第21章 二次根式 习题课件(共184张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
文档属性
| 名称 | 第21章 二次根式 习题课件(共184张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 10:30:08 | ||
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文档简介
(共184张PPT)
第1课时 二次根式（1）
第21章 二次根式
一、选择题
1.下列各式中，一定是二次根式的有（ B ）
①；②；③；④；⑤.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.在下列各式中，一定是二次根式的是（ D ）
A. B.
C. D.
B
D
4.二次根式中，x的取值范围是（ D ）
A.x≥1 B.x≤1 C.x＞1 D.x＜1
D
3.若二次根式有意义，则（ C ）
A.x≠2 B.x＞2 C.x≤2 D.x≥2
C
二、填空题
5.（1）使二次根式有意义的x的取值范围是 x≤2 ；
（2）当x ≥－1且x≠2 时，在实数范围内有意义.
x≤2
≥－1且x≠2
三、解答题
6.计算：
（1）（）2；
解：（1）（）2＝4；
（2）（）2；
解：（2）（）2＝.
（3）（）2；
解：（3）（）2＝0；
（4）（－）2；
解：（4）（－）2＝0.6.
（5）（3）2；
解：（5）（3）2＝18；
（6）（－3）2.
解：（6）（－3）2＝2.
7.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）＋；
解：要使有意义，则3－x≥0，即x≤3，
要使有意义，则x－2≥0，即x≥2，
∴当2≤x≤3时，＋有意义.
（2）；
解：∵1－＝1－｜x｜，
∴当x＝±1时，1－｜x｜＝0，原式没有意义，
∴当x≠±1时，有意义.
（3）＋；
解：要使有意义，则2x≥0，即x≥0，
要使有意义，则－2x≥0，即x≤0，
∴当x＝0时，＋有意义.
（4）.
解：要使有意义，则x＋2≥0且3x≠0，
即x≥－2且x≠0，
∴当x≥－2且x≠0时，有意义.
8.已知y＝＋＋4，求的值.
解：根据题意得，解得x＝3，
将x＝3代入y＝＋＋4，得y＝4，
∴x2＋y2＝25，∴＝5.
一、填空题
9.使代数式＋有意义的整数x的和是 －6 .
－6
二、解答题
10.（1）若a、b为实数，且b＝，求－的值；
解：由题意得，a2－1≥0，1－a2≥0，
∴a2＝1，即a＝±1，
∵a＋1≠0，∴a≠－1，
∴a＝1，
∴b＝＝，
∴－＝－＝－3.
（2）已知｜x－1000｜＋（）2＝2000，y＝＋＋，求y－x的平方根；
解：由题意得，998－x≥0，m－1≥0，1－m≥0，m＋8≥0，
解得x≤998，m＝1，
∴1000－x＋998－x＝2000，
解得x＝－1，
∴y＝＋＋＝3，
∴y－x＝3－（－1）＝4，
∴y－x的平方根是±2.
（3）与｜3－a－｜是相反数，求＋的值.
解：由题意得＋｜3－a－｜＝0，
∴3－a－＝0，解得a＋＝3，
∴a＋2＋＝5，
∴（＋）2＝5，
∴＋＝.
解答题
11.观察下列各式：
＝1＋＝1＋；
＝1＋＝1＋；
＝1＋＝1＋；
…，
请利用你发现的规律，计算：
＋＋＋…＋.
解：原式＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝2023＋－＋…＋
＝2023＋1－
＝2023.
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第2课时 二次根式（2）
第21章 二次根式
一、选择题
1.下列式子是二次根式的是（ C ）
A. B.
C. D.
2.二次根式的值为（ D ）
A.－2 B.±2 C.4 D.2
C
D
4.在下列各式中，正确的是（ C ）
A.＝±4 B.＝－4
C.－＝－4 D.＝a
C
3.已知＝a－1，那么a的取值范围为（ B ）
A.a＞1 B.a≥1 C.a＜1 D.a≤1
B
二、填空题
5.（1）化简：＝ －2 ；
（2）已知a＜0，b＞0，化简：＝ b－a .
6.若＝3－b，则b应满足 b≤3 .
－2
b－a
b≤3
三、解答题
7.化简：
（1）；
解：（1）＝0.3；
（2）；
解：（2）＝＝0.6.
（3）；
解：（3）＝｜－｜＝；
（4）－；
解：（4）－＝－｜－π｜＝－π.
（5）＋｜3－x｜（x＜2）.
解：（5）原式＝＋｜3－x｜
＝2－x＋3－x
＝5－2x.
8.（1）计算：＋；
解：原式＝＋
＝π－3＋5－π
＝2.
（2）化简：＋（2≤x≤3）.
解：∵2≤x≤3，
∴x－2≥0，x－3≤0，
∴原式＝＋
＝＋
＝x－2＋3－x
＝1.
9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋｜a＋b｜＋.
第9题图
解：由数轴可知，－2＜a＜－1，2＜b＜3，
∴a＋1＜0，a＋b＞0，b－3＜0，
原式＝＋（a＋b）＋｜b－3｜
＝－（a＋1）＋（a＋b）＋（3－b）
＝2.
一、选择题
10.（1）计算（）2＋的结果是（ C ）
A.－1 B.2x－5 C.5－2x D.1
（2）若式子＋的值为2，则a的取值范围是（ D ）
A.a≤4 B.a≥2
C.a＝2或4 D.2≤a≤4
C
D
二、解答题
11.（1）a、b、c都是实数，且｜a｜＋a＝0，＝1，｜c｜－c＝0.试求－｜a＋b｜－＋｜c－a｜的值；
解：由题意得a＜0，b＜0，c≥0，
∴－｜a＋b｜－＋｜c－a｜
＝－b＋（a＋b）－（c－b）＋（c－a）
＝b.
（2）若实数x，y，m满足关系式＋＝·，求m的值.
解：依题意，得，解得x＋y＝20，
∴＋＝0，
∴3x＋3y－m＝0，
∴m＝3（x＋y）＝60，
即m的值是60.
解答题
12.阅读下列材料，回答问题：
在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同.
小张的化简如下：
＝
＝＝－；
小李的化简如下：
＝
＝＝－.
（1）请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由；
解：（1）小李的化简结果正确，小张的化简结果错误.理由如下：
∵＜，∴－＜0，
∴＝｜－｜＝－（－）＝－；
（2）请你利用上面正确的方法化简：
①；②.
解：（2）①原式＝＝＝＋1；
②原式＝＝＝－1.
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第3课时 二次根式的乘法
第21章 二次根式
一、选择题
1.如果·＝成立，那么a满足的条件是（ C ）
A.a≥－2 B.－2≤a≤3
C.a≥3 D.a为一切实数
2.在下列各数中，与的积仍为无理数的是（ D ）
A. B. C. D.
C
D
3.下列运算：①2×3＝6；②4·＝4；③2·3＝3；④×＝，其中正确的有（ B ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
二、填空题
4.如果等式·＝成立，那么有x＋1 ≥ 0，1－x ≥ 0，所以x的取值范围是 －1≤x≤1 .
5.计算：
≥
≥
－1≤x≤1
（1）2×＝ 2 ；
（2）×＝ 3 ；
（3）×＝ 3 ；
（4）2×＝ 2 ；
（5）×3＝ 6 .
2
3
3
2
6
6.矩形的长和宽分别为和，则这个矩形的面积为 .
7.如果·＝0，那么a＝ 6 .
6
三、解答题
8.计算：
（1）×；
解：原式＝＝.
（2）×；
解：原式＝＝10.
（3）×；
解：原式＝＝9.
（4）×；
解：原式＝＝1.2.
（5）×；
解：原式＝＝.
（6）4×（－3）；
解：原式＝－12×＝－48.
（7）××；
解：原式＝×＝2.
（8）2×3×；
解：原式＝（2×3）
＝6×
＝120.
（9）××.
解：原式＝＝＝3.
一、选择题
9.计算·的结果为（ D ）
A. B. C.13 D.1
D
二、解答题
10.已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm.求这个长方体的体积.
解：∵长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm，
∴3×2×2＝3×2×2＝72cm3，
答：这个长方体的体积为72cm3.
解答题
11.阅读下列解题过程：
例：若代数式＋的值是2，求a的取值范围.
解：原式＝｜a－1｜＋｜a－3｜，
当a＜1时，原式＝（1－a）＋（3－a）＝4－2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a－1）＋（3－a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a－1）＋（a－3）＝2a－4＝2，解得a＝3（舍去），
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）当2≤a≤5时，化简：＋；
解：（1）∵2≤a≤5，
∴a－2≥0，a－5≤0，
∴原式＝｜a－2｜＋｜a－5｜
＝a－2－（a－5）
＝3；
（2）若等式＋＝4成立，求a的取值范围；
解：（2）由题意可知：｜3－a｜＋｜a－7｜＝4，
当a＜3时，3－a＞0，a－7＜0，
∴原方程化为3－a－（a－7）＝4，
∴a＝3（舍去）；
当3≤a≤7时，3－a≤0，a－7≤0，
∴原方程化为－（3－a）－（a－7）＝4，
∴4＝4，故3≤a≤7符合题意；
当a＞7时，3－a＜0，a－7＞0，
∴原方程化为－（3－a）＋（a－7）＝4，
∴a＝7（舍去），
综上所述，a的取值范围是3≤a≤7；
（3）若＋＝8，求a的值.
解：（3）原方程可化为｜a＋1｜＋｜a－5｜＝8，
当a＜－1时，a＋1＜0，a－5＜0，
∴原方程化为－（a＋1）－（a－5）＝8，
∴a＝－2，符合题意；
当－1≤a≤5时，a＋1≥0，a－5≤0，
∴a＋1－（a－5）＝8，
∴此方程无解，故－1≤a≤5不符合题意；
当a＞5时，a＋1＞0，a－5＞0，
∴原方程化为a＋1＋a－5＝8，
∴a＝6，符合题意，
综上所述，a的值为－2或6.
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第4课时 积的算术平方根
第21章 二次根式
一、选择题
1.将化简，正确的结果是（ A ）
A.10 B.±10
C.5 D.±5
2.化简二次根式的结果是（ A ）
A.3 B.－3 C.5 D.15
3.计算×的结果是（ D ）
A.3 B. C.9 D.3
A
A
D
4.计算并化简3×2，得到的结果是（ B ）
A.6 B.12 C.6 D.12
5.下列变形正确的是（ C ）
A.＝9
B.＝－3
C.（）2＝－（－1.5）
D.＝×
B
C
二、填空题
6.计算：
（1）＝ 10 ；
（2）＝ 40 .
7.（1）若＝·，则x的取值范围是 1≤x≤4 ；
（2）若＝·，则x＋3＝ 5 .
10
40
1≤x≤4
5
三、解答题
8.化简：
（1）；
解：原式＝＝×＝30.
（2）；
解：原式＝×＝×＝.
（3）.
解：原式＝
＝××
＝108.
9.计算：
（1）×；
解：原式＝＝＝5.
（2）5×（－）；
解：原式＝－5＝－15.
（3）××；
解：原式＝2×3×3＝54.
（4）×.
解：原式＝×＝10.
一、选择题
10.（1）使等式＝－x成立的条件是（ C ）
A.x＜0 B.x≤0
C.－3≤x≤0 D.x为任意实数
（2）若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（ A ）
A.－a B.a
C.a D.
C
A
（3）设＝a，＝b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ A ）
A.0.3ab B.3ab
C.0.1ab2 D.0.1a2b
A
二、解答题
11.计算：
（1）×3×；
解：原式＝3×6×＝.
（2）·（－）；
解：原式＝－2×3x＝－12x2.
（3）6·；
解：原式＝6×＝a2.
（4）6·3（y＞0）；
解：原式＝18＝108｜x3｜y.
（5）×（－）×；
解：原式＝－
＝－4.
（6）（－x）（－）（－2ab）.
解：原式＝a（－2ab）
＝－2a2b｜x｜.
解答题
12.求＋的值.
解：设x＝＋，
两边平方得：x2＝（）2＋（）2＋2，即x2＝10，
∴x＝±，
∵＋＞0，
∴＋＝.
请仿照上述方法，求＋的值.
解：设x＝＋，
两边平方得：x2＝（）2＋（）2＋2，即x2＝14，
∴x＝±，
∵＋＞0，
∴＋＝.
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第5课时 二次根式的除法
第21章 二次根式
一、选择题
1.使等式＝成立的条件是（ C ）
A.x＞－2 B.x＜9
C.－2≤x＜9 D.－2≤x≤9
C
2.（1）计算÷的结果是（ B ）
A.9 B.3 C.3 D.2
（2）计算－1的结果是（ A ）
A.1 B. C. D.
（3）计算÷÷的结果是（ D ）
A. B. C. D.
B
A
D
3.在下列各式中，计算结果不正确的是（ A ）
A.×＝2 B.÷＝
C.×＝ D.÷＝
A
二、填空题
4.若＝成立，则x的取值范围是 2≤x＜4 .
5.计算：
（1）÷＝ 3 ；
（2）÷（－）＝ －3 ；
（3）5÷3＝ ；
（4）＝ 2 .
2≤x＜4
3
－3
2
三、解答题
6.计算：
（1）；
解：原式＝＝＝4.
（2）.
解：原式＝＝＝2.
7.计算：
（1）÷；
解：原式＝＝.
（2）÷；
解：原式＝＝＝.
（3）6÷（－3）；
解：原式＝6÷（－3）
＝－2
＝－4.
（4）2÷.
解：原式＝（2÷）＝4＝12.
8.计算：÷××.
解：原式＝
＝
＝2.
一、选择题
9.在下列运算中，正确的是（ B ）
A.2·3＝6
B.2÷＝2
C.＝＝＝3
D.÷×＝÷＝1
B
10.若有意义，则的值是（ D ）
A.非正数 B.负数
C.非负数 D.正数
D
二、解答题
11.计算：
（1）2÷×；
解：原式＝2×2÷××
＝4××
＝.
（2）－4÷.
解：原式＝（－4÷）
＝－7
＝－7.
解答题
12.先来看一个有趣的现象：＝＝＝2，这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等等.
（1）解：5，
验证：＝＝＝5；
（2）你能用含正整数n（n≥2）的式子来表示上述规律吗？
（2）解：＝n；
（1）猜想：＝ ，并验证你的猜想；
（4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数.
（4）解：＝6（答案不唯一）.
（3）证明你找到的规律；
（3）证明：＝＝＝n；
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第6课时 二次根式的化简
第21章 二次根式
一、选择题
1.在下列二次根式中，为最简二次根式的是（ B ）
A. B.
C. D.
B
2.（1）化简的结果是（ A ）
A.2 B.4 C.2 D.4
A
（2）把化为最简二次根式得（ C ）
A.18 B.
C. D.
C
3.若a＝，b＝1－，则a、b两数的关系是（ A ）
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.互为负倒数
A
二、填空题
4.（1）把化成最简二次根式为 3 ；
（2）将化为最简二次根式的结果为 .
5.的有理化因式是 .
6.2－3的倒数是 ＋1 .
3
＋1
三、解答题
7.把下列二次根式化简成最简二次根式：
（1）；
解：（1）原式＝＝6；
（2）；
解：（2）原式＝＝2.
（3）；
解：（3）原式＝＝＝；
（4）；
解：（4）原式＝＝.
（5）；
解：（5）原式＝＝；
（6）.
解：（6）原式＝＝.
8.把下列各式分母有理化：
（1）；
解：（1）原式＝＝；
（2）；
解：（2）原式＝＝＝；
（3）；
解：（3）原式＝＝＝.
（4）；
解：（4）原式＝＝5＋2；
（5）.
解：（5）原式＝＝1＋.
一、选择题
9.在下列结论中，正确的是（ D ）
A.是的有理化因式
B.不是最简二次根式
C.3－2的绝对值是3－2
D.3＋2的倒数是3－2
10.若xy＝3，则x＋y的值是（ C ）
A.2 B.－2 C.±2 D.±
D
C
二、填空题
11.（1）已知＋＝0，则＋的值为 ；
（2）已知a＝，b＝，则代数式的值为 2 .
2
三、解答题
12.计算：
（1）（m＜0）；
解：原式＝
＝－3m.
（2）（x＞2）.
解：原式＝
＝
＝＝.
解答题
13.观察下列各式及验证过程：
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝.
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝ ；
解：（1）；
（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
解：（2）猜想：＝，
验证：＝＝
＝；
解：（3）＝，
理由：
＝
＝
＝.
（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2，且n为自然数）表示的等式，并说明理由.
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第7课时 专题二次根式的乘除
第21章 二次根式
一、选择题
1.（1）下列式子属于最简二次根式的是（ A ）
A. B. C. D.
（2）在下列二次根式中，为最简二次根式的是（ C ）
A. B. C. D.
A
C
2.矩形的面积为18，一边长为2，则另一边长为（ C ）
A.5 B.10 C.3 D.24
3.下列各式计算正确的是（ C ）
A.＝2 B.÷＝
C.（）2＝3 D.＝－2
4.已知a＝，b＝－2，则a与b的关系是（ B ）
A.a＝b B.a＝－b
C.a＝ D.ab＝－1
C
C
B
二、填空题
5.计算：×÷＝ 6 .
6.4－的倒数是 4＋ .
6
4＋
三、解答题
7.计算：
（1）×；
解：（1）原式＝＝＝；
（2）÷.
解：（2）原式＝＝＝3.
8.计算：
（1）×÷×；
解：原式＝÷×
＝.
（2）9×÷3；
解：原式＝（9××）
＝
＝45.
（3）÷9×（－）；
解：原式＝×2÷9×（－）
＝÷9×（－）
＝－.
（4）×4÷（）.
解：原式＝×4×
＝3
＝18.
9.已知a＝，求的值.
解：∵a＝＝2－，
∴a＜1，
∴原式＝
＝
＝－
＝－2－.
一、选择题
10.已知＝a，＝b，则＝（ D ）
A. B. C. D.
D
二、填空题
11.当x＝2＋时，x2－4x＋2024＝ 2023 .
2023
三、解答题
12.计算：
（1）（－）÷3（b＜0）；
解：原式＝·（－b）·（a）÷
＝－3a2b÷
＝ab.
（2）6a2·5÷15.
解：由题意可得ab＞0，
原式＝6a2·｜a｜·5···
＝2a2｜a｜，
当a＞0时，原式＝2a3，
当a＜0时，原式＝－2a3.
13.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入求值.
解：由题意可得x＞2，
原式＝÷
＝·
＝，
当x＝4时，原式＝2.（答案不唯一）
14.计算：÷（÷）.（其中b＜a＜0）
解：原式＝·÷（··）
＝·÷
＝－.
解答题
15.已知＋＋＋…＋＝，求n的值.
解：∵
＝
＝
＝－，
∴＋＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－，
∴1－＝，
∴n＝2499.
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第8课时 二次根式的加减
第21章 二次根式
一、选择题
1.与是同类二次根式的是（ D ）
A. B. C. D.
2.若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ C ）
A.0 B.1 C.2 D.－2
D
C
3.（1）计算－的结果是（ C ）
A.25 B.2 C. D.5
（2）计算9－的结果是（ D ）
A. B.－ C. D.－
4.下列计算正确的是（ A ）
A.＋＝3 B.＋＝
C.4－3＝1 D.3＋2＝5
C
D
A
二、填空题
5.（1）计算－的结果是 － ；
（2）计算－4的结果是 3 ；
（3）计算2－的结果是 5 .
6.如果与是同类二次根式，那么x的最小正整数值是 4 .
－
3
5
4
三、解答题
7.计算：
（1）＋－；
解：原式＝2＋4－
＝5.
（2）9＋5－3；
解：原式＝9＋10－12
＝7.
（3）＋－3；
解：原式＝2＋5－
＝.
（4）＋－；
解：原式＝＋6－2
＝＋4.
（5）2＋－4；
解：原式＝2＋2－4×
＝2.
（6）＋｜1－｜；
解：原式＝3＋－1
＝4－1.
（7）＋－（－4）；
解：原式＝2＋4－＋2
＝7.
（8）－＋－.
解：原式＝4－3＋18－
＝18.
一、选择题
8.下列运算：①＋＝；②＋＝2；③3＋＝3；④＝17；⑤＝3a＋5b.其中正确的有（ A ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.以上都不对
A
二、填空题
9.（1）计算：×－4×＝ ；
（2）规定：a※b＝·＋，a*b＝ab－b2，试求：3※5＝ ，2*（－1）＝ 4－5 .
4－5
三、解答题
10.计算：
（1）＋｜－2｜－（－3）0＋（）－2；
解：原式＝2＋2－－1＋4
＝5＋.
（2）2－6＋－（－）；
解：原式＝2×2－6×＋2－（3－3）
＝4－2＋2－3＋3
＝＋3.
（3）×（＋3－）；
解：原式＝2×（5＋－4）
＝12.
（4）－÷2－1＋－（＋1）0；
解：原式＝3－÷＋－1－1
＝3－1＋－1－1
＝4－3.
（5）（π－1）0＋（）－1＋｜5－｜－.
解：原式＝1＋＋－5－
＝1＋＋3－5－8
＝－12.
解答题
11.已知a、b、c为有理数，且使等式a＋b＋c＝成立，求代数式2a＋1000b＋1023c的值.
解：∵＝＝＋，
∴a＋b＋c＝＋，
∴a＝0，b＝1，c＝1，
∴2a＋1000b＋1023c＝2023.
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第9课时 二次根式的混合运算
第21章 二次根式
一、选择题
1.在下列各式的计算中，正确的是（ D ）
A.2＋＝2 B.4－3＝1
C.＝x＋y D.－＝
2.在下列算式中，正确的是（ C ）
A.3－＝3
B.＋＝
C.（－）2＝5－2
D.÷＝3
D
C
3.下列计算结果正确的是（ A ）
A.＝－1
B.÷＝
C.＋＝
D.（＋）（－）＝1
4.下列计算正确的是（ D ）
A.＝－3 B.2－＝2
C.5×5＝5 D.＝－－2
A
D
二、填空题
5.（1）计算（－）×＋2的结果是 ＋ ；
（2）计算－－×的结果是 0 .
6.化简：＋＝ 2－4 .
＋
0
2－4
三、解答题
7.计算：
（1）（π－1）0＋（）－1＋｜5－｜－2；
解：原式＝1＋2＋3－5－2
＝－2.
（2）（－）－2－｜－2｜＋÷；
解：原式＝4－2＋＋3
＝2＋4.
（3）÷2＋－（）0；
解：原式＝××＋－1－1
＝×＋－2
＝－2.
（4）÷－2×＋（＋）2.
解：原式＝－2＋2＋2＋3
＝4－2＋5＋2
＝9.
8.已知x＝，y＝，求下列各式的值：
（1）x2－xy＋y2；
（1）x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝；
（2）＋.
解：∵x＝＝，y＝＝，
∴x＋y＝，xy＝，
（2）＋＝
＝
＝8.
一、填空题
9.计算：
（1）·＝ ＋1 ；
（2）（－）2·（5＋2）＝ 1 ；
（3）（）2＋×＋（）2＝ 4 .
＋1
1
4
二、解答题
10.计算：
（1）（－2＋1）（1＋2－）；
解：原式＝[1－（2－）][1＋（2－）]
＝1－（2－）2
＝1－（8－4＋3）
＝4－10.
（2）（4＋）0－2＋（2＋）2－.
解：原式＝1－4＋4＋4＋3－（＋）2
＝8－（3＋2＋2）
＝3－2.
11.先化简，再求值：
（1）已知y＞＋＋2，求＋5－3x的值；
解：根据题意得3x－2≥0，2－3x≥0，
∴x＝，
∵y＞＋＋2，∴y＞2，
∴＋5－3x
＝＋5－3×
＝－1＋5－2
＝2.
（2）已知a＝，求－的值.
解：∵a＝＝＝2－＜1，
∴－
＝－
＝a＋3－
＝a＋3＋
＝7.
解答题
12.已知x＝2＋1，求x3－2x2－7x＋2023的值.
解：由题意得x－1＝2，
∴（x－1）2＝8，
∴x2＝7＋2x，
∴x3－2x2－7x＋2023
＝x3－x（2x＋7）＋2023
＝x3－x·x2＋2023
＝2023.
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第10课时 专题二次根式的化简
第21章 二次根式
一、选择题
1.计算（1＋）（1－）的结果为（ B ）
A.2 B.－2 C.3 D.－3
2.若y＝＋－3，则（x＋y）2023的值为（ D ）
A.1 B.5 C.－5 D.－1
B
D
4.若a，b，c是△ABC的三边长，则化简－的结果是（ B ）
A.2c B.－2c C.2c－2a D.2a－2b
B
3.计算·的结果为（ A ）
A.＋1 B.－1 C.1－ D.1
A
二、填空题
5.已知2＜x＜3，则化简：｜2－x｜＋＋＝ 7－x .
7－x
三、解答题
6.计算：
（1）－（－）（＋）；
解：原式＝2＋4＋6－（5－3）
＝2＋4＋6－2
＝4＋6.
（2）＋＋.
解：原式＝2＋＋2－
＝＋2.
7.已知x＝＋，y＝－.
（1）求x＋y，xy的值；
解：（1）∵x＝＋，y＝－，
∴x＋y＝；
xy＝（）2－（）2＝1；
解：（2）由（1）知，x＋y＝，xy＝1，
①x2y＋xy2＝xy（x＋y）＝；
②＋＝＝＝－2＝9.
（2）利用（1）的结果求下列代数式的值：
①x2y＋xy2；
②＋.
8.观察：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
请你观察上述规律后解决下列问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[]＝2.按此规定，则[＋1]＝ ；
解：（1）4；
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，｜c｜＝，求c（a－b－6）＋12的值.
解：（2）∵＜＜，即3＜＜4，
∴a＝3，b＝－3，
∵｜c｜＝，∴c＝±，
当c＝时，
c（a－b－6）＋12＝×（3－＋3－6）＋12＝－11＋12＝1，
当c＝－时，
c（a－b－6）＋12＝－×（3－＋3－6）＋12＝11＋12＝23，
综上所述，c（a－b－6）＋12的值为1或23.
一、填空题
9.（1）若a为自然数，b为整数，且满足＝7－4，则a＝ 2 ，b＝ －1 ；
（2）已知a＋b＝－8，ab＝12，那么b＋a的值为 － .
2
－1
－
二、解答题
10.若a＝，求a4－10a3＋a2－20a＋5的值.
解：∵a＝＝＋5，
∴a－5＝，
∴（a－5）2＝26，
∴a2－10a＋25＝26，
∴a2－10a＝1，
∴原式＝a2（a2－10a）＋（a2－10a）－10a＋5＝a2－10a＋6
＝7.
解答题
11.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.例如：4＋2＝1＋3＋2＝12＋2＋＝.这样小明就找到了一种把类似4＋2的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）结合小明的探索过程填空： ＝；
解：（1）13＋4；
（2）7＋4的算术平方根为 ；
解：（2）2＋；
（3）化简：＋＋＋…＋.（n为正整数）
解：（3）原式＝＋＋＋…＋
＝－1＋－＋2－＋…＋－
＝－1.
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第11课时 专题二次根式与勾股定理
第21章 二次根式
一、选择题
1.下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（ C ）
A.3cm，4cm，5cm B.4cm，3cm，cm
C.6cm，8cm，9cm D.1cm，cm，cm
C
2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ D ）
第2题图
A.AB＝ B.AC＝5
C.BC＝2 D.∠ACB＝30°
D
3.古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记p＝，则其面积为S＝，如图，利用海伦公式计算△ABC的面积为（ C ）
第3题图
A. B.5 C. D.3
C
二、填空题
4.已知Rt△ABC的一直角边长为1，斜边长为，则它的另一直角边长为 2 .
5.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是 14 .
第5题图
2
14
三、解答题
6.靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为梯子长度的，则梯子比较稳定.（结果保留根号）
（1）在梯子稳定摆放的情况下，3米的梯子能达到多高的墙头？
解：（1）设梯子放平稳时，可以达到x米高的墙头，
由题意得：x2＝32－12，
解得：x＝－2（舍去）或2，
答：3米的梯子能达到2米高的墙头；
（2）要达到4米高的墙头，梯子至少要多长？
解：（2）设梯子放平稳时，要达到4米高的墙头，梯子至少要y米，
由题意得：y2＝（）2＋16，
解得：y＝－3（舍去）或3，
答：梯子至少要3米长.
7.如图，已知在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝10，BC＝5，CD＝7，AD＝24，求四边形ABCD的面积.
第7题图
解：如图，连接AC，
∵AB⊥BC，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝25，
∵CD＝7，AD＝24，
∴AD2＋CD2＝625＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC
＝AB·BC＋AD·DC
＝×10×5＋×24×7
＝209，
∴四边形ABCD的面积为209.
8.如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，蚂蚁甲从点A出发，沿a，b，d三个面走最短路径到点B；同时蚂蚁乙以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径到点A.请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？
第8题图
解：如图，展开正方体使a，b，c与d在同一平面内，
∴蚂蚁甲走的路径长为A1B＝＝cm，
蚂蚁乙走的路径长为A2B＝＝cm，
∵cm＞cm，
∴蚂蚁乙先到达目的地.
一、填空题
9.如图，正方形ABCD的边长是8，点E在边AB上，AE＝，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处.若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为 8或2 .
第9题图
8或2
二、解答题
10.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝，求CD的长.
第10题图
解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长线于点F，
根据旋转可知：AE＝AC＝，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠DAB＝360°，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC＋∠ADC＝240°，
∴∠ADE＋∠ADC＝240°，
∴∠EDF＝240°－180°＝60°，
在Rt△EDF中，∠EDF＝60°，
∴DF＝DE＝1，EF＝，
在Rt△AEC中，CE＝2，
∴CF＝＝5，
∴CD＝CF－DF＝4.
解答题
11.如图，已知等腰Rt△ABC，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：
第11题图
（1）如图1，若点P在线段AB上，AC＝1＋，PA＝，则线段PB＝ ，PC＝ ；
解：（1），2；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA、PB、PC之间的数量关系，并证明；
解：（2）PA2＋PB2＝2PC2，
证明：如图1，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝DB，
∵AB＝PA－PB，∴CD＝BD＝，
∴PD＝BD＋PB＝，
在Rt△PCD中，PC2＝DC2＋PD2，
即PC2＝（）2＋（）2，
∴PA2＋PB2＝2PC2；
（3）若动点P满足＝，求的值.
解：（3）如图2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵＝，∴设PA＝x，PB＝3x，
①当点P1在线段AB上时，AB＝P1A＋P1B＝4x，
∴CD＝AD＝AB＝2x，
∴P1D＝AD－P1A＝x，
∴P1C＝＝x，
AC＝＝2x，
∴＝＝；
②当点P2在BA的延长线上时，
同理可得P2C＝x，AC＝x，
∴＝＝，
综上所述，的值为或.
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第12课时 复习巩固
第21章 二次根式
一、选择题
1.使二次根式有意义的条件是（ B ）
A.x＞0 B.x≥0且x≠4
C.x≥0 D.x＞0且x≠4
2.在下列根式中，最简二次根式是（ A ）
A. B. C. D.
B
A
3.化简－（）2得（ C ）
A.2 B.－4x＋4
C.x D.5x－2
4.若与已化成最简二次根式，且被开方数相同，则a，b的值分别为（ D ）
A.－1，1 B.1，－1
C.－1，－1 D.1，1
C
D
5.若实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简－｜a－b｜得（ D ）
A.2b B.－2b C.2a D.－2a
第5题图
D
二、填空题
6.矩形的面积为12，一边长为2，则另一边长为 3 .
7.在平面直角坐标系中，点P（，－）在第 四 象限.
8.比较大小（填“ ＞”“＝”或“＜”）：
（1）－4 ＜ －3；
（2）－ ＜ －.
3
四
＜
＜
三、解答题
9.计算：
（1）＋＋；
解：原式＝2＋＋2－
＝＋2.
（2）＋4－＋；
解：原式＝3＋2－4＋
＝5－.
（3）（3－2＋）÷2；
解：原式＝（6－＋4）÷2
＝÷2
＝.
（4）（1－2）（1＋2）－（2－1）2.
解：原式＝1－12－（12－4＋1）
＝－11－13＋4
＝4－24.
一、选择题
10.（1）已知直角三角形的两直角边的长分别为a＝＋2，b＝－2，则它的斜边长c＝（ D ）
A.12 B.18 C.2 D.3
D
（2）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为8cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ C ）
第10（2）题图
A.4cm2
B.（8－12）cm2
C.（4－8）cm2
D.（4＋12）cm2
C
二、填空题
11.（1）已知a＝－1，则a2＋2a＋2的值是 12 ；
（2）已知＋2＝b＋8，则的值是 5 ；
（3）已知｜2023－a｜＋＝a，求a－20232的值是 2024 ；
（4）已知－＝－，＝，则a－b＝ 2 ；
（5）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 7－12 .
12
5
2024
2
7－12
三、解答题
12.如图，在数轴上有A、B两点表示的数为1、，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，化简求值：－－1.
第12题图
解：∵A、B两点表示的数为1、，
∴AB＝－1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB＝－1，
∴OC＝1－AC＝1－（－1）＝2－，
∴x＝2－，
∴原式＝－－1
＝－（x＋1）－1
＝－x－2
＝－（2－）－2
＝－3＋.
解答题
13.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如4＋2＝（1＋）2，然后小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a＋b＝m2＋3n2＋2mn，所以a＝m2＋3n2，b＝2mn，这样小明找到了一种类似a＋b的式子化为平方式的方法.
请仿照小明的方法解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则a＝ ，b＝ ；（用含m，n的代数式表示）
解：（1）∵a＋b＝（m＋n）2＝m2＋5n2＋2mn，
∴a＝m2＋5n2，b＝2mn，
故答案为：m2＋5n2，2mn；
（2）请找一组正整数填空： ＋ ＝（ ＋ ）2；
解：（2）令m＝2，n＝1，
由（1）可得a＝m2＋5n2＝9，b＝2mn＝4，
∴9＋4＝（2＋）2，
故答案为：9，4，2，1（答案不唯一）；
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值.
解：（3）由（1）可得a＝m2＋5n2，b＝2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝m2＋5n2＝22＋5×12＝9或a＝m2＋5n2＝12＋5×22＝21，
综上所述，a的值为9或21.
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第1课时 二次根式（1）
第21章 二次根式
一、选择题
1.下列各式中，一定是二次根式的有（ B ）
①；②；③；④；⑤.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.在下列各式中，一定是二次根式的是（ D ）
A. B.
C. D.
B
D
4.二次根式中，x的取值范围是（ D ）
A.x≥1 B.x≤1 C.x＞1 D.x＜1
D
3.若二次根式有意义，则（ C ）
A.x≠2 B.x＞2 C.x≤2 D.x≥2
C
二、填空题
5.（1）使二次根式有意义的x的取值范围是 x≤2 ；
（2）当x ≥－1且x≠2 时，在实数范围内有意义.
x≤2
≥－1且x≠2
三、解答题
6.计算：
（1）（）2；
解：（1）（）2＝4；
（2）（）2；
解：（2）（）2＝.
（3）（）2；
解：（3）（）2＝0；
（4）（－）2；
解：（4）（－）2＝0.6.
（5）（3）2；
解：（5）（3）2＝18；
（6）（－3）2.
解：（6）（－3）2＝2.
7.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）＋；
解：要使有意义，则3－x≥0，即x≤3，
要使有意义，则x－2≥0，即x≥2，
∴当2≤x≤3时，＋有意义.
（2）；
解：∵1－＝1－｜x｜，
∴当x＝±1时，1－｜x｜＝0，原式没有意义，
∴当x≠±1时，有意义.
（3）＋；
解：要使有意义，则2x≥0，即x≥0，
要使有意义，则－2x≥0，即x≤0，
∴当x＝0时，＋有意义.
（4）.
解：要使有意义，则x＋2≥0且3x≠0，
即x≥－2且x≠0，
∴当x≥－2且x≠0时，有意义.
8.已知y＝＋＋4，求的值.
解：根据题意得，解得x＝3，
将x＝3代入y＝＋＋4，得y＝4，
∴x2＋y2＝25，∴＝5.
一、填空题
9.使代数式＋有意义的整数x的和是 －6 .
－6
二、解答题
10.（1）若a、b为实数，且b＝，求－的值；
解：由题意得，a2－1≥0，1－a2≥0，
∴a2＝1，即a＝±1，
∵a＋1≠0，∴a≠－1，
∴a＝1，
∴b＝＝，
∴－＝－＝－3.
（2）已知｜x－1000｜＋（）2＝2000，y＝＋＋，求y－x的平方根；
解：由题意得，998－x≥0，m－1≥0，1－m≥0，m＋8≥0，
解得x≤998，m＝1，
∴1000－x＋998－x＝2000，
解得x＝－1，
∴y＝＋＋＝3，
∴y－x＝3－（－1）＝4，
∴y－x的平方根是±2.
（3）与｜3－a－｜是相反数，求＋的值.
解：由题意得＋｜3－a－｜＝0，
∴3－a－＝0，解得a＋＝3，
∴a＋2＋＝5，
∴（＋）2＝5，
∴＋＝.
解答题
11.观察下列各式：
＝1＋＝1＋；
＝1＋＝1＋；
＝1＋＝1＋；
…，
请利用你发现的规律，计算：
＋＋＋…＋.
解：原式＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝2023＋－＋…＋
＝2023＋1－
＝2023.
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第2课时 二次根式（2）
第21章 二次根式
一、选择题
1.下列式子是二次根式的是（ C ）
A. B.
C. D.
2.二次根式的值为（ D ）
A.－2 B.±2 C.4 D.2
C
D
4.在下列各式中，正确的是（ C ）
A.＝±4 B.＝－4
C.－＝－4 D.＝a
C
3.已知＝a－1，那么a的取值范围为（ B ）
A.a＞1 B.a≥1 C.a＜1 D.a≤1
B
二、填空题
5.（1）化简：＝ －2 ；
（2）已知a＜0，b＞0，化简：＝ b－a .
6.若＝3－b，则b应满足 b≤3 .
－2
b－a
b≤3
三、解答题
7.化简：
（1）；
解：（1）＝0.3；
（2）；
解：（2）＝＝0.6.
（3）；
解：（3）＝｜－｜＝；
（4）－；
解：（4）－＝－｜－π｜＝－π.
（5）＋｜3－x｜（x＜2）.
解：（5）原式＝＋｜3－x｜
＝2－x＋3－x
＝5－2x.
8.（1）计算：＋；
解：原式＝＋
＝π－3＋5－π
＝2.
（2）化简：＋（2≤x≤3）.
解：∵2≤x≤3，
∴x－2≥0，x－3≤0，
∴原式＝＋
＝＋
＝x－2＋3－x
＝1.
9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋｜a＋b｜＋.
第9题图
解：由数轴可知，－2＜a＜－1，2＜b＜3，
∴a＋1＜0，a＋b＞0，b－3＜0，
原式＝＋（a＋b）＋｜b－3｜
＝－（a＋1）＋（a＋b）＋（3－b）
＝2.
一、选择题
10.（1）计算（）2＋的结果是（ C ）
A.－1 B.2x－5 C.5－2x D.1
（2）若式子＋的值为2，则a的取值范围是（ D ）
A.a≤4 B.a≥2
C.a＝2或4 D.2≤a≤4
C
D
二、解答题
11.（1）a、b、c都是实数，且｜a｜＋a＝0，＝1，｜c｜－c＝0.试求－｜a＋b｜－＋｜c－a｜的值；
解：由题意得a＜0，b＜0，c≥0，
∴－｜a＋b｜－＋｜c－a｜
＝－b＋（a＋b）－（c－b）＋（c－a）
＝b.
（2）若实数x，y，m满足关系式＋＝·，求m的值.
解：依题意，得，解得x＋y＝20，
∴＋＝0，
∴3x＋3y－m＝0，
∴m＝3（x＋y）＝60，
即m的值是60.
解答题
12.阅读下列材料，回答问题：
在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同.
小张的化简如下：
＝
＝＝－；
小李的化简如下：
＝
＝＝－.
（1）请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由；
解：（1）小李的化简结果正确，小张的化简结果错误.理由如下：
∵＜，∴－＜0，
∴＝｜－｜＝－（－）＝－；
（2）请你利用上面正确的方法化简：
①；②.
解：（2）①原式＝＝＝＋1；
②原式＝＝＝－1.
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第3课时 二次根式的乘法
第21章 二次根式
一、选择题
1.如果·＝成立，那么a满足的条件是（ C ）
A.a≥－2 B.－2≤a≤3
C.a≥3 D.a为一切实数
2.在下列各数中，与的积仍为无理数的是（ D ）
A. B. C. D.
C
D
3.下列运算：①2×3＝6；②4·＝4；③2·3＝3；④×＝，其中正确的有（ B ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
二、填空题
4.如果等式·＝成立，那么有x＋1 ≥ 0，1－x ≥ 0，所以x的取值范围是 －1≤x≤1 .
5.计算：
≥
≥
－1≤x≤1
（1）2×＝ 2 ；
（2）×＝ 3 ；
（3）×＝ 3 ；
（4）2×＝ 2 ；
（5）×3＝ 6 .
2
3
3
2
6
6.矩形的长和宽分别为和，则这个矩形的面积为 .
7.如果·＝0，那么a＝ 6 .
6
三、解答题
8.计算：
（1）×；
解：原式＝＝.
（2）×；
解：原式＝＝10.
（3）×；
解：原式＝＝9.
（4）×；
解：原式＝＝1.2.
（5）×；
解：原式＝＝.
（6）4×（－3）；
解：原式＝－12×＝－48.
（7）××；
解：原式＝×＝2.
（8）2×3×；
解：原式＝（2×3）
＝6×
＝120.
（9）××.
解：原式＝＝＝3.
一、选择题
9.计算·的结果为（ D ）
A. B. C.13 D.1
D
二、解答题
10.已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm.求这个长方体的体积.
解：∵长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm，
∴3×2×2＝3×2×2＝72cm3，
答：这个长方体的体积为72cm3.
解答题
11.阅读下列解题过程：
例：若代数式＋的值是2，求a的取值范围.
解：原式＝｜a－1｜＋｜a－3｜，
当a＜1时，原式＝（1－a）＋（3－a）＝4－2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a－1）＋（3－a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a－1）＋（a－3）＝2a－4＝2，解得a＝3（舍去），
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）当2≤a≤5时，化简：＋；
解：（1）∵2≤a≤5，
∴a－2≥0，a－5≤0，
∴原式＝｜a－2｜＋｜a－5｜
＝a－2－（a－5）
＝3；
（2）若等式＋＝4成立，求a的取值范围；
解：（2）由题意可知：｜3－a｜＋｜a－7｜＝4，
当a＜3时，3－a＞0，a－7＜0，
∴原方程化为3－a－（a－7）＝4，
∴a＝3（舍去）；
当3≤a≤7时，3－a≤0，a－7≤0，
∴原方程化为－（3－a）－（a－7）＝4，
∴4＝4，故3≤a≤7符合题意；
当a＞7时，3－a＜0，a－7＞0，
∴原方程化为－（3－a）＋（a－7）＝4，
∴a＝7（舍去），
综上所述，a的取值范围是3≤a≤7；
（3）若＋＝8，求a的值.
解：（3）原方程可化为｜a＋1｜＋｜a－5｜＝8，
当a＜－1时，a＋1＜0，a－5＜0，
∴原方程化为－（a＋1）－（a－5）＝8，
∴a＝－2，符合题意；
当－1≤a≤5时，a＋1≥0，a－5≤0，
∴a＋1－（a－5）＝8，
∴此方程无解，故－1≤a≤5不符合题意；
当a＞5时，a＋1＞0，a－5＞0，
∴原方程化为a＋1＋a－5＝8，
∴a＝6，符合题意，
综上所述，a的值为－2或6.
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第4课时 积的算术平方根
第21章 二次根式
一、选择题
1.将化简，正确的结果是（ A ）
A.10 B.±10
C.5 D.±5
2.化简二次根式的结果是（ A ）
A.3 B.－3 C.5 D.15
3.计算×的结果是（ D ）
A.3 B. C.9 D.3
A
A
D
4.计算并化简3×2，得到的结果是（ B ）
A.6 B.12 C.6 D.12
5.下列变形正确的是（ C ）
A.＝9
B.＝－3
C.（）2＝－（－1.5）
D.＝×
B
C
二、填空题
6.计算：
（1）＝ 10 ；
（2）＝ 40 .
7.（1）若＝·，则x的取值范围是 1≤x≤4 ；
（2）若＝·，则x＋3＝ 5 .
10
40
1≤x≤4
5
三、解答题
8.化简：
（1）；
解：原式＝＝×＝30.
（2）；
解：原式＝×＝×＝.
（3）.
解：原式＝
＝××
＝108.
9.计算：
（1）×；
解：原式＝＝＝5.
（2）5×（－）；
解：原式＝－5＝－15.
（3）××；
解：原式＝2×3×3＝54.
（4）×.
解：原式＝×＝10.
一、选择题
10.（1）使等式＝－x成立的条件是（ C ）
A.x＜0 B.x≤0
C.－3≤x≤0 D.x为任意实数
（2）若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（ A ）
A.－a B.a
C.a D.
C
A
（3）设＝a，＝b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ A ）
A.0.3ab B.3ab
C.0.1ab2 D.0.1a2b
A
二、解答题
11.计算：
（1）×3×；
解：原式＝3×6×＝.
（2）·（－）；
解：原式＝－2×3x＝－12x2.
（3）6·；
解：原式＝6×＝a2.
（4）6·3（y＞0）；
解：原式＝18＝108｜x3｜y.
（5）×（－）×；
解：原式＝－
＝－4.
（6）（－x）（－）（－2ab）.
解：原式＝a（－2ab）
＝－2a2b｜x｜.
解答题
12.求＋的值.
解：设x＝＋，
两边平方得：x2＝（）2＋（）2＋2，即x2＝10，
∴x＝±，
∵＋＞0，
∴＋＝.
请仿照上述方法，求＋的值.
解：设x＝＋，
两边平方得：x2＝（）2＋（）2＋2，即x2＝14，
∴x＝±，
∵＋＞0，
∴＋＝.
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第5课时 二次根式的除法
第21章 二次根式
一、选择题
1.使等式＝成立的条件是（ C ）
A.x＞－2 B.x＜9
C.－2≤x＜9 D.－2≤x≤9
C
2.（1）计算÷的结果是（ B ）
A.9 B.3 C.3 D.2
（2）计算－1的结果是（ A ）
A.1 B. C. D.
（3）计算÷÷的结果是（ D ）
A. B. C. D.
B
A
D
3.在下列各式中，计算结果不正确的是（ A ）
A.×＝2 B.÷＝
C.×＝ D.÷＝
A
二、填空题
4.若＝成立，则x的取值范围是 2≤x＜4 .
5.计算：
（1）÷＝ 3 ；
（2）÷（－）＝ －3 ；
（3）5÷3＝ ；
（4）＝ 2 .
2≤x＜4
3
－3
2
三、解答题
6.计算：
（1）；
解：原式＝＝＝4.
（2）.
解：原式＝＝＝2.
7.计算：
（1）÷；
解：原式＝＝.
（2）÷；
解：原式＝＝＝.
（3）6÷（－3）；
解：原式＝6÷（－3）
＝－2
＝－4.
（4）2÷.
解：原式＝（2÷）＝4＝12.
8.计算：÷××.
解：原式＝
＝
＝2.
一、选择题
9.在下列运算中，正确的是（ B ）
A.2·3＝6
B.2÷＝2
C.＝＝＝3
D.÷×＝÷＝1
B
10.若有意义，则的值是（ D ）
A.非正数 B.负数
C.非负数 D.正数
D
二、解答题
11.计算：
（1）2÷×；
解：原式＝2×2÷××
＝4××
＝.
（2）－4÷.
解：原式＝（－4÷）
＝－7
＝－7.
解答题
12.先来看一个有趣的现象：＝＝＝2，这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等等.
（1）解：5，
验证：＝＝＝5；
（2）你能用含正整数n（n≥2）的式子来表示上述规律吗？
（2）解：＝n；
（1）猜想：＝ ，并验证你的猜想；
（4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数.
（4）解：＝6（答案不唯一）.
（3）证明你找到的规律；
（3）证明：＝＝＝n；
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第6课时 二次根式的化简
第21章 二次根式
一、选择题
1.在下列二次根式中，为最简二次根式的是（ B ）
A. B.
C. D.
B
2.（1）化简的结果是（ A ）
A.2 B.4 C.2 D.4
A
（2）把化为最简二次根式得（ C ）
A.18 B.
C. D.
C
3.若a＝，b＝1－，则a、b两数的关系是（ A ）
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.互为负倒数
A
二、填空题
4.（1）把化成最简二次根式为 3 ；
（2）将化为最简二次根式的结果为 .
5.的有理化因式是 .
6.2－3的倒数是 ＋1 .
3
＋1
三、解答题
7.把下列二次根式化简成最简二次根式：
（1）；
解：（1）原式＝＝6；
（2）；
解：（2）原式＝＝2.
（3）；
解：（3）原式＝＝＝；
（4）；
解：（4）原式＝＝.
（5）；
解：（5）原式＝＝；
（6）.
解：（6）原式＝＝.
8.把下列各式分母有理化：
（1）；
解：（1）原式＝＝；
（2）；
解：（2）原式＝＝＝；
（3）；
解：（3）原式＝＝＝.
（4）；
解：（4）原式＝＝5＋2；
（5）.
解：（5）原式＝＝1＋.
一、选择题
9.在下列结论中，正确的是（ D ）
A.是的有理化因式
B.不是最简二次根式
C.3－2的绝对值是3－2
D.3＋2的倒数是3－2
10.若xy＝3，则x＋y的值是（ C ）
A.2 B.－2 C.±2 D.±
D
C
二、填空题
11.（1）已知＋＝0，则＋的值为 ；
（2）已知a＝，b＝，则代数式的值为 2 .
2
三、解答题
12.计算：
（1）（m＜0）；
解：原式＝
＝－3m.
（2）（x＞2）.
解：原式＝
＝
＝＝.
解答题
13.观察下列各式及验证过程：
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝.
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝ ；
解：（1）；
（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
解：（2）猜想：＝，
验证：＝＝
＝；
解：（3）＝，
理由：
＝
＝
＝.
（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2，且n为自然数）表示的等式，并说明理由.
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第7课时 专题二次根式的乘除
第21章 二次根式
一、选择题
1.（1）下列式子属于最简二次根式的是（ A ）
A. B. C. D.
（2）在下列二次根式中，为最简二次根式的是（ C ）
A. B. C. D.
A
C
2.矩形的面积为18，一边长为2，则另一边长为（ C ）
A.5 B.10 C.3 D.24
3.下列各式计算正确的是（ C ）
A.＝2 B.÷＝
C.（）2＝3 D.＝－2
4.已知a＝，b＝－2，则a与b的关系是（ B ）
A.a＝b B.a＝－b
C.a＝ D.ab＝－1
C
C
B
二、填空题
5.计算：×÷＝ 6 .
6.4－的倒数是 4＋ .
6
4＋
三、解答题
7.计算：
（1）×；
解：（1）原式＝＝＝；
（2）÷.
解：（2）原式＝＝＝3.
8.计算：
（1）×÷×；
解：原式＝÷×
＝.
（2）9×÷3；
解：原式＝（9××）
＝
＝45.
（3）÷9×（－）；
解：原式＝×2÷9×（－）
＝÷9×（－）
＝－.
（4）×4÷（）.
解：原式＝×4×
＝3
＝18.
9.已知a＝，求的值.
解：∵a＝＝2－，
∴a＜1，
∴原式＝
＝
＝－
＝－2－.
一、选择题
10.已知＝a，＝b，则＝（ D ）
A. B. C. D.
D
二、填空题
11.当x＝2＋时，x2－4x＋2024＝ 2023 .
2023
三、解答题
12.计算：
（1）（－）÷3（b＜0）；
解：原式＝·（－b）·（a）÷
＝－3a2b÷
＝ab.
（2）6a2·5÷15.
解：由题意可得ab＞0，
原式＝6a2·｜a｜·5···
＝2a2｜a｜，
当a＞0时，原式＝2a3，
当a＜0时，原式＝－2a3.
13.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入求值.
解：由题意可得x＞2，
原式＝÷
＝·
＝，
当x＝4时，原式＝2.（答案不唯一）
14.计算：÷（÷）.（其中b＜a＜0）
解：原式＝·÷（··）
＝·÷
＝－.
解答题
15.已知＋＋＋…＋＝，求n的值.
解：∵
＝
＝
＝－，
∴＋＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－，
∴1－＝，
∴n＝2499.
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第8课时 二次根式的加减
第21章 二次根式
一、选择题
1.与是同类二次根式的是（ D ）
A. B. C. D.
2.若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ C ）
A.0 B.1 C.2 D.－2
D
C
3.（1）计算－的结果是（ C ）
A.25 B.2 C. D.5
（2）计算9－的结果是（ D ）
A. B.－ C. D.－
4.下列计算正确的是（ A ）
A.＋＝3 B.＋＝
C.4－3＝1 D.3＋2＝5
C
D
A
二、填空题
5.（1）计算－的结果是 － ；
（2）计算－4的结果是 3 ；
（3）计算2－的结果是 5 .
6.如果与是同类二次根式，那么x的最小正整数值是 4 .
－
3
5
4
三、解答题
7.计算：
（1）＋－；
解：原式＝2＋4－
＝5.
（2）9＋5－3；
解：原式＝9＋10－12
＝7.
（3）＋－3；
解：原式＝2＋5－
＝.
（4）＋－；
解：原式＝＋6－2
＝＋4.
（5）2＋－4；
解：原式＝2＋2－4×
＝2.
（6）＋｜1－｜；
解：原式＝3＋－1
＝4－1.
（7）＋－（－4）；
解：原式＝2＋4－＋2
＝7.
（8）－＋－.
解：原式＝4－3＋18－
＝18.
一、选择题
8.下列运算：①＋＝；②＋＝2；③3＋＝3；④＝17；⑤＝3a＋5b.其中正确的有（ A ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.以上都不对
A
二、填空题
9.（1）计算：×－4×＝ ；
（2）规定：a※b＝·＋，a*b＝ab－b2，试求：3※5＝ ，2*（－1）＝ 4－5 .
4－5
三、解答题
10.计算：
（1）＋｜－2｜－（－3）0＋（）－2；
解：原式＝2＋2－－1＋4
＝5＋.
（2）2－6＋－（－）；
解：原式＝2×2－6×＋2－（3－3）
＝4－2＋2－3＋3
＝＋3.
（3）×（＋3－）；
解：原式＝2×（5＋－4）
＝12.
（4）－÷2－1＋－（＋1）0；
解：原式＝3－÷＋－1－1
＝3－1＋－1－1
＝4－3.
（5）（π－1）0＋（）－1＋｜5－｜－.
解：原式＝1＋＋－5－
＝1＋＋3－5－8
＝－12.
解答题
11.已知a、b、c为有理数，且使等式a＋b＋c＝成立，求代数式2a＋1000b＋1023c的值.
解：∵＝＝＋，
∴a＋b＋c＝＋，
∴a＝0，b＝1，c＝1，
∴2a＋1000b＋1023c＝2023.
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第9课时 二次根式的混合运算
第21章 二次根式
一、选择题
1.在下列各式的计算中，正确的是（ D ）
A.2＋＝2 B.4－3＝1
C.＝x＋y D.－＝
2.在下列算式中，正确的是（ C ）
A.3－＝3
B.＋＝
C.（－）2＝5－2
D.÷＝3
D
C
3.下列计算结果正确的是（ A ）
A.＝－1
B.÷＝
C.＋＝
D.（＋）（－）＝1
4.下列计算正确的是（ D ）
A.＝－3 B.2－＝2
C.5×5＝5 D.＝－－2
A
D
二、填空题
5.（1）计算（－）×＋2的结果是 ＋ ；
（2）计算－－×的结果是 0 .
6.化简：＋＝ 2－4 .
＋
0
2－4
三、解答题
7.计算：
（1）（π－1）0＋（）－1＋｜5－｜－2；
解：原式＝1＋2＋3－5－2
＝－2.
（2）（－）－2－｜－2｜＋÷；
解：原式＝4－2＋＋3
＝2＋4.
（3）÷2＋－（）0；
解：原式＝××＋－1－1
＝×＋－2
＝－2.
（4）÷－2×＋（＋）2.
解：原式＝－2＋2＋2＋3
＝4－2＋5＋2
＝9.
8.已知x＝，y＝，求下列各式的值：
（1）x2－xy＋y2；
（1）x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝；
（2）＋.
解：∵x＝＝，y＝＝，
∴x＋y＝，xy＝，
（2）＋＝
＝
＝8.
一、填空题
9.计算：
（1）·＝ ＋1 ；
（2）（－）2·（5＋2）＝ 1 ；
（3）（）2＋×＋（）2＝ 4 .
＋1
1
4
二、解答题
10.计算：
（1）（－2＋1）（1＋2－）；
解：原式＝[1－（2－）][1＋（2－）]
＝1－（2－）2
＝1－（8－4＋3）
＝4－10.
（2）（4＋）0－2＋（2＋）2－.
解：原式＝1－4＋4＋4＋3－（＋）2
＝8－（3＋2＋2）
＝3－2.
11.先化简，再求值：
（1）已知y＞＋＋2，求＋5－3x的值；
解：根据题意得3x－2≥0，2－3x≥0，
∴x＝，
∵y＞＋＋2，∴y＞2，
∴＋5－3x
＝＋5－3×
＝－1＋5－2
＝2.
（2）已知a＝，求－的值.
解：∵a＝＝＝2－＜1，
∴－
＝－
＝a＋3－
＝a＋3＋
＝7.
解答题
12.已知x＝2＋1，求x3－2x2－7x＋2023的值.
解：由题意得x－1＝2，
∴（x－1）2＝8，
∴x2＝7＋2x，
∴x3－2x2－7x＋2023
＝x3－x（2x＋7）＋2023
＝x3－x·x2＋2023
＝2023.
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第10课时 专题二次根式的化简
第21章 二次根式
一、选择题
1.计算（1＋）（1－）的结果为（ B ）
A.2 B.－2 C.3 D.－3
2.若y＝＋－3，则（x＋y）2023的值为（ D ）
A.1 B.5 C.－5 D.－1
B
D
4.若a，b，c是△ABC的三边长，则化简－的结果是（ B ）
A.2c B.－2c C.2c－2a D.2a－2b
B
3.计算·的结果为（ A ）
A.＋1 B.－1 C.1－ D.1
A
二、填空题
5.已知2＜x＜3，则化简：｜2－x｜＋＋＝ 7－x .
7－x
三、解答题
6.计算：
（1）－（－）（＋）；
解：原式＝2＋4＋6－（5－3）
＝2＋4＋6－2
＝4＋6.
（2）＋＋.
解：原式＝2＋＋2－
＝＋2.
7.已知x＝＋，y＝－.
（1）求x＋y，xy的值；
解：（1）∵x＝＋，y＝－，
∴x＋y＝；
xy＝（）2－（）2＝1；
解：（2）由（1）知，x＋y＝，xy＝1，
①x2y＋xy2＝xy（x＋y）＝；
②＋＝＝＝－2＝9.
（2）利用（1）的结果求下列代数式的值：
①x2y＋xy2；
②＋.
8.观察：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
请你观察上述规律后解决下列问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[]＝2.按此规定，则[＋1]＝ ；
解：（1）4；
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，｜c｜＝，求c（a－b－6）＋12的值.
解：（2）∵＜＜，即3＜＜4，
∴a＝3，b＝－3，
∵｜c｜＝，∴c＝±，
当c＝时，
c（a－b－6）＋12＝×（3－＋3－6）＋12＝－11＋12＝1，
当c＝－时，
c（a－b－6）＋12＝－×（3－＋3－6）＋12＝11＋12＝23，
综上所述，c（a－b－6）＋12的值为1或23.
一、填空题
9.（1）若a为自然数，b为整数，且满足＝7－4，则a＝ 2 ，b＝ －1 ；
（2）已知a＋b＝－8，ab＝12，那么b＋a的值为 － .
2
－1
－
二、解答题
10.若a＝，求a4－10a3＋a2－20a＋5的值.
解：∵a＝＝＋5，
∴a－5＝，
∴（a－5）2＝26，
∴a2－10a＋25＝26，
∴a2－10a＝1，
∴原式＝a2（a2－10a）＋（a2－10a）－10a＋5＝a2－10a＋6
＝7.
解答题
11.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.例如：4＋2＝1＋3＋2＝12＋2＋＝.这样小明就找到了一种把类似4＋2的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）结合小明的探索过程填空： ＝；
解：（1）13＋4；
（2）7＋4的算术平方根为 ；
解：（2）2＋；
（3）化简：＋＋＋…＋.（n为正整数）
解：（3）原式＝＋＋＋…＋
＝－1＋－＋2－＋…＋－
＝－1.
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第11课时 专题二次根式与勾股定理
第21章 二次根式
一、选择题
1.下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（ C ）
A.3cm，4cm，5cm B.4cm，3cm，cm
C.6cm，8cm，9cm D.1cm，cm，cm
C
2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ D ）
第2题图
A.AB＝ B.AC＝5
C.BC＝2 D.∠ACB＝30°
D
3.古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记p＝，则其面积为S＝，如图，利用海伦公式计算△ABC的面积为（ C ）
第3题图
A. B.5 C. D.3
C
二、填空题
4.已知Rt△ABC的一直角边长为1，斜边长为，则它的另一直角边长为 2 .
5.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是 14 .
第5题图
2
14
三、解答题
6.靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为梯子长度的，则梯子比较稳定.（结果保留根号）
（1）在梯子稳定摆放的情况下，3米的梯子能达到多高的墙头？
解：（1）设梯子放平稳时，可以达到x米高的墙头，
由题意得：x2＝32－12，
解得：x＝－2（舍去）或2，
答：3米的梯子能达到2米高的墙头；
（2）要达到4米高的墙头，梯子至少要多长？
解：（2）设梯子放平稳时，要达到4米高的墙头，梯子至少要y米，
由题意得：y2＝（）2＋16，
解得：y＝－3（舍去）或3，
答：梯子至少要3米长.
7.如图，已知在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝10，BC＝5，CD＝7，AD＝24，求四边形ABCD的面积.
第7题图
解：如图，连接AC，
∵AB⊥BC，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝25，
∵CD＝7，AD＝24，
∴AD2＋CD2＝625＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC
＝AB·BC＋AD·DC
＝×10×5＋×24×7
＝209，
∴四边形ABCD的面积为209.
8.如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，蚂蚁甲从点A出发，沿a，b，d三个面走最短路径到点B；同时蚂蚁乙以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径到点A.请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？
第8题图
解：如图，展开正方体使a，b，c与d在同一平面内，
∴蚂蚁甲走的路径长为A1B＝＝cm，
蚂蚁乙走的路径长为A2B＝＝cm，
∵cm＞cm，
∴蚂蚁乙先到达目的地.
一、填空题
9.如图，正方形ABCD的边长是8，点E在边AB上，AE＝，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处.若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为 8或2 .
第9题图
8或2
二、解答题
10.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝，求CD的长.
第10题图
解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长线于点F，
根据旋转可知：AE＝AC＝，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠DAB＝360°，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC＋∠ADC＝240°，
∴∠ADE＋∠ADC＝240°，
∴∠EDF＝240°－180°＝60°，
在Rt△EDF中，∠EDF＝60°，
∴DF＝DE＝1，EF＝，
在Rt△AEC中，CE＝2，
∴CF＝＝5，
∴CD＝CF－DF＝4.
解答题
11.如图，已知等腰Rt△ABC，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：
第11题图
（1）如图1，若点P在线段AB上，AC＝1＋，PA＝，则线段PB＝ ，PC＝ ；
解：（1），2；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA、PB、PC之间的数量关系，并证明；
解：（2）PA2＋PB2＝2PC2，
证明：如图1，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝DB，
∵AB＝PA－PB，∴CD＝BD＝，
∴PD＝BD＋PB＝，
在Rt△PCD中，PC2＝DC2＋PD2，
即PC2＝（）2＋（）2，
∴PA2＋PB2＝2PC2；
（3）若动点P满足＝，求的值.
解：（3）如图2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵＝，∴设PA＝x，PB＝3x，
①当点P1在线段AB上时，AB＝P1A＋P1B＝4x，
∴CD＝AD＝AB＝2x，
∴P1D＝AD－P1A＝x，
∴P1C＝＝x，
AC＝＝2x，
∴＝＝；
②当点P2在BA的延长线上时，
同理可得P2C＝x，AC＝x，
∴＝＝，
综上所述，的值为或.
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第12课时 复习巩固
第21章 二次根式
一、选择题
1.使二次根式有意义的条件是（ B ）
A.x＞0 B.x≥0且x≠4
C.x≥0 D.x＞0且x≠4
2.在下列根式中，最简二次根式是（ A ）
A. B. C. D.
B
A
3.化简－（）2得（ C ）
A.2 B.－4x＋4
C.x D.5x－2
4.若与已化成最简二次根式，且被开方数相同，则a，b的值分别为（ D ）
A.－1，1 B.1，－1
C.－1，－1 D.1，1
C
D
5.若实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简－｜a－b｜得（ D ）
A.2b B.－2b C.2a D.－2a
第5题图
D
二、填空题
6.矩形的面积为12，一边长为2，则另一边长为 3 .
7.在平面直角坐标系中，点P（，－）在第 四 象限.
8.比较大小（填“ ＞”“＝”或“＜”）：
（1）－4 ＜ －3；
（2）－ ＜ －.
3
四
＜
＜
三、解答题
9.计算：
（1）＋＋；
解：原式＝2＋＋2－
＝＋2.
（2）＋4－＋；
解：原式＝3＋2－4＋
＝5－.
（3）（3－2＋）÷2；
解：原式＝（6－＋4）÷2
＝÷2
＝.
（4）（1－2）（1＋2）－（2－1）2.
解：原式＝1－12－（12－4＋1）
＝－11－13＋4
＝4－24.
一、选择题
10.（1）已知直角三角形的两直角边的长分别为a＝＋2，b＝－2，则它的斜边长c＝（ D ）
A.12 B.18 C.2 D.3
D
（2）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为8cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ C ）
第10（2）题图
A.4cm2
B.（8－12）cm2
C.（4－8）cm2
D.（4＋12）cm2
C
二、填空题
11.（1）已知a＝－1，则a2＋2a＋2的值是 12 ；
（2）已知＋2＝b＋8，则的值是 5 ；
（3）已知｜2023－a｜＋＝a，求a－20232的值是 2024 ；
（4）已知－＝－，＝，则a－b＝ 2 ；
（5）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 7－12 .
12
5
2024
2
7－12
三、解答题
12.如图，在数轴上有A、B两点表示的数为1、，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，化简求值：－－1.
第12题图
解：∵A、B两点表示的数为1、，
∴AB＝－1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB＝－1，
∴OC＝1－AC＝1－（－1）＝2－，
∴x＝2－，
∴原式＝－－1
＝－（x＋1）－1
＝－x－2
＝－（2－）－2
＝－3＋.
解答题
13.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如4＋2＝（1＋）2，然后小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a＋b＝m2＋3n2＋2mn，所以a＝m2＋3n2，b＝2mn，这样小明找到了一种类似a＋b的式子化为平方式的方法.
请仿照小明的方法解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则a＝ ，b＝ ；（用含m，n的代数式表示）
解：（1）∵a＋b＝（m＋n）2＝m2＋5n2＋2mn，
∴a＝m2＋5n2，b＝2mn，
故答案为：m2＋5n2，2mn；
（2）请找一组正整数填空： ＋ ＝（ ＋ ）2；
解：（2）令m＝2，n＝1，
由（1）可得a＝m2＋5n2＝9，b＝2mn＝4，
∴9＋4＝（2＋）2，
故答案为：9，4，2，1（答案不唯一）；
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值.
解：（3）由（1）可得a＝m2＋5n2，b＝2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝m2＋5n2＝22＋5×12＝9或a＝m2＋5n2＝12＋5×22＝21，
综上所述，a的值为9或21.
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