3.1.1 函数的概念 教学设计

教学设计 函数的概念
（一）课时教学内容
函数的概念。
（二）课时教学目标
1.在归纳概括集合间的对应关系，抽象出函数概念后，能区分此函数概念与初中的函数概念的不同，会说出已学过的简单函数的定义域、对应关系与值域三要素；
2.理解对应关系是不依赖于表示方式而客观存在的，其实质是对于定义域的任一值，通过对应关系都能得出唯一对应的函数值。知道对应关系的表示常用解析式、图像与表格；
3.对于函数的表示法解析式和图像，能通过函数解析式画出函数的图像，也能通过函数的图像理解并写出解析式，可以使学生既加深对函数对应关系的理解，有培养数形结合思想，发展直观想象素养。
函数是具有一般意义的抽象概念，是概念性知识，需要学生理解，而不是记忆。教学过程中应通过实例引发学生思考，尝试表达，提出疑问等，加深学生对概念的理解。概念的学习过程是学生主动建构知识的过程；
（三）教学重点与难点
教学重点：由实例归纳、概括函数的基本特征，用集合与对应关系表达函数的概念，用适当的方法表示函数；
教学难点：从生活实例中归纳、概括、抽象出函数概念，用集合语言和对应关系理解具体问题中的函数关系。突破难点主要通过比较不同实例，归纳概括共同点，让学生尝试表达，抽象出函数的三要素，体会“对应”是函数概念的重要特征。
（四）教学过程设计
环节一、情景引入，温故知新
在初中，我们已经学习了函数的定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们称是自变量，是的函数．
问题1：（1）你能用已学的函数知识判断与是否为相同的函数吗
（2）正方形的周长与边长的对应关系为，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数．请问这个函数与正比例函数是同一个函数吗
【设计意图】带领学生复习初中“变量说”的函数概念，以问题引起认知冲突，激发学生的求知欲，体现进一步研究函数的必要性．
环节二、抽象概念，内涵辨析
问题2：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时．
（1）这段时间内，列车行进的路程（单位：）与运行时间（单位：h）的关系如何表示 这是一个函数吗 请说明理由．
（2）有同学想：“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行就前进了．”这位同学的想法正确吗
（3）如何更加精准地表述与的函数关系
【设计意图】教师给出问题（1）后，请学生自己思考并回答，提醒学生不看教科书．教师点评答案，引导学生用已学的变量关系刻画这个函数．
对问题（2）请学生在信息技术平台上提交答案，并邀请学生说出判断的理由，教师点评并引导学生认识到必须关注自变量的取值范围．
对问题（3）引导学生体会“更加精确地表述”需要确定自变量的范围，得到集合，再类比初中的函数概念，描述这个函数关系，教师要在学生思考和讨论的基础上给出精确表述的示范．
问题3：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：
（1）你认为应该怎样确定一个工人每周所得的工资
（2）一个工人的工资是他工作天数的函数吗 请说明理由．
（3）你能仿照问题（1）中对和的对应关系的精准刻画，给出这个问题中与的精准表示吗
【设计意图】对问题（1）学生给出的答案可能大部分都是，教师需要引导学生还可以用不同的表示方法，例如列表格的形式．
对问题（2）设计为判断题，学生可以在信息平台上给出自己的答案．
对问题（3）可以让学生模仿问题1的方法给出表述，教师通过信息技术平台展示学生的答案，然后点评学生回答情况并给出严谨规范的表述．
问题4：如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
【破解方法】是，t的变化范围是，I的范围是．
问题5：国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
思考：上述问题2到问题5中的函数有哪些共同点和不同点？
【设计意图】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系．
不同点有：问题2，3是通过解析式表示对应关系，问题4是通过图象，问题5是通过表格
【归纳新知】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
知识点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性．
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
问题6：函数的三要素为定义域、对应关系和值域，定义域和值域都是非空数集．在数学中有没有刻画非空数集的简单方式呢？请大家阅读教科书第64页相关内容．
（1）什么叫闭区间？什么叫开区间？什么叫半开半闭区间？
（2）区间的端点应满足什么条件？0
（3）请用区间表示实数集R．书写带有“+∞”、“-∞”的区间时，应使用小括号还是中括号？
【设计意图】教师先让学生阅读并独立思考，尝试理解有关概念和相应记法，然后提出上述3个问题，检验学生自主阅读和理解能力，并提醒学生先不要看教科书第65页．
【归纳新知】
3、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．
环节三、理解概念，例题落实
例1.求下列函数的定义域：
⑴；
解：因为函数有意义当且仅当解得，且，所以函数定义域为.
⑵.
解：因为函数有意义当且仅当解得，且，所以函数定义域为.
【设计意图】总结⑴求函数定义域常用依据：①分式中分母不能为零；②二次根式中被开方数要大于或等于零；③零次幂的底数不能为零。提出⑵常见错误：把函数化为再求定义域，引起学生注意。
例2. 判断下列各组函数是否为同一个函数：
⑴，；（不是，定义域不同）
⑵，；（不是，对应关系不同）
⑶，. （是，定义域和对应关系均相同）
【设计意图】学生解答，让学生明确函数三要素是判断同一函数的标准。如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同（则值域一定也相同），那么这两个函数就是同一个函数.
说明：在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合. 如函数，就是函数，，函数，就是函数，
例3．已知函数.
⑴求的值；
⑵当时，求值域.
解：⑴由已知可得
，，.
⑵因为，其图象为开口向上的抛物线且对称轴为，
所以当时，函数有最小值为，
又由⑴知，，所以当时，函数有最大值为.
综上所述，函数的值域为.
【设计意图】求函数值域的一种常用方法是画出函数图像，根据定义域观察截取函数图像，进而求得函数值域.
环节四、归纳小结，总结提升
问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）函数的定义是什么 其三要素是什么
（2）你是怎么理解对应关系的
（3）与初中的函数概念相比较，你对函数有哪些新的认识
（4）函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法各有什么优点
（5）如何理解分段函数
【设计意图】学生独立思考并请代表发言，再请其他同学补充，教师引导学生一起得出结论．
（五）目标检测设计
环节五：目标检测，检验效果
1．下列等式中的变量不具有函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【检测目标】函数定义的理解；
2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【检测目标】函数定义的理解；
3．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与．②与．③与．④与．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【检测目标】函数定义的理解，同一函数的辨别；
4．函数的定义域是 ．
【答案】
【检测目标】函数定义域的理解；
5．已知
（1）求和；
（2）求函数的值域．
【解析】（1）由函数，
可得，，．
（2）函数的值域为．
【检测目标】函数值和值域的理解；
【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．
环节六：布置作业，应用迁移
作业：书后习题
【设计意图】掌握函数的概念，巩固本节课的知识点．
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