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第4课时 解一元二次方程——配方法
第22章 一元二次方程
★配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方形式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
★方法指导：
用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一般步骤：
（1）化1：把二次项系数化为1（方程两边都除以a）；
（2）移项：将含x的项移到方程左边，常数项移到方程的右边；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
（4）变形：将原方程变成（x＋m）2＝n的形式；
（5）求解：若n≥0，可以直接开平方法求解；若n＜0，原方程无实数解.
考点一：配方法解一元二次方程
例1 解下列方程：
（1）x2－4x＋2＝0；
解：（1）移项，得x2－4x＝－2，
配方，得x2－4x＋（）2＝－2＋（）2，
即（x－2）2＝2，
∴x－2＝或x－2＝－，
解得x1＝2＋，x2＝2－；
（2）6x2＋x－2＝0.
解：（2）方程两边除以6，得x2＋x－＝0，
移项，得x2＋x＝，
配方，得x2＋x＋（）2＝＋（）2，
即（x＋）2＝，
∴x＋＝或x＋＝－，
解得x1＝，x2＝－.
1.解方程：
（1）x2－6x－9＝0；
解：x2－6x＝9，
x2－6x＋9＝18，
∴（x－3）2＝18，∴x－3＝±3，
解得x1＝3＋3，x2＝3－3.
（2）2x2＋x－1＝0.
解：x2＋x＋＝，
∴（x＋）2＝，∴x＋＝±，
解得x1＝－1，x2＝.
考点二：代数式的配方
例2 证明：不论x为何值，代数式x2－4x＋7的值都大于零，并求出当x为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
【分析】用配方法，根据平方的结果是非负数可以求解.
证明：x2－4x＋7＝（x－2）2＋3，
∵（x－2）2≥0，∴（x－2）2＋3＞0，
即不论x为何值，代数式x2－4x＋7的值都大于零；
当（x－2）2＝0，即x＝2时，代数式x2－4x＋7有最小值，最小值为3.
2.已知x2＋y2－4x－6y＋13＝0，x，y为实数，求x＋y的值.
解：∵x2＋y2－4x－6y＋13＝0，
∴（x2－4x＋4）＋（y2－6y＋9）＝0，
∴（x－2）2＋（y－3）2＝0，
∴（x－2）2＝0，（y－3）2＝0，
解得：x＝2，y＝3，
∴x＋y＝5.
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第9课时 *一元二次方程根与系数的关系（2）
第22章 一元二次方程
★利用根与系数的关系求一元二次方程中字母系数的值的时候，一定要检验根的判别式是否为非负数.
★补充：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）为x2－（x1＋x2）x＋x1x2＝0.
考点：利用根与系数的关系确定未知数的值
例 已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
【分析】将题中关于方程两根的式子化成两根之和与两根之积的形式，再代入计算即可.注意条件b2－4ac≥0.
解：（1）不存在，理由如下：
假设存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－成立，由题意得：
，
∴k＜0，
又∵x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝，
∵（2x1－x2）（x1－2x2）
＝2（＋）－5x1x2
＝2（x1＋x2）2－9x1x2＝－＝－，
∴k＝，不满足k＜0，
∴不存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－成立；
（2）求使＋－2的值为整数的实数k的整数值.
解：（2）∵＋－2＝－2
＝－4＝－4＝－，
∴要使其值是整数，只需k＋1能被4整除，故k＋1＝±1或±2或±4，
∵k＜0，
∴要使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2或－3或－5.
1.已知－2是一元二次方程2x2－4x＋c＝0的一个根，则该方程的另一个根（ B ）
A.2 B.4 C.－6 D.－4
2.若关于x的方程x2＋（m＋1）x＋m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（ C ）
A.2 B.－1 C.1 D.1或－1
3.以1＋和1－为根的一元二次方程是 x2－2x－6＝0 .
4.关于x的方程x2－6x＋p＝0的两个根是α、β，且2α＋3β＝20，则p＝ －16 .
B
C
x2－2x－6＝0
－16
5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个实数根，且－3x1x2＋＝4，则a＝ 1 .
1
（1）求k的取值范围；
解：（1）∵一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＝0有实数根，
∴Δ＝（2k＋1）2－4k2≥0，∴k≥－；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2－x1－x2＝1，求k的值.
解：（2）由根与系数的关系可知，
x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2，
∴2x1x2－x1－x2＝2k2＋2k＋1＝1，
∴k＝0或－1，
∵k≥－，
∴k＝0.
6.已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＝0有实数根.
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第6课时 专题求解一元二次方程
第22章 一元二次方程
★解一元二次方程的方法：
（1）直接开平方法；
（2）配方法；
（3）公式法；
（4）因式分解法.
★方法指导：
根据方程特点，选择恰当的方法求解.选择时，首先考虑直接开平方法或者因式分解法，然后考虑配方法，最后考虑公式法.
考点：选择方法解方程
例 解关于x的方程：
（1）2（3x－1）2＝8；
【分析】（1）用直接开平方法求解可得；
解：（1）方程两边同除以2，
得（3x－1）2＝4，
则3x－1＝2或3x－1＝－2，
解得：x1＝1，x2＝－；
（2）x2－4x－36＝0；
【分析】（2）根据配方法计算可得；
解：（2）∵x2－4x－36＝0，∴x2－4x＝36，
则x2－4x＋4＝36＋4，即（x－2）2＝40，
∴x－2＝±2，
解得：x1＝2＋2，x2＝2－2；
（3）x2－4x＝4；
【分析】（3）根据公式法求解可得；
解：（3）方程整理，得x2－4x－4＝0，
∵a＝，b＝－4，c＝－4，
∴b2－4ac＝16－4××（－4）＝48＞0，
则x＝＝＝±，
解得：x1＝＋，x2＝－；
（4）x（x－2）＝2－x；
【分析】（4）利用因式分解法计算可得；
解：（4）原方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0，
∴x－2＝0或x＋1＝0，
解得：x1＝2，x2＝－1；
（5）8x2－2x－1＝0；
【分析】（5）根据公式法求解可得；
解：（5）∵a＝8，b＝－2，c＝－1，
∴b2－4ac＝4－4×8×（－1）＝36＞0，
则x＝，解得：x1＝，x2＝－；
（6）2（x－3）2＝x2－9.
【分析】（6）利用因式分解法求解可得.
解：（6）∵2（x－3）2＝（x＋3）（x－3），
∴2（x－3）2－（x＋3）（x－3）＝0，
则（x－3）（x－9）＝0，
∴x－3＝0或x－9＝0，
解得：x1＝3，x2＝9.
1.解下列方程：
（1）（x－1）2＝9；
解：开方，得x－1＝±3，
∴x＝1±3，
∴x1＝4，x2＝－2.
（2）x2－5x＋3＝0；
解：∵b2－4ac＝25－12＝13＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
（3）x2－2x－4＝0；
解：移项，得x2－2x＝4，
配方，得x2－2x＋1＝5，
∴（x－1）2＝5，
∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
（4）（2x－3）2＝（x－2）2.
解：移项，得（2x－3）2－（x－2）2＝0，
∴（2x－3＋x－2）（2x－3－x＋2）＝0，
即（3x－5）（x－1）＝0，
∴x1＝，x2＝1.
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第2课时 解一元二次方程——直接开平方法
第22章 一元二次方程
★直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
★方法指导：
直接开平方法适用于解形如（x＋a）2＝b的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＋a＝±，当b＜0时，方程没有实数根.
考点一：直接开平方法解方程
例1 用直接开平方法解下列方程.
（1）x2－9＝0；
解：（1）移项，得x2＝9，
开方，得x＝±3，
∴x1＝3，x2＝－3；
（2）9x2－16＝0.
【分析】先将方程化成左边是含未知数的平方式，右边是非负数的形式，再将方程两边开方即可求解.
解：（2）移项，得9x2＝16，
方程两边同除以9，得x2＝，
开方，得x＝±，
∴x1＝，x2＝－.
1.解方程：
（1）x2－121＝0；
解：∵x2－121＝0，
∴x2＝121，
∴x1＝11，x2＝－11.
（2）4x2－10＝0.
解：∵4x2－10＝0，
∴x2＝，
∴x1＝，x2＝－.
考点二：整体思想与直接开平方法
例2 解方程：
（1）4（x－1）2－9＝0；
解：（1）移项，得4（x－1）2＝9，
方程两边同除以4，得（x－1）2＝，
∴x－1＝或x－1＝－，
解得x1＝，x2＝－；
（2）（－x）2＝4.
【分析】将x－1与－x看成一个整体，用直接开平方法求解.
解：（2）方程两边开方，
得－x＝2或－x＝－2，
解得x1＝－，x2＝.
2.解方程：
（1）（x＋6）2－9＝0；
解：移项，得（x＋6）2＝9，
开方，得x＋6＝±3，
∴x＋6＝3或x＋6＝－3，
解得x1＝－3，x2＝－9.
（2）3（x－1）2－24＝0；
解：移项，得3（x－1）2＝24，
方程两边同除以3，得（x－1）2＝8，
开方，得x－1＝±2，
∴x－1＝2或x－1＝－2，
解得x1＝1＋2，x2＝1－2.
（3）（2x－3）2＝（x＋1）2.
解：由平方相等则两数相等或者互为相反数，
得2x－3＝±（x＋1），
∴2x－3＝x＋1或2x－3＝－（x＋1），
解得x1＝4，x2＝.
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第11课时 实践与探索（2）
第22章 一元二次方程
★列方程解应用题的一般步骤是：
（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答.
★方法指导：
列方程解应用题的关键是找出应用题中未知量与已知量之间的等量关系，列出方程，常见等量关系：
（1）单件利润＝售价－进价，利润率＝×100%，商品总利润＝单件商品利润×销售数量；
（2）关于两次平均增长（或降低）率问题的一般关系：a（1±x）2＝A，其中a表示基数，x表示增长（或降低）率，A表示新数.
考点一：增长率（降低率）问题
例1 某汽车公司去年8月份销售6000辆汽车，10月份销售汽车数量比8月份多615辆.求该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率.
【分析】设该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率为x，根据该公司去年8月份及10月份销售汽车的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
答：该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率为5%.
解：设该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率为x，
依题意得：6000（1＋x）2＝6000＋615，
解得：x1＝＝5%，x2＝－（不合题意，舍去），
1.某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程正确的是（ B ）
A.168（1＋a%）2＝128
B.168（1－a%）2＝128
C.168（1－2a%）＝128
D.168（1－a2%）＝128
B
2.某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少？
解：设二、三月份平均每月增长的百分率是x，由题意，
得50＋50（1＋x）＋50（1＋x）2＝182，
整理得（5x＋16）（5x－1）＝0，
∴5x＋16＝0或5x－1＝0，
解得：x1＝－3.2（不合题意，舍去），
x2＝0.2＝20%，
答：二、三月份平均每月增长的百分率是20%.
考点二：价减量增的利润问题
例2 因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗小面卖25元，平均每天能够销售300碗，若降价销售，每降低1元，则平均每天能够多销售30碗.为了维护城市形象，店家规定每碗小面的售价不得超过20元，则当每碗小面的售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？
【分析】根据利润的等量关系列出方程求解即可.
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天盈利6300元.
解：设当每碗售价定为x元时，店家才能实现每天盈利6300元，依题意有：
（x－6）[300＋30（25－x）]＝6300，
解得：x1＝20，x2＝21（不合题意，舍去），
3.某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元.经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克.如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为 （10＋x）（500－10x）＝8000 .
（10＋
x）（500－10x）＝8000
解：设每件商品涨价x元，则每件利润为（10＋x－8）＝（x＋2）元，每天销售量为（200－20x）件，
由题意，得：（x＋2）（200－20x）＝700，
整理得：x2－8x＋15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5，
经检验，x1＝3，x2＝5均符合题意，
答：把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.
4.某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件.要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价.
考点三：其它问题
例3 有1个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.
（1）求每轮传染中平均1个人传染了几个人；
【分析】（1）设平均1人传染了x人，根据题意列方程求解即可；
（2）如果不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？
【分析】（2）根据每轮传染中平均1个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可.
答：每轮传染中平均1个人传染了5个人；
解：（2）根据题意得：5×36＝180人，
答：第三轮又将有180人被传染.
解：（1）设每轮传染中平均1个人传染了x个人，根据题意得：x＋1＋（x＋1）x＝36，
解得：x＝5或－7（舍去），
5.若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ D ）
A.11 B.15 C.－15 D.±15
6.为了迎接校庆，初三年级组织乒乓球比赛，赛制为单循环形式（每两个选手之间都必须赛一场），全年级共进行了28场比赛，这次参赛的选手有（ B ）
A.7位 B.8位 C.9位 D.10位
D
B
7.甲、乙两名工人接受相同数量的生产任务.开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩120件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用时间相同.原来甲、乙两人每天各做多少件？
解：设原来甲每天做x件，则乙每天做（x－4）件，改进生产技术后，乙每天做（x－4＋6）件，
由题意得：＝＋2，整理得：x2＋2x－120＝0，
解得：x1＝－12，x2＝10，
经检验，x1＝－12，x2＝10都是原方程的解，但x＝－12不合题意，舍去，
∴x＝10，∴x－4＝6件，
答：原来甲每天做10件，乙每天做6件.
8.博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此，博物馆采取了调整门票价格的方法来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少？
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
把（10，7000），（15，4500）代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴y＝－500x＋12000，
由题意得：x（－500x＋12000）＝40000，
∴x2－24x＋80＝0，解得：x1＝20，x2＝4，
把x1＝20，x2＝4分别代入y＝－500x＋12000中，
得y1＝2000，y2＝10000，
∵控制参观人数，∴取x＝20，y＝2000，
答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格应是20元/人.
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第10课时 实践与探索（1）
第22章 一元二次方程
★列方程解应用题的一般步骤是：
（1）审：审清题意；（2）设：设未知数；（3）列：列方程；（4）解：解方程；（5）验：检验是否是所列方程的根，是否符合题意；（6）答：写出答语.
★方法指导：
列方程解应用题的关键是找出应用题中未知量与已知量之间的等量关系，列出方程，等量关系可以从几何知识中获得，如勾股定理，图形的面积、体积等.
考点一：探索动点问题
例1 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动，点P，Q分别从点A，B同时出发.
（1）几秒后，PQ的长为2cm？
【分析】（1）利用BP2＋BQ2＝PQ2列方程求解；
解：（1）设xs后，PQ＝2cm，
∴BP＝（5－x）cm，BQ＝2xcm，
∵BP2＋BQ2＝PQ2，∴（5－x）2＋（2x）2＝，
解得：x1＝3，x2＝－1（舍去），
∴3s后，PQ的长为2cm；
（2）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由.
【分析】（2）根据△PQB的面积等于7cm2列方程，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可.
解：（2）△PQB的面积不能等于7cm2，
理由：设ts后，S△PQB＝7cm2，
∴PB＝（5－t）cm，QB＝2tcm，
∴S△PQB＝（5－t）·2t＝7，
∴t2－5t＋7＝0，
∵Δ＝52－4×1×7＝25－28＝－3＜0，
∴方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于7cm2.
1.如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm.点P从点B开始沿BA边向终点A以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向终点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止，点P，Q分别从点B，C同时出发.求出发多少秒时，PQ的长为cm.
图1
解：由题意，设出发t（0＜t≤）s时，PQ的长为cm，
∴BP＝tcm，CQ＝2tcm，BQ＝（7－2t）cm，
由PQ2＝BP2＋BQ2得，
10＝t2＋（7－2t）2，
解得t＝或3，
经检验，t＝或3满足题意，
答：出发或3s时，PQ的长为cm.
2.如图2，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.点P从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CD边向点D以1cm/s的速度移动.如果点P、Q同时出发，那么几秒后，△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的？
图2
解：设xs后，△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的，
∴CP＝BC－BP＝（8－2x）cm，CQ＝xcm，
∴S△CPQ＝CP·CQ＝（8－2x）·x，
∵△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的，
∴△PCQ的面积为矩形ABCD面积的，
∴×（6×8）＝（8－2x）·x，
解得：x＝2，
∴2s后，△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.
考点二：探索面积问题
例2 如图，有长为46m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD.为了方便出入，在BC上用其他材料建了两扇宽为1m的门，问：当AB的长是多少时，围成的长方形花圃ABCD的面积为180m2？
解：设AB＝xm，
∴BC＝46－3x＋2＝（48－3x）m，
由题意可知：48－3x≤25，
解得：x≥，
∴x（48－3x）＝180，
解得：x＝6（舍去）或10，
答：当AB的长是10m时，围成的长方形花圃ABCD的面积为180m2.
3.如图3，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米，则可列方程为 （18－3x）（6－2x）＝60 .
图3
（18－3x）（6－2x）＝60
4.如图4，从一块长80厘米，宽60厘米的长方形铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度.
图4
解：设长方框的宽度为x厘米，则小长方形的长为（80－2x）厘米，宽为（60－2x）厘米，
∴（80－2x）（60－2x）＝×80×60，
整理，得：x2－70x＋600＝0，
解得：x1＝10，x2＝60（不合题意，舍去），
答：长方框的宽度为10厘米.
5.如图5，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）.当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形的边长为多少分米？
图5
解：设裁掉的正方形的边长为x分米，
由题意可得（10－2x）（6－2x）＝12，
即x2－8x＋12＝0，
解得：x＝2或6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2分米.
6.如图6，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m.
（1）鸡场的面积能达到150m2吗？
解：（1）设垂直于墙的边长为xm，
依题意得：x（35－2x）＝150，
即2x2－35x＋150＝0，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x＝10时，35－2×10＝15m＜18m，
符合题意；
当x＝7.5时，35－2×7.5＝20m＞18m，不符合题意，舍去，
答：鸡场的面积能达到150m2，长为15m，宽为10m；
图6
（2）鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
解：（2）不能，理由如下：
设垂直于墙的边长为ym，
依题意得：y（35－2y）＝180，
即2y2－35y＋180＝0，
∵Δ＜0，∴此方程无实数解，
图6
答：鸡场的面积不能达到180m2.
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第12课时 复习巩固
第22章 一元二次方程
本章知识结构：
考点一：一元二次方程的概念
例1 已知关于x的方程x2＋x＋3m＝0，求：
（1）当m为何值时，方程为一元二次方程？
解：（1）当m2－9≠0，即m≠±3时，方程为一元二次方程；
（2）当m为何值时，方程为一元一次方程？
【分析】对于方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数），当a≠0时，方程为一元二次方程；当a＝0且b≠0时，方程是一元一次方程.
解：（2）当m2－9＝0且m－3≠0，即m＝－3时，方程为一元一次方程.
1.关于x的一元二次方程（a2－1）x2－3x＋a2＋3a－4＝0的一个根为0，则a的值是（ A ）
A.－4 B.1
C.4或－1 D.－4或1
2.已知x＝m是一元二次方程x2－3x－1＝0的一个根，则代数式m2－3m－2024的值为（ B ）
A.－2024 B.－2023
C.2024 D.2023
3.若（m＋1）x｜m｜＋1＋6mx－2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ 1 .
A
B
1
考点二：一元二次方程的解法
例2 用指定的方法解下列方程.
（1）x2－14x＝8（配方法）；
解：（1）x2－14x＋49＝57，
（x－7）2＝57，x－7＝±，
∴x1＝7＋，x2＝7－；
（2）x2－7x－18＝0（公式法）；
解：（2）Δ＝（－7）2－4×1×（－18）＝121，
∴x＝，∴x1＝9，x2＝－2；
（3）（2x＋1）2＝3（2x＋1）（因式分解法）；
解：（3）移项得：（2x＋1）2－3（2x＋1）＝0，
∴（2x＋1）（2x＋1－3）＝0，
∴x1＝－，x2＝1；
（4）3（x－4）2＝x2－16（选择适当方法）.
解：（4）原方程可化为3（x－4）2－（x＋4）（x－4）＝0，
∴（x－4）（3x－12－x－4）＝0，
∴x1＝4，x2＝8.
4.用适当的方法解一元二次方程.
（1）x2＋3x－4＝0；
解：∵x2＋3x－4＝0，
∴（x－1）（x＋4）＝0，
∴x－1＝0或x＋4＝0，
解得：x1＝1，x2＝－4.
（2）3x（x－2）＝2（2－x）；
解：∵3x（x－2）＋2（x－2）＝0，
∴（x－2）（3x＋2）＝0，
∴x－2＝0，3x＋2＝0，
解得：x1＝2，x2＝－.
4.（3）（x＋8）（x＋1）＝－12；
解：整理得：x2＋9x＋20＝0，
∵（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x＋4＝0或x＋5＝0，
解得：x1＝－4，x2＝－5.
（4）x2－399＝2x；
解：x2－2x＝399，
（x－1）2＝400，
x－1＝±20，
解得x1＝21，x2＝－19.
（5）（x2＋x）2＋（x2＋x）＝6.
解：设x2＋x＝y，则原方程变形为y2＋y＝6，
解得：y1＝－3，y2＝2，
当y1＝－3时，x2＋x＝－3，无解；
当y2＝2时，x2＋x＝2，
解得：x1＝－2，x2＝1.
考点三：根的判别式和根与系数的关系
例3 关于x的方程x2－（2k－1）x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根.
（1）求实数k的取值范围；
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知Δ＞0，列出关于k的不等式求解可得；
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－（2k－1）]2－4（k2－2k＋3）＝4k－11＞0，
解得：k＞；
解：（2）存在，理由如下：
∵x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3＝（k－1）2＋2＞0，
∴将｜x1｜－｜x2｜＝两边平方，
可得－2x1x2＋＝5，
即（x1＋x2）2－4x1x2＝5，
∴（2k－1）2－4（k2－2k＋3）＝5，
解得：k＝4.
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，是否存在这样的实数k，使得｜x1｜－｜x2｜＝？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【分析】（2）由韦达定理知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3＝（k－1）2＋2＞0，将原式两边平方后把x1＋x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得.
5.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则m＋n＋mn的值为（ A ）
A.－3 B.3 C.－2 D.2
6.如果m、n是一元二次方程x2＋x＝4的两个实数根，那么多项式2n2－mn－2m的值是（ B ）
A.16 B.14 C.10 D.6
7.如果关于x的方程mx2＋2（m＋1）x＋m＝－1有两个实数根，那么m的取值范围是 m≥－1且m≠0 .
A
B
m≥－1且m≠0
（1）求实数k的取值范围；
解：（1）由题意得Δ＝[－（2k－1）]2－4×1×k2＝－4k＋1＞0，
解得：k＜；
8.已知关于x的方程x2－（2k－1）x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1和x2.
（2）当｜x1－x2｜＝k时，求实数k的值.
解：（2）x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2，
∵｜x1－x2｜＝k，∴＝5k2，∴－4x1x2＝5k2，
∴（2k－1）2－4k2＝5k2，
解得：k1＝－1，k2＝，当k＝－1时，｜x1－x2｜＝－，舍去，
∴实数k的值为.
考点四：一元二次方程的应用
例4 某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品.
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
【分析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1＋m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝－2.2（舍去），
答：该商品平均每月的价格增长率为20%；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售.经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出1件，设实际售价为每件x元，则当x为多少时商品每天的利润可达到4000元？
【分析】（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
（2）依题意，得：（x－40）[188＋（72－x）]＝4000，
整理，得：x2－300x＋14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240，
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60，
答：当x为60时商品每天的利润可达到4000元.
9.某商场从厂家以每件100元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为150元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到2100元？设每件商品售价为x元，下列方程正确的是（ C ）
A.（50－x）（30＋2x）＝2100
B.（50－x）（30＋x）＝2100
C.（x－100）（330－2x）＝2100
D.（x－100）（330－x）＝2100
C
10.如图，某小区规划在一个长40米，宽36米的矩形场地ABCD上修建横、纵道路宽为3∶2的三条道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为198平方米，求道路的宽度.
解：设横、纵道路的宽分别为3x米、2x米，则每块草坪的相邻两边的长度分别为（40－2×2x）米、（36－3x）米，
根据题意得：（40－2×2x）×（36－3x）＝198，
整理得：x2－22x＋21＝0，
解得：x1＝1，x2＝21（不合题意，舍去），
∴3x＝3米，2x＝2米，
答：横、纵道路的宽分别为3米、2米.
11.某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的年平均增长率.
解：设这两年中获奖人次的年平均增长率为x，根据题意得：
48＋48（1＋x）＋48（1＋x）2＝183，
解得：x1＝＝25%，x2＝－（舍去），
答：这两年中获奖人次的年平均增长率为25%.
12.某校为了加强对学生祖国传统文化的教育，计划购买《中国文学名著》（简称A）和《文学经典》（简称B）.其中A的标价比B的标价的2倍多10元，为此，学校划拨4500元用于购买A，划拨1500元用于购买B，恰好购买A的本数与购买B的本数相同.
（1）求A、B的标价；
解：（1）设B的标价为x元，则A的标价为（2x＋10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则2x＋10＝2×10＋10＝30元，
答：A的标价是30元，B的标价是10元；
（2）新华教育集团为了支持学校的活动，决定将A、B的标价都降低a%后卖给学校，这样学校购买A的本数是原计划的（1＋）倍，购买B的本数不变，且总购书款不变，求a的值.
解：（2）当A的标价是30元，B的标价是10元时，购买A、B的本数都是150本，
∴150（1－a%）×10＋30×150（1－a%）（1＋）＝1500＋4500，
解得：a1＝0（舍去），a2＝20，
答：a的值是20.
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第5课时 解一元二次方程——公式法
第22章 一元二次方程
★一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式：x＝ （b2－4ac≥0）.
★将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入上面公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫公式法.
★方法指导：
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将一元二次方程化为一般形式；
（2）确定a，b，c的值，特别注意它们的符号不能错；
（3）求出b2－4ac的值，若b2－4ac≥0，可以代入公式求根；若b2－4ac＜0，则原方程无实数根.
考点：公式法解方程
例 用求根公式解下列方程：
（1）x2＋3x＋1＝0；
解：（1）∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴b2－4ac＝9－4＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
【分析】运用公式法解一元二次方程应先把原方程化为一般形式，确定a，b，c的值，计算b2－4ac的值再代入公式求解.
（2）2x（x－3）＝－6x＋5；
解：（2）原方程可化为2x2－5＝0，
∵a＝2，b＝0，c＝－5，
∴b2－4ac＝0－4×2×（－5）＝40＞0，
∴x＝＝±，
∴x1＝，x2＝－；
解：（3）原方程可化为y2＋2y＋2＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2－4ac＝22－4×1×2＝－4＜0，
∴原方程无实数根.
（3）（y－1）（y＋3）＋5＝0.
1.解方程3x2＝4x＋1，先将方程化为一般形式 3x2－4x－1＝0 ，其中a＝ 3 ，b＝ －4 ，c＝ －1 ，b2－4ac＝ 28 ，所以原方程的解是x1＝ ，x2＝ .
3x2－4x－1＝0
3
－4
－1
28
2.用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0；
解：∵a＝2，b＝－9，c＝8，
∴b2－4ac＝81－4×2×8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
（2）x（x＋8）＋16＝0；
解：原方程可化为x2＋8x＋16＝0，
∵a＝1，b＝8，c＝16，
∴b2－4ac＝64－4×16＝0，
∴x＝＝＝－4，
∴x1＝x2＝－4.
（3）16x2＋8x＝3；
解：原方程可化为16x2＋8x－3＝0，
∵a＝16，b＝8，c＝－3，
∴b2－4ac＝64－4×16×（－3）＝256＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝－.
（4）－x2－3x＋2＝0.
解：∵a＝－，b＝－3，c＝2，
∴b2－4ac＝9－4×（－）×2＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝－3－，x2＝－3＋.
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第1课时 一元二次方程
第22章 一元二次方程
★只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 （a，b，c为常数， a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
★我们把 ax2＋bx＋c＝0 （a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为 二次 项、 一次 项和 常数项 ， a ， b 分别称为二次项系数和一次项系数.
★方法指导：
一元二次方程应满足下列三个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次项的次数是2且其系数不为0.
ax2＋bx＋c＝0
a
ax2＋bx＋c＝0
二次
一次
常数项
a
b
考点一：一元二次方程的概念
例1 下列方程中，是一元二次方程的是 ①②③④ .（填序号）
①x2＋1＝0；②5x2＝0； ③x＋x2＝－1； ④3x2＋＝5；
⑤＋x＝3；⑥3x3－4x2＋5＝0； ⑦－x2＋2y＝5； ⑧x（x＋5）＝x2－2x.
【分析】一元二次方程应满足下列三个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0.
答案：①②③④.
例2 已知关于x的方程（m2－1）x2－（m＋1）x＋m＝0.
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2－1＝0，m＋1≠0，解得：m＝1，
∴当m＝1时，此方程是一元一次方程；
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
解：（2）根据一元二次方程的定义可知：
m2－1≠0，解得：m≠±1，
∴当m≠±1时， 此方程是一元二次方程.
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ C ）
A.x＝
B.ax2＋c＝0
C.a2x－3x＝x（1－x）
D.x（x2－1）＝0
2.已知关于x的方程（a－3）x｜a－1｜＋x－1＝0是一元二次方程，则a＝（ A ）
A.－1 B.2
C.－1或3 D.3
C
A
3.下列关于x的方程：①x2＋4＝x；②x3－x－＝0；③＝x；④（m2＋2）x2＋x－2＝0；⑤x2＋＝4；⑥x2＋mx＋n2＝0；⑦2（x－2）2＝2x2＋3x－1，其中是一元二次方程的是 ①④⑥ .（填序号）
①④⑥
考点二：一元二次方程的一般形式
例3 填空：
（1）一元二次方程－3x2＝7x－1化为二次项系数为正的一般形式是 3x2＋7x－1＝0 ，其中二次项系数是 3 ，一次项系数是 7 ，常数项是 －1 ；
（2）将方程（4－x）2＝6x－24化为二次项系数为正数的一元二次方程的一般形式为 －14x＋40＝0 ，其中二次项系数是 1 ，一次项系数是 －14 ，常数项是 40 .
3x2＋7x－
1＝0
3
7
－1
－14x＋40＝0
1
－14
40
4.将方程x（x＋5）＝5x＋9化为一元二次方程的一般形式，下列形式正确的是（ D ）
A.x（x＋5）－5x＝9
B.x2＋5x＝5x＋9
C.x2＋5x－9＝5x
D.x2－9＝0
5.方程5x2＝6x－8化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ C ）
A.5、6、－8 B.5、－6、－8
C.5、－6、8 D.6、5、－8
D
C
6.将一元二次方程3x2＋1＝6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（ A ）
A.3，－6 B.3，6
C.3，1 D.3x2，－6x
7.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2x2＝1－3x；
解：（1）一般形式为2x2＋3x－1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－1；
（2）5x（x－2）＝4x2－3x.
解：（2）一般形式为x2－7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为－7，常数项为0.
A
考点三：一元二次方程的解
例4 （1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程x＋1＝3（x－1）的解相同，求k的值；
【分析】（1）可先求出方程x＋1＝3（x－1）的解，代入方程x2＋kx－2＝0即可求得k的值；
解：（1）解x＋1＝3（x－1）得：x＝2，
把x＝2代入方程x2＋kx－2＝0，
得：22＋2k－2＝0，解得：k＝－1；
（2）若x＝0是关于x的一元二次方程（k－1）x2＋3x＋k2－1＝0（k为常数）的根，求k的值.
【分析】（2）把x＝0代入方程（k－1）x2＋3x＋k2－1＝0中，得到关于k的方程，解得k的值，但要注意一元二次方程的二次项系数不等于0.
解：（2）把x＝0代入方程（k－1）x2＋3x＋k2－1＝0中，得k2－1＝0，解得：k＝±1，
∵k－1≠0，∴k≠1，∴k＝－1.
8.已知关于x的方程x2－kx－3＝0的一个根为3，则k的值为（ C ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
9.若m是一元二次方程x2－4x－1＝0的根，则代数式4m－m2的值为（ B ）
A.1 B.－1 C.2 D.－22
10.已知a是方程x2－2x－2023＝0的根，则代数式2a2－4a－2的值为（ A ）
A.4044 B.－4044
C.2024 D.－2024
C
B
A
11.已知m是一元二次方程x2＋x＝5的实数根，求代数式（2m－1）（2m＋1）－m（m－3）－7的值.
解：（2m－1）（2m＋1）－m（m－3）－7
＝4m2－1－m2＋3m－7
＝3m2＋3m－8
＝3（m2＋m）－8，
∵m是一元二次方程x2＋x＝5的实数根，
∴m2＋m＝5，
∴原式＝3×5－8＝7.
考点四：列一元二次方程
例5 某旅游景点2023年1月份共接待游客25万人次，2023年3月份共接待游客65万人次，设每月游客人数的平均增长率为x，则可列方程（ A ）
A.25（1＋x）2＝65
B.25（1－x）2＝65
C.65（1＋x）2＝25
D.65（1－x）2＝25
【分析】由题意可知2月份的游客人数为25（1＋x），则3月份的游客人数为25（1＋x）（1＋x），列方程即可得出答案.
答案：A.
A
12.为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，两次降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ D ）
A.30（1＋x）2＝48 B.48（1＋x）2＝30
C.30（1－x）2＝48 D.48（1－x）2＝30
D
13.如图，某小区规划在一个长50米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为178平方米，设道路宽度为x米，则根据题意，可列一元二次方程为 （50－2x）（30－x）＝178×6 .
（50－
2x）（30－x）＝178×6
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第7课时 一元二次方程根的判别式
第22章 一元二次方程
★式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.
★一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ≥0 方程有实数根；
（4）Δ＜0 方程无实数根.
★方法指导：
根的判别式使用的条件是一元二次方程，即ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
考点一：由根的情况求字母的取值范围
例1 已知关于x的方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时，
（1）方程有两个不相等的实数根；
（1）Δ＞0，即8k＋9＞0，解得：k＞－；
【分析】根据一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系确定k的取值.
解：∵a＝2，b＝－（4k＋1），c＝2k2－1，
∴Δ＝b2－4ac＝8k＋9，
（3）方程没有实数根.
（3）Δ＜0，即8k＋9＜0，解得：k＜－.
（2）方程有两个相等的实数根；
（2）Δ＝0，即8k＋9＝0，解得：k＝－；
1.关于x的方程mx2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ D ）
A.m＜4 B.m≤4且m≠0
C.m≥4 D.m＜4且m≠0
2.关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2kx＋k＋3＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ A ）
A.0 B.－1 C.1 D.2
D
A
3.已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
解：根据题意得Δ＝22－4（m－1）×3＞0，
解得：m＜，
又∵m－1≠0，∴m≠1，
∴m＜且m≠1.
考点二：根据方程确定根的情况
例2 已知关于x的一元二次方程x2－（k＋2）x＋2k＝0.对于任意的实数k，判断原方程根的情况，并说明理由.
【分析】计算Δ的结果，利用Δ的符号，判断根的情况.方程中存在字母时，需要利用非负数的性质进行判断.
解：对于任意的实数k，原方程总有两个实数根，理由如下：
∵Δ＝（k＋2）2－4×2k＝（k－2）2≥0，
∴对于任意的实数k，原方程总有两个实数根.
4.方程x2－3x＋4＝0的根的情况是（ C ）
A.有一个实数根
B.有两个相等实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
5.下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ D ）
A.x2＋x＋1＝0 B.x2－x＋1＝0
C.x2＋x－1＝0 D.x2－2x＋2＝0
C
D
6.已知关于x的方程x2＋（k＋2）x＋k－1＝0.求证：方程一定有两个不相等的实数根.
证明：Δ＝（k＋2）2－4（k－1）＝k2＋8，
∵k2≥0，
∴k2＋8＞0，即Δ＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根.
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第8课时 *一元二次方程根与系数的关系（1）
第22章 一元二次方程
★一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
★根与系数关系使用前提是方程有实数根，即前提是b2－4ac≥0.
★常用的转化关系：
（1）＋＝－2x1x2；
（2）＋＝；
（3）（x1＋a）（x2＋a）＝x1x2＋a（x1＋x2）＋a2；
（4）│x1－x2│＝
＝.
考点：利用根与系数的关系计算根的代数式的值
例 x1，x2是方程x2＋3x＋1＝0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式子的值.
（1）x2＋x1；
（1）x2＋x1＝x1x2（x1＋x2）
＝1×（－3）＝－3；
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2与x1x2的值，再根据常用的转化关系求解.
解：∵x1，x2是方程x2＋3x＋1＝0的两根，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝1，＋3x1＋1＝0，
（2）＋；
（2）＋＝＝
＝＝7；
（3）（x1－2）（x2－2）；
（3）（x1－2）（x2－2）
＝x1x2－2（x1＋x2）＋4
＝1－2×（－3）＋4＝11；
（4）｜x1－x2｜；
（4）｜x1－x2｜＝
＝
＝
＝；
（5）∵＋3x1＋1＝0，
∴＝－3x1－1，
∴＋8x2＋20
＝x1（－3x1－1）＋8x2＋20
＝－3－x1＋8x2＋20
＝－3（－3x1－1）－x1＋8x2＋20
＝8（x1＋x2）＋23
＝8×（－3）＋23
＝－1.
（5）＋8x2＋20.
1.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是（ B ）
A.－1 B.－2 C.1 D.2
2.若x1和x2是方程2x2－3x－1＝0的两个实数根，则＋的值为（ C ）
A.－ B. C.－3 D.3
3.一元二次方程2x2－3x－8＝0的两个根为m，n，则m2n＋mn2的值是 －6 .
4.已知m，n是方程x2－x－2＝0的两个根，则代数式2m2－3m－n的值为 3 .
B
C
－6
3
（1）＋；
（1）＋＝－2x1x2
＝－1＝；
（2）2＋2x1－x2＋3x1x2.
解：（2）2＋2x1－x2＋3x1x2
＝2＋3x1－（x1＋x2）＋3x1x2
＝－1＋＋＝2.
5.设方程2x2＋3x＝－1的根为x1、x2，求下列各式的值.
解：∵方程2x2＋3x＝－1的根为x1、x2，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，2＋3x1＝－1，
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第3课时 解一元二次方程——因式分解法
第22章 一元二次方程
★因式分解法解一元二次方程的基本思路是降次，它的理论依据是：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若pq＝0时，则p＝0或q＝0，反之也成立.
★方法指导：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
考点一：因式分解法解方程
例1 解方程：
（1）（4x－1）（5x＋7）＝0；
解：（1）4x－1＝0或5x＋7＝0，
解得x1＝，x2＝－；
（2）2x2＋5x＝0；
解：（2）原方程可变形为x（2x＋5）＝0，
∴x＝0或2x＋5＝0，
解得x1＝0，x2＝－；
（3）x2－7x－30＝0；
解：（3）原方程可变形为：
（x－10）（x＋3）＝0，
解得x1＝10，x2＝－3；
（4）（x－1）（x＋3）＝5.
解：（4）原方程整理，得x2＋2x－8＝0，
∴（x＋4）（x－2）＝0，
解得x1＝－4，x2＝2.
1.解方程：
（1）5x2＝4x；
解：原方程整理，得5x2－4x＝0，
∴x（5x－4）＝0，
解得x1＝0，x2＝.
（2）x2－8x＋12＝0；
解：原方程可变形为（x－6）（x－2）＝0，
∴x－6＝0或x－2＝0，
解得x1＝6，x2＝2.
（3）x（x＋6）＝7；
解：原方程整理，得x2＋6x－7＝0，
∴（x＋7）（x－1）＝0，
解得x1＝－7，x2＝1.
（4）4y2＋4＝8y.
解：原方程整理，得y2－2y＋1＝0，
∴（y－1）2＝0，
解得y1＝y2＝1.
考点二：整体思想与因式分解法解方程
例2 解方程：
（1）7x（3－x）＝4（x－3）；
解：（1）原方程可变形为：
（3－x）（7x＋4）＝0，
解得x1＝3，x2＝－；
（2）4（x－3）2－25（x－2）2＝0.
解：（2）原方程可变形为：
[2（x－3）＋5（x－2）][2（x－3）－5（x－2）]＝0，
整理，得（7x－16）（－3x＋4）＝0，
解得x1＝，x2＝.
2.解方程：
（1）（2x＋3）2＝4（2x＋3）；
解：原方程可变形为（2x＋3）（2x＋3－4）＝0，
∴2x＋3＝0或2x－1＝0，
解得x1＝－，x2＝.
（2）（x－2）2＝（2x＋3）2.
解：原方程可变形为[（x－2）＋（2x＋3）]·[（x－2）－（2x＋3）]＝0，
整理得（3x＋1）（－x－5）＝0，
∴3x＋1＝0或－x－5＝0，
解得x1＝－，x2＝－5.
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