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第7课时 复习巩固
第14章 勾股定理
一、选择题
1.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ C ）
A.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
B.a∶b∶c＝3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D.a∶b∶c＝1∶2∶
C
2.如图，弦图是由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么其中一个直角三角形的两直角边的和为（ B ）
A.24 B.10 C.2 D.2
第2题图
B
3.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于E，则BE的长是（ B ）
A.1.5 B.2.5 C. D.3
第3题图
B
二、填空题
4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，点D在BC边上，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则AD＝ 3cm .
第4题图
3cm
5.如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为2cm、2cm、3cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，则这只蚂蚁要爬行的最短距离是 5cm .
第5题图
6.用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设“ 一个三角形中至少有两个内角是钝角 ”.
5cm
一个
三角形中至少有两个内角是钝角
三、解答题
7.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了50m到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C.
（1）求A、C两地之间的距离；
解：（1）如图，过点B作BE∥AD，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
∴∠CBA＝90°，
∴AC＝＝100m，
即A、C两地之间的距离为100m；
第7题图
（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向上.
解：（2）∵在Rt△ABC中，BC＝50m，AC＝100m，
∴∠CAB＝30°，
∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝30°，
∴目的地C在营地A的北偏东30°的方向上.
第7题图
（1）求BC的长；
解：（1）∵∠ADC＝90°，CD＝1，BD＝1，
∴BC＝＝；
第8题图
8.如图，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝1，点B在AD的延长线上，BD＝1，连接BC.
解：（2）①当点P在点D左边时，PD＝2－t，
∵△PDC≌△BDC，
∴PD＝BD＝1，即2－t＝1，解得t＝1；
当点P在点D右边时，PD＝t－2，
∵△PDC≌△BDC，
∴PD＝BD＝1，即t－2＝1，解得t＝3，
综上所述，当t＝1或3时，△PDC≌△BDC；
第8题图
（2）动点P从点A出发，向终点B运动，速度为 1 个单位/秒，设运动时间为t秒.
①当t为何值时，△PDC≌△BDC？
②当t为何值时，△PBC是以PB为腰的等腰三角形？
②当BP＝CD时，∵CD＝1，
∴BP＝AD＋BD－t＝1，即2＋1－t＝1，
解得t＝2；
当BP＝BC时，∵BC＝，
∴BP＝AD＋BD－t＝，即2＋1－t＝，
解得t＝3－，
综上所述，当t＝2或3－时，△PBC是以PB为腰的等腰三角形.
第8题图
一、填空题
9.如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，∠BAD＝105°，AD＝4，CD＝13，则AB＝ 15 .
第9题图
10.已知三角形的三边长a、b、c满足c2＋169＋－26c＋｜a－5｜＝0，则这个三角形的面积是 30 .
15
30
二、解答题
11.如图，点P为正方形ABCD内一点，PA＝3，PD＝2，PC＝1，求∠CPD的度数.
第11题图
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
如图，将△DPC绕点D顺时针旋转90°得△DP'A，连接PP'，
则P'D＝PD＝2，AP'＝PC＝1，
∴△PDP'是等腰直角三角形，
∴PP'＝2，∠PP'D＝45°，
在△APP'中，
AP＝3，AP'＝1，
∴AP2＝PP'2＋AP'2，
∴∠AP'P＝90°，
∴∠CPD＝∠DP'A＝∠PP'D＋∠AP'P＝135°.
解答题
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D在边BC上，且∠CAD＝90°，求BD的长.
第12题图
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝20，
BC＝32，
∴BE＝CE＝BC＝16，
∴在Rt△AEC中，AE＝＝12，
设DE＝x，则BD＝16－x，CD＝16＋x，
在Rt△ADE中，
AD2＝AE2＋DE2，
即AD2＝122＋x2①，
在Rt△ADC中，
AD2＝CD2－AC2，
即AD2＝（16＋x）2－202②，
①②联立得，122＋x2＝（16＋x）2－202，
解得x＝9，
∴BD＝BE－DE＝7，
∴BD的长为7.
第12题图
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第2课时 直角三角形三边的关系（2）
第14章 勾股定理
一、选择题
1.如图，四边形ABCD的每个顶点都在边长为1的正方形格点上，则边长为的线段是（ A ）
A.AB B.BC C.CD D.AD
第1题图
A
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长为（ C ）
A.2 B.3 C.4 D.5
第2题图
C
3.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以数轴上表示1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ C ）
A.1 B.－1 C.1－ D.
第3题图
C
二、填空题
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC∶AC＝3∶4，则BC＝ 9 .
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC长度的最小值是 .
第5题图
9
6.若实数m、n满足｜m－3｜＋＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则△ABC的周长是 12或7＋ .
12或7＋
三、解答题
7.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝3AC，求AC的长.
解：设AC＝x，则AB＝3x，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∵BC＝4，∴x2＋＝（3x）2，
解得x＝2或－2（舍去），
∴AC＝2.
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC＋AD＝32，BD＝5，CD＝16，试求AB的长.
第8题图
解：设AD＝x，则AC＝32－x，
∵AD⊥BC，
∴△ADC和△ADB均是直角三角形，
∵CD＝16，
∴x2＋162＝（32－x）2，解得：x＝12，
∴AD＝12，
在Rt△ABD中，AB＝＝13.
9.如图，长方形ABCD中，AB＝9，BC＝6，将长方形折叠，使点A与BC的中点F重合，折痕为EH，求线段BE的长.
第9题图
解：∵将长方形折叠，使点A与BC的中点F重合，
∴EF＝AE＝9－BE，BF＝BC＝3，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，
即（9－BE）2＝BE2＋32，
解得：BE＝4.
一、填空题
10.如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC边上一点，若△ABD为“准互余三角形”，则BD的长为 或 .
第10题图
或
11.在△ABC中，∠ABC＝30°，AD⊥AB，交直线BC于点D，若AB＝4，CD＝1，则AC的长为 或 .
或
二、解答题
12.如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD－DC＝1，求DC的长.
第12题图
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，DE＝CE，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE，
∵Rt△ABE中，AB＝4，AE2＋BE2＝AB2，
∴BE2＋BE2＝（4）2，
∴BE＝4，∴BD＋DC＝4，
又∵BD－DC＝1，
∴DC＋1＋DC＝4，
∴DC＝2.
第12题图
解答题
13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点P从点B出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t秒，连接AP.
（1）当t＝3时，求AP的长度；（结果保留根号）
解：（1）根据题意，得BP＝2t＝6，
∴PC＝BC－BP＝16－2t＝10，
在Rt△APC中，AC＝8，
根据勾股定理，得AP＝＝2；
第13题图
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.
解：（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝8，
①若BA＝BP，则8＝2t，解得t＝4；
②若AB＝AP，则BP＝2BC＝32，
∴2t＝32，解得t＝16；
③若PA＝PB，
则（2t）2＝（16－2t）2＋82，解得t＝5，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为4或16或5.
第13题图
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第5课时 勾股定理的应用
第14章 勾股定理
一、选择题
1.如图，将一张A4纸（A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去一个角，量得CF＝90mm，BE＝137mm，则EF的长为（ D ）
A.50mm B.120mm C.160mm D.200mm
第1题图
D
2.如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm.点A处有一只蚂蚁，想去吃B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ C ）
A.dm B.20dm C.25dm D.35dm
第2题图
C
3.如图，市中心附近一棵大树在高于地面3m处折断，大树顶部落在距离底部4m处的地面上，那么树高是（ B ）
A.7m B.8m C.9m D.12m
第3题图
B
二、填空题
4.一灯塔P在小岛A的北偏西30°方向，从小岛A沿正北方向前进20海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在小岛B北偏西60°方向，则灯塔P与小岛A相距 20 海里.
5.如图，一个2.6m长的梯子AB斜靠在墙AO上，AO＝2.4m，当梯子的顶端A下滑的距离AC等于底端B向外移动的距离BD时，AC的长为 1.4 m.
第5题图
20
1.4
三、解答题
6.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距地面多少米？
第6题图
解：由题意可得：AC＝8米，
AB＝17米，AE＝2米，
则BC＝＝15米，
∴BD＝BC＋CD＝BC＋AE＝17米，
答：发生火灾的住户窗口距地面17米.
7.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度AC＝1m，将它往前推送6m（水平距离BE＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BD＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长度.
第7题图
解：设秋千的绳索OA＝OB＝xm，
则OE＝（x－3）m，
在Rt△OEB中，
OE2＋EB2＝OB2，
∴（x－3）2＋62＝x2，
解得：x＝7.5，
答：绳索OA的长度是7.5m.
8.如图，圆柱的底面直径为，高BC＝12，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，求点P移动的最短距离.
第8题图
解：圆柱侧面展开图的一半如图所示，
∵圆柱的底面直径为，
∴AB＝××π＝8，
∵S为BC的中点，BC＝12，
∴BS＝BC＝6，
∴AS＝＝10，
∴点P移动的最短距离为10.
一、填空题
9.如图是一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，沿盒子表面从点M到点N的最短路程为 20cm .
第9题图
20cm
10.如图，是一块四边形土地，其中∠D＝∠B＝90°，∠C＝135°，BC＝，DC＝3，则这块土地的面积为 10＋6 .
第10题图
10＋6
二、解答题
11.如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上，与直角顶点B相距10米远的点D处同时开始测量，点C为终点.小娟沿D→B→C的路径测得所经过的路程是15米，小燕沿D→A→C的路径测得所经过的路程也是15米，这时小娟说她能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说她也知道怎么求出这个直角三角形花台斜边上的高了.亲爱的同学们，你能求出这个直角三角形花台斜边上的高吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.
第11题图
第11题图
解：能.
由题意得：BC＝15－10＝5米，
设AD＝x米，AC边上的高为h米，
则AC＝（15－x）米，AB＝（x＋10）米，
在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
∴（10＋x）2＋52＝（15－x）2，
解得：x＝2，即AD＝2米，
∴AB＝12米，AC＝13米，
∴S△ABC＝×5×12＝×13h，
解得h＝，
答：这个直角三角形花台斜边上的高为米.
解答题
12.锐角△ABC的三边分别为AB＝13、BC＝14、AC＝15，△ABC内有一点O到三边的距离相等，求这一距离.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，再连接AO，BO和CO，并过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，分别交AB、BC、AC于点E、F、G，
则OE＝OF＝OG，
设BD＝x，则CD＝14－x，
根据勾股定理可得：132－x2＝152－（14－x）2，
解得：x＝5，
在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，
∴AD＝＝12，
∴S△ABC＝BC·AD＝（AB·OE＋AC·OG＋BC·OF）＝84，
可得：OE＝OF＝OG＝4，
∴点O到三边的距离均为4.
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第4课时 反证法
第14章 勾股定理
一、选择题
1.用反证法证明“在△ABC中，如果AB≠AC，那么∠B≠∠C”时，应假设（ B ）
A.AB＝AC B.∠B＝∠C
C.AB≠AC D.∠B≠∠C
2.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ C ）
A.a不垂直于b B.a⊥b
C.a与b相交 D.a，b不垂直于c
B
C
①若x＞0，则＝；
②若－2x＞4，则x＞；
③如果一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
④在用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角”时，首先应假设“这个三角形中有两个直角”.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.在下列命题中，真命题有（ D ）
D
4.已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立，∴∠B＜90°；
③假设在△ABC中，∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是（ A ）
A.③④①② B.③④②①
C.①②③④ D.④③①②
A
二、填空题
5.用反证法证明“同一多边形中至少有三个锐角”，第一步应假设“ 同一多边形中最多有两个锐角 ”.
6.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”时，假设“ 三角形的三个内角都小于60° ”，这与“ 三角形的内角和是180° ”矛盾，所以原命题正确.
7.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是 等腰直角三角形 .
同一多边形
中最多有两个锐角
三角形的
三个内角都小于60°
三角形的内角和是180°
等腰
直角三角形
三、解答题
8.用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角.
证明：①设等腰△ABC的底角∠B，∠C都是直角，则∠B＋∠C＝180°，
而∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；
②设等腰△ABC的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B＋∠C＞180°，
而∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾，
综上所述，∠B，∠C只能为锐角，
∴等腰三角形的底角必为锐角.
9.如图，已知直线a∥c，b∥c，用反证法证明：a∥b.
证明：假设a与b相交，交点为M，如图，
则过点M有两条直线平行于直线c，
这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，
∴a∥b.
第9题图
一、选择题
10.用反证法证明“若△ABC≌△DEF，则它们对应边上的高AH＝DG”，应假设（ B ）
A.两三角形不全等 B.AH≠DG
C.两三角形全等 D.AH＝DG
B
二、填空题
11.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，首先应假设“ 在直角三角形中，两个锐角都大于45° ”.
在直角三角形中，两个锐角都大于45°
三、解答题
12.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.
第12题图
证明：假设点M在线段CD上，
如图，延长AM到点N，使MN＝AM，连接BN，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC，
∵点M在线段CD上，
∴∠BAM＞∠MAC，
∴∠BAM＞∠MNB，
∴BN＞AB，
即AC＞AB，与AB＞AC相矛盾，
∴点M不在线段CD上.
第12题图
解答题
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，用反证法证明：PB＜PC.
第13题图
证明：假设PB≥PC，
如图，把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，得到△ACD并连接PD，
∵PB≥PC，PB＝CD，
∴CD≥PC，
∴∠CPD≥∠CDP，
又∵AP＝AD，
∴∠APD＝∠ADP，
∴∠APD＋∠CPD≥∠ADP＋∠CDP，
即∠APC≥∠ADC，
又∵∠APB＝∠ADC，
∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB＜PC.
第13题图
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第3课时 直角三角形的判定
第14章 勾股定理
一、选择题
1.以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ B ）
A.1，2，4 B.1，，2
C.1，3，5 D.1，，
2.满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ A ）
A.BC∶AC∶AB＝3∶4∶5
B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C.BC＝4，AC＝5，AB＝6
D.BC＝，AC＝，AB＝
B
A
3.若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC是（ C ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ C ）
A.12 B.13 C. D.60
第4题图
C
C
二、填空题
5.已知一个三角形的三边长分别为、和，则这个三角形最大的内角为 90° .
6.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是 15 .
第6题图
90°
15
三、解答题
7.如图，△ABC中，AB的垂直平分线l交AB于E，交AC于D，AD＝5，DC＝3，BC＝4.
（1）求证：△ABC是直角三角形；
第7题图
（1）证明：如图，连接BD，
∵AB的垂直平分线l交AC于D，
∴BD＝AD＝5，
在△DCB中，BD＝5，CD＝3，BC＝4，
∴BD2＝CD2＋BC2，
∴△DCB是直角三角形，且∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）求AB的长.
（2）解：在Rt△ACB中，
AB2＝AC2＋BC2＝（3＋5）2＋42＝80，
∴AB＝4.
第7题图
8.如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13.
（1）求AC的长；
解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
由勾股定理，得：AC＝＝5；
第8题图
（2）求图中阴影部分的面积.
解：（2）∵AC2＋BC2＝52＋122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S阴影部分＝S△ABC－S△ACD＝×5×12－×3×4＝30－6＝24.
9.若实数y的立方根是2，且实数x、y、z满足＋y＋（x－z＋4）2＝8.
（1）求x＋y－2z的值；
解：（1）∵实数y的立方根是2，∴y＝8，
∵＋y＋（x－z＋4）2＝8，
∴x－6＝0，x－z＋4＝0，
∴x＝6，z＝10，
∴x＋y－2z＝6＋8－20＝－6；
（2）若x、y、z是△ABC的三边长，试判断△ABC的形状.
解：（2）由（1）得x＝6，y＝8，z＝10，
∵x2＋y2＝36＋64＝100，z2＝100，
∴x2＋y2＝z2，
∴△ABC是直角三角形.
一、填空题
10.若△ABC的三边a，b，c满足a＝5，b＝12，c为奇数，且a＋b＋c能被3整除，则c＝ 13 ，△ABC是 直角 三角形.
13
直角
二、解答题
11.如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
第11题图
解：三角形的情况如图所示，
设AC＝xcm，
则BC＝（70－x）cm，
①若AB为斜边，
则x2＋（70－x）2＝502，
解得：x＝30或40；
②若AC为斜边，
则502＋（70－x）2＝x2，
解得：x＝；
③若BC为斜边，
则502＋x2＝（70－x）2，
解得：x＝，
综上所述，这个点将绳子分成的两段长度分别为30cm、40cm或cm、cm.
第11题图
解答题
12.如图，P为等边△ABC内一点，以PB为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.
（1）猜想AP与CQ的大小关系，并证明；
第12题图
解：（1）猜想：AP＝CQ，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝60°，
∵∠PBQ＝∠CBQ＋∠PBC＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ，
又∵AB＝BC，BQ＝BP，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ；
（2）若PA∶PB∶PC＝5∶12∶13，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.
解：（2）△PQC是直角三角形，理由如下：
由PA∶PB∶PC＝5∶12∶13，
可设PA＝5a，PB＝12a，PC＝13a，
∵在△PBQ中，BQ＝PB＝12a，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为正三角形，
∴PQ＝12a，
在△PQC中，QC＝AP＝5a，
∵PQ2＋QC2＝144a2＋25a2＝169a2＝PC2，
∴△PQC是直角三角形.
第12题图
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第6课时 专题折叠与勾股定理
第14章 勾股定理
解答题
1.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，求△ABE的周长.
第1题图
解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∵△ADE是由△CDE翻折而成，
∴AE＝CE，
∴AE＋BE＝BC＝4，
∴C△ABE＝AB＋AE＋BE＝7.
2.如图，将边长为16cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，求线段DM的长.
第2题图
解：设DM＝xcm，则ME＝AM＝（16－x）cm，
∵E为DC的中点，
∴DE＝DC＝8cm，
在Rt△DME中，DM2＋DE2＝ME2，
即x2＋82＝（16－x）2，
解得x＝6，
∴线段DM的长为6cm.
3.如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长.
第3题图
解：设BN＝x，则AN＝6－x，
由翻折的性质可知：
ND＝AN＝6－x，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝BC＝2，
在Rt△NBD中，ND2＝BN2＋BD2，
即（6－x）2＝x2＋22，
解得：x＝，
∴BN＝.
4.如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求△BEF的面积.
第4题图
解：∵长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
设BF＝x，则DE＝BE＝BF＝x，
∴AE＝AD－DE＝9－x，
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
即32＋（9－x）2＝x2，解得：x＝5，
∴BF＝5，
∴S△BEF＝BF·AB＝.
5.如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求折痕MN的长.
第5题图
解：如图，过点M作MG⊥CD于点G，连接DE交MG于点I，则MG＝BC＝CD，
由题意，在Rt△DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm，
由勾股定理得：DE＝＝4cm，
由折叠可知，DE⊥MN，
∴∠NMG＋∠MIE＝90°，
∵∠DIG＋∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG，
∴∠NMG＝∠EDC，
在△MNG与△DEC中，
，
∴△MNG≌△DEC（ASA），
∴MN＝DE＝4cm.
第5题图
6.如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，连接DF，且DF＝3，求∠AFD的度数和BE的长.
第6题图
解：由折叠可得：AF＝AB＝4，∠AFE＝∠B＝90°，
∵AD＝5，DF＝3，32＋42＝52，
∴DF2＋AF2＝AD2，
∴△ADF是直角三角形，
∴∠AFD＝90°，
设BE＝x，则EF＝x，CE＝5－x，DC＝AB＝4，
∵∠AFD＝∠AFE＝90°，∴∠DFE＝180°，
∴D、F、E三点在同一条直线上，
∴DE＝3＋x，
在Rt△DCE中，
根据勾股定理，得DE2＝DC2＋CE2，
即（3＋x）2＝42＋（5－x）2，
解得x＝2，
∴BE的长为2.
第6题图
7.如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求点M到点E的距离.
第7题图
解：如图，连接ME，
由四边形ABCD是正方形及折叠知，AM＝MF，FE＝AD＝2，∠MFE＝∠BAD＝90°，
∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝，
在Rt△MFE中，MF2＋FE2＝ME2，
在Rt△MBE中，BE2＋BM2＝ME2，
∴MF2＋FE2＝BE2＋BM2，
∴MF2＋＝＋，
解得MF＝，
∴ME2＝（）2＋（2）2＝，
∴ME＝，
即点M到点E的距离为.
第7题图
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第1课时 直角三角形三边的关系（1）
第14章 勾股定理
一、选择题
1.如图，正方形ABCD的面积是（ B ）
A.5 B.25 C.7 D.1
第1题图
B
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长为（ C ）
A.3 B. C.4 D.
第2题图
3.如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，则阴影部分的面积是（ B ）
A.16 B.25 C.144 D.169
第3题图
C
B
二、填空题
4.△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝ 12 .
5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝6，S2＝8，则S3＝ 14 .
第5题图
12
14
6.直角三角形的两边长分别为3cm，4cm，则第三边长为 5cm或cm .
5cm或cm
三、解答题
7.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
（1）求CD的长；
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵在Rt△BCD中，BC＝15，DB＝9，
∴CD＝＝12；
第7题图
（2）求AB的长.
解：（2）∵在Rt△ACD中，AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝16，
∴AB＝AD＋DB＝25.
8.我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM－2002）的会标如图2所示，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.请你根据图1解答下列问题：
（1）叙述勾股定理；（用文字及符号语言叙述）
（1）解：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，
在直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，a2＋b2＝c2；
第8题图
（2）证明勾股定理；
（2）证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝（b－a）2，4S小三角形＝4×ab＝2ab，
∴c2＝2ab＋（b－a）2＝2ab＋b2－2ab＋a2＝a2＋b2，
即a2＋b2＝c2；
第8题图
（3）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a＋b）2的值.
（3）解：由（2）得4S小三角形＝2ab，
∵S大正方形＝13，S小正方形＝1，
∴4S小三角形＝S大正方形－S小正方形＝12，
∴2ab＝12，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab＝25.
一、填空题
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7.5cm，AC＝4.5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 或6或 .
第9题图
或6或
二、解答题
10.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的平分线，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E.
（1）求BC的长；
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6；
第10题图
（2）求AE的长；
解：（2）∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝6，∴AE＝AB－BE＝4；
第10题图
（3）求BD的长.
解：（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8－x，
在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，
即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3，
∴CD＝DE＝3，
在Rt△BCD中，BD＝＝3.
第10题图
解答题
11.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为ts（t＞0）.
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB，求t的值；
第11题图
解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
由勾股定理得：
AC＝＝8cm，
由题意得PB＝PA＝tcm，
则PC＝（8－t）cm，
在Rt△PCB中，PC2＋BC2＝PB2，
即（8－t）2＋62＝t2，解得：t＝，
∴t的值为；
（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上（但不与点A重合），求t的值.
解：（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，
易证△APC≌△APE（AAS），
∴AE＝AC＝8cm，
此时PE＝PC＝（t－8）cm，BP＝（14－t）cm，BE＝AB－AE＝2cm，
在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2，
即（t－8）2＋22＝（14－t）2，解得：t＝，
∴t的值为.
第11题图
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