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第5课时 关于原点对称的点的坐标
第二十三章 旋 转
★两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 相反 ，即点P（x，y）关于原点的对称点为点 P'（－x，－y） .
相反
P'（－x，－y）
例1 如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标.
【分析】根据直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点确定原图形的顶点的对应点，即可作出所求图形.
解：根据图形可知：A（－2，2），B（－3，0），C（－1，－1），各点关于原点对称的点的坐标分别是A1（2，－2），B1（3，0），C1（1，1），然后依次连接三点，即可得如图所示图形.
1.在平面直角坐标系中，与点（4，－5）关于原点对称的点的坐标是（ B ）
A.（－4，－5） B.（－4，5）
C.（4，－5） D.（4，5）
2.在平面直角坐标系中，点P（－3，m2＋1）关于原点对称的点在（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若点（－m，n＋3）与点（2，－2m）关于原点对称，则m＝ 2 ，n＝ 1 .
B
D
2
1
图1
4.已知点M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，按要求在图1中作出△MNP，并求出△MNP的面积.
解：如图所示，△MNP即为所求，
∵点N是点M关于原点的对称点，
∴N（－3，－4），
∴NP＝6，MP＝8，
∴S△MNP＝NP·MP＝24.
例2 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
（1）作△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）作△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）请直接判断四边形CBC2B2的形状.
解：（3）四边形CBC2B2是平行四边形.
5.若P（1，2）关于x轴对称的点为P1，若点P1关于y轴对称的点为P2，则点P与点P2关于原点成 中心 对称.
6.在图2中，画出△ABC关于坐标原点O对称的△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积.
中心
解：如题图所示，△A1B1C1即为所求，
＝3×3－×1×3－×1×2－×2×3＝3.5.
图2
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第3课时 中心对称
第二十三章 旋 转
★把一个图形绕着某个点旋转 180° ，如果它能够与另一个图形 重合 ，那么就说这两个图形中心对称（又说关于这个点对称），这个点就叫做 对称中心 .这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做 关于对称中心的对称点 .
★中心对称的性质：中心对称的两个图形是 全等图形 ，对称点连线都经过 对称中心 ，对称点连线被对称中心 平分 .
180°
重合
对称中
心
关于对称中心的对称点
全等图形
对称中心
平分
例1 如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB＝6，∠BAC＝40°，则CD的长度为 ，∠ACD的度数为 .
【分析】根据中心对称图形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质求得AB＝DC＝6，∠BAC＝∠ACD＝40°.
答案：6，40°.
1.如图1，△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称，下列结论不一定成立的是（ B ）
A.OA＝OA' B.∠ABC＝∠A'C'B'
C.BC＝B'C' D.OC＝OC'
图1
B
2.如图2，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 180 °后能与△DEF重合.
图2
180
3.如图3，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：DF＝BE.
图3
证明：∵△ABO与△CDO关于点O中心对称，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，∴FO＝EO，在△FOD和△EOB中，，
∴△FOD≌△EOB（SAS），
∴DF＝BE.
例2 如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，并补全△A'B'C'.
【分析】连接BB'，CC'交于点O，点O即为对称中心，作出点A关于点O的对称点A'，连接A'B'，A'C'即可.
解：如图，△A'B'C'即为所求.
4.下列图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（ D ）
A
B
C
D
5.下列图形中成中心对称的有（ C ）
①
②
③
④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
C
6.英文大写字母W是轴对称图形，将这个字母绕着它的对称轴上的任一点O，旋转180°会得到字母 M .
7.请把图4补成以点A为对称中心的中心对称图形.
图4
解：如图所示：
M
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第7课时 专题旋转中的几何模型
第二十三章 旋 转
★手拉手模型：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点，可以根据“边角边”证明三角形全等.口诀：“左手拉左手，右手拉右手”“等线段，共端点，特殊角，全等现”.
★半角模型：大角含半角＋有相等的边，通过旋转使相等的边重合，拼出特殊角.口诀：“半角旋转，二次全等”.
类型一：手拉手模型
例1 如图①，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2，BD＝2.现将等边△BDE从图①位置开始绕点B顺时针旋转，如图②，直线AD、CE相交于点P.
（1）在等边△BDE的旋转过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；
解：（1）AD＝CE，理由如下：
∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；
（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；
解：（2）由题意得，当BD⊥AD时，点B到直线AD的距离最大，
如图1，过点P作PQ⊥DE于点Q，
∵∠BDE＝60°，
∴∠EDP＝90°－∠BDE＝30°，
由（1）得△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BEC＝∠BDA＝90°，EC＝AD，
在Rt△ABD中，∵BD＝2，AB＝2，
∴AD＝＝2，∴CE＝2，
∵∠DEP＝∠BEC－∠BED＝30°，
∴DP＝EP，∴EQ＝DE＝1，
在Rt△EQP中，∠PEQ＝30°，
∴EP＝×2＝，
∴PC＝2－；
（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长.
解：（3）①当点D在线段AE上时，如图2，过点B作BF⊥AE于点F，
在Rt△BDF中，∵∠BDF＝60°，BD＝2，
∴DF＝1，BF＝，
∴在Rt△ABF中，AF＝＝，
∴AD＝AF－DF＝－1，
∴CE＝AD＝－1；
②当点D在AE的延长线上时，如图3，过点B作BF⊥AD于点F，
同①理得，AF＝，DF＝1，
∴AD＝AF＋DF＝＋1，
∴CE＝AD＝＋1，
综上所述，CE的长为－1或＋1.
1.如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC.其中正确的有（ C ）
A.①②③④ B.②③
C.②③④ D.③④
图1
C
2.如图2，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，若AD＝5，BD＝12，则DE的长为 13 .
图2
13
类型二：半角模型
例2 如图，四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°.若点E、F分别在边CB、DC延长线上，求证：EF＝DF－BE.
证明：如图，在DF上截取DM＝BE，连接AM，
∵AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，BE＝DM，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，
∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF＝45°，
∴∠BAF＋∠DAM＝45°，
∴∠MAF＝90°－∠BAF－∠DAM＝45°，
∴∠EAF＝∠MAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AMF（SAS），∴EF＝FM，
∵DF＝DM＋FM＝BE＋EF，
∴EF＝DF－BE.
3.如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.
图3
证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC＋∠D＝∠ABM＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABM，
在△ABM与△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAD，
∴∠MAE＝∠BAM＋∠BAE＝∠EAF，
在△AME与△AFE中，，
∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，
∵ME＝BE＋BM＝BE＋FD，∴EF＝BE＋FD.
图3
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第8课时 《旋转》单元小结与复习
第二十三章 旋 转
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，A（0，4），B（－2，4），将△ABC绕点P旋转180°后得到△A'B'C'，其中点B的对应点B'的坐标为（2，2）.
（1）求点C的坐标；
解：（1）∵A（0，4），B（－2，4），
∴AB∥x轴，AB＝2，
∵∠B＝90°，AB＝BC，∴C（－2，2）；
（2）求点P与点C的对应点C'的坐标.
解：（2）由旋转得：A'B'＝B'C'＝2，
∵B'（2，2），∴A'（0，2），C'（2，4），
∴P（0，3）.
1.在平面直角坐标系中，将点A（1，2）绕点P（－1，1）顺时针旋转90°到点A'处，则点A'的坐标为（ B ）
A.（－2，3） B.（0，－1）
C.（1，0） D.（－3，0）
B
2.如图1，在平面直角坐标系中，线段AB的端点在格点上，将AB绕点P旋转一定的角度，得到线段A'B'，求点P的坐标.
图1
解：如图，连接BB'，作AA'，BB'的垂直平分线交于点P，
∴点P的坐标为（－1，2）.
例2 将两块全等的三角板按如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；
解：（1）由题意得∠ACA1＝∠BCA1＝45°，AC＝A1C，∠A＝∠A1，
∴△ACP1≌△A1CQ（ASA），∴CP1＝CQ；
解：（2）如题图②，过点P1作P1E⊥AC于点E，
∵∠A＝30°，AP1＝4，∴P1E＝2，
∵∠ACA1＝45°，∴CE＝P1E＝2，
∴P1C＝2，∴CP1＝CQ＝2.
（2）在图②中，若AP1＝4，则CQ的长为多少？
3.如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE＝ 80° .
图2
80°
4.如图3，点O在等边△ABC内，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C顺时针旋转后，得△ADC，连接OD.
（1）△COD是 三角形；
解：（1）等边；
图3
（2）若OB＝5，OC＝3，求OA的长.
解：（2）∵△COD是等边三角形，
∴OD＝OC＝3，∠CDO＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，
∴AO＝＝.
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第4课时 中心对称图形
第二十三章 旋 转
★把一个图形绕着某一个点旋转 180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合 ，那么这个图形叫做 中心对称图形 ，这个点就是它的 对称中心 .
注意：中心对称是指两个图形的特殊位置关系，而中心对称图形只对某一图形而言.
180°
重合
中心对称图形
对称中心
例1 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
A
B
C
D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别进行判断.
解：轴对称图形的是选项B、C、D，中心对称图形的是选项A、D，故选D.
1.近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ D ）
A
B
C
D
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ C ）
A
B
C
D
D
C
3.中国汉字有许多具有几何图形的特征，观察“羊、士、国、田、吕、旦”这6个汉字，其中 田 字可以看成中心对称图形.
4.找出图1中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形.
解：如图，旋转中心是该图的几何中心，即点O.该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，因此，它是中心对称图形.
田
图1
例2 在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性.如图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形.
【分析】根据整个图形的中心对称性，画90°的扇形及线段.
解：如图所示.
5.不考虑颜色，对图2的对称性表述正确的是（ B ）
A.轴对称图形
B.中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形
图2
B
6.在我国的建筑中，很多建筑图形具有对称性，如图3是一个破损瓷砖的图案，请把它补画成中心对称图形.
图3
解：根据中心对称图形的性质直接画出即可，如图所示：
7.如图4，是5个全等的小正方形组成的图案，请用两种不同的方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案成为中心对称图形.
图4
解：如图所示：
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第2课时 图形的旋转（二）
第二十三章 旋 转
★旋转的性质：对应点到旋转中心的距离 相等 ，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角 ，旋转前后的图形 全等 .
提示：在旋转的过程中，图形上每一点都绕 旋转中心 沿相同的 方向 旋转 相同 的角度，这个角度就是 旋转角 ，旋转中心是唯一不动的点.
相等
旋转角
全等
旋转中心
方向
相同
旋转角
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A、B的对应点分别是点D、E，请直接画出旋转后的三角形简图，并求点A与点D之间的距离.（不要求尺规作图）
解：如图所示，△CDE即为所求，连接AD，
在Rt△ABC中，AC＝＝3，
由旋转得，CD＝AC＝3，∠ACD＝90°，
∴AD＝＝3.
1.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ C ）
A
B
C
D
C
2.如图1，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星绕中心O至少要旋转 72 度才能和自身重合.
图1
72
3.如图2，画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到的△OA1B1.
图2
解：如图所示，△OA1B1即为所求.
例2 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，将△ADC绕点A按逆时针旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连接CF，则CF的长为 （ ）
A.5 B.3 C.4 D.5
解：由题意得△ADC≌△AEF，
∴∠EAF＝∠DAC，AF＝AC，
∴∠FAC＝∠BAC＋∠EAF＝∠BAC＋∠DAC＝∠BAD＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝＝5，
∴AF＝AC＝5，
在Rt△FAC中，CF＝＝5，
故选D.
4.如图3，在矩形ABCD中，AD＝5，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为（ A ）
A.5 B.5 C.8 D.10
图3
A
5.如图4，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，恰好使得DC∥AB，则∠CAE的度数为 30° .
图4
30°
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第6课时 课题学习图案设计
第二十三章 旋 转
★利用 平移 、 轴对称 和 旋转 中的一种进行图案设计，还可以利用它们的 组合 进行图案设计.
★图案设计一般应符合如下的要求：
（1）有 美感 ；（2）符合 题意 ；（3）叙述 准确 .
平移
轴对称
旋转
组合
美感
题意
准确
例1 观察图形，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程.
【分析】先确定基本图形，再根据基本图形按照平移、旋转、轴对称变化确定形成过程.
解：先把图形 先向左平移得到 ，再利用轴对称变换得到 ，然后利用旋转变换得到最终图形.（答案不唯一）
1.如图1，既可用旋转，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ A ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
图1
A
2.如图2，风车图案的形成是通过基本图形的 旋转 得到的.
图2
旋转
3.欣赏如图3所示的图案，并用两种方法分析图案的形成过程.
图3
解：以图形正中间的水平的线段为对称轴，进行一次轴对称变换；
以图形几何中心为旋转中心，把其中一个图形按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°即可得到.
例2 如图所示的图案是由一个怎样的基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的呢？请你用基本图形 经过旋转、平移和轴对称设计一个美丽的图案.
解：题目的图案可看作是基本图形（如图1）依次向右平移得到的；
设计的图案如图2所示.
（答案不唯一）
4.下列图案是某种衣物的洗涤说明标识，其中没有用到图形的平移，旋转或轴对称设计的是（ C ）
A
B
C
D
C
5.在图4中填上阴影，使它成为旋转对称图形但不是中心对称图形.
图4
解：如图所示：
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第1课时 图形的旋转（一）
第二十三章 旋 转
★把一个 平面图形 绕着平面内某一点O转动 一个角度 ，这样的图形变换叫做旋转，点O叫做 旋转中心 ，转动的角叫做 旋转角 .如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的 对应点 .
★旋转变换的三要素： 旋转中心 、 旋转方向 、 旋转角 .
平面图形
一个角度
旋转中心
旋转角
对应点
旋转中心
旋转方向
旋转角
例1 ①我们小时候都荡过秋千；②在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来；③如图，单摆上小木球会从位置A运动到位置A'.这几种运动是做直线运动还是做曲线运动？这些运动有何共同点？
【分析】先根据运动的路线分析作答，再根据运动特点分析归纳共同点.
解：上述几种运动是做曲线运动，运动共同点是属于旋转.
1.下列运动形式属于旋转的是（ C ）
A.在空中上升的氢气球
B.飞驰的火车
C.时钟上钟摆的摆动
D.运动员掷出的标枪
C
2.将图形 按顺时针方向旋转90°后得到的图形是（ B ）
A
B
C
D
3.已知时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了 60 度.
4.观察如图1所示的变化规律，在横线处填上适当的图形.
图1
B
60
例2 如图，△AOC逆时针旋转到△BOD，其中∠AOC＝120°，点A、O、D在同一直线上.
（1）旋转中心是哪一点？并指出对应点；
【分析】（1）根据旋转前后的图形分析找出旋转中心和对应点；
解：（1）由已知可得旋转中心为点O，点A与点B、点C与点D、点O与点O为对应点；
（2）指出旋转角，旋转角度是多少度？
【分析】（2）由平角的定义可求得旋转角度.
（2）旋转角是∠AOB或∠COD，
∵∠AOC＝120°，∴∠COD＝60°，
∴旋转角度为60°.
5.△ABC按顺时针方向旋转一个角度后得到△AB'C'，则旋转中心是（ A ）
A.点A B.点B C.点C D.点B'
6.如图2，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角度是 120° .
图2
A
120°
7.如图3，阴影部分由哪块图形旋转而成？指出旋转中心及旋转角度.
图3
解：如图所示，
不含小圆O的空白部分用A表示，阴影部分用B表示，把A绕圆心O旋转180°可得到B，
∴旋转中心是圆心O，旋转角度为180°.
谢 谢 观 看
