(共10张PPT)
第10课时 两数和乘以这两数的差
第12章 整式的乘除
★平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的 平方差 .
（a＋b）（a－b）＝a2－b2.
★易错提示：
公式中的a，b可以是两个数，也可以是两个代数式.
平方差
考点一：直接使用公式
例1 计算：
（1）（2x＋1）（2x－1）；
解：原式＝4x2－1.
（2）（2x＋y2）（2x－y2）；
解：原式＝4x2－y4.
（3）（－x＋2y）（－x－2y）.
解：原式＝x2－4y2.
1.下列式子运用平方差公式计算，错误的是（ C ）
A.（a＋b）（a－b）＝a2－b2
B.（x＋1）（x－1）＝x2－1
C.（2x＋1）（2x－1）＝2x2－1
D.（－a＋b）（－a－b）＝a2－b2
C
2.（ 1＋2x ）（1－2x）＝1－4x2.
3.（－3x＋6y2）（－6y2－3x）＝ 9x2－36y4 .
1＋2x
9x2－36y4
4.计算：
（1）（x－）（x＋）；
解：原式＝x2－.
（2）（－m＋n）（－m－n）；
解：原式＝m2－n2.
（3）（－0.1－x）（0.1－x）；
解：原式＝x2－0.01.
（4）（x2＋2y）（－2y＋x2）.
解：原式＝x4－4y2.
考点二：公式的运用
例2 计算：
（1）102×98；
解：原式＝（100＋2）（100－2）
＝1002－22
＝9996.
（2）（a－b）（a＋b）（a2＋b2）；
解：原式＝（a2－b2）（a2＋b2）＝a4－b4.
（3）（3a－b）（3a＋b）－（a2＋b2）.
解：原式＝9a2－b2－a2－b2＝8a2－2b2.
5.计算：＝（ D ）
A. B.1000 C.5000 D.500
D
6.计算下列各题：
（1）1003×997；
解：原式＝（1000＋3）（1000－3）
＝1000000－9
＝999991.
（2）（3a－b）（3a＋b）－（2a－b）（2a＋b）；
解：原式＝9a2－b2－4a2＋b2
＝5a2.
（3）（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）×（216＋1）－232.
解：原式＝（2－1）×（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）×（216＋1）－232
＝232－1－232
＝－1.
7.一个正方形操场，改建后变为长方形，长比原边长多了5米，宽比原边长少了5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了？相差多少平方米？
解：设原正方形的边长为x米，则原正方形的面积为x2平方米，
由题意得：现长方形的面积为（x＋5）（x－5）＝（x2－25）平方米，
∵x2－（x2－25）＝25平方米，
∴操场的面积比原来小了，小了25平方米.
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第13课时 专题乘法公式
第12章 整式的乘除
★平方差公式、完全平方公式.
★公式的应用.
考点一：公式的简单运用
例1 计算：
（1）（2a－3b）（－2a－3b）；
解：原式＝（－3b）2－（2a）2＝9b2－4a2.
（2）（x3＋2y2）（x3－2y2）；
解：原式＝（x3）2－（2y2）2＝x6－4y4.
（3）（－2t－1）2；
解：原式＝4t2＋4t＋1.
（4）.
解：原式＝x2＋xy＋y2.
1.计算：
（1）（x＋2）（x－2）；
解：原式＝x2－4.
（2）（－x＋3y）（－x－3y）；
解：原式＝x2－9y2.
（3）（－2x－5y）2；
解：原式＝4x2＋20xy＋25y2.
（4）.
解：原式＝m2－m＋.
考点二：利用公式简化计算
例2 简便计算：
（1）20232－2024×2022；
解：原式＝20232－（2023＋1）（2023－1）
＝20232－（20232－1）
＝1.
解：原式＝（300－2）2
＝3002－2×300×2＋22
＝90000－1200＋4
＝88804.
（2）2982.
2.计算：
（1）9×10；
解：原式＝
＝102－
＝99.
（2）100.32.
解：原式＝（100＋0.3）2
＝1002＋2×100×0.3＋0.32
＝10060.09.
考点三：公式的综合应用
例3 （1）计算：（a－2b＋3c）（a＋2b－3c）；
解：原式＝[a－（2b－3c）][a＋（2b－3c）]
＝a2－（2b－3c）2
＝a2－（4b2－12bc＋9c2）
＝a2－4b2＋12bc－9c2.
（2）已知（x＋y）2＝17，（x－y）2＝5，求x2＋5xy＋y2的值.
解：∵（x＋y）2＝17，（x－y）2＝5，
∴x2＋y2＋2xy＝17，x2＋y2－2xy＝5，
∴x2＋y2＝11，xy＝3，
∴x2＋5xy＋y2＝11＋5×3＝26.
3.计算：（x＋y）（x2＋y2）（x－y）（x4－y4）.
解：原式＝（x2－y2）（x2＋y2）（x4－y4）
＝（x4－y4）2
＝x8－2x4y4＋y8.
4.已知多项式P＝2a2－8ab＋17b2－16a－4b＋2091，则P的最小值是多少？
解：P＝a2－8ab＋16b2＋a2－16a＋64＋b2－4b＋4＋2023
＝（a－4b）2＋（a－8）2＋（b－2）2＋2023，
∴当a＝8，b＝2时，P取最小值，最小值为2023.
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第5课时 专题幂的运算
第12章 整式的乘除
★同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方.
★方法指导：
（1）整体思想的应用；
（2）法则的逆用.
考点一：法则的运用
例1 计算：
（1）x5·x3－＋x10÷x2；
解：原式＝x8－4x8＋x8＝－2x8 .
（2）[2（a－b）3]2＋[（a－b）2]3－[－（a－b）2].
解：原式＝4（a－b）6＋（a－b）6＋（a－b）2
＝5（a－b）6＋（a－b）2.
1.计算：
（1）（－2x2）3＋（－3x3）2＋（－x）6；
解：原式＝－8x6＋9x6＋x6
＝2x6.
（2）（－a2）3＋a2·a3＋a8÷（－a2）；
解：原式＝－a6＋a5－a6
＝－2a6＋a5.
（3）（x－y）2·（y－x）7·[－（x－y）3]；
解：原式＝（y－x）2·（y－x）7·（y－x）3
＝（y－x）12.
（4）（x－y）9÷（y－x）6÷（x－y）.
解：原式＝（x－y）9÷（x－y）6÷（x－y）
＝（x－y）2.
考点二：法则的逆用
例2 计算：×1.52022×（－1）2022.
解：原式＝××1＝.
例3 已知am＝2，an＝4，ak＝32（a≠0）.
（1）求a3m＋2n－k的值；
解：∵a3m＝23，a2n＝42＝24，ak＝32＝25，
∴a3m＋2n－k＝a3m·a2n÷ak＝23×24÷25＝23＋4－5＝22＝4 .
（2）求k－3m－n的值.
解：∵ak－3m－n＝25÷23÷22＝20＝1＝a0，
∴k－3m－n＝0.
2.已知an＝2，am＋2n＝12.
（1）求am的值；
解：∵an＝2，am＋2n＝12，∴am＋2n＝am·＝4am＝12，解得：am＝3.
（2）求a2m－3n的值.
解：a2m－3n＝÷，由（1）得am＝3，∴原式＝32÷22＝.
3.已知xn＝5，yn＝3，求的值.
解：＝x2ny3n＝
＝52×33＝675.
考点三：其它应用
例4 已知22x－1－22x－3＝96，求x的值.
解：∵22x－1－22x－3＝96，
∴22·22x－3－22x－3＝96，
∴3×22x－3＝96，即22x－3＝32＝25，
∴2x－3＝5，解得x＝4.
4.比较大小：4333 ＜ 3444.
5.已知22·22m－1·23－m＝128，求m的值.
解：∵22·22m－1·23－m＝128＝27，
∴2＋2m－1＋3－m＝7，解得m＝3.
＜
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第12课时 两数和（差）的平方（2）
第12章 整式的乘除
★完全平方公式：两数和（差）的平方，等于这两数的 平方和 加上（减去）它们的 积的2倍 .
（a±b）2＝a2±2ab＋b2.
★常用的重要变形：
a2＋b2＝（a±b）2 2ab；
ab＝[（a＋b）2－（a2＋b2）]；
4ab＝（a＋b）2－（a－b）2.
平方和
积的2倍
考点一：利用完全平方公式简便计算
例1 计算：
（1）1012； （2）452＋552－90×55.
解：原式＝（100＋1）2
＝1002＋2×100×1＋12
＝10201.
解：原式＝452－2×45×55＋552
＝（45－55）2
＝100.
1.计算：
（1）100.22；
解：原式＝（100＋0.2）2
＝1002＋2×100×0.2＋0.22
＝10040.04.
（2）232＋46×77＋772.
解：原式＝232＋2×23×77＋772
＝（23＋77）2
＝10000.
考点二：利用公式计算
例2 计算：
（1）（2a＋b＋1）（2a＋b－1）；
解：原式＝[（2a＋b）＋1][（2a＋b）－1]
＝（2a＋b）2－12
＝4a2＋4ab＋b2－1；
（2）（a－）2（a＋）2（a2＋）2；
解：原式＝[（a－）（a＋）（a2＋）]2
＝（a4－）2
＝a8－a4＋
（3）（a＋2b－c）2.
解：原式＝（a＋2b）2－2c（a＋2b）＋c2
＝a2＋4ab＋4b2－2ac－4bc＋c2.
2.计算：
（1）（x－3）2（x＋3）2；
解：原式＝（x2－9）2
＝x4－18x2＋81.
（2）（x＋2y－z）（x－2y－z）；
解：原式＝[（x－z）＋2y][（x－z）－2y]
＝（x－z）2－4y2＝x2－2xz＋z2－4y2.
（3）（a－2b＋3c）2.
解：原式＝（a－2b）2＋2（a－2b）·3c＋（3c）2
＝a2－4ab＋4b2＋6ac－12bc＋9c2.
考点三：配方法
例3 已知a＋b＝5，ab＝4.
（1）求a2＋b2的值；
解：∵a＋b＝5，ab＝4，
∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝17.
（2）若a＞b，求a－b的值.
解：∵（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝9，且a＞b，
∴a－b＝3.
例4 已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－4的值.
解：由题意得（a2＋4a＋4）＋（b2－2b＋1）＝0，
即（a＋2）2＋（b－1）2＝0，
∴a＝－2，b＝1，
∴3a2＋5b2－4＝3×（－2）2＋5×12－4＝13.
3.若a2＋b2＝2，a＋b＝1，则ab＝（ B ）
A.－1 B.－ C.－ D.3
4.已知x－＝3，求代数式x2＋的值.
解：∵x－＝3，∴（x－）2＝9，
∴x2－2＋＝9，∴x2＋＝11.
B
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第18课时 因式分解（3）
第12章 整式的乘除
★把形如a2±2ab＋b2的式子称为完全平方式.他们分解因式为：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2.
★方法指导：
分解因式时，要综合运用所学方法，常用的分析思路是：先考虑提取公因式法，然后考虑用公式.
考点一：利用完全平方公式分解因式
例1 （1）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A.x2＋1 B.x2＋2x－1 C.x2＋x＋1 D.x2＋4x＋4
【分析】由完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2得，A、B、C都不能用完全平方公式进行因式分解，只有D.x2＋4x＋4＝（x＋2）2，故选D.
（2）把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是 （ ）
A.y（x2－2xy＋y2） B.x2y－y2（2x－y）
C.y（x－y）2 D.y（x＋y）2
解：原式＝y（x2－2yx＋y2）＝y（x－y）2，故选C.
D
C
例2 把下列各式分解因式：
（1）x2－10x＋25；
【分析】直接利用完全平方公式分解.
解：原式＝（x－5）2.
（2）－3x3－12x2－12x；
【分析】先提出公因式－3x，再利用完全平方公式分解.
解：原式＝－3x（x2＋4x＋4）＝－3x（x＋2）2.
（3）（x－3y）2－2（x－3y）＋1.
【分析】将x－3y看成一个整体，利用完全平方公式分解.
解：原式＝（x－3y－1）2.
1.下列因式分解正确的是（ D ）
A.x3－x＝x（x2－1） B.x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2
C.x2－y2＝（x－y）2 D.x2＋2x＋1＝（x＋1）2
D
2.把a3－2a2＋a分解因式的结果是（ D ）
A.a2（a－2）＋a B.a（a2－2a）
C.a（a＋1）（a－1） D.a（a－1）2
3.分解因式：
（1）ab2－4ab＋4a＝ a（b－2）2 ；
（2）3x2y＋12xy2＋12y3＝ 3y（x＋2y）2 .
D
a（b－2）2
3y（x＋2y）2
4.把下列各式分解因式：
（1）n2－14n＋49；
解：原式＝（n－7）2.
（2）－x2－16y2＋8xy；
解：原式＝－（x－4y）2.
（3）（x＋y）2－4（x＋y）＋4；
解：原式＝（x＋y－2）2.
（4）x4－2x2y2＋y4.
解：原式＝
＝（x－y）2（x＋y）2.
考点二：配方法
例3 已知a＋b＝5，ab＝－2，求4a2＋4b2＋4a2b2＋8ab的值.
解：∵a＋b＝5，ab＝－2，
∴原式＝4（a2＋2ab＋b2）＋4a2b2
＝4（a＋b）2＋4（ab）2
＝4×52＋4×（－2）2
＝116.
5.已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求x2－6xy＋9y2的值.
解：由题意得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＝0，
即（x－2）2＋（y＋3）2＝0，
∴x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，
∴x2－6xy＋9y2＝（x－3y）2＝112＝121.
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第20课时 复习巩固
第12章 整式的乘除
本章知识结构：
例1 计算：
（1）a3·a2·a4＋（－a）2
解：原式＝a9＋a2 .
（2）（x2－2xy＋x）÷x
解：原式＝x－2y＋1 .
（3）（－2y）2－（3x2）2
解：原式＝4y2－9x4.
考点一：整式乘除公式法则的直接运用
1.下列计算正确的是（ C ）
A.a－（b－c＋d）＝a＋b＋c－d
B.3x－2x＝1
C.－x·x2·x4＝－x7
D.（－a2）2＝－a4
C
2.已知a2＋a－3＝0，那么a2（a＋4）的值为（ C ）
A.－18 B.－12
C.9 D.以上答案都不对
3.如果a2n－1an＋5＝a16，那么n的值为（ B ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4.计算（－4a2＋12a3b）÷（－4a2）的结果是（ A ）
A.1－3ab B.－3ab
C.1＋3ab D.－1－3ab
5.若等式x2＋ax＋19＝（x－5）2－b成立，则a＋b的值为（ D ）
A.16 B.－16 C.4 D.－4
C
B
A
D
考点二：因式分解
例2 把下列多项式因式分解：
（1）x（x2－1）；
解：原式＝x（x＋1）（x－1）；
（2）（x－2）2－2（x－2）；
解：原式＝（x－2）（x－4）；
（3）x3－4x2＋4x.
解：原式＝x（x2－4x＋4）＝x（x－2）2.
6.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ D ）
A.2x（x＋3）＝2x2＋6x
B.24xy2＝3x·8y2
C.x2＋2xy＋y2＋1＝（x＋y）2＋1
D.x2－y2＝（x＋y）（x－y）
D
7.如果多项式y2－4my＋4是完全平方式，那么m的值为（ C ）
A.1 B.－1 C.±1 D.±2
8.由如图1所示的面积关系，可以得到的恒等式是（ B ）
A.m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc
B.（a＋b）（a－b）＝a2－b2
C.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
D.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
图1
C
B
9.已知xy＝－3，x＋y＝2，则代数式x2y＋xy2的值为（ A ）
A.－6 B.6 C.－5 D.－1
10.如图2，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b－ab2的值为（ B ）
图2
A.60 B.50 C.25 D.15
11.把式子a2－16分解因式，得到的结果为 （a＋4）（a－4） .
A
B
（a＋4）（a－4）
考点三：整式乘法与因式分解的综合运用
例3 已知a＋b＝，a－b＝.求：
（1）ab的值；
解：∵a＋b＝，a－b＝，
∴（a＋b）2－（a－b）2＝4ab＝2，
∴ab＝；
（2）a2＋b2的值.
解：a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝6.
例4 已知x2－5x＝14，求（x－1）（2x－1）－（x＋1）2＋1的值.
解：原式＝2x2－x－2x＋1－x2－2x－1＋1
＝x2－5x＋1，
∵x2－5x＝14，
∴原式＝14＋1＝15.
12.计算：0.6a2b·a2b2－（－10a）·a3b3＝ a4b3 .
13.如果（nx＋1）（x2＋x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n＝ －1 .
14.若2024m＝6，2024n＝4，则20242m－n＝ 9 .
15.已知m2－n2＝16，m＋n＝6，则m－n＝ .
16.已知4×2a×2a＋1＝29，且2a＋b＝8，则ab＝ 9 .
17.已知a－b＝，b－c＝1，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝ 3＋ .
a4b3
－1
9
9
3＋
解：∵M＝（x－3）（x－5）＝x2－8x＋15，
N＝（x－2）（x－6）＝x2－8x＋12，
∴M－N＝3＞0，
∴M＞N.
18.若M＝（x－3）（x－5），N＝（x－2）（x－6），试比较M，N的大小.
19.先化简，再求值：（12x3y2＋x2y－x2y3）÷（－2x2y）－[2（x－y）]2，其中x＝－，y＝3.
解：原式＝－6xy－＋y2－4x2＋8xy－4y2
＝2xy－4x2－y2－，
∵x＝－，y＝3，
∴原式＝2××3－4×－×32－
＝－36.
20.（1）已知a＝，mn＝2，求a2·（am）n的值；
解：原式＝a2·amn＝a2＋mn，
∵a＝，mn＝2，
∴原式＝（）4＝.
（2）若2n·4n＝64，求n的值.
解：∵2n·4n＝2n·22n＝23n＝64＝26，
∴3n＝6，
∴n＝2.
21.如图3，某市有一块长为（2a＋b）米，宽为（a＋b）米的长方形空地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，雕像底座是边长为a米的正方形.
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积；
解：（2a＋b）（a＋b）－a2＝2a2＋3ab＋b2－a2
＝（a2＋3ab＋b2）平方米，
∴绿化的面积为（a2＋3ab＋b2）平方米；
图3
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化的面积.
解：当a＝3，b＝2时，
绿化的面积为9＋3×2×3＋4＝31平方米.
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第14课时 单项式除以单项式
第12章 整式的乘除
★单项式相除，把 系数、同底数幂分别相除 作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
★易错提示：
两个单项式相除时，要先确定商的符号.
系数、同底数幂分别相除
考点一：法则的简单运用
例1 计算：
（1）8a2b2÷4ab；
解：原式＝2a2－1b2－1＝2ab.
（2）（－6a4b2c）÷3a3b；
解：原式＝－2a4－3b2－1c＝－2abc.
（3）6×106÷（－3×103）；
解：原式＝－2×106－3＝－2×103.
（4）12a3b÷（－3a2b）.
解：原式＝－4a3－2b1－1＝－4a.
1.计算（－3b3）2÷b2的结果是（ D ）
A.－9b4 B.6b4 C.9b3 D.9b4
2.计算（a2）4÷a5÷a的结果为（ D ）
A.a5 B.a4 C.a3 D.a2
3.下列各式计算正确的是（ B ）
A.6x6÷2x2＝3x2 B.8x8÷4x2＝2x6
C.a3÷a3＝0 D.a5b÷a5b＝1
4.计算6x2ny÷3xny的结果为（ A ）
A.2xn B.2x2y C.3xn D.3x2
D
D
B
A
5.计算：－x2y2÷＝ x .
6.计算：3an＋1÷2an＝ a .
7.计算：
（1）15a3b÷（－5a2b）；
解：原式＝－3a.
（2）－40a3b2÷（2a）3；
解：原式＝－40a3b2÷8a3＝－5b2.
（3）－20a7b4c÷（2a3b）2.
解：原式＝－20a7b4c÷4a6b2＝－5ab2c.
x
a
考点二：法则的综合运用
例2 计算：
（1）－40a3b2÷（2a）2；
解：原式＝－40a3b2÷4a2
＝－10ab2.
（2）x4y3z2÷0.375x3y·y；
解：原式＝xy2z2·y＝xy3z2.
（3）20x14y4÷（2x3y）2÷5xy2.
解：原式＝20x14y4÷4x6y2÷5xy2＝x7.
例3 若（xm÷x2n）3÷x2m－n与2x3是同类项，且m＋5n＝13，求m2－25n的值.
解：（xm÷x2n）3÷x2m－n
＝（xm－2n）3÷x2m－n
＝x3m－6n÷x2m－n
＝xm－5n，
∵它与2x3为同类项，∴m－5n＝3，
∵m＋5n＝13，∴m＝8，n＝1，
∴m2－25n＝82－25×1＝39.
8.已知（a3b6）÷（a2b2）＝3，则a2b8的值为 9 .
9.计算：
（1）（－20x3y5z）÷（－10x2y）＋3xy4z；
解：原式＝2xy4z＋3xy4z
＝5xy4z.
（2）（－6x4y7）÷（－2xy2）÷（－3x2y4）.
解：原式＝－x4－1－2y7－2－4
＝－xy.
9
10.若n为正整数，且a2n＝3，计算（3a3n）2÷27a4n的值.
解：（3a3n）2÷27a4n
＝9a6n÷27a4n
＝a2n
＝1.
11.三峡一期工程结束后当年的发电量为5.5×109度，某市有10万户居民，若平均每户每年用电2.75×103度，则三峡工程该年所发的电能供该市居民使用多少年？
解：5.5×109÷（2.75×103）÷105
＝2×106÷105
＝20年，
答：能供该市居民使用20年.
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第6课时 单项式与单项式相乘
第12章 整式的乘除
★单项式与单项式相乘，只要将它们的 系数 、 相同字母的幂 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.
★易错提示：
单项式与单项式相乘时，要注意符号的确定.
系数
相同字母的幂
考点一：法则的直接运用
例1 计算：
（1）2x2y·（－4xy3z）；
解：原式＝－8x3y4z.
（2）5a2·（3a3）2；
解：原式＝5a2·9a6＝45a8.
（3）（－x2y）3·3xy2·（2xy2）2.
解：原式＝－x6y3·3xy2·4x2y4
＝－12x9y9.
1.计算2x2·（－3x3）的结果是（ C ）
A.－6x6 B.6x6 C.－6x5 D.6x5
2.一个直角三角形的两直角边的长分别是2a和3a，则此三角形的面积是 3a2 .
3.若□·2xy＝16x3y2，则□内应填的单项式是（ D ）
A.4x2y B.8x3y2 C.4x2y2 D.8x2y
C
3a2
D
4.化简－3x3·2x5的结果是（ A ）
A.－6x8 B.－3x5 C.2x5 D.6x8
5.下列各式计算正确的是（ A ）
A.2a＋a＝3a B.2a－a＝1
C.2a·a＝3a2 D.2a÷a＝a
A
A
6.计算：
（1）3a2·2a3；
解：原式＝6a5.
（2）（－9a2b3）·8ab2；
解：原式＝－72a3b5.
（3）（－2x）2·（－3x2）；
解：原式＝4x2·（－3x2）
＝－12x4.
（4）（3×108）×（12×104）.
解：原式＝3×12×108×104
＝3.6×1013.
考点二：法则的灵活运用
例2 先化简，再求值：2x2y·（－2xy2）3＋（2xy）3·（－xy2）2，其中x＝4，y＝.
解：原式＝－2x2y·8x3y6＋8x3y3·x2y4
＝－16x5y7＋8x5y7
＝－8x5y7，
∵x＝4，y＝，
∴原式＝－8×45×（）7＝－.
7.已知有理数x，y满足｜2x＋4｜＋（3y－3）2＝0.
（1）求x，y的值；
解：由题意可得：，解得 .
（2）求（－2xy）2·（－y2）·6xy2的值.
解：原式＝4x2y2·（－y2）·6xy2＝－24x3y6，
∵x＝－2，y＝1，
∴原式＝－24×（－2）3×16＝192.
8.已知－23m＋1与4xn－6y－3－m的积与－x4y是同类项，求m，n的值.
解：∵－23m＋1与4xn－6y－3－m的积与－x4y是同类项，
∴4xn－6y－3－m与x4y是同类项，
∴n－6＝4，－3－m＝1，
∴n＝10，m＝－4.
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第15课时 多项式除以单项式
第12章 整式的乘除
★多项式除以单项式，先用这个 多项式的每一项 除以这个单项式，再把所得的商 相加 .
★易错提示：
注意不要漏除某一项，被除式有多少项，商就有多少项.
多项式的每一项
相加
考点一：法则的直接运用
例1 计算：
（1）（2a3b2－10a4c）÷2a3；
解：原式＝b2－5ac.
（2）（x4y3＋x3yz）÷x3y；
解：原式＝xy2＋z.
（3）（x17y＋x14z）÷（－x7）2；
解：原式＝x3y＋z.
（4）（612b2－612ac）÷[（－6）3]4；
解：原式＝b2－ac.
（5）（6an＋1－9an＋1＋3an－1）÷3an－1.
解：原式＝（－3an＋1＋3an－1）÷3an－1＝－a2＋1.
1.（1）计算：（8x6y＋8x3z）÷（2x）3＝（ C ）
A.x6y＋x14z B.－x6y＋x3yz
C.x3y＋z D.x6y＋x3yz
（2）计算：（4x2y4＋4x2z）÷（2x）2＝（ D ）
A.4y4＋z B.－y4＋z
C.y4＋x2z D.y4＋z
（3）计算：（x7y4＋x7z）÷x7＝（ A ）
A.y4＋z B.－4x2y4＋xz
C.x2y4＋x2z D.x2y4＋z
C
D
A
2.下列等式成立的是（ D ）
A.（3a2＋a）÷a＝3a
B.（2ax2＋a2x）÷4ax＝2x＋4a
C.（15a2－10a）÷（－5）＝3a＋2
D.（a3＋a2）÷a＝a2＋a
D
3.下列计算错误的是（ A ）
A.2m＋3n＝5mn B.a6÷a2＝a4
C.（x2）3＝x6 D.a·a2＝a3
4.计算：
（1）（x3y2＋x2z）÷x2＝ xy2＋z ；
（2）（－5a4c－5ab2c）÷（－5ac）＝ a3＋b2 ；
（3）（－6a3－6a2c）÷（－2a2）＝ 3a＋3c .
A
xy2＋z
a3＋b2
3a＋3c
5.计算：
（1）（3a3b2＋3a2b3－3a2b2）÷3ab；
解：原式＝a2b＋ab2－ab.
（2）（x4＋2x3－x2）÷；
解：原式＝（x4＋2x3－x2）÷x2
＝4x2＋8x－2.
（3）[（x－2y）2＋（x－2y）（x＋2y）]÷2x.
解：原式＝（x2－4xy＋4y2＋x2－4y2）÷2x
＝（2x2－4xy）÷2x
＝x－2y.
考点二：运用法则解决问题
例2 七年级二班教室后墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为6a2－9ab＋3a，其中一边长为3a，则这个“学习园地”的另一边长为多少？
解：由题意得（6a2－9ab＋3a）÷3a＝2a－3b＋1，
∴这个“学习园地”的另一边长为2a－3b＋1.
6.先化简，再求值：（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·3x，其中x＝.
解：原式＝－3x3＋2x2－3x2＋3x3
＝－x2，
∵x＝，
∴原式＝－＝－.
7.已知被除式为x3－3x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是多少？
解：由题意得：[x3－3x2－1－（－1）]÷x
＝（x3－3x2）÷x
＝x2－3x，
∴除式是x2－3x.
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第9课时 专题整式的乘除
第12章 整式的乘除
★单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.
★整式乘法的应用.
考点一：整式的乘法
例1 计算：
（1）＋（－mn）；
解：原式＝4m4n2＋m4n2＝m4n2 .
（2）（－2x）3（2x3－x－1）－2x（2x3＋4x2）；
解：原式＝－8x3（2x3－x－1）－（4x4＋8x3）
＝－16x6＋4x4＋8x3－4x4－8x3
＝－16x6 .
（3）（x＋3）（x－7）－x（x－1）.
解：原式＝x2－7x＋3x－21－x2＋x
＝－3x－21.
1.计算：
（1）（－2x2）（4xy3－y2）＋（2xy）3；
解：原式＝－8x3y3＋2x2y2＋8x3y3
＝2x2y2.
（2）（－2xy）2·3xy2－3x（4x2y4－xy2）；
解：原式＝4x2y2·3xy2－12x3y4＋3x2y2
＝12x3y4－12x3y4＋3x2y2
＝3x2y2.
（3）（a＋2）（a－3）－（a－1）（a－4）.
解：原式＝a2－a－6－a2＋5a－4
＝4a－10.
考点二：法则的应用
例2 （1）在（x2＋ax＋b）（2x3－3x－1）的展开结果中，含x3的项的系数为－5，含x2的项的系数为－6，求a，b的值；
解：（x2＋ax＋b）（2x3－3x－1）
＝2x5－3x3－x2＋2ax4－3ax2－ax＋2bx3－3bx－b
＝2x5＋2ax4＋（2b－3）x3－（1＋3a）x2－（a＋3b）x－b，
由题意得：2b－3＝－5，1＋3a＝6，
解得：a＝，b＝－1.
（2）解不等式：（x－5）（6x＋7）＜（2x＋1）（3x－1）－2.
解：不等式整理得：6x2＋7x－30x－35＜6x2－2x＋3x－1－2，
移项合并得：－24x＜32，
解得：x＞－.
2.解方程：（2x＋1）（x－3）＝（x－2）（2x－5）.
解：整理得：2x2－6x＋x－3＝2x2－5x－4x＋10，
移项合并得：4x＝13，
解得：x＝.
3.解不等式：2x（3x－5）－（2x－3）（3x＋4）≤3（x＋4）.
解：不等式整理得6x2－10x－（6x2－x－12）≤3x＋12，
移项合并得－12x≤0，
解得：x≥0.
4.一块长方形硬纸片，长为5a2＋4b2，宽为6a4，在它的四个角上分别剪去一个边长为a3的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积.
解：纸片的面积为（5a2＋4b2）6a4＝30a6＋24a4b2，
小正方形的面积为＝a6，
∴无盖盒子的表面积为30a6＋24a4b2－4×a6＝21a6＋24a4b2.
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第11课时 两数和（差）的平方（1）
第12章 整式的乘除
★完全平方公式：两数和（差）的平方，等于这两数的 平方和 加上（减去）它们的 积的2倍 .
（a±b）2＝a2±2ab＋b2.
★易错提示：
公式中的a，b可以是一个数，也可以是一个代数式.
★方法指导：
（1）完全平方公式可以简记为口诀：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”；
（2）在公式运用中，特别要注意符号问题.
平方和
积的2倍
考点一：完全平方公式的几何背景
例1 如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是 （ ）
A.（a＋b）（a－b）＝a2－b2
B.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
D.（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq
解：由图中大正方形面积的两种表达方式得（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.故选B.
B
1.某班同学学习整式的乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b.在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形.如图所示，由左至右，利用面积的不同表示方法得出的代数恒等式是（ B ）
A.a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
B.4ab＝（a＋b）2－（a－b）2
C.a2－2ab＋b2＝（a－b）2
D.（a＋b）（a－b）＝a2－b2
B
考点二：完全平方公式的直接运用
例2 计算：
（1）（2x－y）2；
解：原式＝4x2－4xy＋y2.
（2）（－3x＋2y）2；
解：原式＝9x2－12xy＋4y2.
（3）（c－a2b2）2；
解：原式＝c2－2a2b2c＋a4b4.
（4）[（2m＋n）（2m－n）]2；
解：原式＝
＝16m4－8m2n2＋n4.
（5）（x－y）2－（y＋2x）（y－2x）.
解：原式＝x2－2xy＋y2－（y2－4x2）
＝5x2－2xy.
2.下列运算正确的是（ B ）
A.a3＋a2＝2a5
B.（－2a3）2＝4a6
C.（a＋b）2＝a2＋b2
D.a6÷a2＝a3
B
3.计算：
（1）（x＋y）2； （2）（2a＋3b）2；
解：原式＝x2＋2xy＋y2.
解：原式＝4a2＋12ab＋9b2.
（3）； （4）（a－1）2；
解：原式＝m2＋4m＋16.
解：原式＝a2－2a＋1.
（5）； （6）；
解：原式＝x2＋x＋.
解：原式＝－2b＋9b2.
（7）（3a－b）（3a＋b）－（2a－b）2；
解：原式＝9a2－b2－4a2＋4ab－b2
＝5a2＋4ab－2b2.
（8）2（m＋1）2－（2m＋1）（2m－1）.
解：原式＝2（m2＋2m＋1）－（4m2－1）
＝2m2＋4m＋2－4m2＋1
＝－2m2＋4m＋3.
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第3课时 积的乘方
第12章 整式的乘除
★积的乘方，把积的每一个因式 分别乘方 ，再把所得的幂 相乘 .
（ab）n＝anbn（n为正整数）.
★积的乘方公式的逆用：
anbn＝（ab）n，这个公式可以简化计算.
分别乘方
相乘
考点一：法则的直接运用
例1 计算：
（1）（2a）3； （2）（－5x）2；
（3）（－2x2y）3； （4）（－3×102）3.
解：原式＝23a3＝8a3 .
解：原式＝（－5）2x2＝25x2 .
解：原式＝－8x6y3 .
解：原式＝－27×106＝－2.7×107.
1.计算（x3）2的结果是（ B ）
A.x5 B.x6 C.x8 D.x9
2.下列各式计算正确的是（ C ）
A.x3·y3＝
B.（－2x2）·（－3x3）＝6x6
C.x2＋x2＝2x2
D.（a－1）2＝a2－12
B
C
3.计算：＝（ A ）
A.a2b6 B.a2b3 C.a2b12 D.ab6
4.下列各式计算错误的是（ C ）
A.a2·a＝a3 B.（ab）2＝a2b2
C.（a2）3＝a5 D.－a＋2a＝a
5.计算（－3a2）2的结果是（ C ）
A.3a4 B.－3a4 C.9a4 D.－9a4
6.计算：
（1）（a2b）5＝ a10b5 ；
（2）（－2pq）3＝ －8p3q3 ；
（3）（－anbn＋1）4＝ a4nb4n＋4 .
A
C
C
a10b5
－8p3q3
a4nb4n＋4
7.计算：
（1）（－2xy3）4； （2）（－5ab）3；
解：原式＝16x4y12 .
解：原式＝（－5）3a3b3
＝－125a3b3.
（3）－（3x2y）2.
解：原式＝－32x4y2
＝－9x4y2.
考点二：法则的运用
例2 计算：
（1）－x2·x4－；
解：原式＝9x6－x6－x6＝7x6 .
（2）a·a5＋（2a3）2＋（－2a2）3.
解：原式＝a6＋4a6－8a6＝－3a6.
8.计算：
（1）－a·（－ab）3；
解：原式＝－a·（－a3b3）
＝a4b3 .
解：原式＝x4y2－x4y2
＝0.
（2）x2·x2y2－（x2y）2.
考点三：法则的逆用
例3 （1）若x3＝8a3b6，求x的值；
解：∵x3＝8a3b6＝（2ab2）3，
∴x＝2ab2 .
（2）计算：（－0.25）11×411.
解：原式＝（－0.25×4）11＝（－1）11＝－1.
9.（1）若x3m＝2，则x9m＝ 8 ；
（2）若a2n＝3，则（2a3n）2＝ 108 .
10.计算：（1）82×（0.125）2＝ 1 ；
（2）（23）2×（52）3＝ 1000000 .
8
108
1
1000000
11.计算：（－1）2024××（－1.2）2024.
解：原式＝1×××
＝×
＝.
12.已知x2n＝5，求（3x3n）2－4（x2）2n的值.
解：（3x3n）2－4（x2）2n
＝9（x2n）3－4（x2n）2
＝9×53－4×52
＝1025.
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第4课时 同底数幂的除法
第12章 整式的乘除
★同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 .
am÷an＝am－n（m，n为正整数，a≠0）.
★易错提示：
（1）公式逆用时，指数相减应变形为两个幂相除，am－n＝am÷an；
（2）注意底数不能为0的前提条件.
不变
相减
考点一：公式的直接运用
例1 计算：
（1）x5÷x2；
解：原式＝x3 .
（2）（－2）4÷（－2）3；
解：原式＝－2 .
（3）x3m＋1÷xm；
解：原式＝x2m＋1 .
（4）（2a＋b）m－4÷（2a＋b）3.
解：原式＝（2a＋b）m－4－3＝（2a＋b）m－7.
1.计算：xn＋1÷xn＝（ C ）
A.x2n B.x2n＋1 C.x D.xn
2.计算：a6÷a＝（ C ）
A.a B.aa C.a5 D.a3
3.下列各式计算正确的是（ D ）
A.b6÷b5＝2b5 B.b5＋b5＝b10
C.x15÷x5＝x25 D.y10÷y5＝y5
4.计算：（x＋y）5÷（x＋y）3＝（ A ）
A.（x＋y）2 B.2（x＋y）
C.7（x＋y）2 D.（x＋y）
C
C
D
A
5.计算：（2a）3÷（2a）m＝（ C ）
A.3（2a）m－4 B.（2a）m－1
C.（2a）3－m D.（2a）m＋1
6.计算a3÷a2的结果是（ C ）
A.a5 B.a－1 C.a D.a2
7.计算2x3÷x2的结果是（ B ）
A.x B.2x C.2x5 D.2x6
8.下列各式计算正确的是（ D ）
A.3x2÷x＝2x B.（x2）3＝x5
C.x3·x4＝x12 D.2x2＋3x2＝5x2
C
C
B
D
9.（1）若8×4＝2x÷22，则x＝ 7 ；
（2）若27×9×3＝3x÷32，则x＝ 8 ；
（3）若y10÷y3÷y2÷y＝yx（y≠1），则x＝ 4 ；
（4）若ab＝a8÷a÷a4（a≠±1），则b＝ 3 .
10.计算：
（1）（－2m2）3＋m7÷m；
解：原式＝－8m6＋m6＝－7m6.
（2）x3（2x3）2÷（x4）2；
解：原式＝4x9÷x8＝4x.
（3）an·an＋5÷a7－n.（n是整数）
解：原式＝a2n＋5÷a7－n＝a3n－2.
7
8
4
3
考点二：公式的变形和逆用
例2 （1）若8＝2x÷2，则x的值为多少？
解：∵8＝23，2x÷2＝2x－1，
∴x－1＝3，∴x＝4.
（2）若xm＝10，xn＝5，则xm－n的值为多少？
解：∵xm＝10，xn＝5，
∴xm－n＝xm÷xn＝10÷5＝2.
11.x5－n（x≠0）可以写成（ A ）
A.x5÷xn B.x5＋xn
C.x＋xn D.5xn
12.（1）若an－2÷a3＝a6，则n的值为多少？
解：∵an－2÷a3＝an－2－3＝a6，
∴n－2－3＝6，∴n＝11.
（2）若32÷8n－1＝2n，则n的值为多少？
解：∵原式＝25÷（23）n－1＝25－（3n－3）＝28－3n，
∴8－3n＝n，∴n＝2.
A
13.（1）若xm＝2，xn＝4，求x2n－3m的值；
解：x2n－3m＝x2n÷x3m
＝（xn）2÷（xm）3
＝16÷8＝2.
（2）已知2m＝3，2n＝5，求22m－n＋3的值.
解：22m－n＋3＝22m÷2n·23
＝（2m）2÷2n·23
＝32÷5×8＝.
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第19课时 专题十字相乘法
第12章 整式的乘除
★因为（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，所以对于二次项系数为1的二次三项式x2＋px＋q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和为p，即若有a，b两数满足ab＝q，a＋b＝p，则有 x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b），它的特征是“拆常数项，凑一次项”.
★对于二次项系数不是1的二次三项式a1a2x2＋（a1c2＋a2c1）x＋c1c2＝（a1x＋c1）（a2x＋c2），它的特征是“拆两头，凑中间”.
考点一：二次项系数为1的十字相乘法分解因式
例1 分解因式：x2＋5x＋6.
【分析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5，
由于6＝2×3＝（－2）×（－3）＝1×6＝（－1）×（－6），
从中可以发现只有2×3的分解适合，即2＋3＝5.
解：x2＋5x＋6 ＝（x＋2）（x＋3）.
1.分解因式：
（1）x2＋5x＋6＝ （x＋2）（x＋3） ；
（2）x2－5x＋6＝ （x－2）（x－3） ；
（3）x2＋5x－6＝ （x＋6）（x－1） ；
（4）x2－5x－6＝ （x－6）（x＋1） .
（x＋2）（x＋3）
（x－2）（x－3）
（x＋6）（x－1）
（x－6）（x＋1）
2.把下列各式分解因式：
（1）x2－7x＋6；
解：原式＝（x－6）（x－1）.
（2）x2－2xy－3y2；
解：原式＝（x－3y）（x＋y）.
（3）x3－5x2－24x；
解：原式＝x（x－8）（x＋3）.
（4）＋（x2－x）－6.
解：原式＝（x2－x＋3）（x2－x－2）
＝（x2－x＋3）（x＋1）（x－2）.
考点二：二次项系数不为1的十字相乘法分解因式
例2 分解因式：3x2－11x＋10.
【分析】将3分成两个数相乘，10分成两个数相乘，且这四个数交叉乘积的和要等－11.由于3＝1×3，10＝（－2）×（－5），且1×（－5）＋3×（－2）＝－11，所以可以分解.
解：3x2－11x＋10＝（x－2）（3x－5）.
3.把下列各式分解因式：
（1）3 x2－7x－6；
解：原式＝（3x＋2）（x－3）.
（2）2x2＋5x－7；
解：原式＝（x－1）（2x＋7）.
（3）6x2－7xy＋2y2；
解：原式＝（3x－y）（2x－y）.
（4）2x2＋6x－3.5；
解：原式＝（2x－1）（x＋）.
（5）2（x－2）2＋（x－2）－3.
解：原式＝[2（x－2）＋3][（x－2）－1]＝（2x－1）（x－3）.
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第16课时 因式分解（1）
第12章 整式的乘除
★把一个多项式化为 几个整式的积 的形式，叫做多项式的因式分解.
★分解因式与多项式的乘法都是整式的恒等变形，它们是互逆的.
★提取公因式法：如果一个多项式各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 整式的积 的形式，这种因式分解的方法叫做提取公因式法.
★易错提示：
因式分解要分解彻底，一直到不能再分解为止.
几个整式的积
整式的积
考点一：因式分解的概念
例1 （1）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A.a（x＋y）＝ax＋ay
B.x2－4x＋4＝x（x－4）＋4
C.10x2－5x＝5x（2x－1）
D.x2－16＋6x＝（x＋4）（x－4）＋6x
【分析】由因式分解的定义即可判断.答案：C.
C
（2）已知关于x的二次三项式2x2＋mx＋n因式分解的结果是（2x－1）（x＋），求m、n的值.
解：（2x－1）（x＋）＝2x2＋x－x－＝2x2－x－，
∵2x2＋mx＋n＝2x2－x－，
∴m＝－，n＝－.
1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ B ）
A.（m－2）（m－3）＝（3－m）（2－m）
B.1－a2＝（1＋a）（1－a）
C.（x＋1）（x－1）＝x2－1
D.a2－2a＋3＝（a－1）2＋2
B
2.多项式2x2＋5x＋m分解因式的结果中有一个因式为x＋3，试将该多项式分解因式.
解：设2x2＋5x＋m＝（ax＋b）（x＋3），
则2x2＋5x＋m＝ax2＋（3a＋b）x＋3b，
∴a＝2，3a＋b＝5，m＝3b，
解得：a＝2，b＝－1，m＝－3，
∴2x2＋5x－3＝（2x－1）（x＋3）.
考点二：提取公因式法分解因式
例2 用提取公因式法分解因式：
（1）4x2－4xy＋8xz；
解：原式＝4x（x－y＋2z）.
（2）6x4－4x3＋2x2；
解：原式＝2x2（3x2－2x＋1）.
（3）－4a3b3＋6a2b－2ab；
解：原式＝－2ab（2a2b2－3a＋1）.
（4）xn＋1－2xn－1；
解：原式＝xn－1（x2－2）.
（5）3a（x－y）－（x－y）；
解：原式＝（x－y）（3a－1）.
（6）－3（x－y）2－（y－x）3.
解：原式＝－3（x－y）2＋（x－y）3
＝（x－y）2（x－y－3）.
3.把3an＋2＋15an－1－45an分解因式的结果是（ D ）
A.3（an＋2＋5an－1－15an）
B.3an（a2＋5a－1）
C.3an－1（a3＋5－15a－1）
D.3an－1（a3＋5－15a）
D
4.把下列各式分解因式：
（1）4x2－12x3；
解：原式＝4x2（1－3x）.
（2）－4x3＋8ax－4x；
解：原式＝－4x（x2－2a＋1）.
（3）－28m3n2＋42m2n3－14m2n；
解：原式＝－14m2n（2mn－3n2＋1）.
（4）（a＋2）2＋a＋2；
解：原式＝（a＋2）（a＋2＋1）＝（a＋2）（a＋3）.
（5）5（2a－b）3－15（b－2a）2.
解：原式＝5（2a－b）2（2a－b－3）.
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第8课时 多项式与多项式相乘
第12章 整式的乘除
★多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以 另一个多项式的每一项 ，再把所得的积 相加 .
（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb.
★易错提示：
（1）运用法则计算多项式与多项式的乘积时，注意避免出现漏乘；
（2）合并同类项时，可以在同类项下面做上记号，以免漏掉某一项.
另一个多项式的每
一项
相加
考点一：法则的简单运用
例1 计算：
（1）（m＋1）（2m－1）；
解：原式＝2m2＋m－1.
（2）a（a－3）＋（2－a）（2＋a）.
解：原式＝a2－3a＋4＋2a－2a－a2
＝－3a＋4.
1.计算：（x＋2）（x－1）＝ x2＋x－2 .
2.计算（2x－1）（5x＋2）的结果是（ D ）
A.10x2－2 B.10x2－5x－2
C.10x2＋4x－2 D.10x2－x－2
x2＋x－2
D
3.已知（4x－7y）（5x－2y）＝M－43xy＋14y2，则M＝ 20x2 .
4.已知（x＋1）（x－3）＝x2＋ax＋b，则a，b的值分别是（ B ）
A.2，3 B.－2，－3
C.－2，3 D.2，－3
20x2
B
5.已知a－b＝5，ab＝3，则（a＋1）（b－1）的值为 －3 .
6.已知a＋b＝，ab＝1，计算（a－2）（b－2）的结果是 2 .
7.计算：
－3
2
（1）（t－3）（t＋4）；
解：原式＝t2＋4t－3t－12
＝t2＋t－12.
（2）（m＋2p）（m－3p）；
解：原式＝m2－3mp＋2mp－6p2
＝m2－mp－6p2.
（3）（e＋f）（e＋5f）；
解：原式＝e2＋5ef＋ef＋5f2
＝e2＋6ef＋5f2.
（4）（3x－2y）（y－3x）－（2x－y）（3x＋y）.
解：原式＝3xy－9x2－2y2＋6xy－6x2－2xy＋3xy＋y2
＝－15x2＋10xy－y2.
考点二：法则的综合运用
例2 先化简，再求值：（2x－5）（3x＋2）－6（x＋1）（x－2），其中x＝.
解：原式＝6x2＋4x－15x－10－6（x2－x－2）
＝－5x＋2，
∵x＝，∴原式＝－5×＋2＝1.
8.某校操场原来的长是2x米，宽比长少10米，现在把操场的长与宽都增加了5米，则整个操场面积增加了 （20x－25） 平方米.
9.先化简，再求值：（2x－3y）（x＋2y）－x（3x＋y），其中x＝2，y＝1.
解：原式＝2x2＋xy－6y2－3x2－xy
＝－x2－6y2，
∵x＝2，y＝1，
∴原式＝－22－6×12＝－10.
（20x－25）
10.已知（x3＋mx＋n）（x2－3x＋4）展开的结果中不含x3和x2的项，求m、n的值.（m、n为常数）
解：（x3＋mx＋n）（x2－3x＋4）
＝x5－3x4＋（m＋4）x3＋（n－3m）x2＋（4m－3n）x＋4n，
由题意可得：m＋4＝0，n－3m＝0，
解得m＝－4，n＝－12.
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第2课时 幂的乘方
第12章 整式的乘除
★幂的乘方， 底数不变，指数相乘 .
（am）n＝amn（m，n为正整数）.
★公式的逆用：amn＝（am）n＝（an）m.
底数不变，指数相乘
考点一：公式的直接运用
例1 计算：
（1）（a3）2；
解：（a3）2＝a3×2＝a6；
解：（m4）2n＝m4×2n＝m8n；
解：[（x－y）m]5＝（x－y）5m.
（2）（m4）2n；
（3）[（x－y）m]5.
1.下列各式运算正确的是（ B ）
A.a·a2＝a2 B.（a2）3＝a6
C.a2＋a3＝a6 D.a6－a2＝a3
2.计算：＝ a3n＋3 .
3.计算：＋＝ 0 .
4.若正方体的棱长是（2a＋1）2，则它的体积为 （2a＋1）6 .
B
a3n＋3
0
（2a＋1）6
（1）（x5）3；
（2）[（－a）5]3；
解：原式＝x15.
解：原式＝－a15.
（3）（－x4）3；
（4）－[（－x）3]4.
解：原式＝－x12.
解：原式＝－x12.
5.计算：
6.计算：
（1）（a3）2·a2；
解：原式＝a6·a2
＝a8.
（2）（x2）4·（x5）3；
解：原式＝x8·x15
＝x23.
（3）（m4）2＋m5·m3＋（－m4）·m4.
解：原式＝m8＋m8＋（－m8）
＝m8.
考点二：公式的运用和逆用
例2 已知5a＝4，5b＝6，5c＝9，
（1）求52a＋b的值；
解：52a＋b＝52a·5b＝（5a）2·5b
＝42×6＝96 .
（2）求5b＋2c的值；
解：5b＋2c＝5b·52c＝5b·（5c）2
＝6×92＝486 .
（3）试说明：2b＝a＋c.
证明：∵52b＝（5b）2＝62＝36，
5a＋c＝5a·5c＝4×9＝36，∴52b＝5a＋c，即2b＝a＋c.
7.已知3a＝5，9b＝10，则3a＋2b＝（ B ）
A.－50 B.50
C.500 D.无法计算
8.若a2＝3b＝81，则代数式a－2b的值为 1或－17 .
9.比较大小：233 ＜ 322.（填“＞”“＝”或“＜”）
B
1或－17
＜
（1）计算：·（y－x）3；
解：原式＝[－（x－y）6]·[－（x－y）3]
＝（x－y）9.
（2）若2n＝5，求82n的值；
解：82n＝＝26n＝＝56＝15625.
（3）已知26＝m2＝4n，其中m、n为正整数，求mn的值；
解：∵26＝（23）2＝82，4n＝（22）n＝22n，
∴m＝8，n＝3，
∴mn＝83＝512.
10.解答下列各题：
（4）已知2x＋3y－3＝0，求9x·27y的值；
解：9x·27y＝（32）x·（33）y＝32x·33y＝32x＋3y，
∵2x＋3y－3＝0，
∴2x＋3y＝3，
∴9x·27y＝32x＋3y＝33＝27.
（5）若3a＝6，27b＝50，求33b＋a的值.
解：33b＋a＝33b·3a
＝（33）b·3a
＝27b·3a
＝50×6
＝300.
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第17课时 因式分解（2）
第12章 整式的乘除
★整式的乘法中的平方差公式反过来运用，可以进行因式分解.
a2－b2＝ （a＋b）（a－b） .
★方法指导：
（1）平方差公式分解因式的特征：①双平方；②异号；
（2）分解因式时，有公因式的要先提取公因式；最后结果要分解到每个因式都不能再分解为止.
（a＋b）（a－b）
考点一：用平方差公式分解因式
例1 将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A.x（x2－y2） B.x（x－y）2
C.x（x＋y）2 D.x（x＋y）（x－y）
【分析】原式提取公因式x，再用平方差公式得x（x＋y）（x－y），故选D.
D
例2 分解因式：
（1）x2－16；
解：原式＝（x＋4）（x－4）.
（2）mx2－my2；
解：原式＝m（x2－y2）＝m（x＋y）（x－y）.
（3）（a＋b＋c）2－（a－b－c）2.
解：原式＝（a＋b＋c－a＋b＋c）（a＋b＋c＋a－b－c）
＝2a（2b＋2c）＝4a（b＋c）.
1.将整式9－x2分解因式的结果是（ B ）
A.（3－x）2 B.（3＋x）（3－x）
C.（9－x）2 D.（9＋x）（9－x）
2.把a3－4ab2分解因式，结果正确的是（ C ）
A.a（a＋4b）（a－4b）
B.a（a2－4b2）
C.a（a＋2b）（a－2b）
D.a（a－2b）2
B
C
3.分解因式：
（1）2x3y－2xy3；
解：原式＝2xy（x＋y）（x－y）.
（2）a3－9a；
解：原式＝a（a＋3）（a－3）.
（3）（x＋y）2－z2；
解：原式＝（x＋y＋z）（x＋y－z）.
（4）（3m－1）2－（2m－3）2；
解：原式＝（3m－1＋2m－3）（3m－1－2m＋3）
＝（5m－4）（m＋2）.
（5）（3m－2n）2－（m＋4n）2.
解：原式＝（3m－2n＋m＋4n）（3m－2n－m－4n）
＝（4m＋2n）（2m－6n）
＝4（2m＋n）（m－3n）.
考点二：综合应用
例3 已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
【分析】把a2－b2＋4b变形为（a－b）（a＋b）＋4b，代入a＋b＝2后，再变形为2（a＋b）即可求得最后结果为4，故选C.
C
4.若x＋y＝3，x－y＝1，则x2－y2的值为（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.－3
5.若2m＋n＝25，m－2n＝2，则（m＋3n）2－（3m－n）2的值为（ B ）
A.200 B.－200 C.100 D.－100
6.若x＋y＝2，x－y＝1，求（x＋1）2－y2的值.
解：∵x＋y＝2，x－y＝1，
∴（x＋1）2－y2
＝（x＋1－y）（x＋1＋y）
＝2×3
＝6.
C
B
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第7课时 单项式与多项式相乘
第12章 整式的乘除
★单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以 多项式的每一项 ，再将所得的积 相加 .
m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc.
★易错提示：
将单项式与多项式相乘时，注意不要漏乘某一项.
多项式的每一项
相加
考点一：法则的直接运用
例1 计算：
（1）2x（3x2＋1）；
解：原式＝6x3＋2x.
（2）－2ab（ab－3ab2－1）；
解：原式＝－2a2b2＋6a2b3＋2ab.
（3）·ab.
解：原式＝an＋2b－ab2.
1.下列各式运算正确的是（ D ）
A.－2（a－b）＝－2a－b
B.－2（a－b）＝－2a＋b
C.－2（a－b）＝－2a－2b
D.－2（a－b）＝－2a＋2b
D
2.计算：x3y·（xy2＋z）＝（ D ）
A.x4y3＋xyz B.xy3＋x3yz
C.zx14y4 D.x4y3＋x3yz
3.计算x（y－z）－y（z－x）＋z（x－y），结果正确的是（ A ）
A.2xy－2yz B.－2yz
C.xy－2yz D.2xy－xz
4.计算：a（a－1）＝ a2－a .
D
A
a2－a
（1）2a2b·；
解：原式＝a4b2－2a3b3.
（2）（－2mn）（5mn2－4m2n）.
解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.
5.计算：
考点二：法则的灵活运用
例2 化简求值：3a（a2－2a＋1）－2a2（a－3），其中a＝2.
解：原式＝3a3－6a2＋3a－2a3＋6a2
＝a3＋3a，
∵a＝2，∴原式＝23＋3×2＝14.
6.计算（－2a）·的结果为 －a4＋2a .
7.方程3x（7－x）＝18－x（3x－15）的解为 x＝3 .
8.（1）若3a2－a－2＝0，则5＋2a－6a2＝ 1 ；
（2）已知x－3y＝－3，则5－x＋3y的值是 8 .
－a4＋2a
x＝3
1
8
9.计算：
（1）－x（2x＋3x2－2）；
解：原式＝－2x2－3x3＋2x.
（2）5x（x2－2x＋4）＋x2（x－1）.
解：原式＝5x3－10x2＋20x＋x3－x2＝6x3－11x2＋20x.
考点三：运用法则解决问题
例3 若一个长方体的长，宽，高分别为x，2，3x－4，则该长方体的表面积为多少？
解：S表＝2x·2＋2x（3x－4）＋2（3x－4）·2
＝4x＋6x2－8x＋12x－16
＝6x2＋8x－16，
答：该长方体的表面积为6x2＋8x－16.
10.一个矩形的周长为4a＋4b，若矩形的一边长为a，则此矩形的面积为 a2＋2a .
11.对于任意的x、y，若存在a、b使得8x＋y（a－2b）＝ax－2b（x－2y）恒成立，则a＋b＝ 14 .
12.某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－x＋1，那么正确的计算结果是什么？
解：由题意可知原多项式为：
x2－x＋1－（－3x2）＝4x2－x＋1，
∴正确的计算结果为：
（4x2－x＋1）·（－3x2）＝－12x4＋3x3－3x2.
a2＋ 2ab
14
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第1课时 同底数幂的乘法
第12章 整式的乘除
★同底数幂相乘， 底数不变，指数相加 .
am·an＝am＋n（m、n为正整数）.
★易错提示：
法则逆用变形，即：am＋n＝am·an，
（a－b）n＝（b－a）n（n为偶数）；
（a－b）n＝－（b－a）n（n为奇数）.
底数不变，指数相加
考点一：法则的直接运用
例1 计算：
（1）a3·a5；
解：原式＝a3＋5＝a8；
（2）（－2）2×（－2）3；
解：原式＝（－2）2＋3＝（－2）5＝－32；
（3）x·x3·x4；
解：原式＝x1＋3＋4＝x8；
（4）an·a2n＋1；
解：原式＝an＋（2n＋1）＝a3n＋1；
（5）（x＋2y）3·（x＋2y）7.
解：原式＝（x＋2y）3＋7＝（x＋2y）10.
1.x2＋5可以写成（ A ）
A.x2·x5 B.x2＋x5
C.2x·x5 D.2x·5x
2.xn·xn＋1＝（ C ）
A.x2n·x5 B.x2n＋1·x
C.x2n＋1 D.2xn·x
A
C
3.计算：（1）－a6·a3＝ －a9 ；
（2）102×104×105＝ 1011 ；
（3）－m2·m3·m5＝ －m10 ；
（4）（a－b）·（a－b）3＝ （a－b）4 ；
（5）x·（－x6）·x5＝ －x12 .
－a9
1011
－m10
（a－b）4
－x12
考点二：法则的灵活运用
例2 计算：
（1）x·（－x）2·（－x）5·x4；
解：原式＝x·x2·（－x5）·x4
＝－x12
（2）（x－3y）2·（3y－x）3·（3y－x）；
解：原式＝（3y－x）2·（3y－x）3·（3y－x）
＝（3y－x）6
（3）12x6（－x）3＋5（－x）2·x7－8x·x8.
解：原式＝12x6（－x）3＋5x2·x7－8x9
＝－12x9＋5x9－8x9
＝－15x9
4.若27×9×3＝3x，则x＝ 6 .
5.计算2100＋所得的结果是（ B ）
A.2100 B.－2100 C.2101 D.－2101
6
B
6.（a－b）3·（b－a）2＝ （a－b）5 .
7.·（－a）·（－a）6＝ －a9 .
（a－b）5
－a9
8.计算：
（1）a·a2·a3·a4；
解：原式＝a1＋2＋3＋4＝a10.
（2）（y－x）3·（x－y）2·（x－y）4；
解：原式＝（y－x）3·（y－x）2·（y－x）4
＝（y－x）9.
（3）（x－y）2m·（y－x）2m－1.
解：原式＝（y－x）2m·（y－x）2m－1
＝（y－x）4m－1.
考点三：法则的逆用
例3 已知am＝3，an＝5，求am＋n，a2m＋n的值.
解：am＋n＝am·an＝3×5＝15，
a2m＋n＝am·am·an＝3×3×5＝45.
9.解答下列各题：
（1）已知am＝7，an＝3，求am＋n的值；
解：am＋n＝am·an＝7×3＝21.
（2）已知32x＋1＝27，求x的值；
解：∵32x＋1＝27＝33，
∴2x＋1＝3，∴x＝1.
（3）若ma－2＝6，mb＋5＝11，求ma＋b＋3的值.
解：ma＋b＋3＝m（a－2）＋（b＋5）
＝ma－2·mb＋5
＝6×11
＝66.
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