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第11课时 专题二次函数与几何图形的综合问题
第二十二章 二次函数
★二次函数的综合问题中，许多都与几何图形联系起来，面积问题、线段或角的关系问题、特殊三角形的存在性问题、特殊四边形的存在性问题，解题时需要将函数知识、几何知识结合起来，才能解决问题.
类型一：面积问题
例1 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（0，），经过点C的直线与抛物线交于另一点E（4，m），点G为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
（1）求直线CE的解析式；
解：（1）把C（0，）代入抛物线y＝－x2＋x＋c，得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋，
当x＝4时，y＝－，
∴E（4，－），
设直线CE的解析式为y＝kx＋b，
则，解得，
∴直线CE的解析式为y＝－x＋；
（2）如图②，点P为直线CE上方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC.当四边形OCPF的面积最大时，求点P的坐标以及四边形OCPF面积的最大值.
解：（2）对于y＝－x＋，
令y＝0，得－x＋＝0，
解得x＝，∴F（，0），
如图，过点P作PH∥y轴交CE于点H，
设P（t，－t2＋t＋），
则H（t，－t＋），
∴PH＝－t2＋t，
∵S△OCF＝OC·OF＝，
S△CPF＝PH·（xF－xC）＝－t2＋t，
∴S四边形OCPF＝S△OCF＋S△CPF＝－t2＋t＋＝－（t－2）2＋，
∵－＜0，
∴当t＝2时，S四边形OCPF取得最大值，为，此时P（2，）.
1.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（－1，0），点B（3，0），顶点为C，与y轴相交于点D.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）.
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
解：（1）将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax2＋bx＋3，
得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，
∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴顶点C的坐标为（1，4）；
图1
（2）连接BD，PB，PD，若△PBD的面积为3，求m的值.
解：（2）∵y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝4，∴D（0，3），
设直线BD的表达式为y＝sx＋t，
将B（3，0），D（0，3）代入，
得，解得，
∴直线BD的表达式为y＝－x＋3，
如图，过点P作PQ∥y轴交BD于点Q，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，－m2＋2m＋3），Q（m，－m＋3），∴PQ＝－m2＋3m，
∴S△PBD＝PQ·OB＝－m2＋m＝3，解得m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2.
图1
类型二：二次函数与特殊三角形
例2 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为（1，0），与y轴交于点C，直线y＝－x－3经过A，C两点.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）对于y＝－x－3，
令x＝0，则y＝－3，令y＝0，则x＝－3，
∴C（0，－3），A（－3，0），
将A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）代入y＝ax2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
解：（2）存在.
∵抛物线y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，
设Q（－1，m），
由（1）知，B（1，0），C（0，－3），
∴BC2＝10，BQ2＝m2＋4，CQ2＝（m＋3）2＋1＝m2＋6m＋10，
△BCQ为等腰三角形，分3种情况：
①当BQ＝BC时，m2＋4＝10，
解得m1＝，m2＝－，
∴Q1（－1，），Q2（－1，－）；
②当CQ＝BC时，m2＋6m＋10＝10，
解得m1＝0，m2＝－6，
∴Q3（－1，0），Q4（－1，－6），
当Q（－1，－6）时，点B、C、Q三点共线，故舍去；
③当BQ＝CQ时，m2＋4＝m2＋6m＋10，
解得m＝－1，∴Q5（－1，－1），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（－1，）或（－1，－）或（－1，0）或（－1，－1）.
2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A（－1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，－3）.
（1）求二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
解：（1）由题意设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）（x－3），
将C（0，－3）代入，得a·（－3）＝－3，
解得a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x＋1）（x－3）＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，
∴D（1，－4）；
解：（2）存在.
由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝1，设E（1，m），
∵A（－1，0），C（0，－3），∴AC2＝10，AE2＝4＋m2，CE2＝1＋（m＋3）2，△ACE为直角三角形，分3种情况：
①当∠EAC＝90°时，AE2＋AC2＝CE2，
∴14＋m2＝1＋（m＋3）2，解得m＝，∴E1（1，）；
②当∠ACE＝90°时，AC2＋CE2＝AE2，
∴11＋（m＋3）2＝4＋m2，解得m＝－，∴E2（1，－）；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为直角三角形？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
③当∠AEC＝90°时，AE2＋CE2＝AC2，
∴5＋m2＋（m＋3）2＝10，解得m＝－1或－2，
∴E3（1，－1），E4（1，－2），
综上所述，点E的坐标为（1，）或（1，－）或（1，－1）或（1，－2）.
类型三：二次函数与特殊四边形
例3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
（1）求二次函数的解析式；
解：（1）将B（3，0），C（0，－3）代入y＝x2＋bx＋c，
得，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C，则是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在，
如图，连接PP'交y轴于点E，
∵四边形POP'C为菱形，
∴PP'⊥OC，OE＝CE＝OC，
∵C（0，－3），∴E（0，－），
∴点P的纵坐标为－，
∵点P在二次函数y＝x2－2x－3的图象上，
∴x2－2x－3＝－，
解得x＝，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴0＜x＜3，∴x＝，
∴P（，－）.
3.如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四
边形，求点M的坐标.
图2
解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，
∴A（－1，0），B（3，0），
设M（m，n），
①当AB为对角线时，有3－1＝m＋0，∴m＝2，
则n＝－22＋2×2＋3＝3，∴M（2，3）；
②当AP为对角线时，有－1＋0＝m＋3，∴m＝－4，
则n＝－（－4）2＋2×（－4）＋3＝－21，
∴M（－4，－21）；
③当AM为对角线时，有－1＋m＝3＋0，∴m＝4，
则n＝－42＋2×4＋3＝－5，∴M（4，－5），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，3）或（－4，－21）或（4，－5）.
图2
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第9课时 专题二次函数的图象与系数的关系
第二十二章 二次函数
★（1）a决定图象的开口方向：当a＞0时，图象开口向上；当a＜0时，图象开口向下.
（2）c决定图象与y轴交点的位置：当c＞0时，图象与y轴的正半轴相交；当c＝0时，图象过原点；当c＜0时，图象与y轴的负半轴相交.
（3）a、b共同决定图象的对称轴位置：当a、b同号时，对称轴x＝－在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴x＝－在y轴的右侧；当b＝0时，对称轴就是y轴.
特别注意对称轴与直线x＝1或x＝－1的位置关系.
（4）b2－4ac决定图象与x轴的交点个数：当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点.
（5）当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c；当x＝2时，y＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c，这些也是判断图象问题时常用的关系式.
例 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示.对于此抛物线有以下结论：①abc＜0；②4ac－b2＞0；③9a＋3b＋c＞0；④b＋2a＝0；⑤若a＋b＋c＞3，则抛物线y＝ax2＋bx＋c－3与x轴无交点.其中正确结论的序号是 .
解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝－＝1，
∴b＝－2a＞0，即2a＋b＝0，④正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0， ∴abc＜0，①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，②不正确；
∵抛物线经过（－2，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（4，0），
∴当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＞0，③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线顶点坐标为（1，a＋b＋c），
∵a＋b＋c＞3，
∴抛物线向下平移3个单位得到的抛物线y＝ax2＋bx＋c－3的顶点在x轴上方，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c－3与x轴有2个交点，⑤不正确，
故答案为：①③④.
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图1所示，有下列结论：①abc＞0；②－b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④b2－4ac＞0，其中正确的有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图1
C
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图2所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a－b＋c＝0；
②a＞b；③2a＋b＝0；④当y＞0时，－1＜x＜3，其中正确的有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图2
C
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3所示，有下列结论：①abc＜0；②2a＋b＝0；③3b－2c＜0；④am2＋bm a＋b（m为实数），其中正确的有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图3
C
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第5课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质（三）
第二十二章 二次函数
★二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与抛物线y＝ax2形状相同，只是位置不同，可由抛物线y＝ax2平移得到，当h＞0时，先 向右 平移｜h｜个单位；当h＜0时，先 向左 平移｜h｜个单位；当k＞0时，再 向上 平移｜k｜个单位；当k＜0时，再 向下 平移｜k｜个单位.
★二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象性质：①当a＞0时，开口 向上 ，当a＜0时，开口 向下 ；②对称轴是直线 x＝h ；③顶点坐标是 （h，k） .
若a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；
若a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.
向右
向左
向上
向下
向上
向下
x＝h
（h，k）
例1 在同一坐标系内，画出函数y＝2x2和y＝2（x－1）2＋1的图象，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标，结合图象说出它们的关系.
解：如图所示，
函数y＝2x2图象的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
函数y＝2（x－1）2＋1图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，1）；
函数y＝2（x－1）2＋1的图象是由函数y＝2x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的.
1.抛物线y＝（x＋1）2＋1的对称轴是 直线x＝－1 .
2.抛物线y＝－x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线的解析式是
y＝－（x＋1）2－1 .
3.二次函数y＝2（x－4）2＋2图象的顶点坐标是 （4，2） .
直线x＝－1
y＝－（x＋1）2－1
（4，2）
（1）用列表描点法，画出这个函数的图象；
解：（1）列表如下：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线，如图所示；
4.已知二次函数y＝－（x－1）2＋4，
（2）直接写出当y＞0时，x的取值范围.
解：（2）由图可知，当y＞0时，x的取值范围为－1＜x＜3.
例2 某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为4.5米，宽度OP为6米，现以地面（OP所在的直线）为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）由题意知抛物线的顶点坐标为（3，4.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x－3）2＋4.5，
∵抛物线过点（6，0），
∴0＝9a＋4.5，解得a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－（x－3）2＋4.5＝－x2＋3x（0≤x≤6）；
（2）公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度.
解：（2）当y＝3时，－x2＋3x＝3，
解得：x1＝3－，x2＝3＋，
∴该横幅的宽度为3＋－3＋＝2米.
5.如图，抛物线y＝（x－1）2－4的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C，连接AD，BD，AC，BC.
（1）求△ABD的面积；
（1）令x＝0，得y＝－3，
∴D（0，－3），∴OD＝3，
∴S△ABD＝AB·OD＝×4×3＝6；
解：令y＝0，得x＝3或－1，
∴A（－1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
（2）求△ABC的面积.
（2）由y＝（x－1）2－4知，顶点C的坐标为（1，－4），
∴S△ABC＝AB·｜yC｜＝×4×4＝8.
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第7课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（二）
第二十二章 二次函数
★待定系数法求二次函数的表达式的步骤：
① 先设出二次函数的一般形式 ；
② 代入解析式得出方程或方程组 ；
③ 解方程或方程组求出待定系数a，b，c的值 ；
④ 写出该函数的解析式 .
★在二次函数待定系数法的应用过程中，应根据条件灵活选取适当的函数形式，主要的形式有两种：
先设出二次函数的一般形式
代入解析式得出方程或方程组
解方程或方程组求出待定系数a，b，c的值
写出该函数的解析式
①一般式： y＝ax2＋bx＋c ；
②顶点式： y＝a（x－h）2＋k .
y＝ax2＋bx＋c
y＝a（x－h）2＋k
例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A（0，3）、B（1，0）、C（－1，8）三点.
（1）求二次函数的解析式；
【分析】（1）把A、B、C三点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可得到二次函数的解析式；
解：（1）把A（0，3）、B（1，0）、C（－1，8）代入y＝ax2＋bx＋c，
得，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3；
（2）如果这个二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求△ABD的面积.
【分析】（2）令y＝0，解出x的值，即可确定点D的坐标，然后根据三角形面积公式求解.
（2）当y＝0时，x2－4x＋3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，∴D（3，0），
∴S△ABD＝×3×（3－1）＝3.
1.抛物线y＝2x2－4x＋c经过点（2，－3），则c的值为（ C ）
A.－1 B.－2 C.－3 D.2
2.已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x＝－2时，函数值是－1；当x＝1时，函数值是5，则此二次函数的表达式为（ A ）
A.y＝2x2＋4x－1 C.y＝－2x2＋4x＋1
B.y＝x2＋4x－2 D.y＝2x2＋4x＋1
C
A
3.抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则抛物线的函数关系式为 y＝－x2＋2x＋3 .
4.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－2，7），B（0，－1），C（3，2）三点，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式为 y＝x2－2x－1 .
y＝－x2＋2x＋3
y＝x2－2x－1
5.已知抛物线y＝x2＋px＋q，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝－5.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）∵当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝－5，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－12x＋15；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴.
解：（2）∵y＝x2－12x＋15＝（x－6）2－21，
∴抛物线的顶点坐标是（6，－21），对称轴为直线x＝6.
例2 “已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（c，－2），■■■，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x＝3.”题目中的矩形框部分是一段墨水污染了无法辨认的文字.
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由；
【分析】（1）先根据对称轴公式求出b的值，再把点A的坐标代入解析式中得到关于c的一元二次方程，解该方程即可求出c的值，从而求得二次函数的解析式；
解：（1）能.由对称轴x＝－＝3，
解得b＝－3，
∵图象经过点A（c，－2），
∴c2－3c＋c＝－2，解得c＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2－3x＋2；
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填上一个适当的条件，把原题补充完整.
【分析】（2）根据（1）中所求的函数解析式可写出图象上另一个点的坐标.
∴二次函数解析（2）补：点B（0，2）.（答案不唯一）
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝2时，y取得最大值，为－4，且它的图象还经过点（1，－7），则二次函数的表达式为（ A ）
A.y＝－3x2＋12x－16
B.y＝－3x2＋12x－8
C.y＝3x2＋12x－16
D.y＝3x2＋12x－8
A
7.已知一个二次函数的图象与抛物线y＝－2x2＋3的开口大小、方向完全相同，且顶点坐标为（2，－1），则该二次函数的表达式为 y＝－2x2＋8x－9 .
8.已知二次函数y＝－2x2＋mx＋m的图象如图1所示，且OA＝OC，则m＝ .
图1
y＝－2x2＋8x－9
9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，7）、B（6，7）、C（3，－8），则其对称轴为 直线x＝2 ，该抛物线的解析式为 y＝x2－4x－5 .
10.求图象经过点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x＝2的二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－3.
直线x＝2
y＝x2－4x－5
11.如图2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）.
（1）求该抛物线的解析式；
解：（1）由题意得：
，解得，
∴y＝－x2＋2x＋3；
图2
（2）点E是线段BC上方的抛物线上一个动点，求△BEC面积的最大值；
解：（2）如图，作EF∥y轴交BC于点F，
∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，
设E（m，－m2＋2m＋3），则F（m，－m＋3），
∴EF＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m，
∴S△BEC＝EF·OB＝（－m2＋3m）×3＝－（m－）2＋，
∴当m＝时，△BEC的面积取最大值，为；
图2
（3）点P是抛物线的对称轴上一个动点，当△APC是直角三角形时，求点P的坐标.
解：（3）设P（1，n），
∵A（－1，0）、C（0，3），∴AC2＝10，AP2＝4＋n2，
CP2＝1＋（n－3）2＝n2－6n＋10，
①当∠PAC＝90°时，AC2＋AP2＝CP2，
即10＋4＋n2＝n2－6n＋10，解得n＝－，∴P（1，－）；
②当∠ACP＝90°时，AC2＋CP2＝AP2，
即10＋n2－6n＋10＝4＋n2，解得n＝，∴P（1，）；
③当∠APC＝90°时，AP2＋CP2＝AC2，
即4＋n2＋n2－6n＋10＝10，
解得n＝1或2，∴P（1，1）或P（1，2），
∴综上所述，符合条件的点P的坐标是（1，－）或（1，）或（1，1）或（1，2）.
图2
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第12课时 实际问题与二次函数（一）
第二十二章 二次函数
★列二次函数解决与几何图形有关的最值问题，应设图形一边长为 自变量 ，根据几何图形有关的 公式 列出函数关系式，再利用二次函数的性质求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 .
自变量
公式
取值范围
例 用6米的铝合金型材料做个如图所示的“日”字形矩形窗框，应做成长、宽各多少米，才能使做成的矩形窗框透光面积S（平方米）最大？最大透光面积是多少？设矩形窗框的宽为x米.（铝合金型材料宽度忽略不计）
解：由题意得窗框的长为＝（3－x）米，
则S＝x（3－x）＝－（x－1）2＋，
∴当x＝1时，Smax＝，
∴应做成长为米、宽为1米，才能使透光面积最大，最大透光面积是平方米.
1.用20cm长的绳子围成一个矩形，若这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x之间的函数关系式为（ C ）
A.S＝x（20－x） B.S＝x（20－2x）
C.S＝x（10－x） D.S＝2x（10－x）
2.如图1是一边靠围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成的一个矩形花圃，设矩形的边AB为x米，面积为S平方米，若要使矩形面积最大，则x的值为（ A ）
A.10 B.15 C.20 D.25
图1
C
A
3.如图2，农贸市场拟建两间矩形储藏室，储藏室的一面靠墙（墙长30m），中间用一面墙隔开，已知建筑材料可建墙的长度为42m，则这两间矩形储藏室的总占地面积的最大值为 147 m2.
图2
147
4.如图3是某小区一边利用足够长的墙，另三边用18米的篱笆围成的一个四边形花坛ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，且BC＝2AB.设AB边的长为x米，四边形ABCD的面积为S平方米.
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）
解：（1）由题意得BC＝2x米，CD＝（18－3x）米，
∴S＝（x＋18－3x）·2x＝－2x2＋18x；
图3
（2）当x的值为多少时，四边形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
解：（2）S＝－2x2＋18x＝－2（x－）2＋，
∵－2＜0，∴当x＝时，S的值最大，最大面积是平方米.
5.如图4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向点B以2米/秒的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向点C以4米/秒的速度移动（不与点C重合）.如果点P、Q分别从点A、B同时出发，设移动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米.
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
解：（1）由题意得，PB＝（12－2x）米，BQ＝4x米，
∵S△ABC＝×12×24＝144，
S△PBQ＝PB·BQ＝·4x（12－2x），
∴y＝S△ABC－S△PBQ＝4x2－24x＋144，
由，解得x＜6，
∴0＜x＜6，
∴y＝4x2－24x＋144（0＜x＜6）；
图4
（2）当x的值为多少时，y的值最小？最小值是多少？
解：（2）y＝4x2－24x＋144＝4（x－3）2＋108，
∵4＞0，
∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为108.
图4
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第3课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质（一）
第二十二章 二次函数
★二次函数y＝ax2＋k的图象与抛物线y＝ax2的开口方向、大小 完全相同 ，对称轴都是 y轴 ，只是位置不同，可由抛物线y＝ax2上下平移得到.
当k＞0时，抛物线y＝ax2向上平移｜k｜个单位，得到y＝ax2＋k的图象；当k＜0时，抛物线y＝ax2向下平移｜k｜个单位，得到y＝ax2＋k的图象.
★抛物线y＝ax2＋k的性质：若a＞0，则开口 向上 ，对称轴是y轴，顶点坐标为 （0，k） ，当x＞0时，y随x的增大而 增大 ，当x＜0时，y随x的增大而 减小 ；若a＜0，则开口 向下 ，对称轴是y轴，顶点坐标为 （0，k） ，当x＞0时，y随x的增大而 减小 ，当x＜0时，y随x的增大而 增大 .
完全相同
y轴
向上
（0，k）
增大
减
小
向下
（0，k）
减小
增大
例1 画出函数y＝－x2＋2与y＝x2－2的图象，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标，及两个图象之间的关系.
解：如图所示，
函数y＝－x2＋2的图象开口向下、顶点坐标为（0，2），对称轴是y轴；函数y＝x2－2的图象开口向上、顶点坐标为（0，－2），对称轴是y轴.
这两个图象之间的关系：形状和大小相同，开口方向相反，两个图象关于x轴对称.
1.函数y＝x2＋1的图象大致是（ B ）
A
B
C
D
2.下列函数的图象开口向上的有（ D ）
①y＝－5x2＋1；②y＝x2＋2；③y＝－3＋x2；④y＝x2＋2.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
D
3.函数y＝x2，y＝x2＋3，y＝x2－2.
（1）画出图象；
解：（1）如图所示；
（2）指出开口方向、对称轴和顶点坐标；
解：（2）y＝x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
y＝x2＋3的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，3）；
y＝x2－2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，－2）；
（3）试说出函数y＝x2＋5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：（3）y＝x2＋5的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，5）.
例2 （1）把抛物线y＝x2向下平移4个单位，所得的抛物线为 ；
答案：（1）y＝x2－4；
（2）把抛物线y＝x2－3向上平移5个单位，所得的抛物线为 .
答案：（2）y＝x2＋2.
4.要将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2＋5，则下列平移方法正确的是（ A ）
A.向上平移5个单位
B.向下平移5个单位
C.向左平移5个单位
D.向右平移5个单位
A
5.把抛物线y＝2x2－1向上平移一个单位长度后，所得抛物线的解析式为 y＝2x2 .
y＝2x2
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第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（一）
第二十二章 二次函数
★二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可化为 y＝a（x＋）2＋ ，因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x＝－ ，顶点坐标是 （－， .
★二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的性质：
y＝a（x＋）2＋
x＝－
（－， ）
（1）若a＞0，则开口 向上 ，当 x＜－ 时，y随x的增大而减小；当 ＞ － 时，y随x的增大而增大；当 x＝－ 时，y有最 小 值，为 ；
向上
x＜－
x＞－
x＝－
小
（2）若a＜0，则开口 向下 ，当 x＞－ 时，y随x的增大而减小；当 x＜－ 时，y随x的增大而增大；当 x＝－ 时，y有最 大 值，为 .
向下
x＞－
x
＜－
x＝－
大
例1 已知二次函数y＝－x2＋6x－10.
（1）利用配方法将它化为y＝a（x－h）2＋k的形式；
解：（1）y＝－x2＋6x－10＝－（x2－12x＋36）＋18－10＝－（x－6）2＋8；
（2）写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
解：（2）二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，8）；
（3）画出其图象，并写出其图象与二次函数y＝－x2的图象的关系.
解：（3）函数图象如图所示，
函数y＝－x2的图象向右平移6个单位，再向上平移8个单位即可得到函数y＝－x2＋6x－10的图象.
1.与抛物线y＝2x2＋3x＋1形状相同的抛物线的解析式为（ D ）
A.y＝1＋x2 B.y＝（2x＋1）2
C.y＝（x－1）2 D.y＝－2x2
2.抛物线y＝2x2－4x－2的对称轴是（ A ）
A.直线x＝1 B.直线x＝－1
C.直线x＝0 D.直线y＝1
3.将二次函数y＝－x2－x＋3化成y＝a（x－h）2＋k的形式是 y＝－（x＋2）2＋ ，该函数图象的顶点坐标是 （－2，4） .
D
A
y＝－（x＋2）2＋4
（－2，4）
4.通过配方，确定抛物线y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴、顶点坐标，再描点、连线、画图.
解：y＝－2x2＋4x＋6＝－2（x－1）2＋8，
抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，8），
当x＝－1或3时，y＝0，
当x＝0或2时，y＝6，
描点，连线，画图如图所示.
例2 如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P（－2，3）.
（1）求a的值和图象的顶点坐标；
【分析】（1）把P（－2，3）代入y＝x2＋ax＋3中，即可求出a，再写出顶点坐标；
解：（1）把P（－2，3）代入y＝x2＋ax＋3，
得4－2a＋3＝3，解得a＝2，
∴y＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，
∴图象的顶点坐标为（－1，2）；
【分析】（2）把m＝2代入解析式即可求n的值，由点Q到y轴的距离小于2，可得－2＜m＜2，结合图象求n的取值范围.
解： （2）①当m＝2时，n＝22＋2×2＋3＝11；
②∵点Q到y轴的距离小于2，
∴｜m｜＜2，∴－2＜m＜2，
由图可得，2≤n＜11.
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上.
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
5.一次函数y＝kx－3的图象与二次函数y＝x2＋2x＋c的图象交于点A（2，1），则k，c的值分别为（ C ）
A.2，7 B.－1，7
C.2，－7 D.－1，－7
6.二次函数y＝ax2＋x＋c2（a≠0）的大致图象可能是（ A ）
A
B
C
D
C
A
7.已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，则点A的坐标为 （ 2， .
8.已知抛物线y＝x2－x＋5.
（2，－9）
（1）求该抛物线的顶点坐标；
解：（1）∵y＝x2－x＋5＝ （x－1）2＋，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，）；
（2）判断点P（－2，5）是否在该抛物线上，请说明理由.
解：（2）点P（－2，5）不在该抛物线上，
理由：当x＝－2时，
y＝×（－2）2－（－2）＋5＝9，
∴点P（－2，5）不在该抛物线上.
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x过A（－1，m），B（4，n）两点.
（1）求直线AB的解析式；
解：（1）把x＝－1和x＝4分别代入抛物线解析式y＝x2－2x，
得m＝3，n＝8，
∴A（－1，3），B（4，8），
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
把A（－1，3），B（4，8）代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x＋4；
②设平移后抛物线与y轴交于点C，且S△ABC＝3S△ABO.
（2）平移抛物线，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线的解析式：
①平移后抛物线的顶点在直线AB上；
解：（2）当x＝0时，y＝0＋4＝4，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），
设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t＋4），
则平移后的抛物线的解析式为y＝（x－t）2＋t＋4，
当x＝0时，y＝（0－t）2＋t＋4＝t2＋t＋4，∴C（0，t2＋t＋4），
∵S△ABC＝3S△ABO，
S△ABO＝×4×（4＋1）＝10，
∴S△ABC＝·｜t2＋t＋4－4｜·（4＋1）＝30，
∴｜t2＋t｜＝12，
∵方程t2＋t＝－12没有实数解，
∴t2＋t＝12，解得：t1＝－4，t2＝3，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝（x＋4）2或y＝（x－3）2＋7.
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第15课时 《二次函数》单元小结与复习
第二十二章 二次函数
例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如表：
x －1 0 2 3 4
y 5 0 －4 －3 0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上的两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解：设抛物线的解析式为y＝ax（x－4），把（－1，5）代入，得5＝a×（－1）×（－1－4），
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x，①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝2，②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，③错误；
抛物线与x轴的两交点的距离是4，④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上的两点，则x2＜x1或x1＜x2，⑤错误.故选B.
1.二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是（ B ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线的顶点坐标是（1，1）
C.抛物线与x轴没有交点
D.当x＞－1时，y随x的增大而增大
B
2.将抛物线y＝5（x－1）2＋1先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ C ）
A.y＝5（x＋2）2＋3
B.y＝5（x－4）2－1
C.y＝5（x－4）2＋3
D.y＝5（x－3）2＋4
3.若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝－（x＋1）2＋2上，则下列结论正确的是（ A ）
A.2＞y1＞y2 B.2＞y2＞y1
C.y1＞y2＞2 D.y2＞y1＞2
C
A
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a＋2b＋c＜0；④2a＋b＝0.其中正确的结论有 ①②④ .（填序号）
图1
①②
④
例2 如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（0，3）两点，且其对称轴为直线x＝－1.
（1）求此抛物线的解析式；
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）（x＋3），
把B（0，3）代入，得3＝－3a，
解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
解：（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
将A（－3，0），B（0，3）代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x＋3，
如图，作PM∥y轴交AB于点M，
设P（x，－x2－2x＋3），则M（x，x＋3），
∴PM＝－x2－2x＋3－（x＋3）＝－x2－3x，
∴S△PAB＝（－x2－3x）×3＝－（x＋）2＋，
∴当x＝－时，S△PAB的值最大，为，
∴△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（－，）.
5.如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO＝2AO，CO＝BO，AB＝3，则下列判断中正确的是（ C ）
A.此抛物线的解析式为y＝x2＋x－2
B.当x＞0时，y随着x的增大而增大
C.此抛物线与直线y＝－只有一个交点
D.在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个
图2
C
6.如图3，二次函数y＝x2与一次函数y＝2x＋1的图象相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD的最大长度为 2 .
图3
2
例3 贫困户老王在精准扶贫工作队的帮扶下，在一片土地上种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克.今年正式上市销售，通过30天的试销发现：第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克，销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如表所示的关系：（x为整数）
时间x（天） 1≤x＜20 20≤x≤30
销售价格y（元/千克） －0.5x＋38 25
（1）试销中销售量p（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为 ；
解：（1）p＝4x＋16；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天利润w（元）最大？最大利润是多少元？
解：（2）①当1≤x＜20时，w＝（－0.5x＋38－18）（4x＋16）＝－2（x－18）2＋968，
∴此时当x＝18时，w的值最大，为968；
②当20≤x≤30时，w＝（25－18）（4x＋16）＝28x＋112，
∴此时当x＝30时，w的值最大，为952，
综上所述，第18天时，当天利润最大，最大利润是968元；
（3）求试销的30天中，当天利润不低于870元的天数共有几天？
解：（3）当1≤x＜20时，令－2（x－18）2＋968＝870，解得x1＝25，x2＝11，
∵－2＜0，∴当11≤x＜20时，w≥870，
∵x为正整数，
∴有9天利润不低于870元；
当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，
解得：x≥27，∴27≤x≤30，
∵x为正整数，
∴有3天利润不低于870元，
∴9＋3＝12天，
综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天.
7.如图4，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），若抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB的长为（ B ）
A.2.5米 B.3米
C.3.5米 D.4米
图4
B
8.从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的函数关系式为h＝－（t－3）2＋40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则抛出两个小球的间隔时间是（ B ）
A.1秒 B.1.5秒
C.2秒 D.2.5秒
B
9.某超市对进价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图5所示，则最大利润是（ C ）
A.180元 B.190元
C.200元 D.220元
图5
C
10.如图6，△OAB的OA边在x轴上，其中点B的坐标为（3，4），且OB＝BA.
（1）求经过A，B，O三点的抛物线的解析式；
解：（1）∵B（3，4），且OB＝BA，∴A（6，0），
设抛物线的解析式为y＝ax（x－6），
将（3，4）代入，得4＝－9a，
∴a＝－，∴y＝－x（x－6）＝－（x－3）2＋4；
图6
（2）将（1）中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A'，B'，已知四边形ABB'A'为菱形，求平移后抛物线的解析式.
解：（2）∵B（3，4），A（6，0），∴BA＝5，
∵四边形ABB'A'为菱形，
∴BB'＝BA＝5，
∴抛物线向右或向左平移5个单位，
①若抛物线沿x轴向右平移，
∴平移后抛物线的解析式为：
y＝－（x－8）2＋4；
②若抛物线沿x轴向左平移，
∴平移后抛物线的解析式为：y＝－（x＋2）2＋4.
图6
11.如图7，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；
解：（1）由题意可得，x（30－2x）＝72，
解得：x1＝3，x2＝12，
当x＝3时，30－2x＝24米＞18米，不符合题意，舍去，
当x＝12时，30－2x＝6米，符合题意，
∴x的值为12；
图7
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则当x取何值时，这个苗圃园的面积最大？最大面积是多少？
解：（2）设这个苗圃园的面积为S平方米，
则S＝x（30－2x）＝－2（x－）2＋，
∵8≤30－2x≤18，解得6≤x≤11，
∴当x＝时，S取最大值，为，
图7
答：当x的值为时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是平方米.
12.如图8，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）由题意得：A（4，0），C（0，3），
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2＋3，
把（0，0）代入，得0＝a（0－2）2＋3，
解得a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－（x－2）2＋3＝－x2＋3x；
图8
（2）求当PO＋PC的值最小时，点P的坐标；
解：（2）如图，连接PA，
图8
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴PA＝PO，∴PO＋PC＝PA＋PC，
∴当点P与点D重合时，PO＋PC的值最小，即最小值为AC的长，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
根据题意，得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋3，
当x＝2时，y＝，∴D（2，），
∴当PO＋PC的值最小时，P（2，）；
（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）存在.
由（1）知A（4，0），C（0，3），设P（2，m），Q（n，－n2＋3n），
①当AC为对角线时，有，解得，
∴P（2，0），Q（2，3）；
②当AP为对角线时，有，解得，
∴P（2，－6），Q（6，－9）；
图8
③当AQ为对角线时，有，解得，
∴P（2，－12），Q（－2，－9），
综上所述，P（2，0），Q（2，3）或P（2，－6），Q（6，－9）或P（2，－12），Q（－2，－9）.
图8
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第13课时 实际问题与二次函数（二）
第二十二章 二次函数
★利润问题常见等量关系：
（1）单件利润＝单件售价－ 单件成本 ＝单件进价× 单件利润率 ；
（2）总利润＝单件利润× 销售件数 ＝总售价－ 总成本 .
★在解决最大利润问题中能利用二次函数的 顶点坐标 确定利润的最大值，把最大利润问题转化为求函数的 顶点坐标 问题.
单件成本
单件利润率
销售件数
总成本
顶点坐标
顶点坐标
例1 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.如何定价才能使利润最大？
解：设涨价x元，利润为y元，
则y＝（60＋x－40）（300－10x）＝－10x2＋100x＋6000＝－10（x－5）2＋6250，
∵－10＜0，∴当x＝5，即每件售价为65元时，利润最大，为6250元；
设降价a元，利润为w元，
则w＝（60－a－40）（300＋20a）＝－20a2＋100a＋6000＝－20（a－2.5）2＋6125，
∵－20﹤0，∴当a＝2.5，即每件售价为57.5元时，利润最大，为6125元，
综上所述，当售价为每件65元时，利润最大.
1.出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出（6－x）个，当一天出售该种文具盒的总利润最大时，x的值为（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.某商店经营某种商品，每天获利y（元）与售价x（元/件）之间满足关系式y＝－x2＋80x－1000，则每天最多可获利 600 元，此时，售价是 40 元/件.
C
600
40
（1）若第二期甲种手机售完后的利润为8400元，为尽量节约成本，则甲种手机比第一期要增加多少部？
解：（1）由题意得（50＋x）（160－2x）＝8400，
解得x1＝10，x2＝20，
∵要减少成本，∴甲种手机比第一期要增加10部；
（2）当x为何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？
解：（2）由题意得W＝（50＋x）（160－2x）＝－2（x－15）2＋8450，
∵－2＜0，∴当x＝15时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润最大，最大利润是8450元.
3.某手机专营店，第一期进了甲种手机50部.根据售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部.调研发现：甲种手机每多进1部，平均利润减少2元/部.该店计划第二期进的甲种手机比第一期增加x部.
例2 某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为y＝2t＋100（1≤t≤80，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如表：
时间第t天 1 2 3 … 80
销售单价p（元/kg） 49.5 49 48.5 … 10
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式；
解：（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为p＝kt＋b，
将（1，49.5），（2，49）代入，
得，解得：，
∴销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为p＝－t＋50；
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
解：（2）设每天获得的利润为w元，由题意得：w＝（－t＋50－6）（2t＋100）＝－t2＋38t＋4400＝－（t－19）2＋4761，
∵－1＜0，
∴当t＝19时，w的值最大，为4761，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元.
4.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额y（元）与旅行团人数x（人）之间满足关系式y＝－2x2＋200x＋2500，要使所获营业额最大，则此旅行团应有（ C ）
A.30人 B.40人 C.50人 D.55人
5.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则销售此商品每天能获取的最大利润是 625元 .
C
625元
（1）求出销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
由题意得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋40；
6.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为10元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，且当x＝12时，y＝16；当x＝16时，y＝8.
（2）若每月的利润为Q（万元），求出利润Q（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，厂商每月能获得的利润最大？
解：（2）由题意得：Q＝（x－10）（－2x＋40）＝－2（x－15）2＋50，
∵－2＜0，∴当x＝15时，Q的值最大，为50，
∴Q与x之间的函数关系式为Q＝－2x2＋60x－400，
当销售单价为15元时，厂商每月能获得的利润最大.
7.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元.经试销发现，销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间符合的一次函数关系的图象如图所示.
（1）求y与x之间的函数解析式；
解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，
将（20，300）、（30，280）代入，
得：，解得：，
∴y＝－2x＋340（18≤x≤40）；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值.
解：（2）根据题意，得W＝（x－18）（－2x＋340）
＝－2（x－94）2＋11552，
∵－2＜0，
∴当x＜94时，W随x的增大而增大，
∴当x＝40时，W的值最大，为5720.
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第1课时 二次函数
第二十二章 二次函数
★二次函数定义：经化简后，形如y＝ ax2＋bx＋c （a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数，其中，x是 自变量 ， a 叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c 叫做常数项.
看一个函数是不是二次函数的关键是看二次项系数是否为0.
ax2＋bx＋c
自变量
a
b
c
例1 下列函数中：①y＝1－x2；②y＝；③y＝x（x－3）；④y＝ax2＋bx＋c；⑤y＝2x＋1，y是x的二次函数的有 .（填序号）
【分析】根据二次函数的定义进行判断.
答案：①③.
1.下列函数属于二次函数的是（ B ）
A.y＝x B.y＝2x2－1
C.y＝ D.y＝x2＋＋1
2.若函数y＝xm－1＋mx＋3是二次函数，则m的值为（ A ）
A.3 B.－3 C.2 D.3或－3
3.如果y＝（k－3）x2＋k（x－3）是二次函数，那么k需满足的条件是 k≠3 .
4.二次函数y＝x2＋4x－3中，当x＝－1时，y的值是 －6 .
5.指出二次函数y＝3x－5x2＋1的二次项系数、一次项系数及常数项.
解：二次项系数为－5，一次项系数为3，常数项为1.
B
A
k≠3
－6
例2 用一根长为800cm的木条做一个矩形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数关系式，并判断y是否是x的二次函数.
【分析】根据矩形的周长与面积公式，得出y与x之间的函数关系式，再判断函数的类型.
解：∵矩形的周长为800cm，宽为xcm，
∴矩形的长为cm，
∴y＝x·＝－x2＋400x（0＜x＜400），
∴y是x的二次函数.
6.在边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，设剩余部分的面积为y，则y关于x的函数解析式为（ B ）
A.y＝x2 B.y＝4－x2
C.y＝x2－4 D.y＝4－2x
7.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放y辆单车，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数关系式是 （ A ）
A.y＝a（1＋x）2 B.y＝a（1－x）2
C.y＝（1－x）2＋a D.y＝x2＋a
B
A
8.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m，若长方体的长和宽用x（m）表示，长方体需涂油漆的表面积S（m2）可表示为 S＝6x2＋2x .
9.如果梯形的上底为5cm，下底和高均为xcm，那么梯形的面积S（cm2）与高x（cm）之间的函数关系式为 S＝ ，其中 x 是自变量， S 是 x 的 二次 函数.
S＝6x2＋2x
S＝
x
S
x
二次
（1）求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
解：（1）S＝（24－3x）x＝－3x2＋24x，
∵24－3x＞0，且x＞0，
∴0＜x＜8，
∴S与x之间的函数关系式为：S＝－3x2＋24x（0＜x＜8）；
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围.
解：（2）由题意得，0＜24－3x≤9，
解得5≤x＜8.
10.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
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第4课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质（二）
第二十二章 二次函数
★二次函数y＝a（x－h）2的图象与抛物线 y＝ax2 形状相同，只是位置不同，可由抛物线y＝ax2左右平移得到：当h＞0时，抛物线向 右 平移｜h｜个单位，得到y＝a（x－h）2的图象；当h＜0时，抛物线向 左 平移｜h｜个单位，得到y＝
a（x－h）2的图象.
★抛物线y＝a（x－h）2的性质：若a＞0，则开口 向上 ，对称轴是 直线x ，顶点坐标为 （h，0） ，当x＞h时，y随x的增大而 增大 ，当x＜h时，y随x的增大而 减小 ；若a＜0，则开口 向下 ，对称轴是 直线x＝h ，顶点坐标为 （h，0） ，当x＞h时，y随x的增大而 减小 ，当x＜h时，y随x的增大而
.
y＝ax2
右
左
向上
直线x＝h
（h，0）
增大
减小
向下
直线x＝h
（h，0）
减小
增大
例1 画出函数y＝－（x＋2）2与y＝－（x－1）2的图象，并写出其开口方向、对称轴与顶点坐标.
解：列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 …
y＝－（x＋2）2 … －1 －0.25 0 －0.25 －1 …
x … －1 0 1 2 3 …
y＝－（x－1）2 … －1 －0.25 0 －0.25 －1 …
描点，连线，如图所示：
开口都是向下，函数y＝－（x＋2）2图象的对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为（－2，0）；函数y＝－（x－1）2图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0）.
1.函数y＝－（x－1） 2的大致图象为（ D ）
A
B
C
D
2.已知函数y＝2（x－3）2，当x＜m时，y随x的增大而减小，当x＞m时，y随x的增大而增大，则m＝ 3 .
D
3
（1）y＝2（x＋1）2；
解：（1）函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，0）；
解： （2）函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为（5，0）.
（2）y＝－4（x－5）2.
3.确定下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.
例2 已知一条抛物线的开口方向和形状与y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝（x＋2）2相同.
（1）这条抛物线的解析式为 ；
答案：（1）y＝3（x＋2）2；
（2）将这条抛物线向右平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为 ；
答案：（2）y＝3（x－2）2；
（3）与这条抛物线的顶点相同，开口方向相反的抛物线的解析式为 ；
答案：（3）y＝－3（x＋2）2；
（4）将这条抛物线沿y轴对折，所得到的新抛物线解析式为 .
答案：（4）y＝3（x－2）2.
4.将函数y＝－2（x＋2）2的图象向右平移2个单位，得到抛物线的解析式为 y＝－ .
5.将抛物线y＝ax2向右平移后所得抛物线的顶点的横坐标为3，且新抛物线经过点（－1，－4），求a的值.
解：由题意得，新抛物线的解析式为y＝a（x－3）2，
∵新抛物线经过点（－1，－4），
∴－4＝a×（－1－3）2，
解得a＝－.
y＝－2x2
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第14课时 实际问题与二次函数（三）
第二十二章 二次函数
★用函数的思想方法解决抛物线型的生活实际问题的方法：（1）建立恰当的 平面直角坐标系 ；（2）根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出 二次函数的关系式 ；（3）根据所求得的函数关系式解决有关问题.
同一问题，所建立的直角坐标系不同，所得抛物线的解析式也 不同 .
平面直角坐标系
二次函数的关系式
不同
例1 图①是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）.
图① 图②
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），
设抛物线的解析式是y＝a（x－5）2＋5，把（0，1）代入，
得25a＋5＝1，解得a＝－，
∴y＝－（x－5）2＋5（0≤x≤10）；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离.
解：（2）由题意知：两盏景观灯的纵坐标都是4，∴－（x－5）2＋5＝4，
解得x＝或，
∴两盏景观灯之间的水平距离为－＝5米.
图①
图②
1.如图1，是一抛物线形拱桥，桥下有小河，当水面在AB位置时，拱顶O高出水面2米，水面宽4米，则当水面下降1米后，水面宽为（ C ）
A.6米
B.米
C.2米
D.4米
图1
C
2.如图2，某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度是多少？（精确到0.1米）
图2
解：如图，以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，则抛物线过O（0，0），E（8，0），A（1，4），B（7，4）四点，
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，代入E（8，0），A（1，4），
得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x，
当x＝4时，y＝－＋＝≈9.1，
答：校门的高度约是9.1米.
例2 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮框中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮框距地面3m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：（1）根据题意，球的出手点、最高点和篮框的坐标分别为（0，），（4，4），（7，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x－4）2＋4，
将（0，）代入，解得a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－（x－4）2＋4，
当x＝7时，y＝－（7－4）2＋4＝3，
∴点（7，3）在抛物线上，
∴此球一定能投中；
（2）此时，如果对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功？
解：（2）能拦截成功.理由如下：
将x＝1代入y＝－（x－4）2＋4，
得y＝3，
∵3m＜3.1m，∴他能拦截成功.
3.如图3，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t－4.9t2可以描述他跳跃时重心高度h（m）随时间t（s）的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是（ D ）
A.0.71s B.0.70s
C.0.63s D.0.36s
图3
D
4.如图4，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子.
（1）选取合适的点作为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式；
解：（1）如图，以地面为x轴，两棵树间距离的中点为原点，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，
将（－0.5，1）、（1，2.5）代入，
得，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5；
图4
（2）求绳子的最低点距地面的距离.
解：（2）当x＝0时，y＝0.5，
∴绳子的最低点离地面的距离为0.5米.
图4
5.长沙为构建“魅力雨花，和谐雨花，人文雨花”，规划在圭塘河上修建一座观光人行桥（如图①），此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正规图如图②所示，已知桥面上三组拱桥都为相同的抛物线y＝－（x－k）2＋t的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面的距离）为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B.
①
②
图5
（1）求桥长AB；
解：（1）如图，以线段AC的中垂线为y轴，桥面AB为x轴，建立平面直角坐标系，
∵抛物线的顶点坐标为（0，16），∴y＝－x2＋16，
令y＝0，解得x1＝16，x2＝－16，
∴A（－16，0），C（16，0），∴AC＝32米，∴AB＝3AC＝96米，
答：桥长AB为96米；
①
②
图5
（2）已知一组桥拱的造价为a万元，桥面每米的平均造价为b万元.若一组桥拱的造价为整个桥面造价的，这座观光桥的总造价为504万元，求a，b的值.
解：（2）由题意得，解得，
即a的值为72，b的值为3.
①
②
图5
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第2课时 二次函数y＝ax2的图象与性质
第二十二章 二次函数
★函数y＝ax2的图象是 抛物线 ，它关于 y轴 对称，它的顶点坐标是 （0，0） ，｜a｜越大，抛物线的开口 越小 .
★当a＞0时，抛物线y＝ax2开口 向上 ，在对称轴的左边，y随x的增大而 减小 ；在对称轴的右边，y随x的增大而 增大 ， （0，0） 是抛物线上位置最低的点.
★当a＜0时，抛物线y＝ax2开口 向下 ，在对称轴的左边，y随x的增大而 增大 ；在对称轴的右边，y随x的增大而 减小 ， （0，0） 是抛物线上位置最高的点.
抛物线
y轴
（0，0）
越小
向上
减
小
增大
（0，0）
向下
增
大
减小
（0，0）
例1 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出其开口方向和开口大小.
（1）y＝4x2；（2）y＝－4x2；（3）y＝x2.
解：列表：
x … －1 － 0 1 …
y＝4x2 … 4 1 0 1 4 …
y＝－4x2 … －4 －1 0 －1 －4 …
x … －4 －2 0 2 4 …
y＝x2 … 4 1 0 1 4 …
描点、连线如图所示，
函数y＝4x2和y＝x2的图象开口向上，函数y＝－4x2的图象开口向下，函数y＝4x2和y＝－4x2的图象开口大小相同，函数y＝x2的图象开口较大.
1.二次函数y＝－x2的大致图象是（ D ）
A
B
C
D
2.两个二次函数的图象如图所示，其中一个是y＝x2，另一个是y＝ax2，则a的取值可能为（ A ）
A.1 B. C. D.－
D
A
3.先画出函数y＝3x2与y＝－3x2的图象，然后结合图象回答下列问题：
（1）函数y＝3x2的最小值是多少？
（1）函数y＝3x2的最小值是0；
（2）函数y＝－3x2的最大值是多少？
（2）函数y＝－3x2的最大值是0；
（3）怎样判断函数y＝ax2有最大值还是最小值？
解：函数图象如图所示，
（3）当a＞0时，y＝ax2有最小值，
当a＜0时，y＝ax2有最大值.
例2 已知y＝（2－a）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，求a的值.
解：由题意得：a2－7＝2且2－a≠0，
解得：a＝±3，
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴2－a＞0，即a＜2，
∴a＝－3.
4.对于函数y＝－x2的图象，下列说法不正确的是（ D ）
A.开口向下
B.顶点为（0，0）
C.对称轴为直线x＝0
D.y随x的增大而减小
D
5.若函数y＝（m－1）是二次函数，且其图象开口向下，则m＝ －2 .
－2
（1）求当x＝－2时，y的值；
解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得，a＝，
∴二次函数的表达式为y＝x2，
∴当x＝－2时，y＝×（－2）2＝；
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
解：（2）函数y＝x2图象的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），
∵y＝x2，a＝＞0，
∴图象开口向上.
6.已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
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第10课时 专题二次函数与几何变换
第二十二章 二次函数
★二次函数中的几何变换包括抛物线的平移、旋转、轴对称（翻折），以及以二次函数为基架的几何图形的平移、旋转、轴对称，解题时既要应用二次函数的图象与性质，又要考虑几何变换的相应知识.
类型一：抛物线的平移、对称
例1 把抛物线y＝2x2－4x＋1向右平移2个单位，再把所得的抛物线沿x轴翻折，求此时对应的抛物线的解析式.
解：∵y＝2x2－4x＋1＝2（x－1）2－1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，－1），
∴抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为（3，－1），
∵把所得的抛物线沿x轴翻折，
∴新抛物线的顶点坐标为（3，1），
∴新抛物线的解析式为y＝－2（x－3）2＋1.
1.将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线y＝2（x＋3）2＋4，则原抛物线的解析式为（ A ）
A.y＝2x2＋2 B.y＝2（x＋6）2＋2
C.y＝2x2＋6 D.y＝2（x＋6）2＋6
2.已知抛物线y＝－2x2＋2x－3，将此抛物线沿y轴对折，得到新抛物线的解析式为 y＝－2x2－2x－3 .
A
y＝－2x2－2x－3
类型二：二次函数与几何变换综合题
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）把A（－1，0）和B（0，）代入y＝－x2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋；
（2）求线段CD的长；
解：（2）∵y＝－（x－2）2＋，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图1，设CD＝t，则D（2，－t），
由题意得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2＋t，－t），
把P（2＋t，－t）代入y＝－x2＋2x＋，
得－（2＋t）2＋2（2＋t）＋＝－t，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴D（2，），CD＝2；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，此时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标.
解：（3）由（2）知，P（4，），D（2，），
∵抛物线顶点C（2，）平移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
∴E（2，－2），
如图2，以O、D、E、M为顶点的四边形是梯形，
∴S梯形＝（OM＋）×2＝8，
解得OM＝，
∴点M的坐标为（0，）或（0，－）.
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）把A（－1，0）和B（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
（2）求点P的坐标；
解：（2）∵y＝－（x－1）2＋4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图1，设CD＝t，则D（1，4－t），
由题意得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（1＋t，4－t），
把P（1＋t，4－t）代入y＝－x2＋2x＋3，
得－（1＋t）2＋2（1＋t）＋3＝4－t，
解得t1＝0（舍去），t2＝1，∴P（2，3）；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，此时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）存在，
由（2）知，P（2，3），C（1，4），
∵抛物线顶点C（1，4）平移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移1个单位，向下平移4个单位，
∴E（1，－1），
如图2，作点E关于y轴的对称点F，连接PF交y轴于点M，连接ME，此时MP＋ME＝MP＋MF＝PF的值最小，则F（－1，－1），
设直线PF的解析式为y＝kx＋n，
将P（2，3）、F（－1，－1）代入，
得，解得，
∴直线PF的解析式为y＝x＋，
∴点M的坐标为（0，）.
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第8课时 二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
★二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与 x 轴的交点的 横 坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.
抛物线与x轴交点的纵坐标为 0 ，在求抛物线与x轴的交点坐标时，可令y＝ 0 ，得到一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） .若此方程的解为x1、x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与 x 轴的交点坐标为 （x1，0） ， （x2，0） .
反过来，若知道抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），则对应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 的根为x1，x2.
★抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点情况：
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有 2 个交点；
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有 1 个交点；
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴 没有 交点.
x
横
0
0
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
x
（x1，0）
（x2，0）
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
2
1
没有
例1 已知y＝x2－kx＋3k－9是y关于x的二次函数.
（1）求证：无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有交点；
【分析】（1）计算出Δ的值为非负数即可证明；
（1）证明：当y＝0时，x2－kx＋3k－9＝0，
∵Δ＝（－k）2－4（3k－9）＝（k－6）2≥0，
∴无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有交点；
（2）若该函数图象的顶点在坐标轴上，试确定k的值.
【分析】（2）需要分顶点坐标在x轴和y轴上两种情况进行讨论.
（2）解：分两种情况：
①二次函数y＝x2－kx＋3k－9图象的顶点在x轴上，
则Δ＝（k－6）2＝0，解得k＝6；
②二次函数y＝x2－kx＋3k－9图象的顶点在y轴上，
则－＝0，解得k＝0，
综上所述，当该函数图象的顶点在坐标轴上时，k的值为6或0.
1.抛物线y＝x2＋2x与x轴的交点坐标是（ C ）
A.（0，0）
B.（2，0）
C.（0，0），（－2，0）
D.（0，0），（2，0）
2.若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴只有一个交点，则m的值为（ D ）
A.－6 B.6 C.3 D.9
3.抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点有 2 个.
4.已知抛物线y＝x2－4x＋3，则该抛物线与y轴的交点坐标是 （0，3） ，与x轴的交点坐标是 （1，0），（3，0） .
C
D
2
（0，3）
（1，0），（3，0）
5.已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（0，－8），B（－2，0）.
（1）求此抛物线的解析式；
（1）解：将A（0，－8）、B（－2，0）代入y＝x2＋bx＋c，得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8；
（2）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）证明：当y＝0时，x2－2x－8＝0，
∵Δ＝（－2）2－4×1×（－8）＝36＞0，
∴该抛物线与x轴一定有两个交点.
例2 已知二次函数y＝－x2－2x＋2.
（1）填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y … －6 －1 2 3 2 － 1 －6 …
【分析】（1）根据函数解析式可完成表格，再根据表格中x、y的对应值可画函数图象；
解：（1）如表所示，所画图象如题图所示；
－6
－1
2
3
2
－1
－6
（2）结合函数图象，直接写出方程－x2－2x＋2＝0的近似解在哪两个连续整数之间.
【分析】（2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根.
（2）由图象可知，方程－x2－2x＋2＝0的两个近似根分别在－3～－2之间和0～1之间.
6.根据如表所示的对应值：
x 3 4 5
y＝ax2＋bx＋c 0.5 －0.5 －1
判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的范围是（ D ）
A.x＜3 B.x＜2
C.4＜x＜5 D.3＜x＜4
D
7.已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是 x1＝－1，x2＝3 .
x1＝－1，x2＝3
8.画出函数y＝x2－4的图象.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
解：（1）函数y＝x2－4的图象如图所示，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（－2，0），（2，0）；
（2）当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？
解：（2）当x＜－2或x＞2时，y＞0；
当－2＜x＜2时，y＜0.
9.已知关于x的函数y＝－x2－2ax＋＋3.
（1）当a＝1时，求满足y≥的x的取值范围；
解：（1）当a＝1时，函数y＝－x2－2x＋，
令y＝，即－x2－2x＋＝，
解得：x1＝－3，x2＝1，
∵a＝－1＜0，∴抛物线开口向下，
∴满足y≥的x的取值范围是－3≤x≤1；
（2）若关于x的方程－x2－2ax＋＋3＝0的两个根满足x2－＝1，求实数a的值；
解：（2）由根与系数的关系得：x1＋x2＝－2a，x1x2＝－－3，
∵x2－＝1，∴x1x2－x2＝x1，
∴x1x2＝x1＋x2，
∴－－3＝－2a，解得a＝2；
（3）当0≤x≤1时，函数y＝－x2－2ax＋＋3的最大值为5，求实数a的值.
解：（3）∵y＝－x2－2ax＋＋3＝－（x＋a）2＋a2＋＋3，
∴函数图象的对称轴为直线x＝－a，
①若0≤－a≤1，即－1≤a≤0，
则当x＝－a时，y有最大值5，此时a2＋＋3＝5，
解得a＝（舍去）；
②若－a＜0，即a＞0，
则当x＝0时，y有最大值5，此时＋3＝5，
解得a＝4；
③若－a＞1，即a＜－1，
则当x＝1时，y有最大值5，此时－1－2a＋＋3＝5，
解得a＝－2，
综上所述，实数a的值为4或－2.
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