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第7课时 斜边直角边
第13章 全等三角形
★斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为 HL（或斜边直角边） .
★易错提示：
“HL”是直角三角形特有的判定方法，当然，其它几种判定方法在直角三角形中同样适用.
HL（或斜边直
角边）
考点一：运用“HL”证明两个直角三角形全等
例1 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
1.如图1，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（ D ）
图1
A.SSS B.ASA C.SAS D.HL
D
2.如图2，BE＝CF，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，要根据“HL”证明Rt△ABE
≌Rt△DCF，则还要添加的一个条件是（ A ）
图2
A.AB＝DC B.∠A＝∠D
C.∠B＝∠C D.AE＝BF
A
3.如图3，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：Rt△DBE≌Rt△DCF.
图3
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）.
考点二：直角三角形全等的应用
例2 如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O.
（1）求证：AD＝AE；
证明： 在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD＝AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的位置关系并说明理由.
解：OA⊥BC，理由如下：
如图，延长AO交BC于点M，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠BAM＝∠CAM，
又∵AB＝AC，AM＝AM，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，∴OA⊥BC.
4.如图4，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，求证：BD＝CE＋DE.
图4
证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠E＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝∠CAE＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.
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第13课时 互逆命题与互逆定理
第13章 全等三角形
★在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 结论 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 条件 ，那么这两个命题叫做 互逆命题 .如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的 逆命题 .
★如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做 互逆定理 ，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
★易错提示：
原命题正确，逆命题未必正确；一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.
结论
条件
互逆命题
逆命题
互逆定理
考点一：判断一个命题（或逆命题）的真假
例1 有下列语句：①若∠A＋∠B＝180°，则∠A与∠B互为邻补角；②120°的角和60°的角都是补角；③连接AB，并延长到点C；④同角的余角相等，其中真命题有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：①是假命题；②是假命题；③不是命题；④是真命题.故选A.
A
1.下列语句不是命题的是（ C ）
A.两点之间，线段最短
B.不平行的两条直线有一个交点
C.x与y的和等于0吗？
D.两个锐角的和一定是直角
C
2.下列命题是假命题的是（ A ）
A.若a＞b，则a2＞b2
B.直角三角形的两个锐角互余
C.锐角小于90°
D.若a2≠b2，则a≠b
3.下列命题为真命题的是（ D ）
A.相等的角是对顶角
B.有一个锐角和一边相等的两个直角三角形全等
C.负数一定小于它的倒数
D.面积相等的两个等腰直角三角形一定全等
A
D
4.有下列命题：①一个角的余角大于这个角；②若a2＝b2，则a＝b；③两点之间，线段最短；④直角三角形的两锐角互余；⑤同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b.其中真命题有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列命题的逆命题是假命题的是（ C ）
A.同旁内角互补，两直线平行
B.偶数一定能被2整除
C.如果两个角是直角，那么这两个角相等
D.如果一个数能被4整除，那么这个数也能被8整除
C
C
考点二：写出一个命题的逆命题
例2 指出下列命题的条件和结论，再写出它的逆命题.
（1）直角三角形两锐角互余；
解：条件：一个三角形是直角三角形，
结论：它的两个锐角互余，
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；
（2）直角都相等.
解：条件：几个角是直角，
结论：这些角都相等，
逆命题：如果几个角相等，那么这几个角都是直角.
6.等边三角形的每个角都等于60°，这个命题的条件是 一个三角形是等边三角形 ，结论是 它的每个角都等于60° .它的逆命题是 每个角都等于60°的三角形是等边三角形 ，它是一个 真 （填“真”或“假”）命题.
7.两直线平行，同位角相等，这个命题的条件是 两直线平行 ，结论是 同位角相等 .它的逆命题是 同位角相等，两直线平行 ，它是一个 真 （填“真”或“假”）命题.
8.全等三角形的对应角相等，这个命题的条件是 两个三角形全等 ，结论是 对应角相等 .它的逆命题是 对应角相等的两个三角形全等 .
一个三角形是等边三角
形
它的每个角都等于60°
每个角都等于60°的三角
形是等边三角形
真
两直线平行
同位角
相等
同位角相等，两直线平行
真
两个三角形全等
对
应角相等
对应角相等的两个三角形全等
（1）若x＝3，则x2＝9；
解：逆命题：若x2＝9，则x＝3，是假命题.
（2）三角形任意两边之和大于第三边；
解：逆命题：若三条线段中任意两线段之和大于第三条线段，则此三条线段可以组成三角形，是真命题.
（3）面积相等的三角形全等.
解：逆命题：若三角形全等，则它们的面积相等，是真命题.
9.写出下列命题的逆命题，并判断真假.
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第9课时 等腰三角形的性质
第13章 全等三角形
★等腰三角形的两底角相等（简写成 等边对等角 ）.
★等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线互相重合（简称“ 三线合一 ”）.
★等边三角形的各个角都相等，并且每一个角 都等于60° .
★易错提示：
等腰三角形的很多问题（顶角底角的度数、高的长度）要注意分类讨论.
等边对等角
三线合
一
都等于60°
考点一：等腰三角形的性质
例1 （1）等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A.80° B.80°或20°
C.80°或50° D.20°
【分析】当80°的角是顶角时，顶角就是80°；当80°的角是底角时，顶角等于20°.故选B.
B
（2）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝BD，∠B＝50°，求∠C的度数；
解：∵∠B＝50°，AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝50°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝30°.
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，过点D作DE⊥AC于点E，若∠BAC＝72°，求∠ADE的度数.
解：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝36°，
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠CAD＝54°.
1.已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ D ）
A.8 B.9
C.10或12 D.11或13
2.若等腰三角形的顶角为100°，则它的底角度数为（ B ）
A.100° B.40° C.30° D.20°
D
B
3.如图1，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外角∠DAC＝130°，则∠B＝ 65 °.
图1
65
4.如图2，在△ABC中，AB＝AC，过点C的直线EF∥AB，若∠ACE＝30°，则∠B的度数为（ C ）
图2
A.30° B.65° C.75° D.85°
C
5.如图3，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，求∠B和∠DAC的度数.
图3
解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°.
6.如图4，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB之间的位置关系，并说明理由.
图4
解：OE⊥AB，理由如下：
在△BAC和△ABD中，，
∴△BAC≌△ABD（SAS），
∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB，
∵E是AB的中点，∴OE⊥AB.
考点二：等边三角形
例2 如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A.30°
B.20°
C.25°
D.15°
D
解：∠EDC＝90°－∠ADE＝90°－＝15°，故选D.
7.等边三角形两边上中线所夹锐角的度数为 60° .
60°
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第12课时 尺规作图
第13章 全等三角形
★只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为 尺规作图 .
★易错提示：尺规作图中的直尺均指没有刻度的直尺.
尺规作
图
考点一：根据作图痕迹做选择
例1 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
解：由作图的痕迹得：OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），故选A.
A
考点二：根据作图痕迹进行计算
例2 如图，在△ABC中，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E.若AE＝2，BE＝1，EC＝1.6，则△ABC的面积是 .
解：由作法得CE⊥AB，
∵AB＝BE＋AE＝3，
∴S△ABC＝AB·EC＝2.4，故答案为：2.4.
2.4
1.如图1，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（ C ）
图1
A.PA＝PC B.PA＝PQ
C.PQ＝PC D.∠QPC＝90°
C
2.如图2，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（ B ）
图2
A.30° B.35° C.45° D.70°
B
3.如图3，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，夹这个角的两边分别为2a和a.（保留作图痕迹，不写作法）
图3
解：如图，△ABC即为所作.
4.如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°.
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
解：如图所示，射线BD即为所求；
图4
（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数.
解：∵AB＝AC，∠ABC＝76°，
∴∠C＝∠ABC＝76°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝38°，
∴∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝66°.
图4
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第11课时 等腰三角形的判定（2）
第13章 全等三角形
★等边三角形的定义： 三条边都相等 的三角形是等边三角形.
★等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是 等边三角形 ；
（2）有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形；
（3）有两个角等于 60° 的三角形是等边三角形.
★等边三角形的性质：
（1）等边三角形有三条对称轴，也就是等边三角形的每边上都 三线合一 ；
（2）等边三角形的三个内角都相等，每个角都等于 60° .
★由等边三角形折叠可得：直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.
三条边都相等
等边三角形
60°
60°
三线合一
60°
考点一：含30°角的直角三角形的性质
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，求BC的长.
解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵CD＝1，∴AD＝2CD＝2，
∵∠DAB＝∠B＝30°，
∴BD＝AD＝2，∴BC＝CD＋BD＝3.
1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短边BC＝4cm，则最长边AB的长为（ A ）
A.8cm B.6cm C.7cm D.5cm
2.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，若AB＝8cm，则AD＝ 2cm .
图1
A
2cm
考点二：等边三角形的判定与性质
例2 如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么三角形？请说明理由.
解：△APQ为等边三角形，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP与△ACQ中，，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形.
3.如图2，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形，求证：
（1）△AEF≌△CDE；
证明：∵BF＝AC，AB＝AE，
∴BF＋AB＝AC＋AE，即FA＝EC，
∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE，
∵AE＝CD，
∴△AEF≌△CDE（SSS） .
图2
（2）△ABC为等边三角形.
证明：∵△AEF≌△CDE，
∴∠FEA＝∠EDC，∠EFA＝∠DEC，
∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，
∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF＝60°，
∠BAC＝∠EFA＋∠FEA＝∠DEC＋∠FEA＝∠DEF＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
图2
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第16课时 复习巩固
第13章 全等三角形
本章知识结构：
考点一：命题与定理的相关知识
例1 下列语句是命题的是 （ ）
A.将27开立方
B.任意三角形的三条中线相交于一点吗？
C.锐角小于直角
D.作一条直线和已知直线垂直
解：根据命题是对某个问题作出判断，可知A、B、D不是命题，故选C.
C
1.下列各命题是假命题的是（ B ）
A.如果a3＝b3，那么a＝b
B.对应角相等的三角形是全等三角形
C.每个角都等于60°的三角形是等边三角形
D.如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形
B
2.命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是： 两直线所夹同旁内角互补，两直线平行 .
两直线所夹同旁内角互补，
两直线平行
考点二：尺规作图的知识
例2 根据图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为△ABC的 .
解：由作图的痕迹可知：
点D是线段BC的中点，
∴线段AD是△ABC的中线，故答案为：中线.
中线
3.如图1，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M；
③作射线BM交AC于点N.
如果BN＝NC，∠A＝57°，那么∠ABN的度数为 41° .
图1
41°
考点三：全等三角形的性质与判定
例3 如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，有下列结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△CAN≌△BAM，其中正确的是（ ）
A.①②④ B.①③④
C.②③④ D.①②③④
解：由于条件不足，无法证得②CD＝DN，正确的结论有：①③④，故选B.
B
4.如图2，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（ D ）
图2
A.∠2＝∠1 B.AC＝CA
C.∠B＝∠D D.BC＝DC
D
5.如图3，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝ 10或20 时，△APQ与△ABC全等.
图3
10或20
6.如图4，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E.求证：△ADC≌△BEA.
图4
证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°，
∴∠CAD＋∠BAE＝∠DCA＋∠CAD＝90°，
∴∠DCA＝∠EAB，
在△ADC和△BEA中，，
∴△ADC≌△BEA（AAS）.
考点四：等腰三角形与等边三角形
例4 如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝25°，求∠1的度数.
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠DCA＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝65°，
∵l1∥l2，∴∠1＝∠BCA＝65°.
7.如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为 15° .
图5
15°
图6
8.如图6，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过点A作AD⊥BD于点D，若△ABC的周长为12，则AD＝ 2 .
2
9.如图7，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm.
（1）求∠DFG的度数；
解：∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，
∴△EBG是等边三角形，
∴EG＝BE＝6cm，∠FGD＝60°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠DFG＝90°－∠FGD＝30°.
图7
（2）求BC的长度.
解：∵EF＝2cm，
∴FG＝EG－EF＝4cm，
在Rt△DFG中，∠DFG＝30°，
∴DG＝FG＝2cm，
∴BD＝BG－DG＝4cm，
∴BC＝2BD＝8cm.
图7
10.如图8，在△ABC中，点E，F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF.
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
证明：在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACF，
即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD，
∴△BCD是等腰三角形.
图8
（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数.
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－∠A）＝70°，
∵BD＝BC＝CD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠DBC＝10°，
∴∠BEC＝∠A＋∠ABE＝50°.
图8
考点五：线段的垂直平分线与角平分线
例5 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F.
（1）求证：BE＝CF；
证明：如图，连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG垂直平分BC，∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF .
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长.
解：在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴AB－AC＝AE＋BE－（AF－CF）＝2BE，
∴BE＝1，∴AE＝AB－BE＝4.
11.如图9，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若∠BAD＝30°，CB＝6，则∠B＝ 30° ，DE＝ 2 .
图9
30°
2
12.如图10，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线OE、OF相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM、AN.
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
解：∵OE、OF分别垂直平分AB、AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴MA＋MN＋NA＝6，
∴BC＝MB＋MN＋NC＝6 .
图10
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数.
解：∵∠MON＝30°，∴∠OMN＋∠ONM＝150°，
∴∠BME＋∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，
同理∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA＋∠ANC＝2（∠BME＋∠CNF）＝300°，
∴∠AMN＋∠ANM＝360°－（∠BMA＋∠ANC）＝60°，
∴∠MAN＝180°－（∠AMN＋∠ANM）＝120°.
图10
13.如图11，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.
图11
证明：如图，连接BF，∵F是△ABC的角平分线交点，∴BF也是角平分线，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝90°－∠DAC＝75°，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACB＝45°，
∴∠MEF＝180°－∠BCE－∠ABC＝75°，∴∠NDF＝∠MEF，
在△DNF和△EMF中，，
∴△DNF≌△EMF（AAS），∴FE＝FD.
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第1课时 命 题
第13章 全等三角形
★表示判断的语句叫做 命题 .如果条件成立，结论也一定成立，这样的命题称为 真命题 ；当条件成立时，结论不成立，这样的命题称为 假命题 .
命题
真命题
假命题
例1 下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC＝AB.其中是命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.①④ D.①③
【分析】由命题的定义知②④不是命题，①③是命题.故选D.
考点一：命题的概念
D
1.下列语句中，是命题的有（ D ）
①两点之间，线段最短；②画两条平行的直线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余.
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
D
考点二：判断命题的真假
例2 （1）下列命题是真命题的是（ ）
A.今天下雨，明天一定不下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来不一样，则肯定照的不是同一个人
【分析】A、C、D均为假命题，连续的三个整数必有一偶数和3的倍数，B为真命题.故选B.
B
（2）小红前五次数学单元测试都是优秀，所以第六次单元测试也一定是优秀，这个判断是 的.（填“正确”或“错误”）
【分析】第六次测试不一定优秀.
错误
【分析】第六次测试不一定优秀.答案：错误.
2.下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③一个正实数的算术平方根一定是正实数；④－2是4的平方根.其中真命题的个数为（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列命题是真命题的是（ A ）
A.一个三角形中至少有两个锐角
B.若∠A与∠B是内错角，则∠A＝∠B
C.如果两个角有公共边，那么这两个角一定是邻补角
D.如果3.14a＝πb，那么a＝b
C
A
4.对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它是假命题的反例是（ B ）
A.a＝2，b＝1 B.a＝－1，b＝－2
C.a＝－2，b＝－1 D.a＝－1，b＝1
5.命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短.其中是真命题的有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
C
考点三：命题的组成
例3 把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果……，那么……”的形式.
解：如果两条直线互相平行，那么它们的同位角相等.
6.命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是 一个直角三角形的两个锐角 .
7.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；
解：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
（2）直角都相等；
解：如果两个角都是直角，那么这两个角相等；
（3）同旁内角互补，两直线平行.
解：如果同旁内角互补，那么两直线平行.
一个直角三角形的两个锐角
8.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”.
（1）将该命题改写成“如果……，那么……”的形式；
解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；
（2）写出该命题的题设和结论；
解：题设：两个数的绝对值相等，
结论：这两个数互为相反数；
（3）判断该命题的真假.
解：该命题是假命题.
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第6课时 边边边
第13章 全等三角形
★三边分别相等的两个三角形全等，简记为 SSS（或边边边） .
★学习指导：
三角形的稳定性就是“边边边”判定法的直接应用.
SSS（或边边边）
考点一：运用“SSS”证明两个三角形全等
例1 如图，AB＝AC，点D，E在BC上，AD＝AE，BE＝CD，证明：△ABD≌△ACE.
证明：∵BE＝CD，
∴BE＋ED＝CD＋DE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SSS）.
1.△ABC如图1所示，则下列三角形中，与△ABC全等的是（ C ）
图1
A
B
C
D
C
2.如图2，已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F在同一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，还可以添加的一个条件是（ A ）
图2
A.AD＝FB B.DE＝BD
C.BF＝DB D.以上都不对
A
3.如图3，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E，其中错误的是（ D ）
图3
A.①② B.②③
C.③④ D.只有④
D
4.如图4，已知A，E，F，C在同一条直线上，AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：△ABF≌△CDE.
图4
证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
∴AF＝CE，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（SSS）.
考点二：运用全等的知识解决问题
例2 如图，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝50°，∠B＝40°，求∠ADC的度数.
解：在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC＝25°，
∴∠ADC＝180°－∠C－∠DAC＝115°.
5.如图5，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，在点P1，P2，P3，P4中符合条件的点P有（ C ）
图5
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
6.如图6，E，F两点在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AB∥CD.
图6
证明：∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥CD.
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第4课时 边角边
第13章 全等三角形
★两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为 SAS（或边角边） .
★易错提示：
“边边角”对应相等，两个三角形不一定全等.
三组元素如果是“两边一角”对应相等时，一角必须是夹角.
SAS（或边角边）
考点一：用“SAS”证明两个三角形全等
例1 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝AC，BD＝CE，BE与CD交于点O.求证：△ABE≌△ACD.
证明：∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AB－BD＝AC－CE，
即AD＝AE，
在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
1.如图1，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：△ABC≌△EDB.
图1
证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△EDB中，，
∴△ABC≌△EDB（SAS）.
考点二：利用全等探索角与边的关系
例2 如图，已知点C、F在AD上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，求证：BC＝EF.
证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AF＋CF＝DC＋CF，
即AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF.
2.如图2，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（ A ）
图2
A.50° B.55° C.60° D.65°
A
3.如图3，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，∠ABC＝20°，则∠AOB的度数为 140° .
图3
140°
4.如图4，已知△ABC和△BCD，BD、CA分别平分∠ABC、∠BCD，BD与AC相交于点E，若∠D＝89°，BC＝AB＋CD，则∠ABC的度数为（ C ）
图4
A.60° B.62° C.58° D.59°
C
5.茗茗用同种材料制成的金属框架如图5所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 45 cm.
45
图5
6.如图6，在△ABC和△ADE中，点D为BC上一点，DE交AC于点F，若∠1＝∠2，AE＝AC，BC＝DE.求证：AB＝AD.
图6
证明：∵∠EFC＝∠1＋∠E，∠EFC＝∠2＋∠C，且∠1＝∠2，
∴∠C＝∠E，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD.
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第14课时 线段垂直平分线
第13章 全等三角形
★线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等 .
★到线段两端距离相等的点在线段的 垂直平分线上 .
★三角形三边的垂直平分线交于一点.
距离相等
垂直平分线上
考点一：利用垂直平分线的性质进行计算
例1 如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC＝6，AC＝8，求△BCE的周长.
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵BC＝6，AC＝8，
∴C△BCE＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝14.
1.如图1，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，若△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为 7 .
图1
7
图2
2.如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，连接BE，若BE＝5，CE＝3，则线段AC的长为 8 .
8
3.如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为（ B ）
图3
A.12° B.31° C.53° D.75°
B
4.如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连接AE.已知∠BAE＝10°，求∠C的度数.
图4
解：∵ED垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠AEB＝90°－∠BAE＝80°，
∵∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C，
∴∠C＝40°.
5.如图5，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，ED、FG分别是AB，AC的垂直平分线，求BE的长.
图5
解：如图，连接AE、AG，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°，
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴BE＝AE，AG＝CG，
∴∠B＝∠BAE＝30°，∠C＝∠CAG＝30°，
∴∠AEG＝∠B＋∠BAE＝60°，∠AGE＝∠C＋∠CAG＝60°，
∴△AEG是等边三角形，∴AE＝EG＝AG，
∵BE＝AE，AG＝CG，BC＝6cm，
∴BE＝EG＝CG＝BC＝2cm.
考点二：利用垂直平分线的性质进行证明
例2 如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF.
证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠B＝∠ACB，
∵BC平分∠ACF，
∴∠FCD＝∠ACB，∴∠B＝∠FCD，
∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF.
6.如图6，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC延长线于E，交AC于F，∠A＝40°，AB＋BC＝6.
（1）求△BCF的周长；
解：∵DF垂直平分AB，∴AF＝BF，
∵AB＋BC＝6，AB＝AC，
∴C△BCF＝BC＋CF＋BF＝BC＋CF＋AF＝BC＋AC＝BC＋AB＝6；
图6
（2）求∠E的度数.
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°－∠A）＝70°，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝90°－∠ABC＝20°.
图6
考点三：线段垂直平分线的判定
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上.
证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴∠A＝∠ABD，∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上.
例4 如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学.要在公路旁修建一个车站P，使其到两所大学的距离相等，请在图上找出点P.
解：如图所示，点P是线段AB的垂直平分线与直线m的交点.
7.如图7，AC＝AD，BC＝BD，则有（ A ）
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
图7
A
8.如图8，已知AD垂直平分BE，且AB＋BD＝DC，求证：点E在线段AC的垂直平分线上.
图8
证明：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵AB＋BD＝DC，∴AE＋DE＝DC，
∵DE＋EC＝DC，∴AE＝EC，
∴点E在线段AC的垂直平分线上.
9.如图9，在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.
图9
证明：如图，连接AP，BP，CP，
∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上.
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第15课时 角平分线
第13章 全等三角形
★角平分线上的点到 角两边的距离相等 .
★角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线上 .
★三角形的三条角平分线交于一点.
角两边的距离相等
角的平分线上
考点一：角平分线的性质
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF.
（1）求证：CF＝EB；
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
又∵BD＝DF，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由.
解：AF＋BE＝AE，理由如下：
∵DC＝DE，AD＝AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∵AF＋FC＝AC，
∴AF＋BE＝AE.
1.如图1，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝4，则AC＝（ A ）
图1
A.5 B.6 C.7 D.8
A
2.如图2，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为 6 cm2.
图2
6
3.如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、E两点，CE＝6，DE＝5，过D作DF⊥AB于F，DF＝4.
（1）求AE的长；
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5；
图3
（2）求△ACD的面积.
解：如图，过D作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，
∴DG＝DF＝4，
∵CE＝6，
∴AC＝AE＋CE＝11，
∴S△ACD＝AC·DG＝22.
图3
考点二：角平分线的判定
例2 如图，在△ABC中，P是角平分线AD、BE的交点.求证：点P在∠C的平分线上.
证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵点P在∠BAC的平分线AD上，∴PM＝PQ，
∵点P在∠ABC的平分线BE上，∴PM＝PN，∴PQ＝PN，∴点P在∠C的平分线上.
4.如图4，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.（要求不写作法，保留作图痕迹）
图4
解：如图所示，点P即为所求.
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第5课时 角边角
第13章 全等三角形
★两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为 ASA（或角边角） .
★两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简记为 AAS（或角角边） .
★方法指导：
两个三角形全等，对应边上的高，中线和对应角的平分线都相等.
ASA（或角边角）
AAS
（或角角边）
考点一：运用“ASA”或“AAS”证明两个三角形全等
例1 如图，已知A，E，B，D在同一直线上，AE＝DB，∠A＝∠D，BC∥EF，求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AE＝DB，
∴AB＝DE，
∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
1.如图1，在△ABC和△BAD中，AD交BC于点O，∠1＝∠2，添加下列条件仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ D ）
图1
A.∠C＝∠D B.AD＝BC
C.∠3＝∠4 D.AC＝BD
D
2.如图2，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是（ A ）
图2
A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS
A
3.如图3，已知射线BD平分锐角∠ABC，且平分钝角∠ADC，求证：CD＝AD.
图3
证明：∵BD平分∠ABC与∠ADC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵BD＝BD，
∴△CBD≌△ABD（ASA），
∴CD＝AD.
考点二：运用全等的知识解决问题
例2 如图，已知AB⊥CD，CE⊥AF，BF⊥ED.若AB＝CD，CE＝8，BF＝6，AD＝10，求EF的长.
解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠C＋∠D＝90°，∠A＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴DE＝BF＝6，AF＝CE＝8，
∴AE＝AD－DE＝4，
∴EF＝AF－AE＝4.
4.如图4，AC⊥DE，BC⊥AC，AB⊥CD，若AC＝DE，BC＝2，DE＝3，则AE＝ 1 .
图4
1
5.如图5，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝13cm，CF＝7cm，求BD的长.
图5
解：∵AB∥CF，∴∠ADE＝∠F，
∵E为DF的中点，∴DE＝FE，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝7cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝AB－AD＝6cm.
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第8课时 专题全等三角形的判定
第13章 全等三角形
★三角形全等的判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
★全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等.
★学习指导：
我们要根据已知条件正确选用三角形全等的判定方法.如果没有全等三角形，有时候需要作辅助线，构造全等三角形.
考点一：一线三等角
例1 如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上一点，∠ADE＝45°，AD＝DE，求证：BD＝CE.
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD＋∠ADB＝135°，
∵∠ADE＝45°，∴∠ADB＋∠EDC＝135°，
∴∠BAD＝∠EDC，
在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS），∴BD＝CE.
1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
图1
解：成立，证明如下：
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠BAD＋∠CAE＝180°－α，且∠ABD＋∠BAD＝180°－α，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝DA，
∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE.
考点二：作辅助线构造全等三角形
例2 如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，点E在DC上，试说明：AD＋BC＝AB.
证明：如图，在AB上截取AF，使AF＝AD，连接EF，
在△ADE和△AFE中， ∴△ADE≌△AFE（SAS），∴∠D＝∠5，
∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠C，
在△BEC和△BEF中，，
∴△BEC≌△BEF（AAS），∴BF＝BC，
∵AF＋BF＝AB，∴AD＋BC＝AB.
2.如图2，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，求AD长度的取值范围.
图2
解：如图，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝7，
根据三角形的三边关系得：
EB－AB＜AE＜EB＋AB，∴2＜AE＜12，
∵AE＝2AD，∴1＜AD＜6.
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第10课时 等腰三角形的判定（1）
第13章 全等三角形
★等腰三角形的判定：如果一个三角形 有两个角相等 ，那么这两个角所对的边也相等（简写成 等角对等边 ）.
★易错提示：
等边对等角的前提是“同一个三角形中”.
有两个角相等
等角对等边
考点：等腰三角形的判定
例1 如图，已知AD平分△ABC的外角∠EAC，且∠EAD＝∠C，求证：AB＝AC.
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠C，
∴∠C＝∠CAD，
∴AD∥CB，
∴∠EAD＝∠B，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
例2 如图，E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC边于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形.
证明：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G，∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD＝CE，
∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.
1.如图1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4cm，则CD的长为（ B ）
图1
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
B
2.如图2，若∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有（ D ）
图2
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，则△ABC是 等腰 三角形.
4.在△ABC中，已知∠B＝50°，当∠A＝ 50°或65°或80° 时，△ABC是等腰三角形.
D
等腰
50°或65°或80°
5.如图3，已知D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且BF＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.
图3
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
6.如图4，将一张矩形的纸条ABCD沿EF折叠，折叠后AD交EC'于点G，∠AGC'＝48°.
（1）求∠CEF的度数；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，
由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，
∴∠CEF＝（180°－∠BEG）＝66°.
图4
（2）求证：△EFG是等腰三角形.
证明：∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，
由折叠的性质得：∠CEF＝∠GEF，
∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，
∴△EFG是等腰三角形.
图4
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第2课时 定理与证明
第13章 全等三角形
★通过证明得到的真命题叫做 定理 .
★根据条件、定义以及基本事实、定理，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做 证明 .
★易错提示：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有 依据 .
定理
证明
依据
考点一：推理与证明
例1 下列说法正确的是 （ ）
A.经验、观察或试验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C.对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数
D.有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
D
【分析】A、B、C错误，D可由抽屉原理得正确，故选D.
1.下列叙述用到推理的是（ A ）
A.根据x＝1，y＝1，得x＝y
B.观察得到的四边形有四个内角
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘
D.由公理知道过两点有且只有一条直线
2.下列推理正确的是（ A ）
A.若a＞b，b＞c，则a＞c
B.若a＞b，则ac＞bc
C.若∠AOC＝∠BOC，则这两个角是对顶角
D.如果两角的和为180°，那么这两个角互为邻补角
A
A
3.上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是（ D ）
A.找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行
B.相信自己，两个影子就是平行的
C.构造几何模型，用已学过的知识证明
D.作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行
D
考点二：实际应用
例2 甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【分析】4人共有6场比赛，由于甲、乙、丙3人胜场相同，所以只可能是甲胜2场或1场，若甲胜1场，则乙，丙各胜1场，说明丁胜3场与甲胜丁矛盾，故甲只能是胜2场，乙，丙也胜2场，所以丁胜0场.故选D.
D
4.在一次1500米的长跑比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三.结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（ B ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.如果｜a｜＝3，｜b｜＝5，那么｜a＋b｜＝8吗？为什么？
解：结论不一定成立，
例如｜－3｜＝3，｜5｜＝5，但是｜－3＋5｜＝2.
B
6.已知n为正整数，你能肯定2n＋4－2n一定是30的倍数吗？
解：2n＋4－2n＝2n（24－1）＝2n×15，
∵n为正整数，∴2n为2的倍数，
∴2n×15为30的倍数，
∴2n＋4－2n一定是30的倍数.
（2）第n个图形有多少颗棋子？第100个图形有多少颗棋子？
解：第n个图形有3（n＋1）颗，当n＝100时，共有3×（100＋1）＝303颗；
（3）一定有一个图形有2023颗黑色棋子吗？请说明理由.
解：设第n个图形有2023颗棋子，
则有：3（n＋1）＝2023，解得：n＝，
∴没有图形有2023颗黑色棋子.
7.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则：
（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
解：第5个图形有18颗黑色棋子；
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第3课时 全等三角形及判定条件
第13章 全等三角形
★能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形 .
★全等三角形的 对应边相等 ， 对应角相等 .
★两个三角形只有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等.
全等三角形
对应边相等
对应角相等
考点一：全等三角形的概念
例1 全等三角形是（ ）
A.三个角对应相等的两个三角形
B.周长相等的两个三角形
C.面积相等的两个三角形
D.能够完全重合的两个三角形
D
【分析】由全等三角形的定义，知A、B、C错误，D正确，故选D.
考点二：全等三角形的性质
例2 如图，△ABC≌△ADE，∠B＝82°，∠E＝30°，∠DAC＝32°，则∠EAC的度数为（ ）
A.40°
B.32°
C.36°
D.30°
解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝82°，
∵∠E＝30°，∴∠DAE＝68°，
∵∠DAC＝32°，∴∠EAC＝36°，故选：C.
C
1.已知△ABC≌△A'B'C'，且∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C'的度数为（ B ）
A.40° B.80°
C.60° D.40°或60°或80°
2.已知△ABC≌△DEF，∠A＝110°，∠F＝40°，AB＝m，EF＝n，则下列结论错误的是（ C ）
A.∠D＝110° B.DE＝m
C.∠B＝40° D.BC＝n
3.若△ABC与△DEF全等，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠D的度数不可能是（ A ）
A.80° B.70° C.60° D.50°
B
C
A
4.如图1，已知△ABC≌△AED，连接BE.若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为 63° .
图1
63°
5.如图2，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为 7cm .
图2
7cm
6.若△ABC≌△DEF，且AB＝8cm，BC＝7cm，AC＝6cm，则DF的长为 6cm .
6cm
7.如图3，已知△ABC≌△DEF，且BE＝5，CF＝2，求BF的长.
图3
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∵BF＝BC－FC，CE＝FE－FC，
∴BF＝CE，
∴BF＝（BE－CF）＝.
8.如图4，已知△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上.
（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的度数；
解：∵△ACF≌△DBE，BE⊥AD，
∴∠FCA＝∠EBD＝90°，
∴∠A＝90°－∠F＝28°；
图4
（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长.
解：∵△ACF≌△DBE，
∴CA＝BD，
∴CA－CB＝BD－BC，即AB＝CD，
∵AD＝9cm，BC＝5cm，
∴AB＋CD＝AD－BC＝4cm，
∴AB＝2cm.
图4
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