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第10课时 实际问题与一元二次方程（三）
第二十一章 一元二次方程
★列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意，明确问题中的已知量和 未知量 ；（2）设未知数，可以直接设未知数也可以间接设未知数；（3）根据题干中的 等量关系 列出方程；（4）解所列方程，求所列方程的解；（5）检验所得的答案与题意是否相符，从而得出结论；（6）写出答语.
未知量
等量关系
例1 如图，要设计一幅宽120cm，长180cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条（阴影部分），横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横彩条的宽度为2xcm，则竖彩条的宽度为3xcm，依题意，得：（180－2×2x）（120－2×3x）＝180×120×（1－），解得x1＝5，x2＝60（舍去），
∴2x＝10cm，3x＝15cm，
答：设计横彩条的宽度为10cm，竖彩条的宽度为15cm.
1.一个无盖纸盒的表面展开图如图1，若底面积为96cm2，则可列方程为（ A ）
A.y（20－y）＝96
B.（30－y）（20－y）＝96
C.y（40－2y）＝96
D.（30－y）（40－2y）＝96
图1
2.如图2，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边的长x为（ A ）
A.10m B.5m
C.10m或5m D.5m或8m
图2
A
A
3.如图3所示有一张长方形的桌子，长6尺，宽4尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在上面时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各为多少尺.
图3
解：设台布下垂的长度为x尺，
根据题意得（6＋2x）（4＋2x）＝2×6×4，
解得：x＝1或－6（舍去），
∴6＋2x＝8尺，4＋2x＝6尺，
答：台布的长为8尺，宽为6尺.
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为xs（x＞0）.
（1）求几秒后，PQ的长度为5cm；
【分析】（1）根据PQ＝5cm，利用勾股定理BP2＋BQ2＝PQ2，求出即可；
解：（1）由题意知BP＝（5－x）cm，BQ＝2xcm，
在Rt△PBQ中，BP2＋BQ2＝PQ2，
即（5－x）2＋（2x）2＝52，
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
∴2s后，PQ的长度为5cm；
（2）运动过程中，△PQB的面积能否为8cm2？说明理由.
【分析】（2）根据面积公式列出方程，再通过根的判别式判断即可.
（2）不能，理由如下：
若△PBQ的面积为8cm2，
则（5－x）·2x＝8，
即x2－5x＋8＝0，
∵Δ＝25－32＝－7＜0，
∴△PQB的面积不能为8cm2.
4.如图4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，则当S△PQB＝S△ABC时，经过的时间为（ C ）
A.4s B.2s C.2s或4s D.3s或4s
图4
C
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第7课时 专题一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
★一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用“Δ”来表示.
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.反过来也成立.
★一元二次方程的根与系数的关系（又称“韦达定理”）：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
类型一：一元二次方程根的判别式
例1 已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（1）证明：∵Δ＝[－（2k＋1）]2－4（k2＋k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k的值.
（2）解：∵x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0，
即（x－k）（x－k－1）＝0，
解得：x1＝k，x2＝k＋1，
当等腰△ABC的腰长为10时，
∴k＝10或k＋1＝10，即k＝10或9，
∴k的值为10或9.
1.一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是（ D ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.无实数根
2.若关于x的一元二次方程x2＋2（k－1）x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是（ D ）
A.k≥1 B.k＞1 C.k＜1 D.k≤1
D
D
3.当m为何值时，方程2（m＋1）x2＋4mx＋（2m－1）＝0有两个不相等的实数根？
解：∵方程2（m＋1）x2＋4mx＋（2m－1）＝0有两个不相等的实数根，
∴2（m＋1）≠0且Δ＞0，
即16m2－4×2（m＋1）（2m－1）＞0，
解得m＜1，
∴m的取值范围为m＜1且m≠－1.
类型二：一元二次方程的根与系数的关系
例2 已知一元二次方程x2－5x－6＝0的根是x1和x2，求下列式子的值：
（1）＋＋x1x2；
（1）原式＝＋＋2x1x2－x1x2＝（x1＋x2）2－x1x2＝52－（－6）＝31，
（2）＋.
解：由一元二次方程的根与系数的关系知：x1＋x2＝5，x1x2＝－6，
（2）原式＝＝＝＝－.
例3 已知关于x的一元二次方程x2＋（m＋3）x＋m＋1＝0.
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋（m＋3）x＋m＋1＝0得：
Δ＝（m＋3）2－4（m＋1）＝（m＋1）2＋4，
∵无论m取何值，（m＋1）2＋4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1＋x2＝－（m＋3），x1x2＝m＋1，
∵｜x1－x2｜＝2，∴（x1－x2）2＝8，
即（x1＋x2）2－4x1x2＝8，
∴[－（m＋3）]2－4（m＋1）＝8，
即m2＋2m－3＝0，
解得：m＝－3或1，
当m＝－3时，原方程化为：x2－2＝0，
解得：x1＝，x2＝－，
当m＝1时，原方程化为：x2＋4x＋2＝0，
解得：x1＝－2＋，x2＝－2－.
（2）若x1、x2是原方程的两根，且｜x1－x2｜＝2，求m的值和此时方程的两根.
4.已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为（ B ）
A.5 B.－1 C.2 D.－5
5.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x1＋x2＝x1x2，则k的值为（ C ）
A.－1或 B.－1
C. D.不存在
B
C
6.若m、n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两根，则m2＋3m＋n＝ 5 .
7.非零实数m，n（m≠n）满足m2－m－2＝0，n2－n－2＝0，则＋＝ － .
8.已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值.
（1）＋；
（1）＋＝－2x1x2＝32－2×（－1）＝11；
（2）＋.
解：∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，
（2）＋＝＝＝－3.
5
－
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第12课时 《一元二次方程》单元小结与复习
第二十一章 一元二次方程
例1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，求绿地的宽.请你根据这一问题只列出方程不解，并判断方程的类型.
【分析】根据长方形面积＝长×宽，列出方程化简再判断类型.
解：设绿地的宽为x米，则长为（10＋x）米，
依题意得：x（x＋10）＝900，
化简为x2＋10x－900＝0，是一元二次方程.
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ C ）
A.3x2－2xy－5y2＝0
B.ax2＋bx＋c＝0
C.（x－1）（x＋2）＝1
D.x2＋＝0
2.把方程x（x＋2）＝5（x－2）化成一般式，则a，b，c的值分别是（ A ）
A.1，－3，10 B.1，7，－10
C.1，－5，12 D.1，3，2
C
A
3.如图1是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 （9－2x）（5－2x）＝12 .
图1
4.若（a＋）＝4是关于x的一元二次方程，则a＝ － ，且该一元二次方程的解为 x＝± .
（9－2x）（5－2x）＝12
－
x＝±
例2 用合适的方法解方程.
（1）（2x－1）2＝9；
【分析】根据方程的特点选择合适的方法，（1）直接开平方法；
（2）（x－2）（3x－5）＝1；
【分析】根据方程的特点选择合适的方法，（2）公式法；
解：（1）开方，得2x－1＝±3，
解得：x1＝2，x2＝－1；
解：（2）原方程可化为3x2－11x＋9＝0，
∵Δ＝121－4×3×9＝13＞0，
∴x＝，
即x1＝，x2＝；
（3）x2－1＝2（x＋1）.
【分析】根据方程的特点选择合适的方法，（3）因式分解法.
解：（3）x2－1＝2（x＋1），
可化为（x＋1）（x－1）－2（x＋1）＝0，
分解因式，得（x＋1）（x－3）＝0，
∴x＋1＝0或x－3＝0，
解得：x1＝－1，x2＝3.
5.解方程（x＋1）（x＋3）＝5较为合适的方法为（ C ）
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法或配方法
D.分解因式法
6.用配方法解方程x2－x－＝0时，应将其变形为（ D ）
A.（x－）2＝ B.（x－）2＝
C.（x－）2＝0 D.（x－）2＝
C
D
7.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，写出其中的一个一元一次方程为 x－1＝0（或x＋3＝0） .
8.已知代数式7x（x＋5）＋10与9x－9的值互为相反数，则x＝ .
9.解下列一元二次方程：
（1）x2－5x＋1＝0；
解：Δ＝b2－4ac＝（－5）2－4×1×1＝21＞0，
∴x1＝，x2＝.
x－1＝0（或x＋3＝0）
（2）3（x－2）2＝x（x－2）；
解：移项，得3（x－2）2－x（x－2）＝0，
因式分解，得（x－2）（2x－6）＝0，
∴x1＝2，x2＝3.
（3）3x2－6x＋2＝0.
解：Δ＝b2－4ac＝（－6）2－4×3×2＝12＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
例3 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
（1）当方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根；
【分析】（1）将x＝1代入方程即可求出a的值及方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根；
【分析】（2）利用判别式即可证明方程有两个不相等的实数根；
（1）解：当x＝1时，有1＋a＋a－2＝0，
解得：a＝，
∴原方程化为2x2＋x－3＝0，
分解因式得：（2x＋3）（x－1）＝0，
∴x1＝1，x2＝－，∴另一个根为－；
（2）证明：∵Δ＝a2＋4（2－a）＝（a－2）2＋4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【分析】（3）利用根系关系表示x1＋x2和x1x2，并代入2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，即可求出a的值.
（3）解：由根系关系得：x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2，
∵2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，
∴2（－a）＋（a－2）＋10＝0，解得：a＝8.
（3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，求a的值.
10.关于x的一元二次方程ax2＋3x－2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ B ）
A.0 B.－1 C.－2 D.－3
11.两个不相等的实数m，n满足m2－6m＝4，n2－6n－4＝0，则m＋n＝（ A ）
A.6 B.4 C.－4 D.－6
12.设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则＋的值是 31 .
B
A
31
（1）求k的取值范围；
解：（1）∵x2－（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k＋1）2－4（k2＋1）＞0，
整理得4k－3＞0，解得：k＞；
（2）若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根.
解：（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2k＋1＝3，解得：k＝1，
∴原方程为x2－3x＋2＝0，
∴x1＝1，x2＝2.
13.已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
例4 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次.
（1）若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率；
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据三个月累计的进馆人次，列方程求解；
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
则128＋128（1＋x）＋128（1＋x）2＝608，
解得x1＝0.5＝50%，x2＝－3.5（舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为50%；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的情况下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
【分析】（2）根据月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可.
（2）能，理由：第四个月的进馆人次为：
128×（1＋50%）3＝432＜500，
∴能接纳第四个月的进馆人次.
14.某商品经过两次降价，每瓶零售价比原来降低了36%，则平均每次降价的百分率是（ B ）
A.18% B.20% C.30% D.40%
15.假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握了28次手，那么参加宴会的人数为（ C ）
A.28人 B.14人 C.8人 D.27人
16.长方形铁片的长是宽的2倍，在它的四角各截去一个边长为5cm的小正方形，然后折起来做成一个无盖的铁盒，盒子容积为1.5dm3，则铁片的长和宽分别为 40cm，20cm .
B
C
40cm，
20cm
17.如图2，市中心广场有一块长50m，宽30m的矩形场地ABCD，现计划修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，要使草坪部分的总面积为1000m2，则人行道的宽为 5 m.
图2
5
18.将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于100cm2，则较小的一个正方形的边长为 6 cm.
19.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤；（用含x的代数式表示）
解：（1）这种水果每斤的售价降低x元，每天的销售量是100＋×20＝（100＋200x）斤，
故答案为：（100＋200x）；
6
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
解：（2）由题意得（4－2－x）（100＋200x）＝300，
解得：x1＝，x2＝1，
∵当x＝时，100＋200x＝200＜260，
当x＝1时，100＋200x＝300＞260，
∴x＝1，
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.
20.某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图3，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，设绿化区较长边为xm，则当x为何值时，活动区的面积达到1341m2？
图3
解：绿化区的宽为：
[30－（50－2x）]÷2＝（x－10）m，
则50×30－4x（x－10）＝1341，
化简得：4x2－40x－159＝0，
解得x＝5＋（负值舍去），
答：当x为5＋时，活动区的面积达到1341m2.
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第9课时 实际问题与一元二次方程（二）
第二十一章 一元二次方程
★解决增长（降低）率问题的关键是明确基础量和变化后的量，所列方程基本格式是a（1±x）n＝b的形式，其中a表示 起始量 ，b表示 终止量 ，x表示 平均增长（降低）率 ，n表示 增长（降低）次数 .
★利润问题常见等量关系：
（1）单个利润＝单个售价－ 单个成本 ＝单个进价× 利润率 ；（2）总利润＝单个利润× 销售件数 ＝总利润－ 总成本 .
起始量
终止量
平均
增长（降低）率
增长（降低）次数
单个成本
利润率
销售件数
总成本
例1 2019年某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2021年，家庭年人均纯收入达到了3600元.
（1）求该贫困户2019年到2021年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
解：（1）设平均增长率为x，
由题意得：2500（1＋x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（舍去），
答：该贫困户2019年到2021年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%；
（2）若年平均增长率保持不变，2022年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
解：（2）3600×（1＋20%）＝4320元，
4320元＞4200元，
答：2022年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.
1.近年，我市推出“五水共治”专项行动.经两年时间，我市的污水利用率提高了30%，设这两年的污水利用率的平均增长率是x，则列出关于x的方程为（ C ）
A.1＋x2＝1＋30% B.x2＝1＋30%
C.（1＋x）2＝1＋30% D.（1＋x）2＝30%
C
2.某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为（ B ）
A.5 B.10 C.15 D.20
3.某种药品原价每盒60元，因医疗政策改革，价格经过两次下调后现每盒售价48.6元，则平均每次下调的百分率为 10% .
4.某运动商城一月份销售自行车64辆，三月份销售了100辆，则该运动商城自行车销量的月平均增长率为 25% .
B
10%
25%
例2 某公司为尽快售出一种电子产品决定降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
解：设降价后的销售单价为x元，
则（x－100）[300＋5（200－x）]＝32000，
解得：x1＝x2＝180，180＜200，符合题意，
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元.
5.现出售一件某种商品可获利10元，每天可销售20件，若每降价1元可多卖2件，则降价 2 元时每天可获利192元.
6.将进价为100元的商品按150元售出时，能卖出300件.已知这种商品每涨价5元，其销售量将减少10件.
（1）这种商品每件涨价x元，其销售量将减少多少件？（用含x的代数式表示）
解：（1）由题意得，每件涨价x元，其销售量将减少x＝2x件；
2
（2）为了赚取19200元利润，同时也考虑尽量减轻销售人员的工作量，问售价应定为多少？这时应进货多少件？
解：（2）设售价定为y元，根据题意得：
（y－100）（300－×10）＝19200，
解得：y1＝220，y2＝180，
∵尽量减轻销售人员的工作量，
∴y＝220，
∴300－×10＝160件，
答：售价应定为220元，这时应进货160件.
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第8课时 实际问题与一元二次方程（一）
第二十一章 一元二次方程
★在疾病的传播问题中，第一轮的传染源有1人，他传染给x人，则第二轮的传染源有 （1＋x） 人，共有 x（1＋x） 人在第二轮传染中被传染；总共两轮传染中共有 [1＋x＋x（1＋x）] 人感染.
★将传染问题公式化：有1人开始传染，第一轮传染给x人，第二轮以同样速度传染，两轮过后共有a人感染，可列方程为： 1＋x＋x（1＋x）＝a或（1＋x）2＝a .三轮过后有 （1＋x）3 人感染.
（1＋x）
x（1＋x）
[1＋x＋x（1＋x）]
1＋x＋x（1＋x）＝a或（1＋x）2＝a
（1＋x）3
例1 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1＋x＋（1＋x）x＝81，
整理得（1＋x）2＝81，
解得：x1＝8，x2＝－10（舍去），
∴（1＋x）2＋x（1＋x）2＝（1＋x）3＝729台，
729＞700，
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.
1.已知有1个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均1个人传染m人，则m的值为（ B ）
A.10 B.11 C.12 D.13
2.已知某班某天有2人同时患上腮腺炎，在一天内一人能传染2人，那么经过两天共有 18 人患腮腺炎.
B
18
（1）设在每天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡，则第一天后共有 （x＋1） 只小鸡患病，第二天后共有 [x＋1＋x（x＋1）] 只小鸡患病；
（2）根据“经过两天的传染后养鸡场共有169只小鸡感染患病”列出方程为 x＋1＋x（x＋1）＝169 ；
（3）解这个方程，得 x1＝12，x2＝－14 ；
（4）检验： x＝12符合题意 .
（x＋1）
[x＋1＋x（x＋1）]
x＋1
＋x（x＋1）＝169
x1＝12，x2＝－14
x＝12符合题意
3.某养鸡场突发疫情，已知带病毒的小鸡经过两天的传染后使养鸡场共169只小鸡遭感染患病，在每天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？解题方案如下：
例2 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛.
（1）应该邀请多少支球队参加比赛？
解：（1）设应该邀请x支球队参加比赛，
依题意得x（x－1）＝15，
解得：x1＝6，x2＝－5（不合题意，舍去），
答：应该邀请6支球队参加比赛；
（2）若某支球队参加2场比赛后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？
解：（2）2＋＝12场，
答：实际共比赛12场.
4.元旦节当天全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，则可列方程为（ B ）
A.x（x－1）＝380
B.x（x－1）＝380
C.2x（x－1）＝380
D.x（x＋1）＝380
5.参加元旦庆祝活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（ B ）
A.9人 B.10人 C.12人 D.15人
B
B
6.春天到了，生物兴趣小组的学生收集了很多蝴蝶标本.若每位同学将自己收集的标本向其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，则这个小组有 11 名同学.
7.一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统计一共握了66次手，参加这次会议的有多少人？
解：设参加这次会议的有x人，
根据题意得：x（x－1）＝66，
解得：x1＝12，x2＝－11（不合题意，舍去），
答：参加这次会议的有12人.
11
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第5课时 因式分解法
第二十一章 一元二次方程
★先 分解因式 ，使方程化为两个 一次式 的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别 等于0 ，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
★因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程右边化为 0 ；②将方程左边分解成两个一次因式的 乘积 ；③令每个因式分别为 0 ，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
分解因式
一次式
等于0
0
乘积
0
例1 解下列方程：
（1）x（2x－7）＝2x；
解：（1）整理，得：2x2－9x＝0，
分解，得x（2x－9）＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）3x（2x＋1）＝4x＋2；
解：（2）移项，得3x（2x＋1）－（4x＋2）＝0，
分解，得（2x＋1）（3x－2）＝0，
解得：x1＝－，x2＝；
（3）（2x－1）2＝（x－3）2.
解：（3）移项，得（2x－1）2－（x－3）2＝0，
分解，得（3x－4）（x＋2）＝0，
解得：x1＝，x2＝－2.
1.方程（2x－3）（x＋2）＝0的解是（ C ）
A.x1＝2，x2＝－ B.x＝－2
C.x1＝－2，x2＝ D.x＝
2.用因式分解法解方程4x2－225＝0，分解成 （2x＋15）（2x－15）＝0 ，解是 x1＝－，x2＝ .
3.方程x（x－5）＝x的解是 x1＝0，x2＝6 .
C
（2x＋15）（2x－15）＝0
x1＝－，x2＝
x1＝0，x2＝6
（1）4（x－3）＝3x（x－3）；
解：移项，得4（x－3）－3x（x－3）＝0，
分解，得（x－3）（4－3x）＝0，
解得：x1＝3，x2＝.
（2）（2x＋1）2－x2＝0；
解：分解，得（2x＋1＋x）（2x＋1－x）＝0，
即（3x＋1）（x＋1）＝0，
解得：x1＝－，x2＝－1.
（3）x2＋x（x－5）＝0.
解：分解，得x（2x－5）＝0，
解得：x1＝0，x2＝.
4.解方程：
例2 阅读材料：
例如：因为x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3，所以x2＋5x＋6＝（x＋2）（x＋3），所以方程x2＋5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝－2，x2＝－3.一般地，x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b），所以x2＋（a＋b）x＋ab＝0，即（x＋a）（x＋b）＝0的解为x1＝－a，x2＝－b.
请仿照上述方法，解下列方程：
（1）x2＋8x＋7＝0；
解：（1）分解因式得：（x＋7）（x＋1）＝0，
解得：x1＝－7，x2＝－1；
（2）x2＋3x－4＝0.
解：（2）分解因式得：（x＋4）（x－1）＝0，
解得：x1＝－4，x2＝1.
5.方程x2＋3x－18＝0的两个根为（ A ）
A.x1＝－6，x2＝3 B.x1＝－3，x2＝6
C.x1＝－2，x2＝9 D.x1＝－9，x2＝2
6.若关于x的一元二次方程x2－mx＋n＝0的两根为－1和3，则将x2－mx＋n进行因式分解的结果是 （x＋1）（x－3） .
7.解方程：
A
（x＋1）（x－3）
（2）x2－5＝4x.
解：（2）移项得x2－4x－5＝0，
分解得（x－5）（x＋1）＝0，
解得x1＝5，x2＝－1.
（1）x2－2x－15＝0；
解：（1）分解得（x－5）（x＋3）＝0，
解得x1＝5，x2＝－3；
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第4课时 公式法
第二十一章 一元二次方程
★一元二次方程的根的判别式是 Δ＝b2－4ac ，当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ＜0 时，方程无实数根.
★当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0的实数根可写为x＝ 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式.
★用公式法求一元二次方程的步骤为：①先把方程化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，确定a、b、c的值；②求 b2－4ac 的值；③判断b2－4ac的符号，当b2－4ac ≥0 时，代入求根公式，求出x1、x2，当b2－4ac＜0时，原方程 无 实数根.
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
ax2＋bx＋c＝
0（a≠0）
b2－4ac
≥0
无
例1 不解方程，判断方程根的情况.
（1）3x2＋x－1＝0；
解：（1）Δ＝1＋12＞0，
故方程有两个不相等的实数根；
（2）x2＋4＝4x；
解：（2）原方程可化为x2－4x＋4＝0，
Δ＝16－16＝0，
故方程有两个相等的实数根；
（3）2x2＋6＝3x；
解：（3）原方程可化为2x2－3x＋6＝0，
Δ＝9－48＜0，故方程无实数根；
（4）2x（x＋）＝－1.
解：（4）原方程可化为2x2＋2x＋1＝0，
Δ＝8－8＝0，
故方程有两个相等的实数根.
1.一元二次方程x2＋4x＋6＝0根的判别式的值为（ A ）
A.－8 B.－2 C.2 D.8
2.下列方程中，没有实数根的是（ B ）
A.2x2－5x＋2＝0 B.x2－3x＋4＝0
C.x2－2x＋1＝0 D.x2－2x－2＝0
3.关于x的方程x2＋x＋b＝0有解，则b的取值范围是 b≤ .
4.下列方程：①x2＋1＝0；②x2＋x＝0；③x2－x＋1＝0；④x2－x＝0.其中有两个不相等的实数根的方程是 ②④ ，无实数根的方程是 ①③ .（填序号）
A
B
b≤
②④
①③
例2 用公式法解方程：
（1）3x2－2x＝2；
解：（1）方程可化为3x2－2x－2＝0，
∴Δ＝4－4×3×（－2）＝28＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（2）2x（x＋2）＝3－x.
解：（2）方程可化为2x2＋5x－3＝0，
∴Δ＝25＋4×2×3＝49＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝－3.
5.方程x2＋x－1＝0的根是（ D ）
A.x＝1－ B.x＝
C.x＝－1＋ D.x＝
6.用公式法解一元二次方程x2－5x＋3＝0时，Δ的值为 13 .
7.一元二次方程3x2＝4－2x的解是 x1＝，x2＝ .
D
13
x1＝，x2＝
（1）3x2－4x－2＝0；
解：Δ＝16＋24＝40＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝.
（2）2－5x＝3x2.
解：移项得3x2＋5x－2＝0，
Δ＝52－4×3×（－2）＝49＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝－2.
8.用公式法解方程：
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第11课时 专题一元二次方程的运用
第二十一章 一元二次方程
★列方程解应用题的一般步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.
★列方程解应用题的关键是找到等量关系，把已知和未知通过等式连接起来.
类型一：握手问题与比赛场次问题
例1 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会.
（1）每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；（用含x的代数式表示）
解：（1）（x－1），x（x－1）；
（2）列出方程并解答.
解：（2）根据题意得：x（x－1）＝55，
解得x1＝11，x2＝－10（舍），
答：共有11家公司参加商品交易会.
1.一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），参赛者少于10人.关于比赛的总局数有以下两种不同的说法：一种说法是比了28局；另一种说法是比了24局.如果比赛中没有人中途退出，你认为哪一种说法正确？如果有1人中途退出比赛呢？请说明理由.
解：如果比赛中没有人中途退出，比了28局的说法正确；如果有1人中途退出比赛，比了24局的说法正确.理由如下：
设有n人参加比赛，根据题意，得比赛总局数为，且n为正整数，
当＝28时，解得n1＝8，n2＝－7（舍去），
∴n＝8，是正整数；
当＝24时，
解得n1＝，n2＝（舍去），
∴n＝，不是正整数，
∴如果比赛中没有人中途退出，比了28局的说法正确；如果有1人中途退出，比赛局数在21～28局之间，故如果有1人中途退出比赛，比了24局的说法正确.
类型二：传播问题与增长率问题
例2 去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓.假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病.
（1）每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？
解：（1）设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪，
依题意，得：1＋x＋（1＋x）x＝64，
解得：x1＝7，x2＝－9（舍），
答：每轮传染中平均每头患病猪传染了7头健康猪；
（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？
解：（2）三轮传染后，患病的猪有64×7＋64＝512头，
∵512＞500，
∴患病的猪会超过500头.
2.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，则两次降价的百分率为（ C ）
A.30% B.20% C.10% D.5%
3.有两个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有392人患了流行性感冒，则每轮传染中平均每个患者传染的人数是（ B ）
A.12 B.13 C.14 D.15
C
B
类型三：营销问题与利润问题
例3 某商超服装部销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售减少库存，决定适当降价，经调查，每件每降价1元，平均每天可多卖出2件.设每件衬衫降价x元，若商超要求该服装部销售这种衬衫每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
解：由题意得：＝1200，
整理得：x2－30x＋200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵要扩大销售减少库存，∴x＝20，
答：每件衬衫应降价20元.
4.某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元.为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施.经调查发现，每件衬衣每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场要求销售这种衬衣每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（ D ）
A.10元 B.15元
C.20元 D.25元
D
类型四：图形问题与动态几何问题
例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
解：设xs后△PBQ的面积等于8cm2，
则AP＝xcm，QB＝2xcm，
∴PB＝（6－x）cm，
∴（6－x）·2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
答：2s或4s后△PBQ的面积等于8cm2.
5.如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，点E从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿CD以1cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动的时间.
解：设点E运动的时间是xs，
根据题意得：22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，
解得x1＝6－，x2＝6＋，
∵3÷2＝1.5s，2÷1＝2s，
∴两点运动了1.5s后停止运动，
∵5＜＜6，
∴0＜6－＜1＜1.5，6＋＞11＞1.5，
答：当△AEF是以AF为底的等腰三角形时，点E运动的时间是（6－）s.
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第3课时 配方法（二）
第二十一章 一元二次方程
★通过配成 完全平方 的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是为了 降次 ，把一个一元二次方程转化成两个 一元一次方程 来解.
★配方法解一元二次方程的步骤：
（1） 移项，将常数项移到方程的右边 ；
（2） 化二次项系数为1 ；
（3） 配方，两边同加上一次项系数一半的平方，将方程变形为（x＋n）2＝p的形式 ；
（4） 当p≥0时，转化成两个一元一次方程来解，得到原方程的解 .
完全平方
降次
一元一次方程
移项，将常数项移到方程的右边
化二次项系数为1
配方，两边同加上一次项系数一半的平方，将方程变形为（x＋n）2＝p
的形式
当p≥0时，转化成两个一元一次方程来解，得到原方程的解
例1 解方程：
（1）x2－4x－3＝0；
解：（1）移项，得x2－4x＝3，
配方，得（x－2）2＝7，
开方，得x－2＝±，
解得：x1＝2＋，x2＝2－；
（2）化简，得x2－2x＝4，
配方，得（x－1）2＝5，
开方，得x－1＝±，
解得：x1＝1＋，x2＝1－.
（2）x（x－2）＝4.
1.用配方法解方程x2＋x＝2，应把方程的两边同时（ A ）
A.加 B.加 C.减 D.减
2.一元二次方程y2－6y＋5＝0配方后可化为（ C ）
A.（y－3）2＝3 B.（y＋3）2＝3
C.（y－3）2＝4 D.（y＋3）2＝4
3.用配方法将方程x2＋4x－4＝0化成（x＋m）2＝n的形式，那么m＝ 2 ，n＝ 8 .
4.用配方法解方程：x2＋6x－6＝0.
A
C
2
8
解：移项，得x2＋6x＝6，
配方，得（x＋3）2＝15，
开方，得x＋3＝±，解得：x1＝－3，x2＝－－3.
例2 解方程：
（1）3x2－12x＝－12；
解：（1）系数化为1，得x2－4x＝－4，
配方，得（x－2）2＝0，
开方，得x－2＝0，解得x1＝x2＝2；
（2）3x2－2＝5x.
解：（2）移项，得3x2－5x＝2，
系数化为1，得x2－x＝，
配方，得（x－）2＝，
开方，得x－＝±，
解得x1＝－，x2＝2.
5.用配方法解方程3x2－6x－1＝0，则方程可变形为（ D ）
A.（x－3）2＝ B.（x－1）2＝
C.（3x－1）2＝1 D.（x－1）2＝
D
6.用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始出现错误的步骤是（ C ）
A.2x2－x＝6
B.x2－x＝3
C.x2－x＋＝3＋
D.（x－）2＝
C
7.方程3x2＋8x＝3配成（x＋m）2＝n的形式为 （x＋）2＝ ，方程的根为 x 1＝，x2＝ .
8.用配方法解方程：
（1）3x2－15x＝－9；
解：系数化为1，得x2－5x＝－3，
配方，得（x－）2＝，
开方，得x－＝±，
解得x1＝，x2＝.
（x＋）2＝
x1＝ ，
x2＝－3
（2）3x2＋6x－5＝0.
解：移项，得3x2＋6x＝5，
系数化为1，得x2＋2x＝，
配方，得（x＋1）2＝，
开方，得x＋1＝±，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－.
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第1课时 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
★一元二次方程的定义
等号两边都是 整式 ，只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程.
★一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，这种形式叫做一元二次方程的 一般形式 ，其中 ax2 是二次项， a 是二次项系数， bx 是一次项， b 是一次项系数， c 是常数项.
在判断各项系数及常数项时，要包括它前面的符号.
★一元二次方程解的定义
使一元二次方程两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
整式
一个
2
ax2＋bx＋c＝
0
一般形式
ax2
a
bx
b
c
例1 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A.2x2－y－1＝0 B.x2＝1
C.x2－x（x＋7）＝0 D.＝1
解：A.方程中有两个未知数；B.符合一元二次方程的定义；C.方程化简后未知数的最高次数是1；D.方程中含有分式，故选B.
1.下列方程为一元二次方程的是（ C ）
A.ax2＋bx＋c＝0 B.x2－2x－3
C.2x2＝2x D.xy＋1＝0
2.若（m－2）x2＋mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（ A ）
A.m≠2 B.m＝2
C.m＞2 D.m≠0
3.已知关于x的方程－2x＋3＝0是一元二次方程，则k＝ 3 .
C
A
3
例2 先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）8x2－3＝5x；
解：（1）原方程可化为8x2－5x－3＝0，
二次项系数是8，一次项系数是－5，常数项是－3；
（2）4－7x2－11x＝0；
解：（2）原方程可化为－7x2－11x＋4＝0，
二次项系数是－7，一次项系数是－11，常数项是4；
（3）3y（y＋1）＝7（y＋2）－5；
解：（3）原方程可化为3y2－4y－9＝0，二次项系数是3，一次项系数是－4，常数项是－9；
（4）（5x－1）2＝4（x－3）2.
解：（4）原方程可化为21x2＋14x－35＝0，
二次项系数是21，一次项系数是14，常数项是－35.
4. 把一元二次方程x（x＋1）＝3x＋2化为一般形式，正确的是（ D ）
A.x2＋4x＋3＝0 B.x2－2x＋2＝0
C.x2－3x－1＝0 D.x2－2x－2＝0
5.一元二次方程3x（x－2）＝x－5化为一般形式为 3x2－7x＋5＝0 ，它的一次项是 －7x ，常数项是 5 .
D
3x2－7x＋5＝0
－7x
5
例3 已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为 ( )
A.0 B.±1 C.1 D.－1
解：将x＝0代入一元二次方程，得a2－1＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.故选D.
6.若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－mx＋6＝0的一个解，则m的值是（ C ）
A.6 B.5 C.－5 D.－6
7.已知a是一元二次方程x2－2x－2023＝0的根，则代数式2a2－4a－2的值为（ A ）
A.4044 B.－4044
C.2024 D.－2024
C
A
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第6课时 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
★如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么有x1＋x2＝ － ，x1x2＝ .
注意：只有满足一元二次方程有根的条件（即Δ≥0），才有上述关系.
★记住几个常见的关系式：
（1）＋ ＝ （x1＋x2）2－2x1x2 ；
（2）（x1－x2）2＝ （x1＋x2）2－4x1x2 ；
（3）＋＝ ；
（4）（x1＋a）（x2＋a）＝ x1x2＋a（x1＋x2）＋a2 .
－
（x1＋x2）2－2x1x2
（x1＋x2）2－4x1x2
x1x2＋a（x1＋x2）＋a2
例1 若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2＋x1x2的值是（ ）
A.－5 B.－1 C.1 D.5
【分析】利用根系关系可得x1＋x2＝3，x1x2＝2，代入进行计算即可.答案：D.
1.一元二次方程x2－2x＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值为（ B ）
A.－2 B.0 C.1 D.2
2.若x1，x2是一元二次方程x2＋6＝5x的两个根，则x1＋x2＋x1x2的值是（ D ）
A.－1 B.1 C.－11 D.11
3.已知一元二次方程x2－5x＋3＝0的两个根为x1、x2，则＋的值为 19 .
4.若方程x2－3x－5＝0的两个根为x1、x2，则（x1－1）（x2－1）的值为 －7 .
B
D
19
－7
5不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）x2＋2x＋1＝0；
解：（1）x1＋x2＝－2，x1x2＝1；
（2）（x＋1）（x－2）＝2；
解：（2）整理，得：x2－x－4＝0，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－4；
（3）5x－5＝6x2－4；
解：（3）整理，得：6x2－5x＋1＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝；
（4）2x2＋3＝7x2＋x.
解：（4）整理，得：5x2＋x－3＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
例2 已知关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m－3＝0.
（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
【分析】（1）计算其判别式大于0，即可证得结论；
（1）证明：由题意得Δ＝b2－4ac＝[－（m＋1）]2－4×1×（2m－3）＝（m－3）2＋4＞0，
∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一根.
【分析】（2）把x＝1代入方程可求得m的值，再利用根与系数的关系即可求得另一根.
（2）解：把x＝1代入方程可得m＝3，
当m＝3时，原方程为x2－4x＋3＝0，
设方程的另一个根为x2，则1＋x2＝4，
解得x2＝3，即方程的另一根为3.
6.已知方程x2－4x＋k＝0的一个根是－1，则该方程的另一个根是（ D ）
A.－5 B.0 C.1 D.5
7.关于x的一元二次方程x2＋（a2－2a）x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ A ）
A.0 B.1 C.2 D.2或0
8.某矩形的长与宽是方程x2－6x＋3＝0的两个根，则这个矩形的面积为 3 .
9.已知x1，x2是方程x2－（2k＋1）x＋（k2＋1）＝0的两个实数根，且＋＝5，则k＝ 1 .
D
A
3
1
解：将x＝0代入方程，解得：a1＝－1，a2＝0，
∵原方程为一元二次方程，∴a＝－1，
∴原方程为－x2－5x＝0，
∴方程的另一个根为－－0＝－5.
10.关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，求a的值及另一个根.
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第2课时 配方法（一）
第二十一章 一元二次方程
★如果方程能化成 x2＝p 或 （mx＋n）2＝p 的形式，那么可用直接开平方法得到方程为 x＝± 或 mx＋n＝± .
当p＞0时，方程有两个不等的实数根；当p＝0时，方程有两个相等的实数根；当p＜0时，方程无实数根.
x2＝p
（mx＋n）2＝p
x＝±
mx＋n＝±
例1 解方程：4x2－10＝0.
【分析】根据方程的特征先移项，再把系数化为1，从而把方程化为x2＝a的形式，再直接开平方.
解：移项得4x2＝10，
系数化为1得x2＝，
开方得x＝±，
即x1＝，x2＝－.
1.方程x2＝16的解是（ B ）
A.x＝4 B.x＝±4
C.x＝－4 D.x＝8
2.方程3x2＋27＝0的解是（ C ）
A.x＝±3 B.x＝－3
C.无实数根 D.以上都不对
3.一元二次方程x2＝（－5）2的解为 x1＝5，x2＝－5 .
4.方程x2＋3＝6的根是 x＝± .
B
C
x1＝5，x2＝－5
x＝±
（1）2x2＝200；
解：原方程可变形为x2＝100，
开方得x＝±10，
即x1＝10，x2＝－10.
（2）2x2－8x＝16－8x.
解：原方程可变形为x2＝8，
开方得x＝±2，
即x1＝2，x2＝－2.
5.解方程：
例2 解方程：4（x－1）2－1＝24.
【分析】通过化简将方程转化成（mx＋n）2＝p的形式，再直接开平方.
解：化简得（x－1）2＝，
开方得x－1＝±，
解得x1＝，x2＝－.
6.一元二次方程（x－2）2＝0的根是（ B ）
A.x＝－2 B.x1＝x2＝2
C.x1＝－2，x2＝2 D.x1＝0，x2＝2
7.方程2（x－5）2－14＝0的两个根是（ B ）
B
B
A.x1＝12，x2＝－2 B.x1＝5＋，x2＝5－
C.x1＝19，x2＝－9 D.x1＝5＋，x2＝5－
8.一元二次方程（2x＋1）2＝81的根是 x1＝4，x2＝－5 .
9.一元二次方程x2＋6x＋9＝2的根是 x1＝－3＋，x2＝－3－ .
x1＝4，x2＝－5
x1＝－3＋，x2＝－3－
10.解方程：
（1）（2x－3）2－64＝0；
解：方程整理得：（2x－3）2＝64，
开方得：2x－3＝±8，
解得：x1＝，x2＝－.
（2）（y＋2）2－6＝0.
解：方程整理得：（y＋2）2＝12，
开方得：y＋2＝±2，
解得：y1＝2－2，y2＝－2－2.
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