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第5课时 专题折叠和旋转中勾股定理的应用
第一章 勾股定理
一、选择题
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝6cm， BC ＝8cm，现将
△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE ＝（ B ）
第1题图
A . 4 cm B . 5 cm C . 6 cm D . 10 cm
B
2. 如图，长方形ABCD中，AB＝8 cm ，BC＝10 cm ，在CD上取一点E，
将△ADE折叠使点D恰好落在BC上的点F处，则CE＝（ B ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
第2题图
B
3. 如图，Rt△ ABC 中， AB ＝9， BC ＝6，∠ B ＝90°，将△ ABC 折叠，使
点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则 BN ＝（ A ）
A. 4
B. 5
C.
D.
第3题图
A
二、填空题
4. 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝16， BC ＝8，将长方形沿对角线 AC
折叠，点 D 落在点 E 处，且 CE 与 AB 交于点 F ，则 AF ＝ .
第4题图
10
5. 如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使得 DC 边落在对角线 AC 上，点 D
落在点D'处，折痕为 CE ，若 AB ＝6， AD ＝8，则线段 ED 的长为 .
第5题图
3
三、解答题
6. 把一张长方形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 B 和点 D 重合，折痕
为 EF . 若 AB ＝3cm， BC ＝5cm，求重叠部分△ DEF 的面积.
第6题图
解：设 AE ＝A'E＝ x cm，则 DE ＝（5－ x ）cm，
由翻折得A'D＝ AB ＝3cm，
在Rt△A'ED中，A'E2＋A'D2＝ DE2，
即 x2＋9＝（5－ x ）2，解得 x ＝1.6，
∴ DE ＝3.4cm，
∴ S△ DEF ＝ DE · AB ＝5.1cm2.
7. 如图，在△ ABC 中， AB ＝20， AC ＝12， BC ＝16，把△ ABC 折叠，
使 AB 落在直线 AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积.
第7题图
解：在△ ABC 中，∵ AB ＝20， AC ＝12， BC ＝16，
∴ AB2＝ AC2＋ BC2，
∴△ ABC 为直角三角形，且∠ ACB ＝90°，
设 CD ＝ x ，
由折叠得B'D＝ BD ＝16－ x ，B'C＝AB'－ AC ＝
AB － AC ＝8，∠DCB'＝90°，
在Rt△DCB'中， CD2＋B'C2＝DB'2，
即 x2＋82＝（16－ x ）2，解得 x ＝6，∴ CD ＝6，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为 CD · AC ＝36.
8. 如图，在正方形 ABCD 中，过点 A 引射线 AH ，交边 CD 于点 H （点 H
与点 D 不重合）.通过翻折，使点 B 落在射线 AH 上的点 G 处，折痕 AE 交
BC 于点 E ，延长 EG 交 CD 于点 F . 如图1，当点 H 与点 C 重合时，可得
FG ＝ FD .
第8题图
（1）如图2，当点 H 为边 CD 上任意一点时，猜想 FG 与 FD 之间的数量
关系，并说明理由；
解：（1）猜想 FG ＝ FD . 理由如下：
如图，连接 AF ，
由折叠得 AB ＝ AG ＝ AD ，∠ AGE ＝∠ B ＝90°，
在Rt△ AGF 和Rt△ ADF 中，，
∴Rt△ AGF ≌Rt△ ADF （HL），∴ FG ＝ FD ；
（2）在（1）的条件下，当 AB ＝5， BE ＝3时，求出 FG 的长.
解：（2）设 FG ＝ FD ＝ x ，则 FC ＝5－ x ， FE ＝3＋ x ，
∵ BC ＝ AB ＝5， BE ＝3，∴ EC ＝ BC － BE ＝2，
在Rt△ ECF 中， EF2＝ FC2＋ EC2，
即（3＋ x ）2＝（5－ x ）2＋22，
解得 x ＝ ，
即 FG 的长为 .
第8题图
一、填空题
9. 如图，长方形 ABCD 中， AB ＝8， BC ＝6， P 为 AD 上一点，将△ ABP
沿 BP 翻折至△ EBP ， PE 与 CD 相交于点 O ，且 OE ＝ OD ， BE 与 CD 交
于点 G ，则线段 AP 的长为 .
第9题图
4.8
二、解答题
10. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， D 为△ ABC 外一点，
连接 AD ， BD ， CD ，若 AD ＝4， CD ＝2，且∠ ADC ＝45°，求 BD 的长.
第10题图
解：如图，将△ ADB 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ AEC ，连接 DE ，
则∠ DAE ＝90°， AD ＝ AE ＝4，∠ ADE ＝45°，
∵∠ ADC ＝45°，∴∠ EDC ＝90°，
∵在Rt△ ADE 中， DE2＝ AD2＋ AE2＝32，
∴在Rt△ EDC 中， CE2＝ CD2＋ DE2＝36，
∴ CE ＝6，
由旋转得 BD ＝ CE ，∴ BD ＝6.
解答题
11. 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝16， BC ＝18，点 E 在边 AB 上，点 F
是边 BC 上不与点 B 、 C 重合的一个动点，把△ EBF 沿 EF 折叠，点 B 落
在点B'处.
第11题图
（1）若点 E 与点 A 重合，且点B'恰好在 AD 边上，则DB’＝ ；
2
（2）若 AE ＝3，且△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形，试求DB'的长.
解：（2）∵四边形 ABCD 是长方形，
∴ DC ＝ AB ＝16， AD ＝ BC ＝18，
分两种情况：
①如图1，当DB'＝ DC 时，DB'＝16；
第11题图
②如图2，当B'D＝B'C时，过点B'作 GH ∥ AD ，分别交 AB 、 CD 于点
G 、 H ，
则四边形 AGHD 是长方形，
∴ AG ＝ DH ，∠ GHD ＝90°，
∴ AG ＝ DH ＝ HC ＝ CD ＝8，
∵ AE ＝3，
∴ BE ＝EB'＝ AB － AE ＝13， EG ＝ AG － AE ＝5，
在Rt△EGB'中，B'G2＝B'E2－ EG2＝144，
∴B'G＝12，∴B'H＝ GH －B'G＝6，
在Rt△B'HD中，DB'2＝ DH2＋B'H2＝100，
∴DB'＝10，
综上所述，DB'的长为16或10.
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第4课时 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
一、选择题
1. 一棵大树被风吹断后树尖落在距树脚15米处的地方，大树折断处离地
面8米，则大树的高为（ C ）
A . 17米 B . 23米 C . 25米 D . 30米
C
2. 如图，A，C两地之间有一湖，在与AC方向成90°角的CB方向上的点B
处测得AB＝50 m ，BC＝40 m ，则A，C两地之间的距离为（ A ）
A . 30 m B . 40 m C . 50 m D . 60 m
第2题图
A
3. 如图，盒内长、宽、高分别是6 cm 、3 cm 、2 cm ，则盒内可放木棒最
长的长度是（ B ）
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
第3题图
B
二、填空题
4. 一座垂直于两岸的桥长120米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶
去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头90米，则小船实际行
驶了 米.
150
5. 如图，一圆柱的高为8cm，底面周长为30cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬
行，从点 A 爬到点 B 的最短路程是 cm.
第5题图
17
三、解答题
6. 如图，长方体的底面边长为3cm和1cm，高为6cm.如果用一根细线从点
A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ，那么所用细线最短需要多长？
第6题图
解：如图，将长方体展开，连接AB'，
则AA'＝3＋1＋3＋1＝8cm，A'B'＝6cm，
根据两点之间线段最短与勾股定理，
得AB'2＝AA'2＋A'B'2＝100，∴AB'＝10cm，
∴所用细线最短需要10cm.
7. 如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口，向北偏东40°方向航
行，同时另一艘轮船以12海里/时的速度向北偏西一定角度的方向航行，
已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即AB＝30海里），问另一艘
轮船航行的方向是北偏西多少度？
第7题图
解：由题意知， OA ＝16×1.5＝24海里，
OB ＝12×1.5＝18海里， AB ＝30海里，
∵242＋182＝900＝302，
即 OA2＋ OB2＝ AB2，
∴△ OAB 是直角三角形，且∠ AOB ＝90°，
∵∠ AOD ＝40°，
∴∠ BOD ＝∠ AOB －∠ AOD ＝50°，
答：另一艘轮船航行的方向是北偏西50°.
第7题图
8. 如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现 C 处需要爆
破，已知 C 处与公路上的停靠站 A 的距离为300米，与公路上另一停靠站
B 的距离为400米，且 CA ⊥ CB ，为了安全起见，爆破点 C 处周围半径
250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 AB 段是否有危险？是否
需要暂时封锁？请通过计算进行说明.
第8题图
解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，
∵ BC ＝400米， AC ＝300米，∠ ACB ＝90°，
∴根据勾股定理得 AB ＝500米，
∵ CA ⊥ CB ， CD ⊥ AB ，
∴ S△ ABC ＝ AB · CD ＝ BC · AC ，
∴ CD ＝240米，
∵240米＜250米，
∴公路 AB 段有危险，需要暂时封锁.
一、填空题
9. 如图，是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，点 A 和点 B 是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从点 A 出发，沿着台阶面爬向点 B 去吃可口的食物，那么这只壁虎至少需要爬 cm.
130
第9题图
二、解答题
10. 如图，已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点 A 爬到点B'，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？
第10题图
解：根据题意，如图所示，最短路径考虑以下三种情况：
①如图1，沿AA'，A'C'，C'B'，B'B， BC ， CA 剪开，连接AB'，
（AB'）2＝ AB2＋（BB'）2＝（2＋1）2＋42＝25；
③如图3，沿 AD ，DD'，D'B’，
B'C'，C'A'，A'A剪开，连接AB'，
（AB'）2＝ AD2＋B'D2＝12＋（4
＋2）2＝37，
∵25＜29＜37，
∴最近的路线如图1所示，
∵（AB'）2＝25，∴AB'＝5cm，
∴最短的路程是5cm.
②如图2，沿 AC ，CC'，C'B'，B'D'，D'A'，A'A剪开，连接AB'，
（AB'）2＝ AC2＋B'C2＝22＋（4＋1）2＝29；
填空题
11. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底
4cm的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与
蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm.
第11题图
15
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第6课时 专题勾股定理与动点问题
第一章 勾股定理
解答题
1. 如图，在△ ABC 中， AB ＝6， BC ＝8，∠ ABC ＝90°，若 P 是 AC 上的
一个动点，连接 BP ，求 AP ＋ BP ＋ CP 的最小值.
第1题图
解：在Rt△ ABC 中，由勾股定理得 AC2＝ AB2＋ BC2＝100，
∴ AC ＝10，
∴ AP ＋ BP ＋ CP ＝ BP ＋ AC ＝ BP ＋10，
当 BP ⊥ AC 时， BP 的长最小，为 ＝4.8，
∴ AP ＋ BP ＋ CP 的最小值为10＋4.8＝14.8.
2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝8cm， AC ＝17cm， BC ＝15cm，动点 P 从
点 B 出发沿 BA 方向以2cm/s的速度运动至点 A ，动点 Q 从点 C 出发沿 CB
方向以6cm/s的速度运动至点 B ， P 、 Q 两点同时出发.
（1）求∠ B 的度数；
解：（1）∵ AB ＝8cm， AC ＝17cm， BC ＝
15cm，
∴ AB2＋ BC2＝289＝172＝ AC2，
∴△ ABC 是直角三角形，且∠ B ＝90°；
第2题图
（2）当 P 、 Q 两点运动2s时，求 P 、 Q 两点之间的距离.
解：（2）由题意得 BP ＝2×2＝4cm， CQ ＝
2×6＝12cm，
∴ BQ ＝ BC － CQ ＝3cm，
在Rt△ BPQ 中， PQ2＝ BP2＋ BQ2＝25，
∴ PQ ＝5cm，
即 P 、 Q 两点之间的距离为5cm.
第2题图
3. 如图，正方形 ABCD 的边长为8，点 M 在 DC 上，且 DM ＝2， N 是 AC
上的一动点，连接 DN ， MN ，求 DN ＋ MN 的最小值.
第3题图
解：如图，连接 BM 交 AC 于点 N ，
∵点 B 和点 D 关于直线 AC 对称，
∴ NB ＝ ND ，则 BM 的长就是 DN ＋ MN 的最小值，
∵正方形 ABCD 的边长是8， DM ＝2，
∴ CM ＝ CD － DM ＝6，
∴ BM2＝ BC2＋ CM2＝100，∴ BM ＝10，
∴ DN ＋ MN 的最小值是10.
4. 如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处， A ， B 处到河岸的距离 AC ＝ BD
＝3m， CD ＝8m.牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮
水，所走路程最短？在图中作出该处标为点 M ，并求出最短路程.
第4题图
解：如图，作点 A 关于 CD 的对称点A'，连接A'B交 CD 于点 M ，则点 M
即为所求，
∵ MA ＝MA'，∴ MA ＋ MB ＝MA'＋ MB ＝A'B，
∴A'B的长即为 MA ＋ MB 的最小值，
连接 AB ，易得 AB ＝ CD ＝8m，∠A'AB＝90°，
∵AA'＝2 AC ＝6m，
∴A'B2＝ AB2＋AA'2＝100，∴A'B＝10m，
∴最短路程是10m.
5. 如图，在等腰△ ACB 中， AC ＝ BC ＝5， AB ＝8， D 为底边 AB 上一动
点（不与点 A 、 B 重合），过点 D 分别作 DE ⊥ AC ， DF ⊥ BC ，垂足分
别为 E ， F ，求 DE ＋ DF 的值.
第5题图
解：如图，连接 CD ，过点 C 作底边 AB 上的高 CG ，
∵ AC ＝ BC ＝5， AB ＝8，∴ BG ＝ AB ＝4，
∴ CG2＝ BC2－ BG2＝9，∴ CG ＝3，
∵ S△ ABC ＝ AB · CG ＝ AC · DE ＋ BC · DF ，
∴ ×8×3＝ ×5（ DE ＋ DF ），
∴ DE ＋ DF ＝4.8.
6. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6， BC ＝8， AD 平分∠
CAB 交 BC 于点 D ， E ， F 分别是 AD ， AC 上的动点，连接 CE 、 EF ，求
CE ＋ EF 的最小值.
第6题图
解：如图，在 AB 上取点F'，使AF'＝ AF ，连接EF'，过点 C 作 CH ⊥ AB
于点 H ，
∵ AF ＝AF'，∠ FAE ＝∠F'AE， AE ＝ AE ，
∴△ AFE ≌△AF'E（SAS），∴ EF ＝EF'，
∴ CE ＋ EF ＝ CE ＋EF'，
∴当点 C 、 E 、F'共线，且点F'与点 H 重合时，
CE ＋ EF 的值最小，为 CH 的长，
在Rt△ ABC 中， AB2＝ AC2＋ BC2＝100，
∴ AB ＝10，
∴ CH ＝ ＝ ，
∴ CE ＋ EF 的最小值为 .
一、填空题
7. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝ AC ＝4， M 为 AB 的中点，
D 是射线 BC 上的一动点，连接 AD ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转90°得
到线段 AE ，连接 ED 、 ME ，在点 D 的运动过程中， ME 长的最小值
为 .
2
第7题图
二、解答题
8. 如图，在△ ABC 中， OA ＝4， OB ＝3，点 C 与点 A 关于直线 OB 对
称，动点 P 、 Q 分别在线段 AC 、 AB 上（点 P 不与点 A 、 C 重合），满足
∠ BPQ ＝∠ A . 当△ PQB 为等腰三角形时，求 OP 的长.
第8题图
解：∵ OA ＝4， OB ＝3，
∴ AB2＝ OB2＋ OA2＝25，
∴ AB ＝5，
由题意得 BC ＝ AB ＝5，
分为3种情况：
①当 PB ＝ PQ 时，∵∠ BPQ ＝∠ A ＝∠ C ，
∴∠ APB －∠ BPQ ＝∠ APB －∠ C ，
即∠ APQ ＝∠ CBP ，∴△ APQ ≌△ CBP （AAS），
∴ PA ＝ BC ＝5，∴ OP ＝ PA － AO ＝1；
第8题图
②当 BQ ＝ BP 时，∠ BPQ ＝∠ BQP ，
∵∠ BPQ ＝∠ A ，∴∠ A ＝∠ BQP ，
此时点 Q 与点 A 重合，点 P 与点 C 重合，不符合题意，
∴这种情况不存在；
第8题图
③当 QB ＝ QP 时，∠ QBP ＝∠ BPQ ＝∠ A ，
∴ PB ＝ PA ，
设 OP ＝ x ，则 PB ＝ PA ＝4－ x ，
在Rt△ OBP 中， PB2＝ OP2＋ OB2，
即（4－ x ）2＝ x2＋32，解得 x ＝ ，∴ OP ＝ ，
综上所述，当△ PQB 为等腰三角形时， OP 的长是1或 .
解答题
9. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝5cm， BC ＝6cm， BD ⊥ AC 于点 D .
动点 P 从点 C 出发，按 C → A → B → C 的路径运动，且速度为2cm/s，设
运动时间为 t s.
（1）求 BD 的长；
第9题图
（1）解：如图1，作 AH ⊥ BC 于点
H ，
∵ AB ＝ AC ，∴ BH ＝ CH ＝ BC ＝
3cm，
∴ AH2＝ AB2－ BH2＝16，∴ AH ＝
4cm，
∵ S△ ABC ＝ BC · AH ＝ AC · BD ，
∴ BD ＝ ＝ cm；
（2）当 t ＝3.2时，求证： CP ⊥ AB ；
第9题图
（2）证明：如图2，当 t ＝3.2时，
3.2×2＝6.4cm，
此时点 P 在 AB 边上，且 AP ＝6.4－5＝1.4cm，
由（1）可知 AD2＝ AB2－ BD2＝1.96，
∴ AD ＝1.4cm，∴ AP ＝ AD ，
∵ AC ＝ AB ，∠ A ＝∠ A ，∴△ APC ≌△ ADB （SAS），
∴∠ APC ＝∠ ADB ＝90°，∴ CP ⊥ AB ；
（3）当点 P 在 BC 边上运动时，若△ CDP 是以 CP 为腰的等腰三角形，
求出所有满足条件的 t 的值；
第9题图
（3）解：当点 P 在 BC 上时， CP ＝
（16－2 t ）cm，
①如图3，当 CD ＝ CP 时，
∵ CD ＝ AC － AD ＝3.6cm，
∴16－2 t ＝3.6，解得 t ＝6.2；
②如图4，当 PD ＝ CP 时，
∵∠ C ＝∠ PDC ，∠ C ＋∠ CBD ＝∠ PDC ＋∠ PDB ＝90°，
∴∠ PBD ＝∠ PDB ，∴ PB ＝ PD ＝ CP ＝ BC ＝3cm，
∴16－2 t ＝3，解得 t ＝6.5，
综上所述，满足条件的 t 的值为6.2或6.5；
（4）在整个运动过程中，若 S△ ABC ＝ nS△ BDP （ n 为正整数，且 n ＞1），
则满足条件的 t 的值有 个.
无数
第9题图
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第2课时 探索勾股定理（2）
第一章 勾股定理
一、选择题
1. 在直角三角形中，若勾为9，股为12，则弦为（ C ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 21
C
2. 如图，为了测得湖两岸 A ， B 两点之间的距离，一个观测者在点 C 设
桩，使∠ ABC ＝90°，并测得 AC ＝20米， BC ＝16米，则点 A ， B 之间的
距离为（ A ）
A. 12米 B. 13米 C. 15米 D. 25米
第2题图
A
3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.下列选项中，不能证明勾股定理
的是（ D ）
A
B
C
D
D
二、填空题
4. 已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则它的斜边长为 .
5. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去
根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一
阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处
离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程
为 .
5或4
x2＋62＝（10－ x ）2
三、解答题
6. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝12，边 BC 上的中线 AD 长为
13，求边 BC 的长.
第6题图
解：在Rt△ ABC 中，∵ AC ＝12， AD ＝13，
∴ CD2＝ AD2－ AC2＝25，∴ CD ＝5，
∵ AD 为边 BC 上的中线，
∴ BD ＝ CD ，∴ BC ＝2 CD ＝10.
7. 如图是中国最早的一部数学著作——《周髀算经》中记载的赵爽弦
图，是由四个全等的直角三角形拼成的图形.我国古代数学家用它来证明
勾股定理，请根据该图提供的信息证明勾股定理.
第7题图
证明：∵△ ABE 、△ BCF 、△ CDG 、△ DAH 是
全等的四个直角三角形，
∴四边形 ABCD 是正方形，
∵∠ AHD ＝∠ CGD ＝∠ BFC ＝∠ AEB ＝90°，
GH ＝ HE ＝ EF ＝ FG ＝ b － a ，
∴四边形 EFGH 是正方形，
∵四边形 ABCD 的面积是 c · c ＝ c2，
也可以是4· ab ＋（ b － a ）2＝ a2＋ b2，
∴ a2＋ b2＝ c2，
即在直角三角形中，两直角边长 a 、 b 的平方和等于斜边长 c 的平方.
8. 如图，四边形 ABCD 中， BD ⊥ AC . 求证： AD2＋ BC2＝ AB2＋ CD2.
第8题图
证明：∵ BD ⊥ AC ，
∴∠ AED ＝∠ AEB ＝∠ BEC ＝∠ DEC ＝90°，
∴在Rt△ AED 中， AD2＝ AE2＋ DE2，
在Rt△ AEB 中， AB2＝ AE2＋ BE2，
在Rt△ BEC 中， BC2＝ BE2＋ CE2，
在Rt△ CED 中， CD2＝ CE2＋ DE2，
∵ AD2＋ BC2＝ AE2＋ DE2＋ BE2＋ CE2，
AB2＋ CD2＝ AE2＋ BE2＋ CE2＋ DE2，
∴ AD2＋ BC2＝ AB2＋ CD2.
填空题
9. 如图，Rt△ ABC 的两条直角边的长分别为6和8，若以△ ABC 三边的长
为直径作半圆，则阴影部分的面积为 .
第9题图
24
10. 如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，若 P 为 BC 的中点，则 AP2＋ BP · PC
的值为 ；若 BC 边上有100个不同的点 P1， P2，…， P100，记 mi ＝ A
＋ BPi · PiC （ i ＝1，2，…，100），则 m1＋ m2＋…＋ m100的值
为 .
4
400
第10题图
解答题
11. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC 于点 D ，∠ CBE ＝45°，
BE 分别交 AC ， AD 于点 E ， F .
第11题图
（1）如图1，若 AB ＝13， BC ＝10，求 AF 的长度；
（1）解：∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， BC ＝10，
∴ BD ＝ CD ＝5，∠ ADB ＝90°，
在Rt△ ABD 中，∵ AB ＝13，
∴ AD2＝ AB2－ BD2＝144，
∴ AD ＝12，
在Rt△ BDF 中，∵∠ CBE ＝45°，
∴ DF ＝ BD ＝5，∴ AF ＝ AD － DF ＝7；
（2）如图2，若 AF ＝ BC ，求证： BF2＋ EF2＝ AE2.
（2）证明：如图，在 BF 上取一点 H ，使 BH ＝ EF ，连接 CF 、 CH ，
∵ AD ⊥ BC ，∠ CBE ＝45°，
∴∠ DFB ＝∠ AFE ＝45°＝∠ CBE ，
在△ AEF 和△ CHB 中，，
∴△ AEF ≌△ CHB （SAS），
∴ AE ＝ CH ，∠ AEF ＝∠ BHC ，
∴∠ CEF ＝∠ CHE ，∴ CE ＝ CH ，
∵ BD ＝ CD ， FD ⊥ BC ，∴ CF ＝ BF ，
∵∠ CBF ＝45°，∴∠ CFB ＝90°，∴ EF ＝ FH ，
在Rt△ CFH 中， CF2＋ FH2＝ CH2，∴ BF2＋ EF2＝ AE2.
第11题图
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第7课时 回顾与思考
第一章 勾股定理
一、选择题
1. 三个正方形的面积如图所示，则 S 的值为（ C ）
A. 3 B. 4 C. 9 D. 12
第1题图
C
2. 下列条件中，不能判断△ ABC 为直角三角形的是（ A ）
A. a2＝3， b2＝4， c2＝5
B. a ∶ b ∶ c ＝3∶4∶5
C. ∠ A ＋∠ B ＝∠ C
D. ∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝1∶2∶3
A
3. 如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆
柱形水杯中，设筷子露在外面的长度为 h cm，则 h 的取值范围是（ B ）
A. 0＜ h ≤11 B. 11≤ h ≤12
C. h ≥12 D. 0＜ h ≤12
第3题图
B
二、填空题
4. 已知数 a 、8和15，使这三个数恰好是一个直角三角形三边的长，则 a2
＝ .
5. 如图，蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点 A 沿纸箱爬到点
B ，那么它爬行的最短路线的长是 .
289或161
10
第5题图
三、解答题
6. 已知在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，若 a ＋ b ＝14cm， c ＝10cm，求Rt△
ABC 的面积.
解：∵∠ C ＝90°，∴ a2＋ b2＝ c2＝100，
∴（ a ＋ b ）2－2 ab ＝100，
即196－2 ab ＝100，解得 ab ＝48，
∴ S△ ABC ＝ ab ＝24cm2.
7. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8，在△ ABE 中， DE 是 AB
边上的高， DE ＝12， S△ ABE ＝60，求 BC 的长.
第7题图
解：∵ DE ＝12， S△ ABE ＝60，
∴ AB · DE ＝ AB ×12＝60，∴ AB ＝10，
又∵在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8，
∴ BC2＝ AB2－ AC2＝36，∴ BC ＝6.
8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度 CE 是2.2米.一架梯
子 AB 斜靠在左墙时，梯子顶端 A 与地面点 C 的距离是2.4米.如果保持梯
子底端 B 位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端 D 与地面点 E 的距
离是2米.求此时梯子底端 B 到地面点 E 的距离是多少米.
第8题图
解：设 BE ＝ x 米，则 BC ＝ CE － BE ＝（2.2－ x ）米，
由题意可知， AC ＝2.4米， DE ＝2米， AB ＝ DB ，
在Rt△ ABC 和Rt△ DBE 中，由勾股定理得：
AB2＝ BC2＋ AC2， DB2＝ BE2＋ DE2，
∴ BC2＋ AC2＝ BE2＋ DE2，
即（2.2－ x ）2＋2.42＝ x2＋22，解得 x ＝1.5，
∴ BE ＝1.5米，
答：此时梯子底端 B 到地面点 E 的距离是1.5米.
第8题图
一、填空题
9. 在△ DEF 中， DE ＝15， EF ＝13， DF ＝4，则△ DEF 的面积是 .
24
二、解答题
10. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，点 D ， E 均在边 BC
上，且∠ DAE ＝45°，若 BD ＝4， CE ＝3，求 DE 的长.
第10题图
解：如图，将△ ABD 绕点 A 逆时针旋转90°至△ACD'，连接ED'，
则CD'＝ BD ＝4，∠CAD'＝∠ BAD ，AD'＝ AD ，∠ACD'＝∠ B ＝45°，
∴∠DAD'＝∠ BAC ＝90°，
∵∠ DAE ＝45°，∴∠D'AE＝45°，
∴∠ DAE ＝∠D'AE，
在△ AED 和△AED'中，
，
∴△ AED ≌AED'（SAS），∴ DE ＝D'E，
∵∠ECD'＝∠ ACB ＋∠ACD'＝90°，
∴在Rt△CED'中，D'E2＝ CE2＋CD'2＝25，
∴D'E＝5，∴ DE ＝D'E＝5.
解答题
11. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AC ＝25cm， BC ＝15cm.
（1）设点 P 在 AB 上，若∠ PAC ＝∠ PCA ，求 AP 的长；
解：（1）∵∠ ABC ＝90°， AC ＝25cm，
BC ＝15cm，
∴由勾股定理得 AB2＝ AC2－ BC2＝400，
∴ AB ＝20cm，
∵∠ PAC ＝∠ PCA ，∴ AP ＝ PC ，
设 AP ＝ PC ＝ x cm，则 PB ＝（20－ x ）cm，
∵ PB2＋ BC2＝ PC2，
∴（20－ x ）2＋152＝ x2，
解得 x ＝ ，∴ AP ＝ cm；
第11题图
（2）设点 M 在 AC 上，若△ MBC 为等腰三角形，求 AM 的长.
第11题图
图1
当 BM ＝ CM 时，△ MBC 为等腰三角形，
解：（2）当 CM ＝ BC ＝15cm时，△ MBC 为等腰三角形，
∴ AM ＝ AC － CM ＝10cm；
当 BM ＝ BC ＝15cm时，△ MBC 为等腰三角形，
如图1，过点 B 作 BH ⊥ AC 于点 H ，
∴ BH ＝ ＝12cm，
∴ CH2＝ BC2－ BH2＝81，∴ CH ＝9cm，
∴ AM ＝ AC －2 CH ＝7cm；
图1
如图2，过点 B 作 BH ⊥ AC 于点 H ，
设 AM ＝ x cm，则 BM ＝ CM ＝（25－ x ）cm， MH ＝（25－ x －9）cm，
∵ BM2＝ BH2＋ MH2，
∴（25－ x ）2＝122＋（25－ x －9）2，
解得 x ＝12.5，∴ AM ＝12.5cm，
综上所述，若△ MBC 为等腰三角形，
则 AM 的长为10cm或7cm或12.5cm.
图2
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第1课时 探索勾股定理（1）
第一章 勾股定理
一、选择题
1. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，分别以 AB 、 BC 、 AC 为边向外作
正方形，若三个正方形的面积分别为 S 、400、225，则 S 的值为（ D ）
第1题图
A. 25 B. 175 C. 600 D. 625
D
2. 在△ ABC 中，∠ C ＝90°，且 BC ＝9， AB ＝41，则 AC ＝（ C ）
A. 50 B. 42 C. 40 D. 32
3. 已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边
的长为（ C ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
C
C
二、填空题
4. （1）已知直角三角形的斜边长为6.5cm，一直角边长为6cm，则另一
条直角边长为 cm；
（2）在△ ABC 中，∠ C ＝90°， c － a ＝1， b ＝7，则 c ＝ .
2.5
25
5. 如图，分别以直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，已知 S1
＝18π， S3＝50π，则 S2＝ .
第5题图
32π
三、解答题
6. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ D ＝∠ ACB ＝90°， CD ＝12， AD ＝
16， BC ＝15，求 AB 的长.
第6题图
解：在Rt△ ADC 中，∵ AD ＝16， CD ＝12，
∴ AC2＝ AD2＋ CD2＝400，∴ AC ＝20，
在Rt△ ACB 中，∵ BC ＝15，
∴ AB2＝ AC2＋ BC2＝625，∴ AB ＝25.
7. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝17， BC ＝16.求 BC 边上的中线 AD 的
长及△ ABC 的面积.
第7题图
解：在△ ABC 中，∵ AB ＝ AC ， AD 是△ ABC 的中线，
∴ AD ⊥ BC ， BD ＝ CD ＝ BC ＝8，
在Rt△ ABD 中，∵ AB ＝17，
∴ AD2＝ AB2－ BD2＝225，∴ AD ＝15，
∵ BC ＝16， AD ＝15，
∴ S△ ABC ＝ BC · AD ＝120.
8. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于点 D ， AC ＝20， BC
＝15.
（1）求 CD 的长；
解：（1）在Rt△ ABC 中，由勾股定理得：
AB2＝ AC2＋ BC2＝625，∴ AB ＝25，
∵ CD ⊥ AB ，
∴ S△ ABC ＝ AB · CD ＝ AC · BC ，
∴ CD ＝ ＝12；
第8题图
（2）求 AD 的长.
解：（2）在Rt△ ACD 中，由勾股定理得：
AD2＝ AC2－ CD2＝256，∴ AD ＝16.
第8题图
一、填空题
9. 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝12， BC ＝24，将长方形折叠，使点
C 与点 A 重合，则 AF 的长为 .
15
第9题图
二、解答题
10. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ＝8，∠ A ＝60°，∠ D ＝150°，
四边形 ABCD 的周长为32，求 BC 和 CD 的长度.
第10题图
解：如图，连接 BD ，
∵ AB ＝ AD ，∠ A ＝60°，
∴△ ABD 是等边三角形，
∴ BD ＝ AB ＝8，∠ ADB ＝60°，
∵∠ ADC ＝∠ ADB ＋∠ BDC ＝150°，
∴∠ BDC ＝90°，
∵ C四边形 ABCD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ AD ＝32， AB ＝
AD ＝8，
∴ BC ＋ CD ＝16，
设 BC ＝ x ，则 CD ＝16－ x ，
在Rt△ BDC 中，
BC2＝ BD2＋ CD2，
即 x2＝82＋（16－ x ）2，
解得 x ＝10，∴16－ x ＝6，
∴ BC ＝10， CD ＝6.
解答题
11. 如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝10cm， BC ＝6cm，若点 P 从点 A 出发以1cm/s的速度沿折线 A → C → B → A 运动，设运动时间为 t （ t ＞0）s.
第11题图
（1）当点 P 在 AC 上，且满足 PA ＝
PB 时，求出 t 的值；
解：（1）在Rt△ ABC 中， AC2＝ AB2－ BC2＝64，
∴ AC ＝8cm，
由题意得 PA ＝ PB ＝ t cm，则 PC ＝（8－ t ）cm，
在Rt△ PCB 中， PC2＋ BC2＝ PB2，
即（8－ t ）2＋62＝ t2，解得 t ＝ ，
∴当 t ＝ 时， PA ＝ PB ；
（2）若点 P 恰好在∠ BAC 的平分线上（不与点 A 重合），求 t 的值.
解：（2）当点 P 在∠ BAC 的平分线上时，如图，过点 P 作 PE ⊥ AB 于
点 E ，
易证△ APC ≌△ APE （AAS），
∴ AE ＝ AC ＝8cm，
此时 BP ＝（14－ t ）cm， PE ＝ PC ＝
（ t －8）cm， BE ＝ AB － AE ＝2cm，
在Rt△ BEP 中， PE2＋ BE2＝ BP2，
即（ t －8）2＋22＝（14－ t ）2，解得 t ＝ ，
∴当 t ＝ 时，点 P 恰好在∠ BAC 的平分线上.
第11题图
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第3课时 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
一、选择题
1. 下列数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ B ）
A. 6，8，9 B. 6，8，10
C. 6，8，11 D. 6，8，12
2. 下列各组数能构成勾股数的是（ A ）
A. 8，15，17 B. 6，7，8
C. 0.03，0.04，0.05 D. 0.9，1.2，1.5
B
A
3. 满足下列条件的△ ABC 中，不是直角三角形的是（ B ）
A. ∠ B ＝∠ A ＋∠ C
B. ∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝5∶12∶13
C. a2＝ b2－ c2
D. a ∶ b ∶ c ＝5∶12∶13
B
二、填空题
4. 在△ ABC 中， a ＝3， b ＝7， c2＝58，则 S△ ABC ＝ .
5. 如图， AD 是△ ABC 的中线， AD ＝12， AB ＝13， BC ＝10，若 AC 边
上的高为 BH ，则 BH 的长为 .
10.5
第5题图
三、解答题
6. 已知｜ x －12｜＋（ y －13）2＋ z2－10 z ＋25＝0，试判断以 x ， y ， z
为三边长的三角形的形状.
解：∵｜ x －12｜＋（ y －13）2＋ z2－10 z ＋25＝0，
∴｜ x －12｜＋（ y －13）2＋（ z －5）2＝0，
则 x －12＝0， y －13＝0， z －5＝0，
解得 x ＝12， y ＝13， z ＝5，
∴ x2＋ z2＝ y2，
∴以 x 、 y 、 z 为三边长的三角形是直角三角形.
7. 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，若 AB ＝10， BD ＝6， AD ＝
8， AC ＝17，求 BC 的长.
第7题图
解：在△ ABD 中， AB ＝10， BD ＝6， AD ＝8，
∴ AB2＝100＝ BD2＋ AD2，
∴△ ABD 为直角三角形，
∴ AD ⊥ BC ，即∠ ADC ＝90°，
在Rt△ ADC 中， AD ＝8， AC ＝17，
∴ DC2＝ AC2－ AD2＝225，∴ DC ＝15，
∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝21.
8. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ BCA ＝90°， AC ＝12， AB ＝13，点 D 是Rt△
ABC 外一点，连接 DC ， DB ，且 CD ＝4， BD ＝3.
（1）求 BC 的长；
（1）解：在Rt△ ABC 中，∵ AC ＝12，
AB ＝13，
∴ BC2＝ AB2－ AC2＝25，∴ BC ＝5；
第8题图
（2）求证：△ BCD 是直角三角形.
（2）证明：在△ BCD 中，∵ CD ＝4， BD
＝3， BC ＝5，
∴ CD2＋ BD2＝42＋32＝52＝ BC2，
∴△ BCD 是直角三角形.
第8题图
一、填空题
9. 在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AC ＝5， BC ＝4，过点 B 的直线把△
ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三
角形的面积是 .
3.6或4.32或4.8
二、解答题
10. 如图，在△ ABC 中， D 是 AB 的中点，若 AC ＝12， BC ＝5， CD ＝
6.5，求证：△ ABC 是直角三角形.
第10题图
证明：如图，作 AE ∥ BC 交 CD 的延长线于 E ，
∵ D 是 AB 的中点，∴ AD ＝ BD ，
∵ AE ∥ CB ，∴∠ EAD ＝∠ B ，
在△ ADE 和△ BDC 中，，
∴△ ADE ≌△ BDC （ASA），
∴ AE ＝ BC ＝5， ED ＝ CD ＝6.5，
∴ EC ＝13，
∵ AC ＝12，∴ AE2＋ AC2＝ EC2，
∴△ AEC 是直角三角形，且∠ CAE ＝90°，
∴∠ CAB ＋∠ EAB ＝90°，
∴∠ CAB ＋∠ B ＝90°，
∴△ ABC 是直角三角形.
填空题
11. 如图， P 是等边△ ABC 外一点，连接 PA ， PB ， PC ，若 PA ＝3， PB
＝4， PC ＝5，则∠ APB 的度数是 .
第11题图
30°
谢 谢 观 看
