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第1课时 随机事件
第二十五章 概率初步
★在一定条件下，有些事件一定会发生，称为 必然事件 ；有些事件一定不会发生，称为 不可能事件 ；可能发生也可能不发生的事件，称为 随机事件 ；确定事件包括 必然事件 和 不可能事件 .
★一般地，随机事件发生的可能性是有 大小的 .
必然事件
不可能事件
随机事件
必然事件
不可能事件
大小的
例1 有下列事件：①早晨，太阳从东方升起；②明天会下雨；③买一张彩票会中奖；④电视机不接电源，电视机播放节目.其中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是确定事件？哪些是随机事件？
解：早晨，太阳从东方升起一定会发生；明天会下雨可能发生，也可能不发生；买一张彩票会中奖可能发生，也可能不发生；电视机不接电源，电视机播放节目，一定不会发生，所以①是必然事件，④是不可能事件，①④是确定事件，②③是随机事件.
1.下列事件中，是必然事件的是（ A ）
A.直角三角形的两个锐角互余
B.买一张电影票，座位号是偶数号
C.投掷一个骰子，正面朝上的点数是7
D.打开“学习强国”APP，正在播放歌曲《我和我的祖国》
2.下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ D ）
A.日行千里 B.守株待兔
C.水涨船高 D.水中捞月
3.事件“从地面发射1枚导弹，击中空中目标”是 随机 事件.（填“确定”或“随机”）
A
D
随机
4.如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a，这个事件是 必然 事件.（填“随机”“不可能”或“必然”）
5.指出下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
①任意两个负数和小于0；
②一个三角形三边长分别为4，5，9；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④任意一个五边形的外角和是540度.
解：①是必然事件；
②④是不可能事件；
③是随机事件.
必然
例2 下列第一排表示各盒中球的情况，第二排的语言描述了从盒中摸一次球摸到蓝球的可能性大小，请你用线把第一排盒子与第二排的描述连接起来使之相符.
解：如图所示：
6.桌子上有6个同样型号的杯子，其中1杯白糖水，2杯矿泉水，3杯凉白开，从中随机取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ④①③② .（填序号）
①取到凉白开；②取到白糖水；③取到矿泉水；④没有取到矿泉水.
④①③②
7.如图，一个圆形转盘被平均分成8个小扇形.请在这8个小扇形中分别写上数字1、2、3，任意转动转盘，使得转盘停止转动后，“指针落在数字1的区域”的可能性最大，且“指针落在数字2的区域”的可能性与“指针落在数字3的区域”的可能性相同.
解：答案不唯一，如图所示.
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第5课时 用频率估计概率
第二十五章 概率初步
★当试验次数很大时，事件发生的 频率 稳定在相应 概率 的附近，即试验频率稳定于 理论概率 ，因此可以通过大量重复试验，用一个事件发生的 频率 来估计这一事件发生的 概率 .
★事件发生的频率不能简单地等同于其概率，要通过大量重复试验，用一事件发生的频率来 估计 这一事件发生的 概率 .
频率
概率
理论概率
频
率
概率
估计
概率
例1 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是 （ ）
A.种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B.种植100棵幼树，结果一定是“有90棵幼树成活”
C.种植10n棵幼树，恰好“有n棵幼树不成活”
D.种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活的幼树的频率会越来越稳定于0.9
【分析】根据用频率估计概率的意义即可确定正确的选项.答案：D.
1.当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求（估计）概率可以（ D ）
A.用列举法 B.用画树状图法
C.用列表法 D.通过统计频率估计
2.在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的试验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中试验相对科学的是（ D ）
A.小明 B.小亮 C.小颖 D.小静
D
D
3.运动员小明投篮2000次，投中的次数是1004次，投中的频率是 0.502 ，据此估计一次投中的概率为 0.5 （精确到0.1）.
0.502
0.5
例2 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其余完全相同.王颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出1个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，试验中的一组统计数据如表所示：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 480 600 1800
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.6 0.6 0.6
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
解：（1）0.6；
（2）若从盒子里随机摸出1个球，则摸到白球的概率的估计值为 ；
解：（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴摸到白球的概率的估计值为0.6，
故答案为：0.6；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个.
解：（3）白球有50×0.6＝30个，
黑球有50－30＝20个，
答：盒子里黑球有20个，白球有30个.
4.某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（ C ）
A.50条 B.100条
C.150条 D.200条
C
5.研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验.摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出1个球，放回盒中，再继续.统计结果如表所示：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到有记号的球的次数m 25 44 57 105 160 199
摸到有记号的球的频率 0.25 0.22 0.19
（1）请你完成表中数据，并估计摸到有记号的球的概率.（精确到0.01）
解：（1）105÷500＝0.21，160÷800＝0.20，199÷1000≈0.20，
故答案为：0.21，0.20，0.20，
估计摸到有记号的球的概率是0.20；
（2）估计盒中共有多少个球？没有记号的球有多少个？
解：（2）设盒中共有x个球，
根据题意，得＝0.2，解得：x＝40，
∴40－8＝32个，
答：估计盒中共有40个球，没有记号的球有32个.
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第2课时 概 率
第二十五章 概率初步
★一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生 可能性 大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作 P（A） .
★一般地，如果在一个试验中，有n个可能的结果，并且它们发生的 可能性 都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率P（A）＝ .
可能性
P（A）
可能性
例1 一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个，从袋中任意摸出1个球.
（1）“摸出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
解：（1）由题意得，“摸出的球是白球”是不可能事件，“摸出的球是白球”的概率是0；
（2）“摸出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
解：（2）“摸出的球是黄球”是随机事件，“摸出的球是黄球”的概率是＝.
1.在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（ C ）
A. B. C. D.
2.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中任取一张，卡片上的数字是奇数的概率是 .
3.李宁班上有20名男生，20名女生，选举一名做学习委员，选到男生的概率为 ，选到李宁的概率为 .
C
4.一个不透明的袋中装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球.
（1）请分别求出摸到红球和摸到白球的概率；
解：（1）摸到红球的概率是＝，摸到白球的概率是＝；
（2）请你改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等.
解：（2）增加2个红球.（答案不唯一）
例2 向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内.
（1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ；
解：（1）落在图中阴影区域的概率是＝，故答案为：；
（2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由，并在图中涂黑.
解：（2）∵图形中有16个小等边三角形，
∴当阴影部分小等边三角形有8个时，沙包落在阴影区域的概率为，
∴还需要涂黑2个，如图所示.
5.如图1的转盘是均匀的，且红，黄，黑三个扇形大小相同，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在黄色区域的概率是（ B ）
A. B. C. D.
图1
B
6.用力旋转如图2所示的转盘A和B，如果想让指针指在黑色区域上，选转盘 B 的机会较大.
图2
B
7.小球在如图3所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，求小球最终停留在黑色区域的概率.
图3
解：由图可知，黑色区域可拼为2块方砖，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是.
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第6课时 《概率初步》单元小结与复习
第二十五章 概率初步
例1 如图，转盘中8个扇形的圆心角都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 .
【分析】将圆平均分成8份，指针指向大于6的数占2份，则指针指向大于6的数的概率为＝，故答案为：.
1.一个不透明的盒子中装有除颜色外其余都相同的5个红球和1个白球，若从中任意摸出1个球，则下列叙述正确的是（ C ）
A.摸到红球是必然事件
B.摸到白球是不可能事件
C.摸到红球比摸到白球的可能性大
D.摸到红球与摸到白球的可能性相等
2.从一副完整扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“K”的概率相同的是（ B ）
A.抽到“大王” B.抽到“2”
C.抽到“小王” D.抽到“红桃”
C
B
3.如图1，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝10，AC＝6，BC＝8，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ C ）
A. B. C. D.
图1
C
4.如图2，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 .
图2
5.一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的4个白球和8个红球，从袋中任意摸出1个球.
（1）“摸出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
解：（1）“摸出的球是白球”是随机事件，“摸出的球是白球”的概率是＝；
（2）“摸出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
解：（2）“摸出的球是黄球”是不可能事件，“摸出的球是黄球”的概率是0.
例2 体育课上，小明、小强、小华三人在足球场上练习足球传球，足球从一个人传到另一个人记为踢一次.如果从小强开始踢，请你用列表法或画树状图法解决下列问题：
（1）经过两次踢球后，足球踢到小华处的概率是多少？
解：（1）画树状图得：
共有4种等可能的结果，经过两次踢球后，足球踢到小华处的结果有1种，
∴P（经过两次踢球后，足球踢到小华处）＝；
（2）经过三次踢球后，足球踢回到小强处的概率是多少？
解：（2）画树状图得：
共有8种等可能的结果，经过三次踢球后，足球踢回到小强处的结果有2种，
∴P（经过三次踢球后，足球踢回到小强处）＝＝.
6.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外其余都相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的2个球颜色相同的概率是（ C ）
A. B. C. D.
C
7.若从长度分别为2厘米，2厘米，4厘米，5厘米，6厘米的线段中任选三条，则能构成三角形的概率是 .
8.将一枚质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使得一元二次方程x2－ax＋b2＝0有两个相等实数根的概率为 .
9.小英和小丽用两个转盘（如图3）做“配紫色”游戏，配成紫色小英就获胜，否则小丽获胜.（红色＋蓝色＝紫色）
（1）请利用画树状图或列表的方法表示这个游戏所有可能出现的结果；
解：（1）画树状图得：
图3
（2）判断此游戏对双方是否公平.
解：（2）由（1）得：一共有12种等可能的结果，配成紫色的结果有3种，配不成紫色的结果有9种，∴P（小英获胜）＝ ＝ ，P（小丽获胜）＝＝，
∴P（小英获胜）≠P（小丽获胜），∴这个游戏对双方不公平.
10.为了响应上级教委的“海航招飞”号召，某校从九年级应届男生中抽取视力等生理指标合格的部分学生进行了文化课初检，教务处负责的老师将测试结果分为四个等级：甲、乙、丙、丁，然后将相关数据整理成如图4所示两幅不完整的统计图：
请依据相关信息解答问题：
（1）本次参加文化课初检的男生有 ；
解：（1）本次参加文化课初检的男生有14÷35%＝40人，
故答案为：40人；
图4
（2）扇形统计图中m＝ ，把条形统计图补充完整；
解：（2）甲等级所占的百分比为×100%＝10%，
∴m°＝360°×10%＝36°，
即m的值为36，
故答案为：36，
丙等级的人数为40×25%＝10人，
补全条形统计图如图所示；
图4
（3）据统计，全省生理指标过关的九年级男生有2400名左右，若规定文化课初检等级为“甲”“乙”的可进行文化课二检，请估计进入二检的男生有 人；
解：（3）估计进入二检的男生有2400×＝1080人，
故答案为：1080；
图4
（4）本次抽检成绩为“甲”等级的4名男生中，九（1）、九（2）班各占2名，若从其中随机抽取2名男生进行调研，请用画树状图法求出恰好抽到九（1）班的2名男生的概率.
解：（4）用A、B表示九（1）班的2名男生，用a、b表示九（2）班的2名男生，则画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到九（1）班的2名男生的结果有2种，
∴P（恰好抽到九（1）班的2名男生）＝＝.
图4
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第4课时 用列举法求概率（二）
第二十五章 概率初步
★运用画树状图法求概率的步骤如下：
（1） 画树状图 ；
（2）列出结果，确定公式P（A）＝中m和n的值；
（3）利用公式 P（A）＝ 计算事件的概率.
画树状图
P（A）＝
例1 小明和小刚两人一起做游戏，游戏规则如下：准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌背面数字分别是1，2，3，从每组牌中各随机摸出一张牌，若两张牌数字之和是奇数则小明胜，否则小刚胜.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.
【分析】先画出树状图，再求得两张牌数字之和是奇数与偶数的概率，即可判断游戏是否公平.
解：游戏不公平，理由如下：
画树状图得：
则共有9种等可能的结果，
∴P（小明胜）＝，P（小刚胜）＝，
∵＜，∴这个游戏不公平.
1.小芳和小丽是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许报“双打”或“单打”中的一项，那么至少有一人报“单打”的概率为（ D ）
A. B. C. D.
D
2.小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A分成3等份的扇形区域，把转盘B分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图1所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜；若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜；若指针落在分割线上，则需要重新转动转盘.在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？
图1
解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，∴P（小辉获胜）＝＝，P（小聪获胜）＝＝ ，
∵＞，∴该游戏规则对双方不公平.
图1
例2 元旦汇演，小明同学演出，他准备的道具是：甲、乙、丙三个袋中均装有三张除所写汉字外完全相同的卡片，三张卡片上分别写有“中”“国”“梦”三个字.
（1）小明在甲袋中随机取出一张卡片，求卡片上的字是“梦”的概率；
解：（1）卡片上的字是“梦”的概率为；
（2）小明随机从甲、乙、丙三个袋中各取出一张卡片，用画树状图的方法，求取出的三张卡片能够组成“中国梦”的概率.
解：（2）画树状图如图：
由树状图知，共有27种等可能的结果，其中取出的三张卡片能够组成“中国梦”的有6种，
∴取出的三张卡片能够组成“中国梦”的概率为＝.
3.现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红、黄、蓝球各1个，B盒中装有红、黄球各1个，C盒中装有红、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同.现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出1个球，摸出的3个球中至少有1个红球的概率是（ B ）
A. B. C. D.
B
4.一个不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为 .
5.如图2，是某展览馆展厅示意图，该展厅东面有两个入口A，B，南面、西面、北面各有一个出口.小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开.
（1）她从进入到离开共有多少种可能的结果？（要求画出树状图）
解：（1）画树状图如图：
图2
共有6种等可能的结果；
（2）她从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是多少？
解：（2）由（1）得：她从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是＝.
6.为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图3所示的不完整的统计表和扇形统计图.
某班参加球类活动人数统计表
项目 篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球
人数 m 6 8 6 4
图3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）图表中m＝ ，n＝ ；
解：（1）总人数为＝40人，m＝40－6－8－6－4＝16，
n%＝×100%＝20%，∴n＝20，故答案为：16，20；
（2）若该校学生共有1000人，则估计该校参加羽毛球活动的有 人；
解：（2）1000×＝150人，故答案为：150；
图3
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出2位同学参加双打比赛，用画树状图法或列表法求出恰好选出1男1女的概率.
解：（3）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，恰好选出1男1女的结果有6种，
∴P（恰好选出1男1女）＝＝.
图3
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第3课时 用列举法求概率（一）
第二十五章 概率初步
★等可能事件的两个特征：（1）出现的结果有 有限个 ；（2）各结果发生的 可能性 相等.
★运用列表法求概率的步骤如下：①列表； ②通过表格计数，确定公式P（A）＝中m和n的值；③利用公式 P（A）＝ 计算事件发生的概率.
有限个
可能性
P（A）＝
例1 将分别标有数字1，2，3的三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上.
（1）随机抽取一张，求抽到偶数的概率；
解：（1）∵1，2，3这三个数字中只有一个偶数，
∴P（抽到偶数）＝；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是4的倍数的概率为多少？
解：（2）能组成的两位数有12、13、21、23、31、32，其中是4的倍数的有12、32，
∴P（恰好是4的倍数）＝＝.
1.从－1，0，1中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在坐标轴上的概率为（ C ）
A. B. C. D.
2.现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之和等于4的概率是 .
C
3.某校3男2女共5名学生参加成都市教育局举办的“我爱成都”演讲比赛.
（1）若从5名学生中任意抽取3名，共有多少种不同的抽法？列出所有可能的结果；
解：（1）共有10种不同的抽法，分别是：男1男2男3，男1男2女1，男1男2女2，男1男3女1，男1男3女2，男2男3女1，男2男3女2，男1女1女2，男2女1女2，男3女1女2；
（2）求抽取的3名学生中，至少有1名女生的概率.
解：（2）共有10种不同的抽法，其中至少有1名女生的抽法有9种，
∴至少有1名女生的概率是.
例2 某学校初中英语口语听力考试即将举行，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；另有a、b两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难.
（1）从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是 ；
解：（1）∵四份材料中有两份为难，∴选中难的概率为＝，
故答案为：；
（2）求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率.
解：（2）列表得：
A B C D
a （a，A） （a，B） （a，C） （a，D）
b （b，A） （b，B） （b，C） （b，D）
共有8种等可能出现的结果，其中听力、口语两份材料均为难的结果有2种，
∴P（两份材料都难）＝＝.
4.学校餐厅为师生提供A，B，C，D四种套餐，丁老师和小明一起去吃饭，他们每人随机选取一份套餐，则丁老师和小明选到不同种套餐的概率是 .
5.快乐的寒假临近啦！小明和小丽计划在寒假期间去镇江旅游.他们选取金山（A）、焦山（B）、北固山（C）为游玩目标.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站，请用列表的方法求他俩都选择金山为第一站的概率.
解：根据题意列表得：
小丽 小明 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
一共有9种等可能的情况，他俩都选择金山为第一站的情况有1种，
∴P（都选金山为第一站）＝.
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