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第4课时 圆周角
第二十四章 圆
★顶点在 圆上 ，并且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角.
★同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于 这条弧所对的圆心角的一半 .半圆（或直径）所对的圆周角是 直角 ，90°的圆周角所对的弦是 直径 .
★如果一个多边形的所有顶点都在 同一个圆上 ，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 外接圆 ；圆内接四边形的对角 互补 .
圆上
相交
相等
这条弧所对的圆心角的一半
直角
直径
同一个圆上
外接圆
互补
例1 如图，点A、P、B、C在☉O上，且∠APC＝∠CPB＝60°.
（1）判定△ABC的形状，并证明你的结论；
解：（1）△ABC是等边三角形，
证明：由圆周角定理得，
∠ABC＝∠APC＝60°，
∠CAB＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）若☉O的半径为2，求AB的长.
解：（2）如图，连接并延长BO交☉O于E，连接CE，
由圆周角定理得，∠E＝∠BAC＝60°，
∵BE为直径，∴∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，
∵BE＝2OB＝4，∴CE＝2，
在Rt△BCE中，BC＝＝2，
∴AB＝BC＝2.
1.如图1，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上.若∠ACD＝25°，则∠BOD＝（ C ）
A.100° B.120° C.130° D.150°
图1
C
2.如图2，C、D两点在以AB为直径的☉O上，若AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ 1 .
图2
1
3.如图3，在☉O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM.
图3
证明：如图，连接BD，
∵AB＝CD，∴＝，
∴＝，
∴∠B＝∠D，
∴BM＝DM.
例2 如图，四边形ABED是圆的内接四边形，延长AD、BE相交于点C，已知∠C＝∠EDC.
（1）求证：AB＝AC；
证明：（1）∵四边形ABED是圆的内接四边形，
∴∠B＋∠ADE＝180°，
∵∠EDC＋∠ADE＝180°，
∴∠EDC＝∠B，
∵∠EDC＝∠C，∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）已知AB是四边形ABED外接圆的直径，求证：＝.
证明：（2）如图，连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴＝.
4.如图4，☉O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，则∠BOD＝（ B ）
A.80° B.120° C.100° D.90°
图4
B
5.如图5，点A、B、C、D、E在☉O上，且所对圆心角的度数为50°，则∠E＋∠C＝ 155° .
图5
155°
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第8课时 直线和圆的位置关系（二）
第二十四章 圆
★经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
★圆的切线垂直于 过切点的半径 .
外端
垂直于
过切点的半径
例1 如图，AB是☉O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，连接OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是☉O的切线.
证明：如图，连接OC，设AP与CD交于点E，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠ODC＝∠P，∴∠OCD＝∠P，
∵CD⊥AB，∴∠PEC＝90°，
∴∠P＋∠PCE＝90°，
∴∠OCD＋∠PCE＝90°，即∠OCP＝90°，
∵OC是☉O的半径，
∴PC是☉O的切线.
1.以△ABC的边AB上的高为直径作一个圆，则与这个圆相切的直线是（ A ）
A.AB B.AC C.BC D.不确定
2.如图1，△ABC的一边AB是☉O的直径，请你添加一个条件，使BC是☉O的切线，你所添加的条件为 ∠ABC＝90°（答案不唯一） .
图1
A
∠ABC＝90°（答案不唯一）
3.如图2，AB是☉O的直径，点C为☉O上一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD，求证：MC为☉O的切线.
图2
证明：如图，连接OC，∵OM⊥AB，∴∠AOD＝90°，
∴∠A＋∠ADO＝90°，
∵∠ADO＝∠CDM，MD＝MC，∴∠ADO＝∠MCD，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠MCD＋∠ACO＝90°，
即∠MCO＝90°，
∵OC为☉O的半径，
∴MC为☉O的切线.
例2 如图，BC是☉O的直径，CE是☉O的弦，过点E作☉O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.求证：∠ABG＝2∠C.
证明：如图，连接OE，
∵EG是☉O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，∴OE∥AB，
∴∠ABG＝∠EOB，
由圆周角定理得∠EOB＝2∠C，
∴∠ABG＝2∠C.
4.如图3，AB为☉O的切线，OB交☉O于点D，C为☉O上一点，若∠ACD＝24°，则∠ABO＝（ B ）
A.48° B.42° C.36° D.72°
图3
B
5.如图4，P为☉O外一点，PA切☉O于A，若PA＝3，∠APO＝45°，则☉O的半径是 3 .
图4
3
6.如图5，AB是☉O的直径，CD为☉O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D.
（1）求证：AC平分∠BAD；
（1）证明：如图，连接OC，
图5
∵直线CD切☉O于点C，∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）若☉O半径为5，CD＝4，求AD的长.
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，
∵∠OCD＝∠OED＝∠CDE＝90°，
∴四边形OEDC是矩形，
∴DC＝OE＝4，OC＝DE＝5，
∴AE＝＝3，
∴AD＝AE＋DE＝8.
图5
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第3课时 弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
★圆是中心对称图形，它的对称中心是 圆心 ，顶点在 圆心 的角叫做圆心角.
★在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们 所对应的 其余各组量都分别 相等 .
圆心
圆心
同圆或等圆
弧
弦
所对应的
相等
例1 如图，AB是☉O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为 .
解：如图，连接OC，
∵AB是直径，＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵CE⊥OA，
∴∠ACE＝90°－∠A＝30°，
故答案为：30°.
1.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ C ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图1，在☉O中，＝，AB＝3，则AC＝ 3 .
图1
C
3
3.如图2，在☉O中，点C是的中点，∠A＝50°，求∠BOC的度数.
图2
解：在△OAB中，OA＝OB，
∴∠BOA＝180°－2∠A＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠BOA＝40°.
例2 如图，在☉O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC.求证：
（1）＝；
证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，∴＝；
（2）AE＝CE.
证明：（2）如图，连接AC，
∵＝，∴AD＝BC，
又∵DC＝AB，AC＝AC，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
∴∠ACD＝∠CAB，∴AE＝CE.
4.如图3，A，B，C，D均为☉O上的点，且AB＝CD，则下列说法错误的是（ A ）
A.OC＝CD B.∠AOC＝∠BOD
C.AC＝BD D.∠AOB＝∠COD
图3
A
5.如图4，在☉O中，＝，∠1＝30°，则∠2的度数为 30° .
图4
30°
6.如图5，在☉O中，C是的中点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD＝CE.
图5
证明：∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE.
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第10课时 专题切线的判定与性质
第二十四章 圆
★切线的判定与性质是中考的热门考点，需要熟悉定理，并能灵活运用.切线的判定有两种：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径.运用切线的性质时，常常连接过切点的半径.
类型一：切线的判定——连半径，证垂直
例1 如图，AB为☉O的直径，BE切☉O于点B，连接AE交☉O于点C，D是BE的中点，连接CD.求证：CD是☉O的切线.
证明：如图，连接OC、OD，
∵O、D分别为AB、BE的中点，
∴OD∥AE，
∴∠BOD＝∠A，∠COD＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝∠BOD，
在△COD和△BOD中，，
∴△COD≌△BOD（SAS），
∴∠OCD＝∠OBD，
∵BE是☉O的切线，∴∠OBD＝90°，
∴∠OCD＝∠OBD＝90°，
即CD是☉O的切线.
1.如图1，以Rt△ABC的直角边AC为直径作☉O，交AB于点D，OE∥AB交BC于点E，连接DE，求证：DE为☉O的切线.
图1
证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵OE∥AB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
在△COE与△DOE中，，
∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，
∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°，
即OD⊥DE，
又∵OD是☉O的半径，
∴DE为☉O的切线.
类型二：切线的判定——作垂直，证半径
例2 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，以点O为圆心，OE为半径作☉O.试说明☉O与CD相切.
证明：如图，延长EO交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AC⊥BD，
∵OE⊥AB，∴OF⊥CD，
∴S△AOB＝OA·OB＝OC·OD＝S△COD，
即AB·OE＝CD·OF，
∴OE＝OF，
∵OE为☉O的半径，
∴OF为☉O的半径，
∴☉O与CD相切.
2.如图2，已知四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，E为DC上一点，AE⊥BE，AE平分∠DAB，求证：以DC为直径的圆与AB相切.
图2
证明：如图，作EF⊥AB于F，
∵∠D＝∠C＝90°，∴AD∥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵AE⊥BE，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，
∴∠DAE＋∠CBE＝90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，ED＝EF，
∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，
∴EF＝EC，∴EF＝ED＝EC，
∵EF⊥AB，
∴以DC为直径的圆与AB相切.
类型三：切线的判定与性质
例3 如图，已知AB是☉O的直径，C是☉O上一点，直线CE与AB的延长线相交于点E，AD⊥CE于点D，AD交☉O于点F，AC平分∠DAE.
（1）求证：CE为☉O的切线；
（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，
∵OC为☉O的半径，
∴CE为☉O的切线；
（2）若DC＋DF＝6，☉O的直径为10，求AF的长.
（2）解：如图，过点O作OH⊥AD于点H，
设DC＝x，则DF＝6－x，
∵AD⊥DE，OC⊥DE，
∴∠OHD＝∠D＝∠OCD＝90°，
∴四边形OHDC是矩形，
∴DH＝OC＝5，OH＝DC＝x，
∴FH＝DH－DF＝x－1，
∵OH⊥AF，∴AH＝FH＝x－1，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2＋HO2，
即52＝（x－1）2＋x2，
解得x＝4或－3（不符合题意，舍去），
∴AF＝2FH＝2×（4－1）＝6.
3.如图3，已知△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交☉O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F.
（1）求证：BC∥EF；
（1）证明：∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，∴BC∥EF；
图3
（2）求证：EF是☉O的切线；
（2）证明：如图，连接OE，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，
∴＝，∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，∴OE⊥EF，∵OE是☉O的半径，
∴EF是☉O的切线；
（3）若BF＝10，EF＝20，求☉O的半径.
（3）解：如图，设☉O的半径为x，
则OE＝OB＝x，OF＝x＋10，
在Rt△OEF中，OE2＋EF2＝OF2，
∴x2＋202＝（x＋10）2，解得：x＝15，
∴☉O的半径为15.
图3
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第11课时 正多边形和圆
第二十四章 圆
★一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 中心 ， 外接圆的半径 叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 中心角 ，中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的 边心距 .
★正n边形的中心角度数为 ，每一个内角度数为 .正n边形的边长为a，边心距为r，则其面积为 nar .
中心
外接圆的半
径
中心
角
边心距
nar
例1 如图，☉O的半径为，☉O的一个内接正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长和面积.
解：如图，连接OB，
在Rt△AOC中，AC＝＝1，
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠OAC＝45°，
∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2，∠AOB＝2∠AOC＝90°，
∴这个内接正多边形是正方形，
∴它的中心角为90°，边长为2，面积为4.
1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ A ）
A.10 B.8 C.6 D.5
2.已知正六边形的边长为3，则这个正六边形的半径是（ C ）
A. B.3 C.3 D.2
3.若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数是 4 .
4.在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为 5 .
A
C
4
5
5.如图1，等边△ABC的外接圆☉O的半径为R，求等边△ABC的边长、边心距、周长和面积.（用含R的代数式表示）
图1
解：如图，连接OB，OA，延长AO交BC于D，
由题意得AD⊥BC，BD＝BC，∠OBD＝∠ABC＝30°，
∴边心距OD＝OB＝R，∴BD＝＝R，
∴边长BC＝2BD＝R，∴C△ABC＝3BC＝3R，
∴S△ABC＝BC·（AO＋OD）＝R2.
例2 如图，五边形ABCDE内接于☉O，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形.
证明：∵∠A＝∠B，
∴＝，即＝，
∴BC＝AE，
同理可得其余各边都相等，
∴五边形ABCDE是正五边形.
6.如图2，把☉O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形ABCDEF，求证：六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形.
图2
证明：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵＝＝＝＝＝，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，
∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
又∵OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，
∴△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF、△FOA都是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OAF＝60°，
∴∠FAB＝120°，
同理可以证明：∠EFA＝∠DEF＝∠EDC＝∠DCB＝∠CBA＝120°，
∴六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形.
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第5课时 点和圆的位置关系
第二十四章 圆
★点P在圆外 d＞r ，点P在圆上 d＝r ，点P在圆内 d＜r .
注意：①判断点与圆的位置关系的方法是先计算出点到圆心的距离，再用此距离与半径作比较；②点不在圆上，应分两种情况讨论：点在圆内或点在圆外.
★不在 同一直线上 的三点确定一个圆，经过三角形的三个顶点可以作 一个圆 ，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的 垂直平分线 的交点，叫做三角形的 外心 .
d＞r
d＝r
d＜r
同一直线上
一个
圆
垂直平分
线
外心
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.
（1）以点A为圆心，4cm为半径作☉A，则点B，C，D与☉A的位置关系如何？
解：（1）如图，连接AC，∵AB＝3cm，AD＝4cm，
∴AC＝5cm，∴点B在☉A内，点C在☉A外，点D在☉A上；
（2）若以点A为圆心作☉A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则☉A的半径r的取值范围是什么？
解：（2）∵以点A为圆心作☉A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴☉A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm.
1.半径为5的☉O，其圆心是直角坐标系的原点O，则点P（3，4）与☉O的位置关系是（ A ）
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.不能确定
2.在数轴上，点A所表示的数为3，点B所表示的数为4，若☉A的半径为2，则点B与☉A的位置关系是 点B在☉A内 .
A
点B在☉A内
3.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，r为半径作圆，则：
（1）当r取何值时，点A在☉C上，且点B在☉C内？
（1）当r＝4时，点A在☉C上，且点B在☉C内；
（2）当r在什么范围内取值时，点A在☉C外，且点B在☉C内？
（2）当3＜r＜4时，点A在☉C外，且点B在☉C内；
（3）是否存在实数r，使得点B在☉C上，且点A在☉C内？
解：由题意知，BC＝3，
（3）不存在实数r，使得点B在☉C上，且点A在☉C内.
例2 如图，在直角坐标系中，已知点A（0，4）、B（4，4）和C（6，2）.
（1）点A、B、C能确定一个圆吗？说明理由；
（2）如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的轨迹；
解：（1）能，理由：点A、B、C不在同一条直线上；
（2）如图所示；
（3）如图，设AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点为P，连接BP，PC，
设P（2，x），∵BP＝CP，
∴＝，
解得x＝0，
∴圆心P的坐标为（2，0），
∴半径为＝2.
（3）写出圆心的坐标，并求出圆的半径.
4.如图1，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个，能画的圆有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个
图1
C
5.若一个三角形的外心在这个三角形的外部，则这个三角形按角分类属于 钝角三角形 .
6.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图2中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）
图2
解：如图所示.
钝角三
角形
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第9课时 直线和圆的位置关系（三）
第二十四章 圆
★经过圆外一点作圆的切线， 这点 和 切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
★从圆外一点可以引圆的 两 条切线，它们的切线长 相等 ，这一点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角.
★与三角形的各边都 相切 的圆叫三角形的内切圆，它的圆心是 三角形三条角平分线 的交点，也叫三角形的 内心 .
这点
切点
两
相等
平分
相切
三角形三条
角平分线
内心
例1 如图，PA、PB是☉O的切线，A、B为切点，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°，求：
（1）PA的长；
解：（1）∵CA，CE都是☉O的切线，
∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，
∴C△PDC＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12，即PA＝6；
（2）∠COD的度数.
解：（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE＋∠PDE＝120°，
∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°，
∵CA，CE是☉O的切线，
∴∠OCE＝∠ACD，
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠COD＝180°－（∠OCE＋∠ODE）＝180°－（∠ACD＋∠CDB）＝60°.
1.如图1，AB、AC、BD是☉O的切线，切点分别是P、C、 D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ C ）
A.4 B.3 C.2 D.1
图1
C
2.如图2，PA、PB是☉O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则☉O的半径为 1 .
图2
1
3.如图3，PA、PB是☉O的切线，A、B为切点，AC是☉O的直径，连接AB，∠BAC＝20°，求∠P的度数.
图3
解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
∴∠PAB＝90°－∠BAC＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝70°，
∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝40°.
例2 如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，AB＝AC，连接AD，交☉O于H，直线HF交BC的延长线于G，求证：
（1）圆心O在AD上；
【分析】（1）利用切线长定理和等腰三角形的性质即可得到结论；
证明：（1）由题意得AF＝AE，CF＝CD，BD＝BE，
∵AB＝AC，
∴CF＝BE，
∴CD＝BD，
∴AD平分∠CAB，
∴圆心O在AD上；
（2）CD＝CG.
【分析】（2）连接DF，由（1）知，DH是☉O的直径，得到∠DFH＝90°，根据余角的性质得到∠GFC＝∠G，从而得出结论.
（2）如图，连接DF，
由（1）知，DH是☉O的直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠GFC＋∠CFD＝90°＝∠G＋∠FDC，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠FDC，
∴∠GFC＝∠G，
∴CG＝CF＝CD.
4.如图4，☉O内切于△ABC，切点分别为点D、E、F，已知AB＝BC，∠B＝40°，连接DE，EF，则∠DEF的度数为（ B ）
A.40° B.55° C.65° D.70°
图4
B
5.如图5，△ABC的内切圆☉O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为 14 .
图5
14
6.如图6，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点O是△ABC的内心，BO的延长线交AC于点D，求∠BDC的度数.
图6
解：∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝50°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠DBA＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DBA＋∠A＝85°.
7.如图7，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，O是射线BD上一点，☉O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M.过点M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F.以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上.设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24时，求☉O的半径.
图7
解：如图1，设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q，作OP⊥BF于点P，由题意得BD＝2BQ＝AB＝18，
设☉O的半径为r，则OB＝2OP＝2r，MB＝3OP＝3r，
①如图1，当点E在线段AB上时，
在Rt△BEM中，EM＝r，由对称性得：
EF＝2EM＝2r，ND＝BM＝3r，
∴MN＝18－6r，
∴S矩形EFGH＝EF·MN＝2r＝24，解得：r1＝1，r2＝2，
当r＝1时，EF＝2＜12＝HE，不符合题意，
∴r＝2；
图7
②如图2，当点E在射线AD上时，连接OG，
则OG＝r，BM＝3r，MD＝18－3r，BG＝r，
由对称性得NB＝MD＝r，
∴18－3r＝r，解得：r＝4，
综上所述，☉O的半径为2或4.
图7
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第13课时 弧长和扇形面积（二）
第二十四章 圆
★圆锥是由一个 底面 和一个 侧面 围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的 母线 .
★圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2πr ，因此圆锥的侧面积为 πrl ，圆锥的全面积为 πr（r＋l） .
底面
侧面
母线
扇形
l
2πr
πrl
πr（r＋l）
例1 童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15cm，底面半径为5cm，生产这种帽身10000个，则玩具厂至少需要多大面积的材料？（不计接缝用料和余料，π取3.14）
解：∵母线l＝PA＝15cm，半径r＝AO＝5cm，
∴S侧＝πrl≈235.5cm2，
∴235.5×10000＝2355000cm2＝235.5m2，
答：至少需要235.5m2的材料.
1.圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（ D ）
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
2.一个圆锥的底面直径是8，母线长为9，则圆锥的表面积为（ B ）
A.36π B.52π C.72π D.136π
D
B
3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2cm，绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥的侧面积是 8πcm2 .（结果保留π）
图1
8πcm2
4.小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图2所示，它的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积.（结果保留π）
图2
解：由题意得：BC＝＝5cm，
∴S侧＝π·OB·BC＝15πcm2.
例2 如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥形纸帽的高.
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
则2πr＝6π，解得r＝3，
设扇形AOB的半径为R，
则＝6π，解得R＝9，
∴圆锥形纸帽的高为＝6.
5.若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ C ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
6.已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm2，则这个圆锥的高是（ B ）
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
7.母线长为4cm的圆锥侧面展开图是圆心角为90°的扇形，则圆锥底面圆的半径为 1cm .
C
B
1cm
8.如图3，已知圆锥的侧面展开图是一个半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求圆锥的底面积和高.
图3
解：扇形的弧长为：＝24πcm，
∴圆锥的底面半径为：24π÷2π＝12cm，
∴圆锥的底面积为π×122＝144πcm2，
∴圆锥的高为＝6cm.
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第12课时 弧长和扇形面积（一）
第二十四章 圆
★在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 .
★由组成圆心角的 两条半径 和 圆心角所对的弧 所围成的图形叫做扇形，半径为R，圆心角为n°的扇形的面积为 ，若已知扇形的半径为R，弧长为l，则扇形的面积为 lR .
两条半径
圆心角所对的弧
lR
例1 如图，AB是☉O的直径，点C、D均在☉O上，∠C＝30°，弦AD＝4cm.
（1）求☉O的直径；
解：（1）由题意得∠ADB＝90°，∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝4cm，∴AB＝8cm，∴☉O的直径为8cm；
（2）求的长.
解：（2）如图，连接OD，则∠AOD＝2∠B＝60°，
∴的长为＝cm.
1.在半径为12的☉O中，150°的圆心角所对的弧长是（ C ）
A.24π B.12π C.10π D.5π
2.已知一个扇形的半径为3，弧长为2π，那么它所对的圆心角度数为（ B ）
A.240° B.120° C.90° D.60°
3.一个扇形的弧长为4π，扇形的圆心角为120°，则此扇形的半径为 6 .
C
B
6
4.如图1，A、B、C三点在半径为1的☉O上，四边形ABCO是菱形，求的长.
图1
解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝OB，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长为＝.
例2 如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.
（1）求证：AE＝ED；
（1）证明：由题意得：∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积.
（2）解：如图，连接OD，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝2∠COD＝120°，
在Rt△AEO中，AO＝OB＝4，
∴OE＝2，AE＝2，∴AD＝4，
∴S阴影＝－S△ADO＝－×4×2＝－4.
5.为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ B ）
A.6πm2 B.3πm2 C.2πm2 D.πm2
6.如图2，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为（ D ）
A.4π B.2π C.π D.
图2
B
D
7.如图3，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 4π－8 .
图3
4π－8
8.如图4，AB为☉O的直径，BC交☉O于点D，AC交☉O于点E，若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积.
图4
解：如图，连接OE，
由题意得∠AOE＝∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，
∴S阴影＝S△BOE＋S扇形OAE＝×2×2＋＝π＋2.
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第14课时 《圆》单元小结与复习
第二十四章 圆
例1 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD.
（1）求证：AB＝CD；
【分析】（1）根据圆周角定理和垂径定理证明结论；
（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，∴＝，
∴＝，∴AB＝CD；
（2）若∠A＝66°，求∠ADB的度数.
【分析】（2）根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝114°，根据等腰三角形的性质求出∠BDC，根据角平分线的定义解答.
（2）解：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°－∠A＝114°，
∵＝，∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°－114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°.
1.如图1，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，则☉O的直径为（ D ）
A.2 B.4 C.6 D.8
图1
D
2.如图2，点A、B、C、D、E都是☉O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D＝（ C ）
A.128° B.126° C.124° D.122°
图2
C
3.如图3，☉O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
图3
证明：如图，连接AC，
∵AB＝CD，∴＝，
∴＝，∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC.
例2 如图，AB是☉O的直径，BC为☉O的切线，D为☉O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.
（1）求证：CD为☉O的切线；
（1）证明：如图，连接OD，
∵BC为☉O的切线，∴∠ABC＝90°，
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，
∵点D在☉O上，∴CD为☉O的切线；
（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，求图中阴影部分的面积.
（2）解：∵OF⊥BD，
∴BF＝ BD＝2，
∴OB＝＝4，
∵OF＝OB，
∴∠OBF＝30°，∴∠BOF＝60°，
∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，
∴S阴影＝－＝－×4×2＝－4.
4.如图4，PA、PB分别与☉O相切于点A、B，点C在☉O上，连接AC，BC，若∠P＝80°，则∠C的度数为（ C ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
图4
C
5.直线l：y＝kx＋6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径作圆，若☉O与l相交，则k的取值范围为 －＜k＜ .
6.已知等边△ABC的边长为3，则它的内切圆半径为 .
－＜k＜
7.如图5所示，四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 2－2 .
图5
2－2
8.木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图6，用角尺的较短边紧靠☉O于点A，并使较长边与☉O相切于点C.记角尺的直角顶点为B，量得AB＝2cm，BC＝4cm，那么☉O的半径为 5 cm.
图6
5
9.如图7，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，切点为A，BC交☉O于点D，点E是AC的中点.
（1）试判断直线DE与☉O的位置关系，并说明理由；
解：（1）直线DE与☉O相切.
理由：如图，连接AD，OD，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AO＝OD，E是AC的中点，
∴∠OAD＝∠ODA，AE＝ED，∴∠ADE＝∠EAD，
∵AC是☉O的切线，∴∠OAE＝∠EAD＋∠OAD＝90°，
∴∠ADE＋∠ODA＝90°，即∠EDO＝90°，∴直线DE与☉O相切；
图7
（2）若☉O的半径为2，∠B＝45°，AC＝4，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）
解：（2）∵∠B＝45°且OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B＝45°，∴∠AOD＝90°，
又∵∠EDO＝∠OAE＝90°且OA＝OD＝2，
∴四边形AEDO为正方形，
∴S阴影＝S正方形AEDO－S扇形AOD＝4－π.
图7
10.如图8，AB为☉O的直径，PD切☉O于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PA，且∠EDB＝∠EPA.
（1）求证：PA是☉O的切线；
（1）证明：∵DE⊥PO，∴∠E＝90°，
∵∠POA＝∠DOE，∠EDB＝∠EPA，∴∠PAO＝∠E＝90°，
又∵OA是半径，∴PA是☉O的切线；
图8
（2）若PA＝6，DA＝8，求☉O的半径.
（2）解：如图，连接OC，
在Rt△PAD中，PD＝＝10，∵PD与PA都为☉O的切线，
∴PC＝PA＝6，∴DC＝PD－PC＝4，
设OC＝r，则DO＝DA－AO＝8－r，
在Rt△CDO中，DO2＝OC2＋DC2，
即（8－r）2＝r2＋42，解得r＝3，
∴☉O的半径为3.
图8
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第7课时 直线和圆的位置关系（一）
第二十四章 圆
★直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆 相交 ，这条直线叫做圆的 割线 ；直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆 相切 ，这条直线叫做圆的 切线 ，这个点叫做 切点 ；直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆 相离 .
★把圆心O到直线的距离记作d，半径记作r，容易得到：直线l和☉O相交 d＜r ，直线l和☉O相切 d＝r ，直线l和☉O相离 d＞r .
相交
割线
相切
切线
切点
相离
d＜
r
d＝r
d＞r
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，2cm为半径作圆，试判断直线AB与☉C的位置关系.
解：如图，作CD⊥AB于点D，
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD＝BC＝2cm，
∴直线AB与☉C相切.
1.行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是（ B ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.已知☉O的最长弦为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与☉O的位置关系是（ A ）
A.相切 B.相交
C.相离 D.无法判断
3.圆的半径为5cm，如果圆心到直线的距离为3cm，那么这条直线与圆的公共点的个数是 2 个.
B
A
2
4.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作圆.试判断直线AB与☉D的位置关系，并说明理由.
图1
解：直线AB与☉D相切.理由如下：
如图，作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝r，
∴直线AB与☉D相切.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，若以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点，求r的取值范围.
解：如图，作CD⊥AB于D，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∵CD·AB＝BC·AC，
∴CD＝，
∵以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点，
∴r的取值范围为≤r≤12.
5.点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、下列长度为半径画圆，则能使直线l与☉P相切的半径长是（ B ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6.☉O与直线l有两个交点，且☉O的半径为3，则圆心O到直线l的距离不可能是（ D ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.已知一条直线l与半径为r的☉O相离，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 0＜r＜2 .
B
D
0＜r＜2
8.已知点A的坐标是（4，－2），以点A为圆心作圆.若☉A上有且只有两点到x轴的距离为1，则☉A的半径r的取值范围是 1＜r＜3 .
9.如图2，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的☉P的圆心P的坐标为（－3，0），将☉P沿x轴正方向平移，使☉P与y轴相切，求平移的距离.
1＜r＜3
图2
解：当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离为1或5.
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第2课时 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
★圆是轴对称图形，它的对称轴是 任何一条直径所在的直线（过圆心的直线） .
★垂直于弦的 直径 平分弦，并且平分弦所对的 两条弧 ；平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且平分 弦所对的两条弧 .
任何一条直径所在的直线（过圆心的直线）
直径
两条弧
垂直于
弦所对的两条弧
例1 把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝EF＝24cm，求这个球的直径.
解：如图，过O作OG⊥AD于G，连接OF，
∴GF＝EF＝12cm，
设半径为rcm，则OG＝（24－r）cm，
在Rt△GOF中，（24－r）2＋122＝r2，
解得：r＝15，
∴这个球的直径为30cm.
1.如图1是水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m，则排水管道截面的水面宽度为（ C ）
A.0.6m B.0.8m C.1.2m D.1.6m
图1
C
2.如图①，是一座圆弧形涵洞的入口，图②是涵洞的示意图，若涵洞的拱高CD为6米，涵洞入口处的地面的宽度AB为4米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径.
图2
解：如图，连接OA，
由题意得CD⊥AB，∴AD＝DB＝2米，
设半径为x米，在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，
即x2＝（6－x）2＋22，解得：x＝，
答：这座涵洞圆弧所在圆的半径为米.
例2 如图，在以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.
（1）求证：AC＝BD；
【分析】（1）作OH⊥CD于点H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，从而可得到结论；
（1）证明：如图，作OH⊥CD于点H，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，求CD的长度.
【分析】（2）连接OC，设CH＝x，利用勾股定理列方程求解，即可得到CD的长.
（2）解：如图，连接OC，
设CH＝x，则AH＝3＋x，
在Rt△OCH中，
OH2＝OC2－CH2＝42－x2，
在Rt△OAH中，
OH2＝OA2－AH2＝62－（3＋x）2，
∴42－x2＝62－（3＋x）2，
解得：x＝，即CH＝，
∴CD＝2CH＝.
3.如图3，☉O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（ A ）
A.GH B.EF C.CD D.AB
图3
A
4.如图4，☉O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB的中点，连接EC，ED.
图4
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（1）解：直线EO与AB垂直.
理由：如图，连接EO，∵E为AB的中点，∴EO⊥AB；
（2）求证：EC＝ED.
（2）证明：如图，延长EO交CD于点F，
∵EO⊥AB，AB∥CD，∴EF⊥CD，
∵EF过点O，∴CF＝DF，∴EC＝ED.
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第1课时 圆
第二十四章 圆
★在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做 圆 .固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 .
★圆上各点到定点（圆心）的距离都等于 半径 ，平面内到定点的距离等于定长的点都在 圆 上.要确定一个圆，必须确定圆的 圆心 和 半径 .
★连接圆上 任意两点 的线段叫做弦，经过 圆心 的弦叫做直径.圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 .圆的任意一条 直径 的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 半圆 .大于半圆的弧叫做 优弧 ，小于半圆的弧叫做 劣弧 .能够完全 重合 的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够完全 重合 的弧叫做等弧.
一周
圆
圆心
半径
半径
圆
圆心
半径
任意两点
圆心
圆弧
弧
直径
半圆
优弧
劣弧
重合
重
合
例1 下列语句不正确的有 （ ）
①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径.
A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个
答案：C.
1.如图1，是一个圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（ C ）
A.1cm B.2cm C.4cm D.πcm
图1
2.已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ D ）
A.4 B.8 C.10 D.12
C
D
3.以点O为圆心，可以作 无数 个圆.
4.如图2，若点O为☉O的圆心，则线段 OA、OB、OC 是☉O的半径；线段 AC、AB、BC 是☉O的弦，其中最长的弦是 AC ； 、、、、 是劣弧； 、 是半圆.
图2
无数
OA、OB、OC
AC、
AB、BC
AC
、、、、
、
5.如图3，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈.谁爬的路程长？请通过计算说明.
图3
解：∵C大圆＝20πdm，
2C小圆＝2×（π）＝20πdm，
∴C大圆＝2C小圆，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长.
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝ （ ）
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
答案：A.
6.如图4所示，MN为☉O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ C ）
A.40° B.50° C.80° D.100°
图4
C
7.如图5，AB是☉O的直径，点C在☉O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，则AB的长是 10 .
图5
10
8.如图6，在☉O中，AB为弦，C，D两点在AB上，且AC＝BD，求证：△OCD为等腰三角形.
图6
证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，
∴△OCD为等腰三角形.
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第6课时 专题隐圆的应用
第二十四章 圆
★动点问题是近几年的一个热点，有些动点问题，将圆隐藏在已知条件里，解题时，需要我们通过分析探索，抓“一中同长”“定边定角”这样的关键条件，发现这些隐藏的圆，然后构造辅助圆，再利用相关的几何知识解决问题.
★若已知定弦AB，定角∠C，要确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况：
（1）如图1，在☉O中，当∠C＜90°时，点C的轨迹为优弧ACB；
（2）如图2，在☉O中，当∠C＝90°时，点C的轨迹为半圆；
（3）如图3，在☉O中，当∠C＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧AB.
图1
图2
图3
★如图4，若∠A＋∠C＝180°，则A、B、C、D四点共圆；
如图5，固定线段AB同侧若∠P＝∠C，则A、B、C、P四点共圆.
图4
图5
类型一：根据圆的定义构造圆
例1 如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，求∠CAD的度数.
解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝4∠BDC＝2∠BAC＝88°.
1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数.
图1
解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，
∴∠BDC＝∠BAC＝22°.
类型二：定边定角，隐圆出
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与点O重合，再绕着点O转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH.在转动的过程中，求AH长的最小值.
解：如图，以OD的中点G为圆心，OD长为直径作☉G，连接AG交☉G于点H，此时AH长的值最小，过点G作GP⊥AD于点P，
∵AB＝4，BC＝4＝AD，
∴BD＝＝8，
∴BD＝2AB，DO＝4，HG＝DG＝2，
∴∠ADB＝30°，PG＝DG＝1，
∴PD＝，AP＝3，
在Rt△APG中，AG＝＝2，
此时AH＝AG－HG＝2－2，
即AH长的最小值为2－2.
2.在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值.
解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠PAB＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的☉O上，
如图，连接OC交☉O于点P，此时CP长的值最小，
∵点O是AB的中点，∴OA＝OB＝3，
在Rt△BCO中，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，
∴PC＝OC－OP＝2，∴线段CP长的最小值为2.
类型三：四点共圆也是隐形圆
例3 如图，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，连接DE、DF，若∠BAC＝64°，求∠EDF的度数.
解：∵在四边形FBHD中，∠BFH＝∠BDH＝90°，
∴点F、H、D、B在同一圆上，
∴∠FBH＝∠FDH，
在四边形EHDC中，∠HEC＝∠HDC＝90°，
∴点E、H、D、C在同一圆上，
∴∠EDH＝∠ECH，
∵∠FBH＋∠BAC＝∠ECH＋∠BAC＝90°，
∠BAC＝64°，
∴∠FBH＝∠ECH＝26°，
∴∠FDH＝∠EDH＝26°，
∴∠EDF＝∠FDH＋∠EDH＝52°.
3.如图2，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，求CB＋CD的最大值.
图2
解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴A，B，C，D四点共圆，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB＝∠MDC＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，∴AC＝AM＋MC＝BC＋CD，
∵四边形ABCD的周长为AD＋AB＋CD＋BC＝AD＋AB＋AC，且AD＝AB＝6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大，此时点C在的中点处，∴∠CAB＝30°，∴AC＝4，
∴CB＋CD的最大值为4.
图2
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