2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修一课时作业：2.2.4 均值不等式及其应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修一课时作业：2.2.4 均值不等式及其应用（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 16:10:27 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修一课时作业：2.2.4 均值不等式及其应用
一、选择题
1．设（m，n为互不相等的正数），，则A与B的大小关系是( )
A. B. C. D.
2．设x，y均为正数，且，则的最小值为( )
A.12 B.20 C.13 D.10
3．设，，且不等式恒成立，则实数k的最小值为( )
A.0 B.4 C. D.
4．若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.24 B.28 C.25 D.26
5．已知，则函数的最小值是( )
A.6 B.8 C.12 D.16
6．已知不等式对任意正实数x,y恒成立,则正实数的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.9
7．已知x,y为正实数,且,则的最小值为( )
A.12 B. C. D.
8．已知，，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，，且，则( )
A. B. C. D.
10．已知,,且不等式恒成立,则m的值可以是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11．设a，b为正数，，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．设，，给出下列不等式：
①；②；③；④.
其中恒成立的是__________（填序号）.
13．已知，且，则的最大值为__________.
14．若正数x，y满足，则的最大值为__________.
四、解答题
15．目前电动汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元，
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）.
16．设，，.证明：
（1）；
（2）.
17．已知，，，求证：
（1）；
（2）.
18．（1）若正数x，y满足，求的最小值；
（2）求的最小值.
19．已知，.
（1）若，求的最小值及此时a，b的值；
（2）若，求的最小值及此时a，b的值；
（3）若，求的最小值及此时a，b的值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为m，n为互不相等的正数，所以，所以，，所以.故选A.
2．答案：A
解析：因为x，y均为正数，且，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选A.
3．答案：C
解析：由，得，即，又（当且仅当时取等号），所以，因此要使恒成立，需，故实数k的最小值为.
4．答案：C
解析：正数x，y满足，
，当且仅当时，等号成立，的最小值是25.
故选C.
5．答案：D
解析：因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号，故选D.
6．答案：D
解析：因为,当且仅当且,时取等号,
所以,整理得,解得,故正实数的最小值为9.
故选:D.
7．答案：C
解析：由,则
,
当且仅当,即,时,等号成立.
故选：C.
8．答案：C
解析：由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
9．答案：ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
10．答案：AB
解析：设,,则,,故.
因为,,所以,,
所以,当且仅当时,等号成立.因为恒成立,所以,所以.
11．答案：AC
解析：A选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故A正确；
B选项，当，时，，但，故B错误；
C选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故C正确；
D选项，当，时，，但，故D错误.
故选AC.
12．答案：①②③
解析：，故①恒成立；，当且仅当，，即时等号成立，故②恒成立；
，当且仅当，即时等号成立，故③恒成立；当时，，故④不恒成立.综上所述，恒成立的是①②③.
13．答案：
解析：由且，可得，则，
所以，
当且仅当即时等号成立，故的最大值为.
14．答案：
解析：因为正数x，y满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号，故的最小值为9，则的最大值为.
15．答案：（1）
（2）20万元
解析：（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元，
所以一元二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为，
可设.
又营运三年时总利润为20万元，所以，解得，
则.
（2）由（1）得年平均总利润为，
当且仅当，即时取“=”.
所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：已知，，.
（1），
易知（当且仅当时取等号），
所以，故.
（2）
，
当且仅当时取等号，
又，所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：，，，
，
，当且仅当时，等号成立，
.
（2）证明：证法一：，，，
，
同理，，
，
当且仅当时，等号成立，
.
证法二：由（1）知，，
故，
当且仅当时，等号成立.
18．答案：（1）5
（2）
解析：（1）因为，，，所以，
因此
，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为5.
（2）令，则，，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
19．答案：（1）最小值为，此时，
（2）最小值为，此时，
（3）最小值为12，此时，
解析：（1），，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为，此时，.
（2），
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为，此时，.
（3），，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为12，此时，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修一课时作业：2.2.4 均值不等式及其应用
一、选择题
1．设（m，n为互不相等的正数），，则A与B的大小关系是( )
A. B. C. D.
2．设x，y均为正数，且，则的最小值为( )
A.12 B.20 C.13 D.10
3．设，，且不等式恒成立，则实数k的最小值为( )
A.0 B.4 C. D.
4．若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.24 B.28 C.25 D.26
5．已知，则函数的最小值是( )
A.6 B.8 C.12 D.16
6．已知不等式对任意正实数x,y恒成立,则正实数的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.9
7．已知x,y为正实数,且,则的最小值为( )
A.12 B. C. D.
8．已知，，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，，且，则( )
A. B. C. D.
10．已知,,且不等式恒成立,则m的值可以是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11．设a，b为正数，，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．设，，给出下列不等式：
①；②；③；④.
其中恒成立的是__________（填序号）.
13．已知，且，则的最大值为__________.
14．若正数x，y满足，则的最大值为__________.
四、解答题
15．目前电动汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元，
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）.
16．设，，.证明：
（1）；
（2）.
17．已知，，，求证：
（1）；
（2）.
18．（1）若正数x，y满足，求的最小值；
（2）求的最小值.
19．已知，.
（1）若，求的最小值及此时a，b的值；
（2）若，求的最小值及此时a，b的值；
（3）若，求的最小值及此时a，b的值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为m，n为互不相等的正数，所以，所以，，所以.故选A.
2．答案：A
解析：因为x，y均为正数，且，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选A.
3．答案：C
解析：由，得，即，又（当且仅当时取等号），所以，因此要使恒成立，需，故实数k的最小值为.
4．答案：C
解析：正数x，y满足，
，当且仅当时，等号成立，的最小值是25.
故选C.
5．答案：D
解析：因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号，故选D.
6．答案：D
解析：因为,当且仅当且,时取等号,
所以,整理得,解得,故正实数的最小值为9.
故选:D.
7．答案：C
解析：由,则
,
当且仅当,即,时,等号成立.
故选：C.
8．答案：C
解析：由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
9．答案：ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
10．答案：AB
解析：设,,则,,故.
因为,,所以,,
所以,当且仅当时,等号成立.因为恒成立,所以,所以.
11．答案：AC
解析：A选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故A正确；
B选项，当，时，，但，故B错误；
C选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故C正确；
D选项，当，时，，但，故D错误.
故选AC.
12．答案：①②③
解析：，故①恒成立；，当且仅当，，即时等号成立，故②恒成立；
，当且仅当，即时等号成立，故③恒成立；当时，，故④不恒成立.综上所述，恒成立的是①②③.
13．答案：
解析：由且，可得，则，
所以，
当且仅当即时等号成立，故的最大值为.
14．答案：
解析：因为正数x，y满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号，故的最小值为9，则的最大值为.
15．答案：（1）
（2）20万元
解析：（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元，
所以一元二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为，
可设.
又营运三年时总利润为20万元，所以，解得，
则.
（2）由（1）得年平均总利润为，
当且仅当，即时取“=”.
所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：已知，，.
（1），
易知（当且仅当时取等号），
所以，故.
（2）
，
当且仅当时取等号，
又，所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：，，，
，
，当且仅当时，等号成立，
.
（2）证明：证法一：，，，
，
同理，，
，
当且仅当时，等号成立，
.
证法二：由（1）知，，
故，
当且仅当时，等号成立.
18．答案：（1）5
（2）
解析：（1）因为，，，所以，
因此
，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为5.
（2）令，则，，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
19．答案：（1）最小值为，此时，
（2）最小值为，此时，
（3）最小值为12，此时，
解析：（1），，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为，此时，.
（2），
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为，此时，.
（3），，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为12，此时，.
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