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第11课时 专题一次函数与面积、几何变换
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
解答题
1. 如图，已知一次函数 y ＝ x －3的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两
点，点 C （－4， n ）在该函数的图象上，连接 O C. 求点 A ， B 的坐标和
△ OAC 的面积.
第1题图
解：对于 y ＝ x －3，
令 y ＝0，则 x ＝6，
令 x ＝0，则 y ＝－3，
∴ A （6，0）， B （0，－3），
将 C （－4， n ）代入 y ＝ x －3，得 n ＝－5，
∴ S△ OAC ＝ ×6×｜－5｜＝15.
2. 如图，直线 l 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A （4，0）、 B （0，5），把直
线 l 沿 y 轴向下平移3个单位长度，得到直线 m ，且直线 m 分别与 x 轴、 y
轴交于点 C 、D.
（1）求直线 l 的函数表达式；
解：（1）设直线 l 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
将 A （4，0）、 B （0，5）代入，
得，解得，
∴直线 l 的函数表达式为 y ＝－ x ＋5；
第2题图
（2）求四边形 ABDC 的面积.
解：（2）直线 l 沿 y 轴向下平移3个单位长度得到直线
m ： y ＝－ x ＋5－3＝－ x ＋2，
当 x ＝0时， y ＝2，∴ D （0，2），
当 y ＝0时， x ＝ ，∴ C （ ，0），
∴ S四边形 ABDC ＝ S△ OAB － S△ OCD ＝ ×4×5－ ×2×
＝ .
第2题图
3. 如图，一次函数的图象经过点 P （6，3）和点 B （0，－4），与 x 轴交
于点A.
（1）求一次函数的表达式；
解：（1）设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
将 P （6，3）和 B （0，－4）代入，
得，解得，
∴一次函数的表达式为 y ＝ x －4；
第3题图
（2）点 M 在 y 轴上，且△ ABM 的面积为 ，求点 M 的坐标.
解：（2）当 y ＝0时， x ＝ ，∴ A （ ，0），
∴ S△ ABM ＝ BM · xA ＝ ，∴ BM ＝3，
∴点 M 的坐标为（0，－1）或（0，－7）.
第3题图
4. 如图，直线 l1： y ＝－2 x ＋4与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点，直线
l2： y ＝－ x －3与 x 轴， y 轴分别交于 C ， D 两点.
（1）求四边形 ABCD 的面积；
解：（1）由题意得 A （2，0）， B （0，4）， C
（－6，0）， D （0，－3），
∴ AC ＝8， OB ＝4， OD ＝3， BD ＝7，
∴ S四边形 ABCD ＝ AC · OB ＋ AC · OD ＝28；
第4题图
（2）直线 l1， l2交于点 P ，求△ PAD 的面积.
解：（2）联立，解得，
∴ P （ ，－ ），
∴ S△ PAD ＝ BD · xP － BD · OA ＝ .
第4题图
5. 如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋4的图象分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B
两点.
（1）求 A ， B 两点的坐标；
解：（1）对于 y ＝－ x ＋4，
当 x ＝0时， y ＝4，
当 y ＝0时， x ＝8，
∴ B （0，4）， A （8，0）；
第5题图
（2）点 C 在线段 AB 上，连接 OC ，若直线 OC 将△ AOB 分成面积比为
1∶3的两部分，求点 C 的坐标.
解：（2）由（1）可得 S△ AOB ＝ OA · OB ＝
16，
设 C （ m ，－ m ＋4），
∴ S△ BOC ＝ OB · m ＝2m ，
∵直线 OC 将△ AOB 分成面积比为1∶3的两
部分，
第5题图
∴ S△ BOC ＝ S△ AOB 或 S△ BOC ＝ S△ AOB ，
∴2m ＝ ×16或2m ＝ ×16，解得 m ＝2或6，
∴点 C 的坐标为（2，3）或（6，1）.
第5题图
第6题图
解答题
6. 如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB ：
y ＝2 x ＋ b 与 x 轴交于点 A （－2，0），与 y 轴
交于点B.
（1）求直线 AB 的表达式；
解：（1）把 A （－2，0）代入 y ＝2 x ＋ b ，
得－4＋ b ＝0，解得 b ＝4，
∴直线 AB 的表达式为 y ＝2 x ＋4；
（2）若直线 CD ： y ＝－ x ＋ 与 x 轴、 y 轴、直线 AB 分别交于点 C 、
D 、 E ，求△ BDE 的面积；
解：（2）由直线 AB ： y ＝2 x ＋4，得 B （0，4），
由直线 CD ： y ＝－ x ＋ ，得 C （3，0），
D （0， ），
联立，解得，
∴ E （－1，2），
∵ BD ＝ ，∴ S△ BDE ＝ BD ·｜ xE ｜＝ ；
第6题图
（3）如图2，在（2）的条件下，点 F 为线段 AC 上一动点，将△ EFC 沿
直线 EF 翻折得到△ EFN ， EN 交 x 轴于点 M . 当△ MNF 为直角三角形
时，求点 N 的坐标.
第6题图
解：（3）如图1，当∠ MFN ＝90°时，过点 E 作 EH ⊥ x 轴于点 H ，
∵ E （－1，2），∴ EH ＝2， OH ＝1，
由翻折得∠ EFC ＝∠ EFN ＝135°，
∴∠ EFO ＝∠ EFN －∠ MFN ＝45°，
∴ EH ＝ FH ＝2，∴ OF ＝ FH － OH ＝1，
∵ C （3，0），∴ CF ＝ OC － OF ＝2，
由翻折得 FN ＝ CF ＝2，
∴ N （1，－2）；
如图2，当∠ FMN ＝90°时，由翻折得 EN ＝ EC ，
∵ E （－1，2）， C （3，0），
∴ EM ＝2， EC ＝ ＝2 ，
∴ EN ＝2 ，∴ MN ＝ EN － EM ＝2 －2，
∴ N （－1，2－2 ），
综上所述，点 N 的坐标为（1，－2）
或（－1，2－2 ）.
解答题
7. 如图，平面直角坐标系中，已知点 A （10，0），点 B （0，8），过点
B 作 x 轴的平行线 l ，点 P 是直线 l 上位于第一象限内的一个动点，连接
OP ， AP .
第7题图
（1）如图1，若将△ BOP 沿 OP 翻折后，点 B 的对应
点 B '恰好落在 x 轴上，则△ BOP 的面积为 ；
32
（2）如图1，若 PO 平分∠ APB ，求点 P 的坐标；
解：（2）设 P （ x ，8），
∵直线 l ∥ x 轴，∴∠ BPO ＝∠ AOP ，
∵ PO 平分∠ APB ，∴∠ BPO ＝∠ APO ，
∴∠ AOP ＝∠ APO ，∴ AO ＝ AP ＝10，
即102＝（10－ x ）2＋82，解得 x ＝4或16，
∴点 P 的坐标为（4，8）或（16，8）；
第7题图
（3）如图2，已知点 C 是直线 y ＝ x 上一点，若△ APC 是以 AP 为直角边
的等腰直角三角形，求点 C 的坐标.
第7题图
解得或，
∴点 C 的坐标为（10，16）；
解：（3）设 P （ n ，8）（ n ≠0）， C （ m ， m ），
①当点 C 在直线 l 的上方时，如图1，过点 P 作直线 FE
⊥ x 轴于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ FE 于点 F ，
∵△ APC 为等腰直角三角形，
∴ PA ＝ PC ，∠ APC ＝90°，
易证△ PEA ≌△ CFP （ AA S），
∴ AE ＝ PF ， PE ＝ FC ，
即，或，
②当点 C 在直线 l 的下方时，如图2，过点 A 作 AM ⊥ l 于点 M ，过点 C 作
CN ⊥ x 轴于点 N ，
易证△ AMP ≌△ ANC （ AA S），
同①理可得点 C 的坐标为（2， ），
综上所述，点 C 的坐标为（10，16）或（2， ）.
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第14课时 一次函数的应用（2）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 甲、乙两人沿同一条路从 A 地出发，去往100千米外的 B 地，甲、乙两人离 A 地的距离 s （km ）与时间 t （h）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ A ）
A. 甲的速度是60km/h
B. 乙的速度是30km/h
C. 甲、乙两人同时到达 B 地
D. 甲出发2h后两人相遇
第1题图
A
2. 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程 y （千米）随时间 t
（小时）变化的图象（全程）如图所示，则下列说法正确的有（ C ）
C
第2题图
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；
②第1小时甲跑了10千米，乙跑了8千米；
③乙的行程 y （千米）与时间 t （小时）
之间的关系式为 y ＝10 t ；
④第1.5小时甲跑了12千米.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
3. 如图所示，直线 a 反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关
系，直线 b 反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图
象判断该公司盈利（即收入大于成本）时销售量应 .
大于3吨
第3题图
4. 在成都地铁13号线的建设中，甲、乙两个建设公司同时挖掘两段长度
相等的隧道，如图是甲、乙两公司挖掘隧道长度 y （米）与挖掘时间 x
（小时）之间关系的部分图象.如果甲队施工速度始终不变，乙队在开挖
6小时后，施工速度每小时增加了6米，结果两队同时完成了任务，那么
甲队从开挖到完工所挖隧道的总长度为 米.
160
第4题图
三、解答题
5. 某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图，线段 AB 、 OC 分别表示每天的生产成本 y1（元）、收入 y2（元）与产量 x （千克）之间的函数关系.
（1）分别求出 y1、 y2与 x 之间的函数关系式；
第5题图
解：（1）设 y1与 x 之间的函数关系式为 y1
＝ mx ＋ n ，
则，解得，
∴ y1与 x 之间的函数关系式为 y1＝4 x ＋
240；
设 y2与 x 之间的函数关系式为 y2＝ kx ，
则60 k ＝720，解得 k ＝12，
∴ y2与 x 之间的函数关系式为 y2＝12 x ；
第5题图
（2）若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，求这天的产量.
解：（2）联立，解得
，
∴若该手工作坊某一天既不盈利也不亏
损，则这天的产量是30千克.
第5题图
第6题图
6. 为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知
某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如
图描述了两种方式应支付的金额 y （元）与骑行时间 x （小时）之间的函
数关系，根据图象回答下列问题：
（1）求手机支付金额 y （元）与骑行时
间 x （小时）之间的函数关系式；
解：（1）手机支付金额 y （元）与骑行
时间 x （小时）之间的函数关系式为 y ＝
0.75 x ；
（2）李老师经常骑共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种
支付方式比较合算.
第6题图
解：（2）会员卡支付金额 y （元）与骑
行时间 x （小时）之间的函数关系式为：
y ＝，
令 x －0.5＝0.75 x ，得 x ＝2，
∴当骑行时间不足2小时时，李老师选择
会员卡支付比较合算；当骑行时间为2小
时时，李老师选择两种支付方式花费相
同；当骑行时间超过2小时时，李老师选
择手机支付比较合算.
第6题图
一、填空题
7. 如图，在Rt△ ABO 中，∠ OBA ＝90°， A （4，4），点 C 在边 AB 上，
且 ＝ ，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移
动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为 .
（ ， ）
第7题图
二、解答题
8. 甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度 y （米）与
登山时间 x （分）之间的函数关系图象如图所示，根据图象所提供的信
息解答下列问题：
第8题图
（1）甲登山上升的速度是 米/分，
乙在 A 地时距地面的高度 b 的值
为 ；
10
30
（2）若乙提速后，乙登山上升的速度是甲登山上升速度的3倍，请求出
乙登山全程中，距地面的高度 y （米）与登山时间 x （分）之间的函数关
系式；
第8题图
第8题图
解：（2）易得线段 OA 的函数关系式为 y ＝15 x （0≤ x ≤2），
乙提速后的速度为3×10＝30米/分，
∴线段 AB 的函数关系式为 y ＝30（ x －2）＋30＝30 x －30，
令 y ＝30 x －30＝300，得 x ＝11，∴ B （11，300），
∴ y 与 x 之间的函数关系式为：
y ＝；
第8题图
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
解：（3）设线段 CD 的函数关系式为 y ＝ mx ＋ n ，
则，解得，
∴线段 CD 的函数关系式为 y ＝10 x ＋100，
当0≤ x ≤2时，
由10 x ＋100－15 x ＝50，解得 x ＝10（舍去）；
当2＜ x ＜11时，
由10 x ＋100－（30 x －30）＝50，解得 x ＝4，
由30 x －30－（10 x ＋100）＝50，解得 x ＝9；
当11≤ x ≤20时，
由300－（10 x ＋100）＝50，解得 x ＝15，
综上所述，登山4分钟或9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差
为50米.
第8题图
解答题
9. 如图，在某中学八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离 S （米）与时间 t （秒）之间的函数关系图象分别为折线 OABC 、线段 OD. 根据图象中的信息，解答下列问题：
（1）甲同学前15秒跑了 米，
同学先到终点；
100
第9题图
甲
（2）出发后第几秒两位同学第一次相遇？本次测试的全程是多少米？
解：（2）设线段 AB 的函数关系式
为 S ＝ at ＋ b ，
将 A （15，100）， B （35，200）
代入，
得，解得，
∴线段 AB 的函数关系式为 S ＝5t ＋
25，
令 S ＝5 t ＋25＝150，得 t ＝25，
设线段 OD 的函数关系式为 S ＝ kt ，
第9题图
第9题图
将（25，150）代入，得25 k ＝150，解得 k ＝6，
∴线段 OD 的函数关系式为 S ＝6 t ，
令 t ＝100，得 S ＝600，
∴出发后第25秒两位同学第一次相遇，
本次测试的全程是600米；
第9题图
（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？
解：（3）设线段 BC 的函数关系式
为 S ＝ mt ＋ n ，
将 B （35，200）， C （97.5，
600）代入，
得，解得
，
∴线段 BC 的函数关系式为 S ＝6.4t －24，
联立，解得，
∴两位同学第二次相遇是在距终点600－360＝240米的地方.
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第21课时 回顾与思考
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 若点 A （－5， y1）和 B （－2， y2）都在直线 y ＝ x ＋2上，则 y1与 y2
的大小关系是（ C ）
A. y1≤ y2 B. y1＝ y2
C. y1＜ y2 D. y1＞ y2
C
2. 已知一次函数 y ＝ x ＋1和 y ＝2 x －2图象的交点坐标是（3，4），则方
程组的解为（ A ）
A. B.
C. D.
A
3. 一次函数 y ＝ kx － k 的大致图象可能是（ B ）
A
B
C
D
B
二、填空题
4. 若 y ＝（ m －1） 是正比例函数，则 m 的值为 .
5. 某公司销售甲、乙两种球鞋，去年卖出12200双，今年甲种球鞋卖出的
数量比去年增加6％，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5％，两种球鞋的
总销量增加了50双.求去年甲、乙两种球鞋各卖出多少双？若设去年甲种
球鞋卖出 x 双，乙种球鞋卖出 y 双，则根据题意可列方程组
为 .
－1
三、解答题
6. 解方程组：
（1）；
解：①×2－②，得9 x ＝9，解得 x ＝1，
把 x ＝1代入①，得 y ＝2，
∴原方程组的解为.
（2）.
解：②＋③，得4 x －2 y ＝4④，
①×2＋④，得8 x ＝24，解得 x ＝3，
把 x ＝3代入①，得 y ＝4，
把 x ＝3， y ＝4代入②，得 z ＝5，
∴原方程组的解为.
7. 假期里，小明快步走、妈妈骑自行车沿同一条笔直的马路从家出发到
超市去购物，如图，线段 OA 、 BC 分别表示小明、妈妈离开家的路程 s
（米）与小明所用的时间 t （分钟）之间的函数关系，根据图象解答下列
问题：
第7题图
（1）妈妈比小明迟出发 分钟，
小明快步走的速度是 米/分钟；
4
150
（2）求出图中线段 OA 、线段 BC 对应的函数表达式，并分别写出自变量
t 的取值范围.
第7题图
解：（2）设线段 OA 对应的函数表达式为
s ＝ kt ，
把 A （20，3000）代入，
得3000＝20 k ，解得 k ＝150，
∴线段 OA 对应的函数表达式为 s ＝150 t
（0≤ t ≤20），
设线段 BC 对应的函数表达式为 s ＝ k1 t ＋ b ，
把 B （4，0）、 C （16，3000）代入，
得，解得，
∴线段 BC 对应的函数表达式为 s ＝250 t －1000（4≤ t ≤16）.
8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1＝－ x ＋2的图象与 x
轴、 y 轴分别相交于点 A 、 B ，直线 y2＝ kx ＋ b （ k ≠0）经过点 C （1，
0）且与线段 AB 交于点 P ，并把△ ABO 分成两部分.
（1）求点 A 、 B 的坐标；
解：（1）对于 y1＝－ x ＋2，
令 y ＝0，则 x ＝3，令 x ＝0，则 y ＝2，
∴ A （3，0）， B （0，2）；
第8题图
（2）求△ ABO 的面积；
解：（2）由（1）得 OA ＝3， OB ＝2，
∴ S△ ABO ＝ OA · OB ＝3；
第8题图
（3）若△ ABO 被直线 CP 分成面积之比为1∶2的两部分，求点 P 的坐标
及直线 y2的函数表达式.
第8题图
解：（3）由题意得 S△ APC ＝ S△ ABO 或 S△ ABO ，
由（2）得 S△ ABO ＝3，∴ S△ APC ＝1或2，
∵ S△ APC ＝ AC · yP ＝1或2， AC ＝2，∴ yP ＝1或2，
代入 y1＝－ x ＋2，得 xP ＝ 或0，
∴ P （ ，1）或 P （0，2），
当点 P 的坐标为（ ，1）时，直线 y2的函数表达式为 y2＝
2 x －2；当点 P 的坐标为（0，2）时，直线 y2的函数表达
式为 y2＝－2 x ＋2.
第8题图
一、填空题
9. 如图，点 C 的坐标是（2，2），点 A 为坐标原点， CB ⊥ x 轴于点 B ，
CD ⊥ y 轴于点 D ，点 E 是线段 BC 的中点，过点 A 的直线 y ＝ kx 交线段
DC 于点 F ，连接 EF ，若 FA 平分∠ DFE ，则 k 的值为 .
3或1
第9题图
二、解答题
10. 在草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓
40箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第
一次多付款700元，设第一、二次购进草莓的箱数分别为 a 箱、 b 箱.
（1）求 a ， b 的值；
解：（1）由题意可得，
解得；
②当 x 的值为多少时，商店才刚好不亏本？
解：（2）① y 与 x 之间的函数关系式为：
y ＝60 x ＋35（40－ x ）－10×50－30×40＝25 x －300（0≤ x ≤40）；
②∵商店刚好不亏本，∴ y ＝0，
∴25 x －300＝0，解得 x ＝12，
即当 x 的值为12时，商店才刚好不亏本.
（2）若商店对这40箱草莓先按每箱60元销售了 x 箱，其余的按每箱35元
全部售完.（注：按整箱出售，利润＝销售总收入－进货总成本）
①求商店销售完全部草莓所获利润 y （元）与 x （箱）之间的函数关
系式；
第11题图
解答题
11. 如图，一次函数 y ＝－ x ＋3的图象与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点
B ，再将△ AOB 沿直线 CD 对折，使点 A 与点 B 重合，直线 CD 与 x 轴交
于点 C ，与 AB 交于点D.
（1）点 A 的坐标为 ，
点 B 的坐标为 ；
解：（1）对于 y ＝－ x ＋3，
令 y ＝0，则 x ＝4；令 x ＝0，则 y ＝3，
∴ A （4，0）， B （0，3），
故答案为：（4，0），（0，3）；
（4，0）
（0，3）
（2）求 OC 的长；
解：（2）如图，连接 BC ，
第11题图
∵ A （4，0）， B （0，3），
∴ OA ＝4， OB ＝3，
设 OC ＝ x ，则 AC ＝ CB ＝4－ x ，
∵∠ BOA ＝90°，∴ OB2＋ OC2＝ CB2，
即32＋ x2＝（4－ x ）2，解得 x ＝ ，
∴ OC ＝ ；
解：（3） AB ＝ ＝5，
①当 AB ＝ AP ＝5时， P （9，0）或 P （－1，
0）；
②当 AB ＝ BP ＝5时， P （－4，0）；
③当 AP ＝ BP 时， P （ ，0），
综上所述，点 P 的坐标为（9，0）或（－1，
0）或（－4，0）或（ ，0）.
第11题图
（3）若在 x 轴上有一点 P ，且△ PAB 是等腰三角形，直接写出点 P
的坐标.
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第17课时 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 小聪到商店要买两种作业本，一种每本2元，另一种每本3元.若小聪恰
好花完带的17元钱，则小聪购买的方案（ C ）
A. 有无数种 B. 只有1种
C. 只有3种 D. 只有4种
C
2. 《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四，问人数、物价各几何？”译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，
会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人有
x 人，物价为 y 钱，则可列方程组为（ A ）
A. B.
C. D.
A
3. 一个长方形的周长为28 cm ，长的2倍比宽的3倍多3 cm ，这个长方形的
面积是（ A ）
A. 45 cm2 B. 35 cm2 C. 25 cm2 D. 20 cm2
A
二、填空题
4. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.
某队在10场比赛中得到16分，设这个队胜 x 场，负 y 场，则 x ， y 满足的
方程组是 .
5. 学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.若男生每人整理30
本，女生每人整理20本，则共能整理680本；若男生每人整理50本，女生
每人整理40本，则共能整理1240本，那么男生志愿者有 人.
12
三、解答题
6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意
是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有
钱48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文，问：甲、乙
两人原来各有多少钱？
解：设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，
由题意得：，解得：，
答：甲原有36文钱，乙原有24文钱.
7. 为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛
球拍和乒乓球拍，已知购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强
一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍.求每副羽
毛球拍，每副乒乓球拍分别为多少元？
解：设每副羽毛球拍为 x 元，每副乒乓球拍为 y 元，
由题意得：，解得：，
答：每副羽毛球拍为45元，每副乒乓球拍为5元.
8. 小亮的妈妈用28元买了甲、乙两种水果，已知甲种水果每千克4元，乙
种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两
种水果各买了多少千克？
解：设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，
由题意得，解得，
答：小亮妈妈买了甲种水果4千克，乙种水果2千克.
第9题图
一、填空题
9. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，
7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三
个顶点上的数字之和都与中间正方
形四个顶点上的数字之和相等.若按
同样的要求重新填数如图2所示，
则 x － y 的值是 ， m － n 的值
是 .
－3
3
二、解答题
10. 某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛
笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元.
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
解：（1）设钢笔的单价为 x 元，毛笔的单价为 y 元，
由题意得，解得，
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元；
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）.陈
老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447
元.”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯
定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说陈老师用这些钱
只买这两种笔的账算错了；
解：（2）①设购买钢笔 a 支，购买毛笔 b 支，
由题意得，解得，
∵ a 、 b 为非负整数，
∴ a 、 b 为小数不符合题意，
∴陈老师用这些钱只买这两种笔的账算错了；
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的1支签字笔.如果
签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价
可能为 元.
解：②设购买钢笔 m 支，签字笔的单价为 n 元，则购买毛笔（105－ m ）支，
由题意得21 m ＋25（105－ m ）＝2447－ n ，
∴4 m ＝178＋ n ，
∵ m 是非负整数， n 是正整数，
∴178＋ n 应被4整除，∴ n 为偶数，
又∵ n ＜10，∴ n 的值可能为2、4、6、8，
当 n ＝2时，4 m ＝180，∴ m ＝45，符合题意；
当 n ＝4时，4 m ＝182，∴ m ＝45.5，不符合题意；
当 n ＝6时，4 m ＝184，∴ m ＝46，符合题意；
当 n ＝8时，4 m ＝186，∴ m ＝46.5，不符合题意，
∴签字笔的单价可能为2元或6元，
故答案为：2或6.
解答题
11. 某校计划组织部分学生和老师集体外出活动，若每位老师带38名学
生，还有6名学生没有安排；若每位老师带40名学生，有一位老师少带6
名学生.租用汽车送这些学生，为保障安全，每辆汽车上至少要有1名老
师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表：
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
（1）老师和学生各有多少人？
解：（1）设老师有 a 人，学生有 b 人，
由题意得：，解得：，
答：老师有6人，学生有234人；
（2）共需租多少辆汽车？
解：（2）由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；又要
保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于 （取整为6）辆；综合起
来可知共需租6辆汽车；
（3）设租用 x 辆甲种客车，租车费用为 y 元，试写出 y 关于 x 的函数
关系式.
解：（3）设租用 x 辆甲种客车，则租用（6－ x ）辆乙种客车，
由题意得： y ＝400 x ＋280（6－ x ）＝120 x ＋1680，
∴ y 关于 x 的函数关系式为 y ＝120 x ＋1680.
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第1课时 认识二元一次方程组
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 下列选项是二元一次方程的是（ B ）
A. 5 y －3 x B. 3 x －6＝ y
C. 2 x ＋ ＝1 D. 3 x ＋7 y ＝ xy
B
2. 下列各组数是二元一次方程 x －3 y ＝4的解的是（ A ）
A. B.
C. D.
A
3. 下列方程组为二元一次方程组的是（ C ）
A. B.
C. D.
C
二、填空题
4. 若是关于 x ， y 的二元一次方程 ax －b y ＝1的解，则6 a －4b＋3
＝ .
5. 如果方程组的解为，那么“*”表示的数是 .
5
2
三、解答题
6. 已知是关于 x ， y 的二元一次方程3 x ＝ y ＋ a 的解，求 a 的值.
解：∵是方程3 x ＝ y ＋ a 的解，
∴3×2＝－3＋ a ，解得 a ＝9，
即 a 的值是9.
7. 已知关于 x ， y 的二元一次方程 x ＋ y ＝ k ，且和都
是该方程的解.
（1）求m的值；
解：（1）将，代入原方程，
得，
∴1＋m＋2＝2m＋1，解得m＝2，
∴m的值为2；
（2）若也是该方程的解，则 n 的值为 .
解：（2）由（1）得m＝2，
∴ k ＝2m＋1＝5，
∴原方程为 x ＋ y ＝5，
将代入，得 n ＋ n ＝5，解得 n ＝ ，
故答案为： .
8. 已知甲种面包每个4元，乙种面包每个7元，小明计划购买甲种面包 x
个，乙种面包 y 个，共花76元.
（1）列出关于 x ， y 的二元一次方程；
解：（1）由题意得4 x ＋7 y ＝76；
（2）若 x ＝12，则 y ＝ ；
解：（2）把 x ＝12代入方程4 x ＋7 y ＝76，
得48＋7 y ＝76，解得 y ＝4，
故答案为：4；
4
（3）若小明购买乙种面包8个，则购买甲种面包 个；
解：（3）把 y ＝8代入方程4 x ＋7 y ＝76，
得4 x ＋56＝76，解得 x ＝5，
故答案为：5；
5
（4）你认为小明有几种购买方案？
解：（4）∵ x ， y 是非负整数，
∴方程4 x ＋7 y ＝76的解为或或，
∴有三种购买方案：
方案一：购买甲种面包5个，乙种面包8个；
方案二：购买甲种面包12个，乙种面包4个；
方案三：购买甲种面包19个，乙种面包0个.
一、填空题
9. 已知 x｜m｜－1＋（m＋2） y ＝7是关于 x ， y 的二元一次方程，则m
＝ .
2
二、解答题
10. （1）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程中的
a ，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程组的解
为，求 a2025＋（－ b）2024的值；
解：将代入4 x －b y ＝－2，
得－12＋b＝－2，解得b＝10，
将代入 ax ＋5 y ＝15，
得5 a ＋20＝15，解得 a ＝－1，
∴ a2025＋（－ b）2024
＝（－1）2025＋（－ ×10）2024＝0.
（2）若方程组是关于 x ， y 的二元一次方程组，求
代数式 a ＋b＋c的值.
解：∵方程组是关于 x ， y 的二元一次方程组，
∴c＋1＝0， a －2＝1或0，b＋3＝1，
解得c＝－1， a ＝3或2，b＝－2，
当 a ＝3时， a ＋b＋c＝0；
当 a ＝2时， a ＋b＋c＝－1，
∴代数式 a ＋b＋c的值为0或－1.
解答题
11. 把 y ＝ ax ＋b（其中 a 、b是常数， x 、 y 是未知数）这样的方程称为
“雅系二元一次方程”.当 y ＝ x 时，“雅系二元一次方程” y ＝ ax ＋b中
x 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如：当 y ＝ x 时，“雅
系二元一次方程” y ＝3 x －4化为 x ＝3 x －4，其“完美值”为 x ＝2.
（1）求“雅系二元一次方程” y ＝5 x ＋6的“完美值”；
解：（1）由题意可得 x ＝5 x ＋6，解得 x ＝－ ，
∴“雅系二元一次方程” y ＝5 x ＋6的“完美值”为 x ＝－ ；
（2）若 x ＝3是“雅系二元一次方程” y ＝3 x ＋m的“完美值”，求
m的值；
解：（2）由题意可得，当 x ＝3 x ＋m时， x ＝3，
∴3＝9＋m，解得m＝－6；
（3）“雅系二元一次方程” y ＝ kx ＋1（ k ≠0， k 是常数）存在“完美
值”吗？若存在，请求出其“完美值”；若不存在，请说明理由.
解：（3）若 x ＝ kx ＋1，则（1－ k ） x ＝1，
当 k ＝1时，“雅系二元一次方程” y ＝ kx ＋1不存在“完美值”；
当 k ≠1且 k ≠0时，“雅系二元一次方程” y ＝ kx ＋1存在“完美值”，
为 x ＝ .
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第19课时 应用二元一次方程组——里程碑上的数
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而
行，经过2小时两人相遇.设甲、乙两人每小时分别走了 x 千米、 y 千米，
则可列出方程组是（ C ）
A. B.
C. D.
C
2. A 地至 B 地的航线长9750km ，一架飞机从 A 地顺风飞往 B 地需12.5h，
它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机在无风时的平均速度是（ C ）
A. 720km /h B. 750km /h
C. 765km /h D. 780km /h
3. 小明郊游时，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返
回到下车处，正好是下午2时.若他走平路的速度为4km /h，爬山的速度为
3km /h，下山的速度为6km /h，则小明一共走的路程是（ C ）
A. 5km B. 10km
C. 20km D. 答案不唯一
C
C
二、填空题
4. 某工程队共有27人，每人每天可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土
及时运走，应分配 人挖土， 人运土.
5. 哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步.若两人同时同地反向出发，则4
分钟后相遇；若两人同时同地同向出发，则40分钟后哥哥追上弟弟.那么
哥哥每分钟跑 米.
15
12
55
三、解答题
6. 一个两位数个位数字与十位数字的和为10，如果将个位数字与十位数
字交换位置，得到新的两位数比原来的两位数大18，求原来的两位数.
解：设原来的两位数的十位数字为 x ，个位数字为 y ，
则，解得，
答：原来的两位数是46.
7. 从 A 地到 B 地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路.已
知一辆汽车从 A 地开往 B 地一共行驶了3.5h，汽车在国道上行驶的速度为
60km /h，在高速公路上行驶的速度为100km /h.求 A 、 B 两地间国道和高
速公路各长多少千米？
解：设 A 、 B 两地间国道长 x 千米，高速公路长 y 千米，
依题意得，解得，
答： A 、 B 两地间国道长90千米，高速公路长200千米.
8. 小魏、小梁分别从 A 、 B 两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，
沿同条路线相向匀速而行.出发2h两人相遇，相遇时小魏比小梁多行24km ，
相遇后0.5h小魏到达 B 地.
（1）两人的速度分别是多少？
解：（1）设小魏的速度为 x km /h，小梁的速度为 y km /h，
由题意得：，解得：，
答：小魏的速度为16km /h，小梁的速度为4km /h；
（2）相遇后多少时间小梁到达 A 地？
解：（2）2×16÷4＝8h，
答：相遇后8h小梁到达 A 地.
一、填空题
9. 若一个三位数与一个两位数的差是100，在三位数的左边写上这个两位
数，得到一个五位数；在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五
位数，已知前一个五位数比后一个五位数大12600，求这个两位数.设两
位数为 x ，三位数为 y ，那么根据题意可列方程组
为 .
二、解答题
10. 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打
车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按 x 元/公里计算，
耗时费按 y 元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人
用该打车方式出行，按上述计价规则，其行驶里程数、打车时间与打车
总费用如表：
里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元）
小明 8 8 12
小刚 10 12 16
（1）求出 x ， y 的值；
解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）周末小华去图书馆进行阅读也采用了该打车方式，已知他打车行驶
了12公里，用时16分钟，那么小华的打车总费用为多少？
解：（2）∵小华的打车行驶里程数是12公里，打车时间为16分钟，
∴打车总费用是12 x ＋16 y ＝20元，
答：小华的打车总费用是20元.
解答题
11. 已知用2辆 A 型车和1辆 B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 A 型车
和2辆 B 型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同
时租用 A 型车 a 辆， B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆 A 型车和1辆车 B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
解：（1）设1辆 A 型车、1辆 B 型车都载满货物一次可分别运货 x
吨、 y 吨，
由题意得：，解得：，
答：1辆 A 型车载满货物一次可运货3吨，1辆 B 型车载满货物一次可
运货4吨；
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
解：（2）结合题意和（1）得：3 a ＋4 b ＝31，
∴ a ＝ ，
∵ a 、 b 都是正整数，
∴或或，
∴有3种租车方案：
方案一：租用 A 型车9辆， B 型车1辆；
方案二：租用 A 型车5辆， B 型车4辆；
方案三：租用 A 型车1辆， B 型车7辆；
（3）若每辆 A 型车需租金100元，每辆 B 型车需租金120元.请选出最省钱
的租车方案，并求出最少租车费.
解：（3）方案一需租金9×100＋1×120＝1020元；
方案二需租金5×100＋4×120＝980元；
方案三需租金1×100＋7×120＝940元，
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案是方案三：租用 A 型车1辆， B 型车7辆，最少租车
费为940元.
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第18课时 应用二元一次方程组——增收节支
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 一个长方形的周长为28厘米，长比宽的3倍少6厘米，则这个长方形的
面积是（ A ）
A. 45平方厘米 B. 35平方厘米
C. 25平方厘米 D. 20平方厘米
A
A. B.
C. D.
2. 《孙子算经》中有一道题，意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子
还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？
若设长木长 x 尺，绳长 y 尺，则可列方程组为（ D ）
D
3. 某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，则
甲组人数比乙组人数的一半还多6人，那么原来乙组的人数为（ D ）
A. 6人 B. 8人 C. 10人 D. 12人
D
二、填空题
4. 某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3％，杏树增加4
％，这样果园里这两种果树将增加3.6％，设该果园现分别有桃树 x 棵，
杏树 y 棵，则可列方程组为 .
5. 某停车场的收费标准为：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停
车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车
费324元，则小型汽车比中型汽车多 辆.
6
三、解答题
6在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收.去年菠萝的
收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20％，支出减少10％，
预计今年结余比去年多11400元.则：
（1）今年结余 元；
（2）若设去年的收入为 x 元，支出为 y 元，则今年的收入为
元，支出为 元；（用含 x 、 y 的代数式表示）
23400
1.2 x
0.9 y
（3）列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出.
解：（3）由题意得：，
解得：，
则1.2 x ＝50400元，0.9 y ＝27000元，
答：小明家今年种植菠萝的收入和支出分别为50400元和27000元.
7. 某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红
色帽子.帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的
人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人
数的 .问该兴趣小组男生、女生各有多少人？
解：设该兴趣小组男生有 x 人，女生有 y 人，
由题意得，解得，
答：该兴趣小组男生有12人，女生有21人.
8. 某水果种植基地去年的利润为500万元，估计今年的利润为980万元，
并且今年的收入比去年增加15％，支出比去年减少10％，求去年的收入
与支出各是多少万元？
解：设去年的收入为 x 万元，支出为 y 万元，
由题意得，
解得，
答：去年的收入为2120万元，支出为1620万元.
一、填空题
9. 我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），就是一个三阶“幻方”（如
图2）.观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.
在如图3所示的显示部分数据的新“幻方”中，根据寻找出的关系，推算
出 的值为 .
36
第9题图
二、解答题
10. 先阅读材料，再解答问题：
已知 a ， b 是有理数，并且满足等式5－ a ＝2 b ＋ － a ，求
a ， b 的值.
解：由题意得5－ a ＝（2 b － a ）＋ ，
∵ a ， b 是有理数，
∴，解得.
（1）已知 a ， b 是有理数， a ＋3 ＝5＋ b ，则 a ＝ ， b
＝ ；
5
3
（2）已知 x ， y 是有理数，并且满足等式7 x －9＋ x ＝－5 y ＋ y ＋3
，求 x ， y 的值.
解： （2）由题意得7 x －9＋ x ＝－5 y ＋ （ y ＋3），
∵ x ， y 是有理数，
∴，解得.
解答题
11. 某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体
育用品及单价如表：
备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单价（元） 50 40 25
（1）若400元全部用来购买篮球
和羽毛球拍共10件，问篮球和羽
毛球拍各购买多少件？
解：（1）设购买篮球 a 个，购买羽毛球拍 b 副，
由题意得，解得，
答：购买篮球6个，购买羽毛球拍4副；
（2）若400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现
吗？若能，求出篮球、排球、羽毛球拍各购买多少件；若不能，请说明
理由.
备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单价（元） 50 40 25
解：（2）能.
设购买篮球 x 个，购买排球 y 个，则购买羽毛球拍（10－ x － y ）副，
则50 x ＋40 y ＋25（10－ x － y ）＝400，
∴ x ＝ ＝6－ y ，
∵ x 、 y 都是整数，且 y ＜10，
∴ y ＝5，则 x ＝3，
∴10－ x － y ＝2副，
∴篮球、排球、羽毛球拍各购买3个、5个、2副.
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第13课时 一次函数的应用（1）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1.60升的油以0.3升/分钟的速度从油箱中均匀流出，则油箱中剩余油量 Q
（升）与流出时间 t （分钟）之间的函数关系式为（ D ）
A. Q ＝0.3t B. t＝60－0.3 Q
C. t＝0.3 Q D. Q ＝60－0.3t
D
2. 某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过
3千米后，每超1千米就加收2元.若某人乘出租车行驶的距离为 x （ x ＞
3）千米，需付费用为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ B ）
A. y ＝2 x ＋8 B. y ＝2 x ＋2
C. y ＝2 x －8 D. y ＝2 x －3
B
3. 一根蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的长度h
（厘米）与燃烧时间t（小时）之间的函数关系图象为（ C ）
A
B
C
D
C
二、填空题
4. 小明家距离学校3千米，上学时小明骑自行车以10千米/小时的速度行
驶了 x 小时，这时离学校还有 y 千米，则 y 与 x 之间的函数关系式为
.
5. 弹簧的长度 y （ cm ）与所挂物体的质量 x （kg）之间是一次函数关
系，其图象如图所示，则弹簧本身的长度为 .
y ＝
3－10 x （0≤ x ≤0.3）
10 cm
第5题图
三、解答题
6. 某商店销售1台 A 型电脑的利润为100元，销售1台 B 型电脑的利润为
150元，该商店计划一次购进 A 、 B 两种型号的电脑共100台，设购进 A 型
电脑 x 台，这100台电脑的销售总利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式.
解：由题意可得： y ＝100 x ＋150（100－ x ）＝－50 x ＋15000（0≤ x
≤100）.
7. 小明从家里骑电动车去体育馆，中途因买饮料停止了1分钟，之后又骑
行了1.8千米到达了体育馆.若小明骑行的速度始终不变，从出发开始计
时，剩余的路程 S （千米）与时间 t （分钟）之间的函数关系图象如图所
示，求图中 a 的值.
第7题图
解：小明骑车的速度为1.8÷（6－3）＝0.6千米/分钟，
小明家到体育馆的距离为0.6×（6－1）＝3千米，
∴ a 的值为3.
8. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至
240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，如图所示
的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度 y （℃）随时间 x （ m
in）变化的函数图象.
（1）求该图象的函数表达式；
第8题图
第8题图
解：（1）当0≤ x ≤10时，设函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
将（0，20），（10，240）代入，
得，解得，
∴ y ＝22 x ＋20；
当10＜ x ≤15时，设函数的表达式为 y ＝ nx ＋ m ，
将（10，240），（15，20）代入，
得，解得，
∴ y ＝－44 x ＋680，
∴该图象的函数表达式为：
y ＝；
（2）若某食物在130℃及以上的温度中烤制6 min以上才可健康食用，请
问该模式下烤制的该食物能否健康食用？请说明理由.
解：（2）能，理由如下：
对于 y ＝22 x ＋20，令 y ＝130，则 x ＝5，
对于 y ＝－44 x ＋680，令 y ＝130，则 x ＝
12.5，
∵12.5－5＝7.5 min＞6 min，
∴该模式下烤制的该食物能健康食用.
第8题图
一、填空题
9. 甲、乙两个工程队完成某项工程，首先甲队单独做了10天，然后乙队
加入合作，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如
图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲队单独完
成这项工程所需时间少 天.
18
二、解答题
10. 甲、乙两列车分别从 A 、 B 两站同时相对开出，甲车每小时行驶60千
米，如图反映的是从出发到相遇，两车之间的距离 y （千米）与行驶的
时间 x （小时）之间的函数关系.根据图象回答：
（1） A 、 B 两站相距多少千米？
第9题图
解：（1）由图象得， A 、 B 两站相距600
千米；
（2）两车行驶多长时间相遇？
解：（2）由图象得，两车行驶6小时后相
遇；
第10题图
（3）乙车每小时行驶多少千米？
解：（3） v乙＝ ＝40千米/小时，
答：乙车每小时行驶40千米；
第10题图
（4）写出 y 与 x 之间的函数关系式，图象对应的一次函数 y ＝ kx ＋ b
中，｜ k ｜和 b 的实际意义分别是什么？
解：（4）将（6，0），（0，600）代入 y ＝
kx ＋ b ，
得，解得，
∴ y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝－100 x ＋
600（0≤ x ≤6），｜ k ｜表示两车行驶的距
离和与行驶的时间的比值（即两车的速度之
和）， b 表示 A 、 B 两站的距离.
第10题图
解答题
11. “和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度 y （ m /s）与时间 x
（s）之间的函数关系如图所示，其中线段 BC ∥ x 轴.请根据图象提供的
信息解答下列问题：
（1）当0≤ x ≤10时，求 y 关于 x 的函数表达式；
解：（1）当0≤ x ≤10时，设 y 关于 x 的
函数表达式为 y ＝ kx ，将 A （10，50）
代入，
得10 k ＝50，解得 k ＝5，
∴当0≤ x ≤10时， y 关于 x 的函数表达
式为 y ＝5 x ；
第11题图
（2）求点 C 的坐标.
解：（2）当10≤ x ≤30时，设 y 关于 x
的函数表达式为 y ＝ ax ＋ b ，将（10，
50），（25，80）代入，
得，解得，
∴当10≤ x ≤30时， y 关于 x 的函数表达
式为 y ＝2 x ＋30，
当 x ＝30时， y ＝90，∴ B （30，90），
∵线段 BC ∥ x 轴，
∴点 C 的坐标为（60，90）.
第11题图
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第6课时 一次函数的图象（1）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 直线 y ＝ x 经过（ B ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
B
2. 正比例函数 y ＝－2 x 的大致图象是（ C ）
A
B
C
D
C
3. 如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是① y ＝ ax ，② y ＝
bx ，③ y ＝ cx ，则 a 、 b 、 c 的大小关系是（ C ）
A. a ＞ b ＞ c
B. c ＞ b ＞ a
C. b ＞ a ＞ c
D. b ＞ c ＞ a
第3题图
C
二、填空题
4. 已知函数 y ＝（ k －3） x ， y 随 x 的增大而减小，则常数 k 的取值范围
是 ，函数图象经过第 象限.
5. 已知点 A （5， y1）， B （2， y2）都在直线 y ＝ kx （ k ＜0）上，则 y1与
y2的大小关系是 y1 y2.（填“＜”“＝”或“＞”）
k ＜3
二、四
＜
三、解答题
6. 在同一直角坐标系（如图）中，作出函数 y ＝ x ， y ＝－2 x ， y ＝3
x ， y ＝－ x 的图象.
第6题图
解：列表：
x … 0 6 …
y ＝ x … 0 3 …
y ＝－ x … 0 －2 …
x … 0 1 …
y ＝－2 x … 0 －2 …
y ＝3 x … 0 3 …
描点，连线如图所示.
7. 已知正比例函数 y ＝（2 m ＋4） x ，求：
（1）当 m 为何值时，函数图象经过第一、三象限；
解：（1）∵函数图象经过第一、三象限，
∴2 m ＋4＞0，解得 m ＞－2，
∴当 m ＞－2时，函数图象经过第一、三象限；
（2）当 m 为何值时， y 随 x 的增大而减小；
解：（2）∵ y 随 x 的增大而减小，
∴2 m ＋4＜0，解得 m ＜－2，
∴当 m ＜－2时， y 随 x 的增大而减小；
（3）当 m 为何值时，点（1，3）在该函数图象上.
解：（3）∵点（1，3）在该函数图象上，
∴2 m ＋4＝3，解得 m ＝－ ，
∴当 m ＝－ 时，点（1，3）在该函数图象上.
8. 若正比例函数 y ＝（ a －1） 的图象经过点（－2， b2＋5），求
a ， b 的值.
解：∵ y ＝（ a －1） 是正比例函数，
∴ a2－3＝1且 a －1≠0，
解得 a ＝2或－2，
当 a ＝2时，正比例函数的表达式为 y ＝ x ，
∵图象经过点（－2， b2＋5），
∴ b2＋5＝－2，无解，
∴ a ＝2不合题意，舍去；
当 a ＝－2时，正比例函数的表达式为 y ＝－3 x ，
∵图象经过点（－2， b2＋5），
∴ b2＋5＝－3×（－2）＝6，
解得 b ＝±1，
综上所述， a ＝－2， b ＝±1.
填空题
9. 将2×2的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形 ABCD 的顶点都在格点上.若直线 y ＝ kx （ k ≠0）与正方形ABCD 有公共点，则 k 的取值范围是 .
≤ k ≤2
第9题图
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，0），在直线 y ＝
x 上取点 P ，使△ OPA 是等腰三角形，则所有满足条件的点 P 的坐标
为 .
（－ ，－ ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）
第10题图
解答题
11. 如图，正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点 A ，点 A 在第四象限，过点 A
作 AH ⊥ x 轴，垂足为点 H ，点 A 的横坐标为3，且△ AOH 的面积为3.
（1）求正比例函数的表达式；
第11题图
∴正比例函数的表达式为 y ＝－ x ；
解：（1）∵ AH ⊥ x 轴，点 A 的横坐标为3，
∴ OH ＝3，
∵△ AOH 的面积为3，
∴ S△ AOH ＝ OH · AH ＝3，
∴ AH ＝2，
又∵点 A 在第四象限，
∴ A （3，－2），
将 A （3，－2）代入 y ＝ kx ，
得－2＝3 k ，解得 k ＝－ ，
第11题图
（2）在 x 轴上能否找到一点 P ，使△ AOP 的面积为5？若能，求点 P 的
坐标；若不能，请说明理由.
解：（2）能，
设点 P 的坐标为（ a ，0），
则 S△ AOP ＝ OP · AH ＝ ｜ a ｜·2＝5，
解得 a ＝±5，
∴点 P 的坐标为（－5，0）或（5，0）.
第11题图
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第2课时 求解二元一次方程组（1）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 用代入法解方程组时，将方程①代入方程②，得到的结
果正确的是（ B ）
A. x －2－2 x ＝4 B. x ＋2－2 x ＝4
C. x ＋2＋ x ＝4 D. x ＋2－ x ＝4
B
2. 方程组的解是（ D ）
A. B. C. D.
D
3. 用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形
是（ D ）
A. 由①得 x ＝ B. 由①得 y ＝
C. 由②得 x ＝ D. 由②得 y ＝2 x －5
D
二、填空题
4. 已知二元一次方程2 x － y ＝1，用含 y 的代数式表示 x 为
.
5. 已知实数 x ， y 满足 ＋（3 x － y ）2＝0，则 的值
为 .
x ＝ y ＋
2
三、解答题
6. 用代入消元法解下列方程组：
（1）；
解：（1）将②代入①，得2（ y ＋1）＋3 y ＝22，
解得 y ＝4，
将 y ＝4代入②，得 x ＝5，
∴原方程组的解为；
（2）；
解：（2）由①得 x ＝4－2 y ③，
把③代入②，得3（4－2 y ）－ y ＝5，
解得 y ＝1，
把 y ＝1代入③，得 x ＝2，
∴原方程组的解为.
（3）；
解：（3）由②得 x ＝5 y ＋6③，
把③代入①，得－15 y －18＋2 y ＝8，
解得 y ＝－2，
把 y ＝－2代入③，得 x ＝－4，
∴原方程组的解为；
解： （4）由①得 y ＝3－2 x ③，
把③代入②，得3 x －15＋10 x ＝11，
解得 x ＝2，
把 x ＝2代入③，得 y ＝－1，
∴原方程组的解为.
（4）.
7. 用代入消元法解下列方程组：
（1）；
解：由①得 x ＝ ③，
把③代入②，得 ＋15 y ＝32，
解得 y ＝ ，
把 y ＝ 代入③，得 x ＝2，
∴原方程组的解为.
（2）.
解：由②得 x ＋ y ＝2③，
把③代入①，得 x ＝1，
把 x ＝1代入③，得 y ＝1，
∴原方程组的解为.
8. 对于任意实数 x ， y ，规定： x y ＝ ax －b y （ a ，b为常数）.已知2 3
＝4，5 （－3）＝3.
（1）求 a ，b的值；
解：（1）∵2 3＝4，5 （－3）＝3，
∴，解得；
（2）求（－1） 3的值.
解：（2）∵ a ＝1，b＝－ ，
∴（－1） 3＝－1×1－3×（－ ）＝1.
一、填空题
9. 对于数对（ a ，b）、（c， d ），定义：当且仅当 a ＝c且b＝ d 时，
（ a ，b）＝（c， d ）；并定义其相关运算如下：（ a ，b）※（c， d ）
＝（ a c－b d ， ad ＋bc），如（1，2）※（3，4）＝（1×3－2×4，
1×4＋2×3）＝（－5，10）.若（ x ， y ）※（1，－1）＝（1，3），则
xy 的值是 .
－2
二、解答题
10. 已知方程组与有相同的解，求m， n
的值.
解：联立与原两方程组同解，
由②可得： x ＝5 y －3③，
将③代入①，得3（5 y －3）－2 y ＝4，
解得 y ＝1，
再将 y ＝1代入③，得 x ＝2，
将代入，
得，解得.
解答题
11. 阅读材料：
小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法.
解：将②变形为4 x ＋10 y ＋ y ＝5，
即2（2 x ＋5 y ）＋ y ＝5③，
把①代入③，得2×3＋ y ＝5，
解得 y ＝－1，
把 y ＝－1代入①，得 x ＝4，
∴原方程组的解为.
请你解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
解：（1）将②变形为9 x －6 y ＋2 y ＝19，
即3（3 x －2 y ）＋2 y ＝19③，
把①代入③，得3×5＋2 y ＝19，
解得 y ＝2，
把 y ＝2代入①，得 x ＝3，
∴原方程组的解为；
（2）已知，求整式 x2＋4 y2＋ xy 的值.
解：（2）设 x2＋4 y2＝ a ， xy ＝b，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
∴ x2＋4 y2＋ xy ＝19.
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第4课时 函 数
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 下列图象中，不能表示函数的是（ D ）
A
B
C
D
D
2. 在函数 y ＝ 中，自变量 x 的取值范围是（ A ）
A. x ＞5 B. x ≥5 C. x ≠5 D. x ＜5
3. 某工程队承建一条长30 k m的乡村公路，预计工期为120天，若每天修
建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度 y （ k m）与施工时间 x
（天）之间的关系式为（ A ）
A. y ＝30－ x B. y ＝30＋ x
C. y ＝30－4 x D. y ＝ x
A
A
二、填空题
4. 在函数 y ＝ 中，自变量 x 的取值范围是 ；在函数 y ＝
中，自变量 x 的取值范围是 ；在函数 y ＝ ＋
x0中，自变量 x 的取值范围是 .
5. 已知函数 y ＝，当 x ＝2时，函数值 y ＝ .
x ≥3
x ≥－2且 x ≠0
x ≤1且 x ≠0、－1
5
三、解答题
6. 写出下列问题中的函数关系式.
（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长 x （cm）与面积 S （cm2）之间的
关系；
解：（1） S ＝（10－ x ） x ＝－ x2＋10 x （0＜ x ＜10），
即 S ＝－ x2＋10 x （0＜ x ＜10）；
（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
解：（2）α＝90°－β；
（3）等腰三角形的顶角度数 x （度）与底角度数 y （度）之间的关系；
解：（3） y ＝ ＝90－ ，
即 y ＝90－ （0＜ x ＜180）；
（4）一个铜球在0℃的体积为1000cm3，加热后温度每增加1℃，体积增
加0.051cm3， t ℃时铜球的体积为 V cm3， V 与 t 之间的关系.
解：（4） V ＝1000＋0.051 t .
7. 一个小球由静止开始在一个斜坡上从上向下滚动，其速度每秒增加
2m/s，到达坡底时，小球的速度达到50m/ s .
（1）写出小球的速度 v （m/s）与时间 t （s）之间的函数关系式；
解：（1） v 与 t 之间的函数关系式为 v ＝2 t （0≤ t ≤25）；
（2）求5s时小球的速度；
解：（2）当 t ＝5时， v ＝2×5＝10，
∴5s时小球的速度为10m/s；
（3）何时小球的速度为22m/s？
解：（3）当 v ＝22时，22＝2 t ，
解得： t ＝11，
∴11s时小球的速度为22m/ s .
8. 根据如图所示的运算程序，解答问题：
第8题图
（1）若输入 x ＝－7，请计算输出的结果 y 的值；
解：（1）∵ x ＝－7＜0，
∴ y ＝ ＝ ＝2 ；
（2）若输入一个正数 x ，输出 y 的值为12，请计算输入的 x 值可能
是多少？
第8题图
解：（2）若0＜ x ＜2，则3 x ＋7＝12，
解得 x ＝ ；
若 x ≥2，
则 x3－15＝12，解得 x ＝3，
综上所述，输入的 x 值可能是 或3.
一、填空题
9. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y （L）与时间 x （min）之间的函数关系如图所示，则每分
钟的出水量为 .
3.75L
第9题图
二、解答题
10. 出租车收费按路程计算，3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米
时，每1千米加收1.80元.
（1）写出车费 y （元）与路程 x （千米）之间的函数关系式；
解：（1）由题意得：当0＜ x ≤3时， y ＝8；
当 x ＞3时， y ＝8＋1.8（ x －3）＝1.8 x ＋2.6，
综上所述， y ＝；
（2）某人在离家8千米处，身上仅有18元，他打算乘出租车回家，问他
的钱够吗？
解：（2）由（1）得：当 x ＝8时， y ＝1.8×8＋2.6＝17，
∵17元＜18元，
∴乘出租车回家钱够用.
解答题
11. 某省水资源比较缺乏，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，
各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标
准：每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米 a 元收费；超
过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按 a 元收费，超过的部分每立方
米按c元收费.该市某户居民今年3、4两月的用水量和水费如表所示：
月份 用水量（立方米） 水费（元）
3 5 7.5
4 9 27
设该户每月用水量为 x 立方米，应交水费 y 元.
（1）求 a 、c的值，并写出 y 与 x 之间的函数关系式；
解：（1）由题意得，当 x ≤6时， y ＝ ax ，
当 x ＞6时， y ＝6 a ＋c（ x －6），
由表得，
由①得 a ＝1.5，
把 a ＝1.5代入②得c＝6，
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝；
（2）该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
解：（2）当 x ＝8时， y ＝6×8－27＝21，
∴该户5月份的水费是21元.
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第5课时 一次函数与正比例函数
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 下列函数是正比例函数的是（ A ）
A. y ＝－7 x B. y ＝
C. y ＝2 x2＋1 D. y ＝0.6 x －5
2. 下列函数中，是一次函数的是（ C ）
A. y ＝ x2－2 x －1 B. y ＝
C. y ＝3 x －5 D. y ＝
A
C
3. 若函数 y ＝（k＋2） x ＋k2－4是正比例函数，则k的值为（ C ）
A. 0 B. ±2 C. 2 D. －2
C
4. 下列选项中，两个变量之间成正比例关系的是（ D ）
A. 圆的面积 S （cm2）与它的半径 r （cm）之间的关系
B. 某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h， x h后这个
水池有水 y m3， y 与 x 之间的关系
C. 当三角形的面积为定值时，它的底边长 a （cm）和底边上的高 h
（cm）之间的关系
D. 汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程 y （km）与行驶时间 x （h）
之间的关系
D
二、填空题
5. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，某弹簧不
挂物体时长15cm，当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm，则弹簧长
度 y （cm）与所挂物体质量 x （kg）之间的函数关系式为
.
y ＝0.6 x ＋
15
三、解答题
6. 列式表示下列问题中 y 与 x 之间的函数关系式，并指出哪些是正比
例函数.
（1）圆的半径为 x ，周长为 y ；
解：（1）由题意，得 y ＝2πx ，是正比例函数；
（2）每本练习本0.5元，购买练习本的本数为 x 本，购买练习本的总费用
为 y 元；
解：（2）由题意，得 y ＝0.5 x ，是正比例函数；
（3）汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶时间为 x 小时，所行驶的路
程为 y 千米；
解：（3）由题意，得 y ＝80 x ，是正比例函数；
（4）某人一个月的收入为3500元，这个人的总收入 y （元）随工作时间
x （月）的变化而变化.
解：（4）由题意，得 y ＝3500 x ，是正比例函数.
7. 已知函数 y ＝（m＋1） x2－｜m｜＋ n ＋4.
（1）当m， n 为何值时，此函数是一次函数？
解：（1）根据一次函数的定义，
得，解得m＝1，
∴当m＝1， n 为任意实数时，此函数是一次函数；
（2）当m， n 为何值时，此函数是正比例函数？
解：（2）根据正比例函数的定义，
得，解得，
∴当m＝1， n ＝－4时，此函数是正比例函数.
8. 一盘蚊香长50cm，点燃时每小时缩短5cm.
（1）请写出点燃后蚊香的长 y （cm）与蚊香燃烧时间 t （h）之间的函数
关系式，并判断 y 是否是 t 的一次函数；
解：（1）∵点燃后蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴ y ＝50－5 t （0≤ t ≤10）， y 是 t 的一次函数；
（2）该蚊香可燃烧多长时间？
解：（2）∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度为0，
∴50－5 t ＝0，解得 t ＝10，
∴该蚊香可燃烧10h.
一、填空题
9. [ a ，b]为一次函数 y ＝ ax ＋b（ a ≠0， a ，b为常数）的“关联数”.若
“关联数”是[1，m－ ]的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 x
＋ ＝ 的解为 x ＝ .
x ＝
二、解答题
10. 已知 y ＝ y1＋ y2， y1与 x2成正比例， y2与 x －2成正比例，当 x ＝1时，
y ＝5；当 x ＝－1时， y ＝11，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求当 x ＝2
时， y 的值.
解：∵ y1与 x2成正比例， y2与 x －2成正比例，
∴设 y1＝ kx2， y2＝ a （ x －2），
∴ y ＝ y1＋ y2＝ kx2＋ a （ x －2），
把 x ＝1， y ＝5和 x ＝－1， y ＝11代入，
得，解得，
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝2 x2－3（ x －2）＝2 x2－3 x ＋6，
把 x ＝2代入，
得 y ＝2×22－3×（2－2）＝8，
∴当 x ＝2时， y ＝8.
解答题
11. 张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文
具可供选择.如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增
加购买2个乙种文具.设购买 x 个甲种文具时，需购买 y 个乙种文具.
（1）①当减少购买1个甲种文具时， x ＝ ， y ＝ ；
②求 y 与 x 之间的函数关系式.
解：（1）①∵100－1＝99个，
∴ x ＝99， y ＝2，
故答案为：99，2；
②由题意得 y ＝2（100－ x ）＝－2 x ＋200，
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－2 x ＋200；
99
2
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具
共用去540元，则甲、乙两种文具各购买了多少个？
解：（2）由题意得，解得，
答：甲种文具购买了60个，乙种文具购买了80个.
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第12课时 专题一次函数与三角形
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
解答题
1. 如图，一次函数 y ＝－ x ＋2的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B ，
以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt△ ABC ，∠ BAC ＝90°.
（1）点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ；
（3，0）
第1题图
（0，2）
（2）求点 C 的坐标.
解：（2）如图，作 CD ⊥ x 轴于点 D ，
第1题图
∵∠ BAC ＝∠ ADC ＝90°，
∴∠ BAO ＋∠ CAD ＝∠ CAD ＋∠ ACD ＝90°，
∴∠ BAO ＝∠ ACD ，
∵ AB ＝ AC ，∴△ ABO ≌△ CAD （ AA S），
∴ AD ＝ OB ＝2， CD ＝ OA ＝3，
∴ OD ＝ OA ＋ AD ＝5，
∴点 C 的坐标为（5，3）.
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A （8，0），与 y
轴交于点 B （0，8），点 D 为 OA 延长线上的一动点，以 BD 为直角边在
其上方作等腰Rt△ BDE ，∠ BDE ＝90°，连接 EA.
（1）求证：∠ EAD ＝∠ OAB ；
（1）证明：如图，过点 E 作 EG ⊥ x 轴于点 G ，
第2题图
∴∠ EGD ＝∠ DOB ＝∠ BDE ＝90°， ED ＝ DB ，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，
∴△ EGD ≌△ DOB （ AA S），∴ EG ＝ DO ， GD ＝ OB ，
∵ A （8，0）， B （0，8），∴ OB ＝ OA ＝8，
∴∠ OAB ＝45°， GD ＝ OA ，
∴ DO ＝ DA ＋ OA ＝ DA ＋ DG ＝ AG ，
∴ EG ＝ AG ，∴∠ EAG ＝∠ GEA ＝45°，
∴∠ EAD ＝∠ OAB ；
（2）求直线 EA 与 y 轴交点 F 的坐标.
第2题图
（2）解：如图，∵∠ EAD ＝45°，∠ AOF ＝90°，
∴∠ OAF ＝∠ OFA ＝45°，∴ OA ＝ OF ＝8，
∴点 F 的坐标为（0，－8）.
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AE ： y ＝ x ＋8交 x 轴于点 E ，交 y
轴于点 A ，直线 BD ： y ＝－2 x －4交 x 轴于点 D ，交 y 轴于点 B ，交直线
AE 于点C.
（1）求点 D 、 E 、 C 的坐标；
第3题图
解：（1）在 y ＝ x ＋8中，
令 y ＝0，得 x ＝－12，
在 y ＝－2 x －4中，
令 y ＝0，得 x ＝－2，
∴ E （－12，0）， D （－2，0），
联立，解得，
∴ C （－ ，5）；
（2）求△ CDE 的面积；
解：（2）由（1）得 DE ＝10，
∴ S△ CDE ＝ DE · yC ＝25；
第3题图
（3）若在直线 AE 上存在点 F ，使 BA 是△ BCF 的中线，求点 F 的坐标.
解：（3）∵ BA 为△ BCF 的中线，∴ S△ BCA ＝
S△ BAF ，
∴ BA ·｜ xC ｜＝ BA · xF ，解得 xF ＝ ，
在 y ＝ x ＋8中，令 x ＝ ，得 y ＝11，
∴ F （ ，11）.
第3题图
第4题图
解答题
4. 如图，一次函数的图象与 x 轴正半轴交于点 A ，与 y 轴正半轴交于点
B ，点 D 在 x 轴上.将直线 AB 沿直线 BD 翻折，使得点 A 的对应点 C 落在 y
轴上.已知点 B 的坐标为（0，6）， BC ＝10.
（1）若点 C 在 y 轴负半轴上，
求直线 BD 的函数表达式；
∵ B （0，6）， BC ＝10，∴ C （0，－4），
∴ OB ＝6， OC ＝4，
∵直线 AB 沿直线 BD 翻折，点 A 与点 C 重合，∴ AB ＝ BC ＝10， CD ＝
AD ，
∵∠ AOB ＝90°，∴ OA ＝ ＝8，
设 OD ＝ x ，则 CD ＝ AD ＝8－ x ，
∵∠ COD ＝90°，∴ OD2＋ OC2＝ CD2，
即 x2＋42＝（8－ x ）2，解得： x ＝3，
∴ OD ＝3，∴ D （3，0），
设直线 BD 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
解：（1）如图，连接 CD ，
则，解得：，
∴直线 BD 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋6；
（2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点 E ，使得△ BOD 与△
BDE 全等，试求出点 E 的坐标；
第4题图
第4题图
解：（2）①当△ OBD ≌△ EBD 时，
易得点 E 在直线 AB 上，且 OD ＝ DE ＝3，
由 A （8，0）、 B （0，6）得直线 BA 的函数表达式为 y ＝－ x ＋6，
设 E （ m ，－ m ＋6），
∵ DE ＝3，∴（ m －3）2＋（－ m ＋6）2＝9，
解得： m ＝ ，∴ E （ ， ）；
②当△ OBD ≌△ EDB 时，易得 E （3，6），
综上所述，点 E 的坐标为（ ， ）或（3，6）；
（3）直线 BD 上是否存在点 F （异于点 D ），使得 S△ ABD ＝ S△ ABF ？若存
在，直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）存在，点 F 的坐标为（12，12）或（－3，12）.
第4题图
解答题
5. 如图，直线 y ＝ x ＋4与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，点 P 是射线 BO 上
的动点，过点 B 作直线 AP 的垂线交 x 轴于点 Q ，垂足为点 C ，连接 OC.
（1）当点 P 在线段 BO 上时，
①求证：△ AOP ≌△ BOQ ；
②若点 P 为 BO 的中点，求△ OCQ 的面积.
第5题图
（1）①证明：对于 y ＝ x ＋4，
当 x ＝0时， y ＝4，当 y ＝0时， x ＝－4，
∴ B （0，4）， A （－4，0），∴ OA ＝ OB
＝4，
∵∠ BOQ ＝90°，∴∠ OBQ ＋∠ OQB ＝
90°，
∵ BC ⊥ AC ，∴∠ ACQ ＝90°，
∴∠ OAP ＋∠ OQB ＝90°，∴∠ OAP ＝∠
OBQ ，
∵∠ AOP ＝∠ BOQ ＝90°，
∴△ AOP ≌△ BOQ （ A S A ）；
②解：∵ OB ＝4，点 P 为 OB 的中点，
∴ OP ＝ OB ＝2，
第5题图
第5题图
由①知：△ AOP ≌△ BOQ ，
∴ OQ ＝ OP ＝2，∴ Q （2，0），
由 A （－4，0）， P （0，2）得直线 AP ： y ＝ x ＋2，
由 B （0，4）， Q （2，0）得直线 BQ ： y ＝－2 x ＋4，
联立，解得，∴ C （ ， ），
∴ S△ OCQ ＝ OQ · yC ＝ ；
（2）在点 P 的运动过程中，是否存在点 Q ，使得△ OCQ 为等腰三角
形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
第5题图
（2）解：存在.
如图1，当点 P 在线段 OB 上时0，
∵∠ OPC ＝∠ AOP ＋∠ OAP ＝90°＋∠ OAP ，
∴ OC ＞ OP ，
∵ OP ＝ OQ ，∴ OC ＞ OQ ，
∵∠ BCP ＝∠ BOQ ＝90°，∴ BP ＞ BC ， BQ ＞ BO ，
∴ BO － BP ＜ BQ － BC ，∴ OP ＜ CQ ，即 OQ ＜ CQ ，
∴当△ COQ 是等腰三角形时，只有 OC ＝ CQ ，
∴∠ COQ ＝∠ CQO ，
∵∠ BOQ ＝90°，
∴∠ COQ ＋∠ BOC ＝∠ CQO ＋∠ OBQ ＝90°，
∴∠ OBQ ＝∠ BOC ，∴ OC ＝ BC ，∴ CQ ＝ BC ，
∴ AC 垂直平分 BQ ，
∴ AQ ＝ AB ＝ ＝4 ，
∴ OP ＝ OQ ＝ AQ － AO ＝4 －4，
∴ P （0，4 －4）；
如图2，当点 P 在 BO 的延长线上时，
同理可得： P （0，－4 －4），
综上所述，点 P 的坐标为（0，4 －4）
或（0，－4 －4）.
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第10课时 二元一次方程与一次函数
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 把方程 x ＋1＝4 y ＋ 化为 y ＝ kx ＋ b 的形式，正确的是（ B ）
A. y ＝ x ＋1 B. y ＝ x ＋
C. y ＝ x ＋1 D. y ＝ x ＋
B
2. 如图，在平面直角坐标系中，二元一次方程 x ＋ y ＝1和 x － y ＝3的图
象分别是直线 l1和 l2，则方程组的解是（ A ）
A. B.
C. D.
第2题图
A
3. 已知方程组的解为，则在同一平面直角坐标系
中，直线 y ＝ x ＋5与直线 y ＝－ x －1的交点坐标为（ D ）
A. （4，1） B. （1，－4）
C. （－1，－4） D. （－4，1）
D
二、填空题
4. 如图，直线 l1： y ＝ x ＋2与直线 l2： y ＝ kx ＋ b 相交于点 P （ m ，4），
则方程组的解是 .
第4题图
5. 对于方程组，它的解的情况是 ，则直
线 y ＝ x ＋2与3 y ＝3 x ＋6在同一直角坐标系中的位置关系必然是
.
有无数个解
重
合
三、解答题
6. 如图，用图象法解方程组.
第6题图
解：两函数图象如题图所示，
第6题图
由图象可知两函数图象交于
点（3，－2），
∴方程组的
解为.
7. 已知正比例函数 y ＝－2 x 的图象与一次函数 y ＝ x ＋ m 的图象交于点
A ，且点 A 的横坐标为－3.
（1）求该一次函数的表达式；
解：（1）将 x ＝－3代入 y ＝－2 x ，得 y ＝6，
∴ A （－3，6），
将 A （－3，6）代入 y ＝ x ＋ m ，
得－3＋ m ＝6，解得 m ＝9，
∴一次函数的表达式为 y ＝ x ＋9；
（2）直接写出方程组的解.
解：（2）由（1）得，方程组的解为.
8. 已知一次函数 y ＝ ax －5与 y ＝2 x ＋ b 的图象的交点坐标为（1，－2）.
（1）直接写出关于 x ， y 的二元一次方程组的解；
解：（1）∵一次函数 y ＝ ax －5与 y ＝2 x ＋ b 的图象的交点坐标为（1，
－2），
∴方程组的解是；
（2）求 a ， b 的值.
解：（2）将代入，
得，解得.
一、填空题
9. 在直角坐标系中，若一点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点.设
k 为整数，当直线 y ＝ x －2与 y ＝ kx ＋ k 的交点为整点时， k 的值可以
取 个.
4
二、解答题
10. 如图，直线 l1过点 A （8，0）、 B （0，－5），直线 l2过点 C （0，－
1）， l1、 l2相交于点 D ，且△ DCB 的面积等于8.
（1）求点 D 的坐标；
第10题图
解：（1）设直线 l1的函数表达式为 y ＝ kx ＋
b ，
将 A （8，0）， B （0，－5）代入，
得，解得，
∴直线 l1的函数表达式为 y ＝ x －5，
∵ OB ＝5， OC ＝1，∴ BC ＝ OB － OC ＝4，
∴ S△ DCB ＝ BC · xD ＝8，解得 xD ＝4，
∴ yD ＝ xD －5＝－ ，∴ D （4，－ ）；
第10题图
（2）点 D 的坐标可以看成哪个二元一次方程组的解？
解：（2）设直线 l2的函数表达式为 y ＝ ax ＋ c ，
∴，解得，
∴直线 l2的函数表达式为 y ＝－ x －1，
∵ l1、 l2相交于点 D ，
∴点 D 的坐标可以看成是二元一次方程组
的解.
第10题图
解答题
11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象过点 B （－
1， ），与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点 C ，与直线 y ＝ kx 交于
点 P ，且 PO ＝ P A.
（1）求 a ＋ b 的值；
第11题图
解：（1）将 B （－1， ）， A （4，0）代入 y ＝ ax ＋ b ，
得，解得，
∴ a ＋ b ＝ ；
第11题图
（2）求 k 的值；
解：（2）由（1）得，一次函数的表达式是
y ＝－ x ＋2，
∵ PO ＝ PA ，∴点 P 的横坐标为2，
将 x ＝2代入 y ＝－ x ＋2，得 y ＝1，
∴ P （2，1），
将 P （2，1）代入 y ＝ kx ，得1＝2 k ，
解得 k ＝ ；
第11题图
（3） D 为 PC 上一点， DF ⊥ x 轴于点 F ，交 OP 于点 E ，若 DE ＝2 EF ，
求点 D 的坐标.
解：（3）设 D （ m ，－ m ＋2），
则 E （ m ， m ）， F （ m ，0），
∵ DE ＝2 EF ，
∴－ m ＋2－ m ＝2× m ，解得 m ＝1，
∴ D （1， ）.
第11题图
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第20课时 三元一次方程组
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 下列方程组是三元一次方程组的是（ B ）
A. B.
C. D.
B
2. 观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元
的方法应选取（ B ）
A. 先消去 x B. 先消去 y
C. 先消去 z D. 以上说法都不对
B
3. 解三元一次方程组时，要使解法较为简便，首先应
进行的变形为（ A ）
A. ①＋② B. ①－②
C. ①＋③ D. ②－③
A
二、填空题
4. 若（2 x －4）2＋ ＋｜4z－ y ｜＝0，则 x ＝ ， y ＝
， z ＝ .
5. 已知，则 x ＋ y ＋ z 的值是 .
2
－2
－
40
三、解答题
6. 已知关于 x 、 y 的方程组的解也是二元一次方程 x － y
＝3的解，请求出方程组的解及 m 的值.
解：消去 m 得方程组为，
解得，
代入3 x ＋4 y ＝ m ，得 m ＝23.
7. 解三元一次方程组：
（1）
解：把③代入①，得5 y ＋ ＝12④，
把③代入②，得6 y ＋5＝22⑤，
④×5－⑤，得19 y ＝38，解得 y ＝2，
把 y ＝2代入④，得 ＝2，
把 y ＝2代入③，得 x ＝8，
∴原方程组的解为.
（2）.
解：①＋②，得4 x ＋5 ＝13④，
④－③，得6 ＝6，解得 ＝1，
把 ＝1代入③，得 x ＝2，
把 x ＝2， ＝1代入①，得 y ＝－3，
∴原方程组的解为.
8. 解三元一次方程组：
（1）；
解：，
①＋②，得2 x ＋3 y ＝18④，
③－①，得2 x －2 y ＝－2⑤，
④－⑤，得5 y ＝20，解得 y ＝4，
将 y ＝4代入④，得 x ＝3，
将 x ＝3， y ＝4代入①，得＝5，
∴原方程组的解为.
（2）
解：，
①＋②，得4 x ＋8 ＝12④，
②×2＋③，得8 x ＋9 ＝17⑤，
④×2－⑤，得7 ＝7，解得 ＝1，
将 ＝1代入④，得 x ＝1，
将 x ＝1， ＝1代入①，得 y ＝2，
∴原方程组的解为.
一、填空题
9. 购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需30元；购买铅笔10支，作业
本4本，圆珠笔1支共需40元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支
共需 元.
50
二、解答题
10. 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的
数字的7倍比个位与十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字
的和是14，求这个三位数.
解：设这个三位数个位上的数字为 x ，十位上的数字为 y ，百位上的数字
为 ，
由题意得，
把①代入③，得 y ＝7，
把 y ＝7代入①，得 x ＋ ＝7④，
把 y ＝7代入②，得7 ＝ x ＋9⑤，
④＋⑤，得 ＝2，
把 ＝2代入④，得 x ＝5，
∴原方程组的解为，
∴这个三位数为275.
解答题
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （ a ， b ）， B （ a ， c ），
（1）若 AB ＝2，则 b － c ＝ ；
±2
解：（2）（i）∵点 A （ a ， b ）到 x 轴的距离是它到 y 轴距离的4倍，
∴｜ b ｜＝4｜ a ｜，即 b ＝±4 a ，
当 b ＝4 a 时，，解得；
当 b ＝－4 a 时，，解得，
∴点 A 的坐标为（1，4）或（－3，12），
故答案为：（1，4）或（－3，12）；
（2）已知 a ， b ， c 满足.
（i）若点 A 到 x 轴的距离是它到 y 轴距离的4倍，则点 A 的坐标
为 ；求 a 的值.
（1，4）或（－3，12）
（ii）∵ a ， b ， c 满足，
①＋②，得2 a ＋ b ＝6，
①＋②×2，得3 a ＋ c ＝10，
∴ b ＝6－2 a ， c ＝10－3 a ，
∴ b － c ＝ a －4，
∵2 a ＋ b ＝6，∴3 m ＝4 a ＋2 b ＝12，解得 m ＝4，
∴点 C 的横坐标为4，
S△ ABC ＝ ｜ b － c ｜·｜ a －4｜＝ ，
（ii）点C的横坐标为m，且3m＝4a＋2b，△ABC的面积为，求a的值.
即（ a －4）2＝9，解得 a ＝7或1，
∴ a 的值为7或1.
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第8课时 一次函数的图象（3）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 一次函数 y ＝3 x ＋2的图象不经过（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
2. 下列对于直线 y ＝－ x －1的说法正确的是（ B ）
A. y 随 x 的增大而增大
B. 与 y 轴的交点是（0，－1）
C. 经过点（－2，－2）
D. 不经过第二象限
B
3. 若直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，则一次函数 y ＝－ bx － k 的
图象大致是（ A ）
A
B
C
D
A
二、填空题
4. （1）一次函数 y ＝ x －1的图象经过的象限是第
象限；
（2）对于正比例函数 y ＝3 x ，当2≤ x ≤4时， y 的最大值为 .
5. 函数 y ＝－ x ＋ m2与 y ＝4 x －1的图象交于 x 轴，则 m ＝ .
一、三、四
12
±
三、解答题
6. 已知点（－3，2）在直线 y ＝ ax － b （ a ， b 为常数，且 a ≠0）上，求
的值.
解：将（－3，2）代入 y ＝ ax － b ，得2＝－3 a － b ，
∴ b ＝－3 a －2，
∴ ＝ ＝－ ＝－ .
7. 已知一次函数 y ＝（2 m ＋3） x ＋ n －1，
（1）若该函数图象经过原点，求 m ， n 的值或取值范围；
解：（1）由题意得2 m ＋3≠0， n －1＝0，
解得 m ≠－ ， n ＝1；
（2）若该函数图象与 y 轴的交点为（0，－3），求 m ， n 的值或取
值范围；
解：（2）由题意得2 m ＋3≠0， n －1＝－3，
解得 m ≠－ ， n ＝－2；
（3）若该函数图象平行于直线 y ＝ x ＋1，求 m ， n 的值或取值范围；
解：（3）由题意得2 m ＋3＝1， n －1≠1，
解得 m ＝－1， n ≠2；
（4）若该函数的函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，求 m ， n 的值或取
值范围.
解：（4）由题意得2 m ＋3＜0，
解得 m ＜－ ，此时 n 为任意实数.
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝2 x ＋3与 y 轴交于点 A ，直线 y
＝ kx －1与 y 轴交于点 B ，与直线 y ＝2 x ＋3交于点 C （－1， n ）.
（1）求 n 、 k 的值；
解：（1）将 C （－1， n ）代入 y ＝2 x ＋3，
得 n ＝2×（－1）＋3＝1，
∴ C （－1，1），
∵点 C （－1，1）在直线 y ＝ kx －1上，
∴1＝－ k －1，解得 k ＝－2；
第8题图
（2）求△ ABC 的面积.
解：（2）对于 y ＝2 x ＋3，当 x ＝0时， y ＝3，
∴点 A 的坐标为（0，3），
由（1）知，直线 BC 的表达式为 y ＝－2 x －1，
当 x ＝0时， y ＝－1，
∴点 B 的坐标为（0，－1），
∴ AB ＝3－（－1）＝4，
∴ S△ ABC ＝ AB ·｜ xC ｜＝2.
第8题图
一、填空题
9. （1）已知函数 y ＝（ m －3） x ＋2 m －1的图象不经过第三象限，则 m
的取值范围是 ；
≤ m ≤3
（2）如图，一次函数 y ＝－ x ＋8的图象与 x 轴、 y 轴交于 A 、 B 两点，
P 是 x 轴正半轴上的一个动点，连接 BP ，将△ OBP 沿 BP 翻折，点 O 恰好
落在 AB 上，则点 P 的坐标为 .
（ ，0）
第9（2）题图
二、解答题
10. 如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y ＝ x ＋1的图象与 x 轴， y
轴分别交于 A ， B 两点，点 C 的坐标为（1，0），点 D 在 x 轴上且在点 C
右边，∠ BDC ＝∠ CBD ，求点 D 的坐标与△ ABD 的面积.
第10题图
第10题图
解：对于 y ＝ x ＋1，
令 y ＝0，则 x ＝－ ；令 x ＝0，则 y ＝1，
∴ A （－ ，0）， B （0，1），
∴ OA ＝ ， OB ＝1，
∵ C （1，0），∴ OC ＝1，
在Rt△ BOC 中，∠ BOC ＝90°，
∴ BC ＝ ＝ ，
∵∠ BDC ＝∠ CBD ，∴ CD ＝ BC ＝ ，
∴ OD ＝ OC ＋ CD ＝ ＋1， AD ＝ OA ＋ OD ＝ ＋ ＋1，
∴点 D 的坐标为（ ＋1，0），
S△ ABD ＝ AD · OB ＝ .
解答题
11. 如图，直线 l1： y1＝－ x ＋2与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点，点 P
（ m ，3）为直线 l1上一点，另一直线 l2： y2＝ x ＋ b 过点 P .
（1）求点 P 的坐标和 b 的值；
第11题图
解：（1）∵点 P （ m ，3）为直线 l1上一点，
∴3＝－ m ＋2，解得 m ＝－1，
∴ P （－1，3），
把 P （－1，3）代入 y2＝ x ＋ b ，
得3＝ ×（－1）＋ b ，解得 b ＝ ；
第11题图
（2）若点 C 是直线 l2与 x 轴的交点，动点 Q 从点 C 开始以每秒1个单位的
速度向 x 轴正方向移动，设点 Q 的运动时间为 t 秒.
①请写出在点 Q 的运动过程中，△ APQ 的面积 S 与 t 之间的函数关系式；
②直接写出当△ APQ 的面积为4.5时 t 的值，并写出此时点 Q 的坐标.
第11题图
第11题图
解：（2）由题意得 A （2，0）， C （－7，0），
∴ AC ＝9，
由 S ＝ AQ ·｜ yP ｜，得：
①当点 Q 在点 A 、 C 之间，即0≤ t ≤9时，
S ＝ （9－ t ）×3＝ － t ；
当点 Q 在点 A 的右边，即 t ＞9时，
S ＝ （ t －9）×3＝ t － ，
∴ S 与 t 之间的函数关系式为：
S ＝；
②当0≤ t ≤9时， － t ＝4.5，
解得 t ＝6，此时 Q （－1，0）；
当 t ＞9时， t － ＝4.5，
解得 t ＝12，此时 Q （5，0），
综上所述， t 的值为6或12，当 t ＝6时， Q （－1，0）；当 t ＝12时， Q
（5，0）.
第11题图
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第3课时 求解二元一次方程组（2）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 用加减消元法解方程组，正确的是（ B ）
A. ①－② B. ②＋①
C. ①×2＋② D. ②×2＋①
B
2. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解为，则 a
－2b的值是（ B ）
A. －2 B. 2 C. 3 D. －3
3. 已知 x ， y 满足二元一次方程组，则 x － y 的值为（ A ）
A. －2 B. 2 C. 4 D. －4
B
A
二、填空题
4. 已知方程组，则 x ＋ y ＝ .
5. 已知方程组，则3（ x ＋ y ）（3 x －5 y ）的值是 .
6. 若实数 a ，b满足（4 a －3b）2＋ ＝0，则 ab的平方根
为 .
3
－ 63
±2
三、解答题
7. 解方程组：
（1）；
解：①＋②，得3 x ＝6，
解得 x ＝2，
将 x ＝2代入①，得2×2－3 y ＝7，
解得 y ＝－1，
∴原方程组的解为.
（2）；
解：①＋②，得6 x ＝12，
解得 x ＝2，
将 x ＝2代入①，得3×2＋ y ＝8，
解得 y ＝2，
∴原方程组的解为.
（3）；
解：①－②×2，得11 y ＝22，
解得 y ＝2，
将 y ＝2代入②，得 x －3×2＝－7，
解得 x ＝－1，
∴原方程组的解为.
（4）.
解：①×3－②×4，得－11 y ＝33，
解得 y ＝－3，
将 y ＝－3代入①，得4 x ＋3×（－3）＝3，
解得 x ＝3，
∴原方程组的解为.
8. 已知方程组的解满足 x ＋ y ＝3，求 k 的值.
解：，
①＋②，得3 x ＋3 y ＝ k ＋1，
∴ x ＋ y ＝ ，
∵方程组的解满足 x ＋ y ＝3，
∴ ＝3，即 k ＋1＝9，
解得 k ＝8.
一、填空题
9. 已知关于 x 、 y 的二元一次方程组，则4 x2－4 xy ＋ y2的
值为 .
36
二、解答题
10. 用加减消元法解下列方程组：
（1）；
解：，
由②得：3 x －4 y ＝－2③，
（2）.
解：方程组整理得：，
①＋②得：8 x ＝24，解得： x ＝3，
把 x ＝3代入②得： y ＝－5，
∴原方程组的解为.
①＋③得：4 x ＝12，解得： x ＝3，
将 x ＝3代入①得： y ＝ ，
∴原方程组的解为.
解答题
11. （1）已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解是，
那么关于 x ， y 的二元一次方程组的解
是多少？
解：（1）根据题意，得，
①＋②×3，得5 x ＝10，解得 x ＝2，
将 x ＝2代入②，得2－ y ＝1，
解得 y ＝1，
∴原方程组的解为；
（2）已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解是，那
么关于 x ， y 的二元一次方程组的解是多少？
解：（2）将方程组变形为，
根据题意，得，解得，
∴原方程组的解为.
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第15课时 一次函数的应用（3）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 一个矩形的长比宽多3 cm ，设矩形的宽为 xcm ，矩形的周长为 Ccm .当
x 在一定范围内变化时， C 随 x 的变化而变化，则 C 与 x 之间满足的函数
关系式是（ A ）
A. C ＝4 x ＋6
B. C ＝4 x －6
C. C ＝ x2＋3 x
D. C ＝ x2－3 x
A
2. 我们要节约用水，平时要关好水龙头.一个没有关好的水龙头每分钟会
浪费60滴水（每滴水约0.05毫升）.若小明忘记关水龙头，则 x 分钟后，
小明浪费的水量 y （毫升）与时间 x （分钟）之间的函数关系式是
（ B ）
A. y ＝60 x
B. y ＝3 x
C. y ＝0.05 x
D. y ＝0.05 x ＋60
B
3. 等腰三角形的周长是40 cm ，腰长 y （ cm ）是底边长 x （ cm ）的函
数，则此函数的表达式和自变量 x 的取值范围是（ D ）
A. y ＝－2 x ＋40（0＜ x ＜20）
B. y ＝－0.5 x ＋20（10＜ x ＜20）
C. y ＝－2 x ＋40（10＜ x ＜20）
D. y ＝－0.5 x ＋20（0＜ x ＜20）
D
二、填空题
4. 一辆小轿车的速度为20km /h，现每小时减慢5km ，若 t h后的速度为 v k
m /h，则 v 与 t 之间的关系式为 ， h后速
度为0km /h.
5. 用 m 根火柴可以拼成如图1所示的 x 个小正方形，还可以拼成如图2所
示的2 y 个小正方形（小正方形的1条边表示1根火柴），用含 x 的代数式
表示 y 为 .
v ＝20－5 t （0≤ t ≤4）
4
y ＝0.6 x －0.2
第5题图
三、解答题
6. 某商店销售3台 A 型电脑和5台 B 型电脑的利润为3000元，销售5台 A 型
电脑和3台 B 型电脑的利润为3400元.
（1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润各为多少元？
解：（1）设每台 A 型电脑的销售利润为 x 元，每台 B 型电脑的销售
利润为 y 元，
由题意得，解得，
答：每台 A 型电脑的销售利润为500元，每台 B 型电脑的销售利润为
300元；
（2）该商店计划一次性购进两种型号的电脑共60台，设购进 A 型电脑 n
台，这60台电脑的销售总利润为 w 元.求 w 与 n 之间的函数关系式.
解：（2）由题意得 w ＝500 n ＋300（60－ n ）＝200 n ＋18000，
即 w 与 n 之间的函数关系式是 w ＝200 n ＋18000.
7. 某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售
价为130元/件；乙种商品的进价为100元/件，售价为150元/件.若商场
购进这两种商品共100件，设购进甲种商品 x 件，两种商品销售后可
获总利润为 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变
量 x 的取值范围），并指出当购进甲种商品件数 x 逐渐增加时，总利
润 y 是增加还是减少？
解：由题意得： y ＝（130－120） x ＋（150－100）（100－ x ）＝－40 x
＋5000，
∵－40＜0，
∴当购进甲种商品件数 x 逐渐增加时，总利润 y 逐渐减少.
8. 甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每
副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲商店每买
1副球拍赠1盒乒乓球，乙商店按九折优惠销售.某班级需要购买球拍4
副，乒乓球若干盒（不少于4盒）.
（1）设该班级购买乒乓球 x 盒，在甲店需付款 y甲元，在乙店需付款 y乙
元，分别求出 y甲、 y乙与 x 之间的函数关系式；
解：（1）由题意可得：
y甲＝4×20＋（ x －4）×5＝5 x ＋60（ x ≥4），
y乙＝（4×20＋5 x ）×0.9＝4.5 x ＋72（ x ≥4）；
（2）若该班级欲购买乒乓球30盒，在哪家商店买合算？
解：（2）当 x ＝30时，
y甲＝5×30＋60＝210，
y乙＝4.5×30＋72＝207，
∵210元＞207元，
∴在乙商店买合算.
一、填空题
9. 如图，点 M 是直线 AB ： y ＝2 x ＋3上的动点，过点 M 作 MN ⊥ x 轴于点 N ，当点 M 位于第二象限时，在 y 轴上有一点 P ，使△ MNP 为等腰直角三角形，则点 P 的坐标为 .
（0，1）或（0，0）或（0， ）
第9题图
二、解答题
10. 某中学需要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8
元；方案二：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租借费120
元，设需要仪器 x 件.
（1）试用含 x 的代数式分别表示出两种方案所需的费用；
解：（1）设方案一所需的费用为 y1元，方案二所需的费用为 y2元，
则 y1＝8 x ， y2＝4 x ＋120；
（2）选择哪种方案更省钱？说明理由.
解：（2）由（1）知 y1－ y2＝8 x －（4 x ＋120）＝4 x －120，
令 y1－ y2＝0，得 x ＝30，
∴学校需要添置仪器多于30件时，选择方案二更省钱；需要添置仪器等
于30件时，方案一和方案二的费用相同；需要添置仪器少于30件时，选
择方案一更省钱.
解答题
11. 甲、乙两个仓库要向 A 、 B 两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水
泥，乙库可调出80吨水泥， A 地需要70吨水泥， B 地需110吨水泥，两库
到 A 、 B 两地的路程和运费如表（表中运费栏“元/吨·千米”表示每吨水
泥运送1千米所需费用）.
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
A 地 20 15 12 12
B 地 25 20 10 8
（1）设甲库运往 A 地 x 吨水泥，求总运费 y （元）关于 x （吨）的函数表
达式；
解：（1）∵甲库运往 A 地 x 吨水泥，
∴甲库运往 B 地（100－ x ）吨水泥，乙库运往 A 地（70－ x ）吨水泥，
乙库运往 B 地[80－（70－ x ）]＝（10＋ x ）吨水泥，
由题意得： y ＝12×20 x ＋10×25（100－ x ）＋12×15（70－ x ）＋
8×20（10＋ x ）＝－30 x ＋39200（0≤ x ≤70），
∴总运费 y （元）关于 x （吨）的函数表达式为 y ＝－30 x ＋39200（0≤
x ≤70）；
（2）当甲、乙两库各运往 A 、 B 两地多少吨水泥时，总运费最省？最省
的总运费是多少？
解：（2）在一次函数 y ＝－30 x ＋39200中，
∵ k ＝－30＜0，
∴ y 的值随 x 的增大而减小，
∴当 x ＝70时， y 最小，为37100，
∴当甲库运往 A 地70吨水泥，运往 B 地30吨水泥，乙库运往 A 地0吨水
泥，运往 B 地80吨水泥时，总运费最省，为37100元.
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第9课时 确定一次函数的表达式
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 如果正比例函数的图象经过点（－3，5），那么它也经过点（ C ）
A. （4，－6） B. （5，－8）
C. （6，－10） D. （7，－12）
C
2. 若直线 y ＝ kx ＋ b 平行于直线 y ＝3 x －4，且过点（1，－2），则该直
线的表达式是（ C ）
A. y ＝3 x －2 B. y ＝－3 x －6
C. y ＝3 x －5 D. y ＝3 x ＋5
C
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A （2，0）， B （0，1），线段 AC
是线段 AB 绕点 A 顺时针旋转90°而得，则线段 AC 所在直线的函数表达式
是（ A ）
A. y ＝2 x －4 B. y ＝ x －1
C. y ＝2 x － D. y ＝3 x －4
第3题图
A
二、填空题
4. 已知正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的图象经过点（1，－2），则这个正
比例函数的表达式为 .
5. 小明根据某个一次函数的表达式填写了表格如表所示：
x －2 －1 0 1
y 3 ■ 1 0
其中有一格不慎被墨汁遮住了，则该空格里原来填的数是 .
y ＝－2 x
2
三、解答题
6. 已知直线 y ＝ kx ＋ b 平行于直线 y ＝－3 x ＋5，且与直线 y ＝2 x －4的交
点在 x 轴上，求该直线的函数表达式.
解：对于 y ＝2 x －4，当 y ＝0时， x ＝2，
即直线 y ＝2 x －4与 x 轴的交点坐标为（2，0），
∵直线 y ＝ kx ＋ b 与 y ＝－3 x ＋5平行，
∴ k ＝－3，
把（2，0）代入 y ＝－3 x ＋ b ，得 b ＝6，
∴该直线的函数表达式为 y ＝－3 x ＋6.
解：对于 y ＝2 x －6，
当 x ＝0时， y ＝－6；当 y ＝0时， x ＝3，
∴直线 y ＝2 x －6经过点（0，－6），（3，0），
设此一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
∵一次函数的图象与直线 y ＝2 x －6的图象关于 x 轴对称，
∴一次函数的图象经过点（0，6），（3，0），
则，解得，
∴此一次函数的表达式为 y ＝－2 x ＋6.
7. 已知某一次函数的图象与直线 y ＝2 x －6关于 x 轴对称，求此一次函数
的表达式.
8. 如图，直线 l 经过点 A （1，6）和点 B （－3，－2）.
（1）求直线 l 的函数表达式，以及直线 l 与坐标轴的交点坐标；
解：（1）设直线 l 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
把 A （1，6）， B （－3，－2）代入，
得，解得，
∴直线 l 的函数表达式为 y ＝2 x ＋4，
令 y ＝0，则 x ＝－2；令 x ＝0，则 y ＝4，
∴直线 l 与 x 轴的交点坐标为（－2，0），与 y 轴的交点坐
标为（0，4）；
第8题图
（2）求△ AOB 的面积.
解：（2） S△ AOB ＝ ×2×[6－（－2）]＝8.
第8题图
一、填空题
9. 如图，在平面直角坐标系中， A （6，0）， B （0，2），点 P 在 x 轴
上，且∠ ABP ＝45°，那么直线 BP 的函数表达式为 .
第9题图
y ＝－2 x ＋2
二、解答题
10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过 P （0，9）、 B （4，1）
两点，且与 x 轴交于点D.
（1）求直线 l 的函数表达式；
解：（1）设直线 l 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
把 P （0，9）、 B （4，1）代入，
得，解得，
∴直线 l 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋9；
第10题图
第10题图
（2）已知 A 是直线 l 上的一点，且点 A 的横坐标为2，若 C 是 x 轴上一
点，连接 AC ， BC ，且 S△ ABC ＝11，求点 C 的坐标.
解：（2）当 x ＝2时， y ＝－2 x ＋9＝5，∴ A （2，5），
当 y ＝0时，－2 x ＋9＝0，解得 x ＝ ，
∴ D （ ，0），
设 C （ t ，0），
∴ S△ ABC ＝ S△ ACD － S△ BCD ＝
｜ t － ｜·5－ ｜ t － ｜·1＝11，
解得 t ＝－1或10，
∴点 C 的坐标为（－1，0）或（10，0）.
第10题图
解答题
11. 已知一次函数的图象经过 A （－3，5）， B （1， ）两点.
（1）求此一次函数的表达式；
解：（1）设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
将 A （－3，5）， B （1， ）代入，
得，解得，
∴此一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋3；
（2）在 x 轴上找一点 P ，使 PA ＝ PB ，并求点 P 的坐标；
解：（2）设 P （ a ，0），
∵ A （－3，5）， B （1， ），
∴ PA ＝ ， PB ＝ ，
∵ PA ＝ PB ，
∴ ＝ ，
解得 a ＝－ ，∴ P （－ ，0）；
（3）在 x 轴上找一点 Q ，使△ QAB 的周长最小，求出点 Q 的坐标.
解：（3）如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B '，连接 AB '与 x 轴交于点
Q ，此时△ QAB 的周长最小，
∵ B （1， ），∴ B '（1，－ ），
设直线 AB '的表达式为 y ＝ mx ＋ n ，
将 A （－3，5）， B '（1，－ ）代入，
得，解得，
∴直线 AB '的表达式为 y ＝－ x － ，
当 y ＝0时， x ＝－ ，
∴点 Q 的坐标为（－ ，0）.
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第16课时 专题一次函数的综合应用
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 若直线 y ＝－ x ＋ a 与直线 y ＝ x ＋ b 的交点坐标为（2，8），则 a － b
的值为（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与直线 y ＝ x 平行，且过点（1，2），
那么它必过点（ A ）
A. （－1，0） B. （2，－1）
C. （2，1） D. （0，－1）
B
A
3. 若一次函数 y ＝ mx －2的图象经过点 A （ x1， y1）和点 B （ x2， y2），
当 x1＜ x2时， y1＞ y2，则 m 的取值范围是（ D ）
A. m ＞－2 B. m ＜－2 C. m ＞0 D. m ＜0
D
二、填空题
4. 如图，点 A 的坐标为（－1，0），点 B 在直线 y ＝ x 上运动，当线段 AB
最短时，点 B 的坐标为 .
第4题图
（－ ，－ ）
5. 如图，直线 l1过原点，直线 l2的表达式为 y ＝－ x ＋2，且直线 l1和 l2
互相垂直，那么直线 l1的表达式为 .
第5题图
y ＝ x
三、解答题
6. 已知 y 是关于 x 的一次函数，且点 A （0，4）， B （1，2）在此函数图
象上.
（1）求这个一次函数的表达式；
解：（1）设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
将 A （0，4）， B （1，2）代入，
得，解得，
∴这个一次函数的表达式为 y ＝－2 x ＋4；
（2）当－2≤ y ＜4时，求 x 的取值范围.
解：（2）把 y ＝－2代入 y ＝－2 x ＋4，得 x ＝3，
把 y ＝4代入 y ＝－2 x ＋4，得 x ＝0，
∵ k ＝－2＜0，∴ y 随 x 的增大而减小，
∴当－2≤ y ＜4时， x 的取值范围是0＜ x ≤3.
7. 如图，直线 l1过点 A （0，4）， D （4，0），直线 l2： y ＝ x ＋1与 x 轴
交于点 C ，两直线 l1， l2相交于点B.
（1）求直线 l1的函数表达式和点 B 的坐标；
解：（1）设直线 l1的函数表达式为 y ＝ ax ＋ b ，
将 A （0，4）， D （4，0）代入，
得，解得，
∴直线 l1的函数表达式为 y ＝－ x ＋4，
联立，解得，∴ B （2，2）；
第7题图
（2）求△ ABC 的面积.
解：（2）由题意得 C （－2，0），∴ CD ＝6，
∴ S△ ABC ＝ S△ ACD － S△ CBD ＝ CD ·｜ yA ｜－
CD ·｜ yB ｜＝6.
第7题图
8. 如图，已知直线 l1： y ＝－ x ＋3与过点（3， ）和点（－2，－5）的
直线 l2相交于点 A ，直线 x ＝4与直线 l1、 l2分别相交于点 B 、C.
（1）求直线 l2的函数表达式和点 A 的坐标；
第8题图
解：（1）设直线 l2的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
将（3， ）、（－2，－5）代入，
得，解得，
∴直线 l2的函数表达式为 y ＝ x －2，
联立，解得，
∴点 A 的坐标为（2，1）；
第8题图
（2）求△ ABC 的面积.
解：（2）当 x ＝4时， yB ＝－1， yC ＝4，
∴ B （4，－1）， C （4，4），∴ BC ＝5，
∴ S△ ABC ＝ BC ·｜ xB － xA ｜＝5.
第8题图
一、填空题
9. 已知点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离可表示为 d ＝
，例如：点（0，1）到直线 y ＝2 x ＋6的距离 d ＝
＝ .据此进一步可得两条平行线 y ＝ x 和 y ＝ x －4之间的距
离为 .
2
二、解答题
10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ kx ＋5的图象与 y 轴的交点
为点 A ，与正比例函数 y ＝ x 的图象交于点 P .
（1）若点 P 的坐标为（6， a ）.
①求出 a 和 k 的值；
②求△ OAP 的面积.
第10题图
解：（1）①把 P （6， a ）代入 y ＝ x ，得 a
＝8，
把 P （6，8）代入 y ＝ kx ＋5，得 k ＝ ；
②令 x ＝0，则 y ＝ kx ＋5＝5，
∴ A （0，5），∴ OA ＝5，
∴ S△ OAP ＝ OA ·｜ xP ｜＝15；
第10题图
（2）若△ APO 为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标.
解：（2）①当 OA ＝ OP ＝5时， P （3，4）或
P （－3，－4）；
②当 OA ＝ AP ＝5时， P （ ， ）；
③当 OP ＝ AP 时， P （ ， ），
综上所述，点 P 的坐标为（3，4）或（－3，
－4）或（ ， ）或（ ， ）.
第10题图
解答题
11. 如图，直线 y ＝ kx ＋ b 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，点 C 在线段
AO 上，将△ ABC 沿 BC 所在直线折叠后，点 A 恰好落在 y 轴上的点 D
处，若 OA ＝4， OD ＝2.
第11题图
（1）求直线 AB 的函数表达式；
第11题图
解：（1）由题意知 BD ＝ BA ，
设 OB ＝ m ，则 BD ＝ BA ＝ m ＋2，
在Rt△ OAB 中， OA2＋ OB2＝ BA2，
即42＋ m2＝（ m ＋2）2，解得 m ＝3，
∴ B （0，－3），
将 A （－4，0）， B （0，－3）代入 y ＝ kx ＋ b ，
得，解得，
∴直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x －3；
第11题图
（2）求 S△ ABC ∶ S△ OCD 的值；
解：（2）设 OC ＝ a ，则 AC ＝4－ a ，
由折叠知： CD ＝ CA ＝4－ a ，
在Rt△ OCD 中， OC2＋ OD2＝ CD2，
即 a2＋22＝（4－ a ）2，解得 a ＝ ，
∴ AC ＝4－ a ＝ ，
∴ S△ ABC ＝ AC · OB ＝ ， S△ OCD ＝ OC · OD ＝ ，
∴ S△ ABC ∶ S△ OCD ＝ ；
（3）直线 CD 上是否存在点 P 使得∠ PBC ＝45°？若存在，请直接写出点
P 的坐标；若不存在，说明理由.
解：（3）存在，满足条件的点 P 的坐标为（－3，－2）或（3，6）.
第11题图
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第7课时 一次函数的图象（2）
第四、五章 一次函数和二元一次方程组
一、选择题
1. 一次函数 y ＝－2 x －1的大致图象是（ D ）
A
B
C
D
D
2. 在一次函数 y ＝2 x －1图象上的点是（ A ）
A. （2，3） B. （0，1）
C. （1，0） D. （－1，1）
3. 关于函数 y ＝－2 x ＋2 －5，下列说法不正确的是（ C ）
A. 图象是一条直线
B. y 的值随着 x 值的增大而减小
C. 图象不经过第三象限
D. 图象与 y 轴的交点坐标为（0，2 －5）
A
C
二、填空题
4. 若一次函数 y ＝（ m －5） x －3的函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的
取值范围为 .
5. 已知点 P （ a ， b ）在直线 y ＝－ x －9上，且 ＝3，则代数式 a2
＋ b2－ ab 的值为 .
m ＞5
33
三、解答题
6. 在如图所示的直角坐标系中，
作出下列函数的图象：
第6题图
（1） y ＝2 x －3；
（2） y ＝2 x ＋1；
（3） y ＝－ x －2；
（4） y ＝－ x －3.
解：列表：
x … 0 1 …
y ＝2 x －3 … －3 －1 …
y ＝2 x ＋1 … 1 3 …
y ＝－ x －2 … －2 －3 …
y ＝－ x －3 … －3 －4 …
描点，连线如图所示.
7. 已知一次函数 y ＝（2 m ＋4） x ＋（5－ n ），求：
（1）当 m 的取值范围是多少时， y 随 x 的增大而增大？
解：（1）当2 m ＋4＞0时， y 随 x 的增大而增大，即 m ＞－2；
（2）当 n 的取值范围是多少时，函数图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？
解：（2）当5－ n ＜0时，函数图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，即 n ＞5；
（3）当 m ， n 为何值时，函数图象过原点？
解：（3）当2 m ＋4≠0，5－ n ＝0时，函数图象过原点，即 m ≠－2， n
＝5.
8. 求在直线 y ＝ x ＋ 上，且到 x 轴或 y 轴距离为1的点的坐标.
解：对于 y ＝ x ＋ ，
当 x ＝1时， y ＝1；
当 x ＝－1时， y ＝0；
当 y ＝1时， x ＝1；
当 y ＝－1时， x ＝－3，
故满足条件的点的坐标有（1，1），（－1，0），（－3，－1）.
一、填空题
9. 如图，直线 y ＝2 x －4与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，射线 AP ⊥ AB 于
点 A ，若点 C 是射线 AP 上的一个动点，点 D 是 x 轴上的一个动点，且△
ACD 与△ AOB 全等，则 OD 的长为 .
2＋2 或6
第9题图
二、解答题
10. 已知正比例函数 y ＝ k1 x 的图象与一次函数 y ＝ k2 x －9的图象交于点 P
（3，－6）.
（1）求 k1， k2的值；
解：（1）把 P （3，－6）分别代入 y ＝ k1 x 与 y ＝ k2 x －9，得3 k1＝－
6，3 k2－9＝－6，
解得 k1＝－2， k2＝1；
（2）如果一次函数 y ＝ k2 x －9的图象与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，
求 A ， B 两点的坐标；
解：（2）由（1）得一次函数的表达式为 y ＝ x －9，
令 y ＝0，则 x －9＝0，解得 x ＝9，
令 x ＝0，则 y ＝－9，
∴ A （9，0）， B （0，－9）；
（3）求直线 y ＝ k2 x －9与两坐标轴围成的三角形的面积.
解：（3）∵ A （9，0）， B （0，－9），
∴ OA ＝9， OB ＝9，
∴ S△ AOB ＝ OA · OB ＝ ，
∴直线 y ＝ k2 x －9与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
解答题
11. 如图，平面直角坐标系 xOy 中， A （1，0）， B （0，1）， C （－1，
0），过点 C 的直线绕点 C 旋转，交 y 轴于点 D ，交线段 AB 于点 E .
（1）求∠ OAB 的度数及直线 AB 的表达式；
解：（1）∵ A （1，0）， B （0，1），∴ OA ＝
OB ＝1，
∵∠ AOB ＝90°，∴∠ OAB ＝∠ OBA ＝45°，
设直线 AB 的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
∴，解得，
∴直线 AB 的表达式为 y ＝－ x ＋1；
第11题图
（2）若△ OCD 与△ BDE 的面积相等，
①求直线 CE 的表达式；
②若 y 轴上的一点 P 满足∠ APE ＝45°，请你直接写出点 P 的坐标.
第11题图
解：（2）①∵ S△ COD ＝ S△ BDE ，
∴ S△ COD ＋ S四边形 AODE ＝ S△ BDE ＋ S四边形 AODE ，
即 S△ ACE ＝ S△ AOB ，
∵点 E 在线段 AB 上，
∴点 E 在第一象限，即 yE ＞0，
∴ AC · yE ＝ OA · OB ，
即 ×2 yE ＝ ×1×1，∴ yE ＝ ，
把 y ＝ 代入 y ＝－ x ＋1，
得 ＝－ x ＋1，解得 x ＝ ，
∴ E （ ， ），
设直线 CE 的表达式为 y ＝ mx ＋ n ，
第11题图
将 C （－1，0）， E （ ， ）代入，
得，解得，
∴直线 CE 的表达式为 y ＝ x ＋ ；
②点 P 的坐标为（0，0）.
第11题图
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