第24章 解直角三角形 习题课件(共138张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
文档属性
| 名称 | 第24章 解直角三角形 习题课件(共138张PPT) 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 10:33:43 | ||
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文档简介
(共138张PPT)
第1课时 测量、直角三角形的性质
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角的度数是（ D ）
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（ C ）
A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm
D
C
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（ B ）
第3题图
A.1.5 B.2 C.3 D.4
B
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足为E，点D是边AB的中点，AB＝20，S△CAD＝30，则DE的长是（ B ）
第4题图
A.6 B.8 C. D.9
B
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝60°，那么∠A＝ 75 °.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若BC＝12cm，AC＝9cm，则BD的长是 cm .
第6题图
75
cm
三、解答题
7.如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长.
第7题图
解：如图，延长AD、BC交于E，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，AE＝2BE，
∵∠ADC＝120°，
∴∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD＝CE＝DE＝x，
∵AD＝4，BC＝1，2BE＝AE，
∴2（1＋x）＝x＋4，解得x＝2，
∴CD＝2.
8.如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长.
第8题图
解：如图，连接EF、DF，
∵BD⊥AC，F为BC的中点，
∴DF＝BC＝9，
同理EF＝BC＝9，
∴FE＝FD，
∵G为DE的中点，
∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，
在Rt△EFG中，FG＝＝2.
一、选择题
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（ C ）
第9题图
C
A.2 B.3 C.2 D.5
二、填空题
10.如图，等边△ABC的边长为10，点D、E、F分别在三边AC、AB、BC上，且AD＝3，DF⊥DE，∠DEF＝60°，则DF的长为 .
第10题图
三、解答题
11.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上，求小岛A到港口P的距离.
第11题图
解：如图，作AE⊥PB交PB的延长线于E，
由题意得，PB＝12×1.5＝18海里，
设AE＝x海里，∵∠APE＝45°，∴PE＝AE＝x海里，
∵∠ABE＝60°，
∴BE＝x海里，
∵PE－BE＝BP，
∴x－x＝18，
解得x＝27＋9，
则AP＝x＝（27＋9）海里，
答：小岛A到港口P的距离为（27＋9）海里.
解答题
12.如图，△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD－DC＝1，求DC的长.
第12题图
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，DE＝CE，
∵∠B＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE2＋BE2＝AB2＝（4）2，
解得BE＝4，
∴BD＋DC＝4，
又∵BD－DC＝1，
∴DC＝3，
∴DC＝2.
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第2课时 锐角三角函数（1）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sinA的值为（ A ）
A. B. C. D.
（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，那么tanA的值为（ C ）
A. B. C. D.
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则cosA的值为（ D ）
A. B. C. D.
A
C
D
2.△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（ D ）
A.sinA＝ B.cosA＝
C.sinA＝ D.tanA＝
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tanB＝2，则AC的长为（ B ）
A.1 B.2 C. D.2
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝53°，若BC＝m，则AB的长为（ A ）
A. B.m·cos53°
C.m·sin53° D.m·tan53°
D
B
A
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若＝，则sinA＝ .
6.如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，若顶点A在格点上，则sin∠BAC的值为 .
第6题图
三、解答题
7.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、 余弦值和正切值.
第7题图
解： （1） 由勾股定理， 得BC＝＝5，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝；
（2） 由勾股定理， 得AB＝＝，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，
tanA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.
8.如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2，求tanB的值.
第8题图
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×9AH＝27cm2，
∴AH＝6cm，
∵AB＝10cm，
∴BH＝＝8cm，
∴tanB＝＝＝.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC边上一点，且AD∶DC＝1∶2，则tan∠DBA＝ .
第9题图
二、解答题
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三个三角函数值.
第10题图
解：在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5，∠C＝90°，
∴BC＝＝4，
又∵AC＝AD＋CD＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝4，
∴sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝.
解答题
11.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，－2）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
第11题图
解：（1）∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝4，sin∠AOD＝，
∴AO＝＝5，
∴根据勾股定理，得OD＝＝3，
∵点A在第二象限，∴A（－3，4），
将A（－3，4）代入y＝，得m＝－3×4＝－12，
∴反比例函数的解析式为y＝－，
将B（n，－2）代入y＝－，得n＝6，
∴B（6，－2），
将A（－3，4），B（6，－2）代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋2；
（2）请直接写出满足kx＋b＞的x的取值范围；
解：（2）由图象知，满足kx＋b＞的x的取值范围为x＜－3或0＜x＜6；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，求出所有符合条件的点E的坐标.
解：（3）设点E的坐标为（0，a），
∵A（－3，4），O（0，0），
∴OE＝｜a｜，OA＝5，AE＝，
由△AOE是等腰三角形，则：
①当OA＝OE时，｜a｜＝5，∴a＝±5，
∴E（0，5）或（0，－5）；
②当OA＝AE时，5＝，
∴a＝8或a＝0（舍），∴E（0，8）；
③当OE＝AE时，｜a｜＝，
∴a＝，∴E（0，），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，5）或（0，－5）或（0，8）或（0，）.
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第3课时 锐角三角函数（2）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.已知∠A是锐角，tanA＝1，那么∠A的度数是（ C ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA＋cosB的值为（ B ）
A. B. C. D.
3.已知α为锐角，且sin（α－10°）＝，则α＝（ A ）
A.70° B.60° C.50° D.30°
C
B
A
4.在△ABC中，若｜sinA－｜＋（－cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C＝（ C ）
A.75° B.90° C.105° D.120°
C
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠B的度数为 60° .
6.在△ABC中，sinB＝cos（90°－∠C）＝，则∠A的度数是 120° .
60°
120°
三、解答题
7.计算：
（1）cos30°＋sin45°；
解：原式＝×＋×
＝＋1
＝.
（2）·tan 30°；
解：原式＝×
＝××
＝.
（3）（sin60°＋cos45°）（sin60°－cos45°）；
解：原式＝sin260°－cos245°
＝（）2－（）2
＝－
＝.
（4）6tan230°－sin60°－2sin45°；
解：原式＝6×（）2－×－2×
＝2－－
＝－.
（5）；
解：原式＝
＝－×
＝.
（6）tan30°－＋tan45°·cos45°.
解：原式＝－（－1）＋
＝－＋1＋.
8.设β为锐角，且x2＋2x＋sinβ＝0的两根之差为，求β的度数.
解：设方程x2＋2x＋sinβ＝0的两根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1＋x2＝－2，x1x2＝sinβ，
由题意知：｜x1－x2｜＝，
∴＝－4x1x2＝4－4sinβ＝2，
解得sinβ＝，
∴β＝30°.
一、填空题
9.如图（a）是长方形纸带，∠DEF＝10°，将纸带沿EF折叠成图（b），再沿BF折叠成图（c），则图（c）中的tan∠DHF的值是 .
第9题图
二、解答题
10.A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地.现计划开凿隧道将A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）
第10题图
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝20km，∠CAB＝30°，
∴ CD＝AC＝10km，
AD＝AC＝10km，
∵∠CBA＝45°，
∴BD＝CD＝10km，BC＝CD≈14.14km，
∴AB＝AD＋BD＝10＋10≈27.32km，
则AC＋BC－AB≈20＋14.14－27.32≈6.8km，
答：从A地到B地的路程将缩短约6.8km.
解答题
11.亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.
例如：sin75°＝sin（30°＋45°）＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
解：（1）cos75°＝cos（30°＋45°）＝cos30°cos45°－sin30°sin 45°＝×－×＝；
（2）我们知道tanα＝，试求出tan75°的准确值；
解：（2）tan75°＝＝＝2＋；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较.
解：（3）如图，
tan75°＝tan∠CBD＝＝＝＋2，
与（2）中的结论一致.
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第4课时 锐角三角函数（3）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.sin240°＋cos240°的值为（ C ）
A.0 B. C.1 D.2
2.如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°－α）的值为（ B ）
A. B. C. D.
C
B
3.如果锐角α的正弦值为，那么下列结论正确的是（ C ）
A.α＝30° B.α＝45°
C.30°＜α＜45° D.45°＜α＜60°
C
二、填空题
4.比较大小：（填“＞”“＜”或“＝”）
（1）cos27° ＞ cos63°；
（2）sin44° ＜ cos44°.
5.已知∠A为锐角，且cosA≤，那么∠A度数的取值范围是 60°≤∠A＜90° .
6.已知α为锐角，如果sinα＋cosα＝，那么sinα·cosα＝ .
＞
＜
60°≤∠A＜90°
三、解答题
7.已知tanα＝，α是锐角，求tan（90°－α），sinα，cosα的值.
解：如图，∵tanB＝tanα＝，
∴设AC＝2x，BC＝5x，
则AB＝x，
∴tan（90°－α）＝＝，
sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝.
8.根据三角函数规律比较大小.
（1）比较sin46°和cos20°的大小；
解：∵sin46°＝cos44°，且44°＞20°，
∴cos44°＜cos20°，
即sin46°＜cos20°.
（2）比较sin20°、cos60°和tan45°的大小；
解：∵sin20°＝cos70°，70°＞60°，
∴cos70°＜cos60°＝，
∵tan45°＝1，
∴cos70°＜cos60°＜tan45°，
即sin20°＜cos60°＜tan45°.
（3）比较sin20°、cos80°和tan45°的大小.
解：∵sin20°＝cos70°，80°＞70°，tan45°＝1，
∴cos80°＜cos70°＜cos60°＜tan45°，
即cos80°＜sin 20°＜tan45°.
9.计算：sin266°－tan54°tan36°＋sin224°＋sin230°＋cos230°＋.
解：原式＝sin266°＋sin224°－1＋1＋
＝sin266°＋cos266°＋9
＝10.
一、填空题
10.若α是锐角，＝1＋，则α的度数为 40° .
40°
二、解答题
11.（1）若α为锐角，且sinα＋cosα＝，求sinα－cosα的值；
解：∵（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα，sinα＋cosα＝，
∴1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝，
∴（sinα－cosα）2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－＝，
∵α为锐角，∴sinα－cosα＝±.
（2）已知sina，cosa是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求＋的值.
解：由根与系数的关系，
得sina＋cosa＝－，sina·cosa＝，
∵（sina＋cosa）2＝1＋2sina·cosa，
∴＝1＋2×，解得m＝2或－，
∵Δ＝36m2－4×8×（2m＋1）
＝4（9m2－16m－8），
当m＝2时，Δ＝－16＜0，故舍去，
当m＝－时，Δ＝＞0，
∴m＝－，
∴＋＝＝－＝－.
解答题
12.如图，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁.有一货轮在海面上由西向东航行，到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处，如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明.
第12题图
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，
由题意，得∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝30°，
又∵∠B＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°，
∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC＝20海里，
在Rt△ACD中，
AD＝AC·cos∠CAD＝10海里，
由题意知，以海岛A为圆心，10海里为半径的范围内有暗礁，
∵AD＝10海里＞10海里，
∴如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险.
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第5课时 专题锐角三角函数
第24章 解直角三角形
解答题
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，求BC的长和sinB的值.
第1题图
解：∵tanA＝＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，
AC2＋BC2＝AB2，
即（2BC）2＋BC2＝102，
解得BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
sinB＝＝＝.
2.如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D.若AB＝8，求BC的长.
第2题图
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，
∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD＝4，
在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD＋CD＝4＋3.
3.如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值.（结果保留根号）
第3题图
解：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°，
∴∠ABD＝15°，
∴AD＝BD，
设BC＝x，
在Rt△BDC中，∵∠BDC＝30°，∴BD＝2x，
∴DC＝＝x，
∴AD＝BD＝2x，AC＝AD＋DC＝（2＋）x，
在Rt△ABC中，
tan15°＝＝＝2－.
4.如图，在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值.
第4题图
解：如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，
∵∠BCA＝135°，∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝BC＝AC，
∴AD＝AC＋CD＝2AC，
∴tanA＝＝.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边a、b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较大锐角的三个三角函数值.
解：由题意得：a＋b＝m，ab＝2m－2，且a2＋b2＝c2，
∴－2ab＝c2，
即m2－2＝25，
解得m1＝7，m2＝－3，
当m＝－3时，ab＝－8（舍去），∴m＝7，
∴，解得：或，
故Rt△ABC中较大锐角为边长为4的边所对的角，设为α，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.
6.如图，在△ADC中，∠A＝30°，∠ACD＝90°，B在AC上，∠DBC＝45°，E在BC的延长线上，且AB＝2，CE＝3，过E作EF⊥AE，交BD的延长线于F，求EF的长.
第6题图
解：设BC＝x，
∵∠DBC＝45°，∠ACD＝90°，EF⊥AE，
∴EF＝BE＝3＋x，BC＝DC＝x，
∴AC＝2＋x，
∵∠A＝30°，tanA＝，
∴2＋x＝x，∴x＝＋1，
∴EF＝＋4.
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinB＝，点D为边BC的中点.
（1）求BC的长；
解：（1）∵∠C＝90°，sinB＝＝，AB＝10，
∴AC＝6，∴由勾股定理可知：BC＝8；
第7题图
（2）求∠BAD的正切值.
解：（2）如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠C＝∠BED＝90°，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴＝＝，
即＝＝，
∴BE＝，ED＝，
∴AE＝AB－BE＝10－＝，
∴tan∠BAD＝＝.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝.
（1）求cosB的值；
解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，cosB＝＝；
第8题图
（2）求△BCD的面积.
解：（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，
设DF＝3x，则CF＝5x，
在Rt△ABE中，AE＝＝3，
∴tanB＝＝，
在Rt△BDF中，tanB＝＝，
∴BF＝4x，
∴BC＝BF＋CF＝4x＋5x＝9x，
即9x＝8，解得x＝，
∴DF＝3x＝，
∴S△BCD＝DF·BC＝××8＝.
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第6课时 解直角三角形（1）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tanA的值为（ C ）
A. B.
C. D.2
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝6，∠B＝30°，则c和tanA的值分别为（ C ）
A.12， B.12，
C.4， D.2，
C
C
3.在△ABC中，∠C＝90°，下列结论正确的是（ D ）
A.AC＝BC·tanA B.AB＝AC·cosA
C.AC＝AB·sinA D.AC＝BC·tanB
D
二、填空题
4.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB＝ 12 .
5.等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶，则顶角为 60° .
12
60°
三、解答题
6.如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近.为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从船队首（点O）尾（点A）出发前去拦截，4分钟后同时到达点B将可疑快艇驱离.已知OA＝20海里，甲直升机每小时飞行180海里，航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，求乙直升机的飞行速度.
第6题图
解：由题意得：∠B＝25°＋65°＝90°，
∵OA＝20海里，OB＝180×＝12海里，
∴AB＝＝＝16海里，
∴16÷＝240海里/小时，
答：乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里.
7.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离.（结果保留根号）
第7题图
解：在Rt△BCF中，∠CBF＝45°，
∴CF＝BC＝10海里，
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
AC＝＝10海里，
∴AB＝AC－BC＝10（－1）海里，
答：A，B之间的距离为10（－1）海里.
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝.
（1）求AD的长；
解：（1）在Rt△ABC中，tanB＝＝，
∴AC＝3x，BC＝4x，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴（3x）2＋（4x）2＝52，
解得x＝1或－1（舍去），
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，∴CD＝3，
∴AD＝＝3；
第8题图
（2）求sinα的值.
解：（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵tanB＝，
∴设DE＝3y，BE＝4y，
∵BE2＋DE2＝BD2，
∴（3y）2＋（4y）2＝12，
解得y＝或－（舍去），
∴DE＝，∴sinα＝＝.
一、填空题
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝ .
第9题图
二、解答题
10.如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离.（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
第10题图
解：如图，过B作BD⊥AC交AC的延长线于D，
在Rt△BCD中，∠D＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝∠DBC＝45°，BD＝CD，
在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，
∴AD＝BD，
∵AC＝200米，
∴BD－BD＝200，
∴BD＝＝100（＋1）米，
∴BC＝BD＝100（＋1）×≈386米，
答：此时游轮与灯塔C的距离约为386米.
解答题
11.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离.
第11题图
解：由题意得，∠CAB＝65°－20°＝45°，∠C＝40°＋20°＝60°，AB＝90km，
如图，过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∠EAB＝45°，
∴AE＝BE＝AB＝90km，
在Rt△CBE中，∠C＝60°，
∴CE＝BE＝30km，
∴AC＝AE＋CE＝（90＋30）km，
∴A，C两港之间的距离为（90＋30）km.
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第7课时 解直角三角形（2）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道（B、C在同一水平面上）.为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ A ）
第1题图
A
A.100m B.50m
C.50m D.m
2.如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB＝9m，则旗杆CD的高度为（ B ）
第2题图
A.（9＋）m B.（9＋3）m
C.9m D.12m
B
二、填空题
3.如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度约为 15.3 米.（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
第3题图
15.3
三、解答题
4.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB（如图），准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB水平距离60米处有一居民住宅楼CD，该居民住宅楼CD高15米，在该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼CD有无危险？（在地面上以点B为圆心，AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：≈1.414，≈1.732）
第4题图
解：在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，CE＝BD＝60米，
∴AE＝CE·tan∠ACE≈34.64米，
又∵BE＝CD＝15米，
∴AB＝AE＋BE≈49.64米，
∵60＞49.64，即BD＞AB，
∴在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼CD没有危险.
5.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）
第5题图
解：如图，作AH⊥CN于点H，
在Rt△ABH中，∠BAH＝45°，
∴AH＝BH＝10.5－2.5＝8米，
在Rt△AHC中，∠CAH＝65°，
∴CH＝AH·tan65°≈17米，
∴BC＝CH－BH＝17－8＝9米，
答：云梯需要继续上升的高度BC约为9米.
解答题
6.如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌CD.数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离，测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由.（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，精确到0.1m，参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
第6题图
解：能.
如图，延长EF交CH于点N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，
设DN＝xm，
则NF＝CN＝（x＋3）m，
∴EN＝5＋（x＋3）＝（x＋8）m，
在Rt△DEN中，DN＝EN·tan∠DEN，
即x＝（x＋8）·tan31°，解得x≈12.0，
则DH＝DN＋NH≈12.0＋1.2＝13.2m，
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m.
解答题
7.如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC＝50km，现将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）
第7题图
解：如图，延长CA交OM于K，
由题意得：∠COK＝75°，∠BOK＝60°，∠AOK＝45°，∠CKO＝90°，
∴∠KCO＝15°，∠KBO＝30°，OK＝KA，
∵∠KBO＝∠C＋∠BOC，
∴∠C＝∠BOC＝15°，
∴OB＝BC＝50km，
在Rt△OBK中，OK＝OB＝25km，
KB＝OK＝25≈42.5km，
在Rt△AOK中，AK＝25km，OA＝25≈35km，
∴AB＝KB－AK≈17.5km，∴AC≈67.5km，
∴在码头A装船运抵海岛O的用时为：
＋＝2.75h，
在码头B装船船运抵海岛O的用时为：
＋＝3h，
∵2.75＜3，
∴这批物资在码头A装船，最早运抵海岛O.
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第8课时 解直角三角形（3）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝50°，则栏杆A端升高的高度是（ B ）
第1题图
B
A.米 B.4sin50°米
C.米 D.4cos50°米
2.如图，要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离，可以在小河边PA的垂线PB上取一点C.测得PC＝80米，∠PCA＝32°，则PA的长为（ B ）
第2题图
A.80sin32°米 B.80tan32°米
C.米 D.米
B
3.河堤横断面如图所示，AB＝10米，tan∠BAC＝，则AC的长为（ A ）
第3题图
A.5米 B.10米 C.15米 D.10米
A
4.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒，若∠BAC＝α，则此车的速度为（ A ）
第4题图
A.5tanα米/秒 B.80tanα米/秒
C.米/秒 D.米/秒
A
二、填空题
5.（1）小明沿着坡度i＝1∶2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是 2 米；
（2）有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i＝1∶2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为 75 m.
2
75
6.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A处到达山顶B处缆车需要16分钟，则山的高度BC约为 424 米.（精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249）
第6题图
424
三、解答题
7.如图，扶梯AB的坡比为1∶2，滑梯CD的坡比为1∶.若AE＝40m，BC＝30m，某人从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，求此人经过的路径长.（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
第7题图
解：∵BE∶AE＝1∶2，AE＝40m，∴BE＝20m，
∴AB＝＝20m，
∵CF∶DF＝1∶，CF＝BE＝20m，
∴FD＝CF＝20m，
∴CD＝＝40m，
∴经过的路径长为AB＋BC＋CD＝20＋30＋40＝70＋20≈114.8m，
答：此人经过的路径长约为114.8m.
8.太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面示意图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝AC＝50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长.（结果保留根号）
第8题图
解：如图，延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H，
由题意知，AB＝300cm，BE＝AC＝50cm，AH＝50cm，∠AGH＝30°，
∴在Rt△AGH中，AG＝2AH＝100cm，
∴CG＝AC＋AG＝150cm，
则CD＝CG＝75cm，
∵EG＝AB－BE＋AG＝300－50＋100＝350cm，
∴在Rt△EFG中，
EF＝EG·tan∠EGF＝cm，
∴支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm.
解答题
9.如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行走20m到达D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度.（结果保留根号）
第9题图
解：在Rt△DEC中，i＝＝，
∵DE2＋EC2＝CD2，CD＝20m，
∴DE2＋（2DE）2＝（20）2，
∴DE＝20m，∴EC＝40m，
如图，作DG⊥AB于点G，作CH⊥DG于点H，
则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，
∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，∴AB＝BC，
设AB＝BC＝xm，
则AG＝（x－20）m，DG＝（x＋40）m，
在Rt△ADG中，＝tan∠ADG，∠ADG＝30°，
∴＝，解得：x＝50＋30，
答：楼AB的高度为（50＋30）m.
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第9课时 专题解直角三角形的应用
第24章 解直角三角形
解答题
1.2023年12月2日是第十二个“全国交通安全日”，主题为“文明守法平安回家”.如图，某观测点设在距高速公路（直线l）100m的P处，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠AOP＝90°，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了25m/s的限制速度？（≈1.732）
第1题图
解：由题意得PO＝100m，
∵∠PBO＝45°，∴BO＝PO＝100m，
∵∠APO＝60°，∴AO＝OPtan60°＝100m，
∴AB＝AO－BO＝（100－100）m，
∴此车的速度为≈24.4m/s，
∵24.4m/s＜25m/s，
∴此车速度没有超过25m/s的限制速度.
2.商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1∶，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°.
（1）求AD的长度；
解：（1）由题意得tan∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，
∴在Rt△ADB中，AD＝AB＝5m；
第2题图
（2）求改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
解：（2）在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，
∴AC＝≈≈19.2m，
答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m.
3.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要从B地绕行.已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地的南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成A、C两地直达高铁，求A地到C地之间直线高铁线路的长.（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）
第3题图
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝67°，AB＝520km，
∴AD＝ABsin67°≈480km，
BD＝ABcos67°≈200km，
∵∠CBD＝30°，∴CD＝BDtan30°≈115.3km，
∴AC＝AD＋CD≈480＋115.3≈595km，
∴A地到C地之间直线高铁线路的长约是595km.
4.如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知AB＝10cm，BC＝8cm.当AB，BC转动到∠BAE＝70°，∠ABC＝65°时，求点C到直线AE的距离.（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.41）
第4题图
解：如图，过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CN⊥AE于点N，CD⊥BM于点D，
∴四边形MNCD是矩形，∴DM＝CN，
在Rt△ABM中，∠BAE＝70°，AB＝10cm，
∴∠ABM＝20°，BM＝ABsin70°≈9.4cm，
∵∠ABC＝65°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABM＝45°，
∴BD＝BCcos45°≈5.64cm，
∴CN＝DM＝BM－BD≈3.8cm，
∴点C到AE的距离约为3.8cm.
5.如图，某建筑物楼顶挂有广告牌BC，小华从点A处沿坡度i＝1∶的斜坡步行30米到达点P处，测得广告牌底部C的仰角为45°，广告牌顶部B的仰角为53°，小华的身高忽略不计，已知广告牌BC＝12米.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
（1）求点P处距离水平地面的高度；
第5题图
解：（1）如图，过点P作PE⊥AO于点E，
∵坡度i＝1∶，
∴tan∠PAE＝＝，∴∠PAE＝30°，
∴PE＝AP＝15米，
即点P处距离水平地面的高度为15米；
（2）求建筑物OC的高度.
解：（2）如图，过点P作PF⊥BO于点F，
∵∠CPF＝45°，∠BPF＝53°，
∴CF＝PF，BF＝PF·tan53°≈1.3PF，
∵BC＝BF－CF＝12米，
∴1.3PF－PF＝12，∴PF＝CF＝40米，
∴OC＝CF＋OF＝CF＋PE＝55米，
即建筑物OC的高度约为55米.
解答题
6.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到点D处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为（30＋15）米.（结果保留根号，参考数据：tan75°＝2＋，tan15°＝2－）
（1）求小区楼房BC的高度；
第6题图
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，DE＝（30＋15）米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°，∴CF＝DF＝BE，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝2＋，
∴AE＝＝15米，∴BE＝DF＝AB－AE＝30米，
∴EF＝DE－DF＝15米，
答：小区楼房BC的高度为15米；
（2）若无人机以5米/秒的速度继续沿平行于AB的路线向右匀速飞行.问：经过多少秒，无人机刚好离开操控者的视线？
解：（2）如图，作DG∥AB，交AC的延长线于点G，作GH⊥AB于点H，
∵BC∥GH，∴＝，
∴＝，∴AH＝（30＋45）米，
∴DG＝EH＝AH－AE＝（30＋30）米，
（30＋30）÷5＝（6＋6）秒，
答：经过（6＋6）秒，无人机刚好离开操控者的视线.
解答题
7.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠得，∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠AFB＋∠DFE＝∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；
第7题图
（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值；
（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，
∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝2a，
由折叠得，∠EBC＝∠EBF，CE＝EF＝3a，
∴AB＝CD＝DE＋CE＝4a，
由（1）得：△ABF∽△DFE，∴＝＝，
∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝＝；
（3）若AF＝5cm，BF＝10cm，动点M从点B出发，在BF上以每秒2cm的速度向点F匀速运动，同时动点N从点A出发，在AB上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN，当△ABF与△BMN相似时，求t的值.
（3）解：∵AF＝5cm，BF＝10cm，∴AB＝5cm，
由题意得，BM＝2tcm，BN＝（5－t）cm，
①当△NBM∽△ABF时，＝，
即＝，解得t＝；
②当△MBN∽△ABF时，＝，
即＝，解得t＝，
综上所述，t的值为或.
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第10课时 复习巩固
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝，则边AB的长是（ D ）
A. B.3 C.4 D.5
2.已知α为锐角，且cos（α－20°）＝，那么α的度数为（ C ）
A.70° B.60° C.50° D.30°
D
C
3.下列各式中，不成立的是（ D ）
A.sin230°＋cos230°＝1
B.sin15°＝cos75°
C.tan30°·tan60°＝1
D.cos60°＝2sin30°
4.若α为锐角，cos（α＋60°）＝0.4，则（ A ）
A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45°
C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
D
A
二、填空题
5.已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A＝35°，则∠BCD＝ 55° .
6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，若CD是高，则BD＝ 1 .
第6题图
55°
1
7.一山坡的坡度i＝1∶3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是 50 米.
50
三、解答题
8.计算：3tan30°－＋cos45°＋.
解：原式＝3×－2＋×＋
＝－2＋2＋－1
＝2－1.
9.在全校的科技制作大赛中，王浩同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机架.如图所示，卡槽的宽度DF与内△ABC的AB边长相等.已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，一个手机的最长边为17cm，王浩同学能否将此手机立放入卡槽DF内？请说明理由.（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
第9题图
解：王浩同学能将手机放入卡槽DF内，理由如下：
如图，作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝50°，AC＝20cm，
∴AD＝AC·sin50°≈20×0.8＝16cm，
CD＝AC·cos50°≈20×0.6＝12cm，
∴DB＝BC－CD＝18－12＝6cm，
∴AB＝＝＝cm，
∴DF＝AB＝cm，
∵17＝＜，
∴王浩同学能将手机放入卡槽DF内.
一、选择题
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（ B ）
A.8
B.7.5
C.7
D.6
第10题图
B
11.规定：对任意角x，y，都有sin2x＋cos2x＝1，sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx，cos（x＋y）＝cosxcosy－sinxsiny，现给出下列等式：①sin（－60°）＝－；②cos15°＝；③cos2x＝1－2sin2x；④cos（x－y）＝cosxcosy＋sinxsiny；⑤cosxcosy＝[cos（x＋y）＋cos（x－y）]，其中等式成立的有（ C ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
二、解答题
12.某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到点C处有生命迹象.已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命迹象所在点C处的深度.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
第12题图
解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
设CD＝x米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝x米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，由题意得x－x＝6，
解得：x＝3（＋1）≈8.2，
答：生命迹象所在点C的深度为8.2米.
解答题
13.如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处.一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5km到达E处，此时测得灯塔C在E处的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
第13题图
解：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为点M，过点C作CN⊥AD，垂足为点N，
设CN＝x km，
在Rt△ACN中，∠A＝45°，
∴AN＝＝＝xkm，
在Rt△ECN中，∠CEN＝70°，
∴EN＝＝km，
∵CN⊥AD，BM⊥AD，
∴CN∥BM，
∴＝＝，
又∵C为AB的中点，
∴AB＝2AC，AC＝BC，
∴BM＝2CN＝2xkm，AN＝MN＝xkm，
由题可知，∠MDB＝45°，
在Rt△BMD中，∠MDB＝45°，
∴DM＝＝＝2xkm，
∵DE－DM－EN＝MN，
∴18.5－2x－＝x，
∴x＝≈5.5，
∴AE＝AN－EN≈5.5－≈3.5km，
答：E处距离港口A约3.5km.
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第1课时 测量、直角三角形的性质
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角的度数是（ D ）
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（ C ）
A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm
D
C
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（ B ）
第3题图
A.1.5 B.2 C.3 D.4
B
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足为E，点D是边AB的中点，AB＝20，S△CAD＝30，则DE的长是（ B ）
第4题图
A.6 B.8 C. D.9
B
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝60°，那么∠A＝ 75 °.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若BC＝12cm，AC＝9cm，则BD的长是 cm .
第6题图
75
cm
三、解答题
7.如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长.
第7题图
解：如图，延长AD、BC交于E，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，AE＝2BE，
∵∠ADC＝120°，
∴∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD＝CE＝DE＝x，
∵AD＝4，BC＝1，2BE＝AE，
∴2（1＋x）＝x＋4，解得x＝2，
∴CD＝2.
8.如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长.
第8题图
解：如图，连接EF、DF，
∵BD⊥AC，F为BC的中点，
∴DF＝BC＝9，
同理EF＝BC＝9，
∴FE＝FD，
∵G为DE的中点，
∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，
在Rt△EFG中，FG＝＝2.
一、选择题
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（ C ）
第9题图
C
A.2 B.3 C.2 D.5
二、填空题
10.如图，等边△ABC的边长为10，点D、E、F分别在三边AC、AB、BC上，且AD＝3，DF⊥DE，∠DEF＝60°，则DF的长为 .
第10题图
三、解答题
11.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上，求小岛A到港口P的距离.
第11题图
解：如图，作AE⊥PB交PB的延长线于E，
由题意得，PB＝12×1.5＝18海里，
设AE＝x海里，∵∠APE＝45°，∴PE＝AE＝x海里，
∵∠ABE＝60°，
∴BE＝x海里，
∵PE－BE＝BP，
∴x－x＝18，
解得x＝27＋9，
则AP＝x＝（27＋9）海里，
答：小岛A到港口P的距离为（27＋9）海里.
解答题
12.如图，△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD－DC＝1，求DC的长.
第12题图
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，DE＝CE，
∵∠B＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE2＋BE2＝AB2＝（4）2，
解得BE＝4，
∴BD＋DC＝4，
又∵BD－DC＝1，
∴DC＝3，
∴DC＝2.
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第2课时 锐角三角函数（1）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sinA的值为（ A ）
A. B. C. D.
（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，那么tanA的值为（ C ）
A. B. C. D.
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则cosA的值为（ D ）
A. B. C. D.
A
C
D
2.△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（ D ）
A.sinA＝ B.cosA＝
C.sinA＝ D.tanA＝
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tanB＝2，则AC的长为（ B ）
A.1 B.2 C. D.2
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝53°，若BC＝m，则AB的长为（ A ）
A. B.m·cos53°
C.m·sin53° D.m·tan53°
D
B
A
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若＝，则sinA＝ .
6.如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，若顶点A在格点上，则sin∠BAC的值为 .
第6题图
三、解答题
7.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、 余弦值和正切值.
第7题图
解： （1） 由勾股定理， 得BC＝＝5，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝；
（2） 由勾股定理， 得AB＝＝，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，
tanA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.
8.如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2，求tanB的值.
第8题图
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×9AH＝27cm2，
∴AH＝6cm，
∵AB＝10cm，
∴BH＝＝8cm，
∴tanB＝＝＝.
一、填空题
9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC边上一点，且AD∶DC＝1∶2，则tan∠DBA＝ .
第9题图
二、解答题
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三个三角函数值.
第10题图
解：在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5，∠C＝90°，
∴BC＝＝4，
又∵AC＝AD＋CD＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝4，
∴sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝.
解答题
11.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，－2）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
第11题图
解：（1）∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝4，sin∠AOD＝，
∴AO＝＝5，
∴根据勾股定理，得OD＝＝3，
∵点A在第二象限，∴A（－3，4），
将A（－3，4）代入y＝，得m＝－3×4＝－12，
∴反比例函数的解析式为y＝－，
将B（n，－2）代入y＝－，得n＝6，
∴B（6，－2），
将A（－3，4），B（6，－2）代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋2；
（2）请直接写出满足kx＋b＞的x的取值范围；
解：（2）由图象知，满足kx＋b＞的x的取值范围为x＜－3或0＜x＜6；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，求出所有符合条件的点E的坐标.
解：（3）设点E的坐标为（0，a），
∵A（－3，4），O（0，0），
∴OE＝｜a｜，OA＝5，AE＝，
由△AOE是等腰三角形，则：
①当OA＝OE时，｜a｜＝5，∴a＝±5，
∴E（0，5）或（0，－5）；
②当OA＝AE时，5＝，
∴a＝8或a＝0（舍），∴E（0，8）；
③当OE＝AE时，｜a｜＝，
∴a＝，∴E（0，），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，5）或（0，－5）或（0，8）或（0，）.
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第3课时 锐角三角函数（2）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.已知∠A是锐角，tanA＝1，那么∠A的度数是（ C ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA＋cosB的值为（ B ）
A. B. C. D.
3.已知α为锐角，且sin（α－10°）＝，则α＝（ A ）
A.70° B.60° C.50° D.30°
C
B
A
4.在△ABC中，若｜sinA－｜＋（－cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C＝（ C ）
A.75° B.90° C.105° D.120°
C
二、填空题
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠B的度数为 60° .
6.在△ABC中，sinB＝cos（90°－∠C）＝，则∠A的度数是 120° .
60°
120°
三、解答题
7.计算：
（1）cos30°＋sin45°；
解：原式＝×＋×
＝＋1
＝.
（2）·tan 30°；
解：原式＝×
＝××
＝.
（3）（sin60°＋cos45°）（sin60°－cos45°）；
解：原式＝sin260°－cos245°
＝（）2－（）2
＝－
＝.
（4）6tan230°－sin60°－2sin45°；
解：原式＝6×（）2－×－2×
＝2－－
＝－.
（5）；
解：原式＝
＝－×
＝.
（6）tan30°－＋tan45°·cos45°.
解：原式＝－（－1）＋
＝－＋1＋.
8.设β为锐角，且x2＋2x＋sinβ＝0的两根之差为，求β的度数.
解：设方程x2＋2x＋sinβ＝0的两根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1＋x2＝－2，x1x2＝sinβ，
由题意知：｜x1－x2｜＝，
∴＝－4x1x2＝4－4sinβ＝2，
解得sinβ＝，
∴β＝30°.
一、填空题
9.如图（a）是长方形纸带，∠DEF＝10°，将纸带沿EF折叠成图（b），再沿BF折叠成图（c），则图（c）中的tan∠DHF的值是 .
第9题图
二、解答题
10.A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地.现计划开凿隧道将A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）
第10题图
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝20km，∠CAB＝30°，
∴ CD＝AC＝10km，
AD＝AC＝10km，
∵∠CBA＝45°，
∴BD＝CD＝10km，BC＝CD≈14.14km，
∴AB＝AD＋BD＝10＋10≈27.32km，
则AC＋BC－AB≈20＋14.14－27.32≈6.8km，
答：从A地到B地的路程将缩短约6.8km.
解答题
11.亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.
例如：sin75°＝sin（30°＋45°）＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
解：（1）cos75°＝cos（30°＋45°）＝cos30°cos45°－sin30°sin 45°＝×－×＝；
（2）我们知道tanα＝，试求出tan75°的准确值；
解：（2）tan75°＝＝＝2＋；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较.
解：（3）如图，
tan75°＝tan∠CBD＝＝＝＋2，
与（2）中的结论一致.
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第4课时 锐角三角函数（3）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.sin240°＋cos240°的值为（ C ）
A.0 B. C.1 D.2
2.如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°－α）的值为（ B ）
A. B. C. D.
C
B
3.如果锐角α的正弦值为，那么下列结论正确的是（ C ）
A.α＝30° B.α＝45°
C.30°＜α＜45° D.45°＜α＜60°
C
二、填空题
4.比较大小：（填“＞”“＜”或“＝”）
（1）cos27° ＞ cos63°；
（2）sin44° ＜ cos44°.
5.已知∠A为锐角，且cosA≤，那么∠A度数的取值范围是 60°≤∠A＜90° .
6.已知α为锐角，如果sinα＋cosα＝，那么sinα·cosα＝ .
＞
＜
60°≤∠A＜90°
三、解答题
7.已知tanα＝，α是锐角，求tan（90°－α），sinα，cosα的值.
解：如图，∵tanB＝tanα＝，
∴设AC＝2x，BC＝5x，
则AB＝x，
∴tan（90°－α）＝＝，
sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝.
8.根据三角函数规律比较大小.
（1）比较sin46°和cos20°的大小；
解：∵sin46°＝cos44°，且44°＞20°，
∴cos44°＜cos20°，
即sin46°＜cos20°.
（2）比较sin20°、cos60°和tan45°的大小；
解：∵sin20°＝cos70°，70°＞60°，
∴cos70°＜cos60°＝，
∵tan45°＝1，
∴cos70°＜cos60°＜tan45°，
即sin20°＜cos60°＜tan45°.
（3）比较sin20°、cos80°和tan45°的大小.
解：∵sin20°＝cos70°，80°＞70°，tan45°＝1，
∴cos80°＜cos70°＜cos60°＜tan45°，
即cos80°＜sin 20°＜tan45°.
9.计算：sin266°－tan54°tan36°＋sin224°＋sin230°＋cos230°＋.
解：原式＝sin266°＋sin224°－1＋1＋
＝sin266°＋cos266°＋9
＝10.
一、填空题
10.若α是锐角，＝1＋，则α的度数为 40° .
40°
二、解答题
11.（1）若α为锐角，且sinα＋cosα＝，求sinα－cosα的值；
解：∵（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα，sinα＋cosα＝，
∴1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝，
∴（sinα－cosα）2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－＝，
∵α为锐角，∴sinα－cosα＝±.
（2）已知sina，cosa是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求＋的值.
解：由根与系数的关系，
得sina＋cosa＝－，sina·cosa＝，
∵（sina＋cosa）2＝1＋2sina·cosa，
∴＝1＋2×，解得m＝2或－，
∵Δ＝36m2－4×8×（2m＋1）
＝4（9m2－16m－8），
当m＝2时，Δ＝－16＜0，故舍去，
当m＝－时，Δ＝＞0，
∴m＝－，
∴＋＝＝－＝－.
解答题
12.如图，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁.有一货轮在海面上由西向东航行，到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处，如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明.
第12题图
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，
由题意，得∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝30°，
又∵∠B＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°，
∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC＝20海里，
在Rt△ACD中，
AD＝AC·cos∠CAD＝10海里，
由题意知，以海岛A为圆心，10海里为半径的范围内有暗礁，
∵AD＝10海里＞10海里，
∴如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险.
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第5课时 专题锐角三角函数
第24章 解直角三角形
解答题
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，求BC的长和sinB的值.
第1题图
解：∵tanA＝＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，
AC2＋BC2＝AB2，
即（2BC）2＋BC2＝102，
解得BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
sinB＝＝＝.
2.如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D.若AB＝8，求BC的长.
第2题图
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，
∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD＝4，
在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD＋CD＝4＋3.
3.如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，延长CD到点A，连接AB，∠A＝15°，求tan15°的值.（结果保留根号）
第3题图
解：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°，
∴∠ABD＝15°，
∴AD＝BD，
设BC＝x，
在Rt△BDC中，∵∠BDC＝30°，∴BD＝2x，
∴DC＝＝x，
∴AD＝BD＝2x，AC＝AD＋DC＝（2＋）x，
在Rt△ABC中，
tan15°＝＝＝2－.
4.如图，在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值.
第4题图
解：如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，
∵∠BCA＝135°，∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝BC＝AC，
∴AD＝AC＋CD＝2AC，
∴tanA＝＝.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边a、b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较大锐角的三个三角函数值.
解：由题意得：a＋b＝m，ab＝2m－2，且a2＋b2＝c2，
∴－2ab＝c2，
即m2－2＝25，
解得m1＝7，m2＝－3，
当m＝－3时，ab＝－8（舍去），∴m＝7，
∴，解得：或，
故Rt△ABC中较大锐角为边长为4的边所对的角，设为α，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.
6.如图，在△ADC中，∠A＝30°，∠ACD＝90°，B在AC上，∠DBC＝45°，E在BC的延长线上，且AB＝2，CE＝3，过E作EF⊥AE，交BD的延长线于F，求EF的长.
第6题图
解：设BC＝x，
∵∠DBC＝45°，∠ACD＝90°，EF⊥AE，
∴EF＝BE＝3＋x，BC＝DC＝x，
∴AC＝2＋x，
∵∠A＝30°，tanA＝，
∴2＋x＝x，∴x＝＋1，
∴EF＝＋4.
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinB＝，点D为边BC的中点.
（1）求BC的长；
解：（1）∵∠C＝90°，sinB＝＝，AB＝10，
∴AC＝6，∴由勾股定理可知：BC＝8；
第7题图
（2）求∠BAD的正切值.
解：（2）如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠C＝∠BED＝90°，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴＝＝，
即＝＝，
∴BE＝，ED＝，
∴AE＝AB－BE＝10－＝，
∴tan∠BAD＝＝.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝.
（1）求cosB的值；
解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，cosB＝＝；
第8题图
（2）求△BCD的面积.
解：（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，
设DF＝3x，则CF＝5x，
在Rt△ABE中，AE＝＝3，
∴tanB＝＝，
在Rt△BDF中，tanB＝＝，
∴BF＝4x，
∴BC＝BF＋CF＝4x＋5x＝9x，
即9x＝8，解得x＝，
∴DF＝3x＝，
∴S△BCD＝DF·BC＝××8＝.
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第6课时 解直角三角形（1）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tanA的值为（ C ）
A. B.
C. D.2
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝6，∠B＝30°，则c和tanA的值分别为（ C ）
A.12， B.12，
C.4， D.2，
C
C
3.在△ABC中，∠C＝90°，下列结论正确的是（ D ）
A.AC＝BC·tanA B.AB＝AC·cosA
C.AC＝AB·sinA D.AC＝BC·tanB
D
二、填空题
4.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB＝ 12 .
5.等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶，则顶角为 60° .
12
60°
三、解答题
6.如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近.为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从船队首（点O）尾（点A）出发前去拦截，4分钟后同时到达点B将可疑快艇驱离.已知OA＝20海里，甲直升机每小时飞行180海里，航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，求乙直升机的飞行速度.
第6题图
解：由题意得：∠B＝25°＋65°＝90°，
∵OA＝20海里，OB＝180×＝12海里，
∴AB＝＝＝16海里，
∴16÷＝240海里/小时，
答：乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里.
7.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离.（结果保留根号）
第7题图
解：在Rt△BCF中，∠CBF＝45°，
∴CF＝BC＝10海里，
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
AC＝＝10海里，
∴AB＝AC－BC＝10（－1）海里，
答：A，B之间的距离为10（－1）海里.
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝.
（1）求AD的长；
解：（1）在Rt△ABC中，tanB＝＝，
∴AC＝3x，BC＝4x，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴（3x）2＋（4x）2＝52，
解得x＝1或－1（舍去），
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，∴CD＝3，
∴AD＝＝3；
第8题图
（2）求sinα的值.
解：（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵tanB＝，
∴设DE＝3y，BE＝4y，
∵BE2＋DE2＝BD2，
∴（3y）2＋（4y）2＝12，
解得y＝或－（舍去），
∴DE＝，∴sinα＝＝.
一、填空题
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝ .
第9题图
二、解答题
10.如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离.（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
第10题图
解：如图，过B作BD⊥AC交AC的延长线于D，
在Rt△BCD中，∠D＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝∠DBC＝45°，BD＝CD，
在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，
∴AD＝BD，
∵AC＝200米，
∴BD－BD＝200，
∴BD＝＝100（＋1）米，
∴BC＝BD＝100（＋1）×≈386米，
答：此时游轮与灯塔C的距离约为386米.
解答题
11.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离.
第11题图
解：由题意得，∠CAB＝65°－20°＝45°，∠C＝40°＋20°＝60°，AB＝90km，
如图，过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∠EAB＝45°，
∴AE＝BE＝AB＝90km，
在Rt△CBE中，∠C＝60°，
∴CE＝BE＝30km，
∴AC＝AE＋CE＝（90＋30）km，
∴A，C两港之间的距离为（90＋30）km.
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第7课时 解直角三角形（2）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道（B、C在同一水平面上）.为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ A ）
第1题图
A
A.100m B.50m
C.50m D.m
2.如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB＝9m，则旗杆CD的高度为（ B ）
第2题图
A.（9＋）m B.（9＋3）m
C.9m D.12m
B
二、填空题
3.如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度约为 15.3 米.（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
第3题图
15.3
三、解答题
4.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB（如图），准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB水平距离60米处有一居民住宅楼CD，该居民住宅楼CD高15米，在该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼CD有无危险？（在地面上以点B为圆心，AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：≈1.414，≈1.732）
第4题图
解：在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，CE＝BD＝60米，
∴AE＝CE·tan∠ACE≈34.64米，
又∵BE＝CD＝15米，
∴AB＝AE＋BE≈49.64米，
∵60＞49.64，即BD＞AB，
∴在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼CD没有危险.
5.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）
第5题图
解：如图，作AH⊥CN于点H，
在Rt△ABH中，∠BAH＝45°，
∴AH＝BH＝10.5－2.5＝8米，
在Rt△AHC中，∠CAH＝65°，
∴CH＝AH·tan65°≈17米，
∴BC＝CH－BH＝17－8＝9米，
答：云梯需要继续上升的高度BC约为9米.
解答题
6.如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌CD.数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离，测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由.（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，精确到0.1m，参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
第6题图
解：能.
如图，延长EF交CH于点N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，
设DN＝xm，
则NF＝CN＝（x＋3）m，
∴EN＝5＋（x＋3）＝（x＋8）m，
在Rt△DEN中，DN＝EN·tan∠DEN，
即x＝（x＋8）·tan31°，解得x≈12.0，
则DH＝DN＋NH≈12.0＋1.2＝13.2m，
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m.
解答题
7.如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC＝50km，现将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）
第7题图
解：如图，延长CA交OM于K，
由题意得：∠COK＝75°，∠BOK＝60°，∠AOK＝45°，∠CKO＝90°，
∴∠KCO＝15°，∠KBO＝30°，OK＝KA，
∵∠KBO＝∠C＋∠BOC，
∴∠C＝∠BOC＝15°，
∴OB＝BC＝50km，
在Rt△OBK中，OK＝OB＝25km，
KB＝OK＝25≈42.5km，
在Rt△AOK中，AK＝25km，OA＝25≈35km，
∴AB＝KB－AK≈17.5km，∴AC≈67.5km，
∴在码头A装船运抵海岛O的用时为：
＋＝2.75h，
在码头B装船船运抵海岛O的用时为：
＋＝3h，
∵2.75＜3，
∴这批物资在码头A装船，最早运抵海岛O.
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第8课时 解直角三角形（3）
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝50°，则栏杆A端升高的高度是（ B ）
第1题图
B
A.米 B.4sin50°米
C.米 D.4cos50°米
2.如图，要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离，可以在小河边PA的垂线PB上取一点C.测得PC＝80米，∠PCA＝32°，则PA的长为（ B ）
第2题图
A.80sin32°米 B.80tan32°米
C.米 D.米
B
3.河堤横断面如图所示，AB＝10米，tan∠BAC＝，则AC的长为（ A ）
第3题图
A.5米 B.10米 C.15米 D.10米
A
4.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒，若∠BAC＝α，则此车的速度为（ A ）
第4题图
A.5tanα米/秒 B.80tanα米/秒
C.米/秒 D.米/秒
A
二、填空题
5.（1）小明沿着坡度i＝1∶2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是 2 米；
（2）有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i＝1∶2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为 75 m.
2
75
6.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A处到达山顶B处缆车需要16分钟，则山的高度BC约为 424 米.（精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249）
第6题图
424
三、解答题
7.如图，扶梯AB的坡比为1∶2，滑梯CD的坡比为1∶.若AE＝40m，BC＝30m，某人从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，求此人经过的路径长.（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
第7题图
解：∵BE∶AE＝1∶2，AE＝40m，∴BE＝20m，
∴AB＝＝20m，
∵CF∶DF＝1∶，CF＝BE＝20m，
∴FD＝CF＝20m，
∴CD＝＝40m，
∴经过的路径长为AB＋BC＋CD＝20＋30＋40＝70＋20≈114.8m，
答：此人经过的路径长约为114.8m.
8.太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面示意图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝AC＝50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长.（结果保留根号）
第8题图
解：如图，延长BA交FD的延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H，
由题意知，AB＝300cm，BE＝AC＝50cm，AH＝50cm，∠AGH＝30°，
∴在Rt△AGH中，AG＝2AH＝100cm，
∴CG＝AC＋AG＝150cm，
则CD＝CG＝75cm，
∵EG＝AB－BE＋AG＝300－50＋100＝350cm，
∴在Rt△EFG中，
EF＝EG·tan∠EGF＝cm，
∴支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm.
解答题
9.如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行走20m到达D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度.（结果保留根号）
第9题图
解：在Rt△DEC中，i＝＝，
∵DE2＋EC2＝CD2，CD＝20m，
∴DE2＋（2DE）2＝（20）2，
∴DE＝20m，∴EC＝40m，
如图，作DG⊥AB于点G，作CH⊥DG于点H，
则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，
∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，∴AB＝BC，
设AB＝BC＝xm，
则AG＝（x－20）m，DG＝（x＋40）m，
在Rt△ADG中，＝tan∠ADG，∠ADG＝30°，
∴＝，解得：x＝50＋30，
答：楼AB的高度为（50＋30）m.
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第9课时 专题解直角三角形的应用
第24章 解直角三角形
解答题
1.2023年12月2日是第十二个“全国交通安全日”，主题为“文明守法平安回家”.如图，某观测点设在距高速公路（直线l）100m的P处，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠AOP＝90°，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了25m/s的限制速度？（≈1.732）
第1题图
解：由题意得PO＝100m，
∵∠PBO＝45°，∴BO＝PO＝100m，
∵∠APO＝60°，∴AO＝OPtan60°＝100m，
∴AB＝AO－BO＝（100－100）m，
∴此车的速度为≈24.4m/s，
∵24.4m/s＜25m/s，
∴此车速度没有超过25m/s的限制速度.
2.商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1∶，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°.
（1）求AD的长度；
解：（1）由题意得tan∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，
∴在Rt△ADB中，AD＝AB＝5m；
第2题图
（2）求改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
解：（2）在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，
∴AC＝≈≈19.2m，
答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m.
3.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要从B地绕行.已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地的南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成A、C两地直达高铁，求A地到C地之间直线高铁线路的长.（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）
第3题图
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝67°，AB＝520km，
∴AD＝ABsin67°≈480km，
BD＝ABcos67°≈200km，
∵∠CBD＝30°，∴CD＝BDtan30°≈115.3km，
∴AC＝AD＋CD≈480＋115.3≈595km，
∴A地到C地之间直线高铁线路的长约是595km.
4.如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知AB＝10cm，BC＝8cm.当AB，BC转动到∠BAE＝70°，∠ABC＝65°时，求点C到直线AE的距离.（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.41）
第4题图
解：如图，过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CN⊥AE于点N，CD⊥BM于点D，
∴四边形MNCD是矩形，∴DM＝CN，
在Rt△ABM中，∠BAE＝70°，AB＝10cm，
∴∠ABM＝20°，BM＝ABsin70°≈9.4cm，
∵∠ABC＝65°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABM＝45°，
∴BD＝BCcos45°≈5.64cm，
∴CN＝DM＝BM－BD≈3.8cm，
∴点C到AE的距离约为3.8cm.
5.如图，某建筑物楼顶挂有广告牌BC，小华从点A处沿坡度i＝1∶的斜坡步行30米到达点P处，测得广告牌底部C的仰角为45°，广告牌顶部B的仰角为53°，小华的身高忽略不计，已知广告牌BC＝12米.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
（1）求点P处距离水平地面的高度；
第5题图
解：（1）如图，过点P作PE⊥AO于点E，
∵坡度i＝1∶，
∴tan∠PAE＝＝，∴∠PAE＝30°，
∴PE＝AP＝15米，
即点P处距离水平地面的高度为15米；
（2）求建筑物OC的高度.
解：（2）如图，过点P作PF⊥BO于点F，
∵∠CPF＝45°，∠BPF＝53°，
∴CF＝PF，BF＝PF·tan53°≈1.3PF，
∵BC＝BF－CF＝12米，
∴1.3PF－PF＝12，∴PF＝CF＝40米，
∴OC＝CF＋OF＝CF＋PE＝55米，
即建筑物OC的高度约为55米.
解答题
6.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到点D处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为（30＋15）米.（结果保留根号，参考数据：tan75°＝2＋，tan15°＝2－）
（1）求小区楼房BC的高度；
第6题图
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，DE＝（30＋15）米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°，∴CF＝DF＝BE，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝2＋，
∴AE＝＝15米，∴BE＝DF＝AB－AE＝30米，
∴EF＝DE－DF＝15米，
答：小区楼房BC的高度为15米；
（2）若无人机以5米/秒的速度继续沿平行于AB的路线向右匀速飞行.问：经过多少秒，无人机刚好离开操控者的视线？
解：（2）如图，作DG∥AB，交AC的延长线于点G，作GH⊥AB于点H，
∵BC∥GH，∴＝，
∴＝，∴AH＝（30＋45）米，
∴DG＝EH＝AH－AE＝（30＋30）米，
（30＋30）÷5＝（6＋6）秒，
答：经过（6＋6）秒，无人机刚好离开操控者的视线.
解答题
7.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到△BFE，点F落在AD上.
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠得，∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠AFB＋∠DFE＝∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；
第7题图
（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值；
（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，
∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝2a，
由折叠得，∠EBC＝∠EBF，CE＝EF＝3a，
∴AB＝CD＝DE＋CE＝4a，
由（1）得：△ABF∽△DFE，∴＝＝，
∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝＝；
（3）若AF＝5cm，BF＝10cm，动点M从点B出发，在BF上以每秒2cm的速度向点F匀速运动，同时动点N从点A出发，在AB上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN，当△ABF与△BMN相似时，求t的值.
（3）解：∵AF＝5cm，BF＝10cm，∴AB＝5cm，
由题意得，BM＝2tcm，BN＝（5－t）cm，
①当△NBM∽△ABF时，＝，
即＝，解得t＝；
②当△MBN∽△ABF时，＝，
即＝，解得t＝，
综上所述，t的值为或.
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第10课时 复习巩固
第24章 解直角三角形
一、选择题
1.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝，则边AB的长是（ D ）
A. B.3 C.4 D.5
2.已知α为锐角，且cos（α－20°）＝，那么α的度数为（ C ）
A.70° B.60° C.50° D.30°
D
C
3.下列各式中，不成立的是（ D ）
A.sin230°＋cos230°＝1
B.sin15°＝cos75°
C.tan30°·tan60°＝1
D.cos60°＝2sin30°
4.若α为锐角，cos（α＋60°）＝0.4，则（ A ）
A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45°
C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
D
A
二、填空题
5.已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A＝35°，则∠BCD＝ 55° .
6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，若CD是高，则BD＝ 1 .
第6题图
55°
1
7.一山坡的坡度i＝1∶3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是 50 米.
50
三、解答题
8.计算：3tan30°－＋cos45°＋.
解：原式＝3×－2＋×＋
＝－2＋2＋－1
＝2－1.
9.在全校的科技制作大赛中，王浩同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机架.如图所示，卡槽的宽度DF与内△ABC的AB边长相等.已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，一个手机的最长边为17cm，王浩同学能否将此手机立放入卡槽DF内？请说明理由.（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
第9题图
解：王浩同学能将手机放入卡槽DF内，理由如下：
如图，作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝50°，AC＝20cm，
∴AD＝AC·sin50°≈20×0.8＝16cm，
CD＝AC·cos50°≈20×0.6＝12cm，
∴DB＝BC－CD＝18－12＝6cm，
∴AB＝＝＝cm，
∴DF＝AB＝cm，
∵17＝＜，
∴王浩同学能将手机放入卡槽DF内.
一、选择题
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（ B ）
A.8
B.7.5
C.7
D.6
第10题图
B
11.规定：对任意角x，y，都有sin2x＋cos2x＝1，sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx，cos（x＋y）＝cosxcosy－sinxsiny，现给出下列等式：①sin（－60°）＝－；②cos15°＝；③cos2x＝1－2sin2x；④cos（x－y）＝cosxcosy＋sinxsiny；⑤cosxcosy＝[cos（x＋y）＋cos（x－y）]，其中等式成立的有（ C ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
二、解答题
12.某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到点C处有生命迹象.已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命迹象所在点C处的深度.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
第12题图
解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
设CD＝x米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝x米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，由题意得x－x＝6，
解得：x＝3（＋1）≈8.2，
答：生命迹象所在点C的深度为8.2米.
解答题
13.如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处.一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5km到达E处，此时测得灯塔C在E处的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
第13题图
解：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为点M，过点C作CN⊥AD，垂足为点N，
设CN＝x km，
在Rt△ACN中，∠A＝45°，
∴AN＝＝＝xkm，
在Rt△ECN中，∠CEN＝70°，
∴EN＝＝km，
∵CN⊥AD，BM⊥AD，
∴CN∥BM，
∴＝＝，
又∵C为AB的中点，
∴AB＝2AC，AC＝BC，
∴BM＝2CN＝2xkm，AN＝MN＝xkm，
由题可知，∠MDB＝45°，
在Rt△BMD中，∠MDB＝45°，
∴DM＝＝＝2xkm，
∵DE－DM－EN＝MN，
∴18.5－2x－＝x，
∴x＝≈5.5，
∴AE＝AN－EN≈5.5－≈3.5km，
答：E处距离港口A约3.5km.
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