(共12张PPT)
第3课时 立方根
第11章 数的开方
一、选择题
1.整数8的立方根为（ C ）
A.4 B.－4 C.2 D.－2
2.下列说法正确的是（ D ）
A.的平方根是±9
B.－9没有立方根
C.的平方根是
D.－5的立方根是－
C
D
3.若a满足＝，则a的值为（ C ）
A.1 B.0
C.0或1 D.0或1或－1
C
二、填空题
4.－8的立方根与25的算术平方根的和是 3 .
5.已知2a－1的平方根是±3，3a－b－1的立方根是2，a＋b的平方根是 ± .
3
±
三、解答题
6.求下列各数的立方根：
（1）－27；
解：（1）∵（－3）3＝－27，
∴－27的立方根为－3；
（2）；
解：（2）∵（）3＝，
∴的立方根为.
（4）－6.
解：（3）∵0.63＝0.216，
∴0.216的立方根为0.6；
解：（4）－6的立方根为＝－.
（3）0.216；
7.解下列方程：
（1）4x2－100＝0；
解：移项得：4x2＝100，
∴x2＝25，
开方得：x＝±5.
（2）（x＋1）3＋125＝0.
解：移项得：（x＋1）3＝－125，
开立方得：x＋1＝－5，
解得：x＝－6.
8.（1）计算：－＋｜－2｜；
解：原式＝5－2＋－2
＝＋1.
（2）用计算器计算：－π－.（结果保留小数点后两位）
解：原式≈1.817－3.142－1.414
＝－2.739≈－2.74.
9.已知2a－1的平方根为±3，3a＋b－1的算术平方根为4，求a＋b的立方根.
解：∵2a－1的平方根为±3，
∴2a－1＝9，
∴a＝5，
∵3a＋b－1的算术平方根为4，
∴3a＋b－1＝16，
即3×5＋b－1＝16，
∴b＝2，
∴a＋b＝5＋×2＝8，
∴a＋b的立方根是2.
一、选择题
10.若实数m，n满足（m－12）2＋｜n＋15｜＝0，则n－m的立方根为（ B ）
A.3 B.－3 C.±3 D.±3
B
二、填空题
11.若x，y为实数，且满足｜x－3｜＋＝0，则（）2023的立方根是 －1 .
12.一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 0或64 .
－1
0或64
三、解答题
13.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出水的体积为40cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？（用计算器计算，结果精确到0.01cm）
解：设烧杯内部的底面半径为rcm，
根据题意得：πr2·0.6＝40，
用计算器算得：r≈4.61，
设铁块的棱长为acm，
根据题意得：a3＝40，
用计算器算得：a≈3.42，
答：烧杯内部的底面半径约为4.61cm，铁块的棱长约为3.42cm.
解答题
14.用计算器探索：
①；
②；
③；
…，
由此猜想：
的值.
解：121（1＋2＋1）＝112×22＝（11×2）2＝222，
∴＝22，
12321（1＋2＋3＋2＋1）＝1112×32＝（111×3）2＝3332，
∴＝333，
1234321（1＋2＋3＋4＋3＋2＋1）＝11112×42＝（1111×4）2＝44442，
∴＝4444，
由此猜想：12345654321（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1）＝6666662，
∴
＝666666.
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第4课时 实 数
第11章 数的开方
一、选择题
1.在，3.1415926，（π－3）0，－3，，0这些数中，无理数有（ A ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（ D ）
A.－ B. C. D.π
第2题图
A
D
4.2－2的值介于整数（ D ）
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
D
3.若｜a｜＝4，＝3，且a＋b＜0，则a－b的值是（ D ）
A.1或7 B.－1或7
C.1或－7 D.－1或－7
D
二、填空题
5.数轴上从左到右依次有A、B、C三点表示的数，分别为a、b、，其中b为整数，且满足｜a＋3｜＋｜b－2｜＝b－2，则b－a＝ 5或6 .
6.点A、B在数轴上，点A对应的数是－3，O为原点，已知OB＝2AB，则点B对应的数是 －6或－2 .
5或6
－6或－2
三、解答题
7.计算：
（1）｜－｜＋｜－2｜－｜－1｜；
解：原式＝－＋2－－＋1
＝3－2.
（2）＋－＋（－1）2024.
解：原式＝2＋2－＋1
＝.
8.（1）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：｜2a－b｜＋｜a－c｜＋｜b＋c｜；
第8（1）题图
解：由数轴可知，c＜a＜0＜b，｜c｜＞｜b｜，
∴2a－b＜0，a－c＞0，b＋c＜0，
∴｜2a－b｜＋｜a－c｜＋｜b＋c｜
＝b－2a＋a－c－b－c
＝－a－2c.
（2）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3.求m2＋m＋（a＋b）2023－（－cd）的值.
解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，
∴a＋b＝0，cd＝1，m＝±3，
当m＝3时，原式＝9＋3＋0＋1＝13；
当m＝－3时，原式＝9－3＋0＋1＝7，
综上所述，m2＋m＋（a＋b）2023－（－cd）的值为13或7.
9.阅读材料：
∵＜＜，即2＜＜3，
∴1＜－1＜2，
∴－1的整数部分为1，
∴－1的小数部分为－2.
解决问题：
（1）仿照上述方法求的小数部分；
解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴的整数部分是2，
∴的小数部分是－2；
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（－b）a－2的平方根.
解：（2）∵a是的整数部分，b是的小数部分，且9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴a＝3，b＝－3，
∴（－b）a－2＝（－＋3）3－2＝25，
∵25的平方根为±5，
∴（－b）a－2的平方根为±5.
一、填空题
10.设a，b，c为不为零的实数，则＋＋的值为 ±1，±3 .
11.如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数－2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2023将与正方形上的字母 B 重合.
第11题图
±1，±3
B
二、解答题
12.已知x、y是有理数，且x，y满足等式x2＋2y＋y＝17－4，求x－y的值.
解：∵x、y是有理数，且x，y满足等式x2＋2y＋y＝17－4，
∴，
解得或，
∴当x＝5，y＝－4时，x－y＝5－（－4）＝9；
当x＝－5，y＝－4时，x－y＝－5－（－4）＝－1，
∴x－y的值为9或－1.
解答题
13.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点（点B在点A左边），且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.
（1）数轴上点B所表示的数是 －2 ；
解：（1）点B表示的数为8－10＝－2，
故答案为：－2；
第13题图
－2
（2）点P所表示的数是 8－6t ；（用含t的代数式表示）
解：（2）点P表示的数是8－6t，
故答案为：8－6t；
8－6t
（3）C是AP的中点，D是PB的中点，点P在运动的过程中，线段CD的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段CD的长.
解：（3）CD的长度不变，
如图1，当点P在线段AB上运动时，
第13题图
图1
CD＝BP＋AP＝（BP＋AP）＝AB＝5；
图2
如图2，当点P运动到点B左侧时，
CD＝CP－PD＝AP－PB＝（AP－PB）＝AB＝5，
综上所述，线段CD的长度不会发生变化，始终是5.
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第1课时 平方根（1）
第11章 数的开方
一、选择题
1.正数4的平方根是（ D ）
A. B.± C.2 D.±2
2.下列说法错误的是（ C ）
A.0的平方根是0
B.4的平方根是±2
C.－16的平方根是±4
D.2是4的平方根
D
C
3.若（x＋y）2＝25，则x＋y的值为（ D ）
A.10 B.5 C.－5 D.±5
4.若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m＋n）3的平方根为（ A ）
A.±8 B.8 C.±4 D.4
D
A
二、填空题
5.整数25的平方根是 ±5 ，平方根是±4的数是 16 .
6.一个正数的平方根分別是x＋1和x－5，则（x＋1）＋（x－5）的值为 0 .
±5
16
0
三、解答题
7.求下列数的平方根：
（1）25；
解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±5.
（2）；
解：∵（±）2＝，
∴的平方根是±.
（3）（－）2；
解：∵（±）2＝（－）2，
∴（－）2的平方根是±.
（4）｜－5｜.
解：∵（±）2＝｜－5｜，
∴｜－5｜的平方根是±.
8.求下列各式中x的值：
（1）（x＋1）2－4＝0；
解：移项，得（x＋1）2＝4，
∴x＋1＝±2，
∴x1＝1，x2＝－3.
（2）3x2＋4＝－20；
解：移项，得3x2＝－24，
∴x2＝－8，
∴原方程无解.
（3）（x＋2）2＝8.
解：方程整理得：（x＋2）2＝16，
∴x＋2＝±4，
∴x1＝2，x2＝－6.
9.已知一个正数的两个不相等的平方根是a＋6与2a－9.
（1）求a的值及这个正数；
解：（1）由题意得，a＋6＋2a－9＝0，
解得a＝1，
∴（a＋6）2＝72＝49，
∴a＝1，这个正数是49；
（2）求关于x的方程ax2－16＝0的解.
解：（2）∵a＝1，
∴方程ax2－16＝0为x2－16＝0，
移项，得x2＝16，
∴x＝±4.
一、选择题
10.下列有关平方根的叙述，正确的个数是（ B ）
①如果a存在平方根，那么a＞0；
②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0；
③如果a没有平方根，那么a＜0；
④如果a＞0，那么a的平方根也大于0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
11.已知实数x，y满足（x2＋y2）2－9＝0，则x2＋y2＝（ A ）
A.3 B.－3 C.±3 D.9
A
二、解答题
12.已知x＝1－a，y＝2a－5.
（1）已知x的值为4，求a的值及x＋y＋16的平方根；
解：（1）∵x的值为4，
∴1－a＝4，解得a＝－3，
∴y＝2a－5＝2×（－3）－5＝－11，
∵x＋y＋16＝4－11＋16＝9，
∴x＋y＋16的平方根是±3；
（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数.
解：（2）∵一个数的平方根是x和y，
∴1－a＋2a－5＝0，解得a＝4，
∴（1－a）2＝（1－4）2＝9，
∴这个数是9.
解答题
13.（1）若2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根；
解：由题意得：，解得：，
∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根是±3.
（2）已知2x－1的平方根是±6，2x－y－1的平方根是±5，求2x－3y＋11的平方根.
解：根据题意得2x－1＝36，2x－y－1＝25，
则2x＝37，y＝11，
∴2x－3y＋11＝37－3×11＋11＝15，
∴2x－3y＋11的平方根为±.
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第5课时 复习巩固
第11章 数的开方
一、选择题
1.如果＝5，那么y的值是（ D ）
A.5 B.－5 C.10 D.25
2.下列说法正确的是（ A ）
A.81的平方根是±9
B.－5的立方根是
C.的平方根是
D.－9没有立方根
D
A
3.在，3.14，0，0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数依次增加1），中，无理数有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，点A、B、C分别是同一数轴上的三个点，且AB＝AC，A、B两点对应的实数分别是1、－，则点C位于整数（ A ）
A.3和4之间 B.2和3之间
C.1和2之间 D.4和5之间
第4题图
B
A
二、填空题
5.的平方根是 ± ，1的立方根是 1 ，的算术平方根是 2 .
6.－的相反数是 － ，绝对值是 － .
7.若a、b为实数，且满足｜a－2｜＋＋（c－4）4＝0，则c－a－b的立方根为 －1 .
±
1
2
－
－
－1
三、解答题
8.求下列各式中x的值：
（1）9x2－4＝0；
解：原方程可化为：x2＝，
∴x＝±.
（2）（3x－1）3＋64＝0.
解：原方程可化为：（3x－1）3＝－64，
∴3x－1＝－4，
解得：x＝－1.
9.计算：
（1）｜－｜＋（）2＋；
解：原式＝－＋3－3
＝－.
（2）＋×－｜2－｜.
解：原式＝4－×－（－2）
＝4－1－＋2
＝5－.
10.（1）若x，y为实数，且x＝＋＋4，求（x－y）2的平方根；
解：由题意得：，
解得y＝3，∴x＝4，
∴（x－y）2＝1，
∴（x－y）2的平方根是±1.
解得x＝14，y＝7，
∴x2－y2＝147，
∴x2－y2的算术平方根是7.
（2）若的平方根是±2，3x－2y－1的立方根是3，求x2－y2的算术平方根.
解：∵的平方根是±2，3x－2y－1的立方根是3，
∴＝4，3x－2y－1＝27，
∴x＋2＝16，3x－2y－1＝27，
一、填空题
11.3－的最大值为 3 ，此时，a的值为 .
12.已知＋｜b3－27｜＝0，则（a－b）2的平方根是 ±7 .
13.定义一种运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝（a－1）2＋b2，则（1＋）※＝ 5 .
3
±7
5
二、解答题
14.（1）5＋与5－的小数部分分别为a和b，求a＋2b的值；
解：∵2＜＜3，
∴7＜5＋＜8，2＜5－＜3，
∴a＝5＋－7＝－2，
b＝5－－2＝3－，
∴a＋2b＝－2＋6－2＝4－.
（2）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x＋2＝0，求式子（a＋b）2023－的值.
解：∵a与b互为相反数，∴a＋b＝0，
∵c与d互为倒数，∴cd＝1，
∵x＋2＝0，∴x＝－2，
∴（a＋b）2023－
＝0－＝.
解答题
15.如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为10，15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒.
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝ 5－t ，AQ＝ 10－2t ；
解：（1）∵当0＜t＜5时，点P对应的实数为10＋t＜15，点Q对应的实数为2t＜10，
∴BP＝15－（10＋t）＝5－t，AQ＝10－2t，
故答案为：5－t，10－2t；
第15题图
5－t
10－2t
（2）当t＝2时，求PQ的值；
解：（2）当t＝2时，点P对应的实数为10＋2＝12，点Q对应的实数为2×2＝4，
∴PQ＝12－4＝8；
第15题图
（3）当PQ＝AB时，求t的值.
解：（3）∵t秒时，点P对应的实数为10＋t，点Q对应的实数为2t，
∴PQ＝｜2t－（10＋t）｜＝｜t－10｜，
∵PQ＝AB，
∴｜t－10｜＝5，
解得t＝15或5，
∴t的值是15或5.
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第2课时 平方根（2）
第11章 数的开方
一、选择题
1.有理数36的算术平方根是（ C ）
A.4 B.8 C.6 D.±6
2.的算术平方根是（ B ）
A.± B. C.± D.5
C
B
3.对于式子3－的值，下列说法正确的是（ D ）
A.当x＝0时，最小
B.当x＝0时，最大
C.当x＝－4时，最小
D.当x＝－4时，最大
D
二、填空题
4.（1）7的算术平方根是 ；
（2）1的算术平方根是 ；
（3） 6.25 的算术平方根为2.5；
（4）92的算术平方根是 9 ；
（5）的平方根是 ± .
5.（1）若4是3x＋1的算术平方根，则x的值是 5 ；
（2）2x－1的算术平方根是6，则x＝ .
6.已知＋（b＋4）2＋｜c－1｜＝0，则（a＋b＋c）2024＝ 1 .
6.25
9
±
5
1
三、解答题
7.求下列各数的算术平方根：
（1）36；
解：（1）36的算术平方根是6；
（2）；
解：（2）的算术平方根是.
（3）15；
（4）0.64；
解：（3）15的算术平方根是；
解：（4）0.64的算术平方根是0.8.
（5）0.0144；
（6）；
解：（5）∵0.122＝0.0144，
∴0.0144的算术平方根是0.12；
解：（6）∵＝25，25的算术平方根是5，
∴的算术平方根是5.
（7）43；
（8）（－3）2.
解：（7）43的算术平方根是；
解：（8）∵（－3）2＝9，9的算术平方根是3，
∴（－3）2的算术平方根是3.
8.计算：
（1）－；
解：原式＝－｜－0.4｜＝－0.4.
（2）＋；
解：原式＝0.3＋0.6＝0.9.
（3）＋；
解：原式＝13＋5＝18.
（4）；
解：原式＝＝.
（5）×；
解：原式＝0.8×＝1.
（6）×（－）.
解：原式＝8×（13－14）＝－8.
一、选择题
9.已知≈1.162，≈0.1162，则a的值约为（ A ）
A.0.0135 B.0.135 C.13.5 D.135
10.一个矩形的围栏，长是宽的2倍，面积是30m2，则它的宽为（ A ）
A.m B.2m
C.m D.2m
A
A
二、填空题
11.（1）如果的算术平方根是3，那么a＝ ±81 ；
（2）已知x，y满足－（y－1）＝0，则x＋y＝ 0 ；
（3）已知＝0，则代数式的值为 2 ；
（4）已知是整数，则自然数n所有可能的值有 0，7，12，15，16 .
±81
0
2
0，7，12，15，16
三、解答题
12.设a，b，c都是实数，且满足（2－a）2＋＋｜c＋8｜＝0，ax2＋bx＋c＝0.
（1）求a，b，c的值；
解：（1）∵（2－a）2＋＋｜c＋8｜＝0，
∴a＝2，c＝－8，
∴22＋b－8＝0，解得：b＝4，
∴a＝2，b＝4，c＝－8；
（2）求式子x2＋2x的算术平方根.
解：（2）∵ax2＋bx＋c＝0，
∴2x2＋4x－8＝0，
∴x2＋2x－4＝0，
∴x2＋2x＝4，
∴式子x2＋2x的算术平方根是2.
解答题
13.如图是一块正方形纸片.
（1）若一个圆的面积与这个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆 ＜ C正；（填“＝”“＜”或“＞”）
＜
解：（1）设圆的半径为rcm，正方形的边长为acm，
∵S圆＝πr2＝2πcm2，
∴r＝cm，∴C圆＝2πr＝2πcm，
∵S正＝a2＝2πcm2，
∴a＝cm，∴C正＝4a＝4cm，
∴＝＝＜1，
∴C圆＜C正，
故答案为：＜；
第13题图
（2）若该正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3∶2，他能裁出吗？请说明理由.
解：（2）不能，理由如下：
由已知设长方形纸片长和宽分别为3xcm和2xcm，
由长方形面积得：2x·3x＝12，
解得x＝，
∴长方形长为3cm，
∵正方形面积为16cm2，
∴边长为4cm，
∵3＞4，
∴他不能裁出.
第13题图
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