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第2课时 锐角三角函数（1）
第24章 解直角三角形
★锐角三角函数的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
（1）∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦.记作sinA＝＝；
（2）∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦.记作cosA＝＝；
（3）∠A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切.记作tanA＝＝.
（2）sinA、cosA、tanA都是表达符号，它们是一个整体，不能拆开来理解；
（3）sinA、cosA、tanA中∠A的角的记号“∠”习惯上省略不写，但对于用三个字母和阿拉伯数字表示的角，角的记号“∠”不能省略，例如：sin∠1不能写成sin1.
★方法指导：
（1）我们现阶段所研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的；
考点一：求锐角三角函数
例1 （1）求出如图所示的Rt△ABC中∠A的三个三角函数值；
解：由图可知：AC＝15，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝17，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，
tanA＝＝.
【分析】可利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含k的代数式表示，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的三角函数值.
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA、sinB、tanB的值.
解：∵∠C＝90°，cosA＝＝，
∴设AC＝15k，AB＝17k，
由勾股定理得：BC＝＝8k，
∴sinA＝＝＝，
tanA＝＝＝，
sinB＝＝＝，
tanB＝＝＝.
1.在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosB的值为（ A ）
A. B.2 C. D.3
2.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，则下列各式正确的是（ D ）
A.sinA＝ B.cosA＝
C.tanA＝ D.tanB＝
A
D
考点二：已知锐角三角函数值，求边长
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，AB＝10，求AC的长.
解：设AC的长为k，则BC的长为2k，
∵∠C＝90°，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2，即k2＋4k2＝100，
解得：k＝2（负值已舍去），
∴AC＝2.
3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝，则BC的长为 .
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第1课时 测量、直角三角形的性质
第24章 解直角三角形
★利用已经学过的相似三角形、直角三角形的知识，可以测量线段的长度.
★直角三角形的性质：
①直角三角形两锐角互余；
②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
③直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点一：测量
例1 如图，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E、标杆的顶端点D、古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F、标杆的顶端点H、古塔的塔尖点B正好在同一直线上，这时测得FG＝6米，GC＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB.
解：∵△EDC∽△EBA，∴＝，
∵△FHG∽△FBA，∴＝，
∵DC＝HG，∴＝，
∴＝，解得CA＝40，
∴＝，解得AB＝22，
答：古塔的高度AB为22米.
1.如图1，在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离（A，B之间有水池，无法直接测量）.智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD＝CD＝10m，∠D＝90°，BC＝40m，∠DCB＝135°.请你根据上述数据求出凉亭A，B之间的距离.
图1
解：如图，连接AC，
在Rt△ADC中，CD＝AD＝10m，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
由勾股定理得AC＝＝10m，
∵∠BCD＝135°，
∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝40m，AC＝10m，
由勾股定理得AB＝＝30m，
答：凉亭A，B之间的距离为30m.
考点二：直角三角形的性质
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，E为边BC的中点，连接DE，过点E作EF∥CD交AC的延长线于点F.若AB＝13，BC＝12，求四边形CDEF的周长.
解：在Rt△ABC中，
∵AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝5，
∵CD是边AB的中线，E为边BC的中点，
∴CD＝AB＝，DE＝AC＝，DE∥AC，
又∵EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴C四边形CDEF＝2（CD＋DE）＝18.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，BD平分∠ABC交AC于D，则∠BDC的度数是（ A ）
A.65° B.55° C.45° D.35°
3.如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D为AC边的中点.若BC＝6，则BD的长为（ A ）
A.3 B.4 C.6 D.8
图2
A
A
4.等腰△ABC底边上的高AD＝BC，AB＝，则△ABC的面积为（ B ）
A. B.1 C.2 D.4
5.如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，若AD＝3，则BC＝ 9 .
图3
B
9
6.如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，点P是BD的中点，若AD＝6，求CP的长.
图4
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴∠DBA＝∠A，
∴BD＝AD＝6，
∵点P是BD的中点，
∴CP＝BD＝3.
7.如图5，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，P是BC上一点且PC＝BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P，则爬行的最短路程是多少？
图5
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC＝3cm，
∵PC＝BC，BC＝6cm，
∴PC＝×6＝4cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋PC2，
解：如图，是侧面展开图，连接AP，
∴AP＝＝5cm，∴最短路程是5cm.
8.如图6，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD＝8，CD＝5，求△DCG的面积.
图6
解：如图，连接DE，过点E作EF⊥BC于点F，
∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE＝ED，∵CD＝AE，CD＝5，
∴ED＝CD＝5，AB＝10，∵BD＝8，∴AD＝＝6，
∵DE＝BE＝5，EF⊥BD，
∴BF＝DF＝BD＝4，
在Rt△EFD中，EF＝＝3，
∴S△EDC＝DC·EF＝×5×3＝，
又∵ED＝DC，DG⊥EC，
∴S△DCG＝S△EDC＝.
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第8课时 解直角三角形（3）
第24章 解直角三角形
★利用三角函数解应用题时，关键是找出直角三角形或者通过作辅助线构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.
★坡度：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i＝.（坡度通常写成1∶m的形式）
★坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tanα.
考点一：解直角三角形的应用（坡度问题）
例1 如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC，坡AB的坡角为45°，坡DC的坡度为1∶2，其他数据如图所示，求BC的长.（结果保留根号）
解：如图，作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD为矩形，
由题意可得，tanC＝＝，
CD＝10m，∠B＝45°，AD＝6m，
又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴BE＝AE＝DF，
设DF＝xm，则CF＝2xm，
∴＝10，解得：x＝2，
∴DF＝AE＝BE＝2m，CF＝4m，
∴BC＝BE＋EF＋CF＝（6＋6）m，
即BC的长是（6＋6）m.
1.如图1，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为1∶，坡面AB的水平长度为3m，上底AD宽为4m，则坡角B，坝高AE和坝底BC的长各是多少？
图1
解：如图，过D作DF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴CF＝BE，EF＝AD＝4m，
∵tanB＝＝i＝1∶＝，BE＝3m，
∴∠B＝30°，AE＝BE＝3m，
∴BC＝BE＋EF＋CF＝2BE＋AD＝（6＋4）m，
答：坡角B为30°，坝高AE为3m，坝底BC的长为（6＋4）m.
2.如图2，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1∶，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝4千米.若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米？（结果精确到0.01千米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
图2
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∠CBA＝45°，BC＝4千米，
∴CD＝BD＝4千米，
在Rt△ACD中，∵i＝1∶＝，
∴AD＝CD＝4千米，
∴AC＝＝8千米，
∴AB＝AD＋BD＝（4＋4）千米，
AC＋CB＝（8＋4）千米，
∴AC＋CB－AB＝8＋4－4－4≈2.73千米，
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短2.73千米.
考点二：解直角三角形的应用（其它问题）
例2 如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上.
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，求连杆端点D离桌面l的高度DE；
【分析】（1）作BO⊥DE于O，解直角三角形求出OD即可解决问题；
解：（1）如图1，作BO⊥DE于O，
∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，OE＝AB＝5cm
∴∠DBO＝150°－90°＝60°，
∴OD＝BD·sin60°＝20cm，
∴DE＝OD＋OE＝（20＋5）cm；
（2）如图③，将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳，则此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少？
【分析】（2）作DE'⊥l于E'，BH⊥DE'于H，过C作CG⊥BH于G，CK⊥DE'于K，由题意得，BC＝CD＝20cm，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论.
（2）如图2，过D作DE'⊥l于E'，过B作BH⊥DE'于H，过C作CG⊥BH于G，CK⊥DE'于K，
∴四边形KHGC为矩形，∴∠KCG＝90°，
∵BC＝CD＝20cm，CG＝KH，∠CBH＝60°，
∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝＝，∴KH＝CG＝10cm，
∵∠BCG＝90°－60°＝30°，∴∠DCK＝150°－90°－30°＝30°，
在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝，∴DK＝10cm，∴DE'＝（10＋15）cm，
∴DE－DE'＝（10－10）cm，
答：比原来降低了（10－10）cm.
3.小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图3所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO'＝2米，当吊臂顶端由点A抬升至点A'（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B'处，紧绷着的吊缆A'B'＝AB，AB垂直地面O'B于点B，A'B'垂直地面O'B于点C，吊臂长度OA'＝OA＝10米，且cosA＝，sinA'＝.
图3
解：（1）如图，作OH⊥AB于H，交A'C于G，
则BH＝CG＝OO'＝2米，GH＝BC，
在Rt△AOH中，cosA＝＝，
∴AH＝8米，
∴OH＝＝6米，
在Rt△A'OG中，sinA'＝＝，
∴OG＝5米，
∴BC＝GH＝OH－OG＝1米，
答：重物在水平方向移动的距离BC为1米；
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；
（2）求此重物在竖直方向移动的距离B'C.（结果保留根号）
解：（2）在Rt△OGA'中，由勾股定理得，
A'G＝＝5米，
∵AH＝8米，BH＝2米，
∴A'B'＝AB＝10米，
∴B'C＝A'G＋GC－A'B'＝（5－8）米，
图3
答：重物在竖直方向移动的距离为（5－8）米.
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第6课时 解直角三角形（1）
第24章 解直角三角形
★在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.任何一个三角形都有六个元素，即三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，剩余的还有五个元素.
★解直角三角形的理论依据（∠C＝90°）：
（1）角的关系：∠A＋∠B＝90°；
（2）边的关系：a2＋b2＝c2；
（3）边与角的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝.
★利用三角函数解应用题时，关键是找出直角三角形或者通过作辅助线构造直角三角形，再利用解直角三角形知识求解.
考点一：解直角三角形
例1 在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知∠C＝90°，∠B＝30°，b＋c＝12，求a、b、c的值.
解：由题意得c＝2b，
∵b＋c＝12，∴3b＝12，
∴b＝4，∴c＝2b＝8，
由勾股定理得：a＝＝4.
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝8，则a＝ 4 ，b＝ 4 .
2.如图1，在△ABC中，AC＝2，∠A＝45°，tanB＝，求BC的长.
图1
4
4
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝2，∠A＝45°，
∴CD＝AC·sinA＝，
∵tanB＝，∴BD＝＝2，
∴BC＝＝.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝3，S△ABC＝，解这个直角三角形.
解：∵在Rt△ABC中，b＝3，S△ABC＝，
∴ab＝，解得a＝3，
∴tanA＝＝＝，∴∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝30°，
∴c＝2b＝6.
4.如图2，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，AB＝6，求BC的长.
图2
解：如图，过B作BD⊥AC于D，
∵在Rt△ABD中，∠A＝45°，
∴BD＝AB·sin45°＝3，
∵∠ABC＝105°，∠ABD＝45°，
∴∠DBC＝60°，
∴在Rt△BDC中，BC＝＝6.
考点二：解直角三角形的应用（方位角）
例2 如图，缉私艇在A处观察到在其北偏东15°的方位上的B处有一走私船正以20n mile/h的速度沿正东方向航行，欲逃往公海，于是缉私艇立即沿北偏东45°的方向航行进行阻截，在C处将走私船查获.若测得BC＝40n mile，求缉私艇的航行速度.（精确到1n mile/h，参考数据：≈1.414，≈1.732）
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝40n mile，∠C＝45°，
∴BD＝BC·sin45°＝40n mile，∴CD＝40n mile，
在Rt△ABD中，
∵∠BAC＝45°－15°＝30°，
∴AD＝＝40n mile，
∴AC＝（40＋40）n mile，
∵＝2h，≈55n mile/h，
∴缉私艇的航行速度约为55n mile/h.
5.如图3，一只轮船上午9时从灯塔P的正西的M处出发，以每小时20海里的速度沿着北偏东65°方向航行，中午12时到达这座灯塔正北的N处，求轮船在N处时与灯塔P的距离.（精确到0.1海里，参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663）
图3
解：在Rt△MNP中，MN＝20×3＝60海里，
∠NMP＝25°，
∴NP＝MN·sin∠NMP≈25.4海里，
答：轮船在N处时与灯塔P的距离约为25.4海里.
6.如图4，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上.已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域.为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，问：高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明.（参考数据：≈1.73）
图4
根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH，
设BH＝CH＝tkm，
在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm，
∵AB＝150km，∴t＋t＝150，
解：高速公路AB不穿过风景区.
如图，过点C作CH⊥AB于点H，
解得t＝75－75≈54.75，
∵54.75km＞50km，
∴高速公路AB不穿过风景区.
7.如图5，一艘船由A港沿北偏东70°方向航行，以30海里/时的速度航行2小时到达小岛B处，稍作休整，然后再沿北偏西35°方向航行至C港，C港在A港北偏东25°方向，求A，C两港之间的距离.（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
图5
解：如图，作BD⊥AC于D，
由题意得，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
AB＝30×2＝60海里，
∴∠CBD＝75°－45°＝30°，
在Rt△ADB中，∠CAB＝45°，
∴AD＝BD＝AB＝60海里，
在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BD＝20海里，
∴AC＝AD＋DC＝60＋20≈95海里，
答：A，C两港之间的距离约为95海里.
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第10课时 复习巩固
第24章 解直角三角形
本章知识结构：
考点一：直角三角形的性质
例1 如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，求△ABC的面积.
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形的面积公式计算.
解：∵CE是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CE＝2×6＝12，
∴S△ABC＝CD·AB
＝×5×12＝30.
1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥DC，垂足为D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，则线段DM的长度是（ B ）
A.5 B.5－5
C.10－10 D.5
图1
B
2.如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则点C到AB的距离为（ D ）
A. B.
C.4 D.1
图2
D
考点二：锐角三角函数
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么下列各式中正确的是（ C ）
A.cosA＝ B.sinB＝
C.tanB＝ D.cosB＝
【分析】由∠C＝90°，sinA＝，可设BC＝3a，AB＝4a，则AC＝a，利用锐角三角函数关系得出答案.
答案：C.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（ B ）
A. B.
C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB的值为（ A ）
A. B.
C. D.
B
A
考点三：特殊角的三角函数值
例3 计算：
.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案.
解：原式＝
＝
＝＋1.
5.计算：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°＝ .
6.计算：sin260°＋cos260°－tan45°＝ 0 .
7.在△ABC中，（tanA－）2＋（－cosB）2＝0，则∠C＝ 105° .
8.计算：｜－2｜＋2cos30°－＋（tan45°）－1.
解：原式＝2－＋2×－3＋1
＝0.
0
105°
考点四：三角函数的关系
例4 已知sinα＋cosα＝，求sinα·cosα的值.
【分析】根据完全平方公式，利用同角三角函数关系可得答案.
解：等式两边平方，
得sin2α＋cos2α＋2sinα·cosα＝，
∴1＋2sinα·cosα＝，
解得sinα·cosα＝.
9.若α是锐角，tan40°·tanα·tan50°·tan70°＝1，则α＝（ A ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
10.已知cosα＝，求的值.
解：原式＝＝，
∵cosα＝，
∴原式＝＝0.
A
考点五：解直角三角形
例5 我国海域辽阔，渔业资源丰富.如图所示，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上，在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向28（1＋）海里处，则海岛A，C之间的距离为多少海里？
【分析】作AD⊥BC于D，设AC＝x海里，根据正弦的定义、正切的定义分别求出CD、BD，根据题意列方程计算即可.
解：如图，作AD⊥BC于D，
设AC＝x海里，
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝AC·sin45°＝x海里，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，
∴BD＝＝x海里，
则x＋x＝28（1＋），
解得x＝28，
答：海岛A，C之间的距离为28海里.
11.如图3，一艘核潜艇在海面下400米的A处测得俯角为30°的海底有黑匣子C的信号发出，在同一深度继续直线航行1000米的B处测得俯角为45°的海底有黑匣子C的信号发出，求海底黑匣子C距离海面的深度.（结果精确到1米，≈1.414，≈1.732，≈2.236）
图3
解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于D，
由题意得AB＝1000米，∠DAC＝30°，∠CBD＝45°，
设CD＝BD＝x米，
在Rt△ACD中，
tan30°＝＝＝，
解得x＝＝500（＋1）≈1366，
故黑匣子C距离海面的深度约为1366＋400＝1766米.
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第7课时 解直角三角形（2）
第24章 解直角三角形
★仰角与俯角：
★方法指导：利用三角函数测高分为两类：
（1）底部能够直接到达时，需要测出仰角、测量点与底部的距离，利用三角函数求出高度；
（2）底部不能直接到达时，需要测出两个仰角，两测量点之间的距离，利用三角函数建立方程求解.
考点一：利用三角函数测高
例1 某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造.如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从山腰D到山顶A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD＝336米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长.（结果保留根号）
解：如图，作DE⊥BC于E，
则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，
在Rt△DBE中，
∠DBC＝30°，BD＝336米，
∴FC＝DE＝BD＝168米，
∴AF＝AC－FC＝308－168＝140米，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AD＝AF＝140米，
答：电动扶梯DA的长为140米.
1.如图1，为测楼房BE的高，在距楼底部30米的D处，用高1.2米的测角仪AD测得楼顶B的仰角α为60°，求楼房BE的高.（精确到0.1米，参考数据：≈1.732）
图1
解：依题意得：在Rt△ABC中，
α＝60°，AC＝30米，
∴BC＝tanα·AC≈52.0米，
∴BE＝BC＋CE＝BC＋AD≈53.2米，
答：楼房BE的高约为53.2米.
2.如图2，在某建筑物AC上，挂着“多彩四川”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长.（小明的身高不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
图2
解：∵∠BFC＝30°，∠BEC＝60°，∠BCF＝90°，
∴∠EBF＝∠EBC＝30°，
∴BE＝EF＝20米，
在Rt△BCE中，
BC＝BE·sin60°≈17.3米，
答：宣传条幅BC的长约为17.3米.
考点二：解直角三角形的应用
例2 （方程思想）如图，山顶有一塔AB，塔高33m，计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF，从与E处相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F处相距50m的D处测得A的仰角为45°，求隧道EF的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）
解：如图，延长AB交CD于H，
则AH⊥CD，
在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，
在Rt△AHC中，∠ACH＝27°，∴AH＝CH·tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，∠BCH＝22°，∴BH＝CH·tan∠BCH≈0.4CH，
由题意得，0.51CH－0.4CH＝33，
解得：CH＝300，
∴EH＝CH－CE＝220m，BH＝120m，
∴DH＝AH＝AB＋BH＝153m，
∴HF＝DH－DF＝103m，
∴EF＝EH＋FH＝323m，
答：隧道EF的长度约为323m.
3.某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度（如图3），他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米.请根据他们的测量数据求此楼MF的高.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
图3
解：设MC＝x米，
在Rt△MAC中，∠MAC＝30°，
∴AC＝＝x米，
在Rt△MCB中，∠MBC＝45°，
∴BC＝MC＝x米，
又∵AB＝DE＝40米，
∴x－x＝40，
解得：x＝20＋20≈54.6，
∴MF＝MC＋CF≈54.6＋1.5＝56.1米，
答：楼MF的高约为56.1米.
4.如图4，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，则这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
图4
解：如图，作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，∴AD＝CE，AE＝DC，
设BE＝x米，
在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，
∴AE＝＝x米，
∵∠EAC＝45°，∴EC＝AE＝x米，∴x＋x＝120，
解得：x＝60（－1），
∴AE＝x＝（180－60）米，
∴DC＝（180－60）米，
答：两座建筑物的地面距离DC为（180－60）米.
5.如图①是一种自卸货车，图②是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB＝8米，BC＝2米，前端挡板高DE＝0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米.卸货时，货箱底边AB的仰角α＝37°（如图③），求此时挡板最高点E离地面的高度.（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
图5
解：如图，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，交AB于G，
在Rt△ABF中，∠ABF＝37°，
∴AF＝tan37°·AB≈6米，
∴EF＝AF＋AD＋DE≈8.5米，
∵∠EHF＝∠BAF＝90°，∠EFH＝∠BFA，
∴∠E＝∠ABF＝37°，
∴在Rt△EFH中，EH＝cos37°·EF≈6.8米，
又∵底边AB离地面的距离为1.3米，
∴点E离地面的高度约为6.8＋1.3＝8.1米.
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第5课时 专题锐角三角函数
第24章 解直角三角形
★锐角三角函数：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
（1）∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦.记作sinA＝＝；
（2）∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦.记作cosA＝＝；
（3）∠A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切.记作tanA＝＝.
考点一：锐角三角函数（转化角）
例1 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，求cos∠BCD的值.
【分析】利用两锐角相等，则它们对应的三角函数值也分别相等，
把∠BCD的余弦值转化为∠A的余弦值.
解：由∠A＋∠B＝∠BCD＋∠B＝90°，
得∠BCD＝∠A，则cos∠BCD＝cosA，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴cos∠BCD＝cosA＝＝.
1.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝8，BC＝10，求cosA的值.
图1
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B＋∠BCD＝∠B＋∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴cosA＝cos∠BCD＝＝＝.
考点二：锐角三角函数（参数法）
例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝，求：
（1）DC的长；
【分析】（1）由题意可设DC＝3k，AD＝5k，再由BC＝AD＝5k，BC＝BD＋3k列方程求出k的值，即可得DC的长；
解：（1）由cos∠ADC＝＝，
设DC＝3k，AD＝5k，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝4k，
∵BC＝AD＝5k，且BC＝4＋3k，
∴5k＝4＋3k，解得：k＝2，故DC的长为6；
（2）sinB的值.
【分析】（2）由（1）可求出AC、BC的长，再由勾股定理得AB的长，从而求出sinB的值.
解：（2）∵AC＝4k＝8，BC＝5k＝10，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝2，
故sinB＝＝.
2.如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD＝5，sin∠ADC＝，求tanB的值.
图2
解：在Rt△ADC中，sin∠ADC＝＝，
∵AD＝BD＝5，∴AC＝4，
∴CD＝＝3，
∴BC＝CD＋DB＝3＋5＝8，
∴在Rt△ABC中，tanB＝＝＝.
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第9课时 专题解直角三角形的应用
第24章 解直角三角形
★在解直角三角形的实际问题中，如果已知的线段正好是直角三角形的一条边，我们可以直接利用直角三角形的边角关系求出相关线段，得出结果；有些问题，需要将得到的线段进行加减才能得到结果.
★在解直角三角形的实际问题中，如果已知的线段不能够转化为直角三角形的一条边，往往需要列出方程进行求解.
考点一：利用直角三角形边角关系直接求解
例1 如图①是钢琴缓降器，图②和图③是钢琴缓降器两个位置的示意图.AB是缓降器的底板，压柄BC可以绕点B旋转，液压伸缩连接杆DE的端点D、E分别固定在压柄BC与底板AB上，已知BE＝12cm.
（1）如图②，当压柄BC与底座AB垂直时，∠DEB约为22.6°，求BD的长；
解：（1）在Rt△BDE中，tan∠DEB＝，
∵∠DEB＝22.6°，BE＝12cm，
∴BD＝BEtan∠DEB≈12×＝5cm，
答：BD的长约为5cm；
（2）将压柄BC从图②的位置旋转到与底座AB成37°角（即∠B＝37°），如图③所示，求此时液压伸缩连接杆DE的长.（结果保留根号，参考数据：sin22.6≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈；sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
解：（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，
在Rt△BDF中，sinB＝，cosB＝，
∵∠B＝37°，BD＝5cm，
∴DF＝BDsinB≈5×＝3cm，
BF＝BDcosB≈5×＝4cm，
在Rt△DEF中，EF＝BE－BF≈8cm，
∴DE＝≈cm，
答：此时液压伸缩连接杆DE的长约为cm.
1.如图①是一台置于水平桌面上的笔记本电脑，忽略其厚度，将结构简化成图②，其外部结构由显示屏OA、键盘和触摸板OB两大部分组成，已知OA＝OB＝30cm.
（1）打开电脑时，若∠AOB＝120°，求点A到桌面的距离；（结果保留一位小数，参考数据：≈1.732，≈1.414）
图1
解：（1）如图，过点A作AE⊥直线OB，垂足为点E，
∵OA＝30cm，∠AOB＝120°，
∴∠AOE＝60°，
在Rt△AOE中，
AE＝OAsin60°＝30×≈26.0cm，
答：点A到桌面的距离约为26.0cm；
（2）若D为OA的中点，测得电脑使用者的眼睛所在位置点P处到点D的距离PD＝36cm，且∠PDO＝90°，连接OP，求O，P两点之间的距离.
图1
解：（2）∵OA＝30cm，D为OA的中点，
∴OD＝OA＝15cm，
∵PD＝36cm，∠PDO＝90°，
∴OP＝＝39cm，
答：O，P两点之间的距离为39cm.
考点二：利用直角三角形边角关系列方程求解
例2 某地为庆祝元旦来临，在银杏广场举行无人机表演，点D、E处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面AB的距离为60m.此时，点E到点A处的俯角为60°，点E到点C处的俯角为30°，点D到点C处的俯角为45°，点A到点C处的仰角为30°.求两架无人机之间的距离DE的长.（结果保留根号）
解：如图，延长BC交ED于点G，
∵点E到点A处的俯角为60°，点E到点C处的俯角为30°，
∴∠AEC＝180°－60°－30°＝90°，
设BC＝xm，则CG＝（60－x）m，
∵∠GEC＝∠CAB＝30°，∠EGC＝∠ABC＝90°，
∴AC＝2BC＝2xm，CE＝2CG＝（120－2x）m，
在Rt△AEC中，
∵∠EAC＝∠EAB－∠CAB＝30°，
∴sin∠EAC＝＝＝，
解得x＝40，∴BC＝40m，CG＝20m，
在Rt△DCG中，∵∠GDC＝45°，
∴DG＝CG＝20m，
在Rt△ECG中，∵∠GEC＝30°，
∴EG＝＝20m，
∴DE＝EG－DG＝（20－20）m，
答：两架无人机之间的距离DE的长为（20－20）m.
2.如图2，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1280米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处.（结果保留整数，参考数据：≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
图2
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
由题意得：BC＝1280米，∠ABD＝28°＋25°＝53°，∠ACB＝58°－28°＝30°，
设AD＝x米，
在Rt△ABD中，BD＝≈x米，
在Rt△ADC中，CD＝＝x米，
∵CD＋BD＝BC，∴x＋x＝1280，
解得：x≈516.1，∴AD≈516.1米，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD≈1032.2米，
∴1032.2÷120≈9分钟，
∴估计9分钟可以到达事故船A处.
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第4课时 锐角三角函数（3）
第24章 解直角三角形
★锐角的正弦、正切值随角度增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.
★三角函数的关系：
（1）sin2A＋cos2A＝1；
（2）tanA＝；
（3）sin（90°－∠A）＝cosA；
（4）cos（90°－∠A）＝sinA；
（5）tanA·tan（90°－∠A）＝1.
★三角函数间的关系灵活掌握，可以在三角函数之间进行转换，更加快捷地计算出相应的三角函数值.
考点一：锐角三角函数的增减性
例1 比较大小：sin24° ＜ sin52°.（填“＞”“＜”或“＝”）
答案：＜.
1.比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
（1）cos52° ＜ cos42°；
（2）tan42° ＞ tan22°.
＜
＞
考点二：同角三角函数关系
例2 设θ为直角三角形的一个锐角，则有如下两条基本性质：①tanθ＝；②cos2θ＋sin2θ＝1.已知cosθ＋sinθ＝，求值：
（1）tanθ＋；
解：（1）∵cosθ＋sinθ＝，
∴（cosθ＋sinθ）2＝cos2θ＋2cosθsinθ＋sin2θ＝，
∴cosθsinθ＝，
∴tanθ＋＝＋＝＝4；
（2）｜cosθ－sinθ｜.
解：（2）∵（cosθ－sinθ）2＝cos2θ－2cosθsinθ＋sin2θ＝1－2×＝，
∴cosθ－sinθ＝±，
∴｜cosθ－sinθ｜＝.
2.sin220°＋cos220°＝ 1 .
3.已知∠A是锐角，且cosA＝，则tanA＝ .
4.若α为锐角，tanα＝4，求的值.
解：＝
＝＝－.
1
考点三：余角三角函数的关系
例3 计算：sin266°－tan54°tan36°＋sin224°.
解：原式＝sin266°－tan54°tan（90°－54°）＋cos266°
＝（sin266°＋cos266°）－1
＝0.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是（ D ）
A.sinA＝sinB B.cosA＝cosB
C.tanA＝tanB D.sinA＝cosB
6.若α是锐角，且tanαtan50°＝1，则α的值为（ C ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
D
C
7.求cos21°＋cos22°＋…＋cos289°的值.
解：由cos21°＋cos289°＝cos21°＋sin21°＝1，…，cos244°＋cos246°＝cos244°＋sin244°＝1，得：
原式＝1＋1＋1＋…＋1＋cos245°
＝44＋（）2
＝44.5.
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第3课时 锐角三角函数（2）
第24章 解直角三角形
★特殊角的三角函数值：
α sinα cosα tanα cotα
30°
45° 1 1
60°
★方法指导：
熟记特殊角的三角函数值，会由特殊角求出指定的三角函数值；会由已知的三角函数值求出角的度数.
考点一：计算特殊三角函数值
例1 计算：
（1）2cos230°－2sin60°·cos45°；
解：（1）原式＝2×（）2－2××
＝－；
【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行化简求值.
解：（2）原式＝－
＝2－－
＝2－－（＋1）
＝1－2.
（2）－.
1.计算：
（1）2sin30°＋3tan30°＋cot45°；
解：原式＝2×＋3×＋1＝2＋.
（2）sin45°＋tan60°cos30°；
解：原式＝＋×＝.
（3）；
解：原式＝＝＝2.
（4）－｜4sin30°－2｜＋（－）－1.
解：原式＝2－（2－2）－12
＝2－2＋2－12
＝－10.
考点二：由三角函数值确定角度
例2 已知α为锐角，当无意义时，求tan（α＋15°）－tan（α－15°）的值.
【分析】根据分式无意义的条件，可得tanα＝1，则α＝45°，代入运算即可.
解：∵无意义，
∴tanα＝1，∴α＝45°，
∴tan（α＋15°）－tan（α－15°）＝tan60°－tan30°＝－＝.
2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（ C ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
C
3.若sinα＝cos60°，则锐角α＝ 45° .
4.在Rt△ABC中，若2AB＝AC，∠B＝90°，则cosC＝ .
45°
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