第十三章 轴对称 习题课件(共155张PPT) 2024-2025学年数学人教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 第十三章 轴对称 习题课件(共155张PPT) 2024-2025学年数学人教版八年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 10:25:38 | ||
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文档简介
(共155张PPT)
第1课时 轴对称
第十三章 轴对称
一、选择题
1.下列图形中，是轴对称图形的是（ D ）
A
B
C
D
D
2.下列图案中，不是轴对称图形的是（ B ）
A
B
C
D
3.如图所示的图案中，对称轴的条数相同的图案是（ B ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
第3题图
B
B
4.下列说法错误的是（ C ）
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形一定能关于某条直线对称
D.角是关于它的平分线对称的图形
C
5.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下列每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ A ）
A
B
C
D
6.如图是由“〇”和“□”组成的轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ C ）
A.l1
B.l2
C.l3
D.l4
第6题图
A
C
二、填空题
7.如图是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A＝35°，∠ACO＝30°，则∠BOC＝ 115° .
第7题图
115°
8.如图，△ABC沿着直线MN折叠后，与△DEF完全重合.
第8题图
（1）△ABC和△DEF关于直线 MN 对称，直线MN是 对称轴 ；
（2）点B的对称点是点 E ，点C的对称点是点 F ；
（3）PC＝ PF ，PD＝ PA ；
（4）直线MN 垂直平分 线段AD.
MN
对称轴
E
F
PF
PA
垂直平分
三、解答题
9.如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角.
第9题图
解：相等的线段：AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF；
相等的角：∠B＝∠E，∠C＝∠D，∠BAF＝∠EAF，∠AFD＝∠AFC.
10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为AC上一点，E为BC上一点，点A和点E关于BD对称，点B和点C关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数.
第10题图
解：∵点A和点E关于BD对称，
∴∠ABD＝∠EBD，
即∠ABC＝2∠ABD＝2∠EBD，
∵点B和点C关于DE对称，
∴∠DBE＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC＋∠C＝2∠C＋∠C＝3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ABC＝2∠C＝60°.
一、填空题
11.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，将△ACD，△BCE分别沿CD，CE翻折，点A，B分别落在点A'，B'的位置，再将△A'CD，△B'CE分别沿A'C，B'C 翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A'CB'的度数是 30° .
第11题图
30°
二、解答题
12.如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.
第12题图
解：如图所示：
解答题
13.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处.
（1）求证：△FGC≌△EBC；
（1）证明：由题意知∠GCF＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠BCE＝90°，
∴∠GCF＝∠BCE，
∵∠G＝∠D＝∠B＝90°，GC＝AD＝BC，
∴△FGC≌△EBC（ASA）；
第13题图
（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF（阴影部分）的面积.
（2）解：由折叠知DF＝GF，
∵△FGC≌△EBC，
∴GF＝BE，∴DF＝BE，
∴AE＋DF＝AE＋BE＝AB＝8，
∴S四边形ECGF＝S四边形AEFD＝＝16.
第13题图
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第2课时 线段的垂直平分线的性质（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ B ）
A.6 B.5 C.4 D.3
第1题图
B
2.如图，AC垂直平分线段BD，若AB＝3cm，CD＝5cm，则四边形ABCD的周长是（ C ）
A.11cm B.13cm C.16cm D.18cm
第2题图
C
第3题图
3.如图，将△ABC沿直线DE折叠后，点B与点A重合，已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ C ）
A.7cm B.10cm C.12cm D.22cm
C
二、填空题
4.如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD＝4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 22 .
第4题图
22
第5题图
5.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线，其中蕴含的道理是 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .
与一条线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上
三、解答题
6.如图，在△ABC中，AB的中垂线交AC于点D，交AB于点E，CD＝BD.
求证：AC＝3CD.
第6题图
证明：∵DE是AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∵CD＝BD，∴AD＝BD＝2CD，
∵AC＝AD＋CD，
∴AC＝2CD＋CD＝3CD.
7.如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长.
第7题图
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
同理可得：AG＝CG，
∴C△AEG＝AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.
8.如图，AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过P向AB，AC作垂线PD，PE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：AF垂直平分DE.
第8题图
证明：∵AF平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
∴点P在DE的垂直平分线上，
在Rt△PAE和Rt△PAD中，，
∴Rt△PAE≌Rt△PAD（HL），
∴AE＝AD，
∴点A在DE的垂直平分线上，
∴AF垂直平分DE.
一、选择题
9.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则下列结论错误的是（ C ）
A.DE＝DC B.AD＝DB
C.AD＝BC D.BC＝AE
第9题图
C
二、解答题
10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF，求证：AE＝AF.
第10题图
证明：∵O为AC的中点，EF⊥AC，
∴AF＝CF，OA＝OC，
∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AE＝AF.
解答题
11.一题多变：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝a，DE垂直平分线段AB，交AB于点D，交AC于点E，△ABC的周长为b，求△BCE的周长.
第11题图
解：∵DE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，
∴BE＋EC＝AE＋EC＝a，
又∵△ABC的周长为b，AB＝AC＝a，
∴BC＝b－2a，
∴C△BCE＝BE＋EC＋BC＝a＋（b－2a）＝b－a；
第11题图
（1）∵直线DE是线段AB的一条对称轴，
∴EB＝EA，
∴C△BCE＝BE＋CE＋BC＝EA＋CE＋BC＝CA＋BC＝4cm；
（1）一变：如图所示，直线DE是线段AB的一条对称轴，点C在直线DE外，CA与DE相交于点E，连接BC，BE，已知CA＋CB＝4cm，求△BCE的周长；
（2）∵ED垂直平分线段AB，
∴EB＝EA，
∴C△BCE＝EB＋CE＋BC＝EA＋CE＋BC＝AC＋BC＝15cm，
又∵AB＝8cm，
∴C△ABC＝AB＋AC＋BC＝8＋15＝23cm.
第11题图
（2）二变：如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，ED垂直平分线段AB，交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为15cm，求△ABC的周长.
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第3课时 线段的垂直平分线的性质（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.下列图形中对称轴的数量小于3的是（ D ）
A
B
C
D
D
2.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（ A ）
A.AB＝2CM B.EF⊥AB
C.AE＝BE D.AM＝BM
第2题图
A
3.如图，在△ABC中，一位同学按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC长为半径，作与BC相交于C，E两点的弧；②分别以点C和点E为圆心，大于EC的长为半径作圆弧，两弧交于点P；③作射线AP，交BC于点D，连接PE，PC，AE.则下列结论错误的是（ D ）
A.PE＝PC B.ED＝CD
C.AP⊥BC D.∠BAE＝∠CAD
第3题图
D
4.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为14，BC＝8，则AC的长为（ B ）
A.5 B.6 C.7 D.8
第4题图
B
5.如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ B ）
A.AC、BC两边上的高的交点处
B.AC、BC两边垂直平分线的交点处
C.AC、BC两边上的中线的交点处
D.∠A、∠B两内角的平分线的交点处
第5题图
B
二、解答题
6.如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD和高AE.（不写作法，保留作图痕迹）
第6题图
解：如图所示：
BD和AE即为所作的线段.
7.如图，已知直线l及其两侧两点A、B，按要求作图：（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
解：（1）如图所示，点P即为所求；
第7题图
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
解：（2）如图所示，点Q即为所求.
8.如图，七年级（1）班与七年级（2）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使点P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请你找出点P.（不写作法，要求保留作图痕迹）
第8题图
解：如图所示，点P即为茶水供应点.
一、填空题
9.如图，∠MON内有一点P，点G是点P关于OM的轴对称点，点H是点P关于ON的轴对称点，GH分别交OM、ON于点A、B，若GH的长为14，则△PAB的周长是 14 .
第9题图
14
二、解答题
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°－∠EAD＝65°；
第10题图
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
第10题图
解答题
11.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F，求证：BE＝CF.
第11题图
证明：如图，连接BD、CD，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DG垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF.
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第4课时 画轴对称图形（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，且△ABC的面积是2cm2，则△A'B'C'的面积是（ A ）
A.2cm2 B.4cm2 C.16cm2 D.1cm2
2.如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ D ）
A.AC＝A'C'
B.BO＝B'O
C.AA'⊥MN
D.AB∥B'C'
第2题图
A
D
3.下列是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ B ）
A
B
C
D
B
二、填空题
4.如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，并且AB＝6，BC＝3，则A'C'长度的取值范围是 3＜A'C'＜9 .
第4题图
3＜A'C'＜9
三、解答题
5.把如图所示的图形（实线部分）补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴蝶图案.
第5题图
解：如图所示：
6.如图，给出了一个图案的一半，其中虚线l是这个图案的对称轴，请将这个图案补全.
第6题图
解：如图所示，这个图案是一个六角星.
7.如图，作四边形ABCD关于直线l的轴对称四边形A'B'C'D'，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？
第7题图
解：如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求，
如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
一、填空题
8.如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出 6 个格点三角形与△ABC成轴对称.
第8题图
6
二、解答题
9.如图，直线l和m相交于点O.
（1）先作出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'，再作出△A'B'C'关于直线m对称的△A1B1C1；
解：（1）△A'B'C'，△A1B1C1如图所示：
第9题图
（2）△ABC与△A1B1C1关于某条直线对称吗？若对称，请画出对称轴.
（2）由图可知，△ABC与△A1B1C1不关于某条直线对称.
10.如图，在△ABC中，点A、C在直线l上，∠B＝60°，∠ACB＝50°，AP⊥BC，垂足为P.
（1）试在图中作出△ABC关于直线l对称的图形△ADC；
解：（1）△ADC如图所示；
第10题图
（2）求∠BCD的度数并确定点P的对称点E，直接写出∠PAE的度数.
解：（2）∵△ADC与△ABC关于直线l对称，
∴∠ACD＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝2∠ACB＝100°，
如图，在CD上截取CE＝CP，则点E为点P的对称点，
∴∠EAC＝∠PAC，
∵AP⊥BC，
∴∠APC＝90°，
∴∠PAC＝90°－∠ACP＝40°，
∴∠PAE＝2∠PAC＝80°.
解答题
11.如图，在正方形网格上有一个△DEF（三个顶点均在格点上）.
（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形；（不写作法）
解：（1）如图，△ABC即为所求；
第11题图
（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△DEF的面积.
解：（2）S△DEF＝×3×2＝3.
第11题图
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第5课时 画轴对称图形（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，点M（3，－2）与点N关于x轴对称，则点N的坐标是（ C ）
A.（－3，－2） B.（－3，2）
C.（3，2） D.（2，－3）
2.已知点P（3，a）关于x轴的对称点为Q（b，2），则ab＝（ D ）
A.5 B.－5 C.6 D.－6
C
D
3.若点M（a－1，b－1）在第三象限，则它关于x轴对称的点所在象限是（ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.在平面直角坐标系中，点A（－3，－4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（ B ）
A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位
C.向下平移8个单位 D.向上平移8个单位
B
B
二、填空题
5.已知点P（2m＋4，m－1）在x轴上，点P1与点P关于y轴对称，那么点P1的坐标是 （－6，0） .
6.点M（＋1，－2）关于x轴对称的点在第 一 象限.
（－6，0）
一
三、解答题
7.已知点M（－2，2b－1），N（3a－11，5）.
（1）若点M，N关于y轴对称，试求a，b的值；
解：（1）依题意得3a－11＝2，2b－1＝5，
∴a＝，b＝3；
（2）若点M，N关于x轴对称，试求a＋b的算术平方根.
解：（2）依题意得3a－11＝－2，2b－1＝－5，
∴a＝3，b＝－2，
∴＝1，
即a＋b的算术平方根为1.
8.在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）三点.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
解：（1）画出△ABC如图所示，
第8题图
S△ABC＝3×4－×1×2－×2×3－×2×4＝12－1－3－4＝4
4
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
解：（2）∵点D与点C关于y轴对称，且C（4，3），
∴D（－4，3）
（－4，3）
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.
解：（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为2＋8＝10或2－8＝－6，
∴点P的坐标为（10，0）或（－6，0）.
一、填空题
9.已知点A（－3，2a－1）与点B（b，－3）关于x轴对称，那么点P（a，b）关于y轴的对称点P'的坐标为 （－2，－3） .
10.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是点 B .
（－2，－3）
B
第10题图
二、解答题
11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，2），B（－3，－2）.
（1）若点D与点A关于y轴对称，求点D的坐标；
解：（1）∵点D与点A关于y轴对称，且A（－2，2），
∴点D的坐标为（2，2）；
第11题图
（2）将点B先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，求点C的坐标；
解：（2）点C的坐标为（2，－1）；
（3）依次连接点A、B、C、D，求四边形ABCD的面积.
解：（3）如图，四边形ABCD即为所求，
补全矩形BFDE，
第11题图
∴S四边形ABCD＝S矩形BFDE－S△ABE－S△BCF＝5×4－×1×4－×1×5＝.
解答题
12.平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：
第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2＝AA1；
第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4＝A2A3；
第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6＝A4A5；
….
（1）求点A2与点A2023的坐标；
解：（1）由题意得，A1（1，－1），A2（1，－2），
A3（－1，－2），A4（－2，－2），
A5（－2，2），A6（－2，4），
A7（2，4），A8（4，4），…，
根据计算，可发现规律，每8次变换一循环，
第m循环组：（22m－2，－22m－2），（22m－2，－22m－1），（－22m－2，－22m－1），（－22m－1，－22m－1），（－22m－1，22m－1），（－22m－1，22m），（22m－1，22m），（22m，22m），
∵2023÷8＝252……7，
∴点A2023为第253循环组的第7个点，
∴A2023（2505，2506）；
（2）若点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请求出m和n之间的数量关系.
解：（2）∵点An的坐标恰好为（4m，4n），
∴点An在第一象限内，且An（22m，22n），
由（1）中的规律知，2m＝2n，即m＝n.
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第6课时 等腰三角形（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.（1）若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（ C ）
A.21 B.22或27
C.27 D.21或27
（2）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（ D ）
A.8 B.6
C.4 D.8或6
C
D
2.（1）若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为（ B ）
A.70°或55° B.55°
C.70° D.65°
（2）若等腰三角形中一个角是另一个角的4倍，则它的顶角度数为（ C ）
A.120° B.20°
C.20°或120° D.144°
B
C
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ B ）
A.70° B.71° C.74° D.76°
第3题图
B
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，有下列结论：①AD⊥BC；②BD＝DC；③∠B＝∠C；④∠BAD＝∠CAD，其中正确的有（ D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第4题图
D
二、解答题
5.如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AD＝AC，∠BAC＝60°，求∠B的度数.
第5题图
解：∵BD＝AD＝AC，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
∴∠C＝2∠B，
在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
即∠B＋2∠B＋60°＝180°，
∴∠B＝40°.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD为BC边上的高，且AD＝4，以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求△ABC三个顶点的坐标.
第6题图
解：如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∵BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝3，
又∵AD＝4，
∴A（3，4），B（0，0），C（6，0）.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，若∠BAD＝32°，求∠EDC的度数.
第7题图
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝32°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝（180°－∠DAE）＝×（180°－32°）＝74°，
∴∠EDC＝90°－∠ADE＝90°－74°＝16°.
一、填空题
8.在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为 58°或32° .
58°或
32°
第9题图
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ .
9.如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1，B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律依次作下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则：
二、解答题
10.如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，BD和CE有怎样的数量关系？请说明理由.
第10题图
解：BD＝CE，理由如下：
方法1：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADE＝∠B＋∠BAD，
∠AED＝∠C＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝CE；
方法2：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH（三线合一），
同理可证，DH＝EH，
∴BH－DH＝CH－EH，
即BD＝CE.
解答题
11.如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN.
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
同理，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴BC＝BM＋MN＋NC＝MA＋MN＋NA＝6；
第11题图
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数.
解：（2）∵∠MON＝30°，
∴∠OMN＋∠ONM＝150°，
∴∠BME＋∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，
∴∠BMA＝2∠BME，
同理，∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA＋∠ANC＝2（∠BME＋∠CNF）＝300°，
∴∠AMN＋∠ANM＝360°－300°＝60°，
∴∠MAN＝180°－60°＝120°.
第11题图
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第7课时 等腰三角形（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.在△ABC中，若∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°，则（ C ）
A.AB＝AC B.AC＝BC
C.AB＝BC D.AB＝AC＝BC
2.△ABC三个内角的比是∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶5，则△ABC是（ A ）
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.不能确定
C
A
3.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ADE的周长为18，则AB的长是（ B ）
A.8 B.9 C.10 D.12
第3题图
B
二、解答题
4.尺规作图：
如图，已知线段a，h.
求作等腰△ABC，使底边AB＝a，AB边上的高CD＝h.（不写作法，保留作图痕迹）
第4题图
解：如图，△ABC即为所求.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.
求证：△ADC是等腰三角形.
第5题图
证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝75°，
∵∠DAB＝45°，∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，
∴△ADC是等腰三角形.
6.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD＝CE.
求证：△ABC是等腰三角形.
第6题图
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL），
∴∠DCB＝∠EBC，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形.
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D.
（1）求∠ADC的度数；
（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝80°；
第7题图
（2）求证：△ACD为等腰三角形.
（2）证明：∵∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝80°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CA＝CD，
∴△ACD为等腰三角形.
第7题图
第9题图
一、填空题
8.在△ABC中，∠A＝20°，当∠B＝ 80°或20°或140° 时，△ABC为等腰三角形.
9.如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于点D，交AB于点M，有以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ABC的角平分线；
③C△BCD＝AC＋BC；④△ADM≌△BCD，则其中正确结论的序号是 ①③ .
80°或20°或140°
①③
二、解答题
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
第10题图
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数.
（2）解：∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∵∠CEF＋∠DEF＝∠B＋∠BDE，
∴∠DEF＝∠B，
∵AB＝BC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°－∠A）＝70°，
∴∠DEF＝70°.
第10题图
解答题
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且DC＝AB＋BD，若∠C＝26°，求∠BAC的度数.
第11题图
解：如图，在DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵DC＝AB＋BD，BD＝DE，
∴AB＝CE，
∵AD⊥BE，DE＝BD，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AED，AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝26°，
∴∠B＝∠AED＝∠EAC＋∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝102°.
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第8课时 等边三角形（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE，CE，若∠CED＝50°，则∠ABE＝（ C ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
第1题图
C
2.如图，等边△ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ B ）
A.25° B.35° C.45° D.55°
第2题图
3.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（ C ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
B
C
二、填空题
4.在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是 ∠A＝60°（答案不唯一） .（写出一个即可）
5.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，若BD＝3，则DE＝ 3 .
第5题图
∠A＝60°（答案不唯一）
3
三、解答题
6.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，E在AC上，求∠EDC的度数.
第6题图
解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝15°.
7.如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由.
第7题图
解：△OEF是等边三角形，理由如下：
∵BO平分∠ABC，△ABC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，
∵点E为BO垂直平分线上的点，
∴BE＝OE，∴∠EOB＝∠EBO＝30°，
∴∠OEF＝∠EBO＋∠EOB＝60°，
同理可得，∠OFE＝∠FCO＋∠FOC＝60°，
∴∠EOF＝180°－∠OEF－∠DFE＝60°，
∴∠EOF＝∠OEF＝∠OFE＝60°，
∴△OEF是等边三角形.
8.如图，P是在△ABC内一点，若∠PBC＝∠PCB＝10°，△APC是等边三角形.求∠ABP的度数.
第8题图
解：∵△APC是等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，AP＝PC，
∵∠PBC＝∠PCB＝10°，
∴PB＝PC，∴AP＝PB，
∴∠ABP＝∠PAB＝（180°－∠PBC－∠PCB－∠PAC－∠ACP）＝20°，
∴∠ABP的度数为20°.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G.若∠ADF＝80°，则∠GEC＝ 40 °.
第9题图
40
二、解答题
10.如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到等边△DEF.求证：
（1）△AEF≌△CDE；
证明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE，
∴FA＝EC，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE，
又∵AE＝CD，
∴△AEF≌△CDE（SSS）；
第10题图
（2）△ABC为等边三角形.
证明：（2）∵△AEF≌△CDE，
∴∠AEF＝∠CDE，∠AFE＝∠CED，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝∠AEF＋∠CED＝60°，
∴∠BAC＝∠AEF＋∠AFE＝60°，
∠ACB＝∠CED＋∠CDE＝60°，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
第10题图
解答题
11.如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN的中点，Q是CM的中点.求证：△BPQ是正三角形.
第11题图
证明：∵△ABM和△BCN是正三角形，
∴∠ABM＝∠CBN＝60°，
∴∠ABN＝∠MBC，
在△ABN和△MBC中，，
∴△ABN≌△MBC（SAS），
∴∠ANB＝∠MCB，AN＝CM，
∵P是AN的中点，Q是CM的中点，
∴NP＝CQ，
第11题图
在△BNP和△BCQ中，，
∴△BNP≌△BCQ（SAS），
∴PB＝QB，∠PBN＝∠CBQ，
∴∠PBQ＝∠PBN＋∠NBQ
＝∠CBQ＋∠NBQ＝60°，
∴△BPQ是正三角形.
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第9课时 等边三角形（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边的长为2cm，则斜边的长为（ B ）
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最长边AB＝12cm，则最短边BC的长为（ C ）
A.12cm B.10cm C.6cm D.4cm
B
C
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且CE＝2，那么AE的长为（ B ）
A.6 B.4 C.3 D.2
第3题图
B
二、填空题
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为 2 .
第4题图
2
第5题图
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于点A，若CD＝4cm，则BD＝ 8cm .
8cm
三、解答题
6.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于点E，若BE＝1，求AC的长.
第6题图
解：∵DE⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE＝2，
∵点D为AB边的中点，
∴AB＝2BD＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝4.
7.已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，求这个三角形的面积.
解：如图，设等腰△ABC的顶角为∠BAC，过点C作AB边的高CD，交BA的延长线于点D，
∴∠B＝∠ACB＝15°，AB＝AC＝8cm，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°，
∴CD＝AC＝4cm，
∴S△ABC＝AB·CD＝×8×4＝16cm2，
答：这个三角形的面积为16cm2.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＋DF＝，连接AD，求AB的长.
第8题图
解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠BAC＝30°，∴BH＝AB，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴AC·BH＝AB·DE＋AC·DF，
∵AB＝AC，BH＝AB，DE＋DF＝，
∴AB·AB＝AB（DE＋DF），
即AB＝DE＋DF＝，
∴AB＝.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于F，交AC于E，交BA的延长线于G，若EG＝3，则BF的长是 4 .
第9题图
4
第10题图
10.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为 5 .
5
二、解答题
11.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.
（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？
第11题图
∵在A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴∠PAB＝90°－75°＝15°，
∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴∠PBD＝90°－60°＝30°，
∵∠PBD＝∠PAB＋∠APB，
∴∠APB＝∠PBD－∠PAB＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴BP＝AB＝7海里，
∴此时轮船与小岛P的距离BP是7海里；
解：（1）如图，过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，
（2）小岛P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由.
解：（2）轮船没有触礁的危险，
理由：由（1）知，BP＝7海里，∠PBD＝30°，
∴PD＝PB＝3.5海里＞3海里，
∴轮船继续向东航行，没有触礁的危险.
第11题图
解答题
12.如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点G，EF⊥BC于点F.若CD＝3AE，CF＝6，求AC的长.
第12题图
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE⊥AE，∴∠AGE＝30°，
∴∠CGD＝∠AGE＝30°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠D＝60°，
∴∠D＝30°，∴CG＝CD，
设AE＝x，则CG＝CD＝3x，
在Rt△AEG中，∠AGE＝30°，
∴AG＝2AE＝2x，
∴AB＝BC＝AC＝AG＋CG＝5x，
∴BE＝AB－AE＝4x，BF＝BC－CF＝5x－6，
∵EF⊥BC，
第12题图
∴在Rt△BEF中，BE＝2BF，
即4x＝2（5x－6），解得x＝2，
∴AC＝5x＝10.
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第10课时 最短路径问题
第十三章 轴对称
解答题
1.如图，已知点A，点B和直线l.
（1）在直线l上求作一点P，使PA＋PB最短；
解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接PA，
∴PA＝PA'，PA＋PB＝PA'＋PB＝A'B，
此时PA＋PB最短，点P即为所求；
第1题图
（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明：PA＋PB＜QA＋QB.
解：（2）如图，在直线l上任取另一点Q，连接QA'，
∵点A与点A'关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上，
∴PA＝PA'，QA＝QA'，
∵QA'＋QB＞A'B，
∴QA＋QB＞PA'＋PB，
∴QA＋QB＞PA＋PB，即PA＋PB＜QA＋QB.
第1题图
2.如图，点A，B位于直线l的两侧，在直线l上求作点P，使｜PA－PB｜的值最大.
第2题图
解：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B并延长交直线l于点P，连接AP，此时｜PA－PB｜的值最大，点P即为所求.
3.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并标明放羊与饮水的位置.
第3题图
解：如图，作点A关于l1的对称点E，作点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，点D，连接AC，BD，则AC，CD，DB是他走的最短路线，即点C为放羊的位置，点D为饮水的位置.
4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，并求此时∠MAN的度数.
第4题图
解：如图，作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BAD＝100°，
∴∠A'＋∠A″＝180°－∠BAD＝80°，
∵∠A'＝∠MAB，∠NAD＝∠A″，
∴∠MAB＋∠NAD＝80°，
∴∠MAN＝100°－80°＝20°，
故当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数是20°.
5.已知点P在∠MON内.
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是点G，关于射线ON的对称点是点H，连接OG、OH、OP.
第5题图1
（i）若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
（ii）若PO＝5，连接GH，则当∠MON为多少度时，GH＝10？
解：（1）（i）由对称性知，∠MOG＝∠MOP，∠NOH＝∠NOP，
∵∠MON＝∠MOP＋∠NOP＝50°，
∴∠MOG＋∠NOH＝50°＝∠MON，
∴∠GOH＝∠MOG＋∠MON＋∠NOH＝2∠MON＝100°，
故答案为：100°；
（ii）∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，
∵GO＋HO＝10＝GH，
∴点G、O、H在同一直线上，即∠GOH＝180°，
∴∠MON＝∠GOH＝90°，
∴当∠MON＝90°时，GH＝10；
∴AP＝AP'，BP＝BP″，
∴此时△PAB的周长最小，
由轴对称性质可得，OP'＝OP″＝OP，∠P'OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P'OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP'P″＝∠OP″P'＝＝30°，
∴∠BPO＝∠BP″O＝∠APO＝∠AP'O＝30°，
∴∠APB＝30°＋30°＝60°.
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数.
第5题图2
解：（2）如图，分别作点P关于OM、ON的对称点P'、P″，连接OP、OP'、OP″、P'P″，P'P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，求PC＋PQ长度的最小值.
第6题图
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴Q关于AD的对称点在AB上，
如图，作点Q关于AD的对称点Q'，连接PQ'，则PQ＝PQ'，
当点C、P、Q'共线，且CQ'⊥AB时，PC＋PQ的长度最小，此时最小值为CQ'的长，
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CQ'，
∴CQ'＝＝＝，
∴PC＋PQ长度的最小值是.
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第11课时 复习巩固
第十三章 轴对称
一、选择题
1.为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动.现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是人们休闲的好去处.下列图书馆标志不是轴对称图形的是（ B ）
A
B
C
D
B
2.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ A ）
A.三条边的垂直平分线的交点处
B.三个角的角平分线的交点处
C.三角形三条高的交点处
D.三角形三条中线的交点处
第2题图
A
3.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（ D ）
A.90° B.95° C.100° D.105°
第3题图
D
二、填空题
4.等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为 3 .
5.在平面直角坐标系中有点P（3，2），点P和点P'关于直线y＝x对称，那么点P'的坐标为 （2，3） .
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的度数为 21° .
3
（2，3）
21°
第6题图
三、解答题
7.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，判断△ADE的形状，并说明理由.
第7题图
解：△ADE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝60°，
∵∠1＝∠2，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
8.如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.如果CE＝12，求ED的长.
第8题图
解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC＝12，
∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，
∴DE＝EB＝6.
9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
第9题图
（2）求△ABC的面积；
解：（2）S△ABC＝3×4－×2×3－×2×2－×1×4＝5；
第9题图
（3）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小.
解：（3）如图，连接AC1交直线l于点P，连接CP，此时△PAC的周长最小，点P即为所求的点.
一、填空题
10.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC＋PE最短时，∠CPE的度数是 60° .
第10题图
60°
第11题图
11.如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，连接GH分别交OM、ON于点A、B，若∠MON＝40°，则∠GOH＝ 80° .
80°
二、解答题
12.如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，交BP于点Q，连接PF，EF.
（1）若BQ＝2，求PE的长；
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝30°，
∵PE⊥AB，
∴∠BEP＝90°，
∴PE＝BP，
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ，
∵BQ＝2，∴BP＝4，∴PE＝2；
第12题图
（2）试判断△EFP的形状，并说明理由.
解：（2）△EFP是直角三角形，理由如下：
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠BEP＝90°，∴∠BPE＝60°，
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，∴∠BPF＝∠CBD＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB＋∠BPF＝90°，
∴△EFP是直角三角形.
第12题图
解答题
13.如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OD＝DP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，若EF＝6，求OF的长.
第13题图
解：如图，作PM⊥OB于点M，
∵OD＝DP＝14，
∴∠DPO＝∠AOB＝30°，
∴∠PDM＝∠DPO＋∠AOB＝60°，
∵PM⊥OB，∴∠DPM＝30°，
∴DM＝PD＝7，
又∵PE＝PF，
∴EM＝FM＝EF＝3，
∴DF＝DM－FM＝7－3＝4，
∴OF＝DF＋OD＝4＋14＝18.
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第1课时 轴对称
第十三章 轴对称
一、选择题
1.下列图形中，是轴对称图形的是（ D ）
A
B
C
D
D
2.下列图案中，不是轴对称图形的是（ B ）
A
B
C
D
3.如图所示的图案中，对称轴的条数相同的图案是（ B ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
第3题图
B
B
4.下列说法错误的是（ C ）
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形一定能关于某条直线对称
D.角是关于它的平分线对称的图形
C
5.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下列每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ A ）
A
B
C
D
6.如图是由“〇”和“□”组成的轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ C ）
A.l1
B.l2
C.l3
D.l4
第6题图
A
C
二、填空题
7.如图是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A＝35°，∠ACO＝30°，则∠BOC＝ 115° .
第7题图
115°
8.如图，△ABC沿着直线MN折叠后，与△DEF完全重合.
第8题图
（1）△ABC和△DEF关于直线 MN 对称，直线MN是 对称轴 ；
（2）点B的对称点是点 E ，点C的对称点是点 F ；
（3）PC＝ PF ，PD＝ PA ；
（4）直线MN 垂直平分 线段AD.
MN
对称轴
E
F
PF
PA
垂直平分
三、解答题
9.如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角.
第9题图
解：相等的线段：AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF；
相等的角：∠B＝∠E，∠C＝∠D，∠BAF＝∠EAF，∠AFD＝∠AFC.
10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为AC上一点，E为BC上一点，点A和点E关于BD对称，点B和点C关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数.
第10题图
解：∵点A和点E关于BD对称，
∴∠ABD＝∠EBD，
即∠ABC＝2∠ABD＝2∠EBD，
∵点B和点C关于DE对称，
∴∠DBE＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC＋∠C＝2∠C＋∠C＝3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ABC＝2∠C＝60°.
一、填空题
11.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，将△ACD，△BCE分别沿CD，CE翻折，点A，B分别落在点A'，B'的位置，再将△A'CD，△B'CE分别沿A'C，B'C 翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A'CB'的度数是 30° .
第11题图
30°
二、解答题
12.如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.
第12题图
解：如图所示：
解答题
13.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处.
（1）求证：△FGC≌△EBC；
（1）证明：由题意知∠GCF＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠BCE＝90°，
∴∠GCF＝∠BCE，
∵∠G＝∠D＝∠B＝90°，GC＝AD＝BC，
∴△FGC≌△EBC（ASA）；
第13题图
（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF（阴影部分）的面积.
（2）解：由折叠知DF＝GF，
∵△FGC≌△EBC，
∴GF＝BE，∴DF＝BE，
∴AE＋DF＝AE＋BE＝AB＝8，
∴S四边形ECGF＝S四边形AEFD＝＝16.
第13题图
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第2课时 线段的垂直平分线的性质（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ B ）
A.6 B.5 C.4 D.3
第1题图
B
2.如图，AC垂直平分线段BD，若AB＝3cm，CD＝5cm，则四边形ABCD的周长是（ C ）
A.11cm B.13cm C.16cm D.18cm
第2题图
C
第3题图
3.如图，将△ABC沿直线DE折叠后，点B与点A重合，已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ C ）
A.7cm B.10cm C.12cm D.22cm
C
二、填空题
4.如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD＝4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 22 .
第4题图
22
第5题图
5.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线，其中蕴含的道理是 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .
与一条线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上
三、解答题
6.如图，在△ABC中，AB的中垂线交AC于点D，交AB于点E，CD＝BD.
求证：AC＝3CD.
第6题图
证明：∵DE是AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∵CD＝BD，∴AD＝BD＝2CD，
∵AC＝AD＋CD，
∴AC＝2CD＋CD＝3CD.
7.如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长.
第7题图
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
同理可得：AG＝CG，
∴C△AEG＝AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.
8.如图，AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过P向AB，AC作垂线PD，PE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：AF垂直平分DE.
第8题图
证明：∵AF平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
∴点P在DE的垂直平分线上，
在Rt△PAE和Rt△PAD中，，
∴Rt△PAE≌Rt△PAD（HL），
∴AE＝AD，
∴点A在DE的垂直平分线上，
∴AF垂直平分DE.
一、选择题
9.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则下列结论错误的是（ C ）
A.DE＝DC B.AD＝DB
C.AD＝BC D.BC＝AE
第9题图
C
二、解答题
10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF，求证：AE＝AF.
第10题图
证明：∵O为AC的中点，EF⊥AC，
∴AF＝CF，OA＝OC，
∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AE＝AF.
解答题
11.一题多变：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝a，DE垂直平分线段AB，交AB于点D，交AC于点E，△ABC的周长为b，求△BCE的周长.
第11题图
解：∵DE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，
∴BE＋EC＝AE＋EC＝a，
又∵△ABC的周长为b，AB＝AC＝a，
∴BC＝b－2a，
∴C△BCE＝BE＋EC＋BC＝a＋（b－2a）＝b－a；
第11题图
（1）∵直线DE是线段AB的一条对称轴，
∴EB＝EA，
∴C△BCE＝BE＋CE＋BC＝EA＋CE＋BC＝CA＋BC＝4cm；
（1）一变：如图所示，直线DE是线段AB的一条对称轴，点C在直线DE外，CA与DE相交于点E，连接BC，BE，已知CA＋CB＝4cm，求△BCE的周长；
（2）∵ED垂直平分线段AB，
∴EB＝EA，
∴C△BCE＝EB＋CE＋BC＝EA＋CE＋BC＝AC＋BC＝15cm，
又∵AB＝8cm，
∴C△ABC＝AB＋AC＋BC＝8＋15＝23cm.
第11题图
（2）二变：如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，ED垂直平分线段AB，交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为15cm，求△ABC的周长.
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第3课时 线段的垂直平分线的性质（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.下列图形中对称轴的数量小于3的是（ D ）
A
B
C
D
D
2.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（ A ）
A.AB＝2CM B.EF⊥AB
C.AE＝BE D.AM＝BM
第2题图
A
3.如图，在△ABC中，一位同学按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC长为半径，作与BC相交于C，E两点的弧；②分别以点C和点E为圆心，大于EC的长为半径作圆弧，两弧交于点P；③作射线AP，交BC于点D，连接PE，PC，AE.则下列结论错误的是（ D ）
A.PE＝PC B.ED＝CD
C.AP⊥BC D.∠BAE＝∠CAD
第3题图
D
4.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为14，BC＝8，则AC的长为（ B ）
A.5 B.6 C.7 D.8
第4题图
B
5.如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ B ）
A.AC、BC两边上的高的交点处
B.AC、BC两边垂直平分线的交点处
C.AC、BC两边上的中线的交点处
D.∠A、∠B两内角的平分线的交点处
第5题图
B
二、解答题
6.如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD和高AE.（不写作法，保留作图痕迹）
第6题图
解：如图所示：
BD和AE即为所作的线段.
7.如图，已知直线l及其两侧两点A、B，按要求作图：（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
解：（1）如图所示，点P即为所求；
第7题图
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
解：（2）如图所示，点Q即为所求.
8.如图，七年级（1）班与七年级（2）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使点P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请你找出点P.（不写作法，要求保留作图痕迹）
第8题图
解：如图所示，点P即为茶水供应点.
一、填空题
9.如图，∠MON内有一点P，点G是点P关于OM的轴对称点，点H是点P关于ON的轴对称点，GH分别交OM、ON于点A、B，若GH的长为14，则△PAB的周长是 14 .
第9题图
14
二、解答题
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°－∠EAD＝65°；
第10题图
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
第10题图
解答题
11.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F，求证：BE＝CF.
第11题图
证明：如图，连接BD、CD，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DG垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF.
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第4课时 画轴对称图形（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，且△ABC的面积是2cm2，则△A'B'C'的面积是（ A ）
A.2cm2 B.4cm2 C.16cm2 D.1cm2
2.如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ D ）
A.AC＝A'C'
B.BO＝B'O
C.AA'⊥MN
D.AB∥B'C'
第2题图
A
D
3.下列是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ B ）
A
B
C
D
B
二、填空题
4.如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，并且AB＝6，BC＝3，则A'C'长度的取值范围是 3＜A'C'＜9 .
第4题图
3＜A'C'＜9
三、解答题
5.把如图所示的图形（实线部分）补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴蝶图案.
第5题图
解：如图所示：
6.如图，给出了一个图案的一半，其中虚线l是这个图案的对称轴，请将这个图案补全.
第6题图
解：如图所示，这个图案是一个六角星.
7.如图，作四边形ABCD关于直线l的轴对称四边形A'B'C'D'，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？
第7题图
解：如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求，
如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
一、填空题
8.如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出 6 个格点三角形与△ABC成轴对称.
第8题图
6
二、解答题
9.如图，直线l和m相交于点O.
（1）先作出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'，再作出△A'B'C'关于直线m对称的△A1B1C1；
解：（1）△A'B'C'，△A1B1C1如图所示：
第9题图
（2）△ABC与△A1B1C1关于某条直线对称吗？若对称，请画出对称轴.
（2）由图可知，△ABC与△A1B1C1不关于某条直线对称.
10.如图，在△ABC中，点A、C在直线l上，∠B＝60°，∠ACB＝50°，AP⊥BC，垂足为P.
（1）试在图中作出△ABC关于直线l对称的图形△ADC；
解：（1）△ADC如图所示；
第10题图
（2）求∠BCD的度数并确定点P的对称点E，直接写出∠PAE的度数.
解：（2）∵△ADC与△ABC关于直线l对称，
∴∠ACD＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝2∠ACB＝100°，
如图，在CD上截取CE＝CP，则点E为点P的对称点，
∴∠EAC＝∠PAC，
∵AP⊥BC，
∴∠APC＝90°，
∴∠PAC＝90°－∠ACP＝40°，
∴∠PAE＝2∠PAC＝80°.
解答题
11.如图，在正方形网格上有一个△DEF（三个顶点均在格点上）.
（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形；（不写作法）
解：（1）如图，△ABC即为所求；
第11题图
（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△DEF的面积.
解：（2）S△DEF＝×3×2＝3.
第11题图
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第5课时 画轴对称图形（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，点M（3，－2）与点N关于x轴对称，则点N的坐标是（ C ）
A.（－3，－2） B.（－3，2）
C.（3，2） D.（2，－3）
2.已知点P（3，a）关于x轴的对称点为Q（b，2），则ab＝（ D ）
A.5 B.－5 C.6 D.－6
C
D
3.若点M（a－1，b－1）在第三象限，则它关于x轴对称的点所在象限是（ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.在平面直角坐标系中，点A（－3，－4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（ B ）
A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位
C.向下平移8个单位 D.向上平移8个单位
B
B
二、填空题
5.已知点P（2m＋4，m－1）在x轴上，点P1与点P关于y轴对称，那么点P1的坐标是 （－6，0） .
6.点M（＋1，－2）关于x轴对称的点在第 一 象限.
（－6，0）
一
三、解答题
7.已知点M（－2，2b－1），N（3a－11，5）.
（1）若点M，N关于y轴对称，试求a，b的值；
解：（1）依题意得3a－11＝2，2b－1＝5，
∴a＝，b＝3；
（2）若点M，N关于x轴对称，试求a＋b的算术平方根.
解：（2）依题意得3a－11＝－2，2b－1＝－5，
∴a＝3，b＝－2，
∴＝1，
即a＋b的算术平方根为1.
8.在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）三点.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
解：（1）画出△ABC如图所示，
第8题图
S△ABC＝3×4－×1×2－×2×3－×2×4＝12－1－3－4＝4
4
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
解：（2）∵点D与点C关于y轴对称，且C（4，3），
∴D（－4，3）
（－4，3）
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.
解：（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为2＋8＝10或2－8＝－6，
∴点P的坐标为（10，0）或（－6，0）.
一、填空题
9.已知点A（－3，2a－1）与点B（b，－3）关于x轴对称，那么点P（a，b）关于y轴的对称点P'的坐标为 （－2，－3） .
10.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是点 B .
（－2，－3）
B
第10题图
二、解答题
11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，2），B（－3，－2）.
（1）若点D与点A关于y轴对称，求点D的坐标；
解：（1）∵点D与点A关于y轴对称，且A（－2，2），
∴点D的坐标为（2，2）；
第11题图
（2）将点B先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，求点C的坐标；
解：（2）点C的坐标为（2，－1）；
（3）依次连接点A、B、C、D，求四边形ABCD的面积.
解：（3）如图，四边形ABCD即为所求，
补全矩形BFDE，
第11题图
∴S四边形ABCD＝S矩形BFDE－S△ABE－S△BCF＝5×4－×1×4－×1×5＝.
解答题
12.平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：
第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2＝AA1；
第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4＝A2A3；
第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6＝A4A5；
….
（1）求点A2与点A2023的坐标；
解：（1）由题意得，A1（1，－1），A2（1，－2），
A3（－1，－2），A4（－2，－2），
A5（－2，2），A6（－2，4），
A7（2，4），A8（4，4），…，
根据计算，可发现规律，每8次变换一循环，
第m循环组：（22m－2，－22m－2），（22m－2，－22m－1），（－22m－2，－22m－1），（－22m－1，－22m－1），（－22m－1，22m－1），（－22m－1，22m），（22m－1，22m），（22m，22m），
∵2023÷8＝252……7，
∴点A2023为第253循环组的第7个点，
∴A2023（2505，2506）；
（2）若点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请求出m和n之间的数量关系.
解：（2）∵点An的坐标恰好为（4m，4n），
∴点An在第一象限内，且An（22m，22n），
由（1）中的规律知，2m＝2n，即m＝n.
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第6课时 等腰三角形（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.（1）若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（ C ）
A.21 B.22或27
C.27 D.21或27
（2）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（ D ）
A.8 B.6
C.4 D.8或6
C
D
2.（1）若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为（ B ）
A.70°或55° B.55°
C.70° D.65°
（2）若等腰三角形中一个角是另一个角的4倍，则它的顶角度数为（ C ）
A.120° B.20°
C.20°或120° D.144°
B
C
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ B ）
A.70° B.71° C.74° D.76°
第3题图
B
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，有下列结论：①AD⊥BC；②BD＝DC；③∠B＝∠C；④∠BAD＝∠CAD，其中正确的有（ D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第4题图
D
二、解答题
5.如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AD＝AC，∠BAC＝60°，求∠B的度数.
第5题图
解：∵BD＝AD＝AC，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
∴∠C＝2∠B，
在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
即∠B＋2∠B＋60°＝180°，
∴∠B＝40°.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD为BC边上的高，且AD＝4，以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求△ABC三个顶点的坐标.
第6题图
解：如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∵BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝3，
又∵AD＝4，
∴A（3，4），B（0，0），C（6，0）.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，若∠BAD＝32°，求∠EDC的度数.
第7题图
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝32°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝（180°－∠DAE）＝×（180°－32°）＝74°，
∴∠EDC＝90°－∠ADE＝90°－74°＝16°.
一、填空题
8.在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为 58°或32° .
58°或
32°
第9题图
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ .
9.如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1，B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律依次作下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则：
二、解答题
10.如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，BD和CE有怎样的数量关系？请说明理由.
第10题图
解：BD＝CE，理由如下：
方法1：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADE＝∠B＋∠BAD，
∠AED＝∠C＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝CE；
方法2：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH（三线合一），
同理可证，DH＝EH，
∴BH－DH＝CH－EH，
即BD＝CE.
解答题
11.如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN.
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
同理，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴BC＝BM＋MN＋NC＝MA＋MN＋NA＝6；
第11题图
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数.
解：（2）∵∠MON＝30°，
∴∠OMN＋∠ONM＝150°，
∴∠BME＋∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，
∴∠BMA＝2∠BME，
同理，∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA＋∠ANC＝2（∠BME＋∠CNF）＝300°，
∴∠AMN＋∠ANM＝360°－300°＝60°，
∴∠MAN＝180°－60°＝120°.
第11题图
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第7课时 等腰三角形（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.在△ABC中，若∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°，则（ C ）
A.AB＝AC B.AC＝BC
C.AB＝BC D.AB＝AC＝BC
2.△ABC三个内角的比是∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶5，则△ABC是（ A ）
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.不能确定
C
A
3.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ADE的周长为18，则AB的长是（ B ）
A.8 B.9 C.10 D.12
第3题图
B
二、解答题
4.尺规作图：
如图，已知线段a，h.
求作等腰△ABC，使底边AB＝a，AB边上的高CD＝h.（不写作法，保留作图痕迹）
第4题图
解：如图，△ABC即为所求.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.
求证：△ADC是等腰三角形.
第5题图
证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝75°，
∵∠DAB＝45°，∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，
∴△ADC是等腰三角形.
6.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD＝CE.
求证：△ABC是等腰三角形.
第6题图
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL），
∴∠DCB＝∠EBC，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形.
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D.
（1）求∠ADC的度数；
（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝80°；
第7题图
（2）求证：△ACD为等腰三角形.
（2）证明：∵∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝80°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CA＝CD，
∴△ACD为等腰三角形.
第7题图
第9题图
一、填空题
8.在△ABC中，∠A＝20°，当∠B＝ 80°或20°或140° 时，△ABC为等腰三角形.
9.如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于点D，交AB于点M，有以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ABC的角平分线；
③C△BCD＝AC＋BC；④△ADM≌△BCD，则其中正确结论的序号是 ①③ .
80°或20°或140°
①③
二、解答题
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
第10题图
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数.
（2）解：∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∵∠CEF＋∠DEF＝∠B＋∠BDE，
∴∠DEF＝∠B，
∵AB＝BC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°－∠A）＝70°，
∴∠DEF＝70°.
第10题图
解答题
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且DC＝AB＋BD，若∠C＝26°，求∠BAC的度数.
第11题图
解：如图，在DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵DC＝AB＋BD，BD＝DE，
∴AB＝CE，
∵AD⊥BE，DE＝BD，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AED，AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝26°，
∴∠B＝∠AED＝∠EAC＋∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝102°.
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第8课时 等边三角形（1）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE，CE，若∠CED＝50°，则∠ABE＝（ C ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
第1题图
C
2.如图，等边△ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ B ）
A.25° B.35° C.45° D.55°
第2题图
3.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（ C ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
B
C
二、填空题
4.在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是 ∠A＝60°（答案不唯一） .（写出一个即可）
5.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，若BD＝3，则DE＝ 3 .
第5题图
∠A＝60°（答案不唯一）
3
三、解答题
6.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，E在AC上，求∠EDC的度数.
第6题图
解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝15°.
7.如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由.
第7题图
解：△OEF是等边三角形，理由如下：
∵BO平分∠ABC，△ABC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，
∵点E为BO垂直平分线上的点，
∴BE＝OE，∴∠EOB＝∠EBO＝30°，
∴∠OEF＝∠EBO＋∠EOB＝60°，
同理可得，∠OFE＝∠FCO＋∠FOC＝60°，
∴∠EOF＝180°－∠OEF－∠DFE＝60°，
∴∠EOF＝∠OEF＝∠OFE＝60°，
∴△OEF是等边三角形.
8.如图，P是在△ABC内一点，若∠PBC＝∠PCB＝10°，△APC是等边三角形.求∠ABP的度数.
第8题图
解：∵△APC是等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，AP＝PC，
∵∠PBC＝∠PCB＝10°，
∴PB＝PC，∴AP＝PB，
∴∠ABP＝∠PAB＝（180°－∠PBC－∠PCB－∠PAC－∠ACP）＝20°，
∴∠ABP的度数为20°.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G.若∠ADF＝80°，则∠GEC＝ 40 °.
第9题图
40
二、解答题
10.如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到等边△DEF.求证：
（1）△AEF≌△CDE；
证明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE，
∴FA＝EC，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE，
又∵AE＝CD，
∴△AEF≌△CDE（SSS）；
第10题图
（2）△ABC为等边三角形.
证明：（2）∵△AEF≌△CDE，
∴∠AEF＝∠CDE，∠AFE＝∠CED，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝∠AEF＋∠CED＝60°，
∴∠BAC＝∠AEF＋∠AFE＝60°，
∠ACB＝∠CED＋∠CDE＝60°，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
第10题图
解答题
11.如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN的中点，Q是CM的中点.求证：△BPQ是正三角形.
第11题图
证明：∵△ABM和△BCN是正三角形，
∴∠ABM＝∠CBN＝60°，
∴∠ABN＝∠MBC，
在△ABN和△MBC中，，
∴△ABN≌△MBC（SAS），
∴∠ANB＝∠MCB，AN＝CM，
∵P是AN的中点，Q是CM的中点，
∴NP＝CQ，
第11题图
在△BNP和△BCQ中，，
∴△BNP≌△BCQ（SAS），
∴PB＝QB，∠PBN＝∠CBQ，
∴∠PBQ＝∠PBN＋∠NBQ
＝∠CBQ＋∠NBQ＝60°，
∴△BPQ是正三角形.
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第9课时 等边三角形（2）
第十三章 轴对称
一、选择题
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边的长为2cm，则斜边的长为（ B ）
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最长边AB＝12cm，则最短边BC的长为（ C ）
A.12cm B.10cm C.6cm D.4cm
B
C
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且CE＝2，那么AE的长为（ B ）
A.6 B.4 C.3 D.2
第3题图
B
二、填空题
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为 2 .
第4题图
2
第5题图
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于点A，若CD＝4cm，则BD＝ 8cm .
8cm
三、解答题
6.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于点E，若BE＝1，求AC的长.
第6题图
解：∵DE⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE＝2，
∵点D为AB边的中点，
∴AB＝2BD＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝4.
7.已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，求这个三角形的面积.
解：如图，设等腰△ABC的顶角为∠BAC，过点C作AB边的高CD，交BA的延长线于点D，
∴∠B＝∠ACB＝15°，AB＝AC＝8cm，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°，
∴CD＝AC＝4cm，
∴S△ABC＝AB·CD＝×8×4＝16cm2，
答：这个三角形的面积为16cm2.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＋DF＝，连接AD，求AB的长.
第8题图
解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠BAC＝30°，∴BH＝AB，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴AC·BH＝AB·DE＋AC·DF，
∵AB＝AC，BH＝AB，DE＋DF＝，
∴AB·AB＝AB（DE＋DF），
即AB＝DE＋DF＝，
∴AB＝.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于F，交AC于E，交BA的延长线于G，若EG＝3，则BF的长是 4 .
第9题图
4
第10题图
10.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为 5 .
5
二、解答题
11.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.
（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？
第11题图
∵在A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴∠PAB＝90°－75°＝15°，
∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴∠PBD＝90°－60°＝30°，
∵∠PBD＝∠PAB＋∠APB，
∴∠APB＝∠PBD－∠PAB＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴BP＝AB＝7海里，
∴此时轮船与小岛P的距离BP是7海里；
解：（1）如图，过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，
（2）小岛P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由.
解：（2）轮船没有触礁的危险，
理由：由（1）知，BP＝7海里，∠PBD＝30°，
∴PD＝PB＝3.5海里＞3海里，
∴轮船继续向东航行，没有触礁的危险.
第11题图
解答题
12.如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点G，EF⊥BC于点F.若CD＝3AE，CF＝6，求AC的长.
第12题图
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE⊥AE，∴∠AGE＝30°，
∴∠CGD＝∠AGE＝30°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠D＝60°，
∴∠D＝30°，∴CG＝CD，
设AE＝x，则CG＝CD＝3x，
在Rt△AEG中，∠AGE＝30°，
∴AG＝2AE＝2x，
∴AB＝BC＝AC＝AG＋CG＝5x，
∴BE＝AB－AE＝4x，BF＝BC－CF＝5x－6，
∵EF⊥BC，
第12题图
∴在Rt△BEF中，BE＝2BF，
即4x＝2（5x－6），解得x＝2，
∴AC＝5x＝10.
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第10课时 最短路径问题
第十三章 轴对称
解答题
1.如图，已知点A，点B和直线l.
（1）在直线l上求作一点P，使PA＋PB最短；
解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接PA，
∴PA＝PA'，PA＋PB＝PA'＋PB＝A'B，
此时PA＋PB最短，点P即为所求；
第1题图
（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明：PA＋PB＜QA＋QB.
解：（2）如图，在直线l上任取另一点Q，连接QA'，
∵点A与点A'关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上，
∴PA＝PA'，QA＝QA'，
∵QA'＋QB＞A'B，
∴QA＋QB＞PA'＋PB，
∴QA＋QB＞PA＋PB，即PA＋PB＜QA＋QB.
第1题图
2.如图，点A，B位于直线l的两侧，在直线l上求作点P，使｜PA－PB｜的值最大.
第2题图
解：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B并延长交直线l于点P，连接AP，此时｜PA－PB｜的值最大，点P即为所求.
3.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并标明放羊与饮水的位置.
第3题图
解：如图，作点A关于l1的对称点E，作点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，点D，连接AC，BD，则AC，CD，DB是他走的最短路线，即点C为放羊的位置，点D为饮水的位置.
4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，并求此时∠MAN的度数.
第4题图
解：如图，作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BAD＝100°，
∴∠A'＋∠A″＝180°－∠BAD＝80°，
∵∠A'＝∠MAB，∠NAD＝∠A″，
∴∠MAB＋∠NAD＝80°，
∴∠MAN＝100°－80°＝20°，
故当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数是20°.
5.已知点P在∠MON内.
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是点G，关于射线ON的对称点是点H，连接OG、OH、OP.
第5题图1
（i）若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
（ii）若PO＝5，连接GH，则当∠MON为多少度时，GH＝10？
解：（1）（i）由对称性知，∠MOG＝∠MOP，∠NOH＝∠NOP，
∵∠MON＝∠MOP＋∠NOP＝50°，
∴∠MOG＋∠NOH＝50°＝∠MON，
∴∠GOH＝∠MOG＋∠MON＋∠NOH＝2∠MON＝100°，
故答案为：100°；
（ii）∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，
∵GO＋HO＝10＝GH，
∴点G、O、H在同一直线上，即∠GOH＝180°，
∴∠MON＝∠GOH＝90°，
∴当∠MON＝90°时，GH＝10；
∴AP＝AP'，BP＝BP″，
∴此时△PAB的周长最小，
由轴对称性质可得，OP'＝OP″＝OP，∠P'OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P'OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP'P″＝∠OP″P'＝＝30°，
∴∠BPO＝∠BP″O＝∠APO＝∠AP'O＝30°，
∴∠APB＝30°＋30°＝60°.
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数.
第5题图2
解：（2）如图，分别作点P关于OM、ON的对称点P'、P″，连接OP、OP'、OP″、P'P″，P'P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，求PC＋PQ长度的最小值.
第6题图
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴Q关于AD的对称点在AB上，
如图，作点Q关于AD的对称点Q'，连接PQ'，则PQ＝PQ'，
当点C、P、Q'共线，且CQ'⊥AB时，PC＋PQ的长度最小，此时最小值为CQ'的长，
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CQ'，
∴CQ'＝＝＝，
∴PC＋PQ长度的最小值是.
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第11课时 复习巩固
第十三章 轴对称
一、选择题
1.为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动.现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是人们休闲的好去处.下列图书馆标志不是轴对称图形的是（ B ）
A
B
C
D
B
2.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ A ）
A.三条边的垂直平分线的交点处
B.三个角的角平分线的交点处
C.三角形三条高的交点处
D.三角形三条中线的交点处
第2题图
A
3.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（ D ）
A.90° B.95° C.100° D.105°
第3题图
D
二、填空题
4.等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为 3 .
5.在平面直角坐标系中有点P（3，2），点P和点P'关于直线y＝x对称，那么点P'的坐标为 （2，3） .
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的度数为 21° .
3
（2，3）
21°
第6题图
三、解答题
7.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，判断△ADE的形状，并说明理由.
第7题图
解：△ADE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝60°，
∵∠1＝∠2，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
8.如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.如果CE＝12，求ED的长.
第8题图
解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC＝12，
∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，
∴DE＝EB＝6.
9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
第9题图
（2）求△ABC的面积；
解：（2）S△ABC＝3×4－×2×3－×2×2－×1×4＝5；
第9题图
（3）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小.
解：（3）如图，连接AC1交直线l于点P，连接CP，此时△PAC的周长最小，点P即为所求的点.
一、填空题
10.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC＋PE最短时，∠CPE的度数是 60° .
第10题图
60°
第11题图
11.如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，连接GH分别交OM、ON于点A、B，若∠MON＝40°，则∠GOH＝ 80° .
80°
二、解答题
12.如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，交BP于点Q，连接PF，EF.
（1）若BQ＝2，求PE的长；
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝30°，
∵PE⊥AB，
∴∠BEP＝90°，
∴PE＝BP，
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ，
∵BQ＝2，∴BP＝4，∴PE＝2；
第12题图
（2）试判断△EFP的形状，并说明理由.
解：（2）△EFP是直角三角形，理由如下：
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠BEP＝90°，∴∠BPE＝60°，
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，∴∠BPF＝∠CBD＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB＋∠BPF＝90°，
∴△EFP是直角三角形.
第12题图
解答题
13.如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OD＝DP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，若EF＝6，求OF的长.
第13题图
解：如图，作PM⊥OB于点M，
∵OD＝DP＝14，
∴∠DPO＝∠AOB＝30°，
∴∠PDM＝∠DPO＋∠AOB＝60°，
∵PM⊥OB，∴∠DPM＝30°，
∴DM＝PD＝7，
又∵PE＝PF，
∴EM＝FM＝EF＝3，
∴DF＝DM－FM＝7－3＝4，
∴OF＝DF＋OD＝4＋14＝18.
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