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第3课时 立方根
第11章 数的开方
★如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 立方根 .
★任何数必定只有一个立方根，正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是 负数 ，0的立方根是 0 .
★学习指导：
＝－，
立方根等于本身的数有3个：1、－1、0.
立方根
正数
负
数
0
考点一：立方根的有关概念
例1 求下列各数的立方根：
（1）8； （2）2；（3）－5；（4）（－2）2.
解：8的立方根是＝2；
解： 2的立方根是；
解： 5的立方根是＝－；
解： （－2）2的立方根是＝.
（3）－5； （4）（－2）2.
1.下列等式成立的是（ C ）
A.＝±1 B.＝15
C.＝－5 D.＝－3
2.下列语句正确的是（ D ）
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
C
D
3.求下列各数的立方根：
（1）216； （2）－；
解：∵63＝216，
∴216的立方根是6；
解： ∵（－）3＝－，
∴－的立方根是－；
解： －4＝－＝（－）3，
∴－4的立方根是－.
（3）－4.
考点二：立方根的定义
例2 计算：－＝ （ ）
A.±4 B.4 C.－4 D.－8
解：－是－64的立方根的相反数，－64的立方根是－4，－4的相反数是4.故选B.
B
4.0.27的立方根是（ C ）
A.± B.0.3
C. D.±0.3
5.下列计算或命题中，正确的个数为（ B ）
①±4都是64的立方根；②＝x；
③的立方根是2；④＝±4.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
B
6.的平方根是 ±2 .
7.下列各数的立方根一定是负数的是（ C ）
A.－a B.－a2
C.－a2－1 D.－a2＋1
±2
C
考点三：立方根的应用
例3 解方程：（x－2）3＝27.
解：原方程可化为（x－2）3＝33，
∴x－2＝3，解得x＝5.
8.已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的平方根.
解：∵4的平方根是±2，
∴x－2＝4，∴x＝6，
∵27的立方根是3，
∴2x＋y＋7＝27，∴y＝8，
代入可得x2＋y2＝62＋82＝100，
∴x2＋y2的平方根为±10.
9.若一个正方体的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，则这个正方体的棱长是多少？
解：棱长为3厘米的正方体的体积为3×3×3＝27立方厘米，
它的8倍为27×8＝216立方厘米，
∵＝6，
∴这个正方体的棱长为6厘米.
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第4课时 实 数
第11章 数的开方
★无限不循环小数叫做 无理数 ，有理数和无理数统称为 实数 ，实数与数轴上的点 一一对应 .
★易错提示：
涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来计算.
无理数
实数
一一对应
考点一：实数的分类
例1 在下列实数：1.2，5，，π，，，0.3131131113…（相邻两个3之间1的个数依次增加1）中，无理数有几个？
解：无理数有：π，，0.3131131113…（相邻两个3之间1的个数依次增加1），共3个.（注意＝2，是一个有理数）
1.在下列实数：，3.1415926，（π－2）0，－3，，－，0中，无理数有（ A ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
考点二：实数的大小比较
例2 在下列实数：－1、0、0.5、－2中，最小的一个实数是 .
解：可以在数轴上标出这些数，然后越靠左的数越小，故最小的一个实数是－2，故答案为：－2.
－2
考点三：实数的相反数
例3 的相反数是 .
解：＝1.1，1.1的相反数是－1.1，故答案为：－1.1.
－1.1
考点四：算术平方根和绝对值
例4 若＋｜y－2｜＝0，试求x＋y的值.
解：由题意得x＋1＝0，y－2＝0，
即x＝－1，y＝2，
∴x＋y＝1.
2.计算的倒数是（ C ）
A.3 B.－2 C. D.－3
3.下列各组数中，互为相反数的是（ D ）
A.－3与 B.｜－3｜与－
C.｜－3｜与3 D.－3与
4.－｜－｜的相反数是（ B ）
A.－ B. C.－ D.
5.在－，－1，0，1－中最小的数是（ A ）
A.－ B.－1 C.0 D.1－
C
D
B
A
考点五：无理数大小的估算
例5 下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A. B. C. D.
解：由36＜43＜49，则两边取算术平方根得6＜＜7，故选B.
B
6.在数轴上与表示实数的点的距离最近的整数点所表示的数是（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.4
B
考点六：实数的运算
例6 计算：（－1）2023＋（－2）2×－＋｜3－π｜.
解：原式＝－1＋4×－3＋π－3
＝－1＋2－6＋π
＝π－5.
7.计算：
（1）（－3）2－＋；
解：原式＝9－－3＝.
（2）｜－｜＋＋2（－1）.
解：原式＝－＋2＋2－2
＝3－.
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第1课时 平方根（1）
第11章 数的开方
★如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 .
★一个正数a的平方根必有两个，它们互为 相反数 ，可以记作： ± ；0的平方根是 0 ，负数 没有平方根 .
★求一个非负数的平方根的运算，叫做 开平方 .
平方根
相反数
±
0
没有平方根
开平方
考点一：平方根的概念
例1 求下列各数的平方根：
（1）100；
解：∵102＝100，＝100，
∴100的平方根是±10；
（2）；
解：∵＝，＝，
∴的平方根是±；
（3）2；
解：∵＝＝2，＝＝2，
∴2的平方根是±；
（4）0.49.
解：∵0.72＝0.49，＝0.49，
∴0.49的平方根是±0.7.
1.下列各数没有平方根的是（ B ）
A.－（－2） B.（－3）3
C.（－1）2 D.11.1
2.±是 的平方根.
3.如果x的一个平方根是7.12，那么x的另一个平方根是 －7.12 .
B
－7.12
（1）16；
解：∵42＝16，（－4）2＝16，
∴16的平方根是±4；
解： ∵（）2＝，（－）2＝，
∴的平方根是±.
4.求下列各数的平方根：
（2）.
考点二：平方根的应用
例2 求下列各式中x的值：
（1）4x2＝121；
解：系数化为1，得x2＝，
开方，得x＝±，解得x1＝，x2＝－ .
解：开方，得x＋2＝±5，
∴x＝－2＋5或－2－5，解得x1＝3，x2＝－7.
（2）（x＋2）2＝25.
5.求下列各式中x的值：
（1）16x2－49＝0；
解：移项，得16x2＝49，
系数化为1，得x2＝，解得x1＝，x2＝－.
（2）24（x－1）2－6＝0.
解：移项，得24（x－1）2＝6，
∴（x－1）2＝，∴x－1＝±，
解得：x1＝，x2＝.
例3 一个正数x的平方根是2a－3与5－a，求a及x的值.
解：∵一个正数x的平方根是2a－3与5－a，
∴2a－3＋5－a＝0，
解得：a＝－2，
∴x＝（2a－3）2＝（－7）2＝49.
6.若m的平方根是5a＋1和a－19，则a的值是多少？
解：∵m的平方根是5a＋1和a－19，
∴5a＋1＋a－19＝0，解得a＝3.
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第5课时 复习巩固
第11章 数的开方
本章知识结构：
考点一：平方根和立方根的概念
例1 的平方根是 ， 的立方根是－5.
解：＝4，4的平方根是±2，－125的立方根是－5，故答案为：±2，－125.
±2
－125
1.若一个正数的平方根是和－，则这个正数是（ D ）
A.1 B.3 C.4 D.5
2.若的平方根是±3，则＝ 4 .
3.若实数x、y满足方程－＝0，则x与y之间的数量关系是 x＋y＝0 .
4.若x，y都是实数，且y＝＋＋8，求x＋3y的立方根.
解：由题意可得：，
∴x－3＝0，解得x＝3，∴y＝8，
∴x＋3y＝3＋3×8＝27，
∵27的立方根是3，
∴x＋2y的立方根为3.
D
4
x＋y＝0
5.已知4a＋7的立方根是3，2a＋2b＋2的算术平方根是4.
（1）求a，b的值；
解：∵4a＋7的立方根是3，2a＋2b＋2的算术平方根是4，
∴4a＋7＝27，2a＋2b＋2＝16，
∴a＝5，b＝2；
（2）求6a＋3b的平方根.
解：由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a＋3b＝6×5＋3×2＝36，
∴6a＋3b的平方根为±6.
6.已知正实数x的平方根是a和a＋b.
（1）当b＝6时，求a的值；
解：∵正实数x的平方根是a和a＋b，
∴a＋a＋b＝0，∵b＝6，∴a＝－3 .
（2）若a2x＋（a＋b）2x＝6，求x的值.
解：∵正实数x的平方根是a和a＋b，
∴（a＋b）2＝x，a2＝x，
∵a2x＋（a＋b）2x＝6，∴x2＋x2＝6，∴x2＝3，
∵x＞0，∴x＝.
考点二：算术平方根的非负性
例2 已知＋｜b＋4｜＋＝0，求的值.
解：∵3个非负数之和为0，
∴这3个非负数都为0，
即a－2＝0，b＋4＝0，c－9＝0，
∴a＝2，b＝－4，c＝9，
∴＝＝5.
7.已知实数a满足｜2023－a｜＋＝a，则a－20232＝ 2024 .
8.若｜x＋｜＋＝0，求（xy）2023的值.
解：由题意可得：x＋＝0，y－＝0，
解得x＝－，y＝，
∴（xy）2023＝（－×）2023＝－1.
2024
考点三：无理数的估算
例3 已知的整数部分为a，小数部分为b，试求2a＋b的值.
解：∵＜＜，即3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为－3，
∴a＝3，b＝－3，
∴2a＋b＝2×3＋－3＝3＋.
9.满足不等式－＜x＜的非正的整数x共有 3 个.
3
考点四：实数的概念
例4 把下列各数填在相应的括号内：
，－3，0，，0.3，，－1.732，，｜｜，－.
整数{ －3，0，，｜｜ }；
分数{ 0.3，，－1.732 }；
无理数{ ，，－ }.
－3，0，，｜｜
0.3，，－1.732
，，－
10.下列各数中无理数有（ A ）
3.141，－，，π，0.1010010001…（每个1之间0的个数依次增加1），0，4.2.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
考点五：实数的相反数、倒数、绝对值
例5 －2的相反数是 ，－2的绝对值是 .
解：－2的相反数是－（－2）＝2－，
∵＜2，∴－2＜0，
∴｜－2｜＝2－，故答案为：2－，2－.
2－
2－
11.＋的相反数是（ C ）
A.－ B.－＋
C.－－ D.＋
12.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则｜a｜－｜b｜可化简为（ C ）
A.a－b B.b－a
C.a＋b D.－a－b
C
C
13.已知｜a｜＝5，＝7，且｜a＋b｜＝a＋b，则a－b的值为（ D ）
A.2或12 B.2或－12
C.－2或12 D.－2或－12
14.若（2a＋3）2与互为相反数，则＝ .
D
考点六：平方根和立方根的运算
例6 解方程：2（x－1）2－1＝71.
解：原方程可化为2（x－1）2＝72，
∴（x－1）2＝36，
∴x－1＝±6，
∴x1＝7，x2＝－5.
15.计算：
（1）＋－；
解：原式＝0.5＋0.11－（－0.6）
＝1.21.
（2）－－；
解：原式＝－（－）－
＝＋－
＝.
（3）（－1）2023＋－＋｜－2｜.
解：原式＝－1＋2－4＋2－
＝－1－.
16.解方程：
（1）361（－x＋1）2＝16；
解：（－x＋1）2＝，
∴－x＋1＝±，
∴x1＝，x2＝.
（2）2（x－1）3＝－.
解：（x－1）3＝－，
∴x－1＝－，∴x＝－.
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第2课时 平方根（2）
第11章 数的开方
★如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 .其中正的平方根，叫做 算术平方根 ，记作： .
（1）具有双重非负性：≥0，a≥0；
（2）当a≥0时，＝a.
平方根
算术平方根
考点一：算术平方根的概念
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）225； （2）；
解：∵152＝225，
∴225的算术平方根为15；
解： ∵＝，
∴的算术平方根为；
（3）0.81； （4）（－4）2.
解：∵0.92＝0.81，
∴0.81的算术平方根为0.9；
解：∵（－4）2＝16＝42，
∴（－4）2的算术平方根为4.
1.16的算术平方根是（ C ）
A.8 B.－8 C.4 D.±4
2.计算的结果是（ C ）
A.9 B.－9 C.3 D.±3
3.的值为（ A ）
A. B.－ C.± D.
4.已知5是x＋8的算术平方根，则x＝ 17 .
C
C
A
17
（1）1.96； （2）；
解：＝1.4；
解： ＝.
（3）； （4）289.
解：＝；
解： ＝17.
5.求下列各式的算术平方根：
6.计算：
（1）－；
解：原式＝4－11＝－7.
（2）.
解：原式＝＝＝7.
考点二：算术平方根的非负性
例2 若a、b是实数，且＋｜a－2｜＝0，求（a＋b）2023的值.
【分析】由算术平方根和绝对值具有非负性，根据“若非负数的和为0，则每个数都为0”即可求解.
解：∵＋｜a－2｜＝0，
∴2b＋6＝0，a－2＝0，∴b＝－3，a＝2，
∴（a＋b）2023＝（－3＋2）2023＝－1.
7.若式子2x＋1有算术平方根，则x需要满足的条件是 x≥－ .
8.若＋＝0，则＝ －1 .
9.当x＝ －5 时，的值最小，最小值是 0 ；当x＝ 5 时，2－的值最大，最大值是 2 .
x≥－
－1
－5
0
5
2
解：∵被开方数是非负的，
∴x2－4≥0，4－x2≥0，
∴x2－4＝0，解得x＝2或－2，
当x＝－2时，分母为0，舍去，
∴x＝2，即y＝0，
∴2x＋y＝2×2＋0＝4.
10.若y＝，求2x＋y的值.
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