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第1课时 成比例线段
第23章 图形的相似
★在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如＝（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段叫做成比例线段.
★比例的基本性质：
①如果＝，那么ad＝bc；
②如果ad＝bc，那么＝.
★补充：如果作为比例内项的是两条相同的线段，即＝（或b2＝ac），那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
考点一：成比例线段
例1 判断下列各组线段是否成比例.
（1）4cm、6cm、8cm、2cm；
解：（1）从小到大排列，∵4×6≠8×2，
∴四条线段不成比例；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
解：（2）从小到大排列，
∵1.5×7.5＝4.5×2.5，
∴四条线段成比例；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；
解：（3）从小到大排列，
∵1.1×6.6＝2.2×3.3，
∴四条线段成比例；
（4）2cm、4cm、4cm、8cm.
解：（4）从小到大排列，∵2×8＝4×4，
∴四条线段成比例.
1.下列四条线段能成比例的是（ C ）
A.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
B.a＝，b＝3，c＝2，d＝
C.a＝2，b＝，c＝，d＝
D.a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
2.能与2、3、4组成比例的数是（ D ）
A.1 B. C. D.
C
D
考点二：比例的基本性质
例2 （1）已知＝，求的值；
解：∵＝，∴2a＝b，∴＝.
（2）已知＝＝，且a＋b＋c＝27，求a、b、c的值.
解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27，
∴k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12.
3.如果线段a＝3，b＝12，那么线段a、b的比例中项为 6 .
4.在x∶6＝（5＋x）∶2中，x＝ －7.5 ；在2∶3＝（5－x）∶x中，x＝ 3 .
5.已知3（x＋2y）＝4（x－y），求与的值.
解：∵3（x＋2y）＝4（x－y），
∴x＝10y，
∴＝10，＝＝.
6
－7.5
3
6.已知＝＝，求与的值.
解：设＝＝＝k（k≠0），
则x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴＝＝4，
＝＝.
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第12课时 相似三角形的应用
第23章 图形的相似
★利用相似三角形可以计算一些不能直接测量的高度（宽度）等线段长.
★方法指导：
1.利用影长测物高：
＝；
2.利用标杆测物高：
＝；
3.利用镜子的反射测物高：
＝.
考点一：利用相似三角形测高
例1 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，求该古城墙的高度.
解：由题意，得∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴△ABP∽△CDP，
∴＝，∴CD＝＝8米，
答：该古城墙的高度为8米.
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
1.如图所示，为测量一棵树CD的高度，小明在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上.已知小明的眼睛到地面的距离AB＝1.6m，求树的高度.
解：如图，过点A作AN∥BD交CD于点N，交EF于点M，
∵人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，
∴AB∥EF∥CD，
∴△AEM∽△ACN，∴＝，
∵AB＝1.6m，EF＝2m，AN＝BD＝27m，MN＝FD＝24m，
∴＝，∴CN＝3.6m，
∴树的高度为3.6＋1.6＝5.2m.
考点二：相似三角形的应用
例2 如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离.
解：如图，作出示意图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于E，
∵夹子是轴对称图形，
∴OE是对称轴，
∴OE⊥AB，AE＝BE，
∵CD⊥DA，∴∠CDO＝∠AEO＝90°，
又∵∠COD＝∠AOE，
∴△OCD∽△OAE，∴＝，
而OC＝＝26mm，
∴AE＝＝15mm，
∴AB＝2AE＝30mm，
答：A、B两点间的距离为30mm.
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第4课时 相似图形
第23章 图形的相似
★相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比.
★相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
考点一：多边形相似的判定
例1 如图所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.
解：相似.理由如下：
∵这两个矩形的角是直角，
∴两个矩形的对应角相等，
小矩形的长是20－5－5＝10，宽是12－3－3＝6，
∵＝，∴两个矩形的对应边成比例，
∴这两个矩形相似.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.所有的矩形都相似
B.所有的平行四边形都相似
C.所有的菱形都相似
D.所有的正方形都相似
2.如图1，有三个矩形，其中相似的是（ B ）
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.无相似图形
图1
D
B
考点二：相似多边形的性质
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求α、β的度数和EH的长度.
解：∵四边形ABCD和EFGH相似，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH∶AD＝EF∶AB，
∴x∶21＝24∶18，解得：x＝28，
在四边形EFGH中，β＝360°－83°－78°－118°＝81°，
故α＝83°，β＝81°，EH＝28cm.
3.如图2，五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，且AB＝2cm，CD＝3cm，DE＝2.2cm，GH＝6cm，HI＝5cm，FJ＝4cm，∠A＝120°，∠H＝90°，求：
（1）相似比的值；
解：（1）∵五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，
CD＝3cm，HI＝5cm，
∴相似比为＝；
图2
（2）FG，IJ，BC，AE的长度和∠F，∠C的度数.
解：（2）∵五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，
∴＝＝＝＝，
∠A＝∠F，∠C＝∠H，
∵AB＝2cm，CD＝3cm，DE＝2.2cm，GH＝6cm，HI＝5cm，FJ＝4cm，∠A＝120°，∠H＝90°，
∴＝＝＝＝，∠F＝120°，∠C＝90°，
∴FG＝cm，IJ＝cm，BC＝cm，AE＝cm.
图2
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第16课时 图形的变换与坐标
第23章 图形的相似
★平移与坐标：点的坐标平移，可以简记为：右加左减（横坐标），上加下减（纵坐标）.
★对称与坐标：
（1）关于x轴对称的两个图形，各对应点的横坐标不变，而纵坐标都分别为相反数；
（2）关于y轴对称的两个图形，各对应点的纵坐标不变，而横坐标都分别为相反数；
（3）关于坐标原点成中心对称的两个图形，各对应点的横、纵坐标分别互为相反数.
★位似与坐标：
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为｜k｜.
考点一：平移与坐标
例1 如图，在直角坐标系中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3）.
（1）求△ABC的面积；
【分析】（1）根据三角形面积公式求出即可；
解：（1）S△ABC＝×3×5＝7.5；
（2）把△ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到△A'B'C'，画出△A'B'C'，并写出点C'的坐标.
【分析】（2）根据已知将△ABC各顶点向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到各对应点，即可作图，进而得出点C'的坐标.
解：（2）如图：
∴点C'的坐标为（1，1）.
1.将点A（－3，2）向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到点B，则点B的坐标是 （1，－1） .
2.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C（4，7），则AB平移到CD的方式是（ C ）
A.先向上平移3个单位，再向左平移5个单位
B.先向左平移5个单位，再向下平移3个单位
C.先向上平移3个单位，再向右平移5个单位
D.先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
（1，－1）
C
考点二：旋转、对称与坐标
例2 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示.
（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；
【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可；
解：（1）A（－4，3），C（－2，5），B（3，0）；
（2）分别画出顶点A关于x轴对称的点A'、顶点B关于y轴对称的点B'及顶点C关于原点对称的点C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
【分析】（2）利用关于坐标轴对称点的性质分别得出答案；
解：（2）如图所示，A'（－4，－3），B'（－3，0），C'（2，－5）；
（3）求线段BC的长.
【分析】（3）直接利用勾股定理得出答案.
解：（3）线段BC的长为＝5.
3.已知点P1（a，2）与点P2（－3，b）关于原点对称，则a－b的值是（ D ）
A.－5 B.－1 C.1 D.5
4.如图1，已知A（2，1），现将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A1，则点A1的坐标是（ A ）
A.（－1，2）
B.（2，－1）
C.（1，－2）
D.（－2，1）
图1
D
A
5.在正方形网格中，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（4，4），请解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
解：（1）△A1B1C1如图所示，
A1（－4，4），B1（－1，1），C1（－3，1）；
图2
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C，并写出点A2，B2的坐标.
解：（2）△A2B2C如图所示，
A2（0，2），B2（3，－1）.
考点三：位似与坐标
例3 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.
（1）以点O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1；（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）
【分析】（1）根据已知正确作图就可以确定点A1和点B1的坐标，即可得出图象；
解：（1）如图，△OA1B1即为所求；
（2）求出线段A1B1所在直线的函数解析式.
【分析】（2）利用点A1和点B1的坐标，就可以用待定系数法求出直线的解析式.
（2）由（1）可得A1（4，0）、B1（2，－4），
设线段A1B1所在直线的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），
则，解得，
∴线段A1B1所在直线的函数解析式为y＝2x－8.
6.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图3所示.
（1）写出△ABC各顶点的坐标；
解：（1）A（－3，－1），B（－1，－3），
C（0，－1）；
图3
（2）以坐标原点为位似中心，△ABC与△A'B'C'的位似比为，求出△A'B'C'各个顶点的坐标，并画出所求的位似图形.
解：（2）如图所示，
图3
由图得：A'（－6，－2），B'（－2，－6），C'（0，－2）或A'（6，2），B'（2，6），C'（0，2）.
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第15课时 用坐标确定位置
第23章 图形的相似
★在平面内确定一个点的位置必须有 两 个数，也就是必须用 有序数对（坐标） 来表示.
★方法指导：
建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向，就可以用坐标表示位置.
两
有序数对（坐
标）
考点一：利用坐标确定位置
例1 如图，是某市部分建筑分布简图，请根据火车站的坐标为（－1，2），市场的坐标为（3，5）建立平面直角坐标系，并分别写出超市、体育场和医院的坐标.
解：建立平面直角坐标系如图所示：
由图可知超市的坐标为（1，－1），体育场的坐标为（－5，5），医院的坐标为（－3，0）.
【分析】根据火车站与市场的坐标建立平面直角坐标系，再根据坐标系得出所求点的坐标.
1.小明的座位是四组三号，可简记为（4，3），则小丽坐五组六号可记为 （5，6） .
2.如图1所示的棋盘放置在某个平面直角坐标系内，棋子①的坐标为（－3，－2），棋子②的坐标为（0，－3），那么棋子③的坐标是 （1，－1） .
图1
（5，
6）
（1，－1）
3.如图2，用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是 东偏北20°方向，距离仓库50km .
图2
东偏北20°方向，距离仓
库50km
考点二：建立直角坐标系表示点的坐标
例2 建立平面直角坐标系，使点C的坐标为（4，0），写出点A、B、D、E、F、G的坐标.
解：如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（－2，3），B（0，0），D（6，1），E（5，3），F（3，2），G（1，5）.
4.如图3，长方形ABCD的长为6，宽为4，建立适当的直角坐标系，使其中点B的坐标为（－3，－2），并利用这个直角坐标系表示其余顶点的坐标.
图3
解：建立直角坐标系如图所示，
∵B（－3，－2），且BC＝6，BC∥x轴，
∴C（3，－2），同理D（3，2），A（－3，2）.
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第17课时 复习巩固
第23章 图形的相似
本章知识结构：
考点一：比例线段
例1 已知k＝＝＝，则k的值为 1或－2 .
【分析】本题的解答方法有很多，比较简单的方法是利用等比性质，但等比性质的前提是分母的和不能为零，当不确定时应注意分情况讨论.当a＋b＋c≠0时，k＝1，当a＋b＋c＝0时，k＝－2，故答案为：1或－2.
1.已知＝（a≠0），则＝（ C ）
A.3 B.2 C. D.
2.下列长度的四组线段中，不能成比例的是（ A ）
A.0.5、3、2、10
B.3、4、6、2
C.、、、1
D.1.2、4、1.5、5
C
A
3.若＝＝，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是（ D ）
A.14 B.42 C.7 D.
4.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然，若舞台AB长为30m，主持人应走到靠近点A至少 11 m的黄金分割点处.（精确到个位）
D
11
考点二：平行线分线段成比例
例2 如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG＝0.6，BG＝1.2，CD＝1.5，求CH的长.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可.
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AG＝0.6，BG＝1.2，CD＝1.5，
∴＝，解得：CH＝0.5.
5.如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，AE＝3，CE＝6，那么BD的长是（ C ）
A.4 B.6 C.8 D.12
图1
C
6.如图2，在△ABC中，D是BC边延长线上的一点，F是AB边上一点，DF交AC边于点E，且AF＝1，BC＝3CD，AE＝2EC，则FB的长为 2 .
图2
2
考点三：相似三角形的判定
例3 如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，连接DG，已知AF2＝FG·FE.求证：
（1）△CAD∽△CBG；
【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
证明：（1）∵AF2＝FG·FE，
∴＝，且∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；
（2）DG·AE＝AB·AG.
【分析】（2）由相似三角形的性质可得＝，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得＝，由平行线分线段成比例可得＝，可得结论.
（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，
∴＝，且∠DCG＝∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，∴＝，
∵AE∥BC，∴＝，
∴＝，∴＝，
∴DG·AE＝AB·AG.
7.如图3，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件： ∠DAC＝∠B（或∠ADC＝∠BAC或AC2＝DC·BC） .
图3
∠DAC＝∠B（或∠ADC＝
∠BAC或AC2＝DC·BC）
8.如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD.
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，
∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD；
图4
（2）若BD＝1，CD＝2，求的值.
（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴＝，
∵BE＝BD＝1，CD＝2，∴＝.
9.如图5，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB·CD＝BC·BD，BM∥CD交AD于点M，连接CM交DB于点N.
（1）求证：△ABD∽△BCD；
（1）证明：∵AB·CD＝BC·BD，
∴＝，
又∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD；
图5
（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长.
（2）解：∵△ABD∽△BCD，
∴＝，∠ADB＝∠BDC，
又∵CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝AD·CD＝48，
∴BC＝＝2，
∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠BDC，∠MBC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADB＝∠MBD，∴BM＝MD，
∵∠ADB＋∠A＝90°，∠MBD＋∠ABM＝90°，
∴∠A＝∠MBA，∴AM＝BM＝MD＝4，
∴MC＝＝2.
图5
考点四：相似三角形的性质
例4 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，四边形FGHI为矩形，＝，BC＝36cm，AD＝12cm，求矩形FGHI的周长.
解：设FG＝5xcm，则GH＝9xcm，
∵在△ABC中，AD⊥BC，四边形FGHI为矩形，
∴FI∥BC，FG∥AD，FI＝GH＝9xcm，
∴△AFI∽△ABC，△BFG∽△BAD，
∴＝＝，＝＝，
∴＋＝＋＝1，
解得：x＝，
∴C矩形FGHI＝2（5x＋9x）＝42cm，
答：矩形FGHI的周长为42cm.
10.若两个相似三角形的对应中线的比为1∶2，则它们的周长之比为 1∶2 ；面积之比为 1∶4 .
11.如图6，在 ABCD中，F是AD上一点，且AF＝3DF，BF与CD的延长线交于点E.
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∴△ABF∽△CEB；
图6
1∶2
1∶4
（2）若△DEF的面积为1，求 ABCD的面积.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∵△ABF∽△CEB，∴△ABF∽△DEF，
∵AF＝3DF，S△DEF＝1，
∴S△ABF＝9S△DEF＝9，
∵AD＝BC＝4DF，
∴S△CBE＝16△DEF＝16，
∴S四边形BFDC＝S△CBE－S△DEF＝15，
∴S ABCD＝S△ABF＋S四边形BFDC＝24.
图6
考点五：相似三角形的应用
例5 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB.
【分析】先利用Rt△DEF∽Rt△DCB求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB.
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，∴＝，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴＝，∴BC＝5m，
∴AB＝AC＋BC＝6.5m，
∴树高AB为6.5m.
12.如图7所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部D的距离为1m，离大树底部F的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB＝1.5m，那么大树EF的高为多少？
图7
解：如图，作AH⊥EF于H，AH交CD于G，
易得四边形AGDB，GDFH，ABFH均为矩形，
由题意得BD＝1m，BF＝9m，
∴DG＝HF＝AB＝1.5m，
AG＝BD＝1m，AH＝BF＝9m，
∴CG＝CD－DG＝0.5m，
∵CG∥EH，∴△ACG∽△AEH，
∴＝，即＝，
∴EH＝4.5m，
∴EF＝EH＋FH＝6m，
答：大树EF的高为6m.
考点六：三角形的中位线
例6 如图，在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE与∠BAC的平分线垂直于点D，点M为BC边的中点，连接DM.
（1）求证：DM＝CE；
（1）证明：在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（ASA），∴BD＝DE，
又∵M为BC的中点，
∴DM＝CE；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长.
（2）解：由（1）得，CE＝2DM＝4，AB＝AE，
在Rt△ADB中，AB＝＝10，
∴AE＝10，
∴AC＝CE＋AE＝14.
13.如图8，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ 3 .
图8
3
考点七：图形与坐标
例7 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为（4，4）.
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的特点得到A，B，C三点的对称点，顺次连接各对称点即可；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
【分析】（2）连接A1O并延长至点A2，使A1A2＝3OA1，连接B1O并延长至点B2，使B1B2＝3OB1，连接C1O并延长至点C2，使C1C2＝3OC1，连接A2B2，B2C2，A2C2即可；
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）点A2的坐标为 （8，－8） .
【分析】（3）根据所作图形即可得到点A2的坐标.
解：（3）（8，－8）.
14.如图9，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（1，－1），“象”位于点（3，－1），则“炮”位于点（ C ）
A.（1，3） B.（－1，1）
C.（－1，2） D.（－1，3）
图9
C
15.点A（－2，3）先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的点的坐标为 （1，2） ，点A关于原点对称的点的坐标是 （2，－3） .
（1，2）
（2，－3）
16.如图10，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（－3，3），B（－5，2），C（－1，1）.
图10
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2，且△A1B1C位于点C的右侧，并表示出点A1的坐标；
解：（1）如图，△A1B1C即为所作，点A1的坐标为（3，－3）；
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C；
解：（2）如图，△A2B2C即为所作；
（3）求（2）中点B经过的路径长.（结果保留π）
解：（3）CB＝＝，
∴点B经过的路径长为＝π.
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第6课时 相似三角形的判定（1）
第23章 图形的相似
★相似三角形的判定定理1：
两角 分别对应相等 的两个三角形相似.
★相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
★方法指导：
判断出三角形相似以后，可以根据相似三角形的性质探索角的关系或者边的关系.
分别对应相等
考点一：相似三角形的判定定理1
例1 如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE.
【分析】在△ABC与△ADE中已经有一对角相等，
只需再证一对角相等即可.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE.
1.在下列说法中，正确的是（ D ）
A.两个钝角三角形一定相似
B.两个等腰三角形一定相似
C.两个直角三角形一定相似
D.两个等边三角形一定相似
D
2.如图1，CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中的相似三角形有（ D ）
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
图1
D
考点二：相似三角形判定定理1的应用
例2 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，
∴∠B＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长.
（2）解：∵AB＝6，BE＝8，∠B＝90°，
∴AE＝＝10，
∵△ABE∽△DFA，∴＝，
即＝，∴DF＝7.2.
3.如图2，在△ABC中，DE∥BC，＝，且DE＝2cm，则BC＝（ B ）
A.4cm B.6cm C.7cm D.8cm
图2
B
4.如图3，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
图3
C
5.如图4，在△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠D＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，求AD的长.
图4
解：∵∠ABC＝∠D＝90°，∠C＝∠ABD，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
∵AC＝5cm，AB＝4cm，
∴AD＝＝＝cm.
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第9课时 专题相似三角形的判定
第23章 图形的相似
★相似三角形的判定：
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
判定定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似；
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.
★相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
考点：相似三角形的判定
例 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ABE＝∠C.
（1）求证：BE2＝DE·BC；
【分析】（1）证明△BDE∽△CEB，推出＝可得结论；
证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠BED＝∠CBE，
又∵∠ABE＝∠C，∴△BDE∽△CEB，
∴＝，∴BE2＝DE·BC；
（2）当BE平分∠ABC时，求证：＝.
【分析】（2）利用相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理即可解决问题.
（2）∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，
∵∠ABE＝∠C，∴∠AED＝∠ABE，
又∵∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴＝，
∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴＝，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
又∵∠ABE＝∠C，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝CE，∴＝.
1.如图1，已知D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7，求证：△ABC∽△AED.
图1
证明：在△ABC和△AED中，
∵＝2，＝2，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED.
2.如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B，试在y轴上找一点P（与点B不重合），使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点？分别求出对应的AP的长度.
图2
解：对于y＝x＋1，
当y＝0时，x＝－2，当x＝0时，y＝1，
∴A（－2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∵∠AOB＝∠AOP＝90°，
∴①当＝时，△AOP∽△BOA，
∴＝，解得OP＝4，
∴P（0，－4）或P（0，4），
∴AP＝＝2；
②当＝时，△AOP∽△AOB，
∴＝，解得OP＝1，
∵点P与点B不重合，
∴P（0，－1），
∴AP＝＝，
综上所述，能找出3个满足条件的点P，当点P的坐标为（0，－4）或（0，4）时，AP＝2，当点P的坐标为（0，－1）时，AP＝.
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第2课时 平行线分线段成比例
第23章 图形的相似
★平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例 .
★平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），截得的 对应线段成比例 .
★方法指导：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，有以下两种类型.
成
比例
对应线段
成比例
“A”型图 “X”型图
考点一：一组平行线截两条直线
例1 如图，直线A1A∥BB1∥CC1，若AB＝8，BC＝4，A1B1＝6，求线段B1C1的长.
解：∵A1A∥BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝8，BC＝4，A1B1＝6，
∴B1C1＝3.
1.如图1，AD∥EF∥BC，AE∶EB＝2∶3，且DF＝4cm，则DC＝（ D ）
A.5cm B.6cm C.8cm D.10cm
图1
D
2.如图2，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝2，则DE∶DF＝（ D ）
A.2∶3 B.3∶2 C.2∶5 D.3∶5
图2
D
考点二：一条平行线截三角形
例2 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，＝，求EC的长.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解.
解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：EC＝8.
例3 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶AD＝1∶4，BE的延长线交AC于F，求AF∶CF.
解：如图，作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
∵DH∥BF，∴FH＝HC，
∵AE∶AD＝1∶4，∴AE∶ED＝1∶3，
∵DH∥BF，∴＝＝，
∴AF∶FC＝1∶6.
3.如图3所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为（ B ）
A.9 B.6 C.4 D.3
图3
B
4.如图4，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若OA＝2，AD＝6，OC＝5，求OB的长.
图4
解：∵AB∥CD，
∴＝，
即＝，
解得：OB＝2.5.
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第11课时 专题比例线段的证明
第23章 图形的相似
★比例线段与等积线段的证明，往往与平行线或者相似三角形有关，解题时需要根据条件寻找方法.
★三点定形法：它是直接证明比例线段最常见的方法.三点定形就是找出结论中的线段有关的两个三角形，然后利用相似三角形的对应边成比例推出结论.具体的就是横看竖找：横看等号两边分子中的线段构成三角形，再横看分母中的线段构成三角形，然后证明这两个三角形相似.
★代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行代换，代换包括等线段代换、中间比代换、等积线段代换.为了寻找代换的线段，有时候需要作辅助线.
考点一：三点定形法
例1 如图，△ABC中，∠BAC＝90°.M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E，连接AM.求证：AM2＝MD·ME.
证明：∵∠BAC＝90°，M为BC的中点，
∴AM＝BM＝CM，∴∠B＝∠BAM，
∵∠B＋∠C＝∠C＋∠D＝90°，
∴∠B＝∠D＝∠BAM，
∵∠AME＝∠DMA，∴△AME∽△DMA，
∴＝，∴AM2＝MD·ME.
1.如图1，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，连接AE，∠BAE＝∠CBD＝∠DAC.求证：DE·AB＝BC·AE.
图1
证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠CBD＝∠BAE，
∴∠CBD＋∠ABD＝∠BAE＋∠ABD，
∴∠ABC＝∠AED，
∴△ABC∽△AED，∴＝，
∴DE·AB＝BC·AE.
考点二：代换法
例2 （等线段代换）如图，在矩形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，且PE⊥EC.求证：AE·AB＝DE·AP.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AB∥DC，∠ADC＝90°，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠PAE＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE＝90°，
∴∠PAE＝∠CDE，∴△PAE∽△CDE，
∴＝，∴＝，
∴AE·AB＝DE·AP.
2.（等积代换）如图2，CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，过点B作BG⊥AP于点G，交CE于点D，求证：CE2＝PE·DE.
图2
证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
由射影定理得：CE2＝AE·BE，
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°，
∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，
∴△AEP∽△DEB，∴＝，
∴PE·DE＝AE·BE，
∴CE2＝PE·DE.
3.（等比代换）如图3，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：（1）∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB，
∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形；
图3
（2）求证：OA2＝OE·OF.
证明：（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，∴＝，
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，∴＝，
∴＝，∴OA2＝OE·OF.
图3
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第3课时 专题黄金分割
第23章 图形的相似
★如图，点C把线段AB分成两条线段AC，BC（AC＞BC），如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
由定义知：AC2＝AB·BC，且黄金比＝＝≈0.618.
★方法指导：
（1）黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比；
（2）黄金矩形的长、宽之比为或1∶.
考点：黄金分割点
例 五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D均为线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，求EC＋CD的长.
【分析】根据D为AB的黄金分割点（AD＞BD），求出AD的长，再由五角星的性质可得EC＝AC，继而求出EC＋CD的长.
解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），
∴AD＝AB＝（10－10）cm，
∵EC＋CD＝AC＋CD＝AD，
∴EC＋CD＝（10－10）cm.
1.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列结论正确的是（ C ）
A.＝ B.＝0.618
C.＝ D.＝
2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ A ）
A.12.36cm B.13.6cm
C.32.36cm D.7.64cm
C
A
3.如图，若点P是AB的黄金分割点（AP＞PB），则线段AP，PB，AB满足的关系式为 ＝ ，即AP是 PB 与 AB 的比例中项.
4.一支铅笔长10cm，把它按黄金分割后，较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色，求出橘红色部分的长度.
解：10×＝（5－5）cm，
∴橘红色部分的长为（5－5）cm.
＝
PB
AB
5.把一根周长为4m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比.求这个矩形的面积.
解：设这个矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝2，
由题意得：＝＝，
∴x＝－1，y＝3－，
∴xy＝4－8，
∴这个矩形的面积为（4－8）m2.
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第8课时 相似三角形的判定（3）
第23章 图形的相似
★相似三角形的判定定理3：
三边对应成比例的两个三角形相似.
★相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
★方法指导：
根据三个判定定理判断出三角形相似以后，可以根据相似三角形的性质探索角的关系或者边的关系.
考点一：相似三角形的判定定理3
例1 如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长度）的顶点处，则△ABC与△DEF相似吗？为什么？
【分析】根据图示计算出△ABC、△DEF三条边的长，然后利用相似三角形的判定定理推知△ABC∽△DEF.
解：相似.理由如下：
根据图示知，AB＝2，BC＝1，AC＝，
DE＝2，EF＝，DF＝5，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
1.如图1，在网格图中，每个方格都是边长为1的正方形.若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.
图1
证明：由图知，AC＝，BC＝，AB＝4，DF＝2，EF＝2，ED＝8，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
考点二：相似三角形判定定理3的应用
例2 如图，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，且∠ADE＝45°，
∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.
（2）解：①当AD＝AE时，∠DAE＝90°，此时点D与点B重合，不符合题意；
②当AD＝DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
∴CD＝AB＝2，CE＝BD，∵AB＝AC＝2，∴BC＝2，
∴CE＝BD＝BC－CD＝2－2，∴AE＝AC－CE＝4－2；
③当AE＝DE时，此时∠DAE＝∠ADE＝45°，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD＝DC，
由等腰三角形的三线合一可知：AE＝CE＝AC＝1，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为4－2或1.
2.如图2，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM＝ 或 时，△ABE与△DMN相似.
图2
或
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第7课时 相似三角形的判定（2）
第23章 图形的相似
★相似三角形的判定定理2：
两边对应成比例且 夹角 相等的两个三角形相似.
★相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
★方法指导：
根据两个判定定理判断出三角形相似以后，可以根据相似三角形的性质探索角的关系或者边的关系.
夹角
考点一：相似三角形的判定定理2
例1 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上.求证：△ACB∽△DCE.
【分析】根据BC⊥AE于点C，得出∠ACB＝∠DCE＝90°，再根据网格中的每个小正方形的边长都是1，求出＝，然后即可求证△ACB∽△DCE.
证明：由图可知，BC⊥AE于点C，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵＝，＝＝，∴＝，
∴△ACB∽△DCE.
1.如图1，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5.求证：△ABC∽△AED.
图1
证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5，
∴AE＝5，AD＝6，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED.
考点二：相似三角形判定定理2的应用
例2 如图，BD、CE为△ABC的高，求证：△AED∽△ACB.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，即＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB.
2.如图2，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9.
（1）求CD的长；
（1）解：∵AE＝4，AC＝9，
∴CE＝AC－AE＝5，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴＝，
∴CD＝＝＝；
图2
（2）求证：△ABE∽△ACB.
（2）证明：∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB.
图2
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第13课时 三角形的中位线
第23章 图形的相似
★三角形中位线的定义：连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线.
★三角形中位线的性质：三角形的中位线 平行于 第三边，且 等于 第三边的一半.
★一个任意四边形的中点四边形一定是平行四边形.
★方法指导：
三角形的中位线可以用来解决角相等、直线平行、线段的倍半关系等问题.
中点
平行于
等于
考点一：三角形中位线定理
例1 如果三角形的两边长分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（ A ）
A.5.5 B.5 C.4.5 D.4
【分析】本题依据三角形三边关系，设三角形的三边分别是a、b、c，令a＝3，b＝5，∴2＜c＜8，∴10＜三角形的周长＜16，∴5＜中点三角形的周长＜8，故选A.
1.如图1，为测量池塘边A、B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，则A、B两点间的距离是（ C ）
A.18米 B.24米 C.28米 D.30米
图1
C
2.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连接各边中点的三角形的周长为（ B ）
A.7cm B.6cm C.5cm D.2cm
图2
3.如图2，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为（ A ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
B
A
4.如图3，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是（ D ）
A.15° B.20° C.25° D.30°
图3
D
5.如图4， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为 15 .
图4
15
6.如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE.请判断四边形EFGH的形状，并给予证明.
图5
解：四边形EFGH的形状是平行四边形.
证明：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
考点二：中位线定理的应用
例2 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AC＝4，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF，求EF的长.
【分析】根据三角形的中位线定理及等腰三角形的“三线合一”可以判定EF是△ABD的中位线，从而求出EF的长.
解：∵DC＝AC＝4，∠ACB＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵CF平分∠ACD，∴AF＝DF，
∵E为AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD，
如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∴DM＝CM＝CD＝2，
由勾股定理得AM＝6，
∵∠B＝45°，∴BM＝AM＝6，
∴BD＝BM－DM＝6－2，
∴EF＝BD＝3－.
7.如图6，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，求MD的长.
图6
解：如图，延长BD交CA的延长线于E，
∵AD平分∠BAE，BD⊥AD，
∴BD＝DE，AE＝AB＝6，
∴CE＝AC＋AE＝15，
又∵M为BC的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝7.5.
8.如图7，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，连接MN，若BC＝6，求MN的长度.
图7
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE＝90°，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，
同理：△CAD是等腰三角形，
∴N是AE的中点，M是AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，
∴MN＝DE，∵BE＋CD＝AB＋AC＝17－BC＝11，
∴DE＝BE＋CD－BC＝5，∴MN＝DE＝.
图7
9.如图8，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，连接EF.
（1）如图①，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC－AB）；
（1）证明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，∴BE＝DE，
∵F为BC的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF＝DC＝（AC－AD）＝（AC－AB）；
（2）如图②，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系.
图8
（2）解：EF＝（AB－AC）.
如图，延长AC交BE的延长线于点P，
∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠PAE＋∠P＝90°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠P，∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，∴BE＝PE，
∵F为BC的中点，
∴EF为△BCP的中位线，
∴EF＝PC＝（AP－AC）＝（AB－AC）.
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第14课时 位似图形
第23章 图形的相似
★如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
★方法指导：
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换，利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.
考点一：位似图形的作图
例1 正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你在网格图中以点O为位似中心将“鱼”放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1.（不要求写作法）
【分析】连接OA，OB，OC，OD并延长到OA'，OB'，OC'，OD'，使OA'，OB'，OC'，OD'的长度分别是OA，OB，OC，OD的2倍，顺次连接各点.
解：如图所示.
1.如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的11×11的网格中，△ABC的顶点都在格点上，
（1）以格点M为位似中心，把△ABC按1∶3的比例放大，在网格图中画出△A1B1C1；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
图1
（2）在（1）的条件下，线段AB的对应线段为A1B1，求△A1B1M的面积.
解：（2）＝×6×6＝18.
图1
考点二：位似图形的性质
例2 如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ B ）
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6
【分析】根据位似图形的定义及性质即可得出答案.答案：B.
2.已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2cm，则A'B'＝ 4 cm.
3.如图2，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，相似比是1∶2，若△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积是 12 .
图2
4
12
4.已知△ABC与△DEF是两个位似图形，它们的相似比为，若S△ABC＝10，则S△DEF＝ 90 .
90
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第10课时 相似三角形的性质
第23章 图形的相似
★相似三角形的对应 高 的比，对应 中线 的比，对应 角平分线 的比都等于相似比.
★相似三角形周长的比等于 相似比 .
★相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
高
中线
角平分线
相似比
相似比的平方
考点一：相似三角形对应线段的性质
例1 如图，矩形DEFG内接于△ABC，点D在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AH⊥BC于点H，交DG于点N，BC＝18cm，AH＝6cm，DE∶DG＝2∶3，求矩形DEFG的周长.
【分析】依题意得，DG∥BC，则△ADG∽△ABC，有DG∶BC＝AN∶AH，设DE＝2xcm，则DG＝3xcm，NH＝2xcm，AN＝（6－2x）cm，代入比例式得方程求解.
解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
设DE＝2xcm，则DG＝3xcm，NH＝2xcm，AN＝（6－2x）cm，
∴＝，解得x＝2，
∴DE＝4cm，DG＝6cm，
∴C矩形DEFG＝2（DE＋DG）＝20cm.
1.如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2，那么它们的斜边上的中线的比是（ C ）
A.1∶1 B.1∶ C.1∶2 D.1∶4
C
2.如图1，光源P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，若AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是 1.8m .
图1
1.8m
3.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F，试判断＝成立吗？请说明理由.
图2
解：成立，理由如下：
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
又∵∠DAC＝∠CAB，
∴△CAD∽△BAC，
∵AE平分∠BAC，
∴AE，AF分别是△BAC，△CAD的角平分线，
∴＝.
4.如图3，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC＝12cm，高AD＝8cm，现在要把它裁成一块正方形材料备用，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，问这块正方形材料的边长是多少？
图3
解：设这块正方形材料的边长为x cm，则△PAN的边PN上的高为（8－x）cm，
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝4.8，
答：这块正方形材料的边长为4.8 cm.
考点二：相似三角形周长、面积的性质
例2 两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm.
（1）若它们的周长和是120cm，则这两个三角形的周长分别为多少？
【分析】（1）先设这两个三角形的周长分别是xcm、ycm，根据题意可得关于x、y的方程组，解方程组即可；
解：（1）设这两个三角形的周长分别是xcm、ycm，
由题意得，解得，
答：这两个三角形的周长分别是80cm、40cm；
（2）若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为多少？
【分析】（2）设这两个三角形的面积分别是S1cm2、S2cm2，根据题意可得关于S1、S2的方程组，解方程组即可得出结果.
（2）设这两个三角形的面积分别是S1cm2、S2cm2，
由题意得，解得，
答：这两个三角形的面积分别是560cm2、140cm2.
5.两个相似三角形的相似比是1∶2，其中较小三角形的周长为6cm，则较大的三角形的周长为（ D ）
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
D
6.如图4，已知DE∥BC，CD与BE相交于点O，且S△DOE∶S△COB＝4∶9，则AE∶AC＝（ B ）
A.4∶9 B.2∶3 C.3∶2 D.9∶4
图4
B
7.如图5，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且S△ADE＝S梯形DFGE＝S梯形FBCG，则DE∶FG∶BC＝ 1∶ .
图5
1∶
解：∵在△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，
∴C△ABC＝60cm，AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝×15×20＝150cm2，
∵△ABC与△A'B'C'相似，且△ABC的最长边为25cm，△A'B'C'的最长边为50cm，
∴相似比为，∴＝，即＝，
∴＝120cm，∵＝（）2，∴＝，∴＝600cm2，
∴△A'B'C'的周长为120cm，面积为600cm2.
8.已知在△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A'B'C'的最长边A'C'＝50cm，求△A'B'C'的周长和面积.
9.如图6，过△ABC的顶点C作任一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E，过点D作DM∥FC交AB于点M.
（1）若S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3，求的值；
（1）解：∵EF∥DM，
∴△AEF∽△ADM，
∵S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3，
∴＝＝，
∴＝＝；
图6
（2）试说明AE·FB＝2AF·ED.
（2）证明：∵AD是中线，∴DC＝DB，
∵DM∥FC，∴FM＝MB＝FB，
∵DM∥EF，∴AE∶ED＝AF∶FM，
即AE∶ED＝AF∶FB，
∴AE·FB＝2AF·ED.
图6
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第5课时 相似三角形
第23章 图形的相似
★相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.
★相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
符号语言：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
考点一：相似三角形的概念
例1 （1）如图①，已知△ADE∽△ABC，若DE∶BC＝2∶5，且AD＝4，则AB的长为（ B ）
图①
A.12 B.10 C.8 D.6
答案：（1）B；
（2）如图②，△ABC∽△ACP，若∠A＝75°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ A ）
图②
A.40° B.50° C.65° D.75°
答案：（2）A.
1.若△ABC∽△A'B'C'，∠C＝∠C'＝90°，且AB＝5，AC＝3，A'B'＝10，则B'C'的长为（ B ）
A.10 B.8 C.6 D.4
2.如图1，△ADE∽△ABC，AD＝3，AE＝4，BE＝5，则CA的长为 12 .
图1
B
12
考点二：相似三角形判定预备定理
例2 如图，F是 ABCD对角线BD上的点，BF∶FD＝1∶3，求BE∶EC.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴BE∶AD＝BF∶FD＝1∶3，
∴BE∶BC＝1∶3，
∴BE∶EC＝1∶2.
3.如图2，若DE∥FG，且AD＝DF，则△ADE与△AFG的相似比为（ A ）
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.2∶5
图2
A
4.如图3，直线l1、l2、…、l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、C、E、F.若BC＝2，求EF的长.
图3
解：∵l3∥l6，∴BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝＝，
∵BC＝2，∴EF＝5.
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