第十四章 整式的乘法与因式分解 习题课件(共266张PPT) 2024-2025学年数学人教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 第十四章 整式的乘法与因式分解 习题课件(共266张PPT) 2024-2025学年数学人教版八年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 10:25:59 | ||
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文档简介
(共266张PPT)
第1课时 同底数幂的乘法
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算：a5·a6＝（ A ）
A.a11 B.a12 C.a30 D.a31
（2）下列计算正确的是（ D ）
A.x3·x3＝2x3 B.x·x3＝x3
C.x3·x2＝x6 D.x3·x4＝x7
（3）下列计算正确的是（ D ）
A.b3·b2＝b6 B.x3＋x3＝x6
C.a4＋a2＝a6 D.m·m5＝m6
A
D
D
2.计算－（－m2）·（－m）3·（－m）的正确结果是（ C ）
A.－m3 B.m5 C.m6 D.－m6
3.（1）已知2m＝1，2n＝3，则2m＋n＝（ B ）
A.2 B.3 C.4 D.6
（2）已知x＋y－3＝0，则2x·2y的值为（ B ）
A.64 B.8 C.6 D.12
C
B
B
二、填空题
4.计算：
（1）2×22×23＝ 26 ；
（2）10m＋1×10n－1＝ 10m＋n ；
（3）（－x）3·（－x）2＝ －x5 ；
（4）（m－n）·（m－n）2·（m－n）3＝ （m－n）6 ；
（5）（x－y）·（y－x）3＝ －（x－y）4 .
5.若a4·＝a11，则m＝ 4 .
26
10m＋n
－x5
（m－n）6
－（x－y）4
4
三、解答题
6.计算：
（1）（－x）（－x3）（－x3）（－x4）；
解：原式＝x4·x7
＝x11.
（2）（－a2）·（－a）3；
解：原式＝（－a2）·（－a3）
＝a2＋3
＝a5.
（3）（x－2y）2（x－2y）3.
解：原式＝（x－2y）2＋3
＝（x－2y）5.
7.计算下列各题：
（1）（a－b）3·（a－b）2·（b－a）5；
解：原式＝（a－b）5·[－（a－b）5]
＝－（a－b）10.
（2）a2·a3－（－a3）·a4＋a6·（－a）；
解：原式＝a5＋a7－a7
＝a5.
（3）（m－n）2（n－m）3（m－n）6.
解：原式＝（n－m）2（n－m）3（n－m）6
＝（n－m）2＋3＋6
＝（n－m）11.
8.（1）若ax＋3＝a2x＋1（a≠0，a≠1），求x的值；
解：由题意得x＋3＝2x＋1，
则x＝2.
（2）若px·p6＝p2x（p≠0，p≠1），求x的值；
解：由题意得px＋6＝p2x，
∴x＋6＝2x，则x＝6.
（3）若an＋1·am＋n＝a6（a≠0且a≠1），且2m＝8，求mn的值.
解：由题意得，an＋1·am＋n＝am＋2n＋1＝a6，
则m＋2n＝5，
∵2m＝8＝23，∴m＝3，
∴3＋2n＝5，∴n＝1，
故mn＝3.
一、填空题
9.已知x·xm·xn＝x14（x≠0，x≠1），且m比n大3，则mn的值为 40 .
10.已知10α＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式是 10α＋β＋γ .
40
10α＋β＋γ
二、解答题
11.（1）若2a＋5＝9，求3×2a＋4的值；
解：∵2a＋5＝9，
∴2a＋4×2＝9，
∴2a＋4＝，
则3×2a＋4＝3×＝.
（2）已知a＋b＋c＝3，求22a－3·23b－2·2a＋3c的值.
解：22a－3·23b－2·2a＋3c
＝22a－3＋3b－2＋a＋3c
＝23（a＋b＋c）－5，
∵a＋b＋c＝3，
∴原式＝23×3－5＝24＝16.
12.规定运算：a*b＝2a×2b.
（1）求2*3的值；
解：（1）∵a*b＝2a×2b，
（2）若2*（x＋1）＝16，求x的值.
∴2*3＝22×23＝4×8＝32；
解：（2）∵2*（x＋1）＝16，
∴22·2x＋1＝24，即22＋x＋1＝24，
∴2＋x＋1＝4，
解得：x＝1.
解答题
13.记M（1）＝－2，
M（2）＝（－2）×（－2），
M（3）＝（－2）×（－2）×（－2），
…，
M（n）＝.
（1）计算：M（5）＋M（6）；
（2）求2M（2023）＋M（2024）的值；
（3）说明2M（n）与M（n＋1）互为相反数.
解：（1）M（5）＋M（6）
＝（－2）5＋（－2）6
＝－32＋64＝32；
（2）2M（2023）＋M（2024）
＝2×（－2）2023＋（－2）2024
＝－22024＋22024＝0；
（3）2M（n）＋M（n＋1）
＝2·（－2）n＋（－2）n＋1
＝（－2）n（2－2）＝0，
∴2M（n）与M（n＋1）互为相反数.
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第2课时 幂的乘方
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.计算：（－a4）2＝（ C ）
A.2 B.－4 C. D.－a8
2.下列各式运算正确的是（ D ）
A.a3＋a3＝ B.x3·x2＝x6
C.（a3）2＝ D.（－a2）3＝－a6
3.下列各式运算正确的是（ B ）
A.（x4）3＝x7 B.（am）2＝a2m
C.[（－a）2]5＝－a10 D.（－a3）2＝－a6
C
D
B
4.下列计算结果是a9的是（ A ）
A.a3·a6 B.（a3）6
C.a3＋a6 D.a9＋a9
A
二、解答题
5.计算：
（1）（102）3； （2）－（a2）4；
解：原式＝106；
解：原式＝－a8.
（3）（x3）5·x3； （4）[（－x）2]3；
解：原式＝x15·x3＝x18；
解：原式＝x6.
（5）（－a）2（a2）2；
解：原式＝a6；
（6）x·（－x2）2－x2·x3.
解：原式＝x5－x5
＝0.
6.计算：
（1）x2·x5·x＋4（－x4）2＋（x2）4；
解：原式＝x8＋4x8＋x8
＝6x8.
（2）9（x3）2－x2·x4－（x2）3；
解：原式＝9x6－x6－x6
＝7x6.
（3）a3·a·a4＋7（a4）2＋（－a2）4；
解：原式＝a8＋7a8＋a8
＝9a8.
（4）（－a）3·a2－（－a）2·（－a3）.
解：原式＝－a5＋a2·a3
＝0.
7.解方程：
（1）23x－1·22－x＝2x＋2；
解：∵23x－1·22－x＝2x＋2，
∴3x－1＋2－x＝x＋2，
解得x＝1.
（2）3x·92x＝910.
解：∵3x·92x＝910，
∴3x·34x＝320，
∴x＋4x＝20，
解得x＝4.
一、选择题
8.若x，y均为正整数，且2x·4y＝32，则x＋2y的值为（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
C
二、填空题
9.已知am＝3，a2m＋n＝45，则an＝ 5 .
10.已知27b＝9×3a＋3，16＝4×22b－2，则a＋b的值为 3 .
5
3
三、解答题
11.已知n为正整数，且x2n＝4，求9（x3n）2－13（x2）2n的值.
解：∵x2n＝4，
∴9（x3n）2－13（x2）2n
＝9（x2n）3－13（x2n）2
＝9×43－13×42
＝368.
12.解答下列问题：
（1）已知3m＝5，3n＝2，求33m＋2n＋1的值；
解：∵3m＝5，3n＝2，
∴原式＝（3m）3·（3n）2×3
＝53×22×3
＝125×4×3
＝1500.
（2）若3x＋4y－3＝0，求27x·81y的值；
解：∵3x＋4y－3＝0，
∴3x＋4y＝3，
∴原式＝33x·34y
＝33x＋4y
＝33
＝27.
（3）已知16m＝4×22n－2，27n＝9×3m＋3，求（m－n）2024的值.
解：∵16m＝4×22n－2，27n＝9×3m＋3，
∴24m＝22×22n－2，33n＝32×3m＋3，
则4m＝2＋2n－2，3n＝2＋m＋3，
解得：m＝1，n＝2，
则（m－n）2024＝1.
13.比较大小：
（1）比较2100与375的大小；
解：∵2100＝（24）25＝1625，
375＝（33）25＝2725，
而16＜27，
∴1625＜2725，
∴2100＜375.
（2）比较344、433、522的大小；
解：∵344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
522＝（52）11＝2511，
而81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522.
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小.
解：由b3＝3可得b＞0，
当a＜0时，a＜b；
当a＞0时，a6＝8，b6＝9，
∵8＜9，
∴a6＜b6，
∴a＜b，
综上所述，a＜b.
解答题
14.若2a＝2，4b＝6，8c＝12，试求a，b，c的数量关系.
解：∵4b＝6，∴22b＝6，
∵8c＝12，∴23c＝12，
∴2a·22b＝2×6＝12，
即2a＋2b＝12，
∴2a＋2b＝23c，
∴a＋2b＝3c.
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第3课时 积的乘方
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算的结果是（ C ）
A.6x6 B.8x27 C.8x9 D.6x
（2）计算的结果是（ C ）
A.m6n B.m5n2 C.m6n2 D.m3n2
（3）计算的结果是（ B ）
A.－m5n B.－m6n3
C.m6n3 D.－m5n3
C
C
B
2.（1）下列计算正确的是（ C ）
A.x2·x4＝x8 B.＝x5
C.x2＋x2＝2x2 D.（3x）2＝3x2
（2）下列运算中，正确的是（ A ）
A.＝16x4y6
B.－＝12x2y6
C.＝－9x9y
D.（－x）3·x2·（－x）＝x5
C
A
3.（1）计算：2200×＝（ A ）
A.1 B.－1 C.2400 D.－2400
（2）计算：（－4）2023×＝（ D ）
A.4 B.－4 C. D.－
4.已知xa＝2，xb＝4，则x2a＋b的值是（ D ）
A.2 B.6 C.8 D.16
A
D
D
二、填空题
5.若（a3·ax）2＝a20，则x的值为 7 .
6.计算：·＝ － .
7.计算：（1）－＝ －x3y6 ；
（2）（－a3）4＋（－2a2）3＝ a12－8a6 .
7
－
－x3y6
a12－8a6
三、解答题
8.计算：
（1）（－5b）3；
解：原式＝－125b3.
（2）－；
解：原式＝－a4b6.
（3）.
解：原式＝a4b2.
9.计算：
（1）（－a3b6）2－（－a2b4）3－2a4b2·（ab5）2；
解：原式＝a6b12＋a6b12－2a4b2·a2b10
＝2a6b12－2a6b12
＝0.
（2）a3·a·a4＋（－2a4）2＋（a2）4；
解：原式＝a8＋4a8＋a8
＝6a8.
（3）（2a2）3＋（－3a3）2＋（a2）2·a2；
解：原式＝8a6＋9a6＋a4·a2
＝8a6＋9a6＋a6
＝18a6.
（4）m·m5＋（－2m3）2－4（m2）3；
解：原式＝m6＋4m6－4m6
＝m6.
（5）××.
解：原式＝×××
＝××
＝－1××
＝－.
一、填空题
10.（1）计算：×41010＝ ；
（2）计算：[a（a－b）2]3·[a2（b－a）3]2＝ a7（a－b）12 ；
（3）如果＝a9b12，那么m＋n＝ 7 ；
（4）已知an＝－1，b2n＝3，则（－a2b）4n的值为 9 ；
（5）已知3m·9m·27m·81m＝330，则m的值为 3 .
11.有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长每秒扩大到之前的102倍，则3秒后该正方体的体积是 1021 cm3.
a7（a－b）12
7
9
3
1021
二、解答题
12.（1）已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值；
解：∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3，
则原式＝（22）x·（25）y
＝22x·25y
＝22x＋5y
＝23
＝8.
（2）已知25m·2·10n＝57·24，求m，n的值.
解：25m·2·10n＝52m·2·（2×5）n
＝52m＋n·2n＋1，
∵25m·2·10n＝57·24，
∴52m＋n·2n＋1＝57·24，
则，解得，
∴m的值为2，n的值为3.
13.计算下列各题：
（1）0.1259×（－8）10＋×（2）12；
解：原式＝（0.125×8）9×8＋×
＝1×8＋1×
＝.
（2）an－5·（an＋1b3m－2）2＋（an－1bm－2）3·（－b3m＋2）.
解：原式＝an－5·（a2n＋2b6m－4）＋（a3n－3b3m－6）·（－b3m＋2）
＝a3n－3b6m－4－a3n－3b6m－4
＝0.
解答题
14.若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n.
试利用上述结论分别求下列各方程中x的值：
（1）2×8x＝27；
解：（1）原方程可化为2×23x＝27，
∴23x＋1＝27，
∴3x＋1＝7，
解得x＝2；
（2）2x＋1×3x＋1＝36x－2；
解：（2）原方程可化为（2×3）x＋1＝36x－2，
∴6x＋1＝62（x－2），
∴x＋1＝2（x－2），
解得x＝5；
（3）2x＋2＋2x＋1＝24.
解：（3）原方程可化为2×2x＋1＋2x＋1＝24，
∴3×2x＋1＝3×8，
∴2x＋1＝8＝23，
∴x＋1＝3，
解得x＝2.
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第4课时 整式的乘法（1）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算6x2·x3的结果是（ B ）
A.6x B.6x5 C.6x6 D.6x9
（2）计算（2x）3·（－x2）的结果为（ C ）
A.8x6 B.－2x5 C.－8x5 D.2x5
（3）计算：（－2x2y3）·3xy2＝（ B ）
A.－6x2y6 B.－6x3y5
C.－5x3y5 D.－24x7y5
B
C
B
2.下列运算正确的是（ D ）
A.4x＋5y＝9xy B.2a3·a3＝8a6
C.a2·a3＝a6 D.（－ab）4＝a4b4
3.若（ ）·（－xy）2＝4x2y3，则括号里应填的单项式是（ A ）
A.4y B.－4y C.4xy D.－2xy
D
A
二、填空题
4.计算：（1）（－2x2）·3x4＝ －6x6 ；
（2）－4a3b2c·3ab3＝ －12a4b5c ；
（3）（3×105）×（8×105）＝ 2.4×1011 .（结果用科学记数法表示）
5.计算：3xmy3·（－2xym＋1）＝ －6xm＋1ym＋4 .（m是正整数）
6.（1）已知3x3y·★＝12x5y，则“★”所表示的式子是 4x2 ；
（2）若5am＋1b2与3an＋2bn的积是15a8b4，则nm＝ 8 .
－6x6
－12a4b5c
2.4×1011
－6xm＋1ym＋4
4x2
8
三、解答题
7.计算：
（1）·；
解：原式＝－×a3bc2
＝－a3bc2.
（2）·（－3xy）；
解：原式＝4x4y2·（－3xy）
＝－12x5y3.
（3）（5×105）×（3×102）.
解：原式＝1.5×108.
8.计算下列各题：
（1）2x7·（－x3）－（－x3）2·x4；
解：原式＝－2x10－x6·x4
＝－2x10－x10
＝－3x10.
（2）（－2x2y）3＋（3x）2·（－x）4·y3；
解：原式＝－8x6y3＋9x2·x4y3
＝－8x6y3＋9x6y3
＝x6y3.
（3）（－3a3）2·a3＋（－4a2）·a7－（5a3）3；
解：原式＝9a6·a3－4a2·a7－125a9
＝9a9－4a9－125a9
＝－120a9.
（4）先化简，再求值：（－2a2b3）（－ab2）2＋·4b，其中a＝2，b＝1.
解：原式＝－2a2b3·a2b4＋a4b6·4b
＝－2a4b7＋a4b7
＝－a4b7，
当a＝2，b＝1时，
原式＝－24×1＝－16.
一、选择题
9.计算2x·（－3xy）2·（－x2y）3的结果是（ C ）
A.18x8y5 B.6x9y5
C.－18x9y5 D.－6x4y5
C
二、填空题
10.（1）若2a3y2·（－4a2y3）＝ma5yn，则m＋n的值为 －3 ；
（2）若－5am＋1·b2n－1·2ab2＝－10a4b4，则m－n的值为 ；
（3）如果单项式－3x2a－by2与x3a＋by5a＋8b是同类项，那么这两个单项式的积是 10y4 .
－3
－x10y4
三、解答题
11.成都市环保局将一个长为2×106分米，宽为4×104分米，高为8×102分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由.
解：有，
∵长方体废水池的容积为：
（2×106）×（4×104）×（8×102）
＝64×1012
＝43×（104）3
＝（4×104）3立方分米，
∴正方体水池的棱长为4×104分米.
解答题
12.解答下列各题：
（1）已知（2x3y2）·（－3xmy3）·（5x2yn）＝－30x4y2，求m＋n的值；
解：∵（2x3y2）·（－3xmy3）·（5x2yn）
＝－30xm＋5yn＋5＝－30x4y2，
∴m＋5＝4，n＋5＝2，即m＝－1，n＝－3，
则m＋n＝－4.
（2）若[－3（x＋y）m（x－y）2n]2·[－（x＋y）2]＝－9（x＋y）10（x－y）10－n，
求（m－n）3的值；
解：∵[－3（x＋y）m（x－y）2n]2·[－（x＋y）2]
＝－9（x＋y）2m＋2（x－y）4n
＝－9（x＋y）10（x－y）10－n，
∴2m＋2＝10，4n＝10－n，
∴m＝4，n＝2，
当m＝4，n＝2时，
（m－n）3＝×（4－2）3＝2.
（3）已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的平方根.
解：（－2x3m＋1y2n）·（7xn－6y－3－m）
＝－14x（3m＋1）＋（n－6）y2n＋（－3－m）
＝－14x3m＋n－5y2n－m－3，
∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，
∴，解得，
∴m2＋n＝7，
∴m2＋n的平方根是±.
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第5课时 整式的乘法（2）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算：x（x2－1）＝（ B ）
A.x3－1 B.x3－x
C.x3＋x D.x2－x
（2）把2a（ab－b＋c）化简后得（ D ）
A.2a2b－ab＋ac B.2a2－2ab＋2ac
C.2a2b＋2ab＋2ac D.2a2b－2ab＋2ac
B
D
（3）化简：（－3s＋t）·（－7st2）＝（ B ）
A.21s2t2－14st3 B.21s2t2－st3
C.－21s2t2＋14st3 D.－21s2t2＋st
B
2.已知x2－4x－1＝0，则代数式x（x－4）＋1的值为（ A ）
A.2 B.1 C.0 D.－1
3.某同学在计算－3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2－x＋1，由此可以推断正确的计算结果是（ C ）
A.4x2－x＋1 B.x2－x＋1
C.－12x4＋3x3－3x2 D.无法确定
A
C
二、填空题
4.计算：xm·（2xm－4x2－8y）＝ 2x2m－4xm＋2－8xmy .（m为正整数）
5.（1）若（x2－a）x＋2x的展开式中只含有x3这一项，则a的值是 2 ；
（2）若3x（x＋1）＝mx2＋nx，则m＋n＝ 6 .
2x2m－4xm＋2－8xmy
2
6
三、解答题
6.计算：
（1）2ab2·（3a2b－2ab－1）；
解：原式＝6a3b3－4a2b3－2ab2.
（2）－3x·.
解：原式＝－x3y3－6xy2＋3x.
7.计算：
（1）2x－3x；
解：原式＝x2－2x－x2＋5x
＝3x.
（2）2x（－x2＋3x－4）＋3x2；
解：原式＝－2x3＋6x2－8x＋x3＋3x2
＝－x3＋9x2－8x.
（3）3a·（a2＋2a）－2a2（a－3）.
解：原式＝3a3＋6a2－2a3＋6a2
＝a3＋12a2.
8.解方程：2x（x＋1）－（3x－2）x＝1－x2.
解：去括号，得2x2＋2x－3x2＋2x＝1－x2，
整理，得4x＝1，
解得x＝.
（2）当x＝2时，先化简：A＋B，再求其值.
解：（2）A＋B＝x＋（6x2－4x－2）
＝6x2－x－2，
当x＝2时，
原式＝6×22－×2－2＝15.
9.已知A＝x，B是多项式，王虎同学在计算A＋B 时，误把A＋B看成了A×B，结果得3x3－2x2－x.
（1）求多项式B；
解：（1）由题意可知：x·B＝3x3－2x2－x，
∴B＝6x2－4x－2；
一、选择题
10.（1）下列各式中，计算正确的有（ B ）
①（a－3b）（－6a）＝－6a2＋18ab；
②（－9xy＋2）＝3x3y2＋2；
③（－4ab）＝2a3b2；
④＝ab2－2ab.
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（2）已知a－b＝3，b－c＝－2，则代数式a2－ac－b（a－c）的值为（ C ）
A.4 B.－4 C.3 D.－3
C
二、填空题
11.若（mx2－nx＋2）·（－2x2）－4x3的结果中不含x4和x3的项，则m＝ 0 ，n＝ 2 .
12.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据如图所示的图形写出一个代数恒等式： 2a（a＋b）＝2a2＋2ab .
第12题图
0
2
2a（a＋b）＝2a2＋2ab
三、解答题
13.已知有理数a、b、c满足｜a－b－3｜＋（b＋1）2＋｜c－1｜＝0，求（－3ab）（a2c－6b2c）的值.
解：由｜a－b－3｜＋（b＋1）2＋｜c－1｜＝0，
得：，解得：，
∵（－3ab）（a2c－6b2c）＝－3a3bc＋18ab3c，
∴当a＝2，b＝－1，c＝1时，
原式＝－3×23×（－1）×1＋18×2×（－1）3×1
＝24－36
＝－12.
14.已知ab＝3，求（2a3b2－3a2b＋4a）（－2b）的值.
解：（2a3b2－3a2b＋4a）（－2b）
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4（ab）3＋6（ab）2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3
＝－108＋54－24
＝－78.
解答题
15.若m2＋m－1＝0，求代数式m3＋2m2＋2023的值.
解：∵m2＋m－1＝0，
∴m2＋m＝1，m2＝1－m，
∴m3＋2m2＋2023
＝m（1－m）＋2m2＋2023
＝m－m2＋2m2＋2023
＝m2＋m＋2023
＝2024.
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第6课时 整式的乘法（3）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算（x＋1）（x－2）的结果是（ B ）
A.x2＋x－2 B.x2－x－2
C.x2＋2 D.x2－2
（2）计算（x＋1）（2x－5）的结果是（ A ）
A.2x2－3x－5 B.2x2－6x－5
C.2x2－3x＋5 D.x2－3x－5
B
A
（3）计算：（3m＋5）（－3m－5）＝（ C ）
A.9m2－25
B.－9m2－25
C.－9m2－30m－25
D.－9m2＋30m－25
C
2.（1）若（x＋2）（x＋a）＝x2－bx－8，则ab的值为（ D ）
A.－8 B.－4 C. D.16
（2）将多项式（x2＋x－3）（x2－2x＋2a）展开，常数项为－30，则a＝（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
（3）若（x＋1）（2x2－ax＋1）的运算结果中，x2的系数为－6，则a的值是（ C ）
A.4 B.－4 C.8 D.－8
（4）要使多项式（x＋p）（x－q）不含x的一次项，则p与q的关系是（ A ）
A.相等 B.互为相反数
C.互为倒数 D.乘积为－1
D
C
C
A
二、填空题
3.计算：（5m＋2）（2m－1）＝ 10m2－m－2 .
4.若（x＋a）（x＋b）＝x2＋6x＋5，则a＋b的值为 6 .
5.已知三角形的底边是（6a＋2b）cm，高是（2b－3a）cm，则这个三角形的面积是 （－9a2＋3ab＋2b2） cm2.
10m2－m－2
6
（－9a2＋3ab＋2b2）
三、解答题
6.计算：
（1）（a＋1）（a－6）；
解：原式＝a2－6a＋a－6
＝a2－5a－6.
（2）（2y＋3）（y－1）；
解：原式＝2y2－2y＋3y－3
＝2y2＋y－3.
（3）（m＋2n）（2m－n）；
解：原式＝2m2－mn＋4mn－2n2
＝2m2＋3mn－2n2.
（4）（x＋3y－4）（2x－y）.
解：原式＝2x2－xy＋6xy－3y2－8x＋4y
＝2x2＋5xy－3y2－8x＋4y.
7.计算下列各题：
（1）6x（x2＋2）－x（3x－2）（2x－3）；
解：原式＝6x3＋12x－（3x2－2x）（2x－3）
＝6x3＋12x－（6x3－9x2－4x2＋6x）
＝6x3＋12x－6x3＋9x2＋4x2－6x
＝13x2＋6x.
（2）（3y＋2）（y－4）－（y－2）（y－3）.
解：原式＝3y2＋2y－12y－8－（y2－5y＋6）
＝3y2－10y－8－y2＋5y－6
＝2y2－5y－14.
8.已知A＝1＋2x，B＝1－2x＋4x2，C＝1－4x3.
（1）化简：A·B－C；
解：（1）∵A＝1＋2x，B＝1－2x＋4x2，C＝1－4x3，
∴A·B－C
＝（1＋2x）（1－2x＋4x2）－1＋4x3
＝1－2x＋4x2＋2x－4x2＋8x3－1＋4x3
＝12x3；
（2）当x＝－时，求A·B－C的值.
解：（2）由（1）得A·B－C＝12x3，
当x＝－时，
原式＝12×（－）3＝－.
一、选择题
9.若不管a取何值，多项式a3＋2a2－a－2与（a2－ma＋2n）（a＋1）都相等，则m，n的值分别为（ A ）
A.－1，－1 B.－1，1
C.1，－1 D.1，1
A
二、填空题
10.如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），若要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙），且卡片全部用上，则拼成的大长方形有 11 种.
第10题图
11
三、解答题
11.若（x2＋px＋8）（x2－3x－q）的展开式中不含x3和x2的项，求2p＋q的值.
解：（x2＋px＋8）（x2－3x－q）
＝x4－3x3－qx2＋px3－3px2－pqx＋8x2－24x－8q
＝x4＋（－3＋p）x3＋（－q－3p＋8）x2＋（－pq－24）x－8q，
∵展开式中不含x3和x2的项，
∴，
解得：p＝3，q＝－1，
∴2p＋q＝6－1＝5.
解答题
12.你能化简（x－1）（x99＋x98＋…＋x＋1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法.
（1）分别化简下列各式：
（x－1）（x＋1）＝ ；
（x－1）（x2＋x＋1）＝ ；
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝ ；
…，
（x－1）（x99＋x98＋…＋x＋1）＝ .
解：（1）（x－1）（x＋1）＝x2＋x－x－1＝x2－1；
（x－1）（x2＋x＋1）＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1；
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4＋x3＋x2＋x－x3－x2－x－1＝x4－1；
…，
（x－1）（x99＋x98＋…＋x＋1）＝x100＋x99＋…＋x2＋x－（x99＋x98＋…＋x＋1）＝x100－1，
故答案为：x2－1；x3－1；x4－1；x100－1；
（2）请你利用上面的结论计算：299＋298＋…＋2＋1.
解：（2）原式＝（2－1）×（299＋298＋…＋2＋1）
＝2100－1.
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第7课时 整式的乘法（4）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列运算正确的是（ C ）
A.（a3）2＝a5 B.a3·a2＝a6
C.（ab）4＝a4b4 D.a6÷a3＝a2
2.下列各式的运算结果是x6的是（ C ）
A.x4＋x2 B.x12÷x2 C.（x2）3 D.x2·x3
C
C
3.（1）计算：x5÷x2＝（ B ）
A.x2 B.x3 C.2x D.x7
（2）计算（2xy2）3÷2xy2的结果是（ D ）
A.3 B.3xy2 C.8xy D.4x2y4
4.若2x＝5，2y＝3，则22x－y的值为（ B ）
A.25 B. C.9 D.75
B
D
B
二、填空题
5.计算：（－5）8·（－5）6÷（－5）12＝ 25 .
6.（1）若ax÷a3·a5＝a6，则x＝ 4 ；
（2）已知a5＝6，a2＝2，则a3＝ 3 ；
（3）已知（3x＋1）0＝1，则x满足的条件是 x≠－ .
25
4
3
x≠－
三、解答题
7.计算：
（1）÷y5；
解：原式＝y6÷y5
＝y.
（2）（－a2b4）8÷（－a2b4）2.
解：原式＝（－a2b4）6
＝a12b24.
8.计算下列各题：
（1）（－a2）3＋a2·a3＋a8÷（－a2）；
解：原式＝－a6＋a5－a6
＝－2a6＋a5.
（2）x3·x6＋x20÷x10－xn＋8÷xn－1；
解：原式＝x9＋x10－x9
＝x10.
（3）y4＋（y2）4÷y4－（－y2）2；
解：原式＝y4＋y8÷y4－y4
＝y4＋y4－y4
＝y4.
（4）x3·x5－（2x4）2＋x10÷x2.
解：原式＝x8－4x8＋x8
＝－2x8.
9.（1）已知2×8x×16＝223，求x的值；
解：∵2×8x×16＝223，
∴2×（23）x×24＝223，
∴2×23x×24＝223，
∴1＋3x＋4＝23，
解得x＝6.
①am＋n的值；
②a3m－2n的值.
解：①am＋n＝am·an
＝5×3＝15；
②a3m－2n＝a3m÷a2n
＝（am）3÷（an）2
＝33÷52
＝.
（2）已知am＝3，an＝5，求：
一、填空题
10.（1）已知10a＝20，10b＝，则3a÷3b＝ 9 ；
（2）已知5x＝6，5y＝3，则5x＋2y－1＝ ；
（3）已知25a·52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2＋ab＋3c的值是 6 ；
（4）已知2m＝4n－1，27n＝3m－1，则n－m＝ 5 .
9
6
5
二、解答题
11.解答下列各题：
（1）若3x＝4，3y＝6，求92x－y＋27x－y的值；
解：∵3x＝4，3y＝6，
∴92x－y＋27x－y
＝（32）2x－y＋（33）x－y
＝34x－2y＋33x－3y
＝（3x）4÷（3y）2＋（3x）3÷（3y）3
＝＋
＝.
（2）若26＝a2＝4b，求a＋b的值.
解：26＝（±23）2＝（±8）2，
26＝（22）3＝43，
∵26＝a2＝4b，
∴a＝±8，b＝3，
∴a＋b＝11或－5.
解答题
12.（1）若33·9m＋4÷272m－1的值为729，试求m的值；
解：∵33·9m＋4÷272m－1
＝33·32（m＋4）÷33（2m－1）
＝33＋2（m＋4）－3（2m－1）
＝314－4m
＝729
＝36，
∴14－4m＝6，
解得m＝2.
（2）已知3m＝4，3m－4n＝，求200n的值；
解：∵3m＝4，
∴3m－4n＝3m÷34n＝4÷34n＝，
∴34n＝81＝34，
∴4n＝4，即n＝1，
∴200n＝200.
（3）若mp＝，m2q＝7，mr＝－，求m3p＋4q－2r的值.
解：∵mp＝，m2q＝7，mr＝－，
∴m3p＋4q－2r
＝（mp）3×（m2q）2÷（mr）2
＝（）3×72÷（－）2
＝×72×
＝.
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第8课时 整式的乘法（5）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.计算（－4x3＋2x）÷2x的结果正确的是（ A ）
A.－2x2＋1 B.2x2＋1
C.－2x3＋1 D.－8x4＋2x
2.2x3可以表示为（ C ）
A.x3·x3 B.2x4－x
C.x3＋x3 D.2x6÷x2
A
C
4.面积为9a2－6ab＋3a的长方形一边长为3a，另一边长为（ D ）
A.2a－3 B.2a－3b＋1
C.3a－2b D.3a－2b＋1
D
3.已知8a3bm÷28an＋1b2＝b2，则m，n的值分别为（ B ）
A.4，3 B.4，2 C.2，2 D.2，3
B
二、填空题
5.若8a5bn÷2amb＝4a2b5，则mn＝ 18 .
6.已知长方形的面积为6a2b－4a2＋2a，宽为2a，则长方形的周长为 6ab＋2 .
18
6ab＋2
三、解答题
7.计算：
（1）8x8÷2x3；
解：原式＝4x5.
（2）20x3y5z÷（－5x2y3）；
解：原式＝－4xy2z.
（3）（－4a5b3）2÷8a2b3；
解：原式＝16a10b6÷8a2b3
＝2a8b3.
（4）9a5b4÷3a2b4－a·（－5a2）；
解：原式＝3a3＋5a3
＝8a3.
（5）－2x6－·8x5＋（2x4）3÷（－x）5；
解：原式＝－2x6－x2·8x5＋8x12÷（－x5）
＝－2x6－2x7－8x7
＝－2x6－10x7.
（6）3a2b2÷a2＋b·（a2b－3ab）－（2b）2.
解：原式＝3b2＋a2b2－3ab2－4b2
＝－b2＋a2b2－3ab2.
8.计算：
（1）（4m3－3m2n＋2m）÷2m；
解：原式＝2m2－mn＋1.
（2）÷；
解：原式＝－6x＋2y－1.
（3）[6（m＋n）a＋3z4－6（m＋n）a－2z2＋3（m＋n）a－1z]÷3（m＋n）a－2z；
解：原式＝2（m＋n）5z3－2z＋m＋n.
（4）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·3x.
解：原式＝－3x3＋2x2－（3x2－3x3）
＝－3x3＋2x2－3x2＋3x3
＝－x2.
一、选择题
9.已知x3＋（a－1）x－6能被x－2整除，则a的值为（ C ）
A.1 B.－1 C.0 D.2
C
二、填空题
10.若－5a2m－3bn＋4÷3am＋2b5＝－a4b2，则m÷n＝ 3 .
3
三、解答题
11.先化简，再求值：[（2x＋y）（2x－y）－3（2x2－xy）＋y2]÷，其中x＝2，y＝－1.
解：原式＝（4x2－y2－6x2＋3xy＋y2）÷
＝（－2x2＋3xy）÷
＝4x－6y，
当x＝2，y＝－1时，
原式＝8＋6＝14.
12.阅读材料：
∵（x－2）（x＋3）＝x2＋x－6，
∴（x2＋x－6）÷（x－2）＝x＋3，
即x2＋x－6能被x－2整除，
∴x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0.
解答问题：
（1）由（x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6，得x2＋5x＋6能被 整除，且当x＝ 时，x2＋5x＋6＝0；
解：（1）∵（x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6，
∴x2＋5x＋6能被x＋2整除或者能被x＋3整除，
当x＝－2或－3时，x2＋5x＋6＝0，
故答案为：x＋2或x＋3，－2或－3；
x＋2或x＋3
－2或－3
（2）根据材料，已知多项式x2＋mx－14能被x＋2整除，试求m的值.
解：（2）∵x2＋mx－14能被x＋2整除，
当x＝－2时，
原式＝（－2）2＋m×（－2）－14＝0，
解得m＝－5.
解答题
13.（1）计算：（a6b2）n＋1÷（－anb）3÷a2n－3bn；
解：原式＝a6n＋6b2n＋2÷（－a3nb3）÷a2n－3bn
＝－a3n＋6b2n－1÷a2n－3bn
＝－an＋9bn－1.
（2）已知（xmyn）2÷（x2y）3＝x4y5，求2m－n的值；
解：∵（xmyn）2÷（x2y）3＝x2m－6y2n－3＝x4y5，
∴2m－6＝4，2n－3＝5，
解得：m＝5，n＝4，
则2m－n＝2.
（3）计算：÷[3（－x－y）2（x－y）2]2.
解：原式＝36（x＋y）6（x－y）4÷[9（x＋y）4（x－y）4]
＝4（x＋y）2
＝4x2＋8xy＋4y2.
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第9课时 专题幂的运算
第十四章 整式的乘法与因式分解
解答题
1.计算：
（1）×；
解：原式＝
＝.
（2）xm＋15·xm－1；
解：原式＝x（m＋15）＋（m－1）
＝x2m＋14.
（3）（－x）·（－x）6；
解：原式＝（－x）7
＝－x7.
（4）－m3·m4；
解：原式＝－m3＋4
＝－m7.
（5）（3ab7）2；
解：原式＝9a2b14.
（6）（－m）8÷（－m）3；
解：原式＝（－m）5
＝－m5.
（7）（xy）7÷（xy）4；
解：原式＝（xy）3
＝x3y3.
（8）x2m＋2÷xm＋2；
解：原式＝x2m＋2－m－2
＝xm.
解：原式＝（2a＋b）（2n＋1）＋3＋（n－4）
＝（2a＋b）3n.
（11）（x－y）2·（y－x）5.
解：原式＝（y－x）2·（y－x）5
＝（y－x）7.
（9）（x－y）5÷（y－x）3；
解：原式＝－（y－x）5÷（y－x）3
＝－（y－x）2.
（10）（2a＋b）2n＋1·（2a＋b）3·（2a＋b）n－4；
2.计算：
（1）x4·（－x）5＋（－x）4·x5；
解：原式＝－x9＋x9
＝0.
（2）（m4）2＋m5·m3＋（－m）4·m4；
解：原式＝m4×2＋m5＋3＋m4＋4
＝3m8.
（3）（－3a2）3＋（－4a3）2；
解：原式＝－27a6＋16a6
＝－11a6.
（4）x·（x2）2＋x7÷x2－4x3·x2；
解：原式＝x5＋x5－4x5
＝－2x5.
（5）（－3a4）2－a·a3·a4－a10÷a2；
解：原式＝9a8－a8－a8
＝7a8.
（6）0.254×44－×；
解：原式＝（0.25×4）4－×
＝1－×
＝1－1×
＝.
（5）（－3a4）2－a·a3·a4－a10÷a2；
解：原式＝9a8－a8－a8
＝7a8.
（7）×24＋（－2）0－（－0.1）2024×102024；
解：原式＝×2＋1－（－0.1×10）2024
＝－2＋1－1
＝－2.
（8）（a－b）2·（b－a）3＋（a－b）4·（b－a）.
解：原式＝（b－a）5＋（b－a）5
＝2（b－a）5.
3.（1）已知xa＋b＝6，xb＝3，求xa的值；
解：xa＝xa＋b－b＝xa＋b÷xb＝6÷3＝2.
（2）已知xm＝5，xn＝7，求x2m＋n的值；
解：∵xm＝5，xn＝7，
∴x2m＋n＝xm·xm·xn＝5×5×7＝175.
（3）已知2x＋3y－2＝0，求9x·27y的值；
解：∵2x＋3y－2＝0，∴2x＋3y＝2，
∴9x·27y＝32x·33y＝32x＋3y＝32＝9.
（4）已知10m＝20，10n＝4，求2m－n的值；
解：∵102m－n＝＝100＝102，
∴2m－n＝2.
（5）若32·92a＋1÷27a＋1＝81，求a的值；
解：∵32·92a＋1÷27a＋1＝81，
∴32·32（2a＋1）÷33（a＋1）＝34，
即2＋2（2a＋1）－3（a＋1）＝4，
解得a＝3.
（6）若33x＋1·53x＋1＝152x＋4，求x的值.
解：33x＋1·53x＋1＝153x＋1＝152x＋4，
∴3x＋1＝2x＋4，
∴x＝3.
4.比较312×510与310×512的大小.
解：312×510＝（3×5）10×32，
310×512＝（3×5）10×52，
∵32＜52，
∴312×510＜310×512.
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第10课时 专题整式的乘除
第十四章 整式的乘法与因式分解
解答题
1.计算：
（1）（－12a2b）÷2ab；
解：原式＝－6a.
（2）（－2xy2）2·3x2y；
解：原式＝4x2y4·3x2y
＝12x4y5.
（3）5（a4）3＋（－2a3）2·（－a6）；
解：原式＝5a12－4a6·a6
＝a12.
（4）2x3y·（－2xy）＋÷2x2.
解：原式＝－4x4y2－8x9y3÷2x2
＝－4x4y2－4x7y3.
2.计算：
（1）·ab；
解：原式＝a2b3－a2b2.
（2）（－2a2）（3ab2－5ab3）；
解：原式＝－6a3b2＋10a3b3.
（3）－3x·；
解：原式＝－x3y3－6xy2＋3x.
（4）·5xy2÷（－10x6y5）＋（x2y－2xy）÷xy.
解：原式＝8x6y3·5xy2÷（－10x6y5）＋x－2
＝40x7y5÷（－10x6y5）＋x－2
＝－4x＋x－2
＝－3x－2.
3.计算：
（1）（x－2）（x＋3）；
解：原式＝x2＋3x－2x－6
＝x2＋x－6.
（2）（3x＋9）（6x－8）；
解：原式＝18x2－24x＋54x－72
＝18x2＋30x－72.
（3）（a＋b＋1）（2a－b）；
解：原式＝2a2－ab＋2ab－b2＋2a－b
＝2a2＋ab＋2a－b2－b.
（4）（2a－7）（a＋6）－（a－2）（2a＋1）；
解：原式＝2a2＋12a－7a－42－（2a2＋a－4a－2）
＝2a2＋5a－42－2a2＋3a＋2
＝8a－40.
（5）（x－2）（x＋1）－2（x－3）（x＋2）.
解：原式＝x2＋x－2x－2－2x2－4x＋6x＋12
＝－x2＋x＋10.
4.（1）计算：（－3a2b3）÷；
解：原式＝（－3a2b3）÷（3ab－ab2－2ab＋ab2）
＝（－3a2b3）÷ab
＝－3ab2.
（2）先化简，再求值：3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2.
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a，
当a＝－2时，
原式＝－20×4－9×2＝－98.
5.将多项式（x－2）（x2＋ax－b）展开后不含x2和x的项，试求2a2－b的值.
解：原式＝x3＋ax2－bx－2x2－2ax＋2b
＝x3＋（a－2）x2－（2a＋b）x＋2b，
∵多项式不含x2和x的项，
∴a－2＝0，－（2a＋b）＝0，
∴a＝2，b＝－4，
∴2a2－b＝2×22＋4＝12.
6.解不等式组：
.
解：不等式组可化为：
，
解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x＜－1，
∴不等式组的解集为x＜－1.
7.长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积为S1平方厘米，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形的面积为S2平方厘米.
（1）若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数；
解：（1）由题意得：
S1＝（a＋3）（b＋3）＝ab＋3（a＋b）＋9，
S2＝（a－2）（b－2）＝ab－2（a＋b）＋4，
∴S1－S2＝ab＋3（a＋b）＋9－ab＋2（a＋b）－4
＝5（a＋b）＋5＝5（a＋b＋1），
∴S1与S2的差一定是5的倍数；
（2）如果S1＝2S2，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积；
解：（2）∵S1＝2S2，
∴ab＋3a＋3b＋9＝2（ab－2a－2b＋4），
∴ab－7a－7b－1＝0，
∴ab－7a－7b＝1，
∵新长方形的面积为（a－7）（b－7）＝ab－7a－7b＋49＝1＋49＝50平方厘米，
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为50平方厘米；
（3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值.
解：（3）由题意可得方程组：，
或，
解得或（不符合题意，舍），
∴a的值为7，b的值为4.5.
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第11课时 平方差公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列式子中可以用平方差公式计算的是（ D ）
A.（x＋2）（x＋2） B.（x＋2）（－x－2）
C.（x－2）2 D.（x＋2）（x－2）
2.下列计算正确的是（ C ）
A.x3＋4x3＝5x6
B.a2·a3＝a6
C.（－2x3）4＝16x12
D.（x＋2y）（x－2y）＝x2－2y2
D
C
3.若a－b＝3，a2－b2＝－9，则a＋b＝（ D ）
A.2 B.3 C.－2 D.－3
4.如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形阴影部分的面积，能验证的数学公式是（ A ）
A.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
B.（a＋b）2－（a－b）2＝4ab
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
第4题图
D
A
二、填空题
5.计算：2024×2022－20232＝ －1 .
6.若a2－4b2＝12，且a－2b＝－3，则a＋b＝ －3.75 .
－1
－3.75
三、解答题
7.计算：
（1）（a＋5）（a－5）；
解：原式＝a2－25.
（2）（x－2y）（2y＋x）；
解：原式＝x2－4y2.
（3）（3m－2n）（－3m－2n）；
解：原式＝－（3m－2n）（3m＋2n）
＝－（9m2－4n2）
＝4n2－9m2.
（4）（5ab－3xy）（－3xy－5ab）；
解：原式＝－（5ab－3xy）（5ab＋3xy）
＝－（25a2b2－9x2y2）
＝9x2y2－25a2b2.
（5）（x3＋2）（x3－2）.
解：原式＝（x3）2－22
＝x6－4.
8.计算：
（1）20232－2022×2024；
解：原式＝20232－（2023－1）（2023＋1）
＝20232－20232＋12
＝1.
（2）（5m＋2）（5m－2）－（3m＋1）（2m－1）.
解：原式＝（25m2－4）－（6m2－3m＋2m－1）
＝25m2－4－6m2＋m＋1
＝19m2＋m－3.
9.（1）已知m2－n2＝24，m＋n＝8，求m－n的值；
解：∵m2－n2＝（m＋n）（m－n）＝24，m＋n＝8，
∴m－n＝3.
（2）先化简，再求值：（x＋2y）（x－2y）－（2x－y）（－2x－y），其中x＝8，y＝－8.
解：原式＝x2－4y2－y2＋4x2
＝5x2－5y2，
∵x＝8，y＝－8，
∴原式＝5×82－5×（－8）2＝0.
一、填空题
10.计算：（5＋1）（52＋1）（54＋1）（58＋1）（516＋1）＋＝ .
11.已知a1＝（1＋）（1－），a2＝（1＋）（1－），a3＝（1＋）（1－），…，an＝（1＋）（1－），Sn＝a1·a2·a3·…·an，则2S2023＝ .
二、解答题
12.计算下列各题：
（1）1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12；
解：原式＝（100＋99）（100－99）＋（98＋97）（98－97）＋（96＋95）（96－95）
＋…＋（2＋1）（2－1）
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050.
（2）＋＋…＋.
解：原式＝＋＋…＋
＝－1×
＝－50.
解答题
13.（1）计算并观察下列各式：
第1个：（a－b）（a＋b）＝ ；
第2个：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
第3个：（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝ ；
……，
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律；
解：（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4；
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a－b）（an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋a2bn－3＋abn－2＋bn－1）＝ ；
an－bn
（3）利用（2）的猜想计算：2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋1＝ ；
2n－3
（4）拓展与应用：计算3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋1的值.
解：原式＝×（3－1）（3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋3＋1）－3
＝×（3n－1n）－3
＝.
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第12课时 完全平方公式（1）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算：（c－a）2＝（ D ）
A.c2－a2 B.a2＋2ac＋c2
C.c2＋a2 D.c2－2ac＋a2
（2）计算：（－a－b）2＝（ B ）
A.a2＋b2 B.a2＋2ab＋b2
C.a2－b2 D.a2－2ab＋b2
D
B
（4）若（7x－a）2＝49x2－bx＋9，则｜a＋b｜的值为（ D ）
A.18 B.24 C.39 D.45
D
（3）计算（x＋2）2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为（ D ）
A.－2 B.2 C.－4 D.4
D
2.下列各式能写成两数和的平方的是（ D ）
A.x2＋2x－1 B.1＋x2
C.x2＋x＋1 D.x2＋4x＋4
3.如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，下列计算公式可以表示该关系的是（ B ）
A.（a＋b）（a－b）＝a2－b2
B.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D.（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab
第3题图
D
B
二、填空题
4.填上适当的数或代数式，使等式成立：
（1）x2＋10x＋ 25 ＝（x＋ 5 ）2；
（2）m2－8m＋ 16 ＝（m－ 4 ）2；
（3）x2＋xy＋ y2 ＝（x＋ y ）2.
25
5
16
4
y2
y
三、解答题
5.计算：
（1）（2a＋3b）2；
解：原式＝（2a）2＋2·2a·3b＋（3b）2
＝4a2＋12ab＋9b2.
（2）（－2m＋n）2；
解：原式＝（－2m）2－2·2m·n＋n2
＝4m2－4mn＋n2.
（3）（－2m－n）2.
解：原式＝（－2m）2＋2（－2m）（－n）＋（－n）2
＝4m2＋4mn＋n2.
6.计算：
（1）（2a＋b）2－（2a－b）2；
解：原式＝4a2＋4ab＋b2－（4a2－4ab＋b2）
＝8ab.
（2）（3x－5）2－（2x＋7）2.
解：原式＝9x2－30x＋25－（4x2＋28x＋49）
＝9x2－30x＋25－4x2－28x－49
＝5x2－58x－24.
7.解方程：－＝1.
解：去括号得：x2＋x＋－x2＋＝1，
解得：x＝.
8.如图，一块直径为a＋b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆形钢板，求剩下的钢板的面积.
第8题图
解：剩下的钢板的面积为π－π－＝πab.
一、选择题
9.若n为正整数，则（2n＋1）2－（2n－1）2（ B ）
A.一定能被6整除
B.一定能被8整除
C.一定能被10整除
D.一定能被12整除
B
二、填空题
10.（1）若把代数式x2－2x－3化为（x－m）2＋k的形式，其中m，k为常数，则m＋k＝ －3 ；
（2）若x2－2（k－1）x＋9是完全平方式，则k的值为 4或－2 .
－3
4或－2
三、解答题
11.计算：
（1）（2x－1）（4x2－1）（2x＋1）；
解：原式＝（4x2－1）（4x2－1）
＝（4x2－1）2
＝16x4－8x2＋1.
（2）（x＋y）2－4（x＋y）（x－y）＋4（x－y）2；
解：原式＝[x＋y－2（x－y）]2
＝（3y－x）2
＝x2－6xy＋9y2.
（3）4（a＋2）2－7（a＋3）（a－3）＋3（a－1）2.
解：原式＝4（a2＋4a＋4）－7（a2－9）＋3（a2－2a＋1）
＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3
＝10a＋82.
解答题
12.如图，大正方形、小正方形的边长分别为a、b.
（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S；
解：（1）∵大正方形、小正方形的边长分别为a、b，
∴S＝a2＋b2－a2－（a＋b）b
＝a2＋b2－ab；
第12题图
（2）如果a＋b＝9，ab＝6，求阴影部分的面积.
解：（2）∵a＋b＝9，ab＝6，
∴S＝a2＋b2－ab
＝（a＋b）2－ab
＝×92－×6
＝，
故阴影部分的面积为.
第12题图
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第13课时 完全平方公式（2）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.计算（x－2）2正确的是（ D ）
A.x2－4 B.x2－4x－4
C.x2－2x＋4 D.x2－4x＋4
2.将10.52变形正确的是（ C ）
A.10.52＝102＋0.52
B.10.52＝（11＋0.5）（11－0.5）
C.10.52＝102＋2×10×0.5＋0.52
D.10.52＝112－11×0.5＋0.52
D
C
3.若x2＋（a－1）x＋25是一个完全平方式，则a的值为（ B ）
A.－9 B.－9或11
C.9或－11 D.11
4.若ab＝1，a＋b＝3，则2a2＋2b2的值是（ D ）
A.7 B.10 C.12 D.14
B
D
二、填空题
5.（1）若a2＋b2＝19，a＋b＝5，则ab＝ 3 ；
（2）若a2＋b2＝13，（a－b）2＝1，则（a＋b）2＝ 25 .
3
25
三、解答题
6.计算：
（1）9992；
解：原式＝（1000－1）2
＝1000000－2000＋1
＝998001.
（2）1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655.
解：原式＝1.23452＋2×1.2345×0.7655＋0.76552
＝（1.2345＋0.7655）2
＝4.
7.计算：
（1）；
解：原式＝
＝
＝1－x2＋x4.
（2）（3x＋2y－4）（2y－3x＋4）；
解：原式＝[2y＋（3x－4）][2y－（3x－4）]
＝（2y）2－（3x－4）2
＝4y2－9x2＋24x－16.
（3）（m－n－3）2.
解：原式＝（m－n）2＋2（m－n）×（－3）＋9
＝m2＋n2－2mn＋6n－6m＋9.
8.（1）已知xy＝1，x－y＝5，求x2＋y2的值；
解：将x－y＝5两边同时平方，
得：（x－y）2＝25，
即x2＋y2－2xy＝25，
∵xy＝1，
∴x2＋y2＝25＋2xy＝27.
（2）已知a－＝4，求a2＋的值.
解：将a－＝4两边同时平方，
得：＝42＝16，
即a2＋－2＝16，
∴a2＋＝16＋2＝18.
一、填空题
9.多项式1＋4a2加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方式，则单项式可以为 4a4（或±4a或－1或－4a2） .（写出一个即可）
10.已知（a－2022）2＋（2023－a）2＝5，则（a－2022）（a－2023）＝ 2 .
11.如果a＋b＋｜－1｜＝4＋2－4，那么a＋2b－3c＝ 0 .
4a4（或±4a或－1或－4a2）
2
0
二、解答题
12.比较代数式2x2＋5x－1与代数式x2＋7x－4的值的大小.
解：（2x2＋5x－1）－（x2＋7x－4）
＝2x2＋5x－1－x2－7x＋4
＝x2－2x＋3
＝（x－1）2＋2，
∵（x－1）2＋2＞0，
∴代数式2x2＋5x－1的值比代数式x2＋7x－4的值大.
解答题
13.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数.
根据上述规律，解答下列问题：
（1）求（a＋b）5的展开式；
解：（1）（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
第13题图
（2）计算：25＋5×24＋10×23＋10×22＋5×2＋1；
解：（2）25＋5×24＋10×23＋10×22＋5×2＋1
＝25＋5×24×1＋10×23×12＋10×22×13＋5×2×14＋15
＝（2＋1）5
＝35；
第13题图
（3）若（x＋1）5·（2x2＋ax－b）（a、b为常数）的展开式中不含x2和x的项，求a、b的值.
解：（3）（x＋1）5＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1，
∵展开式中不含x2和x的项，
∴取（10x2＋5x＋1）（2x2＋ax－b）
＝20x4＋10ax3－10bx2＋10x3＋5ax2－5bx＋2x2＋ax－b
＝20x4＋（10a＋10）x3＋（－10b＋5a＋2）x2＋（－5b＋a）x－b，
∴含x2的项的系数为－10b＋5a＋2＝0，
含x的项的系数为－5b＋a＝0，
∴a＝－，b＝－.
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第14课时 专题乘法公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
解答题
1.计算：
（1）（x－3）（x＋3）；
解：原式＝x2－9.
（2）（x＋3y）（x－3y）；
解：原式＝x2－9y2.
（3）；
解：原式＝－22
＝x6－4.
（4）（2m－n）（－2m－n）；
解：原式＝（n－2m）（n＋2m）
＝n2－4m2.
（5）101×99；
解：原式＝（100＋1）（100－1）
＝1002－1
＝9999.
（6）145.52－135.52.
解：原式＝（145.5＋135.5）（145.5－135.5）
＝281×10
＝2810.
2.计算：
（1）（4m＋n）2； （2）；
解：原式＝16m2＋8mn＋n2；
解：原式＝y2－y＋.
（3）（－2x＋5）2； （4）；
解：原式＝4x2－20x＋25；
解：原式＝x2－xy＋y2.
（5）1022； （6）992.
解：原式＝（100＋2）2
＝10000＋400＋4
＝10404；
解：原式＝（100－1）2
＝10000－200＋1
＝9801.
3.计算：
（1）（x＋2y）2（x－2y）2；
解：原式＝[（x＋2y）（x－2y）]2
＝（x2－4y2）2
＝x4－8x2y2＋16y4.
（2）（1－3y）（1＋3y）（1＋9y2）；
解：原式＝（1－9y2）（1＋9y2）
＝1－81y4.
（3）1232－122×124；
解：原式＝1232－（123－1）（123＋1）
＝1232－（1232－1）
＝1.
（4）（3－2x＋y）（3＋2x－y）.
解：原式＝[3－（2x－y）][3＋（2x－y）]
＝9－（2x－y）2
＝9－4x2＋4xy－y2.
4.（1）计算：[（a－2b）（a＋2b）－（2b－a）2]÷（－4b）；
解：原式＝（a2－4b2－4b2＋4ab－a2）÷（－4b）
＝（－8b2＋4ab）÷（－4b）
＝2b－a.
（2）先化简，再求值：（2x＋3y）（2x－3y）－4x（x－y）＋（x－2y）2，其中x，y满足x2－6x＋9＋｜2y－1｜＝0；
解：原式＝4x2－9y2－4x2＋4xy＋x2－4xy＋4y2
＝x2－5y2，
由题意得（x－3）2＋｜2y－1｜＝0，
∴x－3＝0，2y－1＝0，解得x＝3，y＝，
∴原式＝9－＝.
（3）已知x2＋y2－2x＋6y＋10＝0，求x＋y的值；
解：原方程变形为：x2－2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，
即（x－1）2＋（y＋3）2＝0，
∴x－1＝0，y＋3＝0，
∴x＝1，y＝－3，
∴x＋y＝－2.
解：①原式＝（x＋y）2－2xy，
当x＋y＝5，xy＝－3时，
原式＝25－2×（－3）
＝31；
②原式＝1－y－x＋xy
＝1－（x＋y）＋xy，
当x＋y＝5，xy＝－3时，
原式＝1－5＋（－3）
＝－7.
（4）已知x＋y＝5，xy＝－3，求：
①x2＋y2的值；
②（1－x）（1－y）的值.
5.计算：（1－）（1－）…（1－）（1－）.
解：原式＝（1－）（1＋）（1－）（1＋）×…×（1－）（1＋）（1－）
（1＋）
＝××××…××××
＝×
＝.
6.阅读理解：
若x满足（80－x）（x－60）＝30，求（80－x）2＋（x－60）2的值.
解：设80－x＝a，x－60＝b，
则ab＝（80－x）（x－60）＝30，
a＋b＝80－x＋x－60＝20，
∴（80－x）2＋（x－60）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝202－2×30＝340.
解决问题：
若x满足（30－x）（x－20）＝－10，求（30－x）2＋（x－20）2的值.
解：设30－x＝a，x－20＝b，
则ab＝（30－x）（x－20）＝－10，
a＋b＝30－x＋x－20＝10，
∴（30－x）2＋（x－20）2
＝a2＋b2
＝（a＋b）2－2ab
＝102－2×（－10）
＝120.
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第15课时 提公因式法
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列从左到右的变形是分解因式的是（ C ）
A.3x＋3y－5＝3（x＋y）－5
B.（x＋1）（x－1）＝x2－1
C.x2－9＝（x＋3）（x－3）
D.x2＋1＝x
2.多项式4xy3z－8x3y2的公因式是（ D ）
A.4xy B.－4xyz C.－4x2y D.4xy2
C
D
3.将x2＋mx＋n分解成（x－7）（x＋2），则m，n的值分别为（ D ）
A.5，－14 B.－5，14
C.5，14 D.－5，－14
D
二、填空题
4.分解因式：3a2b＋6ab＋3b＝ 3b（a＋1）2 .
5.若ab＝－3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是 －15 .
3b（a＋1）2
－15
三、解答题
6.分解因式：
（1）3x2y－6xy；
解：原式＝3xy（x－2）.
（2）5x2y3－25x3y2；
解：原式＝5x2y2（y－5x）.
（3）15x3y2＋5x2y－20x2y3；
解：原式＝5x2y（3xy＋1－4y2）.
（4）－4m3＋16m2－26m；
解：原式＝－2m（2m2－8m＋13）.
（5）－9x3y2－6x2y2＋3xy；
解：原式＝－3xy（3x2y＋2xy－1）.
（6）2m（a－b）－3n（a－b）；
解：原式＝（a－b）（2m－3n）.
（7）8amb3－12am＋1b2＋16am＋2b.
解：原式＝4amb（2b2－3ab＋4a2）.
7.计算：123×6.28＋628×1.32－15.5×62.8.
解：原式＝6.28×（123＋100×1.32－15.5×10）
＝6.28×（123＋132－155）
＝628.
8.利用提公因式法先化简，再求值：（a－b）2＋b（a－b），其中a＝2，b＝－.
解：原式＝（a－b）[（a－b）＋b]
＝a（a－b）
＝a2－ab，
当a＝2，b＝－时，
原式＝22－2×＝5.
解答题
9.分解因式：
（1）4a2n＋1bm－6an＋2bm－1（m、n为大于1的自然数）；
解：原式＝2an＋2bm－1（2an－1b－3）.
（2）3a（a＋b）（a－b）－2b（b－a）；
解：原式＝3a（a＋b）（a－b）＋2b（a－b）
＝（a－b）（3a2＋3ab＋2b）.
（3）5a3b（a－b）3－10a4b3（b－a）2.
解：原式＝5a3b（a－b）2（a－b－2ab2）.
10.已知正整数n满足5n＋2×2n＋1－5n＋1×2n＋2＝3000，求n的值.
解：∵5n＋2×2n＋1－5n＋1×2n＋2
＝5×10n＋1－2×10n＋1
＝3×10n＋1，
∴3×10n＋1＝3000，
即10n＋1＝1000＝103，
∴n＝2.
11.计算：
（1）；
解：原式＝
＝
＝－23
＝－8.
（2）.
解：原式＝
＝.
解答题
12.阅读材料：
若一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式.
如：①∵36＝4×9，∴4和9是36的因数；
∵x2－x－2＝（x＋1）（x－2），
∴x＋1和x－2是x2－x－2的因式；
②若x＋1是x2＋ax－2的因式，求常数a的值.
解：∵x＋1是x2＋ax－2的因式，
∴存在一个整式mx＋n，使得x2＋ax－2＝（x＋1）（mx＋n），
∵当x＝－1时，（x＋1）（mx＋n）＝0，
∴当x＝－1时，x2＋ax－2＝0，
∴1－a－2＝0，解得a＝－1.
根据材料内容，解答下列问题：
（1）若x＋5是整式x2＋mx－10的一个因式，则m＝ ；
解：（1）∵x＋5是整式x2＋mx－10的一个因式，
∴当x＝－5时，x2＋mx－10＝0，
即25－5m－10＝0，
解得m＝3.
3
（2）若整式x2－1是3x4－ax2＋bx＋1的因式，求的值.
解：（2）∵整式x2－1是3x4－ax2＋bx＋1的因式，
∴存在一个整式3x2＋mx－1，使得3x4－ax2＋bx＋1＝（x2－1）（3x2＋mx－1），
∴当x＝1时，（x2－1）（3x2＋mx－1）＝0，
即3x4－ax2＋bx＋1＝0，
则3－a＋b＋1＝0①，
当x＝－1时，（x2－1）（3x2＋mx－1）＝0，
即3x4－ax2＋bx＋1＝0，
则3－a－b＋1＝0②，
联立①②，解得a＝4，b＝0，
∴＝＝2.
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第16课时 公式法（1）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ C ）
A.x2－xy B.x2＋xy C.x2－y2 D.x2＋y2
2.因式分解x2y－4y的正确结果是（ A ）
A.y（x＋2）（x－2） B.y（x＋4）（x－4）
C.y（x2－4） D.y（x－2）2
3.已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为（ C ）
A.4 B.3 C.1 D.0
C
A
C
二、填空题
4.分解因式：
（1）16x2－25＝ （4x＋5）（4x－5） ；
（2）4a3b3－ab＝ ab（2ab＋1）（2ab－1） ；
（3）－x2＋2＝ －（x＋2）（x－2） ；
（4）m2（x－2）＋（2－x）＝ （x－2）（m＋1）（m－1） .
5.计算：20232－20222＝ 4045 .
6.若｜x＋y－5｜＋（x－y＋1）2＝0，则x2－y2＝ －5 .
（4x＋5）（4x－5）
ab（2ab＋1）（2ab－1）
－（x＋2）（x－2）
（x－2）（m＋1）（m－1）
4045
－5
三、解答题
7.用平方差公式分解因式：
（1）36－x2；
解：原式＝（6＋x）（6－x）.
（2）－a2＋b2；
解：原式＝（b＋a）（b－a）.
（3）x2－16y2；
解：原式＝（x＋4y）（x－4y）.
（4）x2y2－z2；
解：原式＝（xy＋z）（xy－z）.
（5）（x＋2）2－9；
解：原式＝（x＋2＋3）（x＋2－3）
＝（x＋5）（x－1）.
（6）a4－16；
解：原式＝（a2＋4）（a2－4）
＝（a2＋4）（a＋2）（a－2）.
（7）x2（x－2）＋4y2（2－x）.
解：原式＝（x－2）（x2－4y2）
＝（x－2）（x＋2y）（x－2y）.
8.已知x、y满足，求x2－y2的值.
解：，
①＋②，得3x＋3y＝15，即x＋y＝5，
①－②，得x－y＝3，
∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝15.
9.若n为整数，证明：（n＋13）2－n2能被13整除.
证明：∵（n＋13）2－n2
＝（n＋13－n）（n＋13＋n）
＝13（2n＋13），
∵n为整数，
∴（n＋13）2－n2能被13整除.
一、填空题
10.如果（a2＋b2＋2）（a2＋b2－2）＝5，那么a2＋b2＝ 3 .
11.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3－xy2，取x＝13，y＝3时，用上述方法产生的密码是： 131610（答案不唯一） .（写出一个即可）
3
131610
（答案不唯一）
二、解答题
12.把下列各式分解因式：
（1）（2x＋3y）2－（3x＋2y）2；
解：原式＝（2x＋3y＋3x＋2y）（2x＋3y－3x－2y）
＝（5x＋5y）（－x＋y）
＝－5（x＋y）（x－y）.
（2）9（a＋b）2－64（a－b）2.
解：原式＝（3a＋3b－8a＋8b）（3a＋3b＋8a－8b）
＝（11b－5a）（11a－5b）.
13.（1）填空：a2－b2＝（a－b）（ ）；
a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）；
a4－b4＝（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）；
a5－b5＝（a－b）（ ）；
解：（1）a2－b2＝（a－b）（a＋b）；
a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）；
a4－b4＝（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）；
a5－b5＝（a－b）（a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4），
（2）猜想：an－bn＝（a－b）（ ）；
（其中n为正整数，且n≥2）
an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1
a＋b
a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4
（3）利用（2）猜想的结论化简：29＋28＋27＋…＋23＋22＋2.
解：（3）29＋28＋27＋…＋23＋22＋2
＝（2－1）（29＋28·1＋27·12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19）－1
＝210－1－1
＝1024－2
＝1022.
解答题
14.计算：
（1）＋＋…＋；
解：原式＝＋＋…＋
＝1－2＋2－3＋…＋99－100
＝1－100
＝－99.
（2）（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）.
解：原式＝（1－）（1＋）（1－）（1＋）…（1－）（1＋）（1－）
（1＋）
＝××××…××××
＝×
＝.
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第17课时 公式法（2）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ D ）
A.x2＋x＋1 B.x2＋2x－1
C.x2－1 D.x2－6x＋9
2.分解因式：4x2＋4x＋1＝（ C ）
A.4x（x＋1）＋1 B.（4x＋1）2
C.（2x＋1）2 D.（2x－1）2
D
C
3.分解因式（x－1）2－2（x－1）＋1的结果是（ D ）
A.（x－1）（x－2） B.x2
C.（x＋1）2 D.（x－2）2
D
二、填空题
4.分解因式：
（1）2a3－8a2＋8a＝ 2a（a－2）2 ；
（2）3x2－6x＋3＝ 3（x－1）2 ；
（3）3m2－6mn＋3n2＝ 3（m－n）2 .
2a（a－2）2
3（x－1）2
3（m－n）2
三、解答题
5.分解因式：
（1）－x2＋4xy－4y2；
解：原式＝－（x2－4xy＋4y2）
＝－（x－2y）2.
（2）a2x－6ax＋9x；
解：原式＝x（a2－6a＋9）
＝x（a－3）2.
（3）－a2＋ab－b2；
解：原式＝－（a－b）2.
（4）（x－y）2＋4xy；
解：原式＝（x＋y）2.
（5）－4a2；
解：原式＝（a2＋1＋2a）（a2＋1－2a）
＝（a＋1）2（a－1）2.
（6）（2x＋y）2－2（2x＋y）（x－2y）＋（x－2y）2.
解：原式＝[2x＋y－（x－2y）]2
＝（x＋3y）2.
6.计算：40×3.152＋80×3.15×1.85＋40×1.852.
解：原式＝40×（3.152＋2×3.15×1.85＋1.852）
＝40×（3.15＋1.85）2
＝40×25
＝1000.
7.阅读材料：
例：求代数式y2＋4y＋8的最小值.
解：∵y2＋4y＋8＝（y2＋4y＋4）＋4＝（y＋2）2＋4≥4，
∴当y＝－2时，代数式y2＋4y＋8有最小值，最小值是4.
仿照例题，解决下列问题：
（1）求代数式m2＋2m＋3的最小值；
解：（1）m2＋2m＋3
＝（m2＋2m＋1）＋2
＝（m＋1）2＋2≥2，
∴当m＝－1时，代数式m2＋2m＋3有最小值，最小值是2；
（2）求代数式－m2＋3m＋的最大值.
解：（2）－m2＋3m＋
＝－＋＋
＝－＋3≤3，
∴当m＝时，代数式－m2＋3m＋有最大值，最大值是3.
一、填空题
8.（1）设a、b为整数，且a2－2a＋b2＋6b＝－10，则（b＋1）a的值为 －2 ；
（2）已知实数x满足x＋＝3，则的值为 ；
（3）若x＝＋1，则（x＋1）2－4（x＋1）＋4的值为 2 .
－2
2
二、解答题
9.分解因式：
（1）a2－b2－2a＋2b；
解：原式＝（a＋b）（a－b）－2（a－b）
＝（a－b）（a＋b－2）.
（2）m2－25＋9n2＋6mn；
解：原式＝（m2＋6mn＋9n2）－25
＝（m＋3n）2－25
＝（m＋3n＋5）（m＋3n－5）.
（3）（a＋c）（a－c）＋b（b＋2a）.
解：原式＝a2－c2＋b2＋2ab
＝a2＋2ab＋b2－c2
＝（a＋b）2－c2
＝（a＋b＋c）（a＋b－c）.
10.若x＋y＝2，y－z＝－1，求代数式x2＋y2＋z2＋xy－yz＋xz的值.
解：∵x＋y＝2，y－z＝－1，
∴x＋z＝3，
x2＋y2＋z2＋xy－yz＋xz
＝（2x2＋2y2＋2z2＋2xy－2yz＋2xz）
＝[（x＋y）2＋（y－z）2＋（x＋z）2]
＝[22＋（－1）2＋32]
＝7.
解答题
11.阅读材料：
例：若x满足（210－x）（x－200）＝－204，试求（210－x）2＋（x－200）2的值.
解：设210－x＝a，x－200＝b，
则ab＝－204且a＋b＝210－x＋x－200＝10，
∵（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×（－204）＝508，
即（210－x）2＋（x－200）2的值为508.
仿照例题，解决问题：
若x满足（300－x）2＋（302－x）2＝512，试求（300－x）（302－x）的值.
解：设302－x＝a，300－x＝b，
∴a－b＝2，
∵（a－b）2＝a2－2ab＋b2，a2＋b2＝512，
∴ab＝[a2＋b2－（a－b）2]＝254，
即（300－x）（302－x）的值为254.
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第18课时 十字相乘法
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.对x2－3x＋2分解因式，结果为（ B ）
A.x（x－3）＋2 B.（x－1）（x－2）
C.（x－1）（x＋2） D.（x＋1）（x－2）
2.若多项式x2－mx＋24可以分解因式，则整数m可取的值共有（ D ）
A.4个 B.6个 C.7个 D.8个
B
D
二、填空题
3.分解因式：
（1）ax2＋2ax－3a＝ a（x＋3）（x－1） ；
（2）（a＋2）（a－2）＋3a＝ （a－1）（a＋4） ；
（3）x2－4x－12＝ （x－6）（x＋2） ；
（4）3x2＋3x－6＝ 3（x＋2）（x－1） ；
（5）2x2－3x＋1＝ （2x－1）（x－1） .
a（x＋3）（x－1）
（a－1）（a＋4）
（x－6）（x＋2）
3（x＋2）（x－1）
（2x－1）（x－1）
三、解答题
4.分解因式：
（1）x2－2x－15； （2）x2－10x－24；
解：原式＝（x－5）（x＋3）
解：原式＝（x－12）（x＋2）
（3）a2－15a＋36； （4）x2－5xy＋6y2；
解：原式＝（a－12）（a－3）
解：原式＝（x－2y）（x－3y）
（7）－ax2＋4ax＋5a.
解：原式＝－a（x2－4x－5）
＝－a（x－5）（x＋1）.
（5）x2＋8xy－33y2； （6）（x＋1）（x＋3）－15；
解：原式＝（x＋11y）（x－3y）
解：原式＝x2＋4x＋3－15
＝x2＋4x－12
＝（x＋6）（x－2）.
5.把下列各式分解因式：
（1）5x2＋7x－6；
解：原式＝（5x－3）（x＋2）.
（2）3x2－7x＋2；
解：原式＝（3x－1）（x－2）.
（3）10x2－17x＋3；
解：原式＝（5x－1）（2x－3）.
（4）－6y2＋11y＋10；
解：原式＝－（3y＋2）（2y－5）.
（5）2x2－7xy＋6y2；
解：原式＝（x－2y）（2x－3y）.
（6）6x4－7x2＋2.
解：原式＝（2x2－1）（3x2－2）.
一、填空题
6.若3x2＋8xy－3y2＝0，则代数式的值为 或－3 .
7.若x－2是x2＋kx－14的一个因式，则k＝ 5 .
8.若x2－y2＋kx＋5y－6能分解为两个一次因式的积，则k的值为 ±1 .
或－3
5
±1
二、解答题
9.把下列各式分解因式：
（1）x4－10x2＋9；
解：原式＝（x2－1）（x2－9）
＝（x＋1）（x－1）（x＋3）（x－3）.
（2）7（x＋y）3－5（x＋y）2－2（x＋y）；
解：原式＝（x＋y）（7x＋7y＋2）（x＋y－1）.
（3）＋22（a2＋8a）＋120；
解：原式＝（a2＋8a＋12）（a2＋8a＋10）
＝（a＋2）（a＋6）（a2＋8a＋10）.
（4）（x2＋2x－3）（x2＋2x－24）＋90；
解：原式＝（x2＋2x）2－27（x2＋2x）＋72＋90
＝（x2＋2x）2－27（x2＋2x）＋162
＝（x2＋2x－9）（x2＋2x－18）.
（5）x（x＋1）（x＋2）（x＋3）－8.
解：原式＝（x2＋3x）（x2＋3x＋2）－8
＝（x2＋3x）2＋2（x2＋3x）－8
＝（x2＋3x＋4）（x2＋3x－2）.
解答题
10.阅读材料：
“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把含x2的项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1a2，把含y2的项的系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1c2，并使a1c2＋a2c1正好等于含xy的项的系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bxy＋cy2＝（a1x＋c1y）（a2x＋c2y）.
解：如图1，其中1＝1×1，－8＝（－4）×2，而－2＝1×2＋1×（－4），
∴x2－2xy－8y2＝（x－4y）（x＋2y）.
第10题图1
例：分解因式：x2－2xy－8y2.
而对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，把a分解成两个因数m，n作为第1列，c分解成两个因数p，q作为第2列，f分解成两个因数j，k作为第3列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，那么原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）.
第10题图2
例：分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2.
解：如图3，其中1＝1×1，－3＝（－1）×3，2＝1×2，
而2＝1×3＋1×（－1），1＝（－1）×2＋3×1，3＝1×2＋1×1，
∴x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝（x－y＋1）（x＋3y＋2）.
第10题图3
请同学们通过上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：
（i）6x2－17xy＋12y2＝ ；
（ii）2x2－xy－6y2＋2x＋17y－12＝ ；
（iii）x2－xy－6y2＋2x－6y＝ .
（3x－4y）（2x－3y）
（x－2y＋3）（2x＋3y－4）
（x－3y）（x＋2y＋2）
（2）若关于x，y的二元二次式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值.
或
解：（2）如图，
∴m＝3×9＋（－8）×（－2）＝43或m＝9×（－8）＋3×（－2）＝－78，
∴m的值为43或－78.
或
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第19课时 复习巩固
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列运算正确的是（ D ）
A.a2·a3＝a6
B.（a2）3＝a5
C.a6÷a2＝a3
D.（a＋2b）（a－2b）＝a2－4b2
2.若（x－3）（x＋a）＝x2＋bx－15，则ab的值为（ A ）
A.25 B.5 C.32 D.－25
D
A
3.已知3a＝1，3b＝2，则3a＋b的值为（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.27
4.若x＋y＝2，则多项式x2＋2xy＋2y2的值为（ C ）
A.2 B.4 C.8 D.16
5.计算52022×的结果是（ C ）
A.5 B.－5 C.－ D.
B
C
C
二、填空题
6.（1）已知a＋＝5，则a2＋＝ 23 ；
（2）若2m＝a，8n＝b，m、n为正整数，则23m＋9n＝ a3b3 ；
（3）若x2＋x－1＝0，则代数式x3＋2x2－7的值是 －6 .
23
a3b3
－6
三、解答题
7.计算：
（1）x3·xn－1－xn－2·x4＋xn＋2；
解：原式＝xn＋2－xn－2＋4＋xn＋2
＝xn＋2.
（2）（m－n）2·（n－m）2÷（n－m）3；
解：原式＝（n－m）4÷（n－m）3
＝n－m.
（3）（x＋1）2－（x－1）（x＋2）.
解：原式＝（x2＋2x＋1）－（x2＋x－2）
＝x＋3.
8.解答下列各题：
（1）已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，求ab的值；
解：∵（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，
∴ab＝×[（a＋b）2－（a－b）2]
＝×3
＝.
（2）化简求值：[4（x2＋y）（x2－y）－（2x2－y）2]÷y，其中x＝，y＝3.
解：原式＝（4x4－4y2－4x4＋4x2y－y2）÷y
＝（－5y2＋4x2y）÷y
＝－5y＋4x2，
当x＝，y＝3时，
原式＝－15＋1＝－14.
9.分解因式：
（1）m3（x－2）＋m（2－x）；
解：原式＝m3（x－2）－m（x－2）
＝m（x－2）（m2－1）
＝m（x－2）（m＋1）（m－1）.
（2）25（x＋y）2－36（x－y）2.
解：原式＝[5（x＋y）]2－[6（x－y）]2
＝（5x＋5y＋6x－6y）（5x＋5y－6x＋6y）
＝（11x－y）（11y－x）.
一、填空题
10.我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m＋n）＝h（m）·h（n），请根据这种新运算填空：
（1）若h（1）＝，则h（2）＝ ；
（2）如果h（1）＝k（k≠0），那么h（n）·h（2023）＝ kn＋2023 .（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）
11.若a＝x＋2021，b＝x＋2022，c＝x＋2023，则代数式2（a2＋b2＋c2－ab－bc－ac）的值是 6 .
kn＋2023
6
二、解答题
12.已知（x－y）2＝9，x2＋y2＝5，求[x（x2y2－xy）－y（x2－x3y）]÷x2y的值.
解：∵（x－y）2＝x2＋y2－2xy＝9，x2＋y2＝5，
∴2xy＝－4，即xy＝－2，
∴原式＝[x2y（xy－1）－x2y（1－xy）]÷x2y
＝2x2y（xy－1）÷x2y
＝2（xy－1）
＝－6.
13.以下关于x的各个多项式中，a，b，c，m，n均为常数.
（1）已知（x＋3）2（x2＋mx＋n）既不含二次项，也不含一次项，求m＋n的值；
解：（1）原式＝（x2＋6x＋9）（x2＋mx＋n）
＝x4＋（m＋6）x3＋（6m＋n＋9）x2＋（9m＋6n）x＋9n，
∵既不含二次项，也不含一次项，
∴6m＋n＋9＝0，9m＋6n＝0，
解得：m＝－2，n＝3，
∴m＋n＝1；
（2）多项式M与多项式x2－3x＋1的乘积为2x4＋ax3＋bx2＋cx－3，求2a＋b＋c的值.
解：（2）∵多项式M与多项式x2－3x＋1的乘积为2x4＋ax3＋bx2＋cx－3，
∴设多项式M＝2x2＋px－3，
∴（2x2＋px－3）（x2－3x＋1）
＝2x4－6x3＋2x2＋px3－3px2＋px－3x2＋9x－3
＝2x4＋（p－6）x3＋（2－3p－3）x2＋（p＋9）x－3
＝2x4＋ax3＋bx2＋cx－3，
∴a＝p－6，b＝－3p－1，c＝p＋9，
∴2a＋b＋c＝2p－12－3p－1＋p＋9＝－4.
解答题
14.1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形我们叫做杨辉三角（如图）.
（1）请写出第五行的数字为 ；
解：（1）由规律可得出第五行的数字为1、5、10、10、5、1
第14题图
1、5、10、10、5、1
（2）第n行杨辉三角数字与（a＋b）n的展开结果关系如图所示，请写出（a＋b）5的展开结果；
解：（2）（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
第14题图
（3）已知（a－b）1＝a－b，（a－b）2＝a2－2ab＋b2，（a－b）3＝a3－3a2b＋3ab2－b3，（a－b）4＝a4－4a3b＋6a2b2－4ab3＋b4，请写出（a－b）5的展开结果.
解：（3）（a－b）5＝a5－5a4b＋10a3b2－10a2b3＋5ab4－b5.
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第1课时 同底数幂的乘法
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算：a5·a6＝（ A ）
A.a11 B.a12 C.a30 D.a31
（2）下列计算正确的是（ D ）
A.x3·x3＝2x3 B.x·x3＝x3
C.x3·x2＝x6 D.x3·x4＝x7
（3）下列计算正确的是（ D ）
A.b3·b2＝b6 B.x3＋x3＝x6
C.a4＋a2＝a6 D.m·m5＝m6
A
D
D
2.计算－（－m2）·（－m）3·（－m）的正确结果是（ C ）
A.－m3 B.m5 C.m6 D.－m6
3.（1）已知2m＝1，2n＝3，则2m＋n＝（ B ）
A.2 B.3 C.4 D.6
（2）已知x＋y－3＝0，则2x·2y的值为（ B ）
A.64 B.8 C.6 D.12
C
B
B
二、填空题
4.计算：
（1）2×22×23＝ 26 ；
（2）10m＋1×10n－1＝ 10m＋n ；
（3）（－x）3·（－x）2＝ －x5 ；
（4）（m－n）·（m－n）2·（m－n）3＝ （m－n）6 ；
（5）（x－y）·（y－x）3＝ －（x－y）4 .
5.若a4·＝a11，则m＝ 4 .
26
10m＋n
－x5
（m－n）6
－（x－y）4
4
三、解答题
6.计算：
（1）（－x）（－x3）（－x3）（－x4）；
解：原式＝x4·x7
＝x11.
（2）（－a2）·（－a）3；
解：原式＝（－a2）·（－a3）
＝a2＋3
＝a5.
（3）（x－2y）2（x－2y）3.
解：原式＝（x－2y）2＋3
＝（x－2y）5.
7.计算下列各题：
（1）（a－b）3·（a－b）2·（b－a）5；
解：原式＝（a－b）5·[－（a－b）5]
＝－（a－b）10.
（2）a2·a3－（－a3）·a4＋a6·（－a）；
解：原式＝a5＋a7－a7
＝a5.
（3）（m－n）2（n－m）3（m－n）6.
解：原式＝（n－m）2（n－m）3（n－m）6
＝（n－m）2＋3＋6
＝（n－m）11.
8.（1）若ax＋3＝a2x＋1（a≠0，a≠1），求x的值；
解：由题意得x＋3＝2x＋1，
则x＝2.
（2）若px·p6＝p2x（p≠0，p≠1），求x的值；
解：由题意得px＋6＝p2x，
∴x＋6＝2x，则x＝6.
（3）若an＋1·am＋n＝a6（a≠0且a≠1），且2m＝8，求mn的值.
解：由题意得，an＋1·am＋n＝am＋2n＋1＝a6，
则m＋2n＝5，
∵2m＝8＝23，∴m＝3，
∴3＋2n＝5，∴n＝1，
故mn＝3.
一、填空题
9.已知x·xm·xn＝x14（x≠0，x≠1），且m比n大3，则mn的值为 40 .
10.已知10α＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式是 10α＋β＋γ .
40
10α＋β＋γ
二、解答题
11.（1）若2a＋5＝9，求3×2a＋4的值；
解：∵2a＋5＝9，
∴2a＋4×2＝9，
∴2a＋4＝，
则3×2a＋4＝3×＝.
（2）已知a＋b＋c＝3，求22a－3·23b－2·2a＋3c的值.
解：22a－3·23b－2·2a＋3c
＝22a－3＋3b－2＋a＋3c
＝23（a＋b＋c）－5，
∵a＋b＋c＝3，
∴原式＝23×3－5＝24＝16.
12.规定运算：a*b＝2a×2b.
（1）求2*3的值；
解：（1）∵a*b＝2a×2b，
（2）若2*（x＋1）＝16，求x的值.
∴2*3＝22×23＝4×8＝32；
解：（2）∵2*（x＋1）＝16，
∴22·2x＋1＝24，即22＋x＋1＝24，
∴2＋x＋1＝4，
解得：x＝1.
解答题
13.记M（1）＝－2，
M（2）＝（－2）×（－2），
M（3）＝（－2）×（－2）×（－2），
…，
M（n）＝.
（1）计算：M（5）＋M（6）；
（2）求2M（2023）＋M（2024）的值；
（3）说明2M（n）与M（n＋1）互为相反数.
解：（1）M（5）＋M（6）
＝（－2）5＋（－2）6
＝－32＋64＝32；
（2）2M（2023）＋M（2024）
＝2×（－2）2023＋（－2）2024
＝－22024＋22024＝0；
（3）2M（n）＋M（n＋1）
＝2·（－2）n＋（－2）n＋1
＝（－2）n（2－2）＝0，
∴2M（n）与M（n＋1）互为相反数.
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第2课时 幂的乘方
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.计算：（－a4）2＝（ C ）
A.2 B.－4 C. D.－a8
2.下列各式运算正确的是（ D ）
A.a3＋a3＝ B.x3·x2＝x6
C.（a3）2＝ D.（－a2）3＝－a6
3.下列各式运算正确的是（ B ）
A.（x4）3＝x7 B.（am）2＝a2m
C.[（－a）2]5＝－a10 D.（－a3）2＝－a6
C
D
B
4.下列计算结果是a9的是（ A ）
A.a3·a6 B.（a3）6
C.a3＋a6 D.a9＋a9
A
二、解答题
5.计算：
（1）（102）3； （2）－（a2）4；
解：原式＝106；
解：原式＝－a8.
（3）（x3）5·x3； （4）[（－x）2]3；
解：原式＝x15·x3＝x18；
解：原式＝x6.
（5）（－a）2（a2）2；
解：原式＝a6；
（6）x·（－x2）2－x2·x3.
解：原式＝x5－x5
＝0.
6.计算：
（1）x2·x5·x＋4（－x4）2＋（x2）4；
解：原式＝x8＋4x8＋x8
＝6x8.
（2）9（x3）2－x2·x4－（x2）3；
解：原式＝9x6－x6－x6
＝7x6.
（3）a3·a·a4＋7（a4）2＋（－a2）4；
解：原式＝a8＋7a8＋a8
＝9a8.
（4）（－a）3·a2－（－a）2·（－a3）.
解：原式＝－a5＋a2·a3
＝0.
7.解方程：
（1）23x－1·22－x＝2x＋2；
解：∵23x－1·22－x＝2x＋2，
∴3x－1＋2－x＝x＋2，
解得x＝1.
（2）3x·92x＝910.
解：∵3x·92x＝910，
∴3x·34x＝320，
∴x＋4x＝20，
解得x＝4.
一、选择题
8.若x，y均为正整数，且2x·4y＝32，则x＋2y的值为（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
C
二、填空题
9.已知am＝3，a2m＋n＝45，则an＝ 5 .
10.已知27b＝9×3a＋3，16＝4×22b－2，则a＋b的值为 3 .
5
3
三、解答题
11.已知n为正整数，且x2n＝4，求9（x3n）2－13（x2）2n的值.
解：∵x2n＝4，
∴9（x3n）2－13（x2）2n
＝9（x2n）3－13（x2n）2
＝9×43－13×42
＝368.
12.解答下列问题：
（1）已知3m＝5，3n＝2，求33m＋2n＋1的值；
解：∵3m＝5，3n＝2，
∴原式＝（3m）3·（3n）2×3
＝53×22×3
＝125×4×3
＝1500.
（2）若3x＋4y－3＝0，求27x·81y的值；
解：∵3x＋4y－3＝0，
∴3x＋4y＝3，
∴原式＝33x·34y
＝33x＋4y
＝33
＝27.
（3）已知16m＝4×22n－2，27n＝9×3m＋3，求（m－n）2024的值.
解：∵16m＝4×22n－2，27n＝9×3m＋3，
∴24m＝22×22n－2，33n＝32×3m＋3，
则4m＝2＋2n－2，3n＝2＋m＋3，
解得：m＝1，n＝2，
则（m－n）2024＝1.
13.比较大小：
（1）比较2100与375的大小；
解：∵2100＝（24）25＝1625，
375＝（33）25＝2725，
而16＜27，
∴1625＜2725，
∴2100＜375.
（2）比较344、433、522的大小；
解：∵344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
522＝（52）11＝2511，
而81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522.
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小.
解：由b3＝3可得b＞0，
当a＜0时，a＜b；
当a＞0时，a6＝8，b6＝9，
∵8＜9，
∴a6＜b6，
∴a＜b，
综上所述，a＜b.
解答题
14.若2a＝2，4b＝6，8c＝12，试求a，b，c的数量关系.
解：∵4b＝6，∴22b＝6，
∵8c＝12，∴23c＝12，
∴2a·22b＝2×6＝12，
即2a＋2b＝12，
∴2a＋2b＝23c，
∴a＋2b＝3c.
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第3课时 积的乘方
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算的结果是（ C ）
A.6x6 B.8x27 C.8x9 D.6x
（2）计算的结果是（ C ）
A.m6n B.m5n2 C.m6n2 D.m3n2
（3）计算的结果是（ B ）
A.－m5n B.－m6n3
C.m6n3 D.－m5n3
C
C
B
2.（1）下列计算正确的是（ C ）
A.x2·x4＝x8 B.＝x5
C.x2＋x2＝2x2 D.（3x）2＝3x2
（2）下列运算中，正确的是（ A ）
A.＝16x4y6
B.－＝12x2y6
C.＝－9x9y
D.（－x）3·x2·（－x）＝x5
C
A
3.（1）计算：2200×＝（ A ）
A.1 B.－1 C.2400 D.－2400
（2）计算：（－4）2023×＝（ D ）
A.4 B.－4 C. D.－
4.已知xa＝2，xb＝4，则x2a＋b的值是（ D ）
A.2 B.6 C.8 D.16
A
D
D
二、填空题
5.若（a3·ax）2＝a20，则x的值为 7 .
6.计算：·＝ － .
7.计算：（1）－＝ －x3y6 ；
（2）（－a3）4＋（－2a2）3＝ a12－8a6 .
7
－
－x3y6
a12－8a6
三、解答题
8.计算：
（1）（－5b）3；
解：原式＝－125b3.
（2）－；
解：原式＝－a4b6.
（3）.
解：原式＝a4b2.
9.计算：
（1）（－a3b6）2－（－a2b4）3－2a4b2·（ab5）2；
解：原式＝a6b12＋a6b12－2a4b2·a2b10
＝2a6b12－2a6b12
＝0.
（2）a3·a·a4＋（－2a4）2＋（a2）4；
解：原式＝a8＋4a8＋a8
＝6a8.
（3）（2a2）3＋（－3a3）2＋（a2）2·a2；
解：原式＝8a6＋9a6＋a4·a2
＝8a6＋9a6＋a6
＝18a6.
（4）m·m5＋（－2m3）2－4（m2）3；
解：原式＝m6＋4m6－4m6
＝m6.
（5）××.
解：原式＝×××
＝××
＝－1××
＝－.
一、填空题
10.（1）计算：×41010＝ ；
（2）计算：[a（a－b）2]3·[a2（b－a）3]2＝ a7（a－b）12 ；
（3）如果＝a9b12，那么m＋n＝ 7 ；
（4）已知an＝－1，b2n＝3，则（－a2b）4n的值为 9 ；
（5）已知3m·9m·27m·81m＝330，则m的值为 3 .
11.有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长每秒扩大到之前的102倍，则3秒后该正方体的体积是 1021 cm3.
a7（a－b）12
7
9
3
1021
二、解答题
12.（1）已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值；
解：∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3，
则原式＝（22）x·（25）y
＝22x·25y
＝22x＋5y
＝23
＝8.
（2）已知25m·2·10n＝57·24，求m，n的值.
解：25m·2·10n＝52m·2·（2×5）n
＝52m＋n·2n＋1，
∵25m·2·10n＝57·24，
∴52m＋n·2n＋1＝57·24，
则，解得，
∴m的值为2，n的值为3.
13.计算下列各题：
（1）0.1259×（－8）10＋×（2）12；
解：原式＝（0.125×8）9×8＋×
＝1×8＋1×
＝.
（2）an－5·（an＋1b3m－2）2＋（an－1bm－2）3·（－b3m＋2）.
解：原式＝an－5·（a2n＋2b6m－4）＋（a3n－3b3m－6）·（－b3m＋2）
＝a3n－3b6m－4－a3n－3b6m－4
＝0.
解答题
14.若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n.
试利用上述结论分别求下列各方程中x的值：
（1）2×8x＝27；
解：（1）原方程可化为2×23x＝27，
∴23x＋1＝27，
∴3x＋1＝7，
解得x＝2；
（2）2x＋1×3x＋1＝36x－2；
解：（2）原方程可化为（2×3）x＋1＝36x－2，
∴6x＋1＝62（x－2），
∴x＋1＝2（x－2），
解得x＝5；
（3）2x＋2＋2x＋1＝24.
解：（3）原方程可化为2×2x＋1＋2x＋1＝24，
∴3×2x＋1＝3×8，
∴2x＋1＝8＝23，
∴x＋1＝3，
解得x＝2.
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第4课时 整式的乘法（1）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算6x2·x3的结果是（ B ）
A.6x B.6x5 C.6x6 D.6x9
（2）计算（2x）3·（－x2）的结果为（ C ）
A.8x6 B.－2x5 C.－8x5 D.2x5
（3）计算：（－2x2y3）·3xy2＝（ B ）
A.－6x2y6 B.－6x3y5
C.－5x3y5 D.－24x7y5
B
C
B
2.下列运算正确的是（ D ）
A.4x＋5y＝9xy B.2a3·a3＝8a6
C.a2·a3＝a6 D.（－ab）4＝a4b4
3.若（ ）·（－xy）2＝4x2y3，则括号里应填的单项式是（ A ）
A.4y B.－4y C.4xy D.－2xy
D
A
二、填空题
4.计算：（1）（－2x2）·3x4＝ －6x6 ；
（2）－4a3b2c·3ab3＝ －12a4b5c ；
（3）（3×105）×（8×105）＝ 2.4×1011 .（结果用科学记数法表示）
5.计算：3xmy3·（－2xym＋1）＝ －6xm＋1ym＋4 .（m是正整数）
6.（1）已知3x3y·★＝12x5y，则“★”所表示的式子是 4x2 ；
（2）若5am＋1b2与3an＋2bn的积是15a8b4，则nm＝ 8 .
－6x6
－12a4b5c
2.4×1011
－6xm＋1ym＋4
4x2
8
三、解答题
7.计算：
（1）·；
解：原式＝－×a3bc2
＝－a3bc2.
（2）·（－3xy）；
解：原式＝4x4y2·（－3xy）
＝－12x5y3.
（3）（5×105）×（3×102）.
解：原式＝1.5×108.
8.计算下列各题：
（1）2x7·（－x3）－（－x3）2·x4；
解：原式＝－2x10－x6·x4
＝－2x10－x10
＝－3x10.
（2）（－2x2y）3＋（3x）2·（－x）4·y3；
解：原式＝－8x6y3＋9x2·x4y3
＝－8x6y3＋9x6y3
＝x6y3.
（3）（－3a3）2·a3＋（－4a2）·a7－（5a3）3；
解：原式＝9a6·a3－4a2·a7－125a9
＝9a9－4a9－125a9
＝－120a9.
（4）先化简，再求值：（－2a2b3）（－ab2）2＋·4b，其中a＝2，b＝1.
解：原式＝－2a2b3·a2b4＋a4b6·4b
＝－2a4b7＋a4b7
＝－a4b7，
当a＝2，b＝1时，
原式＝－24×1＝－16.
一、选择题
9.计算2x·（－3xy）2·（－x2y）3的结果是（ C ）
A.18x8y5 B.6x9y5
C.－18x9y5 D.－6x4y5
C
二、填空题
10.（1）若2a3y2·（－4a2y3）＝ma5yn，则m＋n的值为 －3 ；
（2）若－5am＋1·b2n－1·2ab2＝－10a4b4，则m－n的值为 ；
（3）如果单项式－3x2a－by2与x3a＋by5a＋8b是同类项，那么这两个单项式的积是 10y4 .
－3
－x10y4
三、解答题
11.成都市环保局将一个长为2×106分米，宽为4×104分米，高为8×102分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由.
解：有，
∵长方体废水池的容积为：
（2×106）×（4×104）×（8×102）
＝64×1012
＝43×（104）3
＝（4×104）3立方分米，
∴正方体水池的棱长为4×104分米.
解答题
12.解答下列各题：
（1）已知（2x3y2）·（－3xmy3）·（5x2yn）＝－30x4y2，求m＋n的值；
解：∵（2x3y2）·（－3xmy3）·（5x2yn）
＝－30xm＋5yn＋5＝－30x4y2，
∴m＋5＝4，n＋5＝2，即m＝－1，n＝－3，
则m＋n＝－4.
（2）若[－3（x＋y）m（x－y）2n]2·[－（x＋y）2]＝－9（x＋y）10（x－y）10－n，
求（m－n）3的值；
解：∵[－3（x＋y）m（x－y）2n]2·[－（x＋y）2]
＝－9（x＋y）2m＋2（x－y）4n
＝－9（x＋y）10（x－y）10－n，
∴2m＋2＝10，4n＝10－n，
∴m＝4，n＝2，
当m＝4，n＝2时，
（m－n）3＝×（4－2）3＝2.
（3）已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的平方根.
解：（－2x3m＋1y2n）·（7xn－6y－3－m）
＝－14x（3m＋1）＋（n－6）y2n＋（－3－m）
＝－14x3m＋n－5y2n－m－3，
∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，
∴，解得，
∴m2＋n＝7，
∴m2＋n的平方根是±.
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第5课时 整式的乘法（2）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算：x（x2－1）＝（ B ）
A.x3－1 B.x3－x
C.x3＋x D.x2－x
（2）把2a（ab－b＋c）化简后得（ D ）
A.2a2b－ab＋ac B.2a2－2ab＋2ac
C.2a2b＋2ab＋2ac D.2a2b－2ab＋2ac
B
D
（3）化简：（－3s＋t）·（－7st2）＝（ B ）
A.21s2t2－14st3 B.21s2t2－st3
C.－21s2t2＋14st3 D.－21s2t2＋st
B
2.已知x2－4x－1＝0，则代数式x（x－4）＋1的值为（ A ）
A.2 B.1 C.0 D.－1
3.某同学在计算－3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2－x＋1，由此可以推断正确的计算结果是（ C ）
A.4x2－x＋1 B.x2－x＋1
C.－12x4＋3x3－3x2 D.无法确定
A
C
二、填空题
4.计算：xm·（2xm－4x2－8y）＝ 2x2m－4xm＋2－8xmy .（m为正整数）
5.（1）若（x2－a）x＋2x的展开式中只含有x3这一项，则a的值是 2 ；
（2）若3x（x＋1）＝mx2＋nx，则m＋n＝ 6 .
2x2m－4xm＋2－8xmy
2
6
三、解答题
6.计算：
（1）2ab2·（3a2b－2ab－1）；
解：原式＝6a3b3－4a2b3－2ab2.
（2）－3x·.
解：原式＝－x3y3－6xy2＋3x.
7.计算：
（1）2x－3x；
解：原式＝x2－2x－x2＋5x
＝3x.
（2）2x（－x2＋3x－4）＋3x2；
解：原式＝－2x3＋6x2－8x＋x3＋3x2
＝－x3＋9x2－8x.
（3）3a·（a2＋2a）－2a2（a－3）.
解：原式＝3a3＋6a2－2a3＋6a2
＝a3＋12a2.
8.解方程：2x（x＋1）－（3x－2）x＝1－x2.
解：去括号，得2x2＋2x－3x2＋2x＝1－x2，
整理，得4x＝1，
解得x＝.
（2）当x＝2时，先化简：A＋B，再求其值.
解：（2）A＋B＝x＋（6x2－4x－2）
＝6x2－x－2，
当x＝2时，
原式＝6×22－×2－2＝15.
9.已知A＝x，B是多项式，王虎同学在计算A＋B 时，误把A＋B看成了A×B，结果得3x3－2x2－x.
（1）求多项式B；
解：（1）由题意可知：x·B＝3x3－2x2－x，
∴B＝6x2－4x－2；
一、选择题
10.（1）下列各式中，计算正确的有（ B ）
①（a－3b）（－6a）＝－6a2＋18ab；
②（－9xy＋2）＝3x3y2＋2；
③（－4ab）＝2a3b2；
④＝ab2－2ab.
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（2）已知a－b＝3，b－c＝－2，则代数式a2－ac－b（a－c）的值为（ C ）
A.4 B.－4 C.3 D.－3
C
二、填空题
11.若（mx2－nx＋2）·（－2x2）－4x3的结果中不含x4和x3的项，则m＝ 0 ，n＝ 2 .
12.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据如图所示的图形写出一个代数恒等式： 2a（a＋b）＝2a2＋2ab .
第12题图
0
2
2a（a＋b）＝2a2＋2ab
三、解答题
13.已知有理数a、b、c满足｜a－b－3｜＋（b＋1）2＋｜c－1｜＝0，求（－3ab）（a2c－6b2c）的值.
解：由｜a－b－3｜＋（b＋1）2＋｜c－1｜＝0，
得：，解得：，
∵（－3ab）（a2c－6b2c）＝－3a3bc＋18ab3c，
∴当a＝2，b＝－1，c＝1时，
原式＝－3×23×（－1）×1＋18×2×（－1）3×1
＝24－36
＝－12.
14.已知ab＝3，求（2a3b2－3a2b＋4a）（－2b）的值.
解：（2a3b2－3a2b＋4a）（－2b）
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4（ab）3＋6（ab）2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3
＝－108＋54－24
＝－78.
解答题
15.若m2＋m－1＝0，求代数式m3＋2m2＋2023的值.
解：∵m2＋m－1＝0，
∴m2＋m＝1，m2＝1－m，
∴m3＋2m2＋2023
＝m（1－m）＋2m2＋2023
＝m－m2＋2m2＋2023
＝m2＋m＋2023
＝2024.
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第6课时 整式的乘法（3）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算（x＋1）（x－2）的结果是（ B ）
A.x2＋x－2 B.x2－x－2
C.x2＋2 D.x2－2
（2）计算（x＋1）（2x－5）的结果是（ A ）
A.2x2－3x－5 B.2x2－6x－5
C.2x2－3x＋5 D.x2－3x－5
B
A
（3）计算：（3m＋5）（－3m－5）＝（ C ）
A.9m2－25
B.－9m2－25
C.－9m2－30m－25
D.－9m2＋30m－25
C
2.（1）若（x＋2）（x＋a）＝x2－bx－8，则ab的值为（ D ）
A.－8 B.－4 C. D.16
（2）将多项式（x2＋x－3）（x2－2x＋2a）展开，常数项为－30，则a＝（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
（3）若（x＋1）（2x2－ax＋1）的运算结果中，x2的系数为－6，则a的值是（ C ）
A.4 B.－4 C.8 D.－8
（4）要使多项式（x＋p）（x－q）不含x的一次项，则p与q的关系是（ A ）
A.相等 B.互为相反数
C.互为倒数 D.乘积为－1
D
C
C
A
二、填空题
3.计算：（5m＋2）（2m－1）＝ 10m2－m－2 .
4.若（x＋a）（x＋b）＝x2＋6x＋5，则a＋b的值为 6 .
5.已知三角形的底边是（6a＋2b）cm，高是（2b－3a）cm，则这个三角形的面积是 （－9a2＋3ab＋2b2） cm2.
10m2－m－2
6
（－9a2＋3ab＋2b2）
三、解答题
6.计算：
（1）（a＋1）（a－6）；
解：原式＝a2－6a＋a－6
＝a2－5a－6.
（2）（2y＋3）（y－1）；
解：原式＝2y2－2y＋3y－3
＝2y2＋y－3.
（3）（m＋2n）（2m－n）；
解：原式＝2m2－mn＋4mn－2n2
＝2m2＋3mn－2n2.
（4）（x＋3y－4）（2x－y）.
解：原式＝2x2－xy＋6xy－3y2－8x＋4y
＝2x2＋5xy－3y2－8x＋4y.
7.计算下列各题：
（1）6x（x2＋2）－x（3x－2）（2x－3）；
解：原式＝6x3＋12x－（3x2－2x）（2x－3）
＝6x3＋12x－（6x3－9x2－4x2＋6x）
＝6x3＋12x－6x3＋9x2＋4x2－6x
＝13x2＋6x.
（2）（3y＋2）（y－4）－（y－2）（y－3）.
解：原式＝3y2＋2y－12y－8－（y2－5y＋6）
＝3y2－10y－8－y2＋5y－6
＝2y2－5y－14.
8.已知A＝1＋2x，B＝1－2x＋4x2，C＝1－4x3.
（1）化简：A·B－C；
解：（1）∵A＝1＋2x，B＝1－2x＋4x2，C＝1－4x3，
∴A·B－C
＝（1＋2x）（1－2x＋4x2）－1＋4x3
＝1－2x＋4x2＋2x－4x2＋8x3－1＋4x3
＝12x3；
（2）当x＝－时，求A·B－C的值.
解：（2）由（1）得A·B－C＝12x3，
当x＝－时，
原式＝12×（－）3＝－.
一、选择题
9.若不管a取何值，多项式a3＋2a2－a－2与（a2－ma＋2n）（a＋1）都相等，则m，n的值分别为（ A ）
A.－1，－1 B.－1，1
C.1，－1 D.1，1
A
二、填空题
10.如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），若要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙），且卡片全部用上，则拼成的大长方形有 11 种.
第10题图
11
三、解答题
11.若（x2＋px＋8）（x2－3x－q）的展开式中不含x3和x2的项，求2p＋q的值.
解：（x2＋px＋8）（x2－3x－q）
＝x4－3x3－qx2＋px3－3px2－pqx＋8x2－24x－8q
＝x4＋（－3＋p）x3＋（－q－3p＋8）x2＋（－pq－24）x－8q，
∵展开式中不含x3和x2的项，
∴，
解得：p＝3，q＝－1，
∴2p＋q＝6－1＝5.
解答题
12.你能化简（x－1）（x99＋x98＋…＋x＋1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法.
（1）分别化简下列各式：
（x－1）（x＋1）＝ ；
（x－1）（x2＋x＋1）＝ ；
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝ ；
…，
（x－1）（x99＋x98＋…＋x＋1）＝ .
解：（1）（x－1）（x＋1）＝x2＋x－x－1＝x2－1；
（x－1）（x2＋x＋1）＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1；
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4＋x3＋x2＋x－x3－x2－x－1＝x4－1；
…，
（x－1）（x99＋x98＋…＋x＋1）＝x100＋x99＋…＋x2＋x－（x99＋x98＋…＋x＋1）＝x100－1，
故答案为：x2－1；x3－1；x4－1；x100－1；
（2）请你利用上面的结论计算：299＋298＋…＋2＋1.
解：（2）原式＝（2－1）×（299＋298＋…＋2＋1）
＝2100－1.
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第7课时 整式的乘法（4）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列运算正确的是（ C ）
A.（a3）2＝a5 B.a3·a2＝a6
C.（ab）4＝a4b4 D.a6÷a3＝a2
2.下列各式的运算结果是x6的是（ C ）
A.x4＋x2 B.x12÷x2 C.（x2）3 D.x2·x3
C
C
3.（1）计算：x5÷x2＝（ B ）
A.x2 B.x3 C.2x D.x7
（2）计算（2xy2）3÷2xy2的结果是（ D ）
A.3 B.3xy2 C.8xy D.4x2y4
4.若2x＝5，2y＝3，则22x－y的值为（ B ）
A.25 B. C.9 D.75
B
D
B
二、填空题
5.计算：（－5）8·（－5）6÷（－5）12＝ 25 .
6.（1）若ax÷a3·a5＝a6，则x＝ 4 ；
（2）已知a5＝6，a2＝2，则a3＝ 3 ；
（3）已知（3x＋1）0＝1，则x满足的条件是 x≠－ .
25
4
3
x≠－
三、解答题
7.计算：
（1）÷y5；
解：原式＝y6÷y5
＝y.
（2）（－a2b4）8÷（－a2b4）2.
解：原式＝（－a2b4）6
＝a12b24.
8.计算下列各题：
（1）（－a2）3＋a2·a3＋a8÷（－a2）；
解：原式＝－a6＋a5－a6
＝－2a6＋a5.
（2）x3·x6＋x20÷x10－xn＋8÷xn－1；
解：原式＝x9＋x10－x9
＝x10.
（3）y4＋（y2）4÷y4－（－y2）2；
解：原式＝y4＋y8÷y4－y4
＝y4＋y4－y4
＝y4.
（4）x3·x5－（2x4）2＋x10÷x2.
解：原式＝x8－4x8＋x8
＝－2x8.
9.（1）已知2×8x×16＝223，求x的值；
解：∵2×8x×16＝223，
∴2×（23）x×24＝223，
∴2×23x×24＝223，
∴1＋3x＋4＝23，
解得x＝6.
①am＋n的值；
②a3m－2n的值.
解：①am＋n＝am·an
＝5×3＝15；
②a3m－2n＝a3m÷a2n
＝（am）3÷（an）2
＝33÷52
＝.
（2）已知am＝3，an＝5，求：
一、填空题
10.（1）已知10a＝20，10b＝，则3a÷3b＝ 9 ；
（2）已知5x＝6，5y＝3，则5x＋2y－1＝ ；
（3）已知25a·52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2＋ab＋3c的值是 6 ；
（4）已知2m＝4n－1，27n＝3m－1，则n－m＝ 5 .
9
6
5
二、解答题
11.解答下列各题：
（1）若3x＝4，3y＝6，求92x－y＋27x－y的值；
解：∵3x＝4，3y＝6，
∴92x－y＋27x－y
＝（32）2x－y＋（33）x－y
＝34x－2y＋33x－3y
＝（3x）4÷（3y）2＋（3x）3÷（3y）3
＝＋
＝.
（2）若26＝a2＝4b，求a＋b的值.
解：26＝（±23）2＝（±8）2，
26＝（22）3＝43，
∵26＝a2＝4b，
∴a＝±8，b＝3，
∴a＋b＝11或－5.
解答题
12.（1）若33·9m＋4÷272m－1的值为729，试求m的值；
解：∵33·9m＋4÷272m－1
＝33·32（m＋4）÷33（2m－1）
＝33＋2（m＋4）－3（2m－1）
＝314－4m
＝729
＝36，
∴14－4m＝6，
解得m＝2.
（2）已知3m＝4，3m－4n＝，求200n的值；
解：∵3m＝4，
∴3m－4n＝3m÷34n＝4÷34n＝，
∴34n＝81＝34，
∴4n＝4，即n＝1，
∴200n＝200.
（3）若mp＝，m2q＝7，mr＝－，求m3p＋4q－2r的值.
解：∵mp＝，m2q＝7，mr＝－，
∴m3p＋4q－2r
＝（mp）3×（m2q）2÷（mr）2
＝（）3×72÷（－）2
＝×72×
＝.
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第8课时 整式的乘法（5）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.计算（－4x3＋2x）÷2x的结果正确的是（ A ）
A.－2x2＋1 B.2x2＋1
C.－2x3＋1 D.－8x4＋2x
2.2x3可以表示为（ C ）
A.x3·x3 B.2x4－x
C.x3＋x3 D.2x6÷x2
A
C
4.面积为9a2－6ab＋3a的长方形一边长为3a，另一边长为（ D ）
A.2a－3 B.2a－3b＋1
C.3a－2b D.3a－2b＋1
D
3.已知8a3bm÷28an＋1b2＝b2，则m，n的值分别为（ B ）
A.4，3 B.4，2 C.2，2 D.2，3
B
二、填空题
5.若8a5bn÷2amb＝4a2b5，则mn＝ 18 .
6.已知长方形的面积为6a2b－4a2＋2a，宽为2a，则长方形的周长为 6ab＋2 .
18
6ab＋2
三、解答题
7.计算：
（1）8x8÷2x3；
解：原式＝4x5.
（2）20x3y5z÷（－5x2y3）；
解：原式＝－4xy2z.
（3）（－4a5b3）2÷8a2b3；
解：原式＝16a10b6÷8a2b3
＝2a8b3.
（4）9a5b4÷3a2b4－a·（－5a2）；
解：原式＝3a3＋5a3
＝8a3.
（5）－2x6－·8x5＋（2x4）3÷（－x）5；
解：原式＝－2x6－x2·8x5＋8x12÷（－x5）
＝－2x6－2x7－8x7
＝－2x6－10x7.
（6）3a2b2÷a2＋b·（a2b－3ab）－（2b）2.
解：原式＝3b2＋a2b2－3ab2－4b2
＝－b2＋a2b2－3ab2.
8.计算：
（1）（4m3－3m2n＋2m）÷2m；
解：原式＝2m2－mn＋1.
（2）÷；
解：原式＝－6x＋2y－1.
（3）[6（m＋n）a＋3z4－6（m＋n）a－2z2＋3（m＋n）a－1z]÷3（m＋n）a－2z；
解：原式＝2（m＋n）5z3－2z＋m＋n.
（4）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·3x.
解：原式＝－3x3＋2x2－（3x2－3x3）
＝－3x3＋2x2－3x2＋3x3
＝－x2.
一、选择题
9.已知x3＋（a－1）x－6能被x－2整除，则a的值为（ C ）
A.1 B.－1 C.0 D.2
C
二、填空题
10.若－5a2m－3bn＋4÷3am＋2b5＝－a4b2，则m÷n＝ 3 .
3
三、解答题
11.先化简，再求值：[（2x＋y）（2x－y）－3（2x2－xy）＋y2]÷，其中x＝2，y＝－1.
解：原式＝（4x2－y2－6x2＋3xy＋y2）÷
＝（－2x2＋3xy）÷
＝4x－6y，
当x＝2，y＝－1时，
原式＝8＋6＝14.
12.阅读材料：
∵（x－2）（x＋3）＝x2＋x－6，
∴（x2＋x－6）÷（x－2）＝x＋3，
即x2＋x－6能被x－2整除，
∴x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0.
解答问题：
（1）由（x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6，得x2＋5x＋6能被 整除，且当x＝ 时，x2＋5x＋6＝0；
解：（1）∵（x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6，
∴x2＋5x＋6能被x＋2整除或者能被x＋3整除，
当x＝－2或－3时，x2＋5x＋6＝0，
故答案为：x＋2或x＋3，－2或－3；
x＋2或x＋3
－2或－3
（2）根据材料，已知多项式x2＋mx－14能被x＋2整除，试求m的值.
解：（2）∵x2＋mx－14能被x＋2整除，
当x＝－2时，
原式＝（－2）2＋m×（－2）－14＝0，
解得m＝－5.
解答题
13.（1）计算：（a6b2）n＋1÷（－anb）3÷a2n－3bn；
解：原式＝a6n＋6b2n＋2÷（－a3nb3）÷a2n－3bn
＝－a3n＋6b2n－1÷a2n－3bn
＝－an＋9bn－1.
（2）已知（xmyn）2÷（x2y）3＝x4y5，求2m－n的值；
解：∵（xmyn）2÷（x2y）3＝x2m－6y2n－3＝x4y5，
∴2m－6＝4，2n－3＝5，
解得：m＝5，n＝4，
则2m－n＝2.
（3）计算：÷[3（－x－y）2（x－y）2]2.
解：原式＝36（x＋y）6（x－y）4÷[9（x＋y）4（x－y）4]
＝4（x＋y）2
＝4x2＋8xy＋4y2.
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第9课时 专题幂的运算
第十四章 整式的乘法与因式分解
解答题
1.计算：
（1）×；
解：原式＝
＝.
（2）xm＋15·xm－1；
解：原式＝x（m＋15）＋（m－1）
＝x2m＋14.
（3）（－x）·（－x）6；
解：原式＝（－x）7
＝－x7.
（4）－m3·m4；
解：原式＝－m3＋4
＝－m7.
（5）（3ab7）2；
解：原式＝9a2b14.
（6）（－m）8÷（－m）3；
解：原式＝（－m）5
＝－m5.
（7）（xy）7÷（xy）4；
解：原式＝（xy）3
＝x3y3.
（8）x2m＋2÷xm＋2；
解：原式＝x2m＋2－m－2
＝xm.
解：原式＝（2a＋b）（2n＋1）＋3＋（n－4）
＝（2a＋b）3n.
（11）（x－y）2·（y－x）5.
解：原式＝（y－x）2·（y－x）5
＝（y－x）7.
（9）（x－y）5÷（y－x）3；
解：原式＝－（y－x）5÷（y－x）3
＝－（y－x）2.
（10）（2a＋b）2n＋1·（2a＋b）3·（2a＋b）n－4；
2.计算：
（1）x4·（－x）5＋（－x）4·x5；
解：原式＝－x9＋x9
＝0.
（2）（m4）2＋m5·m3＋（－m）4·m4；
解：原式＝m4×2＋m5＋3＋m4＋4
＝3m8.
（3）（－3a2）3＋（－4a3）2；
解：原式＝－27a6＋16a6
＝－11a6.
（4）x·（x2）2＋x7÷x2－4x3·x2；
解：原式＝x5＋x5－4x5
＝－2x5.
（5）（－3a4）2－a·a3·a4－a10÷a2；
解：原式＝9a8－a8－a8
＝7a8.
（6）0.254×44－×；
解：原式＝（0.25×4）4－×
＝1－×
＝1－1×
＝.
（5）（－3a4）2－a·a3·a4－a10÷a2；
解：原式＝9a8－a8－a8
＝7a8.
（7）×24＋（－2）0－（－0.1）2024×102024；
解：原式＝×2＋1－（－0.1×10）2024
＝－2＋1－1
＝－2.
（8）（a－b）2·（b－a）3＋（a－b）4·（b－a）.
解：原式＝（b－a）5＋（b－a）5
＝2（b－a）5.
3.（1）已知xa＋b＝6，xb＝3，求xa的值；
解：xa＝xa＋b－b＝xa＋b÷xb＝6÷3＝2.
（2）已知xm＝5，xn＝7，求x2m＋n的值；
解：∵xm＝5，xn＝7，
∴x2m＋n＝xm·xm·xn＝5×5×7＝175.
（3）已知2x＋3y－2＝0，求9x·27y的值；
解：∵2x＋3y－2＝0，∴2x＋3y＝2，
∴9x·27y＝32x·33y＝32x＋3y＝32＝9.
（4）已知10m＝20，10n＝4，求2m－n的值；
解：∵102m－n＝＝100＝102，
∴2m－n＝2.
（5）若32·92a＋1÷27a＋1＝81，求a的值；
解：∵32·92a＋1÷27a＋1＝81，
∴32·32（2a＋1）÷33（a＋1）＝34，
即2＋2（2a＋1）－3（a＋1）＝4，
解得a＝3.
（6）若33x＋1·53x＋1＝152x＋4，求x的值.
解：33x＋1·53x＋1＝153x＋1＝152x＋4，
∴3x＋1＝2x＋4，
∴x＝3.
4.比较312×510与310×512的大小.
解：312×510＝（3×5）10×32，
310×512＝（3×5）10×52，
∵32＜52，
∴312×510＜310×512.
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第10课时 专题整式的乘除
第十四章 整式的乘法与因式分解
解答题
1.计算：
（1）（－12a2b）÷2ab；
解：原式＝－6a.
（2）（－2xy2）2·3x2y；
解：原式＝4x2y4·3x2y
＝12x4y5.
（3）5（a4）3＋（－2a3）2·（－a6）；
解：原式＝5a12－4a6·a6
＝a12.
（4）2x3y·（－2xy）＋÷2x2.
解：原式＝－4x4y2－8x9y3÷2x2
＝－4x4y2－4x7y3.
2.计算：
（1）·ab；
解：原式＝a2b3－a2b2.
（2）（－2a2）（3ab2－5ab3）；
解：原式＝－6a3b2＋10a3b3.
（3）－3x·；
解：原式＝－x3y3－6xy2＋3x.
（4）·5xy2÷（－10x6y5）＋（x2y－2xy）÷xy.
解：原式＝8x6y3·5xy2÷（－10x6y5）＋x－2
＝40x7y5÷（－10x6y5）＋x－2
＝－4x＋x－2
＝－3x－2.
3.计算：
（1）（x－2）（x＋3）；
解：原式＝x2＋3x－2x－6
＝x2＋x－6.
（2）（3x＋9）（6x－8）；
解：原式＝18x2－24x＋54x－72
＝18x2＋30x－72.
（3）（a＋b＋1）（2a－b）；
解：原式＝2a2－ab＋2ab－b2＋2a－b
＝2a2＋ab＋2a－b2－b.
（4）（2a－7）（a＋6）－（a－2）（2a＋1）；
解：原式＝2a2＋12a－7a－42－（2a2＋a－4a－2）
＝2a2＋5a－42－2a2＋3a＋2
＝8a－40.
（5）（x－2）（x＋1）－2（x－3）（x＋2）.
解：原式＝x2＋x－2x－2－2x2－4x＋6x＋12
＝－x2＋x＋10.
4.（1）计算：（－3a2b3）÷；
解：原式＝（－3a2b3）÷（3ab－ab2－2ab＋ab2）
＝（－3a2b3）÷ab
＝－3ab2.
（2）先化简，再求值：3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2.
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a，
当a＝－2时，
原式＝－20×4－9×2＝－98.
5.将多项式（x－2）（x2＋ax－b）展开后不含x2和x的项，试求2a2－b的值.
解：原式＝x3＋ax2－bx－2x2－2ax＋2b
＝x3＋（a－2）x2－（2a＋b）x＋2b，
∵多项式不含x2和x的项，
∴a－2＝0，－（2a＋b）＝0，
∴a＝2，b＝－4，
∴2a2－b＝2×22＋4＝12.
6.解不等式组：
.
解：不等式组可化为：
，
解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x＜－1，
∴不等式组的解集为x＜－1.
7.长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积为S1平方厘米，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形的面积为S2平方厘米.
（1）若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数；
解：（1）由题意得：
S1＝（a＋3）（b＋3）＝ab＋3（a＋b）＋9，
S2＝（a－2）（b－2）＝ab－2（a＋b）＋4，
∴S1－S2＝ab＋3（a＋b）＋9－ab＋2（a＋b）－4
＝5（a＋b）＋5＝5（a＋b＋1），
∴S1与S2的差一定是5的倍数；
（2）如果S1＝2S2，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积；
解：（2）∵S1＝2S2，
∴ab＋3a＋3b＋9＝2（ab－2a－2b＋4），
∴ab－7a－7b－1＝0，
∴ab－7a－7b＝1，
∵新长方形的面积为（a－7）（b－7）＝ab－7a－7b＋49＝1＋49＝50平方厘米，
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为50平方厘米；
（3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值.
解：（3）由题意可得方程组：，
或，
解得或（不符合题意，舍），
∴a的值为7，b的值为4.5.
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第11课时 平方差公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列式子中可以用平方差公式计算的是（ D ）
A.（x＋2）（x＋2） B.（x＋2）（－x－2）
C.（x－2）2 D.（x＋2）（x－2）
2.下列计算正确的是（ C ）
A.x3＋4x3＝5x6
B.a2·a3＝a6
C.（－2x3）4＝16x12
D.（x＋2y）（x－2y）＝x2－2y2
D
C
3.若a－b＝3，a2－b2＝－9，则a＋b＝（ D ）
A.2 B.3 C.－2 D.－3
4.如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形阴影部分的面积，能验证的数学公式是（ A ）
A.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
B.（a＋b）2－（a－b）2＝4ab
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
第4题图
D
A
二、填空题
5.计算：2024×2022－20232＝ －1 .
6.若a2－4b2＝12，且a－2b＝－3，则a＋b＝ －3.75 .
－1
－3.75
三、解答题
7.计算：
（1）（a＋5）（a－5）；
解：原式＝a2－25.
（2）（x－2y）（2y＋x）；
解：原式＝x2－4y2.
（3）（3m－2n）（－3m－2n）；
解：原式＝－（3m－2n）（3m＋2n）
＝－（9m2－4n2）
＝4n2－9m2.
（4）（5ab－3xy）（－3xy－5ab）；
解：原式＝－（5ab－3xy）（5ab＋3xy）
＝－（25a2b2－9x2y2）
＝9x2y2－25a2b2.
（5）（x3＋2）（x3－2）.
解：原式＝（x3）2－22
＝x6－4.
8.计算：
（1）20232－2022×2024；
解：原式＝20232－（2023－1）（2023＋1）
＝20232－20232＋12
＝1.
（2）（5m＋2）（5m－2）－（3m＋1）（2m－1）.
解：原式＝（25m2－4）－（6m2－3m＋2m－1）
＝25m2－4－6m2＋m＋1
＝19m2＋m－3.
9.（1）已知m2－n2＝24，m＋n＝8，求m－n的值；
解：∵m2－n2＝（m＋n）（m－n）＝24，m＋n＝8，
∴m－n＝3.
（2）先化简，再求值：（x＋2y）（x－2y）－（2x－y）（－2x－y），其中x＝8，y＝－8.
解：原式＝x2－4y2－y2＋4x2
＝5x2－5y2，
∵x＝8，y＝－8，
∴原式＝5×82－5×（－8）2＝0.
一、填空题
10.计算：（5＋1）（52＋1）（54＋1）（58＋1）（516＋1）＋＝ .
11.已知a1＝（1＋）（1－），a2＝（1＋）（1－），a3＝（1＋）（1－），…，an＝（1＋）（1－），Sn＝a1·a2·a3·…·an，则2S2023＝ .
二、解答题
12.计算下列各题：
（1）1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12；
解：原式＝（100＋99）（100－99）＋（98＋97）（98－97）＋（96＋95）（96－95）
＋…＋（2＋1）（2－1）
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050.
（2）＋＋…＋.
解：原式＝＋＋…＋
＝－1×
＝－50.
解答题
13.（1）计算并观察下列各式：
第1个：（a－b）（a＋b）＝ ；
第2个：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
第3个：（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝ ；
……，
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律；
解：（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4；
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a－b）（an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋a2bn－3＋abn－2＋bn－1）＝ ；
an－bn
（3）利用（2）的猜想计算：2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋1＝ ；
2n－3
（4）拓展与应用：计算3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋1的值.
解：原式＝×（3－1）（3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋3＋1）－3
＝×（3n－1n）－3
＝.
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第12课时 完全平方公式（1）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.（1）计算：（c－a）2＝（ D ）
A.c2－a2 B.a2＋2ac＋c2
C.c2＋a2 D.c2－2ac＋a2
（2）计算：（－a－b）2＝（ B ）
A.a2＋b2 B.a2＋2ab＋b2
C.a2－b2 D.a2－2ab＋b2
D
B
（4）若（7x－a）2＝49x2－bx＋9，则｜a＋b｜的值为（ D ）
A.18 B.24 C.39 D.45
D
（3）计算（x＋2）2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为（ D ）
A.－2 B.2 C.－4 D.4
D
2.下列各式能写成两数和的平方的是（ D ）
A.x2＋2x－1 B.1＋x2
C.x2＋x＋1 D.x2＋4x＋4
3.如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，下列计算公式可以表示该关系的是（ B ）
A.（a＋b）（a－b）＝a2－b2
B.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D.（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab
第3题图
D
B
二、填空题
4.填上适当的数或代数式，使等式成立：
（1）x2＋10x＋ 25 ＝（x＋ 5 ）2；
（2）m2－8m＋ 16 ＝（m－ 4 ）2；
（3）x2＋xy＋ y2 ＝（x＋ y ）2.
25
5
16
4
y2
y
三、解答题
5.计算：
（1）（2a＋3b）2；
解：原式＝（2a）2＋2·2a·3b＋（3b）2
＝4a2＋12ab＋9b2.
（2）（－2m＋n）2；
解：原式＝（－2m）2－2·2m·n＋n2
＝4m2－4mn＋n2.
（3）（－2m－n）2.
解：原式＝（－2m）2＋2（－2m）（－n）＋（－n）2
＝4m2＋4mn＋n2.
6.计算：
（1）（2a＋b）2－（2a－b）2；
解：原式＝4a2＋4ab＋b2－（4a2－4ab＋b2）
＝8ab.
（2）（3x－5）2－（2x＋7）2.
解：原式＝9x2－30x＋25－（4x2＋28x＋49）
＝9x2－30x＋25－4x2－28x－49
＝5x2－58x－24.
7.解方程：－＝1.
解：去括号得：x2＋x＋－x2＋＝1，
解得：x＝.
8.如图，一块直径为a＋b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆形钢板，求剩下的钢板的面积.
第8题图
解：剩下的钢板的面积为π－π－＝πab.
一、选择题
9.若n为正整数，则（2n＋1）2－（2n－1）2（ B ）
A.一定能被6整除
B.一定能被8整除
C.一定能被10整除
D.一定能被12整除
B
二、填空题
10.（1）若把代数式x2－2x－3化为（x－m）2＋k的形式，其中m，k为常数，则m＋k＝ －3 ；
（2）若x2－2（k－1）x＋9是完全平方式，则k的值为 4或－2 .
－3
4或－2
三、解答题
11.计算：
（1）（2x－1）（4x2－1）（2x＋1）；
解：原式＝（4x2－1）（4x2－1）
＝（4x2－1）2
＝16x4－8x2＋1.
（2）（x＋y）2－4（x＋y）（x－y）＋4（x－y）2；
解：原式＝[x＋y－2（x－y）]2
＝（3y－x）2
＝x2－6xy＋9y2.
（3）4（a＋2）2－7（a＋3）（a－3）＋3（a－1）2.
解：原式＝4（a2＋4a＋4）－7（a2－9）＋3（a2－2a＋1）
＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3
＝10a＋82.
解答题
12.如图，大正方形、小正方形的边长分别为a、b.
（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S；
解：（1）∵大正方形、小正方形的边长分别为a、b，
∴S＝a2＋b2－a2－（a＋b）b
＝a2＋b2－ab；
第12题图
（2）如果a＋b＝9，ab＝6，求阴影部分的面积.
解：（2）∵a＋b＝9，ab＝6，
∴S＝a2＋b2－ab
＝（a＋b）2－ab
＝×92－×6
＝，
故阴影部分的面积为.
第12题图
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第13课时 完全平方公式（2）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.计算（x－2）2正确的是（ D ）
A.x2－4 B.x2－4x－4
C.x2－2x＋4 D.x2－4x＋4
2.将10.52变形正确的是（ C ）
A.10.52＝102＋0.52
B.10.52＝（11＋0.5）（11－0.5）
C.10.52＝102＋2×10×0.5＋0.52
D.10.52＝112－11×0.5＋0.52
D
C
3.若x2＋（a－1）x＋25是一个完全平方式，则a的值为（ B ）
A.－9 B.－9或11
C.9或－11 D.11
4.若ab＝1，a＋b＝3，则2a2＋2b2的值是（ D ）
A.7 B.10 C.12 D.14
B
D
二、填空题
5.（1）若a2＋b2＝19，a＋b＝5，则ab＝ 3 ；
（2）若a2＋b2＝13，（a－b）2＝1，则（a＋b）2＝ 25 .
3
25
三、解答题
6.计算：
（1）9992；
解：原式＝（1000－1）2
＝1000000－2000＋1
＝998001.
（2）1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655.
解：原式＝1.23452＋2×1.2345×0.7655＋0.76552
＝（1.2345＋0.7655）2
＝4.
7.计算：
（1）；
解：原式＝
＝
＝1－x2＋x4.
（2）（3x＋2y－4）（2y－3x＋4）；
解：原式＝[2y＋（3x－4）][2y－（3x－4）]
＝（2y）2－（3x－4）2
＝4y2－9x2＋24x－16.
（3）（m－n－3）2.
解：原式＝（m－n）2＋2（m－n）×（－3）＋9
＝m2＋n2－2mn＋6n－6m＋9.
8.（1）已知xy＝1，x－y＝5，求x2＋y2的值；
解：将x－y＝5两边同时平方，
得：（x－y）2＝25，
即x2＋y2－2xy＝25，
∵xy＝1，
∴x2＋y2＝25＋2xy＝27.
（2）已知a－＝4，求a2＋的值.
解：将a－＝4两边同时平方，
得：＝42＝16，
即a2＋－2＝16，
∴a2＋＝16＋2＝18.
一、填空题
9.多项式1＋4a2加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方式，则单项式可以为 4a4（或±4a或－1或－4a2） .（写出一个即可）
10.已知（a－2022）2＋（2023－a）2＝5，则（a－2022）（a－2023）＝ 2 .
11.如果a＋b＋｜－1｜＝4＋2－4，那么a＋2b－3c＝ 0 .
4a4（或±4a或－1或－4a2）
2
0
二、解答题
12.比较代数式2x2＋5x－1与代数式x2＋7x－4的值的大小.
解：（2x2＋5x－1）－（x2＋7x－4）
＝2x2＋5x－1－x2－7x＋4
＝x2－2x＋3
＝（x－1）2＋2，
∵（x－1）2＋2＞0，
∴代数式2x2＋5x－1的值比代数式x2＋7x－4的值大.
解答题
13.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数.
根据上述规律，解答下列问题：
（1）求（a＋b）5的展开式；
解：（1）（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
第13题图
（2）计算：25＋5×24＋10×23＋10×22＋5×2＋1；
解：（2）25＋5×24＋10×23＋10×22＋5×2＋1
＝25＋5×24×1＋10×23×12＋10×22×13＋5×2×14＋15
＝（2＋1）5
＝35；
第13题图
（3）若（x＋1）5·（2x2＋ax－b）（a、b为常数）的展开式中不含x2和x的项，求a、b的值.
解：（3）（x＋1）5＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1，
∵展开式中不含x2和x的项，
∴取（10x2＋5x＋1）（2x2＋ax－b）
＝20x4＋10ax3－10bx2＋10x3＋5ax2－5bx＋2x2＋ax－b
＝20x4＋（10a＋10）x3＋（－10b＋5a＋2）x2＋（－5b＋a）x－b，
∴含x2的项的系数为－10b＋5a＋2＝0，
含x的项的系数为－5b＋a＝0，
∴a＝－，b＝－.
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第14课时 专题乘法公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
解答题
1.计算：
（1）（x－3）（x＋3）；
解：原式＝x2－9.
（2）（x＋3y）（x－3y）；
解：原式＝x2－9y2.
（3）；
解：原式＝－22
＝x6－4.
（4）（2m－n）（－2m－n）；
解：原式＝（n－2m）（n＋2m）
＝n2－4m2.
（5）101×99；
解：原式＝（100＋1）（100－1）
＝1002－1
＝9999.
（6）145.52－135.52.
解：原式＝（145.5＋135.5）（145.5－135.5）
＝281×10
＝2810.
2.计算：
（1）（4m＋n）2； （2）；
解：原式＝16m2＋8mn＋n2；
解：原式＝y2－y＋.
（3）（－2x＋5）2； （4）；
解：原式＝4x2－20x＋25；
解：原式＝x2－xy＋y2.
（5）1022； （6）992.
解：原式＝（100＋2）2
＝10000＋400＋4
＝10404；
解：原式＝（100－1）2
＝10000－200＋1
＝9801.
3.计算：
（1）（x＋2y）2（x－2y）2；
解：原式＝[（x＋2y）（x－2y）]2
＝（x2－4y2）2
＝x4－8x2y2＋16y4.
（2）（1－3y）（1＋3y）（1＋9y2）；
解：原式＝（1－9y2）（1＋9y2）
＝1－81y4.
（3）1232－122×124；
解：原式＝1232－（123－1）（123＋1）
＝1232－（1232－1）
＝1.
（4）（3－2x＋y）（3＋2x－y）.
解：原式＝[3－（2x－y）][3＋（2x－y）]
＝9－（2x－y）2
＝9－4x2＋4xy－y2.
4.（1）计算：[（a－2b）（a＋2b）－（2b－a）2]÷（－4b）；
解：原式＝（a2－4b2－4b2＋4ab－a2）÷（－4b）
＝（－8b2＋4ab）÷（－4b）
＝2b－a.
（2）先化简，再求值：（2x＋3y）（2x－3y）－4x（x－y）＋（x－2y）2，其中x，y满足x2－6x＋9＋｜2y－1｜＝0；
解：原式＝4x2－9y2－4x2＋4xy＋x2－4xy＋4y2
＝x2－5y2，
由题意得（x－3）2＋｜2y－1｜＝0，
∴x－3＝0，2y－1＝0，解得x＝3，y＝，
∴原式＝9－＝.
（3）已知x2＋y2－2x＋6y＋10＝0，求x＋y的值；
解：原方程变形为：x2－2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，
即（x－1）2＋（y＋3）2＝0，
∴x－1＝0，y＋3＝0，
∴x＝1，y＝－3，
∴x＋y＝－2.
解：①原式＝（x＋y）2－2xy，
当x＋y＝5，xy＝－3时，
原式＝25－2×（－3）
＝31；
②原式＝1－y－x＋xy
＝1－（x＋y）＋xy，
当x＋y＝5，xy＝－3时，
原式＝1－5＋（－3）
＝－7.
（4）已知x＋y＝5，xy＝－3，求：
①x2＋y2的值；
②（1－x）（1－y）的值.
5.计算：（1－）（1－）…（1－）（1－）.
解：原式＝（1－）（1＋）（1－）（1＋）×…×（1－）（1＋）（1－）
（1＋）
＝××××…××××
＝×
＝.
6.阅读理解：
若x满足（80－x）（x－60）＝30，求（80－x）2＋（x－60）2的值.
解：设80－x＝a，x－60＝b，
则ab＝（80－x）（x－60）＝30，
a＋b＝80－x＋x－60＝20，
∴（80－x）2＋（x－60）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝202－2×30＝340.
解决问题：
若x满足（30－x）（x－20）＝－10，求（30－x）2＋（x－20）2的值.
解：设30－x＝a，x－20＝b，
则ab＝（30－x）（x－20）＝－10，
a＋b＝30－x＋x－20＝10，
∴（30－x）2＋（x－20）2
＝a2＋b2
＝（a＋b）2－2ab
＝102－2×（－10）
＝120.
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第15课时 提公因式法
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列从左到右的变形是分解因式的是（ C ）
A.3x＋3y－5＝3（x＋y）－5
B.（x＋1）（x－1）＝x2－1
C.x2－9＝（x＋3）（x－3）
D.x2＋1＝x
2.多项式4xy3z－8x3y2的公因式是（ D ）
A.4xy B.－4xyz C.－4x2y D.4xy2
C
D
3.将x2＋mx＋n分解成（x－7）（x＋2），则m，n的值分别为（ D ）
A.5，－14 B.－5，14
C.5，14 D.－5，－14
D
二、填空题
4.分解因式：3a2b＋6ab＋3b＝ 3b（a＋1）2 .
5.若ab＝－3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是 －15 .
3b（a＋1）2
－15
三、解答题
6.分解因式：
（1）3x2y－6xy；
解：原式＝3xy（x－2）.
（2）5x2y3－25x3y2；
解：原式＝5x2y2（y－5x）.
（3）15x3y2＋5x2y－20x2y3；
解：原式＝5x2y（3xy＋1－4y2）.
（4）－4m3＋16m2－26m；
解：原式＝－2m（2m2－8m＋13）.
（5）－9x3y2－6x2y2＋3xy；
解：原式＝－3xy（3x2y＋2xy－1）.
（6）2m（a－b）－3n（a－b）；
解：原式＝（a－b）（2m－3n）.
（7）8amb3－12am＋1b2＋16am＋2b.
解：原式＝4amb（2b2－3ab＋4a2）.
7.计算：123×6.28＋628×1.32－15.5×62.8.
解：原式＝6.28×（123＋100×1.32－15.5×10）
＝6.28×（123＋132－155）
＝628.
8.利用提公因式法先化简，再求值：（a－b）2＋b（a－b），其中a＝2，b＝－.
解：原式＝（a－b）[（a－b）＋b]
＝a（a－b）
＝a2－ab，
当a＝2，b＝－时，
原式＝22－2×＝5.
解答题
9.分解因式：
（1）4a2n＋1bm－6an＋2bm－1（m、n为大于1的自然数）；
解：原式＝2an＋2bm－1（2an－1b－3）.
（2）3a（a＋b）（a－b）－2b（b－a）；
解：原式＝3a（a＋b）（a－b）＋2b（a－b）
＝（a－b）（3a2＋3ab＋2b）.
（3）5a3b（a－b）3－10a4b3（b－a）2.
解：原式＝5a3b（a－b）2（a－b－2ab2）.
10.已知正整数n满足5n＋2×2n＋1－5n＋1×2n＋2＝3000，求n的值.
解：∵5n＋2×2n＋1－5n＋1×2n＋2
＝5×10n＋1－2×10n＋1
＝3×10n＋1，
∴3×10n＋1＝3000，
即10n＋1＝1000＝103，
∴n＝2.
11.计算：
（1）；
解：原式＝
＝
＝－23
＝－8.
（2）.
解：原式＝
＝.
解答题
12.阅读材料：
若一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式.
如：①∵36＝4×9，∴4和9是36的因数；
∵x2－x－2＝（x＋1）（x－2），
∴x＋1和x－2是x2－x－2的因式；
②若x＋1是x2＋ax－2的因式，求常数a的值.
解：∵x＋1是x2＋ax－2的因式，
∴存在一个整式mx＋n，使得x2＋ax－2＝（x＋1）（mx＋n），
∵当x＝－1时，（x＋1）（mx＋n）＝0，
∴当x＝－1时，x2＋ax－2＝0，
∴1－a－2＝0，解得a＝－1.
根据材料内容，解答下列问题：
（1）若x＋5是整式x2＋mx－10的一个因式，则m＝ ；
解：（1）∵x＋5是整式x2＋mx－10的一个因式，
∴当x＝－5时，x2＋mx－10＝0，
即25－5m－10＝0，
解得m＝3.
3
（2）若整式x2－1是3x4－ax2＋bx＋1的因式，求的值.
解：（2）∵整式x2－1是3x4－ax2＋bx＋1的因式，
∴存在一个整式3x2＋mx－1，使得3x4－ax2＋bx＋1＝（x2－1）（3x2＋mx－1），
∴当x＝1时，（x2－1）（3x2＋mx－1）＝0，
即3x4－ax2＋bx＋1＝0，
则3－a＋b＋1＝0①，
当x＝－1时，（x2－1）（3x2＋mx－1）＝0，
即3x4－ax2＋bx＋1＝0，
则3－a－b＋1＝0②，
联立①②，解得a＝4，b＝0，
∴＝＝2.
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第16课时 公式法（1）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ C ）
A.x2－xy B.x2＋xy C.x2－y2 D.x2＋y2
2.因式分解x2y－4y的正确结果是（ A ）
A.y（x＋2）（x－2） B.y（x＋4）（x－4）
C.y（x2－4） D.y（x－2）2
3.已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为（ C ）
A.4 B.3 C.1 D.0
C
A
C
二、填空题
4.分解因式：
（1）16x2－25＝ （4x＋5）（4x－5） ；
（2）4a3b3－ab＝ ab（2ab＋1）（2ab－1） ；
（3）－x2＋2＝ －（x＋2）（x－2） ；
（4）m2（x－2）＋（2－x）＝ （x－2）（m＋1）（m－1） .
5.计算：20232－20222＝ 4045 .
6.若｜x＋y－5｜＋（x－y＋1）2＝0，则x2－y2＝ －5 .
（4x＋5）（4x－5）
ab（2ab＋1）（2ab－1）
－（x＋2）（x－2）
（x－2）（m＋1）（m－1）
4045
－5
三、解答题
7.用平方差公式分解因式：
（1）36－x2；
解：原式＝（6＋x）（6－x）.
（2）－a2＋b2；
解：原式＝（b＋a）（b－a）.
（3）x2－16y2；
解：原式＝（x＋4y）（x－4y）.
（4）x2y2－z2；
解：原式＝（xy＋z）（xy－z）.
（5）（x＋2）2－9；
解：原式＝（x＋2＋3）（x＋2－3）
＝（x＋5）（x－1）.
（6）a4－16；
解：原式＝（a2＋4）（a2－4）
＝（a2＋4）（a＋2）（a－2）.
（7）x2（x－2）＋4y2（2－x）.
解：原式＝（x－2）（x2－4y2）
＝（x－2）（x＋2y）（x－2y）.
8.已知x、y满足，求x2－y2的值.
解：，
①＋②，得3x＋3y＝15，即x＋y＝5，
①－②，得x－y＝3，
∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝15.
9.若n为整数，证明：（n＋13）2－n2能被13整除.
证明：∵（n＋13）2－n2
＝（n＋13－n）（n＋13＋n）
＝13（2n＋13），
∵n为整数，
∴（n＋13）2－n2能被13整除.
一、填空题
10.如果（a2＋b2＋2）（a2＋b2－2）＝5，那么a2＋b2＝ 3 .
11.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3－xy2，取x＝13，y＝3时，用上述方法产生的密码是： 131610（答案不唯一） .（写出一个即可）
3
131610
（答案不唯一）
二、解答题
12.把下列各式分解因式：
（1）（2x＋3y）2－（3x＋2y）2；
解：原式＝（2x＋3y＋3x＋2y）（2x＋3y－3x－2y）
＝（5x＋5y）（－x＋y）
＝－5（x＋y）（x－y）.
（2）9（a＋b）2－64（a－b）2.
解：原式＝（3a＋3b－8a＋8b）（3a＋3b＋8a－8b）
＝（11b－5a）（11a－5b）.
13.（1）填空：a2－b2＝（a－b）（ ）；
a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）；
a4－b4＝（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）；
a5－b5＝（a－b）（ ）；
解：（1）a2－b2＝（a－b）（a＋b）；
a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）；
a4－b4＝（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）；
a5－b5＝（a－b）（a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4），
（2）猜想：an－bn＝（a－b）（ ）；
（其中n为正整数，且n≥2）
an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1
a＋b
a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4
（3）利用（2）猜想的结论化简：29＋28＋27＋…＋23＋22＋2.
解：（3）29＋28＋27＋…＋23＋22＋2
＝（2－1）（29＋28·1＋27·12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19）－1
＝210－1－1
＝1024－2
＝1022.
解答题
14.计算：
（1）＋＋…＋；
解：原式＝＋＋…＋
＝1－2＋2－3＋…＋99－100
＝1－100
＝－99.
（2）（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）.
解：原式＝（1－）（1＋）（1－）（1＋）…（1－）（1＋）（1－）
（1＋）
＝××××…××××
＝×
＝.
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第17课时 公式法（2）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ D ）
A.x2＋x＋1 B.x2＋2x－1
C.x2－1 D.x2－6x＋9
2.分解因式：4x2＋4x＋1＝（ C ）
A.4x（x＋1）＋1 B.（4x＋1）2
C.（2x＋1）2 D.（2x－1）2
D
C
3.分解因式（x－1）2－2（x－1）＋1的结果是（ D ）
A.（x－1）（x－2） B.x2
C.（x＋1）2 D.（x－2）2
D
二、填空题
4.分解因式：
（1）2a3－8a2＋8a＝ 2a（a－2）2 ；
（2）3x2－6x＋3＝ 3（x－1）2 ；
（3）3m2－6mn＋3n2＝ 3（m－n）2 .
2a（a－2）2
3（x－1）2
3（m－n）2
三、解答题
5.分解因式：
（1）－x2＋4xy－4y2；
解：原式＝－（x2－4xy＋4y2）
＝－（x－2y）2.
（2）a2x－6ax＋9x；
解：原式＝x（a2－6a＋9）
＝x（a－3）2.
（3）－a2＋ab－b2；
解：原式＝－（a－b）2.
（4）（x－y）2＋4xy；
解：原式＝（x＋y）2.
（5）－4a2；
解：原式＝（a2＋1＋2a）（a2＋1－2a）
＝（a＋1）2（a－1）2.
（6）（2x＋y）2－2（2x＋y）（x－2y）＋（x－2y）2.
解：原式＝[2x＋y－（x－2y）]2
＝（x＋3y）2.
6.计算：40×3.152＋80×3.15×1.85＋40×1.852.
解：原式＝40×（3.152＋2×3.15×1.85＋1.852）
＝40×（3.15＋1.85）2
＝40×25
＝1000.
7.阅读材料：
例：求代数式y2＋4y＋8的最小值.
解：∵y2＋4y＋8＝（y2＋4y＋4）＋4＝（y＋2）2＋4≥4，
∴当y＝－2时，代数式y2＋4y＋8有最小值，最小值是4.
仿照例题，解决下列问题：
（1）求代数式m2＋2m＋3的最小值；
解：（1）m2＋2m＋3
＝（m2＋2m＋1）＋2
＝（m＋1）2＋2≥2，
∴当m＝－1时，代数式m2＋2m＋3有最小值，最小值是2；
（2）求代数式－m2＋3m＋的最大值.
解：（2）－m2＋3m＋
＝－＋＋
＝－＋3≤3，
∴当m＝时，代数式－m2＋3m＋有最大值，最大值是3.
一、填空题
8.（1）设a、b为整数，且a2－2a＋b2＋6b＝－10，则（b＋1）a的值为 －2 ；
（2）已知实数x满足x＋＝3，则的值为 ；
（3）若x＝＋1，则（x＋1）2－4（x＋1）＋4的值为 2 .
－2
2
二、解答题
9.分解因式：
（1）a2－b2－2a＋2b；
解：原式＝（a＋b）（a－b）－2（a－b）
＝（a－b）（a＋b－2）.
（2）m2－25＋9n2＋6mn；
解：原式＝（m2＋6mn＋9n2）－25
＝（m＋3n）2－25
＝（m＋3n＋5）（m＋3n－5）.
（3）（a＋c）（a－c）＋b（b＋2a）.
解：原式＝a2－c2＋b2＋2ab
＝a2＋2ab＋b2－c2
＝（a＋b）2－c2
＝（a＋b＋c）（a＋b－c）.
10.若x＋y＝2，y－z＝－1，求代数式x2＋y2＋z2＋xy－yz＋xz的值.
解：∵x＋y＝2，y－z＝－1，
∴x＋z＝3，
x2＋y2＋z2＋xy－yz＋xz
＝（2x2＋2y2＋2z2＋2xy－2yz＋2xz）
＝[（x＋y）2＋（y－z）2＋（x＋z）2]
＝[22＋（－1）2＋32]
＝7.
解答题
11.阅读材料：
例：若x满足（210－x）（x－200）＝－204，试求（210－x）2＋（x－200）2的值.
解：设210－x＝a，x－200＝b，
则ab＝－204且a＋b＝210－x＋x－200＝10，
∵（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×（－204）＝508，
即（210－x）2＋（x－200）2的值为508.
仿照例题，解决问题：
若x满足（300－x）2＋（302－x）2＝512，试求（300－x）（302－x）的值.
解：设302－x＝a，300－x＝b，
∴a－b＝2，
∵（a－b）2＝a2－2ab＋b2，a2＋b2＝512，
∴ab＝[a2＋b2－（a－b）2]＝254，
即（300－x）（302－x）的值为254.
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第18课时 十字相乘法
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.对x2－3x＋2分解因式，结果为（ B ）
A.x（x－3）＋2 B.（x－1）（x－2）
C.（x－1）（x＋2） D.（x＋1）（x－2）
2.若多项式x2－mx＋24可以分解因式，则整数m可取的值共有（ D ）
A.4个 B.6个 C.7个 D.8个
B
D
二、填空题
3.分解因式：
（1）ax2＋2ax－3a＝ a（x＋3）（x－1） ；
（2）（a＋2）（a－2）＋3a＝ （a－1）（a＋4） ；
（3）x2－4x－12＝ （x－6）（x＋2） ；
（4）3x2＋3x－6＝ 3（x＋2）（x－1） ；
（5）2x2－3x＋1＝ （2x－1）（x－1） .
a（x＋3）（x－1）
（a－1）（a＋4）
（x－6）（x＋2）
3（x＋2）（x－1）
（2x－1）（x－1）
三、解答题
4.分解因式：
（1）x2－2x－15； （2）x2－10x－24；
解：原式＝（x－5）（x＋3）
解：原式＝（x－12）（x＋2）
（3）a2－15a＋36； （4）x2－5xy＋6y2；
解：原式＝（a－12）（a－3）
解：原式＝（x－2y）（x－3y）
（7）－ax2＋4ax＋5a.
解：原式＝－a（x2－4x－5）
＝－a（x－5）（x＋1）.
（5）x2＋8xy－33y2； （6）（x＋1）（x＋3）－15；
解：原式＝（x＋11y）（x－3y）
解：原式＝x2＋4x＋3－15
＝x2＋4x－12
＝（x＋6）（x－2）.
5.把下列各式分解因式：
（1）5x2＋7x－6；
解：原式＝（5x－3）（x＋2）.
（2）3x2－7x＋2；
解：原式＝（3x－1）（x－2）.
（3）10x2－17x＋3；
解：原式＝（5x－1）（2x－3）.
（4）－6y2＋11y＋10；
解：原式＝－（3y＋2）（2y－5）.
（5）2x2－7xy＋6y2；
解：原式＝（x－2y）（2x－3y）.
（6）6x4－7x2＋2.
解：原式＝（2x2－1）（3x2－2）.
一、填空题
6.若3x2＋8xy－3y2＝0，则代数式的值为 或－3 .
7.若x－2是x2＋kx－14的一个因式，则k＝ 5 .
8.若x2－y2＋kx＋5y－6能分解为两个一次因式的积，则k的值为 ±1 .
或－3
5
±1
二、解答题
9.把下列各式分解因式：
（1）x4－10x2＋9；
解：原式＝（x2－1）（x2－9）
＝（x＋1）（x－1）（x＋3）（x－3）.
（2）7（x＋y）3－5（x＋y）2－2（x＋y）；
解：原式＝（x＋y）（7x＋7y＋2）（x＋y－1）.
（3）＋22（a2＋8a）＋120；
解：原式＝（a2＋8a＋12）（a2＋8a＋10）
＝（a＋2）（a＋6）（a2＋8a＋10）.
（4）（x2＋2x－3）（x2＋2x－24）＋90；
解：原式＝（x2＋2x）2－27（x2＋2x）＋72＋90
＝（x2＋2x）2－27（x2＋2x）＋162
＝（x2＋2x－9）（x2＋2x－18）.
（5）x（x＋1）（x＋2）（x＋3）－8.
解：原式＝（x2＋3x）（x2＋3x＋2）－8
＝（x2＋3x）2＋2（x2＋3x）－8
＝（x2＋3x＋4）（x2＋3x－2）.
解答题
10.阅读材料：
“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把含x2的项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1a2，把含y2的项的系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1c2，并使a1c2＋a2c1正好等于含xy的项的系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bxy＋cy2＝（a1x＋c1y）（a2x＋c2y）.
解：如图1，其中1＝1×1，－8＝（－4）×2，而－2＝1×2＋1×（－4），
∴x2－2xy－8y2＝（x－4y）（x＋2y）.
第10题图1
例：分解因式：x2－2xy－8y2.
而对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，把a分解成两个因数m，n作为第1列，c分解成两个因数p，q作为第2列，f分解成两个因数j，k作为第3列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，那么原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）.
第10题图2
例：分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2.
解：如图3，其中1＝1×1，－3＝（－1）×3，2＝1×2，
而2＝1×3＋1×（－1），1＝（－1）×2＋3×1，3＝1×2＋1×1，
∴x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝（x－y＋1）（x＋3y＋2）.
第10题图3
请同学们通过上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：
（i）6x2－17xy＋12y2＝ ；
（ii）2x2－xy－6y2＋2x＋17y－12＝ ；
（iii）x2－xy－6y2＋2x－6y＝ .
（3x－4y）（2x－3y）
（x－2y＋3）（2x＋3y－4）
（x－3y）（x＋2y＋2）
（2）若关于x，y的二元二次式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值.
或
解：（2）如图，
∴m＝3×9＋（－8）×（－2）＝43或m＝9×（－8）＋3×（－2）＝－78，
∴m的值为43或－78.
或
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第19课时 复习巩固
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1.下列运算正确的是（ D ）
A.a2·a3＝a6
B.（a2）3＝a5
C.a6÷a2＝a3
D.（a＋2b）（a－2b）＝a2－4b2
2.若（x－3）（x＋a）＝x2＋bx－15，则ab的值为（ A ）
A.25 B.5 C.32 D.－25
D
A
3.已知3a＝1，3b＝2，则3a＋b的值为（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.27
4.若x＋y＝2，则多项式x2＋2xy＋2y2的值为（ C ）
A.2 B.4 C.8 D.16
5.计算52022×的结果是（ C ）
A.5 B.－5 C.－ D.
B
C
C
二、填空题
6.（1）已知a＋＝5，则a2＋＝ 23 ；
（2）若2m＝a，8n＝b，m、n为正整数，则23m＋9n＝ a3b3 ；
（3）若x2＋x－1＝0，则代数式x3＋2x2－7的值是 －6 .
23
a3b3
－6
三、解答题
7.计算：
（1）x3·xn－1－xn－2·x4＋xn＋2；
解：原式＝xn＋2－xn－2＋4＋xn＋2
＝xn＋2.
（2）（m－n）2·（n－m）2÷（n－m）3；
解：原式＝（n－m）4÷（n－m）3
＝n－m.
（3）（x＋1）2－（x－1）（x＋2）.
解：原式＝（x2＋2x＋1）－（x2＋x－2）
＝x＋3.
8.解答下列各题：
（1）已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，求ab的值；
解：∵（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，
∴ab＝×[（a＋b）2－（a－b）2]
＝×3
＝.
（2）化简求值：[4（x2＋y）（x2－y）－（2x2－y）2]÷y，其中x＝，y＝3.
解：原式＝（4x4－4y2－4x4＋4x2y－y2）÷y
＝（－5y2＋4x2y）÷y
＝－5y＋4x2，
当x＝，y＝3时，
原式＝－15＋1＝－14.
9.分解因式：
（1）m3（x－2）＋m（2－x）；
解：原式＝m3（x－2）－m（x－2）
＝m（x－2）（m2－1）
＝m（x－2）（m＋1）（m－1）.
（2）25（x＋y）2－36（x－y）2.
解：原式＝[5（x＋y）]2－[6（x－y）]2
＝（5x＋5y＋6x－6y）（5x＋5y－6x＋6y）
＝（11x－y）（11y－x）.
一、填空题
10.我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m＋n）＝h（m）·h（n），请根据这种新运算填空：
（1）若h（1）＝，则h（2）＝ ；
（2）如果h（1）＝k（k≠0），那么h（n）·h（2023）＝ kn＋2023 .（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）
11.若a＝x＋2021，b＝x＋2022，c＝x＋2023，则代数式2（a2＋b2＋c2－ab－bc－ac）的值是 6 .
kn＋2023
6
二、解答题
12.已知（x－y）2＝9，x2＋y2＝5，求[x（x2y2－xy）－y（x2－x3y）]÷x2y的值.
解：∵（x－y）2＝x2＋y2－2xy＝9，x2＋y2＝5，
∴2xy＝－4，即xy＝－2，
∴原式＝[x2y（xy－1）－x2y（1－xy）]÷x2y
＝2x2y（xy－1）÷x2y
＝2（xy－1）
＝－6.
13.以下关于x的各个多项式中，a，b，c，m，n均为常数.
（1）已知（x＋3）2（x2＋mx＋n）既不含二次项，也不含一次项，求m＋n的值；
解：（1）原式＝（x2＋6x＋9）（x2＋mx＋n）
＝x4＋（m＋6）x3＋（6m＋n＋9）x2＋（9m＋6n）x＋9n，
∵既不含二次项，也不含一次项，
∴6m＋n＋9＝0，9m＋6n＝0，
解得：m＝－2，n＝3，
∴m＋n＝1；
（2）多项式M与多项式x2－3x＋1的乘积为2x4＋ax3＋bx2＋cx－3，求2a＋b＋c的值.
解：（2）∵多项式M与多项式x2－3x＋1的乘积为2x4＋ax3＋bx2＋cx－3，
∴设多项式M＝2x2＋px－3，
∴（2x2＋px－3）（x2－3x＋1）
＝2x4－6x3＋2x2＋px3－3px2＋px－3x2＋9x－3
＝2x4＋（p－6）x3＋（2－3p－3）x2＋（p＋9）x－3
＝2x4＋ax3＋bx2＋cx－3，
∴a＝p－6，b＝－3p－1，c＝p＋9，
∴2a＋b＋c＝2p－12－3p－1＋p＋9＝－4.
解答题
14.1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形我们叫做杨辉三角（如图）.
（1）请写出第五行的数字为 ；
解：（1）由规律可得出第五行的数字为1、5、10、10、5、1
第14题图
1、5、10、10、5、1
（2）第n行杨辉三角数字与（a＋b）n的展开结果关系如图所示，请写出（a＋b）5的展开结果；
解：（2）（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
第14题图
（3）已知（a－b）1＝a－b，（a－b）2＝a2－2ab＋b2，（a－b）3＝a3－3a2b＋3ab2－b3，（a－b）4＝a4－4a3b＋6a2b2－4ab3＋b4，请写出（a－b）5的展开结果.
解：（3）（a－b）5＝a5－5a4b＋10a3b2－10a2b3＋5ab4－b5.
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