第十五章　分式 习题课件(共175张PPT) 2024-2025学年数学人教版八年级上册

(共175张PPT)
第1课时　从分数到分式
第十五章　分　式

一、选择题
1.下列各式是分式的是（　B　）
A. B.－
C.0.2x－y D.
2.使分式无意义的x的值是（　A　）
A.x＝ B.x＝－
C.x≠－ D.x≠
B
A
3.下列各式中，结果可能为零的是（　B　）
A. B.
C. D.
4.若分式的值为0，则（　A　）
A.x＝2 B.x＝－2
C.x＝2或－2 D.x≠2且x≠－2
B
A
二、填空题
5.（1）当x＝2时，分式的值是 　1　 ；
（2）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠2　 ；
（3）若分式的值为0，则x的值是 　3　 .
6.已知分式，当x＝2时，分式的值为零，当x＝－2时，分式没有意义，则a＋b的值为 　6　 .
1
x≠2
3
6
三、解答题
7.下列分式中，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？
（1）；　　（2）；
解：（1）当x2＋1≠0，即x是任意实数时，分式都有意义，
当x－1＝0，即x＝1时，分式的值为零；
（2）当2x－3≠0，即x≠时，分式有意义，
当3x＋1＝0且2x－3≠0，即x＝－时，分式的值为零；
解： （3）当－2≠0且x≥0，即x≥0且x≠4时，分式有意义，
当｜x｜－2＝0且－2≠0，x≥0，即x＝2时，分式的值为零；
（4）当x2＋5≠0，即x是任何实数时，分式都有意义，
无论x是何实数，分式的值都不等于零.
（3）；　　（4）.
8.当x满足什么条件时，分式的值是正数？
解：由题意，得＞0，
∵7＞0，∴－3x－5＞0，
解得x＜－，
∴当x＜－时，分式的值是正数.
9.根据实际问题，列出分式.
（1）某市对一段全长1500米的道路进行改造，原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了多少天？
解：修这条路实际用了天.
（2）A，B两地相距m千米，甲，乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，甲，乙两人的速度分别为x千米/时，y千米/时，几小时后两人相遇？
解：小时后两人相遇.

一、填空题
10.使代数式有意义的x的取值范围是 　x≥0且x≠　 .
11.若表示一个正整数，则整数m可取的值的个数是 　4　 个.
12.已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝ 　6　 .
x≥0且x≠
4
6
二、解答题
13.甲城在乙城上游，船在静水时的速度为每小时a千米，水流速度为每小时b千米，甲、乙两城的水路距离为s千米，则船从甲城出发至乙城并立即返回需多少时间？船的平均速度是多少？（列分式表示，不需要化简）
解：由题意可得，船从甲城出发至乙城需要的时间为小时，船从乙城返回甲城需要的时间为小时，
∴需要的总时间为（＋）小时，
∴船的平均速度是：
＝千米/小时.

解答题
14.阅读材料：
例：已知＝，求的值.
解：由＝得，＝3，
则有x＋＝3，
由此可得，＝x2＋＝（x＋）2－2＝32－2＝7，
∴＝.
根据上述材料，解决问题：
已知＝a（a≠0），用含a的代数式表示的值.
解：由＝a，可得＝，
则有x＋＝－1，
由此可得，＝x2＋＋1＝（x＋）2－1＝（－1）2－1＝，
∴＝.
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第2课时　分式的基本性质
第十五章　分　式

一、选择题
1.将中的a、b都缩小为原来的，则分式的值（　A　）
A.不变 B.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的 D.扩大为原来的6倍
2.下列各式正确的是（　A　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝－
A
A
3.化简的结果是（　D　）
A. B. C. D.
4.下列是最简分式的是（　B　）
A.－ B. C. D.
5.分式，，的最简公分母是（　B　）
A.x2－1 B.x（x2－1）
C.x2－x D.x2＋x
D
B
B
二、填空题
6.如果＝（a≠±3），那么△所表示的式子是 　a＋3　 .
7.将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，结果是 　　 .
a＋3
三、解答题
8.约分：
（1）；
解：原式＝－.
（2）.
解：原式＝
＝.
9.通分：
（1）与；
解：最简公分母是18a2b2c，
＝＝，
＝＝.
（2）与.
解：最简公分母是（a＋1）2（a－1），
＝＝，
＝＝.
10.求下列分式的值：
（1），其中a＝5；
解：原式＝
＝，
当a＝5时，原式＝＝.
（2）， 其中x＝2，y＝3.
解：原式＝
＝
＝，
当x＝2，y＝3时，
原式＝＝－.

一、填空题
11.小雨在化简分式＝时，*部分不小心撒上了墨水，请你推测，*部分的代数式应该是 　（x－1）2（或x2－2x＋1）　 .
（x－1）2（或x2－2x＋1）
二、解答题
12.约分：
（1）；
解：原式＝
＝.
（2）.
解：原式＝
＝
＝.

解答题
13.阅读材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”.而假分数都可化为带分数，如：＝＝2＋＝2.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.
如：＝＝1－；
再如：＝＝＝x＋1＋.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）分式是 　　　　 分式；（填“真”或“假”）
解：（1）由于分子的次数小于分母的次数，
∴是真分式
（2）假分式可化为带分式的形式为 　　　　　　　　 ；
解：（2）＝＝1－
真
1－
（3）如果分式的值为整数，求符合条件的x的整数值.
解：（3）＝＝2－，
∵分式的值为整数，
∴分式的值为整数，
∵x为整数，
∴x＋1＝－3或－1或1或3，
∴x＝－4或－2或0或2，
即符合条件的x的整数值为－4或－2或0或2.
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第3课时　分式的乘除（1）
第十五章　分　式

一、选择题
1.计算：·＝（　B　）
A. B.
C. D.
B
2.计算：÷＝（　C　）
A. B.b2x
C.－ D.－
3.下列各式的计算结果是分式的是（　A　）
①·；②·；③÷；④÷.
A.① B.①④ C.②④ D.①③
C
A
二、填空题
4.计算xy÷的结果是 　x2　 .
5.化简（－）÷的结果是 　－a＋1　 .
6.王强到超市买了a千克香蕉，付了m元，若他再买b千克香蕉，还需再付 　　 元.
x2
－a＋1
三、解答题
7.计算：
（1）·；
解：原式＝
＝－.
（2）·；
解：原式＝.
（3）－3xy2÷.
解：原式＝－3xy2·
＝－x2.
8.计算：
（1）·；
解：原式＝·
＝.
（2）÷；
解：原式＝·
＝－
＝－.
（3）·；
解：原式＝·
＝x.
（4）÷.
解：原式＝·
＝－.

一、填空题
9.若代数式÷有意义，则x的取值范围是 　x≠－2且x≠－3　 .
10.如果m2＋2m＝1，那么÷的值为 　1　 .
x≠－2且x≠－3
1
二、解答题
11.（1）先化简，再求值：·（x＋2），其中x＝；
解：原式＝·（x＋2）＝，
当x＝时，
原式＝＝3.
（2）先化简：÷，再从0，1，2三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值.
解：原式＝·＝，
∵x≠0，x≠2，∴x＝1，
当x＝1时，
原式＝＝－.

解答题
12.阅读材料：
例：已知实数x满足x＋＝4，求分式的值.
解：观察所求式子的特征，由于x≠0，可以先求出的倒数的值，
∵＝x＋3＋＝x＋＋3＝7，
∴＝.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）已知实数a满足a＋＝－5，求分式的值为 　　　　 ；
解：（1）∵a＋＝－5，∴a≠0，
∴＝3（a＋）＋5＝－10
－10
（2）已知实数x满足x＋＝9，求分式的值.
解：（2）∵x＋＝9，∴x＋1≠0，即x≠－1，
∴x＋1＋＝10，
∵＝＝x＋1＋＋3＝13，
∴＝.
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第4课时　分式的乘除（2）
第十五章　分　式

一、选择题
1.计算：＝（　A　）
A. B.
C. D.以上都不对
2.计算÷的结果是（　B　）
A. B.y2 C.y4 D.x2y2
A
B
3.计算÷a·的结果为（　B　）
A. B. C.a2 D.b2
B
二、填空题
4.计算：＝ 　　 .
5.计算x÷·的结果是 　　 .
6.计算：÷＝ 　　 .
三、解答题
7.计算：
（1）÷·；
解：原式＝··
＝－.
（2）·÷；
解：原式＝a2b6··
＝－b5.
（3）6xy2÷·.
解：原式＝6xy2··
＝.
8.计算：
（1）÷÷1；
解：原式＝··1
＝.
（2）（xy－x2）÷÷；
解：原式＝x（y－x）÷÷
＝x（y－x）··
＝－y.
（3）÷（x＋1）·.
解：原式＝··
＝.

一、选择题
9.计算÷·的结果为（　B　）
A. B. C.－ D.－
B
二、填空题
10.已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，那么的值为 　1　 .
1
三、解答题
11.“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了1000千克.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
解：（1）由题意得，“丰收1号”小麦的试验田的面积为（a2－1）平方米，
“丰收2号”小麦的试验田的面积为（a－1）2平方米，
∵a2－1－（a－1）2＝a2－1－a2＋2a－1＝2（a－1），
由题意可知，a＞1，
∴2（a－1）＞0，∴a2－1＞（a－1）2，
∵两块试验田的小麦都收获了1000千克，
∴“丰收2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高；
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（2）由（1）知“丰收2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高，
∴÷＝·
＝，
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍.

解答题
12.先化简，再求值：
（1）·÷，其中a为整数，且－3＜a＜2；
解：原式＝··
＝a2＋a，
∵a≠±1，a≠－2，a为整数，且－3＜a＜2，
∴a＝0，
∴原式＝02＋0＝0.
（2）÷·，其中a＝－1.
解：原式＝··
＝a＋1，
当a＝－1时，
原式＝－1＋1＝.
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第5课时　分式的加减（1）
第十五章　分　式

一、选择题
1.（1）计算＋的结果是（　D　）
A. B. C. D.
（2）计算－的结果为（　A　）
A.1 B.m＋1 C.m－1 D.
D
A
（3）计算－的结果是（　C　）
A. B.
C.1 D.－
（4）化简＋的结果为（　B　）
A.－1 B.1 C. D.
C
B
二、填空题
2.计算：（1）－＝ 　　 ；
（2）－＝ 　a－1　 ；
（3）－＝ 　0　 .
a－1
0
三、解答题
3.计算：
（1）＋－；
解：原式＝
＝0.
（2）－；
解：原式＝
＝.
（3）－.
解：原式＝
＝
＝.
4.计算：
（1）－；
解：原式＝
＝－1.
（2）－；
解：原式＝＋
＝.
（3）＋；
解：原式＝－
＝
＝2x＋3.
（4）－－.
解：原式＝－＋
＝
＝.

一、填空题
5.对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（3）＝＝，f（）＝＝，计算：f（）＋f（）＋…＋f（）＋f（）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2022）＋f（2023）＝ 　2022.5　 .
2022.5
二、解答题
6.解答下列各题：
（1）先化简，再求值：－÷，其中a＝－3；
解：原式＝－·
＝－
＝
＝，
当a＝－3时，
原式＝＝－1.
（2）先化简，再求值：·－，其中x＝＋2；
解：原式＝·－
＝－
＝，
当x＝＋2时，
原式＝＝.
解：原式＝＋·
＝＋
＝，
∵从－1≤x≤3中选取一个合适的整数x，
∴x可以为－1，0，1，2，3，
∵当x＝0，1，2时，分式无意义，
∴x＝－1或3，
当x＝－1时，原式＝＝－.
（或当x＝3时，原式＝＝6）
（3）先化简：＋÷，再从－1≤x≤3中选取一个合适的整数x代入求值.

解答题
7.已知abc＝1，求分式＋＋的值.
解：∵abc＝1，
∴＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝
＝1.
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第6课时　分式的加减（2）
第十五章　分　式

一、选择题
1.已知m2－n2＝mn，则－的值为（　C　）
A.1 B.0 C.－1 D.－
2.分式＋的计算结果是（　C　）
A. B. C. D.
C
C
3.计算－的结果是（　A　）
A.－ B.
C. D.
4.化简＋的结果是（　B　）
A. B. C. D.
A
B
二、填空题
5.计算：－＝ 　　 .
6.化简：－＝ 　　 .
　
三、解答题
7.计算：
（1）－；
解：原式＝.
（2）－；
解：原式＝.
（3）－－.
解：原式＝
＝
＝－.
8.计算：
（1）1－；
解：原式＝
＝.
（2）－a－b；
解：原式＝
＝.
（3）－；
解：原式＝＋
＝
＝.
（4）－.
解：原式＝－
＝
＝
＝.
9.甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
解：甲工程队每天完成的工作量为，
乙工程队每天完成的工作量为，
两队共同工作一天完成的工作量为＋＝＝，
答：两队共同工作一天完成这项工程的.

一、填空题
10.若＋＋＝5，＋＋＝7，则＋＋＝ 　3　 .
11.已知实数a、b满足ab＝1，那么＋的值为 　1　 .
3
1
二、解答题
12.已知＝＋，求A、B的值.
解：∵＋＝
＝，
∴，解得.
13.先化简，再求值：÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取.
解：原式＝÷
＝·
＝，
解不等式组，得2≤x＜4.5，
∴此不等式组的整数解为x＝2，3，4，
∵当x＝2或3时，分式无意义，
∴x＝4，
当x＝4时，原式＝＝2.

解答题
14.已知x为整数，且－＋为整数，求所有符合条件的x的值的总和.
解：－＋
＝
＝＝＝，
∵为整数，x为整数，
∴x＋3为6的约数，则x＋3＝±1或±2或±3或±6，
∵x≠±3，∴x＋3≠0且x＋3≠6，
∴x＝－9或－6或－5或－4或－2或－1或0，
故所有符合条件的x的值的总和为
－9＋（－6）＋（－5）＋（－4）＋（－2）＋（－1）＋0＝－27.
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第7课时　分式的加减（3）
第十五章　分　式

一、选择题
1.计算＋的结果是（　D　）
A.m＋2 B.m－2 C. D.
2.计算÷的结果为（　B　）
A.1 B. C. D.
D
B
3.计算÷的结果为（　A　）
A. B. C. D.
4.运算结果为x＋1的式子是（　C　）
A.· B.1－
C. D.÷
A
C
二、填空题
5.计算：÷＝ 　1　 .
6.若a＋＝，则a2＋＝ 　3　 .
1
3
三、解答题
7.计算：
（1）÷；
解：原式＝÷
＝·
＝.
（2）÷－（2x－1）；
解：原式＝·－（2x－1）
＝x－2x＋1
＝－x＋1.
（3）·－；
解：原式＝·－
＝－
＝.
（4）÷.
解：原式＝（－）÷
＝÷
＝÷
＝·
＝－3－a.
8.先化简，再求值：÷，其中x＝2.
解：原式＝÷
＝·
＝，
当x＝2时，
原式＝＝.

一、填空题
9.若＋b2－2b＋1＝0，则a2＋－｜b｜＝ 　6　 .
6
二、解答题
10.解答下列各题：
（1）若m2＋m－＝0，求代数式（＋1）÷的值；
解：原式＝·
＝·
＝m（m＋1）
＝m2＋m，
∵m2＋m－＝0，
∴m2＋m＝，
∴原式＝.
（2）先化简，再求值：÷，其中m的值从不等式组的整数解中取得.
解：原式＝·
＝·
＝，
解不等式组，得－3＜m≤2，
∴不等式组的整数解为x＝－2，－1，0，1，2，
∵m≠0，m＋2≠0，m－2≠0，
∴m≠0，且m≠－2，且m≠2，
∴m＝－1或1，
当m＝－1时，原式＝ ＝；
当m＝1时，原式＝ ＝－1.

解答题
11.浴缸有两个水龙头，一个放热水，一个放冷水，其放水速度分别是aL/min，bL/min.
下面有两种放水方式：
方式一：先开热水，使热水注满浴缸的一半，后一半容积的水接着开冷水龙头注放；
方式二：前一半时间让热水龙头注放，后一半时间让冷水龙头注放.
以上两种方式中，哪种方式更节省时间？谈谈你的看法和理由.
解：设浴缸容积为VL，
方式一：注满水的时间为tmin，
依题意得t＝＋，
方式二：注满水的时间为t'min，
依题意得t'a＋t'b＝V，
∴t'＝，
故t－t'＝＋－＝，
分类讨论：
①当a＝b时，t－t'＝0，即t＝t'；
②当a≠b时，＞0，即t＞t'，
综上所述，当放热水速度与放冷水速度不相等时，选择方式二更节省时间；当两水龙头放水速度相等时，选其中任一方式都可以，因为此时注满水的时间相等.
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第8课时　专题分式的化简求值
第十五章　分　式

解答题
1.先化简，再求值：÷，其中a＝2.
解：原式＝·
＝，
当a＝2时，原式＝＝.
2.先化简，再求值：－，其中x＝2.
解：原式＝－
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝.
3.先化简，再求值：1－÷，其中＝.
解：原式＝1－·
＝1－
＝－
＝，
∴＝，∴b＝3a，
∴原式＝＝＝.
4.先化简，再求值：·－，其中a＝－.
解：原式＝·－
＝－
＝－
＝
＝－，
当a＝－时，原式＝－＝.
5.先化简，再求值：（1＋）·，其中x＝－1.
解：原式＝·
＝·
＝x＋1，
当x＝－1时，原式＝－1＋1＝.
6.先化简，再求值：（－x－1）÷，其中x＝3.
解：原式＝·
＝－·
＝－，
当x＝3时，原式＝－＝－5.
7.先化简，再求值：÷（x＋2－），其中x＝－.
解：原式＝÷[－]＝÷
＝·
＝，
当x＝－时，
原式＝＝－.

解答题
8.如果m2－4m－7＝0，求代数式（＋1）÷的值.
解：原式＝·
＝·
＝（m－1）（m－3）
＝m2－4m＋3，
∵m2－4m－7＝0，∴m2－4m＝7，
∴原式＝7＋3＝10.
9.先化简，再求值：（＋）÷，其中x为整数，且｜x｜≤.
解：原式＝÷
＝（＋）÷
＝·
＝，
∵x为整数，且｜x｜≤，∴x＝±1，0，
又∵x≠±1，∴x＝0，
∴原式＝0.
10.先化简：（1－）÷＋，再从1，2，3中选一个适当的数作为a的值代入求值.
解：原式＝·＋
＝＋
＝，
∵当a＝1，2时分式无意义，∴a＝3，
当a＝3时，原式＝.
解：（－x＋3）÷÷
＝··
＝··
＝－··
＝－，
11.先化简，再求值：（－x＋3）÷÷，其中x为不等式组的整数解.
解不等式组，
得－4＜x＜－1，
∴不等式组的整数解是x＝－3，－2，
要使分式有意义，
则x－3≠0且3x≠0且x＋3≠0，
∴x＝－2，
当x＝－2时，原式＝－＝－.
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第9课时　整数指数幂
第十五章　分　式

一、选择题
1.下列计算正确的是（　D　）
A.（－1）－1＝1 B.（－1）0＝0
C.｜－1｜＝－1 D.－（－1）2＝－1
2.下列运算正确的是（　B　）
A.＝ B.＝9
C.＝125 D.2a－1＝
D
B
3.数3.016×10－5用小数表示为（　C　）
A.301600 B.30160
C.0.00003016 D.0.0003016
4.若（x－1）0－2（x－2）－3有意义，则x的取值范围是（　D　）
A.x＞2 B.x＜1
C.x≠2或x≠1 D.x≠2且x≠1
C
D
二、填空题
5.计算：（314－7）0＋＝ 　10　 .
6.若3x－1＝，则x＝ 　－2　 .
7.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.34nm，用科学记数法表示是 　3.4×10－10　 m.
10
－2
3.4×10－10
三、解答题
8.计算：
（1）＋＋；
解：原式＝1＋9－
＝.
（2）－1－3－8－1××（π－3.14）0；
解：原式＝－1－×4×1
＝－1－
＝－.
（3）×（－2）－2÷16－1－＋｜1－｜；
解：原式＝××16－＋－1
＝0.
（4）（4.8×10－5）×（2×102）；
解：原式＝（4.8×2）×（10－5×102）
＝9.6×10－3.
（5）（2m2n－2）2·3m－3n3；
解：原式＝22m2×2n－2×2·3m－3n3
＝12m4＋（－3）n－4＋3
＝12mn－1
＝.
（6）（－2a－2）3b2÷2a－8b－3；
解：原式＝－8a－6b2÷2a－8b－3
＝－4a2b5.
（7）a－2b2·（－2a2b－2）－2÷（a－4b2）.
解：原式＝a－2b2·a－4b4÷（a－4b2）
＝a－2b4
＝.

一、选择题
9.（1）已知（x＋2）2＋＝0，则yx的值是（　B　）
A.－6 B. C.9 D.－8
（2）若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，则ba的值是（　D　）
A.－1 B.3 C.－3 D.
B
D
（3）若102y＝25，则10－y的值是（　A　）
A. B.
C.－或 D.
A
二、解答题
10.计算：（2m2n－3）－2·（－mn2）3÷（m－3n）2.
解：原式＝2－2m－4n6·（－m3n6）÷m－6n2
＝－2－2m－4＋3－（－6）n6＋6－2
＝－2－2m5n10
＝－m5n10.
11.（1）已知＝2，＝5，求92m－n的值；
解：∵＝2，∴3m＝2，
∵＝5，∴3－n＝5，
∴92m－n
＝（32）2m－n
＝34m－2n
＝（3m）4·（3－n）2
＝24×52
＝400.
（2）若·＝，求a－3b＋2的值.
解：由题意得·＝，
∴＝，
∴a－3b＝1，
∴a－3b＋2＝3.

解答题
12.（1）已知a＋a－1＝3，求a4＋的值；
解：∵a＋a－1＝3，
∴a＋＝3，
则＝9，即a2＋2＋＝9，
∴a2＋＝7，
∴＝49，即a4＋＋2＝49，
∴a4＋＝47.
（2）已知x2－3x＋1＝0，求x－x－1的值.
解：∵x2－3x＋1＝0，∴x≠0，
∴x－3＋＝0，即x＋＝3，
∴x＋x－1＝3，
∴x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝7，
∵（x－x－1）2＝x2－2＋x－2＝5，
∴x－x－1＝±.
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第10课时　分式方程（1）
第十五章　分　式

一、选择题
1.下列方程是分式方程的是（　D　）
A.6x2＋4x＋1＝0 B.＝
C.＋4＝ D.＝0
2.若方程＝2＋的解为x＝4，则a的值为（　C　）
A.2 B.－2 C.0 D.4
D
C
3.方程－＝1去分母正确的是（　D　）
A.x－2（x－1）＝1 B.x2－2x－2＝1
C.x2－2x－2＝x2－x D.x2－2x＋2＝x2－x
D
二、填空题
4.分式方程－＝去分母时，两边都乘以 　（x＋1）（x－1）（或x2－1）　 .
5.（1）若代数式－1的值为零，则x的值为 　3　 ；
（2）当x＝ 　　 时，－2与互为相反数.
（x＋1）（x－1）（或x2－1）
3
三、解答题
6.解下列分式方程：
（1）－1＝；
解：去分母得2－x＋1＝x＋1，
解得x＝1，
经检验，x＝1是增根，
∴原分式方程无解.
（2）＝；
解：去分母得x2＋3x＋2＝x2－2x，
解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝－.
（3）－＝1；
解：去分母得3x2－11x＋10－2x2＋7x－5＝x2－3x＋2，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝3.
（4）＋＝.
解：去分母得7x－7＋x＋1＝6x，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝3.
7.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－3和，且点A、B到原点的距离相等，求x的值.
第7题图
解：依题意可得＝3，解得x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解，
∴x的值为.
8.当x为何值时，分式的值比分式的值大2？
解：根据题意得－＝2，
去分母得2x2＋2x－1＝2x2－2，
解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解，
∴当x＝－时，分式的值比分式的值大2.

一、选择题
9.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中的较小的数，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝－1的解为（　B　）
A.x＝1 B.x＝2
C.x＝1或2 D.x＝1或－2
B
二、填空题
10.规定a*b＝－，若x*（x＋2）＝，则x的值为 　－1　 .
－1
三、解答题
11.解分式方程：＝－.
解：原方程化为＝－，
两边同时乘以（2x＋1）（2x－1），
得x＋1＝3（2x－1）－2（2x＋1），
即x＋1＝6x－3－4x－2，
解得x＝6，
经检验，x＝6是原分式方程的解，
∴原分式方程的解是x＝6.

解答题
12.在数学课上，老师在黑板上写下分式方程＋＝的计算过程如下：（提示：＝－）
解：＋＝，
－＋－＝，
－＝，＝＋，
＝，2a＝4，a＝2，
经检验，a＝2是原分式方程的解.
仿照上述过程，解下列关于a的方程：
（1）＋＝；
解：（1）原方程整理得－＋－＝，即＝，
去分母得a＝3a－6，
解得a＝3，
经检验，a＝3是原分式方程的解；
（2）＋＋＝.
解：（2）原方程整理得－＋－＋－＝，即＝，
去分母得a－5＝4a－32，
解得a＝9，
经检验，a＝9是原分式方程的解.
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第11课时　专题分式方程的参数问题
第十五章　分　式

一、选择题
1.如果解关于x的分式方程－＝5时出现了增根，那么a的值是（　A　）
A.－6 B.－3 C.6 D.3
2.若关于x的方程＝2＋无解，则k的值为（　D　）
A.±3 B.3 C.－3 D.2
3.若关于x的方程＝＋1无解，则m的值是（　B　）
A.0 B.0或1 C.1 D.2
A
D
B
4.已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为（　B　）
A.m＞－9 B.m＞－9且m≠－6
C.m＜－9 D.m≥－9且m≠－6
5.关于x的方程＝1的解是非负数，则a的取值范围是（　D　）
A.a≥－3 B.a≥－3且a≠－
C.a≤－3 D.a≤－3且a≠－
B
D
二、填空题
6.若关于x的分式方程－＝2有增根，则增根是 　x＝1　 .
7.若关于x的分式方程－＝1的解为负数，则a的取值范围是 　a＞1且a≠2　 .
x＝1
a＞1且a≠2
三、解答题
8.已知关于x的方程＝3的解是非负数，求m的取值范围.
解：去分母得2x＋m＝3x－6，解得x＝m＋6，
由题意得，解得，
∴m的取值范围为m≥－6且m≠－4.
9.已知关于x的分式方程－＝1在实数范围内无解，求实数a的值.
解：去分母得x（x－a）－3（x－1）＝x（x－1），
即（a＋2）x＝3，
①当a＝－2时，原方程无解；
②当a≠－2时，x＝，
∵原分式方程无解，
∴＝1或0，解得a＝1，
综上所述，实数a的值为－2或1.
10.当m为何值时，关于x的方程＋＝会产生增根？
解：原方程可化为＋＝，
方程两边同时乘以（x＋2）（x－2），
得2（x＋2）＋mx＝3（x－2），
整理得（m－1）x＋10＝0，
∵关于x的方程＋＝会产生增根，
∴（x＋2）（x－2）＝0，∴x＝－2或2，
当x＝－2时，（m－1）·（－2）＋10＝0，
解得m＝6；
当x＝2时，（m－1）·2＋10＝0，
解得m＝－4，
∴当m＝6或－4时，原方程会产生增根.
11.已知关于x的方程＝－2.
（1）当m为何值时，方程无解；
解：（1）去分母得2x＝mx－2x－6，
整理得（4－m）x＝－6，
①当4－m＝0，即m＝4时，原方程无解；
②当x＋3＝0，即x＝－3时，原方程无解，
∴（4－m）·（－3）＝－6，解得m＝2，
综上所述，当m＝4或2时，方程无解；
（2）当m为何值时，方程的解为负数.
解：（2）由（1）得（4－m）x＝－6，
当m≠4时，x＝，
∵原方程的解为负数，
∴x＝＜0，m≠4且m≠2，
解得m＜4且m≠2，
综上所述，当m＜4且m≠2时，方程的解为负数.

一、填空题
12.若关于x的分式方程＝3的解不小于1，则m的取值范围是 　m≥－8且m≠－6　 .
m≥－8且m≠－6
二、解答题
13.若关于x的方程－＝无解，求m的值.
解：去分母得mx－3x＋3＝2x＋2，
整理得（m－5）x＝－1，
当m－5＝0，即m＝5时，原方程无解；
当m－5≠0，即m≠5时，解得x＝－，
∵原分式方程无解，
∴最简公分母（x＋1）（x－1）＝0，即x＝±1，
∴－＝±1，
解得m＝4或6，
综上所述，m的值为4或5或6.

解答题
14.若整数a使得关于x的不等式组的解为x＜2，且关于x的分式方程＋＝－4有正整数解，求满足条件的a的值之和.
解：解不等式组，得，
∵不等式组的解为x＜2，
∴a＋4≥2，
∴a≥－2，
分式方程＋＝－4的两边同时乘以x－4，得3x＝10－a，
∴x＝，
∵分式方程有正整数解，且a≥－2，
∴a＝－2或1或4或7，
当a＝－2时，x＝4是原分式方程的增根，
∴满足条件的a的值之和为1＋4＋7＝12.
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第12课时　分式方程（2）
第十五章　分　式

一、选择题
1.有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成；若乙队单独做要超过规定日期3天才能完成.现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，那么规定日期是（　C　）
A.9天 B.7天 C.6天 D.3天
C
2.甲、乙两班学生参加植树造林.已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等.若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是（　B　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米.设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（　C　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
B
C
二、填空题
4.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，后来她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.20元.因此，当她第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元，所买的酸奶瓶数比第一次买的酸奶瓶数多，她第一次在供销大厦买了 　5　 瓶酸奶.
5.为治理河流，某市决定铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道？设原计划每天铺设x米管道，根据题意可列方程为 　－＝20　 .
5
－＝20
三、解答题
6.中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格.
解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x＋40）元，
依题意，得＝2×，
解得x＝80，
经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意，
答：每套《三国演义》的价格为80元.
7.为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树.由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？
解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1＋25%）x棵树，
由题意，得－＝5，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
答：原计划每天种40棵树.

一、填空题
8.某市从今年1月1日起调整居民天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的燃气费是96元.今年小颖家将天然气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10立方米，5月份燃气费是90元，则该市今年居民天然气的价格是每立方米 　3　 元.
9.某工地调来72人参加挖土、运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样分配劳动力才能使挖出的土及时运走且不窝工？设派x人挖土，其余人运土，列方程为：①x＋3x＝72；②＝；③＝3；④72－x＝，其中所列方程正确的为 　②③④　 .（填序号）
3
②③④
二、解答题
10.甲、乙两超市均以3000元的进价购进质量相同的苹果.甲超市的销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%的价格销售；乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价.若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其他成本不计）.问：
（1）苹果进价为每千克多少元？
解：（1）设苹果进价为每千克x元，根据题意得：
400x＋10%x（－400）＝2100，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
答：苹果进价为每千克5元；
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算.
解：（2）由（1）得，每个超市苹果的总量为＝600千克，
甲超市大、小苹果售价分别为10元和5.5元，
则乙超市获利600×（－5）＝1650元，
∵2100元＞1650元，
∴甲超市销售方式更合算，
答：乙超市获利1650元，甲超市的销售方式更合算.

解答题
11.为全面改善公园环境，现招标建设某全长960米的绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿化，B队比A队要多用6天.
（1）分别求出A，B两队平均每天绿化长度；
解：（1）设B队平均每天绿化长度为x米，则A队平均每天绿化长度为2x米，
依题意，得－＝6，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝160米，
答：A队平均每天绿化长度为160米，B队平均每天绿化长度为80米；
（2）若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多4天完成绿化任务，两队都按（1）中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过4天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则B队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？
解：（2）设B队提高工作效率后平均每天绿化y米，则A队提高工作效率后平均每天绿化2y米，
依题意，得（160＋80）×2＋（2y＋y）×（4－2）≥960＋180，
解得y≥110，
答：B队提高工作效率后平均每天至少绿化110米.
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第13课时　复习巩固
第十五章　分　式

一、选择题
1.下列有理式中的分式是（　D　）
A. B.（x＋y）
C. D.
2.要使分式有意义，x满足的条件是（　A　）
A.x≠3 B.x≠0 C.x＞3 D.x＝3
D
A
3.若分式的值为0，则x的值为（　D　）
A.－1 B.0 C.1 D.±1
4.若代数式的结果是负数，则实数x的取值范围是（　B　）
A.x＞2 B.x＜2
C.x≠－1 D.x＜2且x≠－1
5.下列运算正确的是（　C　）
A.a－2÷a－1＝a2 B.a－1·a2＝a－2
C.＝a2 D.a－2＋a－1＝a－3
D
B
C
二、填空题
6.新冠肺炎病毒（COVID－19）颗粒的平均直径约为0.00000012m，将数据0.00000012用科学记数法表示为 　1.2×10－7　 .
7.计算：a－2b2·＝ 　 　 .
1.2×10－7
三、解答题
8.解方程：－1＝.
解：去分母得x2＋2x－x2－x＋2＝3，
移项、合并得x＝1，
经检验，x＝1是增根，
∴原分式方程无解.
9.关于x的方程－1＝的解为正数，求k的取值范围.
解：原分式方程去分母得k－（2x－4）＝2x，
解得x＝，
根据题意得＞0，且≠2，
解得k＞－4且k≠4，
∴k的取值范围是k＞－4且k≠4.
10.先化简，再求值：（－）÷，其中a＝＋2.
解：原式＝[－]·
＝·
＝·
＝，
当a＝＋2时，
原式＝＝.
11.某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达.已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？
解：设自行车的速度为xkm/h，则公共汽车的速度为3xkm/h，
根据题意得－＝，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意，
∴3x＝36km/h，
答：自行车的速度是12km/h，公共汽车的速度是36km/h.

一、填空题
12.若数a使关于x的方程＋2＝有整数解，且使关于y的不等式组最多有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和为 　－4　 .
－4
二、解答题
13.某学校去年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？
解：（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种足球需要（x＋20）元，
根据题意得＝2·，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＋20＝70元，
答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种足球需要70元；
（2）今年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
解：（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50－m）个甲种足球，
根据题意得：50×（1＋10%）（50－m）＋70×（1－10%）m≤2910，
解得m≤20，
答：这所学校最多可购买20个乙种足球.

解答题
14.已知分式A＝（a＋1－）÷.
（1）化简这个分式；
解：（1）A＝÷
＝·
＝；
（2）当a＞2时，把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由；
解：（2）变小了，理由如下：
由题意得，B＝＝，
A－B＝－
＝
＝，
∵a＞2，
∴a－2＞0，a＋1＞0，
∴A－B＝＞0，即A＞B；
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出符合条件的所有a的值的和.
解：（3）A＝＝1＋，
根据题意，a－2＝±1或±2或±4，
则a＝1或0或－2或3或4或6，
∵a≠1，
∴0＋（－2）＋3＋4＋6＝11，
∴符合条件的所有a的值的和为11.
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