第22章 一元二次方程 习题课件(共178张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
文档属性
| 名称 | 第22章 一元二次方程 习题课件(共178张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 10:30:54 | ||
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文档简介
(共178张PPT)
第1课时 一元二次方程
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.下列方程是一元二次方程的是（ B ）
A.（x－1）（x－3）＝x2－1
B.x2－2x＝2x2－1
C.ax2＋bx＋c＝0
D.x＋＝2
B
2.将关于x的一元二次方程x（x＋2）＝5化成一般形式后，a，b，c的值分别是（ D ）
A.1，2，5 B.1，－2，－5
C.1，－2，5 D.1，2，－5
D
3.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式3m2－3m＋4的值为（ C ）
A.－1 B.5 C.7 D.－3
C
4.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的1000元降到640元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ D ）
A.1000（1＋x）2＝640
B.640（1＋x）2＝1000
C.640（1－x）2＝1000
D.1000（1－x）2＝640
D
二、填空题
5.若方程mx2＋3x－4＝2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠2 .
6.m是方程x2－6x－5＝0的一个根，则代数式11＋6m－m2的值是 6 .
m≠2
6
三、解答题
7.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）8x2－3＝5x；
解：8x2－5x－3＝0，
二次项系数是8，一次项系数是－5，常数项是－3.
（2）4－7x2－11x＝0；
解：－7x2－11x＋4＝0，
二次项系数是－7，一次项系数是－11，常数项是4.
（3）3y（y＋1）＝7（y＋2）－5；
解：3y2＋3y＝7y＋14－5，
3y2－4y－9＝0，
二次项系数是3，一次项系数是－4，常数项是－9.
（4）（t＋）（t－）＋（t－2）2＝7－5t；
解：t2－t＋t2－4t＋4＝7－5t，
2t2－3＝0，
二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是－3.
（5）（5x－1）2＝4（x－3）2.
解：25x2－10x＋1＝4x2－24x＋36，
21x2＋14x－35＝0，
二次项系数是21，一次项系数是14，常数项是－35.
8.一元二次方程a（x2＋1）＋b（x＋2）＋c＝0化为一般形式后为6x2＋10x－1＝0，求以a、b为两条对角线长的菱形的面积.
解：原方程可化为ax2＋a＋bx＋2b＋c＝0，
即ax2＋bx＋a＋2b＋c＝0，
∵原方程的一般形式为6x2＋10x－1＝0，
∴a＝6，b＝10，
∴S菱形＝×6×10＝30.
一、选择题
9.若方程（m－1）－（m＋1）x－2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ D ）
A.0 B.±1 C.1 D.－1
10.已知关于x的一元二次方程（m－3）x2＋5x＋m2－9＝0有一个解是x＝0，则m的值为（ A ）
A.－3 B.±3
C.3 D.不能确定
D
A
二、解答题
11.（1）已知a是方程x2－3x－2＝0的一个根，试求a3－2a2－5a＋4的值；
解：∵a是方程x2－3x－2＝0的一个根，
∴a2＝3a＋2，a2－3a＝2，
∴原式＝a（3a＋2）－2（3a＋2）－5a＋4
＝3a2＋2a－6a－4－5a＋4
＝3a2－9a＝3×2＝6.
（2）若a是方程x2－2023x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2024a＋的值.
解：把x＝a代入方程，可得：a2－2023a＋1＝0，
∴a2－2023a＝－1，a2＋1＝2023a，
∴a2－2024a＝－a－1，
∴a2－2024a＋＝－a－1＋＝－1，
即a2－2024a＋＝－1.
解答题
12.已知a、b为实数，关于x的方程x2－（a－1）x＋b＋3＝0的一个实根为a＋1.
（1）用含a的代数式表示b；
解：（1）∵关于x的方程x2－（a－1）x＋b＋3＝0的一个实根为a＋1，
∴（a＋1）2－（a－1）（a＋1）＋b＋3＝0，
整理得：b＝－2a－5；
（2）求代数式b2－4a2＋10b的值.
解：（2）由（1）得：b＋2a＝－5，
∴b2－4a2＋10b＝（b＋2a）（b－2a）＋10b＝－5（b－2a）＋10b＝5b＋10a＝5（b＋2a）＝－25，
∴代数式b2－4a2＋10b的值是－25.
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第2课时 解一元二次方程——直接开平方法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.方程x2＝2的解是（ C ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝± D.x＝±4
2.方程2x2＝8的根为（ C ）
A.2 B.－2
C.±2 D.没有实数根
C
C
3.方程（x＋1）2＝4的解是（ D ）
A.x1＝2，x2＝－2 B.x1＝3，x2＝－3
C.x1＝1，x2＝－2 D.x1＝1，x2＝－3
D
二、填空题
4.方程4x2－1＝0的解是 x＝± .
5.方程4x2＋1＝0的解是 没有实数解 .
x＝±
没有实数解
三、解答题
6.解方程：
（1）x2＋4＝12；
解：∵x2＋4＝12，
∴x2＝8，
∴x＝±2.
（2）25x2－36＝0；
解：由原方程，得x2＝，
则x＝±.
（3）x2－5＝；
解：∵x2－5＝，
∴x2＝，
解得x1＝，x2＝－.
（4）x－2x2＝（x－3）（x＋4）.
解：∵x－2x2＝（x－3）（x＋4），
∴x－2x2＝x2＋x－12，
整理，得3x2＝12，
两边除以3，得x2＝4，
解得x1＝2，x2＝－2.
7.解方程：
（1）（x－1）2＝4；
解：∵（x－1）2＝4，
∴x－1＝±2，
解得x1＝3，x2＝－1.
（2）（6x－1）2－25＝0；
解：∵（6x－1）2－25＝0，
∴（6x－1）2＝25，
∴6x－1＝±5，
解得x1＝1，x2＝－.
（3）4（2x－1）2－36＝0；
解：∵4（2x－1）2－36＝0，
∴（2x－1）2＝9，
∴2x－1＝±3，
解得x1＝2，x2＝－1.
（4）（3x＋1）2＝64.
解：∵（3x＋1）2＝64，
∴（3x＋1）2＝256，
∴3x＋1＝±16，
解得x1＝－，x2＝5.
8.在实数范围内定义一种新运算“★”，规定：a★b＝a2－b2，求方程（x＋2）★5＝0的解.
解：∵（x＋2）★5＝0，
∴（x＋2）2－52＝0，
∴（x＋2）2＝52，
∴x＋2＝±5，
∴x1＝3，x2＝－7.
一、选择题
9.方程x2＝4｜x｜的解为（ D ）
A.x＝±4 B.x＝0或4
C.x＝4 D.x＝±4或0
D
二、解答题
10.已知一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m－4.
（1）求m的值；
（1）∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m－4，
∴m＋1＋2m－4＝0，
解得m＝1；
（2）求的值.
解：∵ax2＝b，∴x2＝，
解得x＝±，即方程的两根互为相反数，
（2）当m＝1时，m＋1＝2，2m－4＝－2，
∵x＝±，一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m－4，
∴＝22＝4.
11.若2（x2＋3）的值与3（1－x2）的值互为相反数，求的值.
解：根据题意得2（x2＋3）＋3（1－x2）＝0，
整理得x2＝9，
∴x1＝3，x2＝－3，
当x＝3时，＝＝；
当x＝－3时，＝＝0.
解答题
12.对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如：max{1，2}＝2.
（1）请直接写出max{－，－}＝ ；
解：（1）∵＜，
∴－＞－，
∴max{－，－}＝－，
故答案为：－；
（2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决问题：若max{（x－1）2，x2}＝4，求x的值.
解：（2）（x－1）2－x2＝－2x＋1，
当－2x＋1＝0，即x＝0.5时，（x－1）2＝x2＝0.25≠4，不符合题意；
当－2x＋1＜0，即x＞0.5时，（x－1）2＜x2，
则x2＝4，
解得x＝2或－2（舍）；
当－2x＋1＞0，即x＜0.5时，（x－1）2＞x2，
则（x－1）2＝4，
解得x＝－1或3（舍），
综上所述，x的值为2或－1.
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第3课时 解一元二次方程——因式分解法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.（1）方程（x－5）（x＋2）＝0的解是（ D ）
A.x＝5 B.x＝－2
C.x1＝－5，x2＝2 D.x1＝5，x2＝－2
（2）方程x2－5x＝0的解是（ C ）
A.x＝5 B.x1＝5，x2＝－5
C.x1＝5，x2＝0 D.x＝0
（3）一元二次方程x2＝x的实数根是（ A ）
A.0或1 B.0 C.1 D.±1
D
C
A
（4）方程2x（x－5）＝6（x－5）的根是（ D ）
A.x＝5 B.x＝－5
C.x1＝－5，x2＝3 D.x1＝5，x2＝3
（5）一元二次方程x（x＋1）－x＝1的根是（ C ）
A.x1＝x2＝－1 B.x1＝x2＝1
C.x1＝1，x2＝－1 D.x1＝x2＝0
D
C
2.已知三角形的两条边长分别是2和4，第三边长是方程x2－9x＋18＝0的根，则这个三角形的周长为（ B ）
A.9或12 B.9
C.12 D.不能确定
3.若三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程x2－5x＝7（x－5）的根，则此三角形的周长为（ A ）
A.12 B.14
C.12或14 D.13或15
B
A
二、填空题
4.（1）方程x2＝x的根是 x1＝0，x2＝ ；
（2）一元二次方程（x－2）2＝5（x－2）的根为 x1＝2，x2＝7 ；
（3）一元二次方程x（x－3）＝3－x的根是 x1＝3，x2＝－1 ；
（4）一元二次方程2x＋6＝（x＋3）2的解为 x1＝－3，x2＝－1 .
x1＝0，x2＝
x1＝2，x2＝7
x1＝3，x2＝－1
x1＝－3，x2＝－1
三、解答题
5.解方程：
（1）x2－4x－5＝0；
解：分解因式得：（x－5）（x＋1）＝0，
∴x－5＝0或x＋1＝0，
∴x1＝5，x2＝－1.
（2）x2＋x－2＝0；
解：分解因式得：（x－1）（x＋2）＝0，
∴x－1＝0或x＋2＝0，
∴x1＝1，x2＝－2.
（3）2x2－3x－5＝0；
解：分解因式得：（2x－5）（x＋1）＝0，
∴2x－5＝0或x＋1＝0，
∴x1＝，x2＝－1.
（4）3x（x－1）＝2（x－1）.
解：移项，得3x（x－1）－2（x－1）＝0，
提公因式，得（x－1）（3x－2）＝0，
∴x－1＝0或3x－2＝0，
∴x1＝1，x2＝.
6.先化简，再求值：÷（x＋1－），其中x的值是一元二次方程x2＋2x－3＝0的解.
解：原式＝÷
＝·
＝，
解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，
∵当x＝1时，原分式没有意义，
∴x＝－3，
当x＝－3时，原式＝＝－1.
一、选择题
7.已知（x2＋2x－3）0＝x2－3x＋3，则x的值为（ A ）
A.2 B.1或2
C.1 D.－1或－2
A
二、填空题
8.若（x2＋y2）2－2（x2＋y2）－3＝0，则x2＋y2＝ 3 .
3
三、解答题
9.解方程：
（1）（x－3）2＋2x（x－3）＝0；
解：∵（x－3）2＋2x（x－3）＝0，
∴（x－3）（x－3＋2x）＝0，
∴x－3＝0或3x－3＝0，
∴x1＝3，x2＝1.
（2）4（2x＋1）2－4（2x＋1）＝0；
解：∵4（2x＋1）2－4（2x＋1）＝0，
∴（2x＋1）（2x＋1－1）＝0，
∴2x＋1＝0或2x＋1－1＝0，
∴x1＝－，x2＝0.
（3）（x－1）2－3（x－1）－4＝0；
解：分解因式得：（x－1－4）（x－1＋1）＝0，
∴x－1－4＝0或x－1＋1＝0，
∴x1＝5，x2＝0.
（4）4（x＋2）2＝（3x－1）2.
解：∵4（x＋2）2＝（3x－1）2，
∴4（x＋2）2－（3x－1）2＝0，
∴[2（x＋2）＋（3x－1）][2（x＋2）－（3x－1）]＝0，
∴（5x＋3）（－x＋5）＝0，
解得x1＝5，x2＝－.
10.已知等腰△ABC的一边a＝2，若另两边b、c的长恰好是关于x的一元二次方程x2－（k＋3）x＋3k＝0的两个根，求△ABC的周长.
解：∵x2－（k＋3）x＋3k＝0，
∴（x－3）（x－k）＝0，
解得x1＝3，x2＝k，
当b＝c，即k＝3时，
C△ABC＝2＋3＋3＝8；
当b＝2，c＝3或b＝3，c＝2，即k＝2时，
C△ABC＝2＋2＋3＝7，
综上所述，△ABC的周长是8或7.
解答题
11.阅读例题：
解方程：x2－｜x｜－2＝0.
解：原方程化为｜x｜2－｜x｜－2＝0，
令y＝｜x｜，则y2－y－2＝0，
即（y－2）（y＋1）＝0，
解得y1＝2，y2＝－1，
当｜x｜＝2时，x＝±2；
当｜x｜＝－1时，不合题意，舍去，
∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
仿照上例解方程：（x－1）2－5｜x－1｜－6＝0.
解：原方程化为｜x－1｜2－5｜x－1｜－6＝0，
令y＝｜x－1｜，则y2－5y－6＝0，
即（y－6）（y＋1）＝0，
解得y1＝6，y2＝－1，
当｜x－1｜＝6时，可得x－1＝6或－6，
解得x1＝7，x2＝－5；
当｜x－1｜＝－6时，无解，
∴原方程的解为x1＝7，x2＝－5.
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第4课时 解一元二次方程——配方法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.用配方法解一元二次方程x2－8x＋13＝0，变形正确的是（ C ）
A.（x－5）2＝－13 B.（x－4）2＝－13
C.（x－4）2＝3 D.（x－8）2＝3
2.把方程x2＋3＝4x配方得（ C ）
A.（x－2）2＝7 B.（x＋2）2＝21
C.（x－2）2＝1 D.（x＋2）2＝2
C
C
3.用配方法解方程2x2－8x－3＝0时，原方程可变形为（ B ）
A.（x－2）2＝－ B.（x－2）2＝
C.（x＋2）2＝7 D.（x－2）2＝7
B
二、填空题
4.（1）x2＋6x＋ 9 ＝（x＋ 3 ）2；
（2）x2＋x＋ ＝（x＋ ）2；
（3）x2－2ax＋ a2 ＝（x －a ）2；
（4）x2 ±2 x＋3＝（x ± ）2.
5.用配方法解方程x2＋x－＝0时，可配方为[（x＋1）2＋k]＝0，其中k＝ －6 .
6.用配方法解方程2x2＋x－2＝0，配方后得到方程为 （x＋）2＝ .
9
3
a2
－a
±2
±
－6
（x＋）2＝
三、解答题
7.解方程：
（1）x2－2x－6＝0；
解：∵x2－2x－6＝0，
∴x2－2x＝6，
∴x2－2x＋1＝6＋1，
即（x－1）2＝7，
∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
（2）x2－6x－5＝0；
解：∵x2－6x－5＝0，
∴x2－6x＝5，
∴x2－6x＋32＝5＋32，
即（x－3）2＝14，
∴x－3＝±，
∴x1＝3－，x2＝3＋.
（3）x2－5x＋2＝0.
解：∵x2－5x＋2＝0，
∴x2－5x＝－2，
∴x2－5x＋（－）2＝－2＋（－）2，
即（x－）2＝，
∴x－＝±，
∴x1＝，x2＝.
8.解方程：
（1）2x2－8x－1＝0；
解：方程整理得：x2－4x＝，
配方得：x2－4x＋22＝＋22，
即（x－2）2＝，
开方得：x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
（2）x2－4x－＝0；
解：方程整理得：x2－x＝1，
配方得：x2－x＋（）2＝1＋（）2，
即（x－）2＝，
开方得：x－＝±，
∴x1＝3，x2＝－.
（3）（x＋1）（2x－3）＝1.
解：方程整理得：x2－x＝2，
配方得：x2－x＋（）2＝2＋（）2，
即（x－）2＝，
开方得：x－＝±，
∴x1＝，x2＝.
一、选择题
9.解关于x的方程（x＋m）2＝n，下列说法正确的是（ B ）
A.有两个解，x＝±
B.当n≥0时，有两个解，x＝±－m
C.当n≥0时，有两个解，x＝±
D.当n≤0时，方程无实数解
B
二、填空题
10.代数式2x2－4xy＋5y2－12x＋20的最小值是 －10 .
－10
三、解答题
11.利用配方法解方程：x2＋6x＋m＝0.（m为任意实数）
解：方程变形得：x2＋6x＝－m，
配方得：x2＋6x＋9＝9－m，
即（x＋3）2＝9－m，
当9－m≥0，即m≤9时，x＋3＝±，
解得x1＝－3＋，x2＝－3－；
当9－m＜0，即m＞9时，方程没有实数解.
12.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1836cm2，求金色纸边的宽.
第12题图
解：设金色纸边的宽为xcm，
由题意得：（50＋2x）（30＋2x）＝1836，
即x2＋40x－84＝0，
解得x1＝－42（不合题意，舍去），x2＝2，
答：金色纸边的宽为2cm.
解答题
13.我们知道：对于任何实数x，
①∵x2≥0，∴x2＋1＞0；
②∵（x－1）2≥0，
∴x2－2x＋＝（x－1）2＋＞0.
仿照上述方法解答下列问题：
（1）求证：对于任何实数x，总有2x2＋4x＋3＞0；
证明：（1）2x2＋4x＋3
＝2（x2＋2x）＋3
＝2（x2＋2x＋1）＋1
＝2（x＋1）2＋1，
∵对于任何实数x，（x＋1）2≥0，
∴2（x＋1）2＋1＞0，
∴2x2＋4x＋3＞0；
（2）我们还知道，如果a－b＞0，那么a＞b，运用这条性质，求证：不论x为何实数，多项式3x2－5x－1的值总大于2x2－4x－7的值.
证明：（2）∵3x2－5x－1－（2x2－4x－7）
＝3x2－5x－1－2x2＋4x＋7
＝x2－x＋6＝（x－）2＋5＞0，
∴多项式3x2－5x－1的值总大于2x2－4x－7的值.
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第5课时 解一元二次方程——公式法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ D ）
A.a＝3，b＝2，c＝3
B.a＝－3，b＝2，c＝3
C.a＝3，b＝2，c＝－3
D.a＝3，b＝－2，c＝3
D
2.方程x2－x－1＝0的根是（ B ）
A.x1＝，x2＝
B.x1＝，x2＝
C.x1＝，x2＝
D.没有实数根
3.下列方程有实数根的是（ C ）
A.x2＋2＝0 B.（2x＋1）2＋3＝0
C.x2－2x－5＝0 D. x2＋x＋3＝0
B
C
二、填空题
4.运用求根公式解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的前提条件是 b2－4ac≥0 .
5.已知方程x2－4x＝0，则b2－4ac＝ 16 .
6.把下列方程化成一般形式，并填空：
（1）将方程3x2－8＝7x化为一般形式是 3x2－7x－8＝0 ，则b2－4ac＝ 145 ；
（2） 将关于x的方程x2＝kx－2化为一般形式是 x2－kx＋2＝0 ，则b2－4ac＝ k2－8 .
b2－
4ac≥0
16
3x2－7x－8＝0
145
x2－kx＋2＝0
k2
－8
三、解答题
7.用公式法解下列方程：
（1）x2－2x－8＝0；
解：Δ＝（－2）2－4×1×（－8）＝36，
x＝＝1±3，
∴x1＝4，x2＝－2.
（2）x2＋2x－4＝0；
解：Δ＝22－4×1×（－4）＝20，
x＝＝－1±，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
（3）2x2－3x＋2＝0；
解：Δ＝（－3）2－4×2×2＝－7＜0，
∴方程没有实数解.
（4）3x（3x－2）＋1＝0；
解：方程整理得：9x2－6x＋1＝0，
Δ＝（－6）2－4×9×1＝0，
x＝＝，
∴x1＝x2＝.
（5）x2－x－1＝0；
解：方程整理得：3x2－x－2＝0，
Δ＝（－1）2－4×3×（－2）＝25，
x＝＝，
∴x1＝1，x2＝－.
（6）x2－2x＋2＝0.
解：Δ＝（－2）2－4×1×2＝0，
x＝＝，
∴x1＝x2＝.
8.长方体木箱的高是8dm，长比宽多5dm，体积是528dm3，求这个木箱的长和宽.
解：设长方体木箱的宽为xdm，则长为（x＋5）dm，
由题意得：8x（x＋5）＝528，
解得x1＝6，x2＝－11（不符合题意，舍去），
∴x＋5＝11dm，
答：这个木箱的长为11dm，宽为6dm.
一、选择题
9.若x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ D ）
A.m B.－m C.2m D.－2m
D
二、填空题
10.方程x2－2＋1＝0的实数根是 x＝±1 .
11.有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入a＝－6，则输出x的值为 无解 .
第11题图
x＝±1
无解
三、解答题
12.用公式法解关于x的方程：
（1）mx2－（3m＋1）x＋3＝0（m≠0）；
解：∵a＝m，b＝－（3m＋1），c＝3，
∴Δ＝（3m＋1）2－4·m·3＝（3m－1）2≥0，
∴x＝，
∴x1＝3，x2＝.
（2）x2－（2m＋1）x＋m2＋m－2＝0.
解：∵a＝1，b＝－（2m＋1），c＝m2＋m－2，
∴Δ＝（2m＋1）2－4×1×（m2＋m－2）＝9＞0，
∴x＝，
∴x1＝m＋2，x2＝m－1.
解答题
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.
第13题图
（1）若BC＝2，AC＝2，求AD的长；
解：（1）由题中作图可知BD＝BC＝2，
在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，
∴AB＝＝4，
∴AD＝AB－BD＝2，
∴AD的长为2；
（2）设BC＝a，AC＝b，
①线段AD的长是方程x2＋2ax－b2＝0的一个根吗？说明理由；
②若AD＝EC，求的值.
解：（2）①是，理由如下：
在Rt△ABC中，
AB＝＝，
∴AD＝－a，
解方程x2＋2ax－b2＝0，
得x＝＝±－a，
∴线段AD的长是方程x2＋2ax－b2＝0的一个根；
②∵AE＝AD＝EC，AC＝b，
∴AD＝b，∴AB＝b＋a，
在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2，
即a2＋b2＝（b＋a）2，
整理得b2＝ab，
∴＝.
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第6课时 专题求解一元二次方程
第22章 一元二次方程
解答题
1.根据要求解方程：
（1）x2＋3x－4＝0（公式法）；
解：∵a＝1，b＝3，c＝－4，
∴Δ＝32－4×1×（－4）＝25＞0，
∴x＝，
∴x1＝－4，x2＝1.
（2）x2＋4x－12＝0（配方法）；
解：∵x2＋4x－12＝0，
∴x2＋4x＝12，
∴（x＋2）2＝16，
∴x＋2＝±4，
∴x1＝－6，x2＝2.
（3）（x＋4）2＝7（x＋4）（因式分解法）；
解：∵（x＋4）2＝7（x＋4），
∴（x＋4）[（x＋4）－7]＝0，
∴x＋4＝0或x－3＝0，
∴x1＝3，x2＝－4.
（4）x2－2x－2＝0（公式法）；
解：∵a＝1，b＝－2，c＝－2，
∴Δ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12＞0，
∴x＝，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
（5）2（x－3）＝3x（x－3）（因式分解法）；
解：∵2（x－3）＝3x（x－3），
∴2（x－3）－3x（x－3）＝0，
∴（2－3x）（x－3）＝0，
∴2－3x＝0或x－3＝0，
∴x1＝，x2＝3.
（6）2x2－4x＋1＝0（配方法）.
解：方程整理得x2－2x＝－，
配方得x2－2x＋1＝－＋1，
即（x－1）2＝，
开方得x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
2.用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（2x－1）2＝25；
解：∵（2x－1）2＝25，
∴2x－1＝±5，
∴x1＝3，x2＝－2.
（2）3x2－6x－1＝0；
解：∵a＝3，b＝－6，c＝－1，
∴Δ＝（－6）2－4×3×（－1）＝48，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
（3）x2－4x－396＝0；
解：∵x2－4x－396＝0，
∴x2－4x＋4＝400，
∴（x－2）2＝400，
∴x－2＝±20，
∴x1＝22，x2＝－18.
（4）（2－3x）＋（3x－2）2＝0；
解：∵（2－3x）＋（3x－2）2＝0，
∴（2－3x）（1＋2－3x）＝0，
∴2－3x＝0或1＋2－3x＝0，
∴x1＝，x2＝1.
（5）（2x－1）2＝3x；
解：方程整理得：4x2－7x＋1＝0，
∵a＝4，b＝－7，c＝1，
∴Δ＝（－7）2－4×4×1＝33，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
（6）＝.
解：去分母并整理得：2x2－7x－2＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－2，
∴Δ＝（－7）2－4×2×（－2）＝65，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
解答题
3.解下列关于x的方程：
（1）ax2＋c＝0（a≠0）；
解：∵ax2＋c＝0（a≠0），
∴ax2＝－c，
∴x2＝－，
当ac＞0时，方程没有实数根；
当ac≤0时，x＝±.
（2）（2x＋1）2－3（2x＋1）＋2＝0；
解：分解因式得[（2x＋1）－1][（2x＋1）－2]＝0，
∴2x＋1－1＝0或2x＋1－2＝0，
∴x1＝0，x2＝.
（3）mx2－（4m－1）x＋3m－1＝0（m≠0）；
解：分解因式得[mx－（3m－1）]（x－1）＝0，
∴mx－（3m－1）＝0或x－1＝0，
∴x1＝，x2＝1.
（4）（）2＋5（）－6＝0；
解：设＝a，则原方程可化为a2＋5a－6＝0，
解得a1＝1（舍去），a2＝－6，
当a＝－6时，＝－6，解得x＝－，
经检验，x＝－是原方程的根.
解得y1＝0，y2＝－8，
当y＝0时，x2＋5x＝0，
解得x1＝0，x2＝－5；
当y＝－8时，x2＋5x＝－8，即x2＋5x＋8＝0，
∵Δ＝52－4×1×8＝－7＜0，
∴此方程无实数解，
综上所述，原方程的解为x1＝0，x2＝－5.
（5）（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7；
解：令y＝x2＋5x，
则原方程化为（y＋1）（y＋7）＝7，
整理，得y2＋8y＝0，
（6）3x2＋＋5x－＝20.
解：方程整理得3（x－）2＋5（x－）－2＝0，
设x－＝y，
方程变形为3y2＋5y－2＝0，
解得y1＝，y2＝－2，
∴x－＝或－2，
解得x＝或－3或1，
经检验，x＝或－3或1是分式方程的根.
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第7课时 一元二次方程根的判别式
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.一元二次方程x2＋2x＝0的根的判别式的值是（ A ）
A.4 B.2 C.0 D.－4
2.一元二次方程4x2－3x＋＝0根的情况是（ D ）
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
A
D
3.若关于x的方程x2＋6x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ C ）
A.0 B.－9 C.9 D.－6
4.关于x的一元二次方程（a－3）x2－4x－1＝0有实数根，则a的取值范围是（ A ）
A.a≥－1且a≠3 B.a＞－1且a≠3
C.a≠3 D.a≥－1
C
A
二、填空题
5.利用根的判别式，判断方程根的情况，首先将方程（x－2）（x－5）－16＝0化成一般形式是 x2－7x－6＝0 ，再求出判别式Δ＝ 73 ，则该方程根的情况是 有两个不相等的实数根 .
6.若关于x的一元二次方程x2－4x＋4＝m没有实数根，则m的取值范围是 m＜0 .
7.关于x的方程x2－2x＋a＝0有实数根，化简：－｜2－a｜＝ －1 .
x2－7x－6＝0
73
有
两个不相等的实数根
m＜0
－1
三、解答题
8.已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2－1＝0有实数根.
（1）求实数m的取值范围；
解：（1）由题意得Δ＝（2m－1）2－4（m2－1）≥0，
解得m≤；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解.
解：（2）由（1）得m的最大整数值为1，
原方程化为x2＋x＝0，
分解因式，得x（x＋1）＝0，
∴x1＝0，x2＝－1.
9.关于x的方程（m＋2）x2－4x＋1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
解：（1）由题意得m＋2≠0，
Δ＝（－4）2－4（m＋2）＞0，
解得m＜2且m≠－2；
（2）当m为正整数时，求方程的根.
解：（2）∵m＜2，m为正整数，
∴m＝1，
原方程可化为3x2－4x＋1＝0，
分解因式，得（3x－1）（x－1）＝0，
解得x1＝，x2＝1.
10.已知关于x的方程x2＋2x－a＋1＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋ax＋a＝0的根的情况.
解：∵关于x的方程x2＋2x－a＋1＝0没有实数根，
∴Δ＝4－4（－a＋1）＜0，
解得a＜0，
方程x2＋ax＋a＝0的根的判别式是：
Δ＝a2－4a＝a（a－4），
∵a＜0，∴a－4＜0，∴Δ＞0，
∴关于x的方程x2＋ax＋a＝0有两个不相等的实数根.
一、选择题
11.已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值为（ A ）
A.2 B.1
C.0 D.无法确定
A
二、填空题
12.（1）已知关于x的方程（1－2k）x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 0≤k＜1且k≠ ；
（2）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n＝mn＋m，如果关于x的方程x*（a*x）＝－1有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是 1 .
0≤k＜1且k≠
1
三、解答题
13.已知 ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的实数根.
（1）当m为何值时， ABCD是菱形？求出这时 ABCD的边长；
解：（1）∵ ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∴Δ＝m2－4（－）＝（m－1）2＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2－x＋＝0，
解得x1＝x2＝，
∴这时 ABCD的边长是；
（2）如果AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
解：（2）把x＝2代入原方程，
得22－2m＋－＝0，解得m＝，
把m＝代入原方程得x2－x＋1＝0，
解得x1＝2，x2＝，
∴C ABCD＝2×（2＋）＝5.
解答题
14.已知关于x的方程x2－（m＋3）x＋4m－4＝0.
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（1）证明：∵Δ＝[－（m＋3）]2－4（4m－4）＝（m－5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个的值为5，
①当b＝c时，
Δ＝（m－5）2＝0，解得m＝5，
∴原方程为x2－8x＋16＝0，
解得b＝c＝4，
∵b＋c＝4＋4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形，
∴△ABC的周长为4＋4＋5＝13；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
②当b、c中有一个的值为5时，
将x＝5代入原方程，
得25－5m－15＋4m－4＝0，解得m＝6，
∴原方程为x2－9x＋20＝0，
解得x1＝4，x2＝5，
∵4、5、5能构成三角形，
∴△ABC的周长为4＋5＋5＝14，
综上所述，△ABC的周长是13或14.
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第8课时 一元二次方程根与系数的关系（1）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.方程x2－6x＋5＝0的两个根之和为（ B ）
A.－6 B.6 C.－5 D.5
2.方程x2＋9x＋9＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2－x1x2＝（ A ）
A.－18 B.18 C.9 D.0
3.已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2＋2的值是（ A ）
A.5 B.6 C.7 D.8
4.已知x1、x2是方程2x2＝4x－1的两个实数根，则＋的值为（ D ）
A.17 B.6 C.5 D.3
B
A
A
D
二、填空题
5.（1）已知x1，x2是方程3x2－2x＋1＝0的两根，则x1x2＝ ；
（2）若α，β分别是方程x2－3x－6＝0的两实根，则的值是 －2 ；
（3）已知一元二次方程x2－4x－5＝0的两根分别是x1、x2，那么（1＋x1）（1＋x2）的值是 0 ；
（4）若方程x2－4x＋2＝0的两个根为x1，x2，则x1（1＋x2）＋x2的值为 6 .
－2
0
6
三、解答题
6.已知方程2x2－3x－4＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）＋；
（1）＋＝＝＝－；
（2）＋；
（2）＋＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝－2×（－2）＝；
解：∵方程2x2－3x－4＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－2，
（3）＋；
（3）＋＝＝＝；
（4）x1－x2.
（4）∵（x1－x2）2＝－2x1x2＋
＝（x1＋x2）2－4x1x2＝，
∴x1－x2＝±.
7.已知方程x2＋（1－）x－＝0的两个实数根为x1，x2，求＋的值.
解：∵x1、x2是原方程的两个实数根，
∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－，
∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝（－1）2－2×（－）＝3，
∴＋的值为3.
8.已知α，β是方程x2＋3x－2023＝0的两个根，求α2＋4α＋β的值.
解：∵α，β是方程x2＋3x－2023＝0的两个根，
∴α2＋3α＝2023，α＋β＝－3，
∴原式＝（α2＋3α）＋（α＋β）
＝2023－3
＝2020.
一、选择题
9.x1，x2是方程x2＋x＋k＝0的两个实数根，若＋x1x2＋＝2k2成立，则k的值为（ A ）
A.－1 B.或－1
C. D.－或1
A
二、填空题
10.（1）若x1，x2是关于x的方程x2－2x－5＝0的两根，则代数式－3x1－x2－6的值是 －3 ；
（2）已知方程2x2－7x－3＝0的两个根为x1，x2，则代数式（＋7x1＋3）（＋7x2＋3）＝ .
－3
三、解答题
11.若方程x2＋3x－1＝0的两根分别为α，β，已知点P（α2＋β2，＋）和Q（＋，α2＋β2），求直线PQ的解析式.
解：根据题意得α＋β＝－3，αβ＝－1，
∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ
＝（－3）2－2×（－1）＝11，
＋＝＝＝3，
＋＝＝＝－11，
∴P（11，3），Q（－11，11），
设直线PQ的解析式为y＝kx＋b，
把P（11，3），Q（－11，11）代入，
得，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝－x＋7.
解答题
12.阅读材料：
已知方程p2－p－1＝0，1－q－q2＝0且pq≠1，求的值.
解：由p2－p－1＝0，及1－q－q2＝0，可知p≠0，q≠0，
∵pq≠1，∴p≠，
1－q－q2＝0可变形为（）2－（）－1＝0，
根据p2－p－1＝0和（）2－（）－1＝0的特征，可知p、是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，
则p＋＝1，即＝1.
仿照材料所提供的方法，完成下列问题：
已知2m2－5m－1＝0，＋－2＝0且m≠n，求：
（1）mn的值；
（1）mn＝－；
解：∵＋－2＝0，
∴2n2－5n－1＝0，
根据2m2－5m－1＝0和2n2－5n－1＝0的特征，及m≠n，可知m、n是方程2x2－5x－1＝0的两个不相等的实数根，
则m＋n＝，mn＝－，
（2）原式＝
＝
＝29.
（2）＋的值.
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第9课时 一元二次方程根与系数的关系（2）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的一个根是1，则另一个根是（ A ）
A.5 B.－5 C.－6 D.－7
2.下列方程中，两根分别为2和3的方程是（ D ）
A.x2－x－6＝0 B.x2－6x＋5＝0
C.x2＋x－6＝0 D.x2－5x＋6＝0
3.关于x的方程x2＋（a2－2a）x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ B ）
A.2 B.0 C.1 D.2或0
A
D
B
二、填空题
4.已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1＋x2＝x1x2，则m的值为 0 .
5.若关于x的方程x2＋（a－1）x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝ －1 .
0
－1
三、解答题
6.已知关于x的方程x2－4x＋k＝0的一个根为2－，求k的值及方程的另外一个根.
解：设方程的另一个根是a，
∵方程x2－4x＋k＝0的一个根为2－，
∴由根与系数的关系得：
a＋2－＝4，（2－）a＝k，
解得：a＝2＋，k＝2，
即k＝2，方程的另外一个根是2＋.
7.已知关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根.
（1）求m的取值范围；
解：（1）∵方程 x2＋3x－m＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝32＋4m≥0，
解得：m≥－；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且＋＝11，求m的值.
解：（2）由题意得x1＋x2＝－3，x1x2＝－m，
∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝11，
∴（－3）2＋2m＝11，
解得：m＝1.
8.已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋3）x＋m2＋2＝0.
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
解：（1）由题意得Δ＝（2m＋3）2－4（m2＋2）≥0，
解得m≥－；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足＋＝31＋｜x1x2｜，求实数m的值.
解：（2）由题意得x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2，
∵x1x2＝m2＋2＞0，
∴＋＝31＋x1x2，
即（x1＋x2）2－3x1x2－31＝0，
∴（2m＋3）2－3（m2＋2）－31＝0，
整理得m2＋12m－28＝0，
解得m1＝－14，m2＝2，
∵m≥－，
∴m＝2.
一、选择题
9.已知x1、x2是方程x2－（k－2）x＋（k2＋3k＋5）＝0的两个实数根，则＋的最大值是（ B ）
A.19 B.18
C.5 D.以上答案都不对
B
二、填空题
10.写出一个以＋1，－1为两根的一元二次方程： x2－2x＋1＝0（答案不唯一） .
11.已知关于x的方程x2－kx＋k－2＝0 有两个正实数根，则k的取值范围是 k＞2 .
x2－2x＋1＝0（答案不
唯一）
k＞2
三、解答题
12.已知关于x的方程ax2＋（3－2a）x＋a－3＝0.
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根；
（1）证明：①当a＝0时，方程为3x－3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2＋（3－2a）x＋a－3＝0，
Δ＝（3－2a）2－4a（a－3）＝9＞0，
∴方程有实数根，
综上所述，无论a为何实数，方程总有实数根；
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当｜x1－x2｜＝时，求出a的值.
（2）解：∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵｜x1－x2｜＝，即＝，
∴＝，
解得a＝±2，
∴a的值是－2或2.
解答题
13.如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
解：（1）设方程x2＋mx＋n＝0（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则x1＋x2＝－m，x1x2＝n，
∴＋＝＝－，＝，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是x2＋x＋＝0（答案不唯一）；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
解：（2）①当a＝b时，原式＝2；
②当a≠b时，
∵a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，
∴a，b是x2－15x－5＝0的解，
∴a＋b＝15，ab＝－5，
∴＋＝＝＝－47；
（3）已知a、b、c满足a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值.
解：（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，
∴a＋b＝－c，ab＝，
∴a、b是方程x2＋cx＋＝0的解，
∴Δ＝c2－4×≥0，即c2－≥0，
∵c是正数，
∴c3－43≥0，∴c≥4，
∴正数c的最小值是4.
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第10课时 实践与探索（1）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1. 直角三角形的两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ A ）
A.5 B. C.7 D.
2.从一块正方形的木板上锯掉2dm宽的长方形木条，剩下的面积是48dm2，则原来这块木板的面积是（ B ）
A.100dm2 B.64dm2 C.121dm2 D.144dm2
A
B
3.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，若地毯中央长方形图案的面积为18m2，则花边的宽是（ B ）
A.2m B.1m C.1.5m D.0.5m
第3题图
B
二、填空题
4.有一面积为54cm2的矩形纸片，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长.设这个正方形的边长为xcm，根据题意，列出的方程是 （x＋5）（x＋2）＝54 .
5.如图，从一张矩形纸片ABCD的宽AD上找一点E，过点E剪下两个正方形，它们的边长分别为AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和为9，点E应选在何处？若AD＝6，设AE＝x，则可列方程为 x2＋（6－x）2＝9 .
（x＋5）（x＋2）＝54
x2＋（6－x）2＝9
第5题图
三、解答题
6.一张长为30cm，宽为20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长.
第6题图
解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm，
由题意，得：（30－2x）（20－2x）＝264，
整理，得：x2－25x＋84＝0，
解得x1＝4，x2＝21（不符合题意，舍去），
答：剪掉的正方形纸片的边长为4cm.
7.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.
第7题图
解：设BC边的长为x（0＜x≤16）米，
则AB＝CD＝米，
根据题意得：·x＝120，
解得x1＝12，x2＝20（舍），
答：该矩形草坪BC边的长为12米.
一、填空题
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1cm2，矩形PDFE的面积为S2cm2，运动时间为ts，则当t＝ 6 时，S1＝2S2.
第8题图
6
二、解答题
9.如图，在Rt△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上从点B运动到点C（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上从点C运动到点A（不包括点A），速度为5cm/s，连接PQ.若点P，Q分别从点B，C同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，设运动时间为ts，请解答下列问题，并写出探索的主要过程.
（1）当t为何值时，PQ的长为5cm？
第9题图
解：（1）由题意得BP＝2tcm，CQ＝5tcm，
∴PC＝（7－2t）cm，
由勾股定理得PC2＋CQ2＝PQ2，
即（7－2t）2＋（5t）2＝（5）2，
解得t＝1或－（舍去），
答：当t＝1时，PQ的长为5cm；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
解：（2）∵S△PCQ＝15cm2，PC＝（7－2t）cm，CQ＝5tcm，
∴·（7－2t）·5t＝15，
解得t1＝2，t2＝1.5，
答：当t＝1.5或2时，△PCQ的面积为15cm2.
解答题
10.如图，有一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮.
图1 图2
第10题图
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，若设切去正方形的边长为xcm，则可列方程为 ；
解：（1）若切去正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30－2x）cm，宽（12－2x）cm的矩形，
依题意，得（30－2x）（12－2x）＝144，
故答案为：（30－2x）（12－2x）＝144；
解：（2）能，
设切去正方形的边长为ycm，则折成的有盖盒子的底面为长（－y）cm，宽（12－2y）cm的矩形，
依题意，得（－y）（12－2y）＝104，
整理，得y2－21y＋38＝0，
解得y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），
∴盒子的体积为104×2＝208cm3，
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，该盒子的体积为208cm3.
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由.
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第11课时 实践与探索（2）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.若三个连续正整数相加的和等于这三个数相乘的积，则它们的和为（ A ）
A.6 B.9 C.12 D.3
2.某市2022年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，预计到2024年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列方程为（ B ）
A.300（1＋x）＝363 B.300（1＋x）2＝363
C.300（1＋2x）＝363 D.363（1－x）2＝300
A
B
3.某品牌洗衣机经过两次降价，由每台1000元降至每台810元，则平均每次降价的百分率为（ D ）
A.25% B.20% C.15% D.10%
4.有若干个球队参加排球比赛，赛制为单循环制比赛（即每两个队只比赛一场），若总共比赛45场，则参加比赛的队伍有（ C ）
A.8个 B.9个 C.10个 D.11个
5.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，设每轮传染中平均1个人传染了x人，则x的值为（ B ）
A.5 B.6 C.7 D.8
D
C
B
二、填空题
6.“绿水青山就是金山银山”，为了山更绿、水更清，某区大力发展林业产业，确保到2024年实现全区森林覆盖率达到72.6%的目标.已知该区2022年全区森林覆盖率为60%，设从2022年起该区森林覆盖率年平均增长率为x，则x＝ 10% .
7.某店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该店每天销售利润为1200元？若设每件商品降价x元，可列方程为 （40－x）（20＋2x）＝1200 .
10%
（40－x）（20＋2x）＝1200
三、解答题
8.某单位开展了为边远山区捐款的活动.已知第一天收到10000元捐款，第三天收到12100元捐款.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求收到捐款的增长率；
解：（1）设收到捐款的增长率为x，
根据题意，得10000×（1＋x）2＝12100，
解得x1＝0.1，x2＝－2.1（不合题意，舍去），
答：收到捐款的增长率为10%；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率不变，该单位前三天一共能收到多少捐款？
解：（2）第二天收到的捐款为：
10000×（1＋10%）＝11000元，
该单位前三天一共能收到的捐款为：
10000＋11000＋12100＝33100元，
答：该单位前三天一共能收到33100元捐款.
9.某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克.该专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
解：设每千克特产应降价x元，则平均每天的销售量为（100＋10x）千克，
依题意，得（60－x－40）（100＋10x）＝2240，
整理得：x2－10x＋24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵销售量尽可能大，∴x＝6，
∴每千克特产定价为60－x＝54元，
答：每千克特产应定价为54元.
一、填空题
10.如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10.若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 24 .
第10题图
24
二、解答题
11.某商场销售一种商品，在一段时间内，该商品的销售量y（千克）与每千克的销售价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，其中30≤x≤80.
（1）求y与x之间的函数关系式；
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），其中30≤x≤80，
由图象得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋100（30≤x≤80）；
第11题图
（2）若该种商品每千克的成本为30元，当每千克的销售价为多少元时，获得的利润为600元？
解：（2）∵y＝－x＋100，
∴（x－30）（－x＋100）＝600，
即x2－130x＋3600＝0，
解得x1＝40，x2＝90，
∵30≤x≤80，∴x＝40，
第11题图
答：当每千克的销售价为40元时，获得的利润为600元.
解答题
12.某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品每件20元，乙商品每件40元，该商店第一周内共销售甲、乙两种商品500件，销售总额为14700元.
（1）求第一周销售甲、乙两种商品各多少件？
解：（1）设第一周销售甲商品x件，乙商品y件，
由题意得：，解得，
答：第一周销售甲商品265件，乙商品235件；
（2）第二周商店决定将甲商品每件降价a%出售，乙商品每件降价a%出售，价格调整后，这周内甲商品的销量增加了15件，乙商品销量不变，销售总额为12850元，求a的值.
解：（2）由题意得：（265＋15）×20（1－a%）＋235×40（1－a%）＝12850，解得a＝30，
答：a的值为30.
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第12课时 复习巩固
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.下列方程是一元二次方程的是（ D ）
A.（x－3）x＝x2＋2 B.ax2＋bx＋c＝0
C.3x2－＋2＝0 D.2x2＝1
2.一元二次方程3x2＝2x－2的根的情况是（ C ）
A.无实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
D
C
3.把方程x2＋x＋4＝0左边配成一个完全平方式后， 所得方程是（ B ）
A.（x＋）2＝ B.（x＋）2＝－
C.（x＋）2＝ D.（x＋）2＝－
4.若2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是（ A ）
A.1 B.3－ C.1＋ D.2－
5.某厂生产一种药品，原来每瓶的成本是100元，由于提高生产过程的科技含量，连续两次降低成本，现在每瓶的成本是81元，则平均每次降低成本（ D ）
A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%
B
A
D
二、填空题
6.用公式法解某一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 3x2＋5x＋1＝0 .
7.已知x＝m是关于x的一元二次方程x2＋3x－1＝0的根，则＝ 4 .
8.关于x的方程x2－7x＋2m＝0的一个根是另一个根的2.5倍，则m的值为 5 .
9.已知关于x的方程x2－6x＋8－t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1－2）（x2－2）＝－6，则t＝ 6 .
3x2
＋5x＋1＝0
4
5
6
10.如图，有一张长10cm，宽6cm的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程，化为一般形式为 4x2－32x＋28＝0 .
第10题图
4x2－32x＋28＝0
三、解答题
11.解方程：
（1）x2＋2x＝3；
解：移项，得x2＋2x－3＝0，
分解因式，得（x＋3）（x－1）＝0，
可得x＋3＝0或x－1＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.
（2）3x2－12x＋7＝0；
解：∵a＝3，b＝－12，c＝7，
∴Δ＝（－12）2－4×3×7＝60，
∴x＝＝，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
（3）2（x－1）2＝3x－3.
解：∵2（x－1）2＝3x－3，
∴2（x－1）2＝3（x－1），
∴（x－1）（2x－2－3）＝0，
∴x－1＝0或2x－2－3＝0，
∴x1＝1，x2＝.
一、填空题
12.（1）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，其中b＝4，如果a，c是关于y的一元二次方程y2－6y＋n＝0的两个根，那么n的值是 8或9 ；
（2）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2023＝ 2034 .
13.某产品每件的生产成本为50元，原定销售价格为65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%.若要使半年以后每件的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 65×（1－10%）×（1＋5%）－50（1－x）2＝65－50 .
8或9
2034
65×（1
－10%）×（1＋5%）－50（1－x）2＝65－50
二、解答题
14.某文具店今年1月份购进一批笔记本，共2290本，每本进价为10元，该文具店决定从2月份开始进行销售，若每本售价为11元，则2月份可全部售出；且每本售价每增长0.5元，销量就减少15本.
（1）若该种笔记本在2月份的销量不低于2200本，则2月份每本售价应不高于多少元？
解：（1）设2月份每本售价为x元，
依题意得：2290－15（x－11）÷0.5≥2200，
解得x≤14，
答：2月份每本售价应不高于14元；
（2）由于生产商提高造纸工艺，该笔记本的进价提高了10%，文具店为了增加笔记本的销量，进行了销售调整，售价比2月份在（1）的条件下的最高售价减少了m%，结果3月份的销量比2月份在（1）的条件下的最低销量增加了m%，3月份的销售利润达到6600元，求m的值.
解：（2）由题意，得：[14（1－m%）－10×（1＋10%）]×2200（1＋m%）＝6600，
令m%＝t，则（3－2t）（1＋t）＝3，
解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝0.5，
∴m＝50，
答：m的值是50.
解答题
15.已知x1，x2是一元二次方程（a－6）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根.
（1）求a的取值范围；
解：（1）由题意得，，
解得a≥0且a≠6；
（2）求使代数式（x1＋1）（x2＋1）的值为负整数的实数a的整数值；
解：（2）x1＋x2＝－，x1x2＝，
∵（x1＋1）（x2＋1）＝x1＋x2＋x1x2＋1
＝－＋＋1＝为负整数，
∴6－a是6的约数，且6－a＜0，
∴6－a＝－1或－2或－3或－6，
∴a＝7或8或9或12；
解：（3）∵b＝＋＋50，
∴a＝5，b＝50，
∴原方程化为－x2＋10x＋5＝0，
∴x1＋x2＝10，x1x2＝－5，＝10x1＋5，
∴原式＝·x1＋10＋5x2－50
＝（10x1＋5）x1＋10＋5x2－50
＝10（＋）＋5（x1＋x2）－50
＝10（x1＋x2）2－20x1x2＋5（x1＋x2）－50
＝10×102－20×（－5）＋5×10－50
＝1100.
（3）如果实数a，b满足b＝＋＋50，试求代数式＋10＋5x2－b的值.
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第1课时 一元二次方程
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.下列方程是一元二次方程的是（ B ）
A.（x－1）（x－3）＝x2－1
B.x2－2x＝2x2－1
C.ax2＋bx＋c＝0
D.x＋＝2
B
2.将关于x的一元二次方程x（x＋2）＝5化成一般形式后，a，b，c的值分别是（ D ）
A.1，2，5 B.1，－2，－5
C.1，－2，5 D.1，2，－5
D
3.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式3m2－3m＋4的值为（ C ）
A.－1 B.5 C.7 D.－3
C
4.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的1000元降到640元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ D ）
A.1000（1＋x）2＝640
B.640（1＋x）2＝1000
C.640（1－x）2＝1000
D.1000（1－x）2＝640
D
二、填空题
5.若方程mx2＋3x－4＝2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠2 .
6.m是方程x2－6x－5＝0的一个根，则代数式11＋6m－m2的值是 6 .
m≠2
6
三、解答题
7.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）8x2－3＝5x；
解：8x2－5x－3＝0，
二次项系数是8，一次项系数是－5，常数项是－3.
（2）4－7x2－11x＝0；
解：－7x2－11x＋4＝0，
二次项系数是－7，一次项系数是－11，常数项是4.
（3）3y（y＋1）＝7（y＋2）－5；
解：3y2＋3y＝7y＋14－5，
3y2－4y－9＝0，
二次项系数是3，一次项系数是－4，常数项是－9.
（4）（t＋）（t－）＋（t－2）2＝7－5t；
解：t2－t＋t2－4t＋4＝7－5t，
2t2－3＝0，
二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是－3.
（5）（5x－1）2＝4（x－3）2.
解：25x2－10x＋1＝4x2－24x＋36，
21x2＋14x－35＝0，
二次项系数是21，一次项系数是14，常数项是－35.
8.一元二次方程a（x2＋1）＋b（x＋2）＋c＝0化为一般形式后为6x2＋10x－1＝0，求以a、b为两条对角线长的菱形的面积.
解：原方程可化为ax2＋a＋bx＋2b＋c＝0，
即ax2＋bx＋a＋2b＋c＝0，
∵原方程的一般形式为6x2＋10x－1＝0，
∴a＝6，b＝10，
∴S菱形＝×6×10＝30.
一、选择题
9.若方程（m－1）－（m＋1）x－2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ D ）
A.0 B.±1 C.1 D.－1
10.已知关于x的一元二次方程（m－3）x2＋5x＋m2－9＝0有一个解是x＝0，则m的值为（ A ）
A.－3 B.±3
C.3 D.不能确定
D
A
二、解答题
11.（1）已知a是方程x2－3x－2＝0的一个根，试求a3－2a2－5a＋4的值；
解：∵a是方程x2－3x－2＝0的一个根，
∴a2＝3a＋2，a2－3a＝2，
∴原式＝a（3a＋2）－2（3a＋2）－5a＋4
＝3a2＋2a－6a－4－5a＋4
＝3a2－9a＝3×2＝6.
（2）若a是方程x2－2023x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2024a＋的值.
解：把x＝a代入方程，可得：a2－2023a＋1＝0，
∴a2－2023a＝－1，a2＋1＝2023a，
∴a2－2024a＝－a－1，
∴a2－2024a＋＝－a－1＋＝－1，
即a2－2024a＋＝－1.
解答题
12.已知a、b为实数，关于x的方程x2－（a－1）x＋b＋3＝0的一个实根为a＋1.
（1）用含a的代数式表示b；
解：（1）∵关于x的方程x2－（a－1）x＋b＋3＝0的一个实根为a＋1，
∴（a＋1）2－（a－1）（a＋1）＋b＋3＝0，
整理得：b＝－2a－5；
（2）求代数式b2－4a2＋10b的值.
解：（2）由（1）得：b＋2a＝－5，
∴b2－4a2＋10b＝（b＋2a）（b－2a）＋10b＝－5（b－2a）＋10b＝5b＋10a＝5（b＋2a）＝－25，
∴代数式b2－4a2＋10b的值是－25.
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第2课时 解一元二次方程——直接开平方法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.方程x2＝2的解是（ C ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝± D.x＝±4
2.方程2x2＝8的根为（ C ）
A.2 B.－2
C.±2 D.没有实数根
C
C
3.方程（x＋1）2＝4的解是（ D ）
A.x1＝2，x2＝－2 B.x1＝3，x2＝－3
C.x1＝1，x2＝－2 D.x1＝1，x2＝－3
D
二、填空题
4.方程4x2－1＝0的解是 x＝± .
5.方程4x2＋1＝0的解是 没有实数解 .
x＝±
没有实数解
三、解答题
6.解方程：
（1）x2＋4＝12；
解：∵x2＋4＝12，
∴x2＝8，
∴x＝±2.
（2）25x2－36＝0；
解：由原方程，得x2＝，
则x＝±.
（3）x2－5＝；
解：∵x2－5＝，
∴x2＝，
解得x1＝，x2＝－.
（4）x－2x2＝（x－3）（x＋4）.
解：∵x－2x2＝（x－3）（x＋4），
∴x－2x2＝x2＋x－12，
整理，得3x2＝12，
两边除以3，得x2＝4，
解得x1＝2，x2＝－2.
7.解方程：
（1）（x－1）2＝4；
解：∵（x－1）2＝4，
∴x－1＝±2，
解得x1＝3，x2＝－1.
（2）（6x－1）2－25＝0；
解：∵（6x－1）2－25＝0，
∴（6x－1）2＝25，
∴6x－1＝±5，
解得x1＝1，x2＝－.
（3）4（2x－1）2－36＝0；
解：∵4（2x－1）2－36＝0，
∴（2x－1）2＝9，
∴2x－1＝±3，
解得x1＝2，x2＝－1.
（4）（3x＋1）2＝64.
解：∵（3x＋1）2＝64，
∴（3x＋1）2＝256，
∴3x＋1＝±16，
解得x1＝－，x2＝5.
8.在实数范围内定义一种新运算“★”，规定：a★b＝a2－b2，求方程（x＋2）★5＝0的解.
解：∵（x＋2）★5＝0，
∴（x＋2）2－52＝0，
∴（x＋2）2＝52，
∴x＋2＝±5，
∴x1＝3，x2＝－7.
一、选择题
9.方程x2＝4｜x｜的解为（ D ）
A.x＝±4 B.x＝0或4
C.x＝4 D.x＝±4或0
D
二、解答题
10.已知一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m－4.
（1）求m的值；
（1）∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m－4，
∴m＋1＋2m－4＝0，
解得m＝1；
（2）求的值.
解：∵ax2＝b，∴x2＝，
解得x＝±，即方程的两根互为相反数，
（2）当m＝1时，m＋1＝2，2m－4＝－2，
∵x＝±，一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m－4，
∴＝22＝4.
11.若2（x2＋3）的值与3（1－x2）的值互为相反数，求的值.
解：根据题意得2（x2＋3）＋3（1－x2）＝0，
整理得x2＝9，
∴x1＝3，x2＝－3，
当x＝3时，＝＝；
当x＝－3时，＝＝0.
解答题
12.对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如：max{1，2}＝2.
（1）请直接写出max{－，－}＝ ；
解：（1）∵＜，
∴－＞－，
∴max{－，－}＝－，
故答案为：－；
（2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决问题：若max{（x－1）2，x2}＝4，求x的值.
解：（2）（x－1）2－x2＝－2x＋1，
当－2x＋1＝0，即x＝0.5时，（x－1）2＝x2＝0.25≠4，不符合题意；
当－2x＋1＜0，即x＞0.5时，（x－1）2＜x2，
则x2＝4，
解得x＝2或－2（舍）；
当－2x＋1＞0，即x＜0.5时，（x－1）2＞x2，
则（x－1）2＝4，
解得x＝－1或3（舍），
综上所述，x的值为2或－1.
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第3课时 解一元二次方程——因式分解法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.（1）方程（x－5）（x＋2）＝0的解是（ D ）
A.x＝5 B.x＝－2
C.x1＝－5，x2＝2 D.x1＝5，x2＝－2
（2）方程x2－5x＝0的解是（ C ）
A.x＝5 B.x1＝5，x2＝－5
C.x1＝5，x2＝0 D.x＝0
（3）一元二次方程x2＝x的实数根是（ A ）
A.0或1 B.0 C.1 D.±1
D
C
A
（4）方程2x（x－5）＝6（x－5）的根是（ D ）
A.x＝5 B.x＝－5
C.x1＝－5，x2＝3 D.x1＝5，x2＝3
（5）一元二次方程x（x＋1）－x＝1的根是（ C ）
A.x1＝x2＝－1 B.x1＝x2＝1
C.x1＝1，x2＝－1 D.x1＝x2＝0
D
C
2.已知三角形的两条边长分别是2和4，第三边长是方程x2－9x＋18＝0的根，则这个三角形的周长为（ B ）
A.9或12 B.9
C.12 D.不能确定
3.若三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程x2－5x＝7（x－5）的根，则此三角形的周长为（ A ）
A.12 B.14
C.12或14 D.13或15
B
A
二、填空题
4.（1）方程x2＝x的根是 x1＝0，x2＝ ；
（2）一元二次方程（x－2）2＝5（x－2）的根为 x1＝2，x2＝7 ；
（3）一元二次方程x（x－3）＝3－x的根是 x1＝3，x2＝－1 ；
（4）一元二次方程2x＋6＝（x＋3）2的解为 x1＝－3，x2＝－1 .
x1＝0，x2＝
x1＝2，x2＝7
x1＝3，x2＝－1
x1＝－3，x2＝－1
三、解答题
5.解方程：
（1）x2－4x－5＝0；
解：分解因式得：（x－5）（x＋1）＝0，
∴x－5＝0或x＋1＝0，
∴x1＝5，x2＝－1.
（2）x2＋x－2＝0；
解：分解因式得：（x－1）（x＋2）＝0，
∴x－1＝0或x＋2＝0，
∴x1＝1，x2＝－2.
（3）2x2－3x－5＝0；
解：分解因式得：（2x－5）（x＋1）＝0，
∴2x－5＝0或x＋1＝0，
∴x1＝，x2＝－1.
（4）3x（x－1）＝2（x－1）.
解：移项，得3x（x－1）－2（x－1）＝0，
提公因式，得（x－1）（3x－2）＝0，
∴x－1＝0或3x－2＝0，
∴x1＝1，x2＝.
6.先化简，再求值：÷（x＋1－），其中x的值是一元二次方程x2＋2x－3＝0的解.
解：原式＝÷
＝·
＝，
解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，
∵当x＝1时，原分式没有意义，
∴x＝－3，
当x＝－3时，原式＝＝－1.
一、选择题
7.已知（x2＋2x－3）0＝x2－3x＋3，则x的值为（ A ）
A.2 B.1或2
C.1 D.－1或－2
A
二、填空题
8.若（x2＋y2）2－2（x2＋y2）－3＝0，则x2＋y2＝ 3 .
3
三、解答题
9.解方程：
（1）（x－3）2＋2x（x－3）＝0；
解：∵（x－3）2＋2x（x－3）＝0，
∴（x－3）（x－3＋2x）＝0，
∴x－3＝0或3x－3＝0，
∴x1＝3，x2＝1.
（2）4（2x＋1）2－4（2x＋1）＝0；
解：∵4（2x＋1）2－4（2x＋1）＝0，
∴（2x＋1）（2x＋1－1）＝0，
∴2x＋1＝0或2x＋1－1＝0，
∴x1＝－，x2＝0.
（3）（x－1）2－3（x－1）－4＝0；
解：分解因式得：（x－1－4）（x－1＋1）＝0，
∴x－1－4＝0或x－1＋1＝0，
∴x1＝5，x2＝0.
（4）4（x＋2）2＝（3x－1）2.
解：∵4（x＋2）2＝（3x－1）2，
∴4（x＋2）2－（3x－1）2＝0，
∴[2（x＋2）＋（3x－1）][2（x＋2）－（3x－1）]＝0，
∴（5x＋3）（－x＋5）＝0，
解得x1＝5，x2＝－.
10.已知等腰△ABC的一边a＝2，若另两边b、c的长恰好是关于x的一元二次方程x2－（k＋3）x＋3k＝0的两个根，求△ABC的周长.
解：∵x2－（k＋3）x＋3k＝0，
∴（x－3）（x－k）＝0，
解得x1＝3，x2＝k，
当b＝c，即k＝3时，
C△ABC＝2＋3＋3＝8；
当b＝2，c＝3或b＝3，c＝2，即k＝2时，
C△ABC＝2＋2＋3＝7，
综上所述，△ABC的周长是8或7.
解答题
11.阅读例题：
解方程：x2－｜x｜－2＝0.
解：原方程化为｜x｜2－｜x｜－2＝0，
令y＝｜x｜，则y2－y－2＝0，
即（y－2）（y＋1）＝0，
解得y1＝2，y2＝－1，
当｜x｜＝2时，x＝±2；
当｜x｜＝－1时，不合题意，舍去，
∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
仿照上例解方程：（x－1）2－5｜x－1｜－6＝0.
解：原方程化为｜x－1｜2－5｜x－1｜－6＝0，
令y＝｜x－1｜，则y2－5y－6＝0，
即（y－6）（y＋1）＝0，
解得y1＝6，y2＝－1，
当｜x－1｜＝6时，可得x－1＝6或－6，
解得x1＝7，x2＝－5；
当｜x－1｜＝－6时，无解，
∴原方程的解为x1＝7，x2＝－5.
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第4课时 解一元二次方程——配方法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.用配方法解一元二次方程x2－8x＋13＝0，变形正确的是（ C ）
A.（x－5）2＝－13 B.（x－4）2＝－13
C.（x－4）2＝3 D.（x－8）2＝3
2.把方程x2＋3＝4x配方得（ C ）
A.（x－2）2＝7 B.（x＋2）2＝21
C.（x－2）2＝1 D.（x＋2）2＝2
C
C
3.用配方法解方程2x2－8x－3＝0时，原方程可变形为（ B ）
A.（x－2）2＝－ B.（x－2）2＝
C.（x＋2）2＝7 D.（x－2）2＝7
B
二、填空题
4.（1）x2＋6x＋ 9 ＝（x＋ 3 ）2；
（2）x2＋x＋ ＝（x＋ ）2；
（3）x2－2ax＋ a2 ＝（x －a ）2；
（4）x2 ±2 x＋3＝（x ± ）2.
5.用配方法解方程x2＋x－＝0时，可配方为[（x＋1）2＋k]＝0，其中k＝ －6 .
6.用配方法解方程2x2＋x－2＝0，配方后得到方程为 （x＋）2＝ .
9
3
a2
－a
±2
±
－6
（x＋）2＝
三、解答题
7.解方程：
（1）x2－2x－6＝0；
解：∵x2－2x－6＝0，
∴x2－2x＝6，
∴x2－2x＋1＝6＋1，
即（x－1）2＝7，
∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
（2）x2－6x－5＝0；
解：∵x2－6x－5＝0，
∴x2－6x＝5，
∴x2－6x＋32＝5＋32，
即（x－3）2＝14，
∴x－3＝±，
∴x1＝3－，x2＝3＋.
（3）x2－5x＋2＝0.
解：∵x2－5x＋2＝0，
∴x2－5x＝－2，
∴x2－5x＋（－）2＝－2＋（－）2，
即（x－）2＝，
∴x－＝±，
∴x1＝，x2＝.
8.解方程：
（1）2x2－8x－1＝0；
解：方程整理得：x2－4x＝，
配方得：x2－4x＋22＝＋22，
即（x－2）2＝，
开方得：x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
（2）x2－4x－＝0；
解：方程整理得：x2－x＝1，
配方得：x2－x＋（）2＝1＋（）2，
即（x－）2＝，
开方得：x－＝±，
∴x1＝3，x2＝－.
（3）（x＋1）（2x－3）＝1.
解：方程整理得：x2－x＝2，
配方得：x2－x＋（）2＝2＋（）2，
即（x－）2＝，
开方得：x－＝±，
∴x1＝，x2＝.
一、选择题
9.解关于x的方程（x＋m）2＝n，下列说法正确的是（ B ）
A.有两个解，x＝±
B.当n≥0时，有两个解，x＝±－m
C.当n≥0时，有两个解，x＝±
D.当n≤0时，方程无实数解
B
二、填空题
10.代数式2x2－4xy＋5y2－12x＋20的最小值是 －10 .
－10
三、解答题
11.利用配方法解方程：x2＋6x＋m＝0.（m为任意实数）
解：方程变形得：x2＋6x＝－m，
配方得：x2＋6x＋9＝9－m，
即（x＋3）2＝9－m，
当9－m≥0，即m≤9时，x＋3＝±，
解得x1＝－3＋，x2＝－3－；
当9－m＜0，即m＞9时，方程没有实数解.
12.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1836cm2，求金色纸边的宽.
第12题图
解：设金色纸边的宽为xcm，
由题意得：（50＋2x）（30＋2x）＝1836，
即x2＋40x－84＝0，
解得x1＝－42（不合题意，舍去），x2＝2，
答：金色纸边的宽为2cm.
解答题
13.我们知道：对于任何实数x，
①∵x2≥0，∴x2＋1＞0；
②∵（x－1）2≥0，
∴x2－2x＋＝（x－1）2＋＞0.
仿照上述方法解答下列问题：
（1）求证：对于任何实数x，总有2x2＋4x＋3＞0；
证明：（1）2x2＋4x＋3
＝2（x2＋2x）＋3
＝2（x2＋2x＋1）＋1
＝2（x＋1）2＋1，
∵对于任何实数x，（x＋1）2≥0，
∴2（x＋1）2＋1＞0，
∴2x2＋4x＋3＞0；
（2）我们还知道，如果a－b＞0，那么a＞b，运用这条性质，求证：不论x为何实数，多项式3x2－5x－1的值总大于2x2－4x－7的值.
证明：（2）∵3x2－5x－1－（2x2－4x－7）
＝3x2－5x－1－2x2＋4x＋7
＝x2－x＋6＝（x－）2＋5＞0，
∴多项式3x2－5x－1的值总大于2x2－4x－7的值.
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第5课时 解一元二次方程——公式法
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ D ）
A.a＝3，b＝2，c＝3
B.a＝－3，b＝2，c＝3
C.a＝3，b＝2，c＝－3
D.a＝3，b＝－2，c＝3
D
2.方程x2－x－1＝0的根是（ B ）
A.x1＝，x2＝
B.x1＝，x2＝
C.x1＝，x2＝
D.没有实数根
3.下列方程有实数根的是（ C ）
A.x2＋2＝0 B.（2x＋1）2＋3＝0
C.x2－2x－5＝0 D. x2＋x＋3＝0
B
C
二、填空题
4.运用求根公式解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的前提条件是 b2－4ac≥0 .
5.已知方程x2－4x＝0，则b2－4ac＝ 16 .
6.把下列方程化成一般形式，并填空：
（1）将方程3x2－8＝7x化为一般形式是 3x2－7x－8＝0 ，则b2－4ac＝ 145 ；
（2） 将关于x的方程x2＝kx－2化为一般形式是 x2－kx＋2＝0 ，则b2－4ac＝ k2－8 .
b2－
4ac≥0
16
3x2－7x－8＝0
145
x2－kx＋2＝0
k2
－8
三、解答题
7.用公式法解下列方程：
（1）x2－2x－8＝0；
解：Δ＝（－2）2－4×1×（－8）＝36，
x＝＝1±3，
∴x1＝4，x2＝－2.
（2）x2＋2x－4＝0；
解：Δ＝22－4×1×（－4）＝20，
x＝＝－1±，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
（3）2x2－3x＋2＝0；
解：Δ＝（－3）2－4×2×2＝－7＜0，
∴方程没有实数解.
（4）3x（3x－2）＋1＝0；
解：方程整理得：9x2－6x＋1＝0，
Δ＝（－6）2－4×9×1＝0，
x＝＝，
∴x1＝x2＝.
（5）x2－x－1＝0；
解：方程整理得：3x2－x－2＝0，
Δ＝（－1）2－4×3×（－2）＝25，
x＝＝，
∴x1＝1，x2＝－.
（6）x2－2x＋2＝0.
解：Δ＝（－2）2－4×1×2＝0，
x＝＝，
∴x1＝x2＝.
8.长方体木箱的高是8dm，长比宽多5dm，体积是528dm3，求这个木箱的长和宽.
解：设长方体木箱的宽为xdm，则长为（x＋5）dm，
由题意得：8x（x＋5）＝528，
解得x1＝6，x2＝－11（不符合题意，舍去），
∴x＋5＝11dm，
答：这个木箱的长为11dm，宽为6dm.
一、选择题
9.若x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ D ）
A.m B.－m C.2m D.－2m
D
二、填空题
10.方程x2－2＋1＝0的实数根是 x＝±1 .
11.有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入a＝－6，则输出x的值为 无解 .
第11题图
x＝±1
无解
三、解答题
12.用公式法解关于x的方程：
（1）mx2－（3m＋1）x＋3＝0（m≠0）；
解：∵a＝m，b＝－（3m＋1），c＝3，
∴Δ＝（3m＋1）2－4·m·3＝（3m－1）2≥0，
∴x＝，
∴x1＝3，x2＝.
（2）x2－（2m＋1）x＋m2＋m－2＝0.
解：∵a＝1，b＝－（2m＋1），c＝m2＋m－2，
∴Δ＝（2m＋1）2－4×1×（m2＋m－2）＝9＞0，
∴x＝，
∴x1＝m＋2，x2＝m－1.
解答题
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.
第13题图
（1）若BC＝2，AC＝2，求AD的长；
解：（1）由题中作图可知BD＝BC＝2，
在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，
∴AB＝＝4，
∴AD＝AB－BD＝2，
∴AD的长为2；
（2）设BC＝a，AC＝b，
①线段AD的长是方程x2＋2ax－b2＝0的一个根吗？说明理由；
②若AD＝EC，求的值.
解：（2）①是，理由如下：
在Rt△ABC中，
AB＝＝，
∴AD＝－a，
解方程x2＋2ax－b2＝0，
得x＝＝±－a，
∴线段AD的长是方程x2＋2ax－b2＝0的一个根；
②∵AE＝AD＝EC，AC＝b，
∴AD＝b，∴AB＝b＋a，
在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2，
即a2＋b2＝（b＋a）2，
整理得b2＝ab，
∴＝.
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第6课时 专题求解一元二次方程
第22章 一元二次方程
解答题
1.根据要求解方程：
（1）x2＋3x－4＝0（公式法）；
解：∵a＝1，b＝3，c＝－4，
∴Δ＝32－4×1×（－4）＝25＞0，
∴x＝，
∴x1＝－4，x2＝1.
（2）x2＋4x－12＝0（配方法）；
解：∵x2＋4x－12＝0，
∴x2＋4x＝12，
∴（x＋2）2＝16，
∴x＋2＝±4，
∴x1＝－6，x2＝2.
（3）（x＋4）2＝7（x＋4）（因式分解法）；
解：∵（x＋4）2＝7（x＋4），
∴（x＋4）[（x＋4）－7]＝0，
∴x＋4＝0或x－3＝0，
∴x1＝3，x2＝－4.
（4）x2－2x－2＝0（公式法）；
解：∵a＝1，b＝－2，c＝－2，
∴Δ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12＞0，
∴x＝，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
（5）2（x－3）＝3x（x－3）（因式分解法）；
解：∵2（x－3）＝3x（x－3），
∴2（x－3）－3x（x－3）＝0，
∴（2－3x）（x－3）＝0，
∴2－3x＝0或x－3＝0，
∴x1＝，x2＝3.
（6）2x2－4x＋1＝0（配方法）.
解：方程整理得x2－2x＝－，
配方得x2－2x＋1＝－＋1，
即（x－1）2＝，
开方得x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
2.用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（2x－1）2＝25；
解：∵（2x－1）2＝25，
∴2x－1＝±5，
∴x1＝3，x2＝－2.
（2）3x2－6x－1＝0；
解：∵a＝3，b＝－6，c＝－1，
∴Δ＝（－6）2－4×3×（－1）＝48，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
（3）x2－4x－396＝0；
解：∵x2－4x－396＝0，
∴x2－4x＋4＝400，
∴（x－2）2＝400，
∴x－2＝±20，
∴x1＝22，x2＝－18.
（4）（2－3x）＋（3x－2）2＝0；
解：∵（2－3x）＋（3x－2）2＝0，
∴（2－3x）（1＋2－3x）＝0，
∴2－3x＝0或1＋2－3x＝0，
∴x1＝，x2＝1.
（5）（2x－1）2＝3x；
解：方程整理得：4x2－7x＋1＝0，
∵a＝4，b＝－7，c＝1，
∴Δ＝（－7）2－4×4×1＝33，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
（6）＝.
解：去分母并整理得：2x2－7x－2＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－2，
∴Δ＝（－7）2－4×2×（－2）＝65，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
解答题
3.解下列关于x的方程：
（1）ax2＋c＝0（a≠0）；
解：∵ax2＋c＝0（a≠0），
∴ax2＝－c，
∴x2＝－，
当ac＞0时，方程没有实数根；
当ac≤0时，x＝±.
（2）（2x＋1）2－3（2x＋1）＋2＝0；
解：分解因式得[（2x＋1）－1][（2x＋1）－2]＝0，
∴2x＋1－1＝0或2x＋1－2＝0，
∴x1＝0，x2＝.
（3）mx2－（4m－1）x＋3m－1＝0（m≠0）；
解：分解因式得[mx－（3m－1）]（x－1）＝0，
∴mx－（3m－1）＝0或x－1＝0，
∴x1＝，x2＝1.
（4）（）2＋5（）－6＝0；
解：设＝a，则原方程可化为a2＋5a－6＝0，
解得a1＝1（舍去），a2＝－6，
当a＝－6时，＝－6，解得x＝－，
经检验，x＝－是原方程的根.
解得y1＝0，y2＝－8，
当y＝0时，x2＋5x＝0，
解得x1＝0，x2＝－5；
当y＝－8时，x2＋5x＝－8，即x2＋5x＋8＝0，
∵Δ＝52－4×1×8＝－7＜0，
∴此方程无实数解，
综上所述，原方程的解为x1＝0，x2＝－5.
（5）（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7；
解：令y＝x2＋5x，
则原方程化为（y＋1）（y＋7）＝7，
整理，得y2＋8y＝0，
（6）3x2＋＋5x－＝20.
解：方程整理得3（x－）2＋5（x－）－2＝0，
设x－＝y，
方程变形为3y2＋5y－2＝0，
解得y1＝，y2＝－2，
∴x－＝或－2，
解得x＝或－3或1，
经检验，x＝或－3或1是分式方程的根.
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第7课时 一元二次方程根的判别式
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.一元二次方程x2＋2x＝0的根的判别式的值是（ A ）
A.4 B.2 C.0 D.－4
2.一元二次方程4x2－3x＋＝0根的情况是（ D ）
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
A
D
3.若关于x的方程x2＋6x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ C ）
A.0 B.－9 C.9 D.－6
4.关于x的一元二次方程（a－3）x2－4x－1＝0有实数根，则a的取值范围是（ A ）
A.a≥－1且a≠3 B.a＞－1且a≠3
C.a≠3 D.a≥－1
C
A
二、填空题
5.利用根的判别式，判断方程根的情况，首先将方程（x－2）（x－5）－16＝0化成一般形式是 x2－7x－6＝0 ，再求出判别式Δ＝ 73 ，则该方程根的情况是 有两个不相等的实数根 .
6.若关于x的一元二次方程x2－4x＋4＝m没有实数根，则m的取值范围是 m＜0 .
7.关于x的方程x2－2x＋a＝0有实数根，化简：－｜2－a｜＝ －1 .
x2－7x－6＝0
73
有
两个不相等的实数根
m＜0
－1
三、解答题
8.已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2－1＝0有实数根.
（1）求实数m的取值范围；
解：（1）由题意得Δ＝（2m－1）2－4（m2－1）≥0，
解得m≤；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解.
解：（2）由（1）得m的最大整数值为1，
原方程化为x2＋x＝0，
分解因式，得x（x＋1）＝0，
∴x1＝0，x2＝－1.
9.关于x的方程（m＋2）x2－4x＋1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
解：（1）由题意得m＋2≠0，
Δ＝（－4）2－4（m＋2）＞0，
解得m＜2且m≠－2；
（2）当m为正整数时，求方程的根.
解：（2）∵m＜2，m为正整数，
∴m＝1，
原方程可化为3x2－4x＋1＝0，
分解因式，得（3x－1）（x－1）＝0，
解得x1＝，x2＝1.
10.已知关于x的方程x2＋2x－a＋1＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋ax＋a＝0的根的情况.
解：∵关于x的方程x2＋2x－a＋1＝0没有实数根，
∴Δ＝4－4（－a＋1）＜0，
解得a＜0，
方程x2＋ax＋a＝0的根的判别式是：
Δ＝a2－4a＝a（a－4），
∵a＜0，∴a－4＜0，∴Δ＞0，
∴关于x的方程x2＋ax＋a＝0有两个不相等的实数根.
一、选择题
11.已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值为（ A ）
A.2 B.1
C.0 D.无法确定
A
二、填空题
12.（1）已知关于x的方程（1－2k）x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 0≤k＜1且k≠ ；
（2）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n＝mn＋m，如果关于x的方程x*（a*x）＝－1有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是 1 .
0≤k＜1且k≠
1
三、解答题
13.已知 ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的实数根.
（1）当m为何值时， ABCD是菱形？求出这时 ABCD的边长；
解：（1）∵ ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∴Δ＝m2－4（－）＝（m－1）2＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2－x＋＝0，
解得x1＝x2＝，
∴这时 ABCD的边长是；
（2）如果AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
解：（2）把x＝2代入原方程，
得22－2m＋－＝0，解得m＝，
把m＝代入原方程得x2－x＋1＝0，
解得x1＝2，x2＝，
∴C ABCD＝2×（2＋）＝5.
解答题
14.已知关于x的方程x2－（m＋3）x＋4m－4＝0.
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（1）证明：∵Δ＝[－（m＋3）]2－4（4m－4）＝（m－5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个的值为5，
①当b＝c时，
Δ＝（m－5）2＝0，解得m＝5，
∴原方程为x2－8x＋16＝0，
解得b＝c＝4，
∵b＋c＝4＋4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形，
∴△ABC的周长为4＋4＋5＝13；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
②当b、c中有一个的值为5时，
将x＝5代入原方程，
得25－5m－15＋4m－4＝0，解得m＝6，
∴原方程为x2－9x＋20＝0，
解得x1＝4，x2＝5，
∵4、5、5能构成三角形，
∴△ABC的周长为4＋5＋5＝14，
综上所述，△ABC的周长是13或14.
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第8课时 一元二次方程根与系数的关系（1）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.方程x2－6x＋5＝0的两个根之和为（ B ）
A.－6 B.6 C.－5 D.5
2.方程x2＋9x＋9＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2－x1x2＝（ A ）
A.－18 B.18 C.9 D.0
3.已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2＋2的值是（ A ）
A.5 B.6 C.7 D.8
4.已知x1、x2是方程2x2＝4x－1的两个实数根，则＋的值为（ D ）
A.17 B.6 C.5 D.3
B
A
A
D
二、填空题
5.（1）已知x1，x2是方程3x2－2x＋1＝0的两根，则x1x2＝ ；
（2）若α，β分别是方程x2－3x－6＝0的两实根，则的值是 －2 ；
（3）已知一元二次方程x2－4x－5＝0的两根分别是x1、x2，那么（1＋x1）（1＋x2）的值是 0 ；
（4）若方程x2－4x＋2＝0的两个根为x1，x2，则x1（1＋x2）＋x2的值为 6 .
－2
0
6
三、解答题
6.已知方程2x2－3x－4＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）＋；
（1）＋＝＝＝－；
（2）＋；
（2）＋＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝－2×（－2）＝；
解：∵方程2x2－3x－4＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－2，
（3）＋；
（3）＋＝＝＝；
（4）x1－x2.
（4）∵（x1－x2）2＝－2x1x2＋
＝（x1＋x2）2－4x1x2＝，
∴x1－x2＝±.
7.已知方程x2＋（1－）x－＝0的两个实数根为x1，x2，求＋的值.
解：∵x1、x2是原方程的两个实数根，
∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－，
∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝（－1）2－2×（－）＝3，
∴＋的值为3.
8.已知α，β是方程x2＋3x－2023＝0的两个根，求α2＋4α＋β的值.
解：∵α，β是方程x2＋3x－2023＝0的两个根，
∴α2＋3α＝2023，α＋β＝－3，
∴原式＝（α2＋3α）＋（α＋β）
＝2023－3
＝2020.
一、选择题
9.x1，x2是方程x2＋x＋k＝0的两个实数根，若＋x1x2＋＝2k2成立，则k的值为（ A ）
A.－1 B.或－1
C. D.－或1
A
二、填空题
10.（1）若x1，x2是关于x的方程x2－2x－5＝0的两根，则代数式－3x1－x2－6的值是 －3 ；
（2）已知方程2x2－7x－3＝0的两个根为x1，x2，则代数式（＋7x1＋3）（＋7x2＋3）＝ .
－3
三、解答题
11.若方程x2＋3x－1＝0的两根分别为α，β，已知点P（α2＋β2，＋）和Q（＋，α2＋β2），求直线PQ的解析式.
解：根据题意得α＋β＝－3，αβ＝－1，
∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ
＝（－3）2－2×（－1）＝11，
＋＝＝＝3，
＋＝＝＝－11，
∴P（11，3），Q（－11，11），
设直线PQ的解析式为y＝kx＋b，
把P（11，3），Q（－11，11）代入，
得，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝－x＋7.
解答题
12.阅读材料：
已知方程p2－p－1＝0，1－q－q2＝0且pq≠1，求的值.
解：由p2－p－1＝0，及1－q－q2＝0，可知p≠0，q≠0，
∵pq≠1，∴p≠，
1－q－q2＝0可变形为（）2－（）－1＝0，
根据p2－p－1＝0和（）2－（）－1＝0的特征，可知p、是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，
则p＋＝1，即＝1.
仿照材料所提供的方法，完成下列问题：
已知2m2－5m－1＝0，＋－2＝0且m≠n，求：
（1）mn的值；
（1）mn＝－；
解：∵＋－2＝0，
∴2n2－5n－1＝0，
根据2m2－5m－1＝0和2n2－5n－1＝0的特征，及m≠n，可知m、n是方程2x2－5x－1＝0的两个不相等的实数根，
则m＋n＝，mn＝－，
（2）原式＝
＝
＝29.
（2）＋的值.
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第9课时 一元二次方程根与系数的关系（2）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的一个根是1，则另一个根是（ A ）
A.5 B.－5 C.－6 D.－7
2.下列方程中，两根分别为2和3的方程是（ D ）
A.x2－x－6＝0 B.x2－6x＋5＝0
C.x2＋x－6＝0 D.x2－5x＋6＝0
3.关于x的方程x2＋（a2－2a）x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ B ）
A.2 B.0 C.1 D.2或0
A
D
B
二、填空题
4.已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1＋x2＝x1x2，则m的值为 0 .
5.若关于x的方程x2＋（a－1）x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝ －1 .
0
－1
三、解答题
6.已知关于x的方程x2－4x＋k＝0的一个根为2－，求k的值及方程的另外一个根.
解：设方程的另一个根是a，
∵方程x2－4x＋k＝0的一个根为2－，
∴由根与系数的关系得：
a＋2－＝4，（2－）a＝k，
解得：a＝2＋，k＝2，
即k＝2，方程的另外一个根是2＋.
7.已知关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根.
（1）求m的取值范围；
解：（1）∵方程 x2＋3x－m＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝32＋4m≥0，
解得：m≥－；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且＋＝11，求m的值.
解：（2）由题意得x1＋x2＝－3，x1x2＝－m，
∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝11，
∴（－3）2＋2m＝11，
解得：m＝1.
8.已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋3）x＋m2＋2＝0.
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
解：（1）由题意得Δ＝（2m＋3）2－4（m2＋2）≥0，
解得m≥－；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足＋＝31＋｜x1x2｜，求实数m的值.
解：（2）由题意得x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2，
∵x1x2＝m2＋2＞0，
∴＋＝31＋x1x2，
即（x1＋x2）2－3x1x2－31＝0，
∴（2m＋3）2－3（m2＋2）－31＝0，
整理得m2＋12m－28＝0，
解得m1＝－14，m2＝2，
∵m≥－，
∴m＝2.
一、选择题
9.已知x1、x2是方程x2－（k－2）x＋（k2＋3k＋5）＝0的两个实数根，则＋的最大值是（ B ）
A.19 B.18
C.5 D.以上答案都不对
B
二、填空题
10.写出一个以＋1，－1为两根的一元二次方程： x2－2x＋1＝0（答案不唯一） .
11.已知关于x的方程x2－kx＋k－2＝0 有两个正实数根，则k的取值范围是 k＞2 .
x2－2x＋1＝0（答案不
唯一）
k＞2
三、解答题
12.已知关于x的方程ax2＋（3－2a）x＋a－3＝0.
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根；
（1）证明：①当a＝0时，方程为3x－3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2＋（3－2a）x＋a－3＝0，
Δ＝（3－2a）2－4a（a－3）＝9＞0，
∴方程有实数根，
综上所述，无论a为何实数，方程总有实数根；
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当｜x1－x2｜＝时，求出a的值.
（2）解：∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵｜x1－x2｜＝，即＝，
∴＝，
解得a＝±2，
∴a的值是－2或2.
解答题
13.如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
解：（1）设方程x2＋mx＋n＝0（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则x1＋x2＝－m，x1x2＝n，
∴＋＝＝－，＝，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是x2＋x＋＝0（答案不唯一）；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
解：（2）①当a＝b时，原式＝2；
②当a≠b时，
∵a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，
∴a，b是x2－15x－5＝0的解，
∴a＋b＝15，ab＝－5，
∴＋＝＝＝－47；
（3）已知a、b、c满足a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值.
解：（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，
∴a＋b＝－c，ab＝，
∴a、b是方程x2＋cx＋＝0的解，
∴Δ＝c2－4×≥0，即c2－≥0，
∵c是正数，
∴c3－43≥0，∴c≥4，
∴正数c的最小值是4.
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第10课时 实践与探索（1）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1. 直角三角形的两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ A ）
A.5 B. C.7 D.
2.从一块正方形的木板上锯掉2dm宽的长方形木条，剩下的面积是48dm2，则原来这块木板的面积是（ B ）
A.100dm2 B.64dm2 C.121dm2 D.144dm2
A
B
3.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，若地毯中央长方形图案的面积为18m2，则花边的宽是（ B ）
A.2m B.1m C.1.5m D.0.5m
第3题图
B
二、填空题
4.有一面积为54cm2的矩形纸片，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长.设这个正方形的边长为xcm，根据题意，列出的方程是 （x＋5）（x＋2）＝54 .
5.如图，从一张矩形纸片ABCD的宽AD上找一点E，过点E剪下两个正方形，它们的边长分别为AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和为9，点E应选在何处？若AD＝6，设AE＝x，则可列方程为 x2＋（6－x）2＝9 .
（x＋5）（x＋2）＝54
x2＋（6－x）2＝9
第5题图
三、解答题
6.一张长为30cm，宽为20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长.
第6题图
解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm，
由题意，得：（30－2x）（20－2x）＝264，
整理，得：x2－25x＋84＝0，
解得x1＝4，x2＝21（不符合题意，舍去），
答：剪掉的正方形纸片的边长为4cm.
7.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.
第7题图
解：设BC边的长为x（0＜x≤16）米，
则AB＝CD＝米，
根据题意得：·x＝120，
解得x1＝12，x2＝20（舍），
答：该矩形草坪BC边的长为12米.
一、填空题
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1cm2，矩形PDFE的面积为S2cm2，运动时间为ts，则当t＝ 6 时，S1＝2S2.
第8题图
6
二、解答题
9.如图，在Rt△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上从点B运动到点C（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上从点C运动到点A（不包括点A），速度为5cm/s，连接PQ.若点P，Q分别从点B，C同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，设运动时间为ts，请解答下列问题，并写出探索的主要过程.
（1）当t为何值时，PQ的长为5cm？
第9题图
解：（1）由题意得BP＝2tcm，CQ＝5tcm，
∴PC＝（7－2t）cm，
由勾股定理得PC2＋CQ2＝PQ2，
即（7－2t）2＋（5t）2＝（5）2，
解得t＝1或－（舍去），
答：当t＝1时，PQ的长为5cm；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
解：（2）∵S△PCQ＝15cm2，PC＝（7－2t）cm，CQ＝5tcm，
∴·（7－2t）·5t＝15，
解得t1＝2，t2＝1.5，
答：当t＝1.5或2时，△PCQ的面积为15cm2.
解答题
10.如图，有一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮.
图1 图2
第10题图
（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，若设切去正方形的边长为xcm，则可列方程为 ；
解：（1）若切去正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30－2x）cm，宽（12－2x）cm的矩形，
依题意，得（30－2x）（12－2x）＝144，
故答案为：（30－2x）（12－2x）＝144；
解：（2）能，
设切去正方形的边长为ycm，则折成的有盖盒子的底面为长（－y）cm，宽（12－2y）cm的矩形，
依题意，得（－y）（12－2y）＝104，
整理，得y2－21y＋38＝0，
解得y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），
∴盒子的体积为104×2＝208cm3，
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，该盒子的体积为208cm3.
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由.
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第11课时 实践与探索（2）
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.若三个连续正整数相加的和等于这三个数相乘的积，则它们的和为（ A ）
A.6 B.9 C.12 D.3
2.某市2022年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，预计到2024年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列方程为（ B ）
A.300（1＋x）＝363 B.300（1＋x）2＝363
C.300（1＋2x）＝363 D.363（1－x）2＝300
A
B
3.某品牌洗衣机经过两次降价，由每台1000元降至每台810元，则平均每次降价的百分率为（ D ）
A.25% B.20% C.15% D.10%
4.有若干个球队参加排球比赛，赛制为单循环制比赛（即每两个队只比赛一场），若总共比赛45场，则参加比赛的队伍有（ C ）
A.8个 B.9个 C.10个 D.11个
5.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，设每轮传染中平均1个人传染了x人，则x的值为（ B ）
A.5 B.6 C.7 D.8
D
C
B
二、填空题
6.“绿水青山就是金山银山”，为了山更绿、水更清，某区大力发展林业产业，确保到2024年实现全区森林覆盖率达到72.6%的目标.已知该区2022年全区森林覆盖率为60%，设从2022年起该区森林覆盖率年平均增长率为x，则x＝ 10% .
7.某店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该店每天销售利润为1200元？若设每件商品降价x元，可列方程为 （40－x）（20＋2x）＝1200 .
10%
（40－x）（20＋2x）＝1200
三、解答题
8.某单位开展了为边远山区捐款的活动.已知第一天收到10000元捐款，第三天收到12100元捐款.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求收到捐款的增长率；
解：（1）设收到捐款的增长率为x，
根据题意，得10000×（1＋x）2＝12100，
解得x1＝0.1，x2＝－2.1（不合题意，舍去），
答：收到捐款的增长率为10%；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率不变，该单位前三天一共能收到多少捐款？
解：（2）第二天收到的捐款为：
10000×（1＋10%）＝11000元，
该单位前三天一共能收到的捐款为：
10000＋11000＋12100＝33100元，
答：该单位前三天一共能收到33100元捐款.
9.某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克.该专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
解：设每千克特产应降价x元，则平均每天的销售量为（100＋10x）千克，
依题意，得（60－x－40）（100＋10x）＝2240，
整理得：x2－10x＋24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵销售量尽可能大，∴x＝6，
∴每千克特产定价为60－x＝54元，
答：每千克特产应定价为54元.
一、填空题
10.如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10.若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 24 .
第10题图
24
二、解答题
11.某商场销售一种商品，在一段时间内，该商品的销售量y（千克）与每千克的销售价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，其中30≤x≤80.
（1）求y与x之间的函数关系式；
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），其中30≤x≤80，
由图象得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋100（30≤x≤80）；
第11题图
（2）若该种商品每千克的成本为30元，当每千克的销售价为多少元时，获得的利润为600元？
解：（2）∵y＝－x＋100，
∴（x－30）（－x＋100）＝600，
即x2－130x＋3600＝0，
解得x1＝40，x2＝90，
∵30≤x≤80，∴x＝40，
第11题图
答：当每千克的销售价为40元时，获得的利润为600元.
解答题
12.某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品每件20元，乙商品每件40元，该商店第一周内共销售甲、乙两种商品500件，销售总额为14700元.
（1）求第一周销售甲、乙两种商品各多少件？
解：（1）设第一周销售甲商品x件，乙商品y件，
由题意得：，解得，
答：第一周销售甲商品265件，乙商品235件；
（2）第二周商店决定将甲商品每件降价a%出售，乙商品每件降价a%出售，价格调整后，这周内甲商品的销量增加了15件，乙商品销量不变，销售总额为12850元，求a的值.
解：（2）由题意得：（265＋15）×20（1－a%）＋235×40（1－a%）＝12850，解得a＝30，
答：a的值为30.
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第12课时 复习巩固
第22章 一元二次方程
一、选择题
1.下列方程是一元二次方程的是（ D ）
A.（x－3）x＝x2＋2 B.ax2＋bx＋c＝0
C.3x2－＋2＝0 D.2x2＝1
2.一元二次方程3x2＝2x－2的根的情况是（ C ）
A.无实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
D
C
3.把方程x2＋x＋4＝0左边配成一个完全平方式后， 所得方程是（ B ）
A.（x＋）2＝ B.（x＋）2＝－
C.（x＋）2＝ D.（x＋）2＝－
4.若2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是（ A ）
A.1 B.3－ C.1＋ D.2－
5.某厂生产一种药品，原来每瓶的成本是100元，由于提高生产过程的科技含量，连续两次降低成本，现在每瓶的成本是81元，则平均每次降低成本（ D ）
A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%
B
A
D
二、填空题
6.用公式法解某一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 3x2＋5x＋1＝0 .
7.已知x＝m是关于x的一元二次方程x2＋3x－1＝0的根，则＝ 4 .
8.关于x的方程x2－7x＋2m＝0的一个根是另一个根的2.5倍，则m的值为 5 .
9.已知关于x的方程x2－6x＋8－t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1－2）（x2－2）＝－6，则t＝ 6 .
3x2
＋5x＋1＝0
4
5
6
10.如图，有一张长10cm，宽6cm的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程，化为一般形式为 4x2－32x＋28＝0 .
第10题图
4x2－32x＋28＝0
三、解答题
11.解方程：
（1）x2＋2x＝3；
解：移项，得x2＋2x－3＝0，
分解因式，得（x＋3）（x－1）＝0，
可得x＋3＝0或x－1＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.
（2）3x2－12x＋7＝0；
解：∵a＝3，b＝－12，c＝7，
∴Δ＝（－12）2－4×3×7＝60，
∴x＝＝，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
（3）2（x－1）2＝3x－3.
解：∵2（x－1）2＝3x－3，
∴2（x－1）2＝3（x－1），
∴（x－1）（2x－2－3）＝0，
∴x－1＝0或2x－2－3＝0，
∴x1＝1，x2＝.
一、填空题
12.（1）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，其中b＝4，如果a，c是关于y的一元二次方程y2－6y＋n＝0的两个根，那么n的值是 8或9 ；
（2）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2023＝ 2034 .
13.某产品每件的生产成本为50元，原定销售价格为65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%.若要使半年以后每件的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 65×（1－10%）×（1＋5%）－50（1－x）2＝65－50 .
8或9
2034
65×（1
－10%）×（1＋5%）－50（1－x）2＝65－50
二、解答题
14.某文具店今年1月份购进一批笔记本，共2290本，每本进价为10元，该文具店决定从2月份开始进行销售，若每本售价为11元，则2月份可全部售出；且每本售价每增长0.5元，销量就减少15本.
（1）若该种笔记本在2月份的销量不低于2200本，则2月份每本售价应不高于多少元？
解：（1）设2月份每本售价为x元，
依题意得：2290－15（x－11）÷0.5≥2200，
解得x≤14，
答：2月份每本售价应不高于14元；
（2）由于生产商提高造纸工艺，该笔记本的进价提高了10%，文具店为了增加笔记本的销量，进行了销售调整，售价比2月份在（1）的条件下的最高售价减少了m%，结果3月份的销量比2月份在（1）的条件下的最低销量增加了m%，3月份的销售利润达到6600元，求m的值.
解：（2）由题意，得：[14（1－m%）－10×（1＋10%）]×2200（1＋m%）＝6600，
令m%＝t，则（3－2t）（1＋t）＝3，
解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝0.5，
∴m＝50，
答：m的值是50.
解答题
15.已知x1，x2是一元二次方程（a－6）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根.
（1）求a的取值范围；
解：（1）由题意得，，
解得a≥0且a≠6；
（2）求使代数式（x1＋1）（x2＋1）的值为负整数的实数a的整数值；
解：（2）x1＋x2＝－，x1x2＝，
∵（x1＋1）（x2＋1）＝x1＋x2＋x1x2＋1
＝－＋＋1＝为负整数，
∴6－a是6的约数，且6－a＜0，
∴6－a＝－1或－2或－3或－6，
∴a＝7或8或9或12；
解：（3）∵b＝＋＋50，
∴a＝5，b＝50，
∴原方程化为－x2＋10x＋5＝0，
∴x1＋x2＝10，x1x2＝－5，＝10x1＋5，
∴原式＝·x1＋10＋5x2－50
＝（10x1＋5）x1＋10＋5x2－50
＝10（＋）＋5（x1＋x2）－50
＝10（x1＋x2）2－20x1x2＋5（x1＋x2）－50
＝10×102－20×（－5）＋5×10－50
＝1100.
（3）如果实数a，b满足b＝＋＋50，试求代数式＋10＋5x2－b的值.
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