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第7课时 复习巩固
第14章 勾股定理
本章知识结构：
考点一：勾股定理与逆定理
例1 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，求CD的长.
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC2＝AB2＋BC2＝16，
在Rt△ACD中，∠D＝90°，AD＝2，
∴CD2＝AC2－AD2＝12，
∴CD＝2.
1.已知△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝（ B ）
A.11 B.13 C.15 D.17
2.如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么它的斜边上的高为（ A ）
A.2.4 B.3 C.4 D.4.5
3.符合下列条件的△ABC中，是直角三角形的有（ C ）
①a＝6，b＝8，c＝10；
②a＝3，b＝4，c＝6；
③∠A＝32°，∠B＝58°；
④∠A＝3∠C，∠B＝2∠C.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
A
C
4.如图1，小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）△ABC三边的长分别是：AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
图1
2
（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形，
理由：∵BC2＋AB2＝20，AC2＝20，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形.
考点二：反证法
例2 用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设“ ”.
等腰三角形的两底角都是直角或钝角
解：根据反证法的第一步：假设结论不成立，从而其反面成立，故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
5.用反证法证明“若｜a｜＞2，则a2＞4”时，首先应假设“ a2≤4 ”.
a2≤4
考点三：勾股定理及其逆定理的应用
例3 我市某中学有一块四边形的空地ABCD如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量知：∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m.
（1）求出空地ABCD的面积；
解：如图，连接BD，在Rt△ABD中，AB＝3m，DA＝4m，
∴BD＝＝5m，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，
∴△CBD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝3×4×＋5×12×＝36m2，
答：空地ABCD的面积为36m2.
（2）若每种植1m2草皮需要200元，问总共需投入多少元？
解：所需费用为36×200＝7200元，
答：总共需投入7200元.
6.一个长方形抽屉长12cm，宽9cm，贴抽屉底面放一根木棍，那么这根木棍最长（不计木棍粗细）是（ A ）
A.15cm B.13cm C.9cm D.8cm
7.在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北和向东驶去，若自行车、摩托车每秒分别行驶2.5米、6米，则10秒后两车相距 65 米.
A
65
（1）求证：BD⊥AC；
证明：∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC－AD＝5，
∵BD2＋CD2＝122＋52＝169＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC.
图2
8.如图2，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是边AC上一点，BD＝12，AD＝16.
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE长度的最小值.
解：当DE⊥AB时，DE最短，
在Rt△ABD中，AB＝＝20，
∵S△ABD＝AD·BD＝AB·DE，
∴DE＝＝9.6，
∴线段DE长度的最小值为9.6.
图2
9.如图3，长方体底面是长为2cm、宽为1cm的长方形，其高为8cm.
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多长？
解：侧面展开如图所示，连接AB'，
∵两点之间线段最短，∴当细线最短时，
AB'＝＝10cm，
答：所用细线最短需要10cm.
图3
（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？
解：如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B'，相当于直角三角形的两条直角边分别是12cm和8cm，
∴＝4cm，
答：所用细线最短需要4cm.
图3
10.如图4，某地要开发一个三角形植物园，测得AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m.
（1）若入口E在边AB上，且AB＝2BE，求从入口E到出口C的最短路线的长；
解：∵AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵AB＝2BE，
∴E为AB的中点，即CE为AB边上的中线，
∴CE＝AB＝50m，
∴从入口E到出口C的最短路线的长为50m.
图4
（2）在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，CD＝CE，请直接写出DE的长度.
解：如图，作CF⊥AB，交AB于点F，
∵CE＝CD，∴EF＝DF，
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CF，
∴CF＝＝48m，
在Rt△CEF中，EF＝＝14m，
∴DE＝2EF＝28m.
图4
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第2课时 直角三角形三边的关系（2）
第14章 勾股定理
★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即： a2＋b2＝c2 .
★常用的勾股数组：（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；（2）5、12、13；（3）7、24、25；（4）9、40、41等.
a2＋b2＝
c2
考点一：利用勾股定理在数轴上表示无理数
例1 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A.－1
B.－1
C.2
D.
解：AM＝AC＝，则点M表示的数为－1.故选A.
A
1.如图1，组成正方形网格的小正方形边长为1，那么点A表示的数为（ A ）
A.
B.
C.
D.
图1
A
考点二：勾股定理的应用
例2 如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC＝21，AD⊥BC，垂足为点D，求BD的长.
解：设BD＝x，则CD＝21－x，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得AD2＝AB2－BD2＝132－x2，
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得AD2＝AC2－CD2＝202－（21－x）2，
∴132－x2＝202－（21－x）2，解得x＝5，即BD的长为5.
2.如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，则三个半圆的面积的关系是 S1＋S2＝S3 .
图2
3.在△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC边上的高AD＝8cm，则边BC的长为
9cm或21cm .
S1＋S2＝S3
9cm或21cm
4.如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD的长.
图3
解：如图，连接AD，
由题意可知：PQ垂直平分线段AB，∴DA＝DB，
设DA＝DB＝x，则CD＝BC－DB＝5－x，
在Rt△ACD中，∠C＝90°，
∴AD2＝AC2＋CD2，∴x2＝32＋（5－x）2，
解得x＝，∴CD＝5－＝.
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第5课时 勾股定理的应用
第14章 勾股定理
★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
★勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要工具.
★易错提示：
应用勾股定理的关键在于构造出合适的直角三角形.
考点：应用勾股定理计算
例1 将一根长为xcm的细木棒放进一个内部长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的木箱中，则x的最大值为 .
解：由题意，得x2≤502＋402＋302＝5000，
∴x≤＝50，
∴x的最大值为50，故答案为：50.
50
例2 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，P是BC上一点且PC＝BC，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P，求蚂蚁爬行的最短路程.
解：侧面展开图如图所示，连接AP，
∵圆柱的底面周长为6cm，∴展开图中AC的长为3cm，
∵PC＝BC，BC＝6cm，∴PC＝4cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋PC2，
∴AP＝＝＝5cm，
∴蚂蚁爬行的最短路程是5cm.
1.已知线段a，b，c能组成直角三角形，若a＝3，b＝5，则c＝ 4或 .
2.如图1，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则所铺地毯的长度至少是 17m .
图1
4或
17m
3.如图2是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度h最少是 5cm .
图2
5cm
4.如图3，正四棱柱的底面是边长为8cm的正方形，高为12cm，一只蚂蚁欲从点A处出发，沿棱柱表面到点B处吃食物，则它所爬行的最短路径是 20cm .
图3
20cm
5.如图4，一架2.5米长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4米，若梯子的底部B向外滑出1.3米后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？
图4
解：由题意得，AB＝DE＝2.5米，AC＝2.4米，BD＝1.3米，
∵∠C＝90°，∴在Rt△ACB中，
BC＝＝0.7米，∴CD＝BC＋BD＝2米，
∴在Rt△ECD中，CE＝＝1.5米，
∴AE＝AC－CE＝0.9米，
答：梯子的顶部下滑0.9米.
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第4课时 反证法
第14章 勾股定理
★一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用 反证法 .
★反证法证明的一般步骤：（1）假设原命题不成立；（2）进行推理，导致矛盾（与定义、定理、公理或者题设矛盾）；（3）说明假设不成立，从而原命题成立.
反证法
考点一：正确写出反设
例1 反证法证明命题“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设（ ）
A.AB＝AC B.∠B＝∠C
C.AB＞AC D.AB＜AC
A
解：第一步应假设AB＝AC.故选A.
1.用反证法证明“a＞0”时，应先假设结论的反面，下列假设正确的是（ D ）
A.a＜0 B.a＝0 C.a≠0 D.a≤0
2.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于60°”，首先应假设这个三角形中（ B ）
A.没有一个角不小于60°
B.没有一个角不大于60°
C.所有内角不大于60°
D.所有内角不小于60°
D
B
3.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（ B ）
A.都大于
B.都小于
C.没有一个小于
D.没有一个大于
B
4.下列说法正确的有（ A ）
①近似数32.6×102精确到十分位；
②在，－（－2）2，，－｜｜中，最小的数是；
③如图（a）所示，在数轴上点P所表示的数为－1＋；
④用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图（b），在△ABC内一点P到三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点.
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.证明命题“直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于45°”时，若用反证法证明，则应先假设“ 两个锐角都小于45° ”.
6.用反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设“ 内错角相等，两直线不平行 ”.
7.用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设“ a，b都不能被5整除 ”.
两个锐角都小于45°
内错角相等，两
直线不平行
a，b都不能被5整除
考点二：运用反证法推理证明
例2 利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角.
证明：假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，
∴∠A＋∠B＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，原命题正确.
8.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
证明：假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角，
不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，
这与三角形内角和为180°相矛盾，
∴假设不成立，原命题正确.
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第3课时 直角三角形的判定
第14章 勾股定理
★勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系 a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
★易错提示：
n2－1、2n、n2＋1（n为大于1的正整数）是勾股数.
a2＋b2＝c2
考点一：判定三角形是否是直角三角形
例1 下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（ ）
A.a＝3，b＝4，c＝5
B.a＝1.5，b＝2，c＝2.5
C.a＝，b＝，c＝1
D.a＝6，b＝7，c＝8
解：由62＋72≠82，得边长为6，7，8的线段不能组成直角三角形.故选D.
D
1.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠C＝90°；③AC∶BC∶AB＝3∶4∶5；④∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；⑤a2＝（b＋c）（b－c）中，能确定△ABC是直角三角形的有（ C ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高为（ C ）
A.10 B.14 C.4.8 D.2.4
3.△ABC中，三边之比为3∶4∶5，且最长边为10m，则△ABC的周长为 2400 cm.
C
C
2400
图1
4.如图1，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC＝3，D是CA延长线上一点，AD＝5，BD＝4.求证：AB⊥BD.
证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC＝3，
∵AD＝5，BD＝4，
∴AB2＋BD2＝25＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD.
考点二：勾股定理及逆定理的应用
例2 如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积.
解：在Rt△ACD中，AD＝13cm，DC＝12cm，
∴AC＝＝5cm，
在△ABC中，
∵AB2＋BC2＝9＋16＝25，AC2＝25，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝36cm2.
5.如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，求BC边上的高AD.
图2
解：∵AB＝9，AC＝12，BC＝15，
∴AB2＋AC2＝225，BC2＝225，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，
∴AD＝＝.
6.a，b，c满足（a－）2＋＋｜c－2｜＝0.
（1）求a，b，c的值；
解：由题意得：a－＝0，b－4＝0，c－2＝0，
解得：a＝2，b＝4，c＝2；
（2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能，求出三角形的面积；若不能，请说明理由.
解：能，
∵（2）2＋42＝（2）2，∴a2＋b2＝c2，
∴以a、b、c为边长能构成直角三角形，S三角形＝ab＝×2×4＝4.
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第6课时 专题折叠与勾股定理
第14章 勾股定理
★折叠的性质：
（1）折叠是全等变换，折叠前后对应角 相等 ，对应边 相等 ；
（2）折叠前后对应点所连的线段被折痕 垂直平分 .
★勾股定理中的折叠问题一般找折叠剩下的三角形，运用方程思想，利用勾股定理，列方程求解得出相应边的长度.
相等
相等
垂直平分
考点一：三角形折叠与勾股定理
例1 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，求BE的长.
解：∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
由题意得：AE＝CE，设AE＝CE＝x，则BE＝4－x，
在Rt△ABE中，AE2＝BE2＋AB2，
即x2＝（4－x）2＋32，解得：x＝，∴BE＝4－x＝.
1.如图1，是一直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角三角形沿直线AD折叠，使点C恰好落在斜边AB上的点E处，求DE的长.
图1
解：∵在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10cm，
∵△AED是由△ACD翻折而成，
∴AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠ACD＝90°，
∴BE＝AB－AE＝4cm，
设DE＝CD＝xcm，则BD＝（8－x）cm，
在Rt△BDE中，BD2＝DE2＋BE2，即（8－x）2＝x2＋42，解得x＝3，
∴DE的长是3cm.
考点二：长方形（正方形）折叠与勾股定理
例2 如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝12cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
解：由题意得BE＝DE，
设AE＝xcm，则BE＝DE＝（12－x）cm，
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
即62＋x2＝（12－x）2，解得x＝，
∴S△ABE＝AB·AE＝×6×＝cm2.
2.如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求CN的长.
图2
解：由题意可设CN＝xcm，则EN＝（8－x）cm，
∵E为BC的中点，∴CE＝BC＝4cm，
在Rt△ECN中，EN2＝CE2＋CN2，
即（8－x）2＝42＋x2，解得：x＝3，
∴CN的长是3cm.
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第1课时 直角三角形三边的关系（1）
第14章 勾股定理
★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 a2＋b2＝c2 .
★勾股定理的证明：一般采取拼图，从不同角度表示图形的面积，加以证明.
a2＋b2＝c2
考点一：勾股定理的证明
例1 如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
（1）求证：DF⊥AB；
证明：∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF＋∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB.
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2＋b2＝c2.
证明：由（1）得Rt△ABC≌Rt△DEC，
∴EC＝BC＝a，DC＝AC＝b，DE＝AB＝c，
∵S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，
∴a2＋b2＝c·DF－c·EF
＝c·（DF－EF）＝c·DE＝c2，
∴a2＋b2＝c2.
解：依题意，梯形ACED为直角梯形，△BDA为等腰直角三角形，Rt△ABC和Rt△BDE的形状和大小完全一样，设梯形ACED的面积为S，
则S＝（a＋b）（a＋b）＝（a2＋b2）＋ab，
又∵S＝S△BDA＋2S△ABC＝c2＋2×ab＝c2＋ab，
∴（a2＋b2）＋ab＝c2＋ab，∴a2＋b2＝c2.
1.如图1，把一个直立的火柴盒放倒，请你用不同的方法计算梯形ACED的面积，验证勾股定理.（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）
图1
考点二：利用勾股定理求边长
例2 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC的长是多少？
解：∵∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴AC2＝41，
∴AC＝.
2.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
（1）若a＝5，b＝10，求c的值；
解：由勾股定理知：c2＝a2＋b2＝52＋102＝125，
∴c＝5；
（2）若c＝，b＝1，求a的值.
解：由勾股定理知：a2＝c2－b2＝（）2－12＝，
∴a＝.
3.如图2，在△ABC中，∠A＝90°，DE为BC的垂直平分线，求证：BE2＝AC2＋AE2.
图2
证明：∵DE垂直平分BC，
∴CE＝BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
CE2＝AC2＋AE2，
∴BE2＝AC2＋AE2.
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