第23章 图形的相似 习题课件(共237张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
文档属性
| 名称 | 第23章 图形的相似 习题课件(共237张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 10:31:42 | ||
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文档简介
(共237张PPT)
第1课时 成比例线段
第23章 图形的相似
一、选择题
1.如果2a＝－3b，那么＝（ B ）
A.－ B.－ C.5 D.－1
2.下列线段的长度成比例的是（ A ）
A.1cm、2cm、3cm、6cm
B.2cm、3cm、4cm、5cm
C.1.5cm、2.5cm、4cm、5cm
D.1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm
B
A
3.若＝＝（b＋d≠0），则的值为（ A ）
A. B. C.1 D.
4.若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，c＝6cm，d＝4cm，则b的长为（ D ）
A.8cm B.cm C.4cm D.2cm
A
D
5.若＝＝≠0，则下列各式正确的是（ B ）
A.2x＝3y＝4z B.＝
C.＝ D.＝
B
二、填空题
6.（1）已知一矩形的长a＝1.35m，宽b＝60cm，则a∶b＝ 9∶4 ；
（2）已知点P在线段AB上，且AP∶PB＝2∶5，则AB∶PB＝ 7∶5 ，AP∶AB＝ 2∶7 .
9∶4
7∶5
2∶7
三、解答题
7.（1）求比例（1－2x）∶（5－x2）＝2∶x中的x的值；
解：由比例的性质，得：x（1－2x）＝2（5－x2），
∴x－2x2＝10－2x2，
∴x＝10.
（2）已知＝＝2，求和的值；
解：∵＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，
∴＝＝，
＝＝.
（3）已知线段a，b，c满足＝＝，且a＋2b＋c＝26.
①求a，b，c的值；
②若线段x是线段6a，b的比例中项，求x的值.
解：①设＝＝＝k（k≠0），
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
∵a＋2b＋c＝26，
∴3k＋2×2k＋6k＝26，解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
②∵线段x是线段6a，b的比例中项，
∴x2＝6ab＝6×6×4＝144，
∴x＝12.
8.若点M在线段AB上，点N在线段BA的延长线上，AB＝18，＝＝，求线段MN的长.
解：根据题意画图得：
∵AB＝18，＝＝，
∴AM＝AB＝8，AN＝4AB＝72，
∴MN＝AN＋AM＝80，
答：线段MN的长为80.
一、选择题
9.若三角形三边长之比为a∶b∶c＝3∶4∶5，且a－b＋c＝12，则这个三角形的周长为（ D ）
A.12 B.18 C.24 D.36
D
二、填空题
10.正方形ABCD的两条对角线相交于点O，则AO∶AB∶AC＝ 1∶∶2 .
1∶∶2
三、解答题
11.如图，已知＝，AD＝6.4cm，DB＝4.8cm，EC＝4.2cm，求AC的长.
第11题图
解：∵＝，
∴＝，∴AE＝5.6cm，
∴AC＝AE＋EC＝9.8cm.
12.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，CD是斜边AB上的高，求CD∶AB的值.
第12题图
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝10cm，
由面积公式得：
S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝cm，
∴CD∶AB＝∶10＝.
解答题
13.已知（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝7∶14∶9，
（1）求a∶b∶c；
解：∵（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝7∶14∶9，
∴设a＋b＝7k，b＋c＝14k，c＋a＝9k，
∴a＝k，b＝6k，c＝8k，
（1）a∶b∶c＝1∶6∶8；
（2）求的值.
（2）＝＝－.
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第2课时 平行线分线段成比例
第23章 图形的相似
一、选择题
1.如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比值与一定相等的是（ B ）
第1题图
A. B. C. D.
B
2.如图，已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5，EF＝4，则DE＝（ C ）
第2题图
A.5 B.3 C.3.2 D.4
C
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝4，则AC＝（ D ）
第3题图
A.8 B.9 C.10 D.12
D
4.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB＝（ C ）
第4题图
A.3∶8 B.3∶5 C.5∶8 D.2∶5
C
二、填空题
5.如图，已知AB∥CD∥EF，AF、BE相交于O，若AO＝OD＝DF＝3cm，BE＝10cm，则BO的长为 cm .
第5题图
cm
6.如图，已知a∥b∥c，AC∶CO∶OF＝2∶1∶4，BE＝35，那么BD＝ 10 .
第6题图
10
三、解答题
7.如图，已知AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若＝，DE＝6，求EF的长.
第7题图
解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵＝，DE＝6，
∴＝，∴EF＝9.
8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.
（1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；
解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得AE＝10；
第8题图
（2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长.
解：（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得AC＝15，
∴EC＝AC－AE＝9.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，F为BC的三等分点，EF⊥BC交AB于E，若BE＝2，则AB＝ 3 .
第9题图
3
二、解答题
10.如图，已知点O是△ABC中BC边的中点，且＝，求的值.
第10题图
解：如图，过点B作BF∥AC交DE于点F，
∵BF∥AC，
∴∠FBO＝∠C，∠BFO＝∠CEO，
∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△OBF和△OCE中，
，
∴△OBF≌△OCE（AAS），∴BF＝CE，
∵＝，∴＝，
又∵BF∥AE，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝＝.
解答题
11.请阅读以下材料，并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，….
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（1）证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，∴＝；
（2）如图3，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长.
（2）解：∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝，
∴C△ABD＝AB＋BD＋AD＝.
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第3课时 专题黄金分割
第23章 图形的相似
一、选择题
1. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽、AB为长的矩形面积为S2，则S1与S2之间的大小关系为（ A ）
A.S1＝S2
B.S1＞S2
C.S1＜S2
D.不能确定
第1题图
A
2.若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC的长为（ C ）
A.cm B.2（－1）cm
C.4（－1）cm D.6（－1）cm
3.已知线段AB＝1，C是AB的黄金分割点，AC＞BC，则BC的长为（ C ）
A.－1 B. C. D.
4.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（ D ）
A. B. C.3－ D.－2
C
C
D
二、填空题
5.把10米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为 （5－5） 米.
6.点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AC＝＋1，则BC的长是 2 .
（5－5）
2
三、解答题
7.若线段AB＝4cm，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，求AC－BC的值.
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝（2－2）cm，
∴BC＝AB－AC＝（6－2）cm，
∴AC－BC＝（4－8）cm.
8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165cm，下半身长xcm与身高lcm的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为多少？（精确到1cm）
第8题图
解：由题意得x＝165×0.60＝99，
设需要穿的高跟鞋的高度是ycm，
则根据黄金分割的定义，
得＝0.618，解得y≈8，
答：她应穿的高跟鞋的高度大约为8cm.
9.如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，已知底与腰的比为的三角形是黄金三角形，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，且AB＝4，求DE的长.
第9题图
解：∵△ABC是黄金三角形，
∴BC＝AB＝2－2，
∵△BCD是黄金三角形，
∴CD＝BC＝6－2，
∵△DEC是黄金三角形，
∴DE＝CD＝6－2，
即DE的长为6－2.
一、填空题
10.著名数学家华罗庚（1910－1985）倡导优选法，就是对生产和科学试验中提出的问题，根据数学原理，通过尽可能少的试验次数，迅速求得最佳方案的方法.这个数学原理就是利用中国古代黄金分割比值的近似值0.618乘以任意一个数，所得的另一个数，就是最佳的方案.某医院急诊室的护士利用体温表给病人量体温，按常规测一次体温需3分钟时间，实际上是 1.854 分钟时测的体温，同3分钟时测的体温一样，这 1.854 分钟与 1.146 分钟之间的分界点，就是用优选法产生出来的.
1.854
1.854
1.146
二、解答题
11.如果一个矩形的宽与长的比值为，那么称这个矩形为黄金矩形.如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由.
第11题图
解： 原矩形ABCD是黄金矩形，
理由： 设矩形BCFE的长BC＝x，
∵矩形BCFE为黄金矩形，
∴宽BE＝x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AE＝EF＝BC＝x，
∴AB＝x＋x＝x，
∴＝＝，
∴原矩形ABCD是黄金矩形.
解答题
12.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.
（1）求AM，DM的长；
（1）解：在Rt△APD中，PA＝AB＝1，AD＝2，
∴PD＝＝，
∴AM＝AF＝PF－PA＝PD－PA＝－1，
DM＝AD－AM＝2－（－1）＝3－；
第12题图
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（2）证明：∵AM2＝（－1）2＝6－2，AD·DM＝2（3－）＝6－2，
∴AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
（3）解：∵AM2＝AD·DM，＝＝，
∴点M是AD的黄金分割点.
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第4课时 相似图形
第23章 图形的相似
一、选择题
1.下列说法正确的是（ C ）
A.菱形都是相似图形
B.各边对应成比例的多边形是相似多边形
C.等边三角形都是相似三角形
D.矩形都是相似图形
C
2.若五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且＝3，则五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比是（ B ）
A.3∶1 B.1∶3
C.1∶9 D.无法确定
3.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列矩形与矩形ABCD相似的是（ A ）
A. B.
C. D.
B
A
二、填空题
4.一个四边形的各边长之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为 20 cm.
5. ABCD和 EFGH中，AB＝3，BC＝5，∠B＝40°，EF＝6，要使 ABCD∽ EFGH，则FG＝ 10 ，∠F＝ 40° .
6.如图，已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，则∠B'＝ 60° .
20
10
40°
60°
第6题图
三、解答题
7.如图，等腰梯形ABCD与等腰梯形A'B'C'D'相似，∠A'＝65°，A'B'＝6cm，AB＝8cm，AD＝5cm，试求梯形ABCD的各角的度数与A'D'，B'C'的长.
第7题图
解：∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A'B'C'D'相似，∠A'＝65°，
∴∠A＝∠A'＝65°，∠B＝∠A＝65°，∠D＝∠C＝180°－65°＝115°，
∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A'B'C'D'相似，
∴＝，即＝，
∴A'D'＝cm，
∴B'C'＝A'D'＝cm.
8.如图，有一块长为2m、宽为1m的矩形玻璃ABCD，为了保护玻璃，需要镶上宽10cm的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
第8题图
解：不相似，理由如下：
∵AB＝2m，AD＝1m，
∴EF＝2－0.1×2＝1.8m，
∴EN＝1－0.1×2＝0.8m，
∴＝＝0.9，＝＝0.8，
∵≠，
∴边框的内外边缘所成的矩形不相似.
一、填空题
9.下列说法正确的有 ②④ .（填序号）
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似.
10.将一张报纸对折后，若对折后的半张报纸和整张报纸相似，则整张报纸的长和宽的比是 ∶1 .
②④
∶1
二、解答题
11.如图，矩形花坛ABCD的宽AB＝20米，长AD＝30米.现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似，并且相对的两条小路的宽相等，试问小路的两个宽x与y的比值是多少？
第11题图
解：根据题意得A'B'＝AB＋2y，A'D'＝AD＋2x，
∵矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，
∴A'B'∶A'D'＝AB∶AD，
∴（20＋2y）∶（30＋2x）＝20∶30，
∴＝，
即小路的两个宽x与y的比值是.
解答题
12.已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝1.
（1）若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似，求AF∶AD；
解：（1）设AF＝x，
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，AD＝3，AB＝1，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴AF∶AD＝∶3＝1∶9；
第12题图
（2）若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小矩形，且每个小矩形的每条边与矩形ABCD的边平行，求这两个小矩形的周长和的最大值.
解：（2）两个小矩形的放置情况有如下几种：
①如图1，两个小矩形都“竖放”，
在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，两边长分别为1和 ，
此时两个小矩形的周长和的最大值为 ；
第12题图
图1
图1
②如图2、图3，两个小矩形都“横放”，
此时两个小矩形的周长和的最大值为：
2（a＋3a）＋2[1－a＋3（1－a）]＝8；
图2
图3
图2
图3
③如图4，两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，
此时两个小矩形的周长和为：
2（a＋3a）＋2（3－a＋）＝8＋，
∵0＜3a≤1，即0＜a≤，
∴当a＝时，两个小矩形的周长和最大，为 ，
综上所述，这两个小矩形的周长和的最大值为.
图4
图4
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第5课时 相似三角形
第23章 图形的相似
一、选择题
1.（1）已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝3∶1，AB＝6，则DE的长为（ B ）
A.18 B.2 C.54 D.
（2）已知△ADE∽△ABC，且相似比为，若DE＝8，则BC的长是（ D ）
A. B.6 C.8 D.12
B
D
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，DE＝3，则BC的长为（ C ）
第2题图
A.1 B. C.4 D.6
C
3.如图，AB∥CD，若AB＝12，CD＝4，AO＝9，则CO的长是（ B ）
第3题图
A. B.3 C.4.5 D.6
B
二、填空题
4.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝50°，∠C＝110°，则∠B'的度数为 20° .
5.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，D是AB边上的一点，若△ABC∽△ACD，则AD的长为 .
第5题图
20°
6.如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似的三角形共有 3 对.
第6题图
3
三、解答题
7.如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长.
第7题图
解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，
∴AC＝AD＋CD＝12，
∴＝＝，
∴AE＝4，AB＝9，
∴BE＝AB－AE＝5.
8.如图，已知DE∥BC，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠A＝45°，∠C＝40°，求：
（1）∠AED和∠ADE的度数；
解：（1）∵DE∥BC，∠C＝40°，
∴∠AED＝∠C＝40°，
∵∠A＝45°，
∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝95°；
第8题图
（2）DE的长.
解：（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，
∴＝，
∴DE＝cm.
一、填空题
9.如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形有 5 个.
第9题图
5
10.如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，则的值是 .
第10题图
二、解答题
11.如图，在 ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF＝2cm，DF＝4cm，AG＝3cm，求AC的长.
第11题图
解：如图，延长FE交CB的延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝AF＋DF＝6cm，BC∥AD，
∴∠EAF＝∠EBH，∠AFE＝∠BHE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
∴△AFE≌△BHE（AAS），
∴BH＝AF＝2cm，∴CH＝BH＋BC＝8cm，
∵BC∥AD，
∴AG∶CG＝AF∶CH，
即3∶CG＝2∶8，∴CG＝12cm，
∴AC＝AG＋CG＝15cm.
解答题
12.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
①当＝时，＝；
②当＝时，＝；
③当＝时，＝；
….
猜想当＝时，的值，并说明理由.
第12题图
解：猜想：当＝时，＝，理由如下：
如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，
则＝＝，
∴＝，∴EG＝nAE，
∵AD是△ABC的中线，且DG∥BE，
∴EG＝CG，∴AC＝（2n＋1）AE，
∴＝.
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第6课时 相似三角形的判定（1）
第23章 图形的相似
一、选择题
1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ C ）
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
C
2.如图，在△ABC中，D，E分别为AC、BC边上的点，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似的三角形共有（ D ）
第2题图
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
D
3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（ D ）
第3题图
A. B. C. D.4
D
二、填空题
4.如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是 ∠ACD＝∠B（或∠ADC＝∠ACB） .（写出一种即可）
第4题图
∠ACD＝∠B（或∠ADC＝
∠ACB）
5.如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA＝∠B，若AC＝cm，AB＝3cm，则AD的长为 2cm .
第5题图
2cm
三、解答题
6.如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证：△ABC∽△FDE.
第6题图
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED，
∴△ABC∽△FDE.
7.如图，已知△PQR是等边三角形，∠APB＝120°，求证：△PAQ∽△BPR.
第7题图
证明：∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR＝∠PRQ＝60°，
∴∠PQA＝∠BRP＝120°，
∵∠PQR是△PQA的外角，
∴∠PQR＝∠APQ＋∠PAQ＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠PAQ＋∠PBR＝60°，
∴∠APQ＝∠PBR，
∴△PAQ∽△BPR.
8.如图，在 ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C，求证：△ABF∽△EAD.
第8题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠C＋∠D＝180°，∠BAF＝∠AED，
∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
一、填空题
9.如图，直线y＝－2x＋4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，若∠1＝∠2，则S△ABC＝ 3 .
第9题图
3
10.如图，在 ABCD中，AD＝10cm，CD＝6cm，E为AD上一点，若BE＝BC，CE＝CD，则DE＝ 3.6 cm.
第10题图
3.6
二、解答题
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.
（1）求证：△COM∽△CBA；
（1）证明：∵A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，∠COM＝90°，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠COM＝∠B，
又∵∠MCO＝∠ACB，
∴△COM∽△CBA；
第11题图
（2）求线段OM的长.
（2）解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，∴OC＝5，
∵△COM∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴OM＝.
解答题
12.如图，已知正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H，求证：
（1）△ADG≌△HED；
证明：（1）如图，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠EDG＝90°，DG＝ED，
∴∠1＋∠2＝90°，
∵EH⊥AB，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠A＝∠EHD＝90°，DG＝ED，
∴△ADG≌△HED（AAS）；
第12题图
（2）EF2＝BE·FC.
证明：（2）∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEF＝∠EFG＝90°，DE＝GF＝EF，
∴∠DEB＝∠CFG＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＋∠C＝90°，
在Rt△BDE中，∠B＋∠2＝90°，
∴∠2＝∠C，
∴△BDE∽△GCF，
∴＝，
∵DE＝GF＝EF，
∴＝，
∴EF2＝BE·FC.
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第7课时 相似三角形的判定（2）
第23章 图形的相似
一、选择题
1.下列条件中，不能判定△ABC和△DEF相似的是（ D ）
A.∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，∠E＝50°
B.∠A＝∠D＝70°，∠C＝50°，∠E＝50°
C.∠A＝∠D＝70°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，DF＝20cm
D.∠A＝∠D＝70°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D
2.如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ D ）
第2题图
A.AB∥CD B.∠A＝∠D
C.＝ D.＝
D
二、填空题
3.如图，若＝ ，则△OAC∽△OBD.
第3题图
4.如图，△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则△ABC∽ △ACD .
第4题图
△ACD
5.如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠CBD，AB＝15cm，AD＝20cm，BD＝18cm，BC＝24cm，则CD的长为 cm.
第5题图
三、解答题
6.如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，求证：△ABC∽△AED.
第6题图
证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴＝＝，
∴△ABC∽△AED.
7.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD·DE＝BE·CD，求证：△BCD∽△BDE.
第7题图
证明：∵BD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BED＝90°，
∵BD·DE＝BE·CD，
∴＝，
∴△BCD∽△BDE.
8.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上.
（1）∠ABC＝ °，BC＝ ；
解：（1）135，2；
第8题图
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由.
解：（2）△ABC∽△DEF.理由如下：
∵AB＝2，BC＝2，DE＝，EF＝2，
∴＝＝，
又∵∠ABC＝∠DEF＝135°，
∴△ABC∽△DEF.
一、填空题
9.如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 2.8或1或6 .
第9题图
2.8或1或6
二、解答题
10.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
设AB＝AD＝CD＝4a，
∵E为AD的中点，CF＝3FD，
∴AE＝DE＝2a，DF＝a，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEF；
第10题图
（2）△ABE与△EBF相似吗？为什么？
（2）解：△ABE∽△EBF，理由如下：
∵△ABE∽△DEF，
∴＝＝，∠ABE＝∠DEF，
∵∠AEB＋∠ABE＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠BEF＝90°，
又∵＝，∠A＝90°，
∴＝＝，∠A＝∠BEF＝90°，
∴△ABE∽△EBF.
解答题
11.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，设移动时间为ts.
（1）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（1）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，
∴BP＝BQ，即6－t＝2t，解得t＝2，
∴当t＝2时，△PBQ是等腰三角形；
第11题图
解：由题意得BP＝（6－t）cm，BQ＝2tcm，
（2）当t为何值时，△PBQ的面积为5cm2？
（2）S△PBQ＝BP·BQ＝（6－t）·2t＝5，
即（t－1）（t－5）＝0，解得t＝1或5，
∴当t＝1或5时，△PBQ的面积为5cm2；
（3）当t为何值时，△PBQ和△ABC相似？
（3）①若△BPQ∽△BAC，则＝，
即＝，解得t＝3；
②若△BPQ∽△BCA，则＝，
即＝，解得t＝1.2，
综上所述，当t＝3或1.2时，△PBQ和△ABC相似.
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第8课时 相似三角形的判定（3）
第23章 图形的相似
一、选择题
1.甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形（ C ）
A.一定不相似 B.不一定相似
C.一定相似 D.无法判断是否相似
C
2.在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ B ）
A.＝＝
B.＝且∠B＝∠E
C.＝且∠A＝∠D
D.∠A＝∠D，∠B＝∠E
B
3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与如图所示的△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ B ）
第3题图
A
B
C
D
B
二、填空题
4.已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
（1）如果DE＝10，那么当EF＝ 12.5 ，FD＝ 15 时，△DEF∽△ABC；
（2）如果DE＝10，那么当EF＝ 12 ，FD＝ 8 时，△FDE∽△ABC.
5.在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，则当＝ 2 时，△ABC∽△DEF.
12.5
15
12
8
2
三、解答题
6.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A'B'＝25，B'C'＝40，C'A'＝20；
解：（1）△ABC∽△C'A'B'，理由如下：
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△C'A'B'；
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A'B'＝12，B'C'＝16，C'A'＝20.
解：（2）△ABC∽△A'B'C'，理由如下：
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△A'B'C'.
7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？
第7题图
解：△ABC∽△ADE，理由如下：
由图可知，AB＝＝2，BC＝10，
AC＝＝2，AE＝2，AD＝，
DE＝＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△ADE.
一、填空题
8.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，则当AB＝ 3或3 时，△ABC与△ACD相似.
第8题图
3或3
9.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为 3 .
第9题图
3
二、解答题
10.如图，点B、D、E在同一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝.
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（1）证明：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAE；
第10题图
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，
∠ADE＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠EBC＝∠BAD＝21°；
（3）连接EC，求证：△ABD∽△ACE.
（3）证明：由（1）知∠BAD＝∠CAE，
又∵＝，即＝，
∴△ABD∽△ACE.
解答题
11.如图，在平面直角坐标系中，梯形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE＝2EB，CB＝3，OA＝6，BA＝3，OD＝5.
第11题图
（1）证明：如图，过点B作BG⊥OA于点G，
∴四边形OCBG是矩形，
∴BG＝OC，OG＝BC＝3，AG＝OA－OG＝3，
由勾股定理，得BG＝＝6，
∴OC＝BG＝6，
由勾股定理，得OB＝＝3，
∵OE＝2EB，∴OE＝OB＝2，
∵＝＝，且∠DOE＝∠BOC，
∴△ODE∽△OBC；
（1）求证：△ODE∽△OBC；
（2）在y轴上找一点P，使得△PFO∽△ODE，直接写出点P的坐标.
（2）解：∵△ODE∽△OBC，
∴∠OED＝∠OCB＝90°，
∴∠OED＝∠FOD＝90°，DE＝＝，
又∵∠ODE＝∠FDO，∴△DOE∽△DFO，
∴＝，即＝，∴FO＝10，
∵△PFO∽△ODE，
∴＝，即＝，∴PO＝20，
∴点P的坐标为（0，20）或（0，－20）.
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第9课时 专题相似三角形的判定
第23章 图形的相似
解答题
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF交AB于点H，求证：△DEH∽△BCA.
第1题图
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，
∵∠BHF＝∠DHE，
∴∠D＝∠B，
又∵∠DEH＝∠C＝90°，
∴△DEH∽△BCA.
2.如图，点D在△ABC的边AB上，AD＝1，BD＝2，AC＝，求证：△ACD∽△ABC.
第2题图
证明：∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
3.如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，AD＝2BD，AE＝2CE，＝，求证：△ABC与△ADE相似.
第3题图
证明：∵AD＝2BD，AE＝2CE，
∴＝，＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴△ADE∽△ABC.
4.如图，在矩形ABCD中，BC＝12cm，AB＝8cm，P、Q分别是AB、BC上的两动点.若点P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q自点B出发，以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，△PBQ与△BCD相似？
第4题图
解：如图，
设经过xs，△PBQ与△BCD相似，
则AP＝xcm，PB＝（8－x）cm，BQ＝2xcm，
由于∠PBQ＝∠BCD＝90°，
①当∠1＝∠2时，△PBQ∽△DCB，
∴＝，即＝，
解得x＝；
②当∠1＝∠3时，△PBQ∽△BCD，
∴＝，即＝，
解得x＝2，
∴经过s或2s，△PBQ与△BCD相似.
解答题
5.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（1）证明：由勾股定理得：AB2＝22＋42＝20，AC2＝22＋12＝5，BC2＝32＋42＝25，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
第5题图
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）解：△ABC与△DEF相似，
理由：由勾股定理得：DF＝＝2，DE＝＝4，EF＝＝2，
由（1）知：AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点.
（3）解：如图，和△ABC相似的三角形是△P4P5P2，
理由：由勾股定理得：P5P2＝＝，P4P2＝＝，P4P5＝＝2，
∵AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△P4P5P2.
解答题
6.如图，在平面直角坐标系xOy内，点A（6，0）、C（－4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点.
（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；
解：（1）∵A（6，0），∴OA＝6，
∴OB＝＝8，
∵点B在y轴的正半轴，
∴点B的坐标为（0，8），
设直线AB的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
将A（6，0），B（0，8）代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴直线AB的表达式为y＝－x＋8；
第6题图
（2）若△APC与△AOB相似，求点P的坐标.
解：（2）如图，分两种情况考虑，
①当△AOB∽△ACP1时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，
∵当x＝－4时，y＝－x＋8＝，
∴点P1的坐标为（－4，）；
②当△AOB∽△AP2C时，设P2（m，－m＋8），
∵A（6，0），C（－4，0），∴AC＝10，
∵△AOB∽△AP2C，∴＝，即＝，
解得CP2＝8，
∴＝8，
整理，得：（m－4）2＝0，解得m＝，
∴点P2的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（－4，）或（，）.
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第10课时 相似三角形的性质
第23章 图形的相似
一、选择题
1.若两个相似三角形的相似比是2∶5，则对应高的比是（ A ）
A.2∶5 B.4∶25 C. D.25∶4
2.已知两个相似三角形的相似比是2∶3，其中较小三角形的一条中线长6cm，则较大三角形中对应的中线长为（ D ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
3.若两个相似三角形的面积之比为1∶9，则它们的周长之比为（ A ）
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
A
D
A
二、填空题
4.两个相似三角形对应边上中线的比为3∶2，则对应边上的高的比为 3∶2 ，周长之比为 3∶2 ，面积之比为 9∶4 .
5.如果两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，它们一条对应高的差为5cm，那么这两条对应高的长分别是 10cm，15cm .
6.已知两个相似三角形的相似比为2∶5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为 25 .
3∶2
3∶2
9∶4
10cm，15cm
25
三、解答题
7.已知△ABC∽△A'B'C'，＝，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A'B'C'的面积是64cm2，求：
（1）A'B'边上的中线C'D'的长；
解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝，
∴C'D'＝4×2＝8cm，
∴A'B'边上的中线C'D'的长为8cm；
（2）△A'B'C'的周长；
解：（2）∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝，
∴C△A'B'C'＝20×2＝40cm，
∴△A'B'C'的周长为40cm；
（3）△ABC的面积.
解：（3）∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝＝，
∴S△ABC＝64÷4＝16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
8.如图，在△ABC中，BC＝120mm，点Q，M在BC上，点P，N分别在AB，AC上，四边形PQMN为矩形，△ABC的高AD与PN相交于点E，且AD＝80mm.
（1）若这个矩形是正方形，则边长是多少？
解：（1）设正方形PQMN的边长为xmm，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝48，
∴正方形PQMN的边长是48mm；
第8题图
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则长和宽各是多少？
解：（2）设矩形PQMN的宽为ymm，
由（1）得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，或＝，
解得y＝30或，
∴矩形PQMN的宽为30mm，长为60mm或宽为mm，长为mm.
一、填空题
9.如图，在 ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝ 4∶10∶25 .
第9题图
4∶10∶25
10.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，…，如此作下去，则所作的第n个正方形的面积Sn＝ .
第10题图
二、解答题
11.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求证：＝.
第11题图
证明：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠B，∴△ACB∽△DAC，
∴＝（）2，
又∵AD∥BC，∴＝，
∴（）2＝，即＝.
解答题
12.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于点F.试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.
第12题图
解：存在.
∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，
△EFP为等腰直角三角形，有三种情况：
①如图1，过点C作CD⊥AB于点D，
当∠PEF＝90°，EP＝EF时，
由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠ACB＝90°，
∴Rt△ACB斜边AB上的高CD＝，
设EP＝EF＝x，
由△ECF∽△ACB，得：＝，
即＝，解得x＝，即EF＝；
图1
②如图1，当∠EFP'＝90°，EF＝FP'时，
同①理可得EF＝；
图1
③如图2，当∠EP″F＝90°，P″E＝P″F时，
过点P″作P″H⊥EF于点H，过点C作CD⊥AB于点D，
∴P″H＝EF，
设EF＝x，则P″H＝x，
由△ECF∽△ACB，得：＝，
即＝，解得x＝，即EF＝，
综上所述，在AB上存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝或.
图2
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第11课时 专题比例线段的证明
第23章 图形的相似
解答题
1.如图，在△ABC与△DBE中，∠A＝∠D，∠ABD＝∠CBE.求证：BD·BC＝BA·BE.
第1题图
证明：∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DBE，
∴＝，∴BD·BC＝BA·BE.
2.如图，在 ABCD中，M，N分别是AD，BC上的点，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别是E，F，求证：＝.
第2题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠MDE＝∠NBF，
∵ME⊥BD，NF⊥BD，
∴∠MED＝∠NFB＝90°，
∴△MED∽△NFB，∴＝.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E，F在AB上，点D，G分别在BC，AC上，且四边形DEFG是正方形，求证：EF2＝BE·AF.
第3题图
证明：∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠AFG＝∠DEB＝90°，GF＝EF＝DE，
∴∠A＋∠AGF＝90°，∴∠AGF＝∠B，
∴△AFG∽△DEB，∴＝，即＝，
∴EF2＝BE·AF.
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.
第4题图
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，∴AD2＝AE·AB，
同理：AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
5.如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N.求证：＝.
第5题图
证明：∵直线DN∥AM，∴＝，＝，
∵在△ABC中，AM是BC边上的中线，
∴MB＝MC，∴＝.
6.如图，已知△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE＝AD，ED和AB相交于点F，求证：EF∶FD＝AC∶BC.
第6题图
证明：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，
则△ADG∽△ACB，△DGF∽△EBF，
∴＝，＝，∴＝，
∵BE＝AD，∴＝＝，
即EF∶FD＝AC∶BC.
解答题
7.在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF；
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＋∠DFC＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DE＝CF；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＋∠CFD＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，∴＝；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGF满足什么关系时，＝成立？并证明你的结论.
（3）解：当∠B＝∠EGF时，＝成立，
证明：如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A＝∠CDM，∠B＋∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF＋∠A＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，
∴＝，即＝.
解答题
8.如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD⊥AB于点D.点P是射线CD上一动点，连接AP并在AP边右侧作△APQ，使得∠PAQ＝∠CAB且＝，连接BQ.
（1）求证：BA平分∠CBQ；
（1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝∠CAB＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠PAQ＝∠CAB，＝，
∴∠PAC＝∠QAB，＝，
∴△CAP∽△BAQ，∴∠ACP＝∠ABQ，
∴∠ABC＝∠ABQ，∴BA平分∠CBQ；
（2）当AQ∥BC时，如图2，延长AP交BC边于点E，求证：CE·BC＝AD·AB；
（2）证明：∵AQ∥BC，∴∠QAB＝∠CBA，
由（1）得∠CAE＝∠QAB，∴∠CAE＝∠CBA，
又∵∠ACE＝∠BCA＝90°，∴△ACE∽△BCA，
∴＝，∴AC2＝CE·BC，
∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB，
∴CE·BC＝AD·AB；
（3）若AC＝3，BC＝4，点P在运动的过程中，直线PQ交边AB于点F，当△BQF是等腰三角形时，求线段AP的长.
（3）解：如图，设射线BQ交CD于点W，连接AW，
①如图1，当BF＝BQ时，
∵∠ABC＝∠ABW，∴点C，W关于AB对称，
∴AC＝AW＝3，∠AWB＝∠ACB＝90°，
∵∠PAQ＝∠CAB，＝，
∴△ACB∽△APQ，∴∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴∠APQ＋∠AWQ＝180°，∴∠BQF＝∠WAP，
∵BF＝BQ，∴∠BQF＝∠BFQ＝∠AFP，
∵∠APD＋∠DPF＝∠DPF＋∠PFD＝90°，
∴∠APD＝∠AFP，∴∠WAP＝∠APW，∴AW＝PW＝3，
在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
∵AC2＝AD·AB，∴AD＝，∴DW＝＝，
∴DP＝PW－DW＝，∴AP＝＝；
②如图2，当FQ＝FB时，易证AP＝PW，
∴DP＝DW－PW＝－AP，
在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，
即（）2＋（－AP）2＝AP2，
解得AP＝；
③∵∠BFQ＞∠AQP＝∠ABQ，∴FQ≠BQ，
综上所述，满足条件的AP的长为或.
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第12课时 相似三角形的应用
第23章 图形的相似
一、选择题
1.小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是18m，则旗杆的高度是（ C ）
A.9m B.11m C.12m D.27m
C
2.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C到旗杆底部D的距离是4m，如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A到小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度为（ B ）
B
第2题图
A.10m B.12m C.12.4m D.12.32m
二、填空题
3.如图，小明在打网球时，网高0.9m，击球点到球网的水平距离是10m，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为 2.7 m.
第3题图
2.7
4.如图是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD的长为0.55m，则梯子的长为 4.4m .
第4题图
4.4m
三、解答题
5.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120m，CB＝60m，BD＝50m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO.
第5题图
解：∵AB⊥AO，DB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，
∵∠ACO＝∠BCD，
∴△ACO∽△BCD，
∴＝，
∵AC＝120m，CB＝60m，BD＝50m，
∴＝，∴AO＝100m，
答：峡谷的宽AO是100m.
6.如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米.请你利用小明测量的数据算出电线杆AB的高.
第6题图
解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，
∵太阳光线是平行光线，
∴∠NFM＝∠ACG，
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，
∴△NMF∽△AGC，
∴＝，
∴AG＝＝6米，
∴AB＝AG＋GB＝8米，
答：电线杆AB的高为8米.
一、选择题
7.如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（ B ）
第7题图
B
A.4 m B.m C.5m D.m
二、填空题
8.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座点B，若不考虑其它因素，此时该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为 75 cm.
第8题图
75
三、解答题
9.如图，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，求电线杆的高度.
第9题图
解：如图，∵DF∥EC，
∴△ADF∽△AEC，
∴＝，
∵GF⊥EC，BC⊥EC，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，∴＝，∴＝，
∵DF＝0.6m，GF＝0.12m，EC＝30m，
∴＝，∴BC＝6m，
答：电线杆的高度为6m.
解答题
10.如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m，丙在C1处也直立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，测得C1E1＝4m，求旗杆AB的高.
第10题图
解：设BO＝xm，GO＝ym，
∵GD∥OB，
∴△DGF∽△BOF，
∴＝，
即＝①，
同理可得：△D1HF1∽ △BOF1，
∴＝，
即＝②，
联立①、②解得，
∴旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5m.
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第13课时 三角形的中位线
第23章 图形的相似
一、选择题
1.已知三角形的周长是16，则它的三条中位线围成的三角形的周长是（ C ）
A.16 B.12 C.8 D.4
2.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为（ B ）
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
第2题图
C
B
二、填空题
3.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝ .
第3题图
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝ 3 厘米.
第4题图
3
三、解答题
5.如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.
（1）若EF＝5cm，则AB＝ cm，
若BC＝9cm，则DE＝ cm；
解：（1）∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴AB＝2EF＝10cm，DE＝BC＝4.5cm，
故答案为：10，4.5；
第5题图
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想.
解：（2）互相平分，
证明：如图，连接DF，
∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴AD＝EF＝AB，AD∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴中线AF与中位线DE的关系是互相平分.
第5题图
6.如图，四边形ABCD中，一组对边AB＝DC＝4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD＝30°.求：
（1）MH的长；
解：（1）∵M、H分别是AD、BD的中点，
∴MH∥AB，MH＝AB，
∵AB＝4，∴MH＝2；
第6题图
（2）MN的长.
解：（2）如图，连接HN，过点H作HQ⊥MN于点Q，
同（1）可知，HN∥DC，HN＝DC＝2，
∴△MHN是等腰三角形，
∵∠ABD＝30°，∠BDC＝90°，
∴∠MHD＝30°，∠NHD＝90°，
∴∠MHN＝120°，
∴∠HMQ＝∠HNQ＝30°，
∵MH＝2，∴HQ＝MH＝1，
∴MQ＝＝，
∵HQ⊥MN，∴MN＝2MQ＝2.
一、填空题
7.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 11 .
第7题图
11
二、解答题
8.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，已知两底差是6，两腰和是12，求△EFG的周长.
第8题图
解：如图，连接AE并延长，交CD于点K，
∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，
∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，
∵EF为△ACK的中位线，
∴EF＝CK＝（DC－DK）＝（DC－AB），
∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝BC，
又∵FG为△ACD的中位线，∴FG＝AD，
∴EG＋GF＝（AD＋BC），
∵两腰和是12，∴AD＋BC＝12，
∵两底差是6，∴DC－AB＝6，
∴EG＋GF＝6，EF＝3，
∴△EFG的周长为EG＋GF＋EF＝9.
解答题
9.已知在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC，过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.
（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，判断∠AMF与∠BNE有何数量关系？（不需证明）
解：（1）∠AMF＝∠BNE；
（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明.
解：（2）题图2：∠AMF＝∠BNE，
证明：如图1，取AC的中点H，连接HE、HF，
∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＝∠HFE，
同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠BNE＝∠HEF，
∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠AMF＝∠BNE；
图1
图1
题图3：∠AMF＋∠BNE＝180°，
证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF，
∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，
同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠BNE＝∠HEF，
∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠AMF＋∠BNE＝180°.
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第14课时 位似图形
第23章 图形的相似
一、选择题
1. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点A为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍后得△AB'C'，则∠B'＝（ C ）
A.36° B.54° C.72° D.144°
C
2.如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，O为位似中心，OD＝OD'，则A'B'∶AB＝（ D ）
A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.2∶1
第2题图
D
二、填空题
3.如图，已知△ABC与△A'B'C'是一对位似三角形，O为位似中心，若AB∶A'B'＝3∶1，且OA'＝2，则AA'＝ 4 .
第3题图
4
4. 如图，以O为位似中心，将五边形ABCDE放大得到五边形A'B'C'D'E'，已知OA＝10cm，OA'＝30cm，如果S五边形A'B'C'D'E'＝27cm2，那么S五边形ABCDE＝ 3cm2 .
第4题图
3cm2
三、解答题
5. 在如图所示的方格纸中，按要求作图.（保留作图痕迹）
第5题图
（2）画出以O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到的△A2B2C2.
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求.
（1）画出与△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
6.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
（1）以点O为位似中心，在网格图中作出△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1∶2；
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
第6题图
（2）求四边形AA'C'C的周长.（结果保留根号）
解：（2）根据勾股定理，得：
AC＝＝2，
A'C'＝＝，
∴四边形AA'C'C的周长为1＋＋2＋2＝3＋3.
一、填空题
7.若两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且面积之和为68cm2，则较大图形的面积为 50cm2 .
50cm2
二、解答题
8.如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，
（1）以点O为位似中心，在点O的左侧作△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比为1∶2；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
第8题图
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并求出点A旋转的路径的长.
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
∵OA＝＝，
∴点A旋转的路径的长为：
＝π.
解答题
9.如图，△ABC中，AB＝80cm，高CD＝60cm，矩形EFGH中，E、F在AB边上，G在BC边上，H在△ABC内，且EF∶GF＝2∶1.
第9题图
解：（1）矩形GFEH的位似图形的长与宽的比为2∶1，设其宽IJ＝xcm，则长IK＝2xcm，
如图，易知△BIJ∽△BCD，△CIK∽△CBA，
∴＝①，＝②，
①②两式左右两边分别相加得：＋＝1，
即＋＝1，解得：x＝24，
∴IJ＝24cm，∴＝＝，
作法：先找出点I，使＝，然后作IJ⊥AB于点J，作IK∥AB交AC于点K，再过点K作KL⊥AB于点L，连接各顶点，四边形IJLK即为所求；
（1）在△ABC内画出矩形GFEH的位似图形，使其顶点在△ABC的边上；（写出作法）
（2）求所作的矩形的面积.
解：（2）由（1）知，该矩形的长IK＝48cm，宽IJ＝24cm，
∴S矩形IJLK＝24×48＝1152cm2.
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第15课时 用坐标确定位置
第23章 图形的相似
一、选择题
1.根据下列表述，能确定位置的是（ C ）
A.北偏东60°
B.成都市春熙路
C.东经118°，北纬40°
D.奥斯卡影院1号厅3排
C
2.下列关于坐标的说法正确的是（ D ）
A.（3，4）与（4，3）表示的位置相同
B.（a，b）与（b，a）表示的位置肯定不同
C.坐标（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置
D.（3，5）与（5，3）是表示不同位置的两个有序数对
D
3.如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2，90°）、B的位置为（4，210°），则C的位置为（ C ）
第3题图
A.（－2，150°） B.（150°，3）
C.（4，150°） D.（3，150°）
C
二、填空题
4.将某会场座位号“7排4号”记作（7，4），那么“3排5号”记作 （3，5） .
5.如图把QQ“笑脸”图标放在直角坐标系中，已知点A的坐标是（－2，3），点B的坐标是（0，3），则嘴唇点C的坐标是 （－1，1） .
（3，5）
（－1，1）
北偏西25°方向，距离为
300m
第5题图
6.学校位于小亮家北偏东35°方向，距离为300m，学校位于大刚家南偏东85°方向，距离也为300m，则大刚家相对于小亮家的位置是 北偏西25°方向，距离为300m .
三、解答题
7.如图所示的是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小方格的边长为1）.
（1）请写出商会大厦和医院的坐标；
解：（1）由图可得：商会大厦的坐标为（－1，2），
医院的坐标为（3，1）；
第7题图
（2）王老师在市政府办完事情后，沿（2，0）→（2，－1）→（2，－3）→（0，－3）→（0，－1）→（－2，－1）的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方.
解：（2）他路上经过的地方有大剧院，体育公园，购物广场.
8.在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点C处，只告诉大家两个标志点A，B的坐标分别为（－3，1）、（－2，－3），以及点C的坐标为（3，2）（单位：km）.
（1）请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置；
解：（1）如图，根据A（－3，1），B（－2，－3）画出直角坐标系，描出点C（3，2）；
第8题图
（2）若同学们打算从点B处直接赶往点C处，请用方向角和距离描述点C相对于点B的位置.
解：（2）BC＝5km，
∴点C在点B的东北方向，与点B相距5 km.
一、选择题
9.在一次中学生野外生存训练活动中，每位队员都配发了一张地图，并接到训练任务，要求36小时之内到达目的地，但是，地图上并未标明目的地的具体位置，仅知道A、B两地的坐标分别为A（－1，2）、B（3，2）且目的地与A、B两地的距离分别为5、3，如图所示，则目的地的具体位置的坐标为（ B ）
第9题图
B
A.（3，5）
B.（3，5）或（3，－1）
C.（－1，－1）或（3，－1）
D.（3，－1）
10.如图，一个粒子在x轴上及第一象限内运动，第1次从（0，0）运动到（1，0），第2次从（1，0）运动到（2，0），第3次从（2，0）运动到（1，1），它接着按图中箭头所示的方向运动，则它第2023次运动到达的点为（ C ）
第10题图
A.（55，8） B.（56，7）
C.（58，6） D.（59，5）
C
二、填空题
11.如图，在一座高层的商业大厦中，每层的摊位布局基本相同.若第六层的高档服装销售摊位可表示为（6，2，3），则第六层的手表摊位可表示为 （6，4，5） .
第11题图
（6，4，5）
三、解答题
12.象棋在中国有近三千年的历史，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走.
（1）若点A的坐标为（－4，4），点B的坐标为（3，1），写出棋子“帅”“马”和“兵”所在点的坐标；
解：（1）由A（－4，4），B（3，1），可知坐标系如图所示，
则帅（1，0）、马（2，3）、兵（－2，1）；
第12题图
（2）若“马”的位置在点A，为了到达点B，请按“马”走的规则，在图上画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示出来.
解：（2）如图所示，A（－4，4）→（－2，3）→（0，2）→（2，3）→B（3，1）.（答案不唯一）
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第16课时 图形的变换与坐标
第23章 图形的相似
一、选择题
1.点P（－2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为（ A ）
A.（－2，3） B.（0，3）
C.（2，－1） D.（0，1）
2.在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（－2，3），则点N的坐标为（ C ）
A.（－3，2） B.（2，3）
C.（2，－3） D.（－2，－3）
A
C
3.在平面直角坐标系中，若点P（－3，a）与点Q（b，－4）关于x轴对称，则a＋b＝（ C ）
A.－7 B.7 C.1 D.－1
4.在平面直角坐标系中，将点A（1，2）绕点P（－1，1）顺时针旋转90°到点A'处，则点A'的坐标为（ B ）
A.（－2，3） B.（0，－1）
C.（1，0） D.（－3，0）
C
B
二、填空题
5.点M（2，4）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 （－1，6） .
（－1，6）
三、解答题
6.△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的.
（1）分别写出点A'，B'，C'的坐标；
解：（1）A'（－3，1），B'（－2，－2），C'（－1，－1）；
第6题图
（2）说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的；
解：（2）△A'B'C'是由△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的；
（3）若点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后△A'B'C'内的对应点为P'，写出点P'的坐标.
解：（3）平移后△A'B'C'内的对应点P'的坐标为（a－4，b－2）.
7.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点A的坐标为（－3，4）.
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（3，4）；
第7题图
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（－4，－3）；
（3）求出（2）中点A所经过的路径的长度.
解：（3）点A所经过的路径的长度为：
＝π.
一、填空题
8.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a，则点B的横坐标是 －（a＋3） .
第8题图
－（a＋3）
二、解答题
9.如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'.
（1）画出△A'B'C'，并写出点A'、B'、C'的坐标；
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求，
A'（0，4）、B'（－1，1）、C'（3，1）；
第9题图
（2）求出△ABC的面积；
解：（2）S△ABC＝×（3＋1）×3＝6；
（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标.
解：（3）设P（0，y），
∵BC＝4，点P到BC的距离为｜y＋2｜，
由题意得×4×｜y＋2｜＝6，
解得y＝1或－5，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，－5）.
解答题
10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）.
（1）请在图中画出△ABC的一个以点P（12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形；（要求与△ABC在点P的同一侧）
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求，
第10题图
（2）求线段BC的对应线段B'C'所在直线的解析式.
解：（2）如图，作BD⊥x轴于点D，B'E⊥x轴于点E，
∴B'E∥BD，＝＝，
∵B（8，2），∴OD＝8，BD＝2，
∵P（12，0），∴OP＝12，∴PD＝OP－OD＝4，
∵△A'B'C'与△ABC的相似比为3，
∴＝3，∴＝＝3，∴B'E＝6，PE＝12，
∵PO＝PE，∴点E与点O重合，∴B'（0，6），同理PC'∶PC＝3∶1，
又∵PC＝OP－OC＝3，∴PC'＝9，
∴OC'＝OP－PC'＝3，∴C'（3，0），
设线段B'C'所在直线的解析式为y＝kx＋b，
则，解得，
∴线段B'C'所在直线的解析式为y＝－2x＋6.
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第17课时 复习巩固
第23章 图形的相似
一、选择题
1.课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，如果小军的位置用（0，－2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么小华的位置可以表示为（ A ）
第1题图
A
A.（－2，－3） B.（－3，－2）
C.（－3，－4） D.（－4，－3）
2.将点P（m＋2，2m＋1）向左平移1个单位长度得到点P'，且点P'在y轴上，那么点P'的坐标是（ A ）
A.（0，－1） B.（0，－2）
C.（0，－3） D.（1，1）
A
3.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ B ）
第3题图
A.∠ADC＝∠ACB B.＝
C.∠ACD＝∠B D.AC2＝AD·AB
B
4.如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，连接DE，则下列结论不正确的是（ B ）
第4题图
A.＝ B.S△DOE∶S△BOC＝1∶2
C.＝ D.△ADE∽△ABC
B
二、填空题
5.若＝＝＝，则＝ .
6.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是 10.8m .
第6题图
10.8m
三、解答题
7.如图，在边长为9的正△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长.
第7题图
解：∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠CDE＝120°，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＋∠BAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，∴＝，
∵BD＝3，BC＝AB＝AC＝9，
∴CD＝BC－BD＝6，∴＝，
∴CE＝2，∴AE＝AC－CE＝7.
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，－4），B（3，－2），C（6，－3）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
第8题图
（2）以M为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2∶1放大后的位似图形△A2B2C2；
解：（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）△A2B2C2面积为 .
解：（3）14.
一、选择题
9.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝（ B ）
第9题图
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶3
B
二、填空题
10.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA＝OB＝1，过点O作OM1⊥AB于点M1，过点M1作M1A1⊥OA于点A1；过点A1作A1M2⊥AB于点M2，过点M2作M2A2⊥OA于点A2；…，以此类推，点M2023的坐标为 （1－，） .
第10题图
（1－，）
三、解答题
11.在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC边上的一个动点，连接DE，交AC于点F.
（1）如图1，当＝时，求的值；
（1）解：∵＝，∴＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CEF∽△ADF，
∴＝，∴＝＝，∴＝＝；
（2）如图2，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，
又∵∠ADF＝∠ADO＋∠ODF，∠AFD＝∠FCD＋∠CDF，
∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，
在Rt△AOD中，AD＝＝OA，
∴AF＝OA；
（3）如图3，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG.
（3）证明：∵点E是BC的中点，∴＝，
由（1）知＝＝，∴＝，
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，∴＝＝，
在Rt△FGC中，∵∠GCF＝45°，∴CG＝GF，
又∵CD＝BC，∴＝，＝，
∴CG＝BG.
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第1课时 成比例线段
第23章 图形的相似
一、选择题
1.如果2a＝－3b，那么＝（ B ）
A.－ B.－ C.5 D.－1
2.下列线段的长度成比例的是（ A ）
A.1cm、2cm、3cm、6cm
B.2cm、3cm、4cm、5cm
C.1.5cm、2.5cm、4cm、5cm
D.1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm
B
A
3.若＝＝（b＋d≠0），则的值为（ A ）
A. B. C.1 D.
4.若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，c＝6cm，d＝4cm，则b的长为（ D ）
A.8cm B.cm C.4cm D.2cm
A
D
5.若＝＝≠0，则下列各式正确的是（ B ）
A.2x＝3y＝4z B.＝
C.＝ D.＝
B
二、填空题
6.（1）已知一矩形的长a＝1.35m，宽b＝60cm，则a∶b＝ 9∶4 ；
（2）已知点P在线段AB上，且AP∶PB＝2∶5，则AB∶PB＝ 7∶5 ，AP∶AB＝ 2∶7 .
9∶4
7∶5
2∶7
三、解答题
7.（1）求比例（1－2x）∶（5－x2）＝2∶x中的x的值；
解：由比例的性质，得：x（1－2x）＝2（5－x2），
∴x－2x2＝10－2x2，
∴x＝10.
（2）已知＝＝2，求和的值；
解：∵＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，
∴＝＝，
＝＝.
（3）已知线段a，b，c满足＝＝，且a＋2b＋c＝26.
①求a，b，c的值；
②若线段x是线段6a，b的比例中项，求x的值.
解：①设＝＝＝k（k≠0），
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
∵a＋2b＋c＝26，
∴3k＋2×2k＋6k＝26，解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
②∵线段x是线段6a，b的比例中项，
∴x2＝6ab＝6×6×4＝144，
∴x＝12.
8.若点M在线段AB上，点N在线段BA的延长线上，AB＝18，＝＝，求线段MN的长.
解：根据题意画图得：
∵AB＝18，＝＝，
∴AM＝AB＝8，AN＝4AB＝72，
∴MN＝AN＋AM＝80，
答：线段MN的长为80.
一、选择题
9.若三角形三边长之比为a∶b∶c＝3∶4∶5，且a－b＋c＝12，则这个三角形的周长为（ D ）
A.12 B.18 C.24 D.36
D
二、填空题
10.正方形ABCD的两条对角线相交于点O，则AO∶AB∶AC＝ 1∶∶2 .
1∶∶2
三、解答题
11.如图，已知＝，AD＝6.4cm，DB＝4.8cm，EC＝4.2cm，求AC的长.
第11题图
解：∵＝，
∴＝，∴AE＝5.6cm，
∴AC＝AE＋EC＝9.8cm.
12.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，CD是斜边AB上的高，求CD∶AB的值.
第12题图
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝10cm，
由面积公式得：
S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝cm，
∴CD∶AB＝∶10＝.
解答题
13.已知（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝7∶14∶9，
（1）求a∶b∶c；
解：∵（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝7∶14∶9，
∴设a＋b＝7k，b＋c＝14k，c＋a＝9k，
∴a＝k，b＝6k，c＝8k，
（1）a∶b∶c＝1∶6∶8；
（2）求的值.
（2）＝＝－.
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第2课时 平行线分线段成比例
第23章 图形的相似
一、选择题
1.如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比值与一定相等的是（ B ）
第1题图
A. B. C. D.
B
2.如图，已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5，EF＝4，则DE＝（ C ）
第2题图
A.5 B.3 C.3.2 D.4
C
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝4，则AC＝（ D ）
第3题图
A.8 B.9 C.10 D.12
D
4.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB＝（ C ）
第4题图
A.3∶8 B.3∶5 C.5∶8 D.2∶5
C
二、填空题
5.如图，已知AB∥CD∥EF，AF、BE相交于O，若AO＝OD＝DF＝3cm，BE＝10cm，则BO的长为 cm .
第5题图
cm
6.如图，已知a∥b∥c，AC∶CO∶OF＝2∶1∶4，BE＝35，那么BD＝ 10 .
第6题图
10
三、解答题
7.如图，已知AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若＝，DE＝6，求EF的长.
第7题图
解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵＝，DE＝6，
∴＝，∴EF＝9.
8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.
（1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；
解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得AE＝10；
第8题图
（2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长.
解：（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得AC＝15，
∴EC＝AC－AE＝9.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，F为BC的三等分点，EF⊥BC交AB于E，若BE＝2，则AB＝ 3 .
第9题图
3
二、解答题
10.如图，已知点O是△ABC中BC边的中点，且＝，求的值.
第10题图
解：如图，过点B作BF∥AC交DE于点F，
∵BF∥AC，
∴∠FBO＝∠C，∠BFO＝∠CEO，
∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△OBF和△OCE中，
，
∴△OBF≌△OCE（AAS），∴BF＝CE，
∵＝，∴＝，
又∵BF∥AE，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝＝.
解答题
11.请阅读以下材料，并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，….
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（1）证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，∴＝；
（2）如图3，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长.
（2）解：∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝，
∴C△ABD＝AB＋BD＋AD＝.
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第3课时 专题黄金分割
第23章 图形的相似
一、选择题
1. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽、AB为长的矩形面积为S2，则S1与S2之间的大小关系为（ A ）
A.S1＝S2
B.S1＞S2
C.S1＜S2
D.不能确定
第1题图
A
2.若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC的长为（ C ）
A.cm B.2（－1）cm
C.4（－1）cm D.6（－1）cm
3.已知线段AB＝1，C是AB的黄金分割点，AC＞BC，则BC的长为（ C ）
A.－1 B. C. D.
4.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（ D ）
A. B. C.3－ D.－2
C
C
D
二、填空题
5.把10米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为 （5－5） 米.
6.点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AC＝＋1，则BC的长是 2 .
（5－5）
2
三、解答题
7.若线段AB＝4cm，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，求AC－BC的值.
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝（2－2）cm，
∴BC＝AB－AC＝（6－2）cm，
∴AC－BC＝（4－8）cm.
8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165cm，下半身长xcm与身高lcm的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为多少？（精确到1cm）
第8题图
解：由题意得x＝165×0.60＝99，
设需要穿的高跟鞋的高度是ycm，
则根据黄金分割的定义，
得＝0.618，解得y≈8，
答：她应穿的高跟鞋的高度大约为8cm.
9.如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，已知底与腰的比为的三角形是黄金三角形，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，且AB＝4，求DE的长.
第9题图
解：∵△ABC是黄金三角形，
∴BC＝AB＝2－2，
∵△BCD是黄金三角形，
∴CD＝BC＝6－2，
∵△DEC是黄金三角形，
∴DE＝CD＝6－2，
即DE的长为6－2.
一、填空题
10.著名数学家华罗庚（1910－1985）倡导优选法，就是对生产和科学试验中提出的问题，根据数学原理，通过尽可能少的试验次数，迅速求得最佳方案的方法.这个数学原理就是利用中国古代黄金分割比值的近似值0.618乘以任意一个数，所得的另一个数，就是最佳的方案.某医院急诊室的护士利用体温表给病人量体温，按常规测一次体温需3分钟时间，实际上是 1.854 分钟时测的体温，同3分钟时测的体温一样，这 1.854 分钟与 1.146 分钟之间的分界点，就是用优选法产生出来的.
1.854
1.854
1.146
二、解答题
11.如果一个矩形的宽与长的比值为，那么称这个矩形为黄金矩形.如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由.
第11题图
解： 原矩形ABCD是黄金矩形，
理由： 设矩形BCFE的长BC＝x，
∵矩形BCFE为黄金矩形，
∴宽BE＝x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AE＝EF＝BC＝x，
∴AB＝x＋x＝x，
∴＝＝，
∴原矩形ABCD是黄金矩形.
解答题
12.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.
（1）求AM，DM的长；
（1）解：在Rt△APD中，PA＝AB＝1，AD＝2，
∴PD＝＝，
∴AM＝AF＝PF－PA＝PD－PA＝－1，
DM＝AD－AM＝2－（－1）＝3－；
第12题图
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（2）证明：∵AM2＝（－1）2＝6－2，AD·DM＝2（3－）＝6－2，
∴AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
（3）解：∵AM2＝AD·DM，＝＝，
∴点M是AD的黄金分割点.
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第4课时 相似图形
第23章 图形的相似
一、选择题
1.下列说法正确的是（ C ）
A.菱形都是相似图形
B.各边对应成比例的多边形是相似多边形
C.等边三角形都是相似三角形
D.矩形都是相似图形
C
2.若五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且＝3，则五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比是（ B ）
A.3∶1 B.1∶3
C.1∶9 D.无法确定
3.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列矩形与矩形ABCD相似的是（ A ）
A. B.
C. D.
B
A
二、填空题
4.一个四边形的各边长之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为 20 cm.
5. ABCD和 EFGH中，AB＝3，BC＝5，∠B＝40°，EF＝6，要使 ABCD∽ EFGH，则FG＝ 10 ，∠F＝ 40° .
6.如图，已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，则∠B'＝ 60° .
20
10
40°
60°
第6题图
三、解答题
7.如图，等腰梯形ABCD与等腰梯形A'B'C'D'相似，∠A'＝65°，A'B'＝6cm，AB＝8cm，AD＝5cm，试求梯形ABCD的各角的度数与A'D'，B'C'的长.
第7题图
解：∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A'B'C'D'相似，∠A'＝65°，
∴∠A＝∠A'＝65°，∠B＝∠A＝65°，∠D＝∠C＝180°－65°＝115°，
∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A'B'C'D'相似，
∴＝，即＝，
∴A'D'＝cm，
∴B'C'＝A'D'＝cm.
8.如图，有一块长为2m、宽为1m的矩形玻璃ABCD，为了保护玻璃，需要镶上宽10cm的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
第8题图
解：不相似，理由如下：
∵AB＝2m，AD＝1m，
∴EF＝2－0.1×2＝1.8m，
∴EN＝1－0.1×2＝0.8m，
∴＝＝0.9，＝＝0.8，
∵≠，
∴边框的内外边缘所成的矩形不相似.
一、填空题
9.下列说法正确的有 ②④ .（填序号）
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似.
10.将一张报纸对折后，若对折后的半张报纸和整张报纸相似，则整张报纸的长和宽的比是 ∶1 .
②④
∶1
二、解答题
11.如图，矩形花坛ABCD的宽AB＝20米，长AD＝30米.现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似，并且相对的两条小路的宽相等，试问小路的两个宽x与y的比值是多少？
第11题图
解：根据题意得A'B'＝AB＋2y，A'D'＝AD＋2x，
∵矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，
∴A'B'∶A'D'＝AB∶AD，
∴（20＋2y）∶（30＋2x）＝20∶30，
∴＝，
即小路的两个宽x与y的比值是.
解答题
12.已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝1.
（1）若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似，求AF∶AD；
解：（1）设AF＝x，
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，AD＝3，AB＝1，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴AF∶AD＝∶3＝1∶9；
第12题图
（2）若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小矩形，且每个小矩形的每条边与矩形ABCD的边平行，求这两个小矩形的周长和的最大值.
解：（2）两个小矩形的放置情况有如下几种：
①如图1，两个小矩形都“竖放”，
在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，两边长分别为1和 ，
此时两个小矩形的周长和的最大值为 ；
第12题图
图1
图1
②如图2、图3，两个小矩形都“横放”，
此时两个小矩形的周长和的最大值为：
2（a＋3a）＋2[1－a＋3（1－a）]＝8；
图2
图3
图2
图3
③如图4，两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，
此时两个小矩形的周长和为：
2（a＋3a）＋2（3－a＋）＝8＋，
∵0＜3a≤1，即0＜a≤，
∴当a＝时，两个小矩形的周长和最大，为 ，
综上所述，这两个小矩形的周长和的最大值为.
图4
图4
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第5课时 相似三角形
第23章 图形的相似
一、选择题
1.（1）已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝3∶1，AB＝6，则DE的长为（ B ）
A.18 B.2 C.54 D.
（2）已知△ADE∽△ABC，且相似比为，若DE＝8，则BC的长是（ D ）
A. B.6 C.8 D.12
B
D
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，DE＝3，则BC的长为（ C ）
第2题图
A.1 B. C.4 D.6
C
3.如图，AB∥CD，若AB＝12，CD＝4，AO＝9，则CO的长是（ B ）
第3题图
A. B.3 C.4.5 D.6
B
二、填空题
4.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝50°，∠C＝110°，则∠B'的度数为 20° .
5.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，D是AB边上的一点，若△ABC∽△ACD，则AD的长为 .
第5题图
20°
6.如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似的三角形共有 3 对.
第6题图
3
三、解答题
7.如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长.
第7题图
解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，
∴AC＝AD＋CD＝12，
∴＝＝，
∴AE＝4，AB＝9，
∴BE＝AB－AE＝5.
8.如图，已知DE∥BC，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠A＝45°，∠C＝40°，求：
（1）∠AED和∠ADE的度数；
解：（1）∵DE∥BC，∠C＝40°，
∴∠AED＝∠C＝40°，
∵∠A＝45°，
∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝95°；
第8题图
（2）DE的长.
解：（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，
∴＝，
∴DE＝cm.
一、填空题
9.如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形有 5 个.
第9题图
5
10.如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE＝4，CF＝3，AE＝BC，则的值是 .
第10题图
二、解答题
11.如图，在 ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF＝2cm，DF＝4cm，AG＝3cm，求AC的长.
第11题图
解：如图，延长FE交CB的延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝AF＋DF＝6cm，BC∥AD，
∴∠EAF＝∠EBH，∠AFE＝∠BHE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
∴△AFE≌△BHE（AAS），
∴BH＝AF＝2cm，∴CH＝BH＋BC＝8cm，
∵BC∥AD，
∴AG∶CG＝AF∶CH，
即3∶CG＝2∶8，∴CG＝12cm，
∴AC＝AG＋CG＝15cm.
解答题
12.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
①当＝时，＝；
②当＝时，＝；
③当＝时，＝；
….
猜想当＝时，的值，并说明理由.
第12题图
解：猜想：当＝时，＝，理由如下：
如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，
则＝＝，
∴＝，∴EG＝nAE，
∵AD是△ABC的中线，且DG∥BE，
∴EG＝CG，∴AC＝（2n＋1）AE，
∴＝.
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第6课时 相似三角形的判定（1）
第23章 图形的相似
一、选择题
1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ C ）
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
C
2.如图，在△ABC中，D，E分别为AC、BC边上的点，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似的三角形共有（ D ）
第2题图
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
D
3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（ D ）
第3题图
A. B. C. D.4
D
二、填空题
4.如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是 ∠ACD＝∠B（或∠ADC＝∠ACB） .（写出一种即可）
第4题图
∠ACD＝∠B（或∠ADC＝
∠ACB）
5.如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA＝∠B，若AC＝cm，AB＝3cm，则AD的长为 2cm .
第5题图
2cm
三、解答题
6.如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证：△ABC∽△FDE.
第6题图
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED，
∴△ABC∽△FDE.
7.如图，已知△PQR是等边三角形，∠APB＝120°，求证：△PAQ∽△BPR.
第7题图
证明：∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR＝∠PRQ＝60°，
∴∠PQA＝∠BRP＝120°，
∵∠PQR是△PQA的外角，
∴∠PQR＝∠APQ＋∠PAQ＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠PAQ＋∠PBR＝60°，
∴∠APQ＝∠PBR，
∴△PAQ∽△BPR.
8.如图，在 ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C，求证：△ABF∽△EAD.
第8题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠C＋∠D＝180°，∠BAF＝∠AED，
∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
一、填空题
9.如图，直线y＝－2x＋4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，若∠1＝∠2，则S△ABC＝ 3 .
第9题图
3
10.如图，在 ABCD中，AD＝10cm，CD＝6cm，E为AD上一点，若BE＝BC，CE＝CD，则DE＝ 3.6 cm.
第10题图
3.6
二、解答题
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.
（1）求证：△COM∽△CBA；
（1）证明：∵A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，∠COM＝90°，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠COM＝∠B，
又∵∠MCO＝∠ACB，
∴△COM∽△CBA；
第11题图
（2）求线段OM的长.
（2）解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，∴OC＝5，
∵△COM∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴OM＝.
解答题
12.如图，已知正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H，求证：
（1）△ADG≌△HED；
证明：（1）如图，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠EDG＝90°，DG＝ED，
∴∠1＋∠2＝90°，
∵EH⊥AB，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠A＝∠EHD＝90°，DG＝ED，
∴△ADG≌△HED（AAS）；
第12题图
（2）EF2＝BE·FC.
证明：（2）∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEF＝∠EFG＝90°，DE＝GF＝EF，
∴∠DEB＝∠CFG＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＋∠C＝90°，
在Rt△BDE中，∠B＋∠2＝90°，
∴∠2＝∠C，
∴△BDE∽△GCF，
∴＝，
∵DE＝GF＝EF，
∴＝，
∴EF2＝BE·FC.
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第7课时 相似三角形的判定（2）
第23章 图形的相似
一、选择题
1.下列条件中，不能判定△ABC和△DEF相似的是（ D ）
A.∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，∠E＝50°
B.∠A＝∠D＝70°，∠C＝50°，∠E＝50°
C.∠A＝∠D＝70°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，DF＝20cm
D.∠A＝∠D＝70°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D
2.如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ D ）
第2题图
A.AB∥CD B.∠A＝∠D
C.＝ D.＝
D
二、填空题
3.如图，若＝ ，则△OAC∽△OBD.
第3题图
4.如图，△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则△ABC∽ △ACD .
第4题图
△ACD
5.如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠CBD，AB＝15cm，AD＝20cm，BD＝18cm，BC＝24cm，则CD的长为 cm.
第5题图
三、解答题
6.如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，求证：△ABC∽△AED.
第6题图
证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴＝＝，
∴△ABC∽△AED.
7.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD·DE＝BE·CD，求证：△BCD∽△BDE.
第7题图
证明：∵BD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BED＝90°，
∵BD·DE＝BE·CD，
∴＝，
∴△BCD∽△BDE.
8.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上.
（1）∠ABC＝ °，BC＝ ；
解：（1）135，2；
第8题图
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由.
解：（2）△ABC∽△DEF.理由如下：
∵AB＝2，BC＝2，DE＝，EF＝2，
∴＝＝，
又∵∠ABC＝∠DEF＝135°，
∴△ABC∽△DEF.
一、填空题
9.如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 2.8或1或6 .
第9题图
2.8或1或6
二、解答题
10.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
设AB＝AD＝CD＝4a，
∵E为AD的中点，CF＝3FD，
∴AE＝DE＝2a，DF＝a，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEF；
第10题图
（2）△ABE与△EBF相似吗？为什么？
（2）解：△ABE∽△EBF，理由如下：
∵△ABE∽△DEF，
∴＝＝，∠ABE＝∠DEF，
∵∠AEB＋∠ABE＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠BEF＝90°，
又∵＝，∠A＝90°，
∴＝＝，∠A＝∠BEF＝90°，
∴△ABE∽△EBF.
解答题
11.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，设移动时间为ts.
（1）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（1）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，
∴BP＝BQ，即6－t＝2t，解得t＝2，
∴当t＝2时，△PBQ是等腰三角形；
第11题图
解：由题意得BP＝（6－t）cm，BQ＝2tcm，
（2）当t为何值时，△PBQ的面积为5cm2？
（2）S△PBQ＝BP·BQ＝（6－t）·2t＝5，
即（t－1）（t－5）＝0，解得t＝1或5，
∴当t＝1或5时，△PBQ的面积为5cm2；
（3）当t为何值时，△PBQ和△ABC相似？
（3）①若△BPQ∽△BAC，则＝，
即＝，解得t＝3；
②若△BPQ∽△BCA，则＝，
即＝，解得t＝1.2，
综上所述，当t＝3或1.2时，△PBQ和△ABC相似.
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第8课时 相似三角形的判定（3）
第23章 图形的相似
一、选择题
1.甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形（ C ）
A.一定不相似 B.不一定相似
C.一定相似 D.无法判断是否相似
C
2.在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ B ）
A.＝＝
B.＝且∠B＝∠E
C.＝且∠A＝∠D
D.∠A＝∠D，∠B＝∠E
B
3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与如图所示的△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ B ）
第3题图
A
B
C
D
B
二、填空题
4.已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
（1）如果DE＝10，那么当EF＝ 12.5 ，FD＝ 15 时，△DEF∽△ABC；
（2）如果DE＝10，那么当EF＝ 12 ，FD＝ 8 时，△FDE∽△ABC.
5.在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，则当＝ 2 时，△ABC∽△DEF.
12.5
15
12
8
2
三、解答题
6.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A'B'＝25，B'C'＝40，C'A'＝20；
解：（1）△ABC∽△C'A'B'，理由如下：
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△C'A'B'；
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A'B'＝12，B'C'＝16，C'A'＝20.
解：（2）△ABC∽△A'B'C'，理由如下：
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△A'B'C'.
7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？
第7题图
解：△ABC∽△ADE，理由如下：
由图可知，AB＝＝2，BC＝10，
AC＝＝2，AE＝2，AD＝，
DE＝＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△ADE.
一、填空题
8.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，则当AB＝ 3或3 时，△ABC与△ACD相似.
第8题图
3或3
9.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为 3 .
第9题图
3
二、解答题
10.如图，点B、D、E在同一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝.
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（1）证明：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAE；
第10题图
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，
∠ADE＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠EBC＝∠BAD＝21°；
（3）连接EC，求证：△ABD∽△ACE.
（3）证明：由（1）知∠BAD＝∠CAE，
又∵＝，即＝，
∴△ABD∽△ACE.
解答题
11.如图，在平面直角坐标系中，梯形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE＝2EB，CB＝3，OA＝6，BA＝3，OD＝5.
第11题图
（1）证明：如图，过点B作BG⊥OA于点G，
∴四边形OCBG是矩形，
∴BG＝OC，OG＝BC＝3，AG＝OA－OG＝3，
由勾股定理，得BG＝＝6，
∴OC＝BG＝6，
由勾股定理，得OB＝＝3，
∵OE＝2EB，∴OE＝OB＝2，
∵＝＝，且∠DOE＝∠BOC，
∴△ODE∽△OBC；
（1）求证：△ODE∽△OBC；
（2）在y轴上找一点P，使得△PFO∽△ODE，直接写出点P的坐标.
（2）解：∵△ODE∽△OBC，
∴∠OED＝∠OCB＝90°，
∴∠OED＝∠FOD＝90°，DE＝＝，
又∵∠ODE＝∠FDO，∴△DOE∽△DFO，
∴＝，即＝，∴FO＝10，
∵△PFO∽△ODE，
∴＝，即＝，∴PO＝20，
∴点P的坐标为（0，20）或（0，－20）.
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第9课时 专题相似三角形的判定
第23章 图形的相似
解答题
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF交AB于点H，求证：△DEH∽△BCA.
第1题图
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，
∵∠BHF＝∠DHE，
∴∠D＝∠B，
又∵∠DEH＝∠C＝90°，
∴△DEH∽△BCA.
2.如图，点D在△ABC的边AB上，AD＝1，BD＝2，AC＝，求证：△ACD∽△ABC.
第2题图
证明：∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
3.如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，AD＝2BD，AE＝2CE，＝，求证：△ABC与△ADE相似.
第3题图
证明：∵AD＝2BD，AE＝2CE，
∴＝，＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴△ADE∽△ABC.
4.如图，在矩形ABCD中，BC＝12cm，AB＝8cm，P、Q分别是AB、BC上的两动点.若点P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q自点B出发，以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，△PBQ与△BCD相似？
第4题图
解：如图，
设经过xs，△PBQ与△BCD相似，
则AP＝xcm，PB＝（8－x）cm，BQ＝2xcm，
由于∠PBQ＝∠BCD＝90°，
①当∠1＝∠2时，△PBQ∽△DCB，
∴＝，即＝，
解得x＝；
②当∠1＝∠3时，△PBQ∽△BCD，
∴＝，即＝，
解得x＝2，
∴经过s或2s，△PBQ与△BCD相似.
解答题
5.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（1）证明：由勾股定理得：AB2＝22＋42＝20，AC2＝22＋12＝5，BC2＝32＋42＝25，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
第5题图
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）解：△ABC与△DEF相似，
理由：由勾股定理得：DF＝＝2，DE＝＝4，EF＝＝2，
由（1）知：AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点.
（3）解：如图，和△ABC相似的三角形是△P4P5P2，
理由：由勾股定理得：P5P2＝＝，P4P2＝＝，P4P5＝＝2，
∵AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△P4P5P2.
解答题
6.如图，在平面直角坐标系xOy内，点A（6，0）、C（－4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点.
（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；
解：（1）∵A（6，0），∴OA＝6，
∴OB＝＝8，
∵点B在y轴的正半轴，
∴点B的坐标为（0，8），
设直线AB的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
将A（6，0），B（0，8）代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴直线AB的表达式为y＝－x＋8；
第6题图
（2）若△APC与△AOB相似，求点P的坐标.
解：（2）如图，分两种情况考虑，
①当△AOB∽△ACP1时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，
∵当x＝－4时，y＝－x＋8＝，
∴点P1的坐标为（－4，）；
②当△AOB∽△AP2C时，设P2（m，－m＋8），
∵A（6，0），C（－4，0），∴AC＝10，
∵△AOB∽△AP2C，∴＝，即＝，
解得CP2＝8，
∴＝8，
整理，得：（m－4）2＝0，解得m＝，
∴点P2的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（－4，）或（，）.
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第10课时 相似三角形的性质
第23章 图形的相似
一、选择题
1.若两个相似三角形的相似比是2∶5，则对应高的比是（ A ）
A.2∶5 B.4∶25 C. D.25∶4
2.已知两个相似三角形的相似比是2∶3，其中较小三角形的一条中线长6cm，则较大三角形中对应的中线长为（ D ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
3.若两个相似三角形的面积之比为1∶9，则它们的周长之比为（ A ）
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
A
D
A
二、填空题
4.两个相似三角形对应边上中线的比为3∶2，则对应边上的高的比为 3∶2 ，周长之比为 3∶2 ，面积之比为 9∶4 .
5.如果两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，它们一条对应高的差为5cm，那么这两条对应高的长分别是 10cm，15cm .
6.已知两个相似三角形的相似比为2∶5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为 25 .
3∶2
3∶2
9∶4
10cm，15cm
25
三、解答题
7.已知△ABC∽△A'B'C'，＝，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A'B'C'的面积是64cm2，求：
（1）A'B'边上的中线C'D'的长；
解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝，
∴C'D'＝4×2＝8cm，
∴A'B'边上的中线C'D'的长为8cm；
（2）△A'B'C'的周长；
解：（2）∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝，
∴C△A'B'C'＝20×2＝40cm，
∴△A'B'C'的周长为40cm；
（3）△ABC的面积.
解：（3）∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝＝，
∴S△ABC＝64÷4＝16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
8.如图，在△ABC中，BC＝120mm，点Q，M在BC上，点P，N分别在AB，AC上，四边形PQMN为矩形，△ABC的高AD与PN相交于点E，且AD＝80mm.
（1）若这个矩形是正方形，则边长是多少？
解：（1）设正方形PQMN的边长为xmm，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝48，
∴正方形PQMN的边长是48mm；
第8题图
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则长和宽各是多少？
解：（2）设矩形PQMN的宽为ymm，
由（1）得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，或＝，
解得y＝30或，
∴矩形PQMN的宽为30mm，长为60mm或宽为mm，长为mm.
一、填空题
9.如图，在 ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝ 4∶10∶25 .
第9题图
4∶10∶25
10.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，…，如此作下去，则所作的第n个正方形的面积Sn＝ .
第10题图
二、解答题
11.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求证：＝.
第11题图
证明：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠B，∴△ACB∽△DAC，
∴＝（）2，
又∵AD∥BC，∴＝，
∴（）2＝，即＝.
解答题
12.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于点F.试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.
第12题图
解：存在.
∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，
△EFP为等腰直角三角形，有三种情况：
①如图1，过点C作CD⊥AB于点D，
当∠PEF＝90°，EP＝EF时，
由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠ACB＝90°，
∴Rt△ACB斜边AB上的高CD＝，
设EP＝EF＝x，
由△ECF∽△ACB，得：＝，
即＝，解得x＝，即EF＝；
图1
②如图1，当∠EFP'＝90°，EF＝FP'时，
同①理可得EF＝；
图1
③如图2，当∠EP″F＝90°，P″E＝P″F时，
过点P″作P″H⊥EF于点H，过点C作CD⊥AB于点D，
∴P″H＝EF，
设EF＝x，则P″H＝x，
由△ECF∽△ACB，得：＝，
即＝，解得x＝，即EF＝，
综上所述，在AB上存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝或.
图2
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第11课时 专题比例线段的证明
第23章 图形的相似
解答题
1.如图，在△ABC与△DBE中，∠A＝∠D，∠ABD＝∠CBE.求证：BD·BC＝BA·BE.
第1题图
证明：∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DBE，
∴＝，∴BD·BC＝BA·BE.
2.如图，在 ABCD中，M，N分别是AD，BC上的点，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别是E，F，求证：＝.
第2题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠MDE＝∠NBF，
∵ME⊥BD，NF⊥BD，
∴∠MED＝∠NFB＝90°，
∴△MED∽△NFB，∴＝.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E，F在AB上，点D，G分别在BC，AC上，且四边形DEFG是正方形，求证：EF2＝BE·AF.
第3题图
证明：∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠AFG＝∠DEB＝90°，GF＝EF＝DE，
∴∠A＋∠AGF＝90°，∴∠AGF＝∠B，
∴△AFG∽△DEB，∴＝，即＝，
∴EF2＝BE·AF.
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.
第4题图
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，∴AD2＝AE·AB，
同理：AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
5.如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N.求证：＝.
第5题图
证明：∵直线DN∥AM，∴＝，＝，
∵在△ABC中，AM是BC边上的中线，
∴MB＝MC，∴＝.
6.如图，已知△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE＝AD，ED和AB相交于点F，求证：EF∶FD＝AC∶BC.
第6题图
证明：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，
则△ADG∽△ACB，△DGF∽△EBF，
∴＝，＝，∴＝，
∵BE＝AD，∴＝＝，
即EF∶FD＝AC∶BC.
解答题
7.在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF；
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＋∠DFC＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DE＝CF；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＋∠CFD＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，∴＝；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGF满足什么关系时，＝成立？并证明你的结论.
（3）解：当∠B＝∠EGF时，＝成立，
证明：如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A＝∠CDM，∠B＋∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF＋∠A＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，
∴＝，即＝.
解答题
8.如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD⊥AB于点D.点P是射线CD上一动点，连接AP并在AP边右侧作△APQ，使得∠PAQ＝∠CAB且＝，连接BQ.
（1）求证：BA平分∠CBQ；
（1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝∠CAB＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠PAQ＝∠CAB，＝，
∴∠PAC＝∠QAB，＝，
∴△CAP∽△BAQ，∴∠ACP＝∠ABQ，
∴∠ABC＝∠ABQ，∴BA平分∠CBQ；
（2）当AQ∥BC时，如图2，延长AP交BC边于点E，求证：CE·BC＝AD·AB；
（2）证明：∵AQ∥BC，∴∠QAB＝∠CBA，
由（1）得∠CAE＝∠QAB，∴∠CAE＝∠CBA，
又∵∠ACE＝∠BCA＝90°，∴△ACE∽△BCA，
∴＝，∴AC2＝CE·BC，
∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB，
∴CE·BC＝AD·AB；
（3）若AC＝3，BC＝4，点P在运动的过程中，直线PQ交边AB于点F，当△BQF是等腰三角形时，求线段AP的长.
（3）解：如图，设射线BQ交CD于点W，连接AW，
①如图1，当BF＝BQ时，
∵∠ABC＝∠ABW，∴点C，W关于AB对称，
∴AC＝AW＝3，∠AWB＝∠ACB＝90°，
∵∠PAQ＝∠CAB，＝，
∴△ACB∽△APQ，∴∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴∠APQ＋∠AWQ＝180°，∴∠BQF＝∠WAP，
∵BF＝BQ，∴∠BQF＝∠BFQ＝∠AFP，
∵∠APD＋∠DPF＝∠DPF＋∠PFD＝90°，
∴∠APD＝∠AFP，∴∠WAP＝∠APW，∴AW＝PW＝3，
在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
∵AC2＝AD·AB，∴AD＝，∴DW＝＝，
∴DP＝PW－DW＝，∴AP＝＝；
②如图2，当FQ＝FB时，易证AP＝PW，
∴DP＝DW－PW＝－AP，
在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，
即（）2＋（－AP）2＝AP2，
解得AP＝；
③∵∠BFQ＞∠AQP＝∠ABQ，∴FQ≠BQ，
综上所述，满足条件的AP的长为或.
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第12课时 相似三角形的应用
第23章 图形的相似
一、选择题
1.小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是18m，则旗杆的高度是（ C ）
A.9m B.11m C.12m D.27m
C
2.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C到旗杆底部D的距离是4m，如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A到小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度为（ B ）
B
第2题图
A.10m B.12m C.12.4m D.12.32m
二、填空题
3.如图，小明在打网球时，网高0.9m，击球点到球网的水平距离是10m，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为 2.7 m.
第3题图
2.7
4.如图是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD的长为0.55m，则梯子的长为 4.4m .
第4题图
4.4m
三、解答题
5.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120m，CB＝60m，BD＝50m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO.
第5题图
解：∵AB⊥AO，DB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，
∵∠ACO＝∠BCD，
∴△ACO∽△BCD，
∴＝，
∵AC＝120m，CB＝60m，BD＝50m，
∴＝，∴AO＝100m，
答：峡谷的宽AO是100m.
6.如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米.请你利用小明测量的数据算出电线杆AB的高.
第6题图
解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，
∵太阳光线是平行光线，
∴∠NFM＝∠ACG，
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，
∴△NMF∽△AGC，
∴＝，
∴AG＝＝6米，
∴AB＝AG＋GB＝8米，
答：电线杆AB的高为8米.
一、选择题
7.如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（ B ）
第7题图
B
A.4 m B.m C.5m D.m
二、填空题
8.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座点B，若不考虑其它因素，此时该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为 75 cm.
第8题图
75
三、解答题
9.如图，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，求电线杆的高度.
第9题图
解：如图，∵DF∥EC，
∴△ADF∽△AEC，
∴＝，
∵GF⊥EC，BC⊥EC，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，∴＝，∴＝，
∵DF＝0.6m，GF＝0.12m，EC＝30m，
∴＝，∴BC＝6m，
答：电线杆的高度为6m.
解答题
10.如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m，丙在C1处也直立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，测得C1E1＝4m，求旗杆AB的高.
第10题图
解：设BO＝xm，GO＝ym，
∵GD∥OB，
∴△DGF∽△BOF，
∴＝，
即＝①，
同理可得：△D1HF1∽ △BOF1，
∴＝，
即＝②，
联立①、②解得，
∴旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5m.
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第13课时 三角形的中位线
第23章 图形的相似
一、选择题
1.已知三角形的周长是16，则它的三条中位线围成的三角形的周长是（ C ）
A.16 B.12 C.8 D.4
2.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为（ B ）
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
第2题图
C
B
二、填空题
3.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝ .
第3题图
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝ 3 厘米.
第4题图
3
三、解答题
5.如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.
（1）若EF＝5cm，则AB＝ cm，
若BC＝9cm，则DE＝ cm；
解：（1）∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴AB＝2EF＝10cm，DE＝BC＝4.5cm，
故答案为：10，4.5；
第5题图
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想.
解：（2）互相平分，
证明：如图，连接DF，
∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴AD＝EF＝AB，AD∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴中线AF与中位线DE的关系是互相平分.
第5题图
6.如图，四边形ABCD中，一组对边AB＝DC＝4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD＝30°.求：
（1）MH的长；
解：（1）∵M、H分别是AD、BD的中点，
∴MH∥AB，MH＝AB，
∵AB＝4，∴MH＝2；
第6题图
（2）MN的长.
解：（2）如图，连接HN，过点H作HQ⊥MN于点Q，
同（1）可知，HN∥DC，HN＝DC＝2，
∴△MHN是等腰三角形，
∵∠ABD＝30°，∠BDC＝90°，
∴∠MHD＝30°，∠NHD＝90°，
∴∠MHN＝120°，
∴∠HMQ＝∠HNQ＝30°，
∵MH＝2，∴HQ＝MH＝1，
∴MQ＝＝，
∵HQ⊥MN，∴MN＝2MQ＝2.
一、填空题
7.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 11 .
第7题图
11
二、解答题
8.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，已知两底差是6，两腰和是12，求△EFG的周长.
第8题图
解：如图，连接AE并延长，交CD于点K，
∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，
∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，
∵EF为△ACK的中位线，
∴EF＝CK＝（DC－DK）＝（DC－AB），
∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝BC，
又∵FG为△ACD的中位线，∴FG＝AD，
∴EG＋GF＝（AD＋BC），
∵两腰和是12，∴AD＋BC＝12，
∵两底差是6，∴DC－AB＝6，
∴EG＋GF＝6，EF＝3，
∴△EFG的周长为EG＋GF＋EF＝9.
解答题
9.已知在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC，过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.
（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，判断∠AMF与∠BNE有何数量关系？（不需证明）
解：（1）∠AMF＝∠BNE；
（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明.
解：（2）题图2：∠AMF＝∠BNE，
证明：如图1，取AC的中点H，连接HE、HF，
∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＝∠HFE，
同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠BNE＝∠HEF，
∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠AMF＝∠BNE；
图1
图1
题图3：∠AMF＋∠BNE＝180°，
证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF，
∵F是DC的中点，H是AC的中点，
∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，
同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠BNE＝∠HEF，
∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠AMF＋∠BNE＝180°.
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第14课时 位似图形
第23章 图形的相似
一、选择题
1. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点A为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍后得△AB'C'，则∠B'＝（ C ）
A.36° B.54° C.72° D.144°
C
2.如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，O为位似中心，OD＝OD'，则A'B'∶AB＝（ D ）
A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.2∶1
第2题图
D
二、填空题
3.如图，已知△ABC与△A'B'C'是一对位似三角形，O为位似中心，若AB∶A'B'＝3∶1，且OA'＝2，则AA'＝ 4 .
第3题图
4
4. 如图，以O为位似中心，将五边形ABCDE放大得到五边形A'B'C'D'E'，已知OA＝10cm，OA'＝30cm，如果S五边形A'B'C'D'E'＝27cm2，那么S五边形ABCDE＝ 3cm2 .
第4题图
3cm2
三、解答题
5. 在如图所示的方格纸中，按要求作图.（保留作图痕迹）
第5题图
（2）画出以O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到的△A2B2C2.
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求.
（1）画出与△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
6.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
（1）以点O为位似中心，在网格图中作出△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1∶2；
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
第6题图
（2）求四边形AA'C'C的周长.（结果保留根号）
解：（2）根据勾股定理，得：
AC＝＝2，
A'C'＝＝，
∴四边形AA'C'C的周长为1＋＋2＋2＝3＋3.
一、填空题
7.若两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且面积之和为68cm2，则较大图形的面积为 50cm2 .
50cm2
二、解答题
8.如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，
（1）以点O为位似中心，在点O的左侧作△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比为1∶2；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
第8题图
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并求出点A旋转的路径的长.
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
∵OA＝＝，
∴点A旋转的路径的长为：
＝π.
解答题
9.如图，△ABC中，AB＝80cm，高CD＝60cm，矩形EFGH中，E、F在AB边上，G在BC边上，H在△ABC内，且EF∶GF＝2∶1.
第9题图
解：（1）矩形GFEH的位似图形的长与宽的比为2∶1，设其宽IJ＝xcm，则长IK＝2xcm，
如图，易知△BIJ∽△BCD，△CIK∽△CBA，
∴＝①，＝②，
①②两式左右两边分别相加得：＋＝1，
即＋＝1，解得：x＝24，
∴IJ＝24cm，∴＝＝，
作法：先找出点I，使＝，然后作IJ⊥AB于点J，作IK∥AB交AC于点K，再过点K作KL⊥AB于点L，连接各顶点，四边形IJLK即为所求；
（1）在△ABC内画出矩形GFEH的位似图形，使其顶点在△ABC的边上；（写出作法）
（2）求所作的矩形的面积.
解：（2）由（1）知，该矩形的长IK＝48cm，宽IJ＝24cm，
∴S矩形IJLK＝24×48＝1152cm2.
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第15课时 用坐标确定位置
第23章 图形的相似
一、选择题
1.根据下列表述，能确定位置的是（ C ）
A.北偏东60°
B.成都市春熙路
C.东经118°，北纬40°
D.奥斯卡影院1号厅3排
C
2.下列关于坐标的说法正确的是（ D ）
A.（3，4）与（4，3）表示的位置相同
B.（a，b）与（b，a）表示的位置肯定不同
C.坐标（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置
D.（3，5）与（5，3）是表示不同位置的两个有序数对
D
3.如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2，90°）、B的位置为（4，210°），则C的位置为（ C ）
第3题图
A.（－2，150°） B.（150°，3）
C.（4，150°） D.（3，150°）
C
二、填空题
4.将某会场座位号“7排4号”记作（7，4），那么“3排5号”记作 （3，5） .
5.如图把QQ“笑脸”图标放在直角坐标系中，已知点A的坐标是（－2，3），点B的坐标是（0，3），则嘴唇点C的坐标是 （－1，1） .
（3，5）
（－1，1）
北偏西25°方向，距离为
300m
第5题图
6.学校位于小亮家北偏东35°方向，距离为300m，学校位于大刚家南偏东85°方向，距离也为300m，则大刚家相对于小亮家的位置是 北偏西25°方向，距离为300m .
三、解答题
7.如图所示的是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小方格的边长为1）.
（1）请写出商会大厦和医院的坐标；
解：（1）由图可得：商会大厦的坐标为（－1，2），
医院的坐标为（3，1）；
第7题图
（2）王老师在市政府办完事情后，沿（2，0）→（2，－1）→（2，－3）→（0，－3）→（0，－1）→（－2，－1）的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方.
解：（2）他路上经过的地方有大剧院，体育公园，购物广场.
8.在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点C处，只告诉大家两个标志点A，B的坐标分别为（－3，1）、（－2，－3），以及点C的坐标为（3，2）（单位：km）.
（1）请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置；
解：（1）如图，根据A（－3，1），B（－2，－3）画出直角坐标系，描出点C（3，2）；
第8题图
（2）若同学们打算从点B处直接赶往点C处，请用方向角和距离描述点C相对于点B的位置.
解：（2）BC＝5km，
∴点C在点B的东北方向，与点B相距5 km.
一、选择题
9.在一次中学生野外生存训练活动中，每位队员都配发了一张地图，并接到训练任务，要求36小时之内到达目的地，但是，地图上并未标明目的地的具体位置，仅知道A、B两地的坐标分别为A（－1，2）、B（3，2）且目的地与A、B两地的距离分别为5、3，如图所示，则目的地的具体位置的坐标为（ B ）
第9题图
B
A.（3，5）
B.（3，5）或（3，－1）
C.（－1，－1）或（3，－1）
D.（3，－1）
10.如图，一个粒子在x轴上及第一象限内运动，第1次从（0，0）运动到（1，0），第2次从（1，0）运动到（2，0），第3次从（2，0）运动到（1，1），它接着按图中箭头所示的方向运动，则它第2023次运动到达的点为（ C ）
第10题图
A.（55，8） B.（56，7）
C.（58，6） D.（59，5）
C
二、填空题
11.如图，在一座高层的商业大厦中，每层的摊位布局基本相同.若第六层的高档服装销售摊位可表示为（6，2，3），则第六层的手表摊位可表示为 （6，4，5） .
第11题图
（6，4，5）
三、解答题
12.象棋在中国有近三千年的历史，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走.
（1）若点A的坐标为（－4，4），点B的坐标为（3，1），写出棋子“帅”“马”和“兵”所在点的坐标；
解：（1）由A（－4，4），B（3，1），可知坐标系如图所示，
则帅（1，0）、马（2，3）、兵（－2，1）；
第12题图
（2）若“马”的位置在点A，为了到达点B，请按“马”走的规则，在图上画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示出来.
解：（2）如图所示，A（－4，4）→（－2，3）→（0，2）→（2，3）→B（3，1）.（答案不唯一）
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第16课时 图形的变换与坐标
第23章 图形的相似
一、选择题
1.点P（－2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为（ A ）
A.（－2，3） B.（0，3）
C.（2，－1） D.（0，1）
2.在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（－2，3），则点N的坐标为（ C ）
A.（－3，2） B.（2，3）
C.（2，－3） D.（－2，－3）
A
C
3.在平面直角坐标系中，若点P（－3，a）与点Q（b，－4）关于x轴对称，则a＋b＝（ C ）
A.－7 B.7 C.1 D.－1
4.在平面直角坐标系中，将点A（1，2）绕点P（－1，1）顺时针旋转90°到点A'处，则点A'的坐标为（ B ）
A.（－2，3） B.（0，－1）
C.（1，0） D.（－3，0）
C
B
二、填空题
5.点M（2，4）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 （－1，6） .
（－1，6）
三、解答题
6.△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的.
（1）分别写出点A'，B'，C'的坐标；
解：（1）A'（－3，1），B'（－2，－2），C'（－1，－1）；
第6题图
（2）说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的；
解：（2）△A'B'C'是由△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的；
（3）若点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后△A'B'C'内的对应点为P'，写出点P'的坐标.
解：（3）平移后△A'B'C'内的对应点P'的坐标为（a－4，b－2）.
7.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点A的坐标为（－3，4）.
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（3，4）；
第7题图
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（－4，－3）；
（3）求出（2）中点A所经过的路径的长度.
解：（3）点A所经过的路径的长度为：
＝π.
一、填空题
8.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a，则点B的横坐标是 －（a＋3） .
第8题图
－（a＋3）
二、解答题
9.如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'.
（1）画出△A'B'C'，并写出点A'、B'、C'的坐标；
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求，
A'（0，4）、B'（－1，1）、C'（3，1）；
第9题图
（2）求出△ABC的面积；
解：（2）S△ABC＝×（3＋1）×3＝6；
（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标.
解：（3）设P（0，y），
∵BC＝4，点P到BC的距离为｜y＋2｜，
由题意得×4×｜y＋2｜＝6，
解得y＝1或－5，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，－5）.
解答题
10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）.
（1）请在图中画出△ABC的一个以点P（12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形；（要求与△ABC在点P的同一侧）
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求，
第10题图
（2）求线段BC的对应线段B'C'所在直线的解析式.
解：（2）如图，作BD⊥x轴于点D，B'E⊥x轴于点E，
∴B'E∥BD，＝＝，
∵B（8，2），∴OD＝8，BD＝2，
∵P（12，0），∴OP＝12，∴PD＝OP－OD＝4，
∵△A'B'C'与△ABC的相似比为3，
∴＝3，∴＝＝3，∴B'E＝6，PE＝12，
∵PO＝PE，∴点E与点O重合，∴B'（0，6），同理PC'∶PC＝3∶1，
又∵PC＝OP－OC＝3，∴PC'＝9，
∴OC'＝OP－PC'＝3，∴C'（3，0），
设线段B'C'所在直线的解析式为y＝kx＋b，
则，解得，
∴线段B'C'所在直线的解析式为y＝－2x＋6.
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第17课时 复习巩固
第23章 图形的相似
一、选择题
1.课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，如果小军的位置用（0，－2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么小华的位置可以表示为（ A ）
第1题图
A
A.（－2，－3） B.（－3，－2）
C.（－3，－4） D.（－4，－3）
2.将点P（m＋2，2m＋1）向左平移1个单位长度得到点P'，且点P'在y轴上，那么点P'的坐标是（ A ）
A.（0，－1） B.（0，－2）
C.（0，－3） D.（1，1）
A
3.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ B ）
第3题图
A.∠ADC＝∠ACB B.＝
C.∠ACD＝∠B D.AC2＝AD·AB
B
4.如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，连接DE，则下列结论不正确的是（ B ）
第4题图
A.＝ B.S△DOE∶S△BOC＝1∶2
C.＝ D.△ADE∽△ABC
B
二、填空题
5.若＝＝＝，则＝ .
6.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是 10.8m .
第6题图
10.8m
三、解答题
7.如图，在边长为9的正△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长.
第7题图
解：∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠CDE＝120°，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＋∠BAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，∴＝，
∵BD＝3，BC＝AB＝AC＝9，
∴CD＝BC－BD＝6，∴＝，
∴CE＝2，∴AE＝AC－CE＝7.
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，－4），B（3，－2），C（6，－3）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
第8题图
（2）以M为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2∶1放大后的位似图形△A2B2C2；
解：（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）△A2B2C2面积为 .
解：（3）14.
一、选择题
9.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝（ B ）
第9题图
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶3
B
二、填空题
10.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA＝OB＝1，过点O作OM1⊥AB于点M1，过点M1作M1A1⊥OA于点A1；过点A1作A1M2⊥AB于点M2，过点M2作M2A2⊥OA于点A2；…，以此类推，点M2023的坐标为 （1－，） .
第10题图
（1－，）
三、解答题
11.在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC边上的一个动点，连接DE，交AC于点F.
（1）如图1，当＝时，求的值；
（1）解：∵＝，∴＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CEF∽△ADF，
∴＝，∴＝＝，∴＝＝；
（2）如图2，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，
又∵∠ADF＝∠ADO＋∠ODF，∠AFD＝∠FCD＋∠CDF，
∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，
在Rt△AOD中，AD＝＝OA，
∴AF＝OA；
（3）如图3，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG.
（3）证明：∵点E是BC的中点，∴＝，
由（1）知＝＝，∴＝，
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，∴＝＝，
在Rt△FGC中，∵∠GCF＝45°，∴CG＝GF，
又∵CD＝BC，∴＝，＝，
∴CG＝BG.
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