第十一章　三角形 习题课件(共127张PPT) 2024-2025学年数学人教版八年级上册

(共127张PPT)
第1课时　与三角形有关的线段（1）
第十一章　三角形
一、选择题
1.若一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（　B　）
A.2 B.4 C.6 D.8
2.一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（　D　）
A.1≤x≤3 B.1＜x≤3
C.1≤x＜3 D.1＜x＜3
3.现有两根木棒分别长40cm和50cm，要从下列长度的木棒中选出一根，与前面两根木棒钉成一个三角架（木棒不能剩余），则一共可选出（　A　）
①5cm；②10cm；③40cm；④45cm；⑤80cm；⑥90cm.
A.3根 B.4根 C.5根 D.6根
B
D
A
二、填空题
4.如图，图中有 　3　 个三角形，以AD为边的三角形是 　△ABD，△ADC　 ，在△ABD中，AB边所对的角为 　∠ADB　 .
第4题图
5.若三角形两条边长分别为2cm和7cm，则第三边长c的范围是 　5cm＜c＜9cm　 ；当周长为偶数时，第三边长为 　7cm　 ；当周长为5的倍数时，第三边长为 　6cm　 .
3
△ABD，△ADC
∠ADB
5cm＜c＜9cm
7cm
6cm
三、解答题
6.已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最短.
（1）求x的取值范围；
解：（1）由三角形的三边关系，得2＜x＜10，
∵x为最短边长，
∴x的取值范围是2＜x≤4；
（2）当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？
解：（2）当x＝4时，组成的三角形周长最大，
最大值是4＋6＋4＝14.
7.一个等腰三角形的周长为12cm，腰与底相差3cm，求这个三角形的各边长.
解：分两种情况：
①当腰比底大3cm时，
设底边长为xcm，则腰长为（x＋3）cm，
根据题意得2（x＋3）＋x＝12，解得x＝2，
∴x＋3＝5cm，
此时三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm；
②当腰比底小3cm时，
设腰长为ycm，则底边长为（y＋3）cm，
根据题意得y＋3＋2y＝12，解得y＝3，
∴y＋3＝6cm，
∵3＋3不大于6，
∴当腰比底小3cm时，组不成三角形，
综上所述，这个三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm.
8.已知a、b、c为△ABC的三边长，若b，c满足｜c－6｜＝－（b－4）2，且a满足｜a－4｜＝2，求△ABC的各边长并判断△ABC的形状.
解：∵｜c－6｜＝－（b－4）2，
∴｜c－6｜＋（b－4）2＝0，
∴c＝6，b＝4，
∵｜a－4｜＝2，∴a－4＝±2，即a＝6或2，
当a＝6时，a，b，c分别为6，4，6，此时△ABC为等腰三角形；
当a＝2时，a，b，c分别为2，4，6，
∵2＋4不大于6，
∴当a＝2时，以a、b、c为三边长组不成三角形，
综上所述，△ABC的三边长分别为6，4，6，△ABC为等腰三角形.

一、填空题
9.已知一个三角形的三边长分别是a、b、c，其中a和b满足方程组，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长为 　9　 .
9
二、解答题
10.一个三角形的三边长分别是xcm、（x＋2）cm、（x＋5）cm，它的周长不超过37cm，求x的取值范围.
解：∵一个三角形的三边长分别是xcm、（x＋2）cm、（x＋5）cm，它的周长不超过37cm，
∴，
解得：3＜x≤10.
11.若△ABC的三边长分别为m－2、2m＋1、8.
（1）求m的取值范围；
解：（1）根据三角形的三边关系，
得，
解得3＜m＜5；
（2）若△ABC的三边长均为整数，求△ABC的周长.
解：（2）∵△ABC的三边长均为整数，且3＜m＜5，
∴m＝4，即m－2＝2，2m＋1＝9，
∴C△ABC＝2＋9＋8＝19.
12.已知a、b、c是三角形三边长，试化简：
｜b＋c－a｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜－｜a－b＋c｜.
解：∵a、b、c是三角形三边长，
∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，a－b＋c＞0，
∴原式＝b＋c－a－b＋c＋a－c＋a＋b－a＋b－c
＝2b.

解答题
13.如图，已知D为△ABC内一点，求证：AB＋AC＞BD＋CD.
第13题图
证明：如图，延长BD交AC于点E，
∵AB＋AE＞BD＋DE，DE＋EC＞CD，
∴AB＋AE＋DE＋EC＞BD＋DE＋CD，
∴AB＋AC＞BD＋CD.
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第2课时　与三角形有关的线段（2）
第十一章　三角形

一、选择题
1.如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（　C　）
A.角平分线 B.高
C.中线 D.无法确定
第1题图
C
2.如图，△ABC中AC边上的高是（　D　）
A.线段DA B.线段BA
C.线段BC D.线段BD
第2题图
D
3.如图所示的图形中，具有稳定性的有（　B　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第3题图
B
二、填空题
4.如图，在△ABC中，
第4题图
（1）若AD是△ABC的角平分线，则∠ 　BAD　 ＝∠ 　DAC　 ＝∠ 　BAC　 ；
（2）若AE是△ABC的中线，则 　BE　 ＝ 　EC　 ＝ 　BC　 ；
（3）若AF是△ABC的高，则∠ 　AFB　 ＝∠ 　AFC　 ＝90°.
BAD
DAC
BAC
BE
EC
BC
AFB
AFC
5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若S△BAE＝9，则S△BAC＝ 　36　 .
第5题图
36
第6题图
6.如图，在△ABC中，AB边上的高是 　CE　 ，BC边上的高是 　AD　 ；在△BCF中，CF边上的高是 　BC　 .
CE
AD
BC
三、解答题
7.（1）如图，已知△ABC和△EFD，在图中分别画出这两个三角形的三条高；
第7（1）题图
解：△ABC和△EFD的高如图所示.
（2）如图，已知△ABC.
第7（2）题图
①画中线AD；
②画△ABD的高BE及△ACD的高CF.
解：①中线AD如图所示；
②△ABD的高BE及△ACD的高CF如图所示.
8.如图所示，BD是△ABC的中线，AD＝2，AB＋BC＝5，求△ABC的周长.
第8题图
解：∵BD是△ABC的中线，
∴点D是AC的中点，
∴AC＝2AD＝4，
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝5＋4＝9.

一、选择题
9.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法错误的是（　C　）
A.BF＝CF B.∠C＋∠CAD＝90°
C.∠BAF＝∠CAF D.S△ABC＝2S△ABF
第9题图
C
二、填空题
10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形共有 　6　 个.
第10题图
6
三、解答题
11.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，求△ABC的面积.
第11题图
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE＋S△ACE＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝S△ABC，
∴S△ABC＝4S△BEF＝4×4＝16.

解答题
12.△ABC中，AB∶AC＝3∶2，BC＝AC＋1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7的两部分，求边AB，AC的长.
解：由题意画出示意图如图所示，
设AB＝3x，AC＝2x，则BC＝2x＋1，
∴C△ABC＝AB＋AC＋BC＝7x＋1，
分两种情况讨论：
①3x＋x＝（7x＋1）×，
解得：x＝2，
∴AB＝6，AC＝4；
②3x＋x＝（7x＋1）×，
解得：x＝，
∴AB＝，AC＝，
答：边AB的长为6，AC的长为4或边AB的长为，AC的长为.
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第3课时　三角形的内角（1）
第十一章　三角形

一、选择题
1.在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，则下列关于∠C的说法正确的是（　A　）
A.它等于40° B.它等于50°
C.它是个直角 D.它是个钝角
2.已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶2，则△ABC三个内角的度数分别是（　D　）
A.40°、80°、80° B.35°、70°、70°
C.30°、60°、60° D.36°、72°、72°
3.已知△ABC中，2（∠B＋∠C）＝3∠A，则∠A的度数是（　B　）
A.54° B.72° C.108° D.144°
A
D
B
二、填空题
4.（1）在△ABC中，若∠C＝80°，∠A＝30°，则∠B＝ 　70°　 ；
（2）在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠B＝ 　70°　 .
70°
70°
三、解答题
5.已知在△ABC中，∠A＝2∠B，∠C＝∠B＋20°，求△ABC的各内角度数.
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠A＝2∠B，∠C＝∠B＋20°，
∴2∠B＋∠B＋∠B＋20°＝180°，
∴∠B＝40°，
∴∠A＝2∠B＝80°，∠C＝∠B＋20°＝60°.
6.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠1＝∠2，若∠ACE＝23°，求∠EDC的度数.
第6题图
解：∵CE平分∠ACB，∠ACE＝23°，
∴∠1＝∠ACE＝23°，
∵∠1＝∠2，∴∠2＝23°，
∵∠EDC＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠EDC＝180°－（∠2＋∠1）＝134°.
7.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝35°，∠ACB＝70°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数.
第7题图
解：∵∠A＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝25°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝35°，
∴在△BCE中，∠BEC＝180°－∠CBD－∠BCE＝120°.
8.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，求∠C的度数.
第8题图
解：如图，
由题意得∠BAE＝45°，∠CAE＝15°，∠DBC＝85°，
∵AE∥BD，∴∠DBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝40°，∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝60°，
由三角形的内角和定理，得：
∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝80°.

一、填空题
9.设三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α＝2γ，则β的最大值与最小值的和是 　117°　 .
10.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC上，点G在DE的延长线上，连接GF，且∠DFG＝∠DGF.若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为 　70°　 .
117°
70°
第10题图
二、解答题
11.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的点A'处，折痕为DE.已知∠BDA'＝110°，∠C＝70°，∠B＝80°，设∠CFD＝α，∠CEA'＝β，求α和β的度数.
第11题图
解：∵∠C＝70°，∠B＝80°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝30°，
∵∠BDA'＝110°，
∴∠ADA'＝180°－∠BDA'＝70°，
∴∠AFD＝180°－∠ADA'－∠A＝80°，
∴α＝180°－∠AFD＝100°，
∴∠A'FE＝α＝100°，
由折叠可知，∠A'＝∠A＝30°，
∴β＝180°－∠A'－∠A'FE＝50°.

解答题
12.如图，BD、CE相交于点A，连接CB，DE.
（1）探索∠B、∠C、∠D、∠E之间的数量关系，并说明理由；
解：（1）∠B＋∠C＝∠D＋∠E，理由如下：
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠D＋∠E＋∠DAE＝180°，∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＋∠C＝∠D＋∠E；
第12题图
（2）若∠BCE、∠BDE的角平分线相交于点O，利用（1）中的结论探索∠B、∠E、∠O之间的数量关系，并说明理由.
解：（2）∠B＋∠E＝2∠O，理由如下：
如图，
第12题图
类似于（1）中的结论，有：
∠B＋∠BCO＝∠O＋∠BDO，
而∠BCO＝∠BCA，∠BDO＝∠BDE，
∴∠O＝∠B＋（∠BCA－∠BDE），
∵∠B＋∠BCA＝∠E＋∠BDE，
∴∠BCA－∠BDE＝∠E－∠B，
∴∠O＝∠B＋（∠E－∠B），
∴∠B＋∠E＝2∠O.
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第4课时　三角形的内角（2）
第十一章　三角形

一、选择题
1.在一个直角三角形中，有一个锐角为35°，则另一个锐角的度数是（　C　）
A.75° B.65° C.55° D.45°
2.如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠B＝（　D　）
A.15° B.30° C.50° D.60°
第2题图
C
D
3.如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（　B　）
A.90° B.20° C.45° D.70°
第3题图
B
第4题图
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　D　）
D
A.20° B.30° C.40° D.50°
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝ 　20°　 .
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E.若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是 　40°　 .
第6题图
20°
40°
三、解答题
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD的延长线于点E.若∠DBE＝28°，求∠CAB的度数.
第7题图
解：∵BE⊥AE，
∴∠E＝90°＝∠C，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠DBE＝28°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝56°.
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB、∠CBA的角平分线AD、BE交于点F，求∠AFB的度数.
第8题图
解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，
∴∠FAB＋∠FBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，
∴∠AFB＝180°－（∠FAB＋∠FBA）＝135°.
9.如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED.求证：△ACE是直角三角形.
第9题图
证明：∵ED⊥BD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CED＋∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝∠CED，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝180°－（∠ACB＋∠DCE）＝90°，
∴△ACE是直角三角形.

一、选择题
10.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，且CB＞CA，图中相等的角共有（　D　）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
第10题图
D
11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E处，若∠A＝25°，则∠ADE的度数为（　A　）
A.40° B.50° C.65° D.75°
第11题图
A
二、解答题
12.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB，点F在CE上.
（1）求∠ACE的度数；
（1）解：∵∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝90°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°；
第12题图
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形.
（2）证明：∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°－∠B＝30°，
又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
∴∠DCF＝∠BCE－∠BCD＝15°，
又∵∠CDF＝75°，
∴∠CFD＝180°－∠CDF－∠DCF＝90°，
∴△CFD是直角三角形.
第12题图

解答题
13.如图，已知在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
（1）求∠BAE的度数；
解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°；
第13题图
（2）求∠DAE的度数；
解：（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝20°；
第13题图
解：（3）能.
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°－∠B－∠C）＝90°－（∠B＋∠C），
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－（∠B＋∠C）－（90°－∠B）＝（∠B－∠C），
第13题图
（3）探究：如果将条件“∠B＝70°，∠C＝30°”改成“∠B－∠C＝40°”，能否得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.
∵∠B－∠C＝40°，
∴∠DAE＝×40°＝20°.
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第5课时　三角形的外角
第十一章　三角形

一、选择题
1.如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（　A　）
A.110° B.130° C.150° D.90°
第1题图
2.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　A　）
A.105° B.100° C.95° D.110°
第2题图
A
A
3.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（　D　）
A.75° B.105° C.135° D.165°
第3题图
D
4.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝（　A　）
A.60° B.80° C.70° D.50°
第4题图
A
二、填空题
5.△ABC中，∠B＝65°，∠A比∠C小35°，则与∠C相邻的外角的度数为 　105°　 .
6.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝ 　101°　 .
第6题图
105°
101°
三、解答题
7.如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝64°，求∠2的度数.
第7题图
解：∵∠BAC＝64°，
∴∠BAD＋∠1＝64°，
∵∠B＝∠1，
∴∠B＋∠BAD＝64°，
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2＝∠B＋∠BAD＝64°.
8.如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，求∠DFE的度数.
第8题图
解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，
∴∠AEB＝∠A＋∠C＝65°，
∵∠B＝45°，
∴∠DFE＝∠B＋∠BEF＝110°.
9.如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数.
第9题图
解：∵∠1＝100°，∠C＝80°，
∴∠3＝∠1－∠C＝20°，
∵∠2＝∠3，∴∠2＝10°，
∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝70°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝35°，
∵∠4＝∠2＋∠ABE，
∴∠4＝45°.

一、填空题
10.如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P.设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数为 　　 .
第10题图
二、解答题
11.如图，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点F，∠B∶∠C＝3∶2.
（1）若∠A＝60°，∠DFE＝100°，求∠BEC的度数；
解：（1）设∠B＝3x，则∠C＝2x，
∵∠DFE＝∠FDC＋∠C，∠FDC＝∠A＋∠B，
∴∠DFE＝∠C＋∠A＋∠B，
即3x＋2x＋60°＝100°，解得x＝8°，
∴∠B＝24°，∠C＝16°，
∴∠BEC＝∠A＋∠C＝76°；
第11题图
（2）若∠DFE－∠A＝130°，求∠B的度数.
解：（2）∵∠DFE＝∠C＋∠A＋∠B，
∴∠DFE－∠A＝∠C＋∠B，
∴3x＋2x＝130°，解得x＝26°，
∴∠B＝78°.
第11题图

解答题
12.（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠P＝ 　　　　 ；
122°
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝α，求∠E的度数；（用含α的代数式表示）
解：（2）如图，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴∠1＝∠ACB，∠2＝∠ABD，
又∵∠ABD＝∠A＋∠ACB，
∴∠2＝∠A＋∠1，
∴∠E＝∠2－∠1＝∠A＋∠1－∠1＝；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠Q与∠A的数量关系，并证明.
解：（3）∠Q＝90°－∠A，
证明：∵BQ平分∠CBM，CQ平分∠BCN，
∴∠QBC＝（∠A＋∠ACB），∠QCB＝（∠A＋∠ABC），
∴∠Q＝180°－∠QBC－∠QCB
＝180°－（∠A＋∠ACB）－（∠A＋∠ABC）
＝180°－∠A－（∠A＋∠ABC＋∠ACB）
＝180°－∠A－90°
＝90°－∠A.
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第6课时　专题与角平分线有关的三角形内角和问题
第十一章　三角形

一、选择题
1.如图，点O是△ABC内一点，∠A＝ 80°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，则∠BOC的度数为（　C　）
A.140° B.135° C.130° D.125°
第1题图
C
2.如图，BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线，若∠A＝ 45°，则∠P的度数是（　B　）
A.20° B.22.5° C.25° D.30°
第2题图
B
二、填空题
3.如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，点E，D分别是OB，OC延长线上的点，∠CBE和∠BCD的平分线交于点P，∠A＝α，则∠P的度数为 　45°－α　 .（用含α的代数式表示）
第3题图
45°－α
三、解答题
4.如图，已知△OAB中，∠O＝70°，∠OAB的平分线与△OBA的外角∠ABN的平分线所在的直线交于点D，求∠ADB的度数.
第4题图
解：∵AD平分∠OAB，
BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝∠ABN，
∠BAD＝∠OAB，
∴∠ADB＝∠ABC－∠BAD＝（∠ABN－∠OAB）＝∠O＝35°.
5.如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数.
第5题图
解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝20°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝60°，∠BAO＝∠BAC＝25°，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAO＝125°.
6.如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，BP、CP是△ABC的外角平分线，求∠P的度数.
第6题图
解：∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＋∠PCB＝（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）＝110°，
∴∠P＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝70°.

一、选择题
7.如图，△ABC中，∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，∠ACD＝∠DCE＝∠ECB，若∠BEC＝145°，则∠BDC的度数为（　D　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
第7题图
D
二、填空题
8.如图，AB∥CD，∠1＝∠2，BC交AD于点E.
（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠DAB＝40°，则∠3的度数为 　25　 °；
25
（2）如图2，∠BAD与∠BDF的平分线交于点P，若∠ADB＝70°，则∠P的度数为 　55　 °.
55
三、解答题
9.在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形.例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，故△ABC为3倍角三角形.
（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为 　　　　 倍角三角形；
2
（2）若锐角△MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，则α的范围为 　 　 　　　　 ；
22.5°＜α＜30°
（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）.延长BA至点G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数.
第9（3）题图
解：（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
∴∠EAF＝∠EAO＋∠OAF＝（∠BAO＋∠OAG）＝90°，
∵△EAF是4倍角三角形，∠F＞∠E，
∴∠E＝×90°或×90°，即∠E＝22.5°或18°，
∵OE平分∠BOQ，∴∠E＝∠ABO，
∴∠ABO＝2∠E＝45°或36°.

解答题
10.如图1，直线m与直线n相交于点O，点A在直线m上运动，点B 在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO、∠ABO的角平分线.
（1）若∠BAO＝50°，∠ABO＝40°，求∠ACB的度数；
解：（1）∵AC、BC分别是∠BAO、∠ABO的角平分线，
∴∠CAB＝∠BAO＝25°，∠CBA＝∠ABO＝20°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝135°；
（2）如图2，若∠AOB＝α，BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC延长线交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其度数（用含α的代数式表示）；
解：（2）∠ADB的度数不发生变化，
∵AC平分∠BAO，BD平分∠OBE，
∴∠BAD＝∠BAO，∠EBD＝∠OBE，
∴∠ADB＝∠EBD－∠BAD＝（∠OBE－∠BAO）＝∠AOB＝α；
（3）如图3，若直线m与直线n相互垂直，延长AB至E，已知∠OBE、∠ABO的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线分别相交于点D、F，在△BDF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠BAO的度数.
解：（3）∠BAO＝60°或45°.
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第7课时　多边形
第十一章　三角形

一、选择题
1.下列图形中是多边形的是（　D　）
A
B
C
D
2.下列图形中∠1是外角的是（　D　）
A
B
C
D
D
D
3.下列说法正确的是（　B　）
A.一个多边形外角的个数与边数相同
B.一个多边形外角的个数是边数的二倍
C.每个角都相等的多边形是正多边形
D.每条边都相等的多边形是正多边形
4.如图所示的图形中，矩形的个数是（　D　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
第4题图
B
D
5.长方形剪去一个角后所得的图形一定不是（　C　）
A.五边形 B.梯形 C.长方形 D.三角形
C
二、填空题
6.如图所示，将多边形分割成三角形，①中可分割出2个三角形，②中可分割出3个三角形，③中可分割出4个三角形，…，由此能猜测出n边形可以分割出 　（n－1）　 个三角形.
第6题图
（n－1）
第7题图
7.如图，把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为 　4　 .
4
三、解答题
8.画出下列多边形的全部对角线.
第8题图
解：如图所示：
9.一个四边形的周长是46cm，已知第一条边的边长是acm，第二条边的边长比第一条边的边长的三倍少5cm，第三条边的边长等于第一、第二条边的边长之和.
（1）请用含a的式子表示第四条边的边长；
解：（1）由题意得：第二条边的边长为（3a－5）cm，第三条边的边长为a＋3a－5＝（4a－5）cm，
则第四条边的边长为46－a－（3a－5）－（4a－5）＝（56－8a）cm，
答：第四条边的边长为（56－8a）cm；
（2）当a＝7时还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
解：（2）当a＝7时不能得到四边形，理由如下：
∵此时第四条边的边长为56－8a＝0cm，只剩下三条边，
∴三条边的边长分别为a＝7cm，3a－5＝16cm，4a－5＝23cm，
∵7＋16＝23cm，∴图形是线段，
答：当a＝7时不能得到四边形，此时的图形是线段.

一、选择题
10.若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数为（　A　）
A.14或15或16 B.15或16
C.14或16 D.15或16或17
A
二、填空题
11.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则（m－k）n的值是 　125　 .
125
三、解答题
12.已知正n边形的周长为60，边长为a.
（1）当n＝3时，请直接写出a的值；
解：（1）a＝60÷3＝20；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n＋7，周长为67，边长为b.有人分别取n＝3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等.”你认为这种说法对吗？若对，请给出证明；若不对，请求出不符合这一说法的n的值.
解：（2）这种说法不对.
令a＝b，得＝，
∴60n＋420＝67n，
解得n＝60，
∴当n＝60时，a＝b，
即不符合这一说法的n的值为60.

解答题
13.阅读材料：
我们知道计算n边形的对角线条数公式为，如果有一个n边形的对角线一共有20条，那么可以得到方程＝20，去分母得n（n－3）＝40，由于n为大于等于3的整数，且n比n－3的值大3，所以满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程的整数解为n＝8，即多边形是八边形.根据材料内容，回答下列问题：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
解：（1）由题意得，＝14，
去分母得：n（n－3）＝28，
∵n为大于等于3的整数，且n比n－3的值大3，
∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，
符合方程的整数解为n＝7，
即这个多边形的边数为7；
（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条.”你认为A同学的说法正确吗？为什么？
解：（2）A同学的说法不正确，理由如下：
∵＝30，去分母得n（n－3）＝60，
当n＝9时，n（n－3）＝9×6＝54＜60，
当n＝10时，n（n－3）＝10×7＝70＞60，
∴符合方程的正整数n不存在，即多边形的对角线不可能有30条，
∴A同学的说法不正确.
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第8课时　多边形的内角和
第十一章　三角形

一、选择题
1.内角和为540°的多边形是（　C　）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
2.已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为（　A　）
A.12 B.9 C.8 D.7
3.一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（　C　）
A.8 B.9 C.10 D.12
C
A
C
4.如图，在一个三角形纸片ABC中，∠C＝90°，将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED，则图中∠1＋∠2的度数为（　C　）
A.90° B.180° C.270° D.315°
第4题图
C
二、填空题
5.九边形的内角和为 　1260°　 ，从一个顶点出发有 　6　 条对角线，共有 　27　 条对角线.
6.如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝310°，则∠4＝ 　50°　 .
第6题图
1260°
6
27
50°
三、解答题
7.已知一个多边形的内角和与外角和之比是3∶2，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，
依题意得：（n－2）×180°＝×360°，
解得n＝5，
∴这个多边形的边数为5.
8.如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数.
第8题图
解：∵正五边形内角和为540°，
∴其每个内角为540°÷5＝108°，
∵长方形每个内角为90°，∴∠F＝90°，
∴∠ABC＝108°，∠ABF＝180°－∠ABC＝72°，
∴∠BAF＝180°－∠F－∠ABF＝18°，
∴∠EAF＝∠EAB＋∠BAF＝126°.
9.如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.
（1）若∠1＝48°，求∠2的度数；
（1）解：∵六边形ABCDEF的各内角相等，
∴一个内角的度数为＝120°，
∴∠E＝∠F＝∠FAB＝120°，
∵∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝72°，
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，
∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝48°；
第9题图
（2）求证：AB∥DE.
（2）证明：由（1）知∠E＝∠F＝∠FAB＝120°，
∴∠1＝∠FAB－∠DAF＝120°－∠DAF，
∠2＝360°－∠E－∠F－∠DAF＝120°－∠DAF，
∴∠1＝∠2，∴AB∥DE.
第9题图

一、选择题
10.如图，在正五边形ABCDE中，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（　B　）
A.36° B.54° C.60° D.72°
第10题图
B
二、填空题
11.已知一个多边形，少算一个内角的度数，其余内角和为2100°，则这个多边形的边数为 　14　 .
14
三、解答题
12.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
第12题图
解：如图，连接CG，
∵∠COG＝∠AOB，
∴∠6＋∠7＝∠OCG＋∠OGC，
又∵在五边形CDEFG中，
∠1＋∠2＋∠OCG＋∠OGC＋∠3＋∠4＋∠5＝（5－2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°.

解答题
13.（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D，若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠ABC＋∠A，
∠DCE＝∠DBC＋∠D，
∴∠DCE＝∠ACE＝（∠ABC＋∠A），
即∠DBC＋∠D＝（∠ABC＋∠A），
∴∠D＝∠A，
∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，
∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠A＝30°；
（2）如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线交于点D，若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，求∠D的度数.
解：（2）如图，延长BM，CN交于点A，
∵∠BMN＝∠ANM＋∠A，
∠CNM＝∠AMN＋∠A＝180°－∠ANM，
∴∠A＝∠BMN＋∠CNM－180°＝50°，
由（1）知∠D＝∠A，
∴∠D＝25°.
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第9课时　复习巩固
第十一章　三角形

一、选择题
1.以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（　D　）
A.2cm，3cm，5cm B.3cm，3cm，6cm
C.5cm，8cm，2cm D.4cm，5cm，6cm
2.已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（　D　）
A.3 B.4 C.6 D.8
D
D
3.如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm2，则△ABM的面积为（　C　）
A.8cm2 B.4cm2
C.2cm2 D.以上答案都不对
第3题图
C
二、填空题
4.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，AF是高.如果BC＝10cm，那么BE＝ 　5cm　 ；如果∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ 　40°　 ，∠DAF＝ 　10°　 .
第4题图
5.三角形三个内角度数之比是1∶1∶2，则这个三角形是 　等腰直角　 三角形.
5cm
40°
10°
等腰直角
6.若从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则这个多边形的内角和为 　1080°　 .
7.如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角∠CBF＝ 　72°　 .
第7题图
1080°
72°
三、解答题
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF.求证：AE平分∠CAB.
第8题图
证明：∵CD⊥AB，
∴在Rt△ADF中，
∠DAF＝90°－∠AFD＝90°－∠CFE，
∵∠ACE＝90°，
∴在Rt△AEC中，∠CAE＝90°－∠CEF，
∵∠CFE＝∠CEF，
∴∠DAF＝∠CAE，
即AE平分∠CAB.
9.如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40的两部分，求AC和AB的长.
第9题图
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵AC＞AB，
∴AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，
∴4x＋x＝60，x＋y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
∴AC＝4x＝48，AB＝28.

一、填空题
10.如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 　4　 .
第10题图
4
二、解答题
11.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.如图所示的两幅图都是由同一副直角三角板拼凑得到的.
（1）如图1，求∠ABC的度数；
解：（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，
∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝75°；
（2）如图2，若AE∥BC，求∠AFD的度数.
解：（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，
∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝75°.

解答题
12.如图1，点D为△ABC内一点，连接BD，CD.
第12题图1
（1）探究∠BDC与∠A，∠ABD，∠ACD之间的关系，并说明理由；
解：（1）∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD，
理由：如图，连接AD并延长交BC于点E，
∵∠BDE＝∠BAE＋∠ABD，
∠EDC＝∠EAC＋∠ACD，
∴∠BDE＋∠EDC＝∠BAE＋∠EAC＋∠ABD＋∠ACD，
∴∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD；
（2）请直接用（1）中的结论，解决下列问题：
①当∠BDC＝120°时，若∠A＝50°，则∠ABD＋∠ACD＝ 　　　　 °；
②如图2，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BDC＝120°，∠A＝50°，求∠BEC的度数；
③如图3，∠ABD，∠ACD的n等分线相交于点E1，E2，…，En－1，若∠BDC＝x°，∠BE1C＝y°，求∠A的度数.（用含x，y，n的式子表示）
70
解：（2）②∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE＝∠ABD，∠ACE＝∠ACD，
∴∠BEC＝∠ABE＋∠ACE＋∠A＝（∠ABD＋∠ACD）＋∠A
＝×（∠BDC－∠A）＋50°＝85°；
③以此类推（∠BDC－∠A）＋∠A＝∠BE1C，
即（x°－∠A）＋∠A＝y°，
则∠A＝.
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