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第2课时 二次根式（2）
第21章 二次根式
★二次根式的性质：
（1）＝a；
（2）＝｜a｜.
考点一：二次根式的化简
例1 化简下列各式：
（1）；
解：（1）原式＝5；
（2）；
（2）原式＝9；
（3）；
（3）原式＝π－3；
（4）（x≥2）.
（4）原式＝x－2.
【分析】利用＝｜a｜进行化简.
1.化简下列各式：
（1）；
解：原式＝｜π－4｜＝4－π.
（2）（b＞4）；
解：原式＝｜b－4｜＝b－4.
（3）（a＜0）；
解：原式＝3｜a｜＝－3a.
（4）（m＜n）.
解：原式＝｜m－n｜＝n－m.
2.下列等式能不能成立？为什么？
（1）＝7；
解：（1）成立，∵7＞0，∴＝7；
（2）＝－7；
解：（2）不成立，∵－7＜0，
∴＝－（－7）＝7；
（3）＝0；
解：（3）成立，∵0≥0，∴＝0；
（4）＝x（x＜0）.
解：（4）不成立，∵x＜0，∴＝－x.
考点二：综合问题
例2 如果一个三角形的三边长分别是2，3，m，化简：－｜2－2m｜－7.
解：由三角形三边关系得1＜m＜5，
原式＝｜m－5｜－｜2－2m｜－7
＝5－m－2m＋2－7＝－3m.
3.数轴上表示实数x的点在表示－1的点的左边，则－2｜x－1｜的值（ C ）
A.大于0 B.等于－2
C.小于－2 D.大于－2
C
4.（1）化简：＋｜3－x｜（x＜2）；
解：原式＝｜x－2｜＋｜3－x｜
＝2－x＋3－x
＝5－2x.
（2）当－3≤x≤2时，试化简：｜x－2｜＋＋.
解：原式＝｜x－2｜＋｜x＋3｜＋｜x－5｜
＝2－x＋x＋3＋5－x
＝10－x.
5.a、b、c三个实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：－＋.
解：由题意得：a－b＜0，a＋c＜0，b－c＜0，
原式＝｜a－b｜－｜a＋c｜＋｜b－c｜
＝－（a－b）－（－a－c）＋（－b＋c）
＝2c.
6.已知xy＜0，把代数式x中的x移到根号内.
解：∵－≥0，xy＜0，
∴y＜0，x＞0，
∴x＝＝.
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第12课时 复习巩固
第21章 二次根式
本章知识结构：
考点一：二次根式的相关概念
例1 （1）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，二次根式有（ B ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案：（1）B；
（2）若二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ A ）
A.x≥1 B.x＞1
C.x＞－1 D.x≥－1
答案：（2）A；
【分析】熟练运用相关概念是解题的关键.
答案：（3）B；
（4）下列二次根式：①；②；③；④，能与合并的（ C ）
A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④
答案：（4）C；
（3）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ B ）
A. B. C. D.
（5）已知与互为相反数，则x2－y2的值为 －15 .
答案：（5）－15.
1.在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ C ）
A.x＞1 B.x≥1 C.x≤1 D.x≠1
2.若与｜x－y－3｜互为相反数，则x＋y的值为（ A ）
A.27 B.9 C.12 D.3
3.有意义，则m能取的最小整数值是（ B ）
A.0 B.1 C.2 D.3
C
A
B
4.在下列二次根式中，为最简二次根式的是（ A ）
A.2 B.
C. D.
5.下列二次根式化简后，能与合并的是（ C ）
A. B. C. D.
A
C
考点二：二次根式的化简
例2 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：－.
【分析】由公式＝｜a｜得在化简时必须先确定a＋b，a－b的符号再化简.
解：由图可知：a＋b＜0，a－b＜0，
－＝｜a＋b｜－｜a－b｜＝－a－b－＝－2b.
6.当m≥2时，化简：.
解：∵m≥2，
∴
＝
＝｜2－m｜
＝－（2－m）
＝m－2.
考点三：把根号外的式子移到根号内
例3 把根号外面的因式移入根号内.
【分析】把根号外的因式移到根号内，这时要注意讨论移入的因式必须是非负的.
解：由题意得：y－2x＞0，则2x－y＜0，
∴＝－＝－.
7.将根号外面的因式或因数移入根号内.
（1）a；
解：（1）∵－＞0，∴a＜0，
∴原式＝－＝－；
（2）.
解：（2）∵＞0，∴a＜1，∴a－1＜0，
∴原式＝－＝－.
考点四：比较大小
例4 比较大小：
（1）4与6；
解：（1）∵4＝，6＝，
∴4＞6；
【分析】比较两个实数的大小通常有下列方法：①被开方数比较法；②平方法比较法；③倒数比较法；④分母有理化比较法；⑤作差比0法；⑥作商比1法.
（3）－与－.
解：（3）∵＝，
＝，
∴－＞－.
（2）＋与＋；
解：（2）∵（＋）2＝26＋2，
（＋）2＝26＋2，
∴＋＜＋；
8.比较大小：2 ＜ .（填“＞”“＝”或“＜”）
9.已知a＝－2，b＝5－，则a ＜ b.（填“＞”“＝”或“＜”）
10.比较大小：－ ＞ －.（填“＞”“＝”或“＜”）
＜
＜
＞
考点五：二次根式的运算
例5 计算：
（1）－；
解：（1）原式＝＋－＝；
（2）2÷×；
解：（2）原式＝2÷××＝2×＝；
【分析】根据二次根式的性质与加减乘除法则计算即可得出结果.
（3）－（3－2）（3＋2）；
解：（3）原式＝－＋
＝2＋－18＋12＝－4；
（4）－＋｜－｜.
解：（4）原式＝1－2＋＝1－.
11.计算：
（1）－×＋｜2－｜－；
解：原式＝－2＋－2－＝－2－2.
（2）（2＋）（2－）－（3－）2；
解：原式＝（2）2－（）2－（27－6＋2）＝24－3－29＋6＝6－8.
（3）3×－＋.
解：原式＝3×－＋2＋－2＝2.
考点六：综合问题
例6 （1）某地有一矩形花园，已知矩形的长是宽的2倍，它的面积为1600m2，求花园的长和宽；
解：设宽为xm，则长为2xm，
由题意得：2x2＝1600，解得：x＝20，
答：矩形长为40m，宽为20m.
解：＝＝，
∵2＜＜3，
∴2＜＜3，即2＜＜3，
∴的整数部分a＝2，
小数部分b＝－2，即b＝，
∴a2＋ab＝10.
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求a2＋ab的值.
【分析】先对进行化简，再寻找它的整数部分a与小数部分b.
12.已知x＝，y＝，分别求下列代数式的值.
（1）x2＋y2；
解：（1）∵x＝＝－1，y＝＝＋1，
∴x－y＝－2，xy＝1，
∴x2＋y2＝（x－y）2＋2xy＝6；
（2）＋.
解：（2）∵x2＋y2＝6，xy＝1，
∴原式＝＝6.
13.先化简，再求值：＋，其中x＝＋1，y＝－1.
解：原式＝＋
＝＋＝，
∵x＝＋1，y＝－1，
∴x＋y＝2，xy＝2，
∴原式＝＝.
14.如图1，在矩形ABCD中，E为BC上一点，AE⊥DE，∠DAE＝30°，若DE＝m＋n，且m、n满足m＝＋＋2，试求BE的长.
图1
解：由题意得，
∴n＝8，m＝2，∴DE＝10，
∵AE⊥DE，∠DAE＝30°，
∴AD＝2DE＝20，∠ADE＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BC＝AD＝20，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝DE＝5，
∴BE＝BC－CE＝15.
15.如图2，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE.
（1）求证：AE＝BD；
（1）证明：由题意得：
AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∵∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；
图2
（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；
（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝ED2，且AE＝BD，
∴BD2＋AD2＝ED2，
∵ED＝CD，
∴BD2＋AD2＝2CD2；
图2
（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD∶AF＝1∶2，CD＝＋，求线段AB的长.
（3）解：如图，连接EF，
设BD＝x，则AE＝x，AF＝2x，
∵△ECD是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，
在Rt△FAE中，EF＝＝3x，
∵AE2＋AD2＝2CD2，
∴x2＋＝2，
解得x1＝1，x2＝－1（舍去），
∴AF＝2，DF＝EF＝3，
∴AB＝AF＋DF＋BD＝2＋4.
图2
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第5课时 二次根式的除法
第21章 二次根式
★二次根式的除法：二次根式相除，将它们的 被开方数 相除，根指数不变.
字母表示：＝（a≥0，b＞0）.
★商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
字母表示：＝（a≥0，b＞0）.
★方法指导：
（1）注意二次根式有意义的条件；
（2）利用商的算术平方根的性质，其目的是对二次根式进行化简，使被开方数中不含有分母.
被开方数
考点一：二次根式除法成立的条件
例1 若＝成立，求x的取值范围.
【分析】根据二次根式的除法法则即可得到关于x的不等式组.
解：根据题意得：，
解得2≤x＜3.
1.若＝成立，求x的取值范围.
解：根据题意得： ，
解得6＜x≤9.
考点二：二次根式的除法
例2 计算：
（1）；
解：（1）＝＝＝2；
（2）÷.
【分析】先利用二次根式除法法则进行计算，再化简.
解：（2）÷＝＝＝3.
2.计算：
（1）÷；
解：原式＝＝＝.
（2）÷÷.
解：原式＝
＝
＝＝2.
考点三：商的算术平方根
例3 化简：
（1）；
解：（1）＝＝＝；
（2）（y＞0）；
解：（2）＝＝；
（3）.
【分析】根据商的算术平方根的性质进行化简.
解：（3）＝＝＝.
3.化简：
（1）；
解：（1）＝＝；
（2）；
解：（2）＝＝＝.
（3）；
（4）.
解：（3）原式＝＝＝；
解：（4）原式＝＝＝.
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第1课时 二次根式（1）
第21章 二次根式
★二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号.
★＝a.
★方法指导：
注意二次根式的双重非负性：≥0.
考点一：二次根式的概念
例1 判断下列各式哪些是二次根式.
（1）； （2）；
（3）（m≤0）； （4）6；
（5）； （6）；
（7）； （8）（x，y异号）.
解：（1）（3）（5）（7）是二次根式，（2）（4）（6）（8）不是二次根式.
1.判断下列各式中哪些是二次根式.（填“是”或“不是”）
（1）（ 是 ）；
（2）（ 不是 ）；
（3）（ 不是 ）；
（4）（ 是 ）.
是
不是
不是
是
考点二：二次根式有意义的条件
例2 当x是怎样的实数时，下列式子有意义？
（1）；
解：（1）∵被开方数1－2x≥0，即x≤，
∴当x≤时，二次根式有意义；
（2）；
解：（2）要使有意义，则有，即，
∴当x≥1且x≠2时，有意义；
（3）；
解：（3）要使有意义，则有，即，
∴当≤x＜3时，有意义；
（4）.
解：（4）要使有意义，则有＞0，即x＞1，
∴当x＞1时，有意义.
2.写出下列各式有意义的x的取值范围.
（1）；
解：（1）x为任意实数；
（2）；
解：（2）x＞1.
（3）；
解：（3）x≥且x≠2；
（4）.
解：（4）x＜.
考点三：的计算
例3 计算：
（1）；
解：（1）＝；
（2）.
解：（2）＝22×＝12.
3.计算：＝ 14 .
4.在实数范围内分解因式：
4a2－7＝ （2a＋）（2a－） .
14
（2a＋）（2a－）
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第3课时 二次根式的乘法
第21章 二次根式
★二次根式乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
字母表示：·＝（a≥0，b≥0）.
★方法指导：
进行二次根式乘法运算时，注意成立的条件.
考点一：二次根式乘法法则成立的条件
例1 若·＝成立，求x的取值范围.
【分析】根据二次根式的乘法法则即可得到关于x的不等式组.
解：根据题意得： ，
解得1≤x≤3.
1.若·＝成立，求x的取值范围.
解：根据题意得：，
解得－3≤x≤1.
考点二：利用二次根式乘法法则进行计算
例2 计算：
（1）×；
【分析】利用二次根式乘法法则运算即可.
解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝4；
（3）原式＝＝＝4a.
（2）×；
（3）·（a≥0）.
2.计算：×＝（ B ）
A.4 B.4 C. D.2
3.下列计算正确的是（ D ）
A.2×3＝6
B.2×3＝5
C.2×3＝6×25＝150
D.2×3＝6×5＝30
B
D
4.下列运算正确的是（ D ）
A.x2＋x5＝x7
B.1÷·＝1
C.2×3＝6
D.（x＋1）（x－1）＝x2－1
D
5.计算：2×＝ 6 .
6.计算：×＝ .
7.计算：×＝ 2 .
6
2
（1）×；
解：原式＝＝＝8.
（2）2×；
解：原式＝2＝2＝12.
（3）×2；
解：原式＝×2×
＝×＝10.
（4）××.
解：原式＝×＝×＝2.
8.计算：
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第8课时 二次根式的加减
第21章 二次根式
★同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 以后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
★二次根式的加减的步骤：
（1）先把各个二次根式化成最简二次根式；
（2）合并同类二次根式，将同类二次根式的 系数 相加减，根式不变.
★方法指导：
二次根式的加减运算的实质就是合并同类二次根式，它与整式的加减运算类似.
最简二次根式
被开方数
系数
考点一：同类二次根式
例1 （1）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的一组是（ B ）
A.和 B.和 C.和 D.和
答案：（1）B； （2）C.
【分析】先将二次根式进行化简，再根据同类二次根式的概念求解即可.
（2）已知最简二次根式与可以合并成一项，则a，b的值分别为（ C ）
A.1，2 B.－1，0 C.1，0 D.－1，2
1.下列二次根式中：①；②；③；④，能与合并的是（ C ）
A.①和② B.②和③
C.①和④ D.③和④
2.如果最简二次根式和是同类二次根式，求a，b的值.
解：根据同类二次根式的定义得：
，解得： .
C
考点二：二次根式的加减
例2 计算：
（1）3－－2－3；
解：（1）原式＝（3－2）＋（－1－3）＝－4；
（2）－＋；
解：（2）原式＝3－2＋3＝＋3；
（3）＋6－2x；
解：（3）原式＝2＋2－4＝0；
（4）－.
解：（4）原式＝－2－＋
＝－－＋5
＝＋.
3.计算：
（1）3＋2－；
解：原式＝6＋8－5＝9.
（2）＋2－4－；
解：原式＝＋4－－＝.
（3）2－－2；
解：原式＝2×3－4－2×
＝6－4－
＝.
（4）－.
解：原式＝3＋3－5＋
＝－2＋.
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第6课时 二次根式的化简
第21章 二次根式
★最简二次根式：化简后的二次根式被开方数不含有分母，并且被开方数不含开得尽方的因式或因数，这样的二次根式叫做最简二次根式.
★分母有理化：分母中含有根号，化简时需要把分母中的根号化去，这样的过程叫做分母有理化.
★方法指导：
化简二次根式实质就是将二次根式化简成最简二次根式.
考点一：认识最简二次根式
例1 试判断下列二次根式中哪些是最简二次根式？为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行判断，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数是否都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.由此可得最简二次根式有：（3）.
1.下列二次根式为最简二次根式的是（ C ）
A. B. C. D.
2.下列二次根式为最简二次根式的是（ C ）
A. B.
C. D.
C
C
考点二：二次根式的化简
例2 把下列各式化成最简二次根式：
（1）；
解：（1）＝＝2；
（2）（a≥0）；
解：（2）＝＝3a；
（3）4；
解：（3）4＝4
＝4＝＝2；
（4）x2（x＞0）.
解：（4）x2＝x2
＝x2＝x.
3.把下列各式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
解：原式＝4.
解：原式＝＝6.
（3）；
解：原式＝.
（4）.
解：原式＝＝.
考点三：分母有理化
例3 把下列各式的分母有理化：
（1）；
解：（1）原式＝＝；
（2）；
解：（2）原式＝
＝；
（3）.
解：（3）原式＝
＝
＝17－12.
4.将下列式子进行分母有理化：
（1）＝ ；
（2）＝ 3－ .
5.已知a＝，b＝2－，比较a与b的大小关系.
解：∵a＝＝2－，b＝2－，
∴a＝b.
3－
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第4课时 积的算术平方根
第21章 二次根式
★积的算术平方根，等于积中各 因式 算术平方根的积.
字母表示：＝·（a≥0，b≥0）.
★方法指导：
（1）进行积的算术平方根运算时，注意成立的条件；
（2）利用积的算术平方根的性质，其目的是将二次根式化简，而二次根式化简关键是被开方数分解质因数，把含有a2形式的移到根号外面，使二次根式简化.
因式
考点一：积的算术平方根成立的条件
例1 若＝·成立，求x的取值范围.
【分析】根据二次根式的乘法法则即可得到关于x的不等式组.
解：根据题意得： ，
解得≤x≤3.
1.若＝·成立，求x的取值范围.
解：根据题意得： ，
解得－5≤x≤2.
考点二：积的算术平方根
例2 化简，使被开方数不含有完全平方的因式（或因数）：
（1）；
解：（1）原式＝×
＝4×9＝36；
（2）；
解：（2）原式＝＝×＝2；
（3）；
解：（3）原式＝
＝××
＝20；
（4）（m＜0）.
【分析】利用积的算术平方根进行计算，注意＝｜a｜.
解：（4）原式＝
＝×··
＝－2m（m＜0）.
2.化简，使被开方数不含有完全平方的因式（或因数）：
（1）；
解：（1）原式＝×＝4×11＝44；
（2）；
解：（2）原式＝×＝3.
（3）；
（4）.
解：（3）原式＝＝＝4；
解：（4）原式＝＝11.
考点三：二次根式的乘法与化简
例3 计算：
（1）3×2；
解：（1）原式＝3×2
＝3×2×5＝30；
（2）3·2.
【分析】先利用二次根式乘法法则运算，再化简.
解：（2）原式＝6
＝6＝30.
3.计算：
（1）×；
解：原式＝＝＝2.
（2）6×（－2）；
解：原式＝－12＝－108.
（3）×；
解：原式＝＝×12＝6.
（4）2×（－3）.
解：原式＝－6＝－6×＝－3.
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第11课时 专题二次根式与勾股定理
第21章 二次根式
★直角三角形中，其边有可能是二次根式，在运算中，需要用到二次根式的计算.
考点一：勾股定理与格点问题
例1 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，连接AB、AC、BC.
（1）请直接写出线段AB、AC的长度；
解：（1）由勾股定理可得AB＝＝，AC＝＝2；
（2）请判断△ABC的形状，并说明理由.
解：（2）△ABC是等腰直角三角形，
理由：由（1）可知AB2＝10，AC2＝20，
又∵BC2＝32＋12＝10，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝BC＝，
∴△ABC是等腰直角三角形.
1.如图1，小正方形的边长为1，求△ABC中AC边上的高.
图1
解：如图，过点B作BG⊥AC交AC于点G，
在Rt△ACF中，AF＝2，CF＝1，
∴AC＝＝，
∵S△ABC＝S正方形AFED－S△BCE－S△ABD－S△ACF＝4－×1×1－2××2×1
＝＝AC·BG，
∴×BG＝，解得BG＝，
即△ABC中AC边上的高为.
考点二：利用二次根式求直角三角形的边
例2 如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点D在边BC上且CD＝1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，求△DEF周长的最小值.
解：如图，作点D关于AB的对称点G，
关于AC的对称点H，连接GH交AB、AC于点E、F，
连接CH，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
由对称性知，GB＝DB＝3，CH＝CD＝1，∠FCH＝∠FCD＝45°，FH＝FD，EG＝ED，
∴∠HCG＝∠FCD＋∠FCH＝90°，GC＝GB＋BD＋DC＝7，
∵C△DEF＝DE＋EF＋DF＝GE＋EF＋FH，
∴当G、E、F、H四点在同一直线上时，△DEF的周长最小，为GH的长，
在Rt△CHG中，GH＝＝5，
∴△DEF周长的最小值为5.
2.如图2，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，D为AB的中点，E为边AC上的动点，连接ED，EB，求△BDE周长的最小值.
图2
解：如图，作点D关于直线AC的对称点D'，连接AD'，连接BD'交AC于点E，
∵AB＝BC＝2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝1，
由对称性知，AD'＝AD＝1，∠D'AE＝∠DAE＝45°，D'E＝DE，
∴∠DAD'＝∠DAE＋∠D'AE＝90°，
∵C△BDE＝BD＋DE＋BE＝BD＋D'E＋BE，
∴当D'、E、B三点在同一直线上时，△BDE的周长最小，为BD＋BD'的值，
在Rt△BAD'中，D'B＝＝，
∴△BDE周长的最小值为1＋.
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第10课时 专题二次根式的化简
第21章 二次根式
★二次根式的化简，需要根据二次根式的有关概念、性质及运算法则进行，有些题还需要运用乘法公式、整体思想等知识进行计算.
考点一：利用二次根式定义和非负性进行化简
例1 已知＋＋｜x－2y｜＋｜z＋4y｜＝0，则2xyz的相反数是（ B ）
A.－ B. C.－ D.
解：在＋＋｜x－2y｜＋｜z＋4y｜＝0中，
∵≥0，≥0，｜x－2y｜≥0，｜z＋4y｜≥0，
∴2x－1＝0，x－2y＝0，z＋4y＝0，
解得：x＝，y＝，z＝－1，∴2xyz＝2×××（－1）＝－，
∴2xyz的相反数是，故选B.
1.若1＜a＜3，则化简－的结果是（ B ）
A.5－2a B.2a－5 C.－3 D.3
2.已知y＝2＋3－3，则xy＝ 8 .
3.先化简，再求值：＋，其中x＝6.
解：＋
＝＋
＝＋，
∵x＝6，∴x＋1＞0，x－8＜0，
∴原式＝x＋1－（x－8）＝9.
B
8
考点二：利用乘法公式进行化简
例2 计算：
（1）－2×｜－｜；
解：（1）原式＝×（2＋）－2×＝（4－3）2022×（2＋）－2×＝2＋－＝2；
（2）（3＋2）（3－2）－.
解：（2）原式＝－－（2＋12－4）＝18－12－14＋4＝4－8.
4.计算：
（1）－（－）；
解：原式＝5＋2－1＋2＝4＋4.
（2）｜1－｜－（－）－2＋（＋1）（－1）.
解：原式＝－1－3＋3－1
＝2－1－3＋3－1
＝2－2.
考点三：利用整体思想进行化简
例3 若a＝，求a4－4a3－4a＋3的值.
解：∵a＝＝＝＋2，
∴a－2＝，∴（a－2）2＝5，
∴a2－4a＋4＝5，∴a2－4a＝1，
∴a4－4a3－4a＋3
＝a2（a2－4a）－4a＋3
＝a2－4a＋3
＝1＋3＝4，
即a4－4a3－4a＋3的值为4.
5.若a＝，则2a2－8a＋1＝ －1 .
6.已知a＝＋，b＝－.
－1
（1）求a2－b2的值；
（1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）
＝2×2＝4；
（2）求a2－ab＋b2的值.
解：∵a＝＋，b＝－，
∴a＋b＝2，a－b＝2，ab＝3－2＝1，
（2）a2－ab＋b2＝（a＋b）2－3ab
＝－3×1
＝9.
考点四：先确定符号再化简
例4 已知a＋b＝－8，ab＝8，化简求值：b＋a.
解：∵a＋b＝－8，ab＝8，
∴a，b同为负数，
∴原式＝b＋a＝（－－）＝－
＝－×
＝－12.
7.已知a＋b＝－6，ab＝1，求＋的值.
解：∵a＋b＝－6，ab＝1，∴a＜0，b＜0，
∴原式＝－－＝－，
当a＋b＝－6，ab＝1时，
原式＝－＝6.
考点五：利用二次根式的整数部分和小数部分化简
例5 已知的整数部分为a，小数部分为b，求b（＋a）的值.
解：∵3＜＜4，
∴a＝3，b＝－3，
把a＝3，b＝－3代入b（＋a），
得×（－3）（＋3）＝×4＝1.
8.（1）已知＋7的小数部分是a，7－的小数部分是b，求a＋b的值；
解：（1）∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
∴9＜＋7＜10，4＜7－＜5，
∴＋7的小数部分是＋7－9＝－2，7－的小数部分是7－－4＝3－，
∴a＝－2，b＝3－，
∴a＋b＝－2＋3－＝1；
（2）设5＋的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3－的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab－cd的值.
解：（2）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，
∴6＜5＋＜7，1＜3－＜2，
∴a＝6，b＝5＋－6＝－1，c＝1，d＝3－－1＝2－，
∴ab－cd＝6（－1）－1×（2－）＝6－6－2＋＝7－8.
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第7课时 专题二次根式的乘除
第21章 二次根式
★·＝（a≥0，b≥0）.
★＝（a≥0，b＞0）.
★方法指导：
二次根式乘除的结果必须化为最简二次根式.
考点：二次根式的乘除
例 计算：
（1）×÷；
（2）÷×；
（3）÷（）×（4）.
解：（1）原式＝3×5×＝15；
解：（2）原式＝＝＝；
解：（3）原式＝（1÷×4）＝（1××4）＝10.
1.下列各式属于最简二次根式的是（ C ）
A. B. C. D.
2.若＝成立，则x的取值范围为（ B ）
A.x≥0 B.0≤x＜1
C.x＜1 D.x≥0或x＜1
C
B
3.下列运算结果是无理数的是（ B ）
A.3× B.×
C.÷ D.
4.计算3×2÷的结果是（ A ）
A.60 B.15 C.6 D.35
B
A
5.在化简3时，甲、乙、丙三位同学运用了不同的化简方法，甲：原式＝3×＝；乙：原式＝3×＝3×＝；丙：原式＝＝，其中解答正确的是（ D ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.都正确
D
6.计算：
（1）×÷；
解：原式＝
＝＝.
（2）9÷3×；
解：原式＝27÷××
＝27××
＝45.
（3）3÷3×.
解：原式＝9××6
＝126.
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第9课时 二次根式的混合运算
第21章 二次根式
★二次根式的四则混合运算法则：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）如果有括号，那么先算括号里面的，再算括号外面的.
★方法指导：
二次根式的混合运算可以类比整式的混合运算法则进行，二次根式运算结果都必须化简.
考点一：二次根式的混合运算
例1 计算：
（1）；
解：（1）原式＝－
＝－6；
（2）；
解：（2）原式＝－2××3＋
＝33－18；
（3）÷；
解：（3）原式＝
＝；
（4）＋－4.
解：（4）原式＝3＋－
＝3＋3＋2－
＝3＋4.
1.下列计算结果正确的是（ B ）
A.3－＝3 B.÷＝2
C.＝6 D.＝－2
2.下列运算正确的是（ D ）
A.＝－3 B.＝4
C.＋＝ D.×＝
B
D
3.计算：
（1）－（－）；
解：原式＝2－（－）
＝.
（2）＋×（－）＋；
解：原式＝2－2＋1＋3－3＋2
＝6－3.
（3）＋－×.
解：原式＝2＋＋－
＝2＋＋－3
＝3－2.
考点二：整体思想的运用
例2 若x＝，y＝，求代数式x2－xy＋y2的值.
解：∵x＝，y＝，
∴x－y＝，xy＝1，
∴x2－xy＋y2＝（x－y）2＋xy＝8.
4.（1）已知x＋＝1＋，求（x－）2的值；
解：∵x＋＝1＋，
∴（x＋）2＝x2＋2＋＝＝4＋2，
∴x2＋＝2＋2，
∴（x－）2＝x2－2＋＝2.
（2）若x－2＝，求（x－1）2－2（x－1）＋1的值.
解：∵（x－1）2－2（x－1）＋1＝（x－2）2，
∴把x－2＝代入上式可得：
原式＝＝2.
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