C. 与 y 轴重合 D. 与 x 、 y 轴相交
2. 已知点 A （ m ＋1，－2）和点 B （3， m －1），若直线 AB ∥ x 轴，则
m 的值为（ C ）
A. 3 B. 2 C. －1 D. －4
B
C
3. 已知点 A 的坐标是（－5，10），点 B 的坐标是（ x ， x －1），若直线
AB ∥ y 轴，则 x 的值是（ C ）
A. 11 B. 5 C. －5 D. －9
C
二、填空题
4. 过点 A （－3，5）和点 B （－3，2）作直线，则线段 AB 的长度
为 .
5. 已知点 A （ m －3，1），点 B （2， m ＋1），且直线 AB ∥ y 轴，则 m
＝ .
3
5
三、解答题
6. 已知点 P （ a ＋2，2 a －3），根据下列条件，求出点 P 的坐标.
（1）点 P 在 y 轴上；
解：（1）∵点 P 在 y 轴上，
∴ a ＋2＝0，解得 a ＝－ ，
∴2 a －3＝－ ，
∴点 P 的坐标为（0，－ ）；
（2）点 Q 的坐标为（－3，3），直线 PQ ∥ x 轴.
解：（2）∵直线 PQ ∥ x 轴，
∴ P 、 Q 两点的纵坐标相等，
∴2 a －3＝3，解得 a ＝3，
∴ a ＋2＝ ，
∴点 P 的坐标为（ ，3）.
7. 观察如图所示的图形，并回答下列问题：
（1）写出多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标；
解：（1） A （－2，0）， B （0，－3）， C
（3，－3）， D （4，0）， E （3，3）， F
（0，3）；
第7题图
（2）线段 BC 、 CE 的位置各有什么特点？
解：（2）线段 BC ∥ x 轴（或线段 BC ⊥ y
轴），线段 CE ⊥ x 轴（或线段 CE ∥ y 轴）；
第7题图
（3）计算多边形 ABCDEF 的面积.
解：（3）多边形 ABCDEF 的面积为：
S△ ABF ＋ S长方形 BCEF ＋ S△ CDE ＝ ×（3＋3）
×2＋3×（3＋3）＋ ×（3＋3）×1＝27.
第7题图
8. 如图，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （2，－1）、 B （1，
3）、 C （－4，－2），求△ ABC 的面积.
第8题图
解：如图，作矩形 DEFC ，
则 S△ ABC ＝ S矩形 DEFC － S△ BCD － S△ ABE － S△ ACF ＝6×5－ ×5×5－
×1×4－ ×1×6＝12.5.
一、填空题
9. （1）已知点 A （ m ，6）和点 B （3， m2－3），若直线 AB ∥ x 轴，则
m 的值为 ；
（2）已知点 A （2，7）， AB ∥ x 轴， AB ＝3，则点 B 的坐标为
.
－3
（－1，7）或（5，7）
二、解答题
10. 如图， A （－1，0）， C （1，4），
已知点 B 在 x 轴上，且 AB ＝3.
（1）求点 B 的坐标；
解：（1）∵点 B 在 x 轴上，∴设 B （ a ，
0），
∵ AB ＝3，∴｜ a ＋1｜＝3，
解得 a ＝2或－4，
∴点 B 的坐标为（2，0）或（－4，0）；
第10题图
（2）求△ ABC 的面积；
解：（2） S△ ABC ＝ AB ·｜ yC ｜＝6；
第10题图
（3）在 y 轴上是否存在点 P ，使△ ABP 的
面积为10？若存在，请直接写出点 P 的坐
标；若不存在，请说明理由.
第10题图
第10题图
解：（3）存在，
设点 P 的坐标为（0， yP ），
∴ S△ ABP ＝ AB ·｜ yP ｜＝ ×3｜ yP ｜＝10，
解得 yP ＝± ，
∴点 P 的坐标为（0， ）或（0，－ ）.
解答题
11. 如图，矩形 OABC 中， O 为平面直角坐标系的原点，点 A 的坐标为
（4，0），点 C 的坐标为（0，6），点 B 在第一象限内，点 P 从原点出
发，以每秒2个单位长度的速度沿着 O → C → B → A → O 的路线移动
（即：沿着矩形移动一周）.
（1）点 B 的坐标为 ；
解：（1）∵ A （4，0）， C （0，6），
∴ OA ＝4， OC ＝6，∴ B （4，6），
故答案为：（4，6）；
第11题图
（4，6）
（2）当点 P 移动了4秒时，描出此时点 P 的位置，并写出点 P 的坐标；
解：（2）点 P 的位置如图所示，
第11题图
∵点 P 移动了4秒经过的路程是2×4＝8，
∴点 P 的坐标为（2，6）；
（3）在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为5个单位长度时，求点 P 移动
的时间.
第11题图
解：（3）当点 P 到 x 轴的距离为5个单位长度时，点 P 的
纵坐标为5，
若点 P 在 OC 上，则点 P 经过的路程为5，
∴移动的时间为5÷2＝2.5秒；
若点 P 在 AB 上，则点 P 经过的路程为 OC ＋ BC ＋ BP ＝
6＋4＋（6－5）＝11，
∴移动的时间为11÷2＝5.5秒，
综上所述，点 P 移动的时间为2.5秒或5.5秒.
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