第十二章　全等三角形 习题课件(共128张PPT) 2024-2025学年数学人教版八年级上册

(共128张PPT)
第1课时　全等三角形
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.下列图形中，与如图所示图形全等的是（　D　）
第1题图
A
B
C
D
D
2.如图，已知△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（　C　）
A.6cm B.5cm
C.7cm D.无法确定
第2题图
3.如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（　C　）
A.AC＝CE B.∠BAC＝∠ECD
C.∠ACB＝∠ECD D.∠B＝∠D
第3题图
C
C
4.如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（　C　）
A.58° B.72° C.50° D.60°
第4题图
C
5.如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，FD交BC于G，若∠A＝28°，∠CGF＝85°，则∠E的度数是（　A　）
A.38° B.36° C.34° D.32°
第5题图
A
二、填空题
6.若△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C'＝ 　80°　 .
7.如图，若△ABC≌△DEF，则x＝ 　20　 .
第7题图
80°
20
三、解答题
8.如图，△ABC≌△ADE，∠B与∠D是对应角，AB与AD是对应边，写出其他对应边及对应角.
第8题图
解：∵△ABC≌△ADE，∠B与∠D是对应角，AB与AD是对应边，
∴AC＝AE，BC＝DE，∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，
即AC和AE，BC和DE是对应边，
∠C和∠E，∠BAC和∠DAE是对应角.
9.如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上.
（1）若EB⊥AD，∠F＝62°，求∠A的度数；
解：（1）∵EB⊥AD，∴∠EBD＝90°，
∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，
∵∠F＝62°，∴∠A＝90°－∠F＝28°；
第9题图
（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长.
解：（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，
∴CA－CB＝BD－BC，即AB＝CD，
∵AD＝9cm，BC＝5cm，
∴AB＋CD＝4cm，
∴AB＝2cm.

一、填空题
10.三个全等三角形按如图所示的方式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是 　180°　 .
第10题图
180°
第11题图
11.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 　135°　 .
135°
二、解答题
12.如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4.
（1）求∠CBE的度数；
解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，
∴∠ABD＋∠CBE＝∠ABE－∠DBC＝132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，
即∠CBE的度数为66°；
第12题图
（2）求△CDP与△BEP的周长和.
解：（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC＝AD＋DC＝5，BE＝BC＝4，
∴C△CDP＋C△BEP＝DC＋DP＋PC＋BP＋PE＋BE
＝DC＋DE＋BC＋BE＝15.5.
第12题图

解答题
13.如图所示，已知A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
（1）BD、DE、CE之间有怎样的数量关系？请说明理由；
解：（1）BD＝DE＋CE，
理由：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，
即BD＝DE＋CE；
第13题图
（2）请你猜想当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？并证明你的猜想.
解：（2）当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
证明：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°－∠ADB＝90°＝∠E，
∴BD∥CE.
第13题图
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第2课时　三角形全等的判定（1）
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则直接由“SSS”可以判定（　C　）
第1题图
A.△ABD≌△ACD B.△BDE≌△CDE
C.△ABE≌△ACE D.以上都不对
C
2.如图，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD交于点E，则图中可以用“SSS”判定全等的三角形共有（　C　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第2题图
C
二、填空题
3.如图，AB＝DC，AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则应添加条件 　AC＝DB　 .（写出一个条件即可）
第3题图
AC＝DB
4.“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过识别全等三角形的方法得到的结论，则小明用的识别方法是 　SSS　 .（用字母表示）
第4题图
SSS
三、解答题
5.如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.试说明：△ACD≌△CBE.
第5题图
证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SSS）.
6.如图所示，已知点A，E，F，C在同一条直线上，AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF.
求证：△ABF≌△CDE.
第6题图
证明：∵AE＝CF，∴AF＝CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS）.
7.如图，点D，E分别在边AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE，且BD＝CE.
求证：△EBC≌△DCB.
第7题图
证明：在△EBC与△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SSS）.
8.如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC＝DB，AE＝DF，BE＝CF.
（1）求证：∠E＝∠F；
证明：（1）∵AC＝DB，∴AB＝DC，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SSS），
∴∠E＝∠F；
第8题图
（2）求证：AE∥DF.
证明：（2）由（1）知△ABE≌△DCF，
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF.

一、填空题
9.如图，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝50°，∠B＝40°，则∠ADC＝ 　115°　 .
第9题图
115°
二、解答题
10.如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC，求证：∠A＝∠C，且点O在∠AEC的平分线上.
第10题图
证明：如图，连接OE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠A＝∠C，∠AEO＝∠CEO，
∴OE平分∠AEC，
即点O在∠AEC的平分线上.

解答题
11.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE.求证：∠ACB＝∠AFB.
第11题图
证明：在△ABC和△DEB中，，
∴△ABC≌△DEB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBE，
∵∠AFB＝∠ACB＋∠DBE＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AFB.
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第3课时　三角形全等的判定（2）
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，AD，BC相交于点O，且AO＝DO，BO＝CO，则△ABO≌△DCO，理由是（　B　）
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
第1题图
B
2.如图，已知OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OBC＝（　A　）
A.95° B.120° C.50° D.105°
第2题图
A
二、填空题
3.如图所示，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，若能用“SAS”说明△ABC≌△DEF，则需要添加一个适当的条件是 　AC＝DF　 .
第3题图
AC＝DF
第4题图
4.如图，要测量池塘AB的宽度，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘AB的宽为 　25　 m.
25
5.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝22°，∠ACE＝30°，则∠ADE＝ 　52°　 .
第5题图
52°
三、解答题
6.如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB，
求证：△ABC≌△EDB.
第6题图
证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS）.
7.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝AC，BD＝CE，BE与CD交于点O.求证：∠ABE＝∠ACD.
第7题图
证明：∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AD＝AE，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD.
8.如图，点C在线段AB上，△ACM与△CBN都是等边三角形，AN与MB交于点P.
求证：AN＝BM.
第8题图
证明：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM.

一、选择题
9.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若△BOC与△ABO全等，则点C的坐标不能为（　A　）
A.（0，－4） B.（－2，0）
C.（2，4） D.（－2，4）
第9题图
A
10.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，则∠EDF＝（　B　）
A.90°－∠A B.90°－∠A
C.180°－2∠A D.45°－∠A
第10题图
B
二、解答题
11.将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接DC.
（1）请在图2中找出与△ABE全等的三角形，并给予证明；
（1）解：△ABE≌△ACD，证明如下：
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
第11题图
（2）证明：DC⊥BE.
（2）证明：由（1）得∠ACD＝∠ABE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，
∴DC⊥BE.
第11题图

解答题
12.在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝5cm，AD＝3cm，求AC长度的取值范围.
解：如图，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，
∵AD＝3cm，DA＝DE，
∴AE＝6cm，
∵AB＝5cm，
∴AE－AB＜BE＜AB＋AE，
即1cm＜BE＜11cm，
∴1cm＜AC＜11cm.
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第4课时　三角形全等的判定（3）
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，则△APD与△APE全等的依据是（　B　）
A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA
第1题图
B
2.如图，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　A　）
A.∠A＝∠D B.AB＝DE
C.∠A＝∠E D.∠B＝∠E
第2题图
3.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠B'，AB＝B'A'，则下列结论正确的是（　C　）
A.AB＝A'C' B.BC＝B'C'
C.AC＝B'C' D.∠A＝∠A'
A
C
二、填空题
4.如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，∠B＝∠C，若AB＝6，BE＝4，则CD＝ 　4　 .
第4题图
4
第5题图
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为 　4　 .
4
三、解答题
6.如图，已知CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF交CE于点D，且AB＝AC，求证：△ABF≌△ACE.
第6题图
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS）.
7.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，DE＝DF，BE＝5，CF＝2，
求BC的长.
第7题图
解：∵∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠B＋∠DEB，
∴∠FDC＝∠DEB，
∵DE＝FD，
∴△BED≌△CDF（AAS），
∴BD＝CF＝2，BE＝CD＝5，
∴BC＝BD＋CD＝7.
8.如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D.
（1）求证：EF＝ED；
（1）证明：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ECD，
∵E是AC的中点，∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝ED；
第8题图
（2）若AB＝8，CD＝6，求BF的长.
（2）解：由（1）知，△AEF≌△CED，∴AF＝CD＝6，
∴BF＝AB－AF＝2.
第8题图

一、选择题
9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），且AO＝BO，∠AOB＝90°，则点B的坐标为（　B　）
A.（2，3） B.（－3，2）
C.（－3，－2） D.（－2，3）
第9题图
B
二、填空题
10.如图，点D，E在△ABC的BC边上，∠BAD＝∠CAE，要推理得出△ABE≌△ACD，可以补充的一个条件是 　AB＝AC（答案不唯一）　 .（不添加辅助线，写出一个即可）
第10题图
AB＝AC（答案不唯一）
三、解答题
11.如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB于点F，AB＝DE.
（1）求证：BC＝DB；
第11题图
（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∴∠ABC＋∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠A＝90°，
∴∠A＝∠DEB，
在△ABC和△EDB中，，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BC＝DB；
第11题图
（2）若BD＝8cm，求AC的长.
（2）解：由（1）得AC＝BE，BC＝BD，
∵E是BC的中点，BD＝8cm，
∴AC＝BE＝BC＝BD＝4cm.
第11题图

解答题
12.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠D＝90°，BE⊥AD，垂足为E.试说明：BE＝DE.
第12题图
在△BAE和△CBF中，，
∴△BAE≌△CBF（AAS），
∴BE＝CF＝DE，即BE＝DE.
证明：如图，过点C作CF⊥BE，垂足为F，
∵BE⊥AD，CF⊥BE，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴四边形EDCF是矩形，∴DE＝CF，
∵∠CBF＋∠ABE＝∠A＋∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
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第5课时　三角形全等的判定（4）
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD≌△AOP的依据是（　D　）
A.SSS B.ASA C.SSA D.HL
第1题图
D
2.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　C　）
A.一个锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
C
二、填空题
3.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ 　40°　 .
第3题图
40°
第4题图
4.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC＝BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFD的依据是 　AAS　 .（用字母表示）
AAS
5.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，则还需要添加条件 　AB＝AC　 .
第5题图
AB＝AC
三、解答题
6.如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
第6题图
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）.
7.如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，
求证：AF＝CE.
第7题图
证明：∵DE＝BF，
∴DE＋EF＝BF＋EF，
即DF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝CE.
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD.试说明：BE＝CF.
第8题图
证明：∵AD平分∠BAC，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF，
∵BD＝CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF.

一、填空题
9.如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8cm，AC＝4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从点A出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着点E的运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 　0或2或6或8　 s时，△DEB与△BCA全等.
第9题图
0或2或6或8
二、解答题
10.如图，Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，现过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E.
（1）求证：△ACD≌△CBE；
第10题图
（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE＝90°－∠ECB，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）若BE＝3，DE＝5，求AD的长.
（2）解：由（1）可知△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE＝3，AD＝CE，
∵CE＝CD＋DE＝8，
∴AD＝8.
第10题图

解答题
11.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过点B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为E、F.
（1）如图1，当过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE＋CF；
第11题图1
（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE＋∠EAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＋∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴EA＝FC，BE＝AF，
∴EF＝AF＋EA＝BE＋CF；
第11题图1
（2）如图2，当过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求EF的长.
第11题图2
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE＋∠EAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＋∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴EA＝FC＝3，AF＝BE＝10，
∴EF＝AF－EA＝7.
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第6课时　专题全等三角形
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　C　）
A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC
C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°
第1题图
C
2.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　A　）
A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS
第2题图
A
第3题图
3.如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中可以判断△ABC≌△DFE的依据是（　B　）
A.SAS B.AAS C.HL D.SSS
B
二、填空题
4.如图，AB＝AC，若使△ABE≌△ACF，则还需要添加的条件是 　∠B＝∠C（答案不唯一）　 .（写出一个即可）
第4题图
∠B＝∠C（答案
不唯一）
第5题图
5.如图，AB⊥CD，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F.若AB＝CD，CE＝8，BF＝6，AD＝10，则EF的长为 　4　 .
4
三、解答题
6.如图，点D，B在AE上，AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.求证：
（1）△ABC≌△DEF；
证明：（1）∵AD＝BE，
∴AD＋DB＝BE＋DB，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
第6题图
（2）AC∥DF.
证明：（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠EDF，
∴AC∥DF.
第6题图
7.如图，有两个长度相等的滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向的长度DF相等，问两个滑梯的倾斜角∠B与∠F有什么数量关系？请说明理由.
第7题图
解：∠B与∠F互余，理由如下：
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠B＝∠DEF，
∵∠DEF＋∠F＝90°，
∴∠B＋∠F＝90°，
即两个滑梯的倾斜角∠B与∠F互余.

一、填空题
8.如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q分别是线段AC和射线AX上的动点，且AB＝PQ，当AP＝ 　10或20　 时，△APQ与△ABC全等.
第8题图
10或20
二、解答题
9.如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（1）证明：∵线段AC绕点A旋转到AF的位置，
∴AC＝AF，
∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF＋∠CAE＝∠BAE＋∠CAE，
∴∠EAF＝∠BAC，
在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
第9题图
（2）若∠B＝65°，∠C＝28°，求∠FGC的度数.
（2）解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠B＝65°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠AEF＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝180°－∠AEB－∠AEF＝50°，
∵∠FGC是△EGC的外角，∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FEC＋∠C＝78°.
第9题图

解答题
10.如图，P为∠ABC的平分线上一点，点D和点E分别在AB和BC上，且PD＝PE，试探究∠BDP与∠BEP之间的数量关系，并说明理由.
第10题图
解：∠BDP＋∠BEP＝180°，理由如下：
如图，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
在△BPM和△BPN中，
，
∴△BPM≌△BPN（AAS），
∴PM＝PN，
在Rt△DPM和Rt△EPN中，
，
∴Rt△DPM≌Rt△EPN（HL），
∴∠ADP＝∠BEP，
∵∠BDP＋∠ADP＝180°，
∴∠BDP＋∠BEP＝180°.
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第7课时　角的平分线的性质（1）
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ长度的最小值为（　B　）
A.1 B.2 C.3 D.4
第1题图
B
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE＋DE＝（　B　）
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
第2题图
B
3.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠CMA＝25°，则∠C的度数为（　D　）
A.100° B.110° C.120° D.130°
第3题图
D
二、填空题
4.如图，在△ABC中，∠A＝70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 　125　 °.
第4题图
125
5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AD为此三角形的一条角平分线，若BD＝3，则△ADC的面积为 　15　 .
第5题图
6.△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为 　3　 .
15
3
三、解答题
7.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC＝2∶1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离.
第7题图
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE，
∵BD∶DC＝2∶1，BC＝7.8cm，
∴DC＝BC＝2.6cm，
∴DE＝DC＝2.6cm，
∴点D到AB的距离为2.6cm.
8.如图，△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P，若点P到AC的距离为2，求点P到AB的距离.
第8题图
解：如图，作PF⊥AC，交AC的延长线于点F，作PG⊥BC于点G，作PH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵BD，CE是△ABC的外角平分线，
∴PF＝PG，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH，
∵点P到AC的距离为2，即PF＝2，
∴PH＝2，
即点P到AB的距离为2.
9.如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB上取OA＝OB，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N，求证：PM＝PN.
第9题图
证明：∵OD平分∠AOB，
∴∠1＝∠2，
在△OBD和△OAD中，
，
∴△OBD≌△OAD（SAS），
∴∠3＝∠4，
∴DO平分∠ADB，
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM＝PN.

一、填空题
10.如图，△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA∶CA＝2∶3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是 　10　 .
第10题图
10
二、解答题
11.如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点O，连接ED.求证：点O到EB与ED的距离相等.
第11题图
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠BDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD，
∴∠ODC＋∠OCD＝（∠ADC＋∠BCD）＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC＝∠EOB＝∠EOD＝90°，
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
在△BOE和△DOE中，，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠BEO＝∠DEO，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等.0
第11题图

解答题
12.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，且BC＝DC.
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
解：（1）BE＝DF，理由如下：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在Rt△CDF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴BE＝DF；
第12题图
（2）若AB＝14，AD＝6，求DF的长.
解：（2）在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∵AB＝AE＋BE＝AF＋DF＝14①，
AD＝AF－DF＝6②，
∴①－②得2DF＝8，
∴DF＝4.
第12题图
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第8课时　角的平分线的性质（2）
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，已知∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠BAC＝35°，则∠DAC＝（　B　）
A.25° B.35° C.50° D.70°
第1题图
B
2.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（　C　）
A.线段CD的中点
B.CD与过点O作CD的垂线的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上均不对
第2题图
C
二、填空题
3.如图，∠AOB＝78°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC＝QD，则∠AOQ＝ 　3　 °.
第3题图
39
第4题图
4.如图，在△ACB中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB＝12，CD＝6，则S△ABD＝ 　36　 .
36
三、解答题
5.如图，求作一个点P，到已知△ABC三边的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）
第5题图
解：如图所示，点P即为所求.
6.如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长.
第6题图
解：如图，作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
∵S△ABC＝14，
∴S△BCD＋S△ACD＝14，
∴DE·10＋DF·4＝14，
即5DE＋2DE＝14，
∴DE＝2.
7.如图，CE＝BF，且S△DCE＝S△DBF，求证：AD平分∠BAC.
第7题图
证明：如图，过点D作DN⊥AC于点N，DM⊥AB于点M，
则S△DCE＝DN·CE，
S△DBF＝BF·DM，
∵S△DCE＝S△DBF，
∴DN·CE＝BF·DM，
∵CE＝BF，∴DM＝DN，
∴AD平分∠BAC.

一、选择题
8.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A＝50°，则∠BOC＝（　A　）
A.115° B.105° C.125° D.130°
第8题图
A
二、填空题
9.平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点的个数是 　4　 .
4
三、解答题
10.如图，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线.求证：点P在∠BAC的平分线上.
第10题图
证明：如图，过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AE于点G，
∵BP平分∠CBD，CP平分∠BCE，
∴PM＝PN，PG＝PN，
∴PM＝PG，
∴点P在∠BAC的平分线上.

解答题
11.已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个直角三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB相交于点D、E.
（1）如图1，当CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E时，求证：CD＝CE；
第11题图1
（1）证明：∵OM平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）当直角三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2这种情况下，（1）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出你的猜想，不需说明理由.
第11题图2
（2）解：（1）中的结论仍然成立.理由如下：
如图，过点C分别作CK⊥OA于点K，CH⊥OB于点H，
∵OM平分∠AOB，CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK＝CH，∠CKD＝∠CHE＝90°，
∵∠1与∠2都为旋转角，
∴∠1＝∠2，
在△CKD与△CHE中，，
∴△CKD≌△CHE（ASA），
∴CD＝CE.
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第9课时　复习巩固
第十二章　全等三角形

一、选择题
1.如图，△AOC≌△BOD，点A与点B是对应点，则下列结论错误的是（　C　）
A.∠A＝∠B B.AO＝BO
C.AB＝CD D.AC＝BD
第1题图
2.在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，若证△ABC≌△A'B'C'还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（　C　）
A.∠B＝∠B' B.∠C＝∠C'
C.BC＝B'C' D.AC＝A'C'
C
C
3.如图，某市准备在一块三条公路围成的平地△ABC上设立一个大型超市，要求超市到三条公路的距离相等，则超市应建立在△ABC的（　A　）
A.两个内角的平分线的交点处
B.两边上的高的交点处
C.两边上的中线的交点处
D.两边的垂直平分线的交点处
第3题图
A
二、填空题
4.如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需添加一个条件： 　DC＝BC（答案不唯一）　 .
第4题图
DC＝BC（答案不唯一）
第5题图
5.如图，已知△AOB≌△A'OB'，∠B＝30°，∠AOA'＝52°，则∠A'CO＝ 　82°　 .
82°
6.如图，△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝8，点O是△ABC的三个内角的平分线的交点，S△AOB、S△BOC、S△AOC分别表示△AOB、△BOC、△AOC的面积，则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝ 　9∶7∶8　 .
第6题图
9∶7∶8
三、解答题
7.如图，点C，E，B，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE.
求证：AC∥DF.
第7题图
证明：∵CE＝BF，
∴CE＋BE＝BF＋BE，即BC＝EF，
又∵AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF.
8.如图，在△ACB中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），求点B的坐标.
第8题图
解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵C（－2，0），A（－6，3），
∴OC＝2，CE＝AD＝3，OD＝6，
∴BE＝CD＝OD－OC＝4，OE＝CE－OC＝1，
∴点B的坐标是（1，4）.

一、填空题
9.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE＝2，则AF的长为 　　 .
第9题图
二、解答题
10.如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O.
（1）求证：BD＝CE；
（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE；
第10题图
（2）若∠A＝80°，求∠BOC的度数.
（2）解：∵∠A＝80°，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BOC＝∠EOD＝360°－80°－90°－90°＝100°.
第10题图

解答题
11.如图，AD是△ABC的角平分线，点F、E分别在边AC、AB上，连接DE、DF，且∠AFD＋∠B＝180°.
（1）求证：BD＝FD；
第11题图
证明：（1）如图1，作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，
则∠DMB＝∠DNF＝90°，
∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，
∵∠AFD＋∠B＝∠AFD＋∠DFN＝180°，
∴∠B＝∠DFN，
在△DMB和△DNF中，，
∴△DMB≌△DNF（AAS），
∴BD＝FD；
图1
（2）当AF＋FD＝AE时，求证：∠AFD＝2∠AED.
证明：（2）如图2，在AB上截取AG＝AF，连接DG，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAF＝∠DAG，
在△ADF和△ADG中，，
∴△ADF≌△ADG（SAS），
∴∠AFD＝∠AGD，FD＝GD，
∵AF＋FD＝AE，∴AG＋GD＝AE，
∵AE＝AG＋GE，∴GD＝GE，
∴∠GDE＝∠GED，
第11题图
∵∠AGD＝∠GED＋∠GDE＝2∠GED，
∴∠AFD＝2∠AED.
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