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（华师大版）七年级
上
4.1.1对顶角
相交线和平行线
第4章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.能准确理解对顶角的概念，会在图形中判断两个角是对顶角；
2.会通过简单说理得到对顶角的性质，理解对顶角的性质并能运用对顶角的相关知识进行简单的运算；
3.经历观察、猜想、说明、交流等过程，进一步发展空间观念和有条理的表达能力。
新知导入
我们已经知道，两条直线相交，只有一个交点，那么，当两条直线相交时，形成了几个角 这些角在数量和位置上有什么关系呢
我们可以用不同的字母表示不同的直线 .
如图, 两条直线 AB、 CD 都经过同一个点 O, 我们就说这两条直线相交于点O, 点O是它们的交点. 可以说成“直线 AB、CD 相交于点 O” .
新知讲解
任务一：对顶角的定义
新知讲解
如图, 两条直线相交形成了∠1、 ∠2、 ∠3和∠4, 我们已经知道, 有些角之间存在一定的关系,
例如:
如果两个角既相邻又互补, 那么这两个角互为邻补角. 如∠1 与∠2.
角 ∠1和∠2 ∠2和∠3 ……
位置关系 ……
数量关系 ……
相邻
互补
相邻
互补
新知讲解
从位置关系与数量关系上看, 图中还有哪些角之
间存在某种关系呢
看一看, 想一想, 将你的发现填入下面的表中:
角 ...
位置关系 ...
数量关系 ...
∠3和∠4
∠4和∠1
相邻
相邻
互补
互补
新知讲解
我们可以直观地发现图中的∠1 与∠3 是相对的两个角, 而且似乎相等.
∠1与∠3具有相同的顶点, 且∠1的两边 OA、OC 分别与∠3 的两边OB、OD互为反向延长线, 我们把这样的两个角叫做对顶角.∠2 与∠4 也是对顶角.
射线OA的反向延长线是指从点A到点O方向延长得到的一条射线,即射线OB.
新知讲解
两个角具有相同的顶点，并且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角．
对顶角：
如图，∠1和∠3是对顶角，
∠2和∠4也是对顶角．
新知讲解
对顶角的特点:
①两个角有公共顶点;
②两个角的两边互为反向延长线.
新知讲解
例 1 在图中, ∠1 = 30°, 那么∠2、∠3 和∠4 各等于多少度 图中存在哪些相等关系
解：∠2=180° -∠1 = 180° - 30° = 150°,
∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 150° = 30°,
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 30° = 150°.
由此, 我们得到
∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.
任务二：对顶角的性质
新知讲解
对于任意两条直线相交形成的对顶角, 由于它们都有一个相同的补角, 所以它们是相等的.
例如, 图中的∠1、 ∠3 都与∠2 互补,
即∠1 + ∠2 = 180°, ∠3 + ∠2 = 180°.
因此 ∠1 = ∠3.
同理 ∠2 = ∠4.
新知讲解
对顶角相等.
对顶角的性质：
应用格式：∵直线AB与CD相交于O点，
∴∠1=∠3，∠2=∠4.
新知讲解
例2 如图, 直线AB、CD相交于点E, ∠AEC=50°, 求∠BED的度数.
解：因为直线 AB、 CD 相交于点 E,
所以∠AEC 与∠BED 是对顶角.
根据对顶角相等,
得 ∠BED = ∠AEC = 50°.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图,∠1,∠2是对顶角的是（ ）
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.下列说法中，正确的有（ ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B
课堂练习
3.如图,直线AB,CD相交于点O.若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的
度数为( )
A.30° B.50°
C.60° D.80°
【知识技能类作业】必做题：
4.如图所示，直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ，那么图中共有几对对顶角？请分别写出来.
解:图中共有6对对顶角，
分别是：∠ AOC 和∠ BOD ，
∠ COE 和∠ DOF ，
∠ AOE 和∠ BOF ，∠ AOF 和∠ BOE ，
∠ COB 和∠ DOA ，∠ EOD 和∠ FOC .
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5．如图，已知直线 AB ， CD 相交于点 O ， OA 平分∠EOC ，
∠EOC＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 80°
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
C
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6. 如果直线AB与直线CD交于点O,且∠AOC=(x+ 50)°,
∠BOD=(110-x)°,那么这两条直线所夹的锐角是 .
80°
7.探究与发现：
（1）观察图①，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线交于一点，共有6对对顶角；四条直线交于一点，共有 对对顶角.试猜想：10条直线交于一点，共有 对对顶角；
【综合拓展类作业】
课堂练习
12
90
7.探究与发现：
（2）观察图②，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有 对对顶角.试猜想：10条直线两两相交于不同的点，共有 对对顶角；
【综合拓展类作业】
课堂练习
12
90
7.探究与发现：
（3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论.
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：（3）在同一平面内， n 条直线两两相交，
共有 n （ n －1）对对顶角.
课堂总结
1.对顶角的定义：
两个角具有相同的顶点，并且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角．
2.对顶角的性质：
对顶角相等.
板书设计
1.对顶角的定义：
2.对顶角的性质：
课题：4.1.1对顶角
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图,图中的对顶角共有( )
A.4对 B.5对
C.6对 D.7对
A
2.如图,两根木棒AB,CD用钉子钉在一起,转动木棒CD使∠AOC增大20°,则∠BOD的度数( )
A.减少20° B.增大20°
C.不变 D.增大70°
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( )
A.90° B.120°
C.150° D.180°
D
4.如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O ， ON 平分∠ DOB .
若∠ BOC ＝110°，则∠ AON 的度数为 .
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
145°
5.如图，光线从空气射入水中，光线的传播方向发生了改变，这
就是折射现象.图中∠1＝42°，∠2＝28°，则光线的传播方向改变
了 °.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
14
6.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠BOD=35°,
求∠EOC 的度数.
【综合拓展类作业】
作业布置
解:因为∠AOC与∠BOD是对顶角,
所以∠AOC=∠BOD=35°.
因为OA平分∠EOC,
所以∠EOC=2∠AOC=70°.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册、第4章
课标要求 【内容要求】1.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。2.理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。3.能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线。4.掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。5.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。6.识别同位角、内错角、同旁内角。7.理解平行线的概念。8.掌握平行线基本事实I :过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。9.掌握平行线基本事实II:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。10.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行。11.掌握平行线的性质定理I ;两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。了解定理的证明。12.探索并证明平行线的性质定理II:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)。13.能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。14.能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线。15了解平行于同一条直线的两条直线平行。【学业要求】理解两条直线平行或垂直的关系，形成和发展抽象能力;在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力;经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。
内容分析 相交线与平行线是“图形与几何”所要研究的基本问题，本章在学生具有知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，首先研究了两条直线相交的情形，探究了两条直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论。垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论也是学面直角坐标系”的直接基础，本章对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念，为学面直角坐标系中确定点的坐标打下基础。接下来研究了两条直线被第三条直线所截的情形，给出了同位角、内错角、同旁内角的概念，为接下来研究平行做准备。对于平面内两条直线平行的位置关系，首先引入一个基本事实(平行公理)，即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以此为出发点探讨平行线的判定和平行线的性质，对于平行线的判定，先从平行线的画法得出“同位角相等，两直线平行”，并由此推理得出“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。平行线的性质也是类似，即通过探究得出性质1，再由性质1推理得出性质2和性质3.
学情分析 平面内两条直线的位置关系有相交和平行，学生在之前的学习中已经了解了平行线的概念，本章通过学习同位角、内错角、同旁内角的概念，引导学生从角的方面来研究平行线的判定和性质。七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，已经具备了一定的生活经验和数学活动经验，并对几何图形有了一定的认识，但逻辑思维和交流意思方面发展不够均衡，所以要重视学生自主探究、合作交流、创新意识的培养，所以要充分利用七年级学生的心理特点，形成勤动手、勤动脑、勤交流的气氛。
单元目标 教学目标1.理解对顶角的概念，探索并掌握对顶角相等的性质。2.理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。掌握基本事实:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。3.会识别同位角、内错角、同旁内角。4.理解平行线概念，能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线，了解平行于同一条直线的两条直线平行。掌握基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。5.探索并证明平行线的判定定理。6.掌握平行线的性质定理。教学重点、难点教学重点:平行线的判定定理与性质定理.教学难点:垂直、平行的性质和判定的综合应用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1相交线3课时4.2平行线3课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1.1对顶角1.知道对顶角的概念，会判断两个角是对顶角.2.会通过简单说理得到对顶角的性质.3.会利用对顶角的性质解题.1.理解并掌握对顶角的概念，会判断两个角是对顶角.2.掌握对顶角的性质.3.会利用对顶角的性质解题.任务一：设置问题，引出新课任务二：对顶角的定义任务三：对顶角的性质4.1.2垂线1.知道垂线的概念,会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线.2.知道点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.3.能说出关于垂线的基本事实,并会用它解题.1.理解并掌握垂线的概念,2.会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线.3.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.4.掌握关于垂线的基本事实,并会用它解题.任务一：观察图片，引出新课任务二：垂线的有关概念任务三：垂线的画法及基本事实任务四：垂直平分线任务五：垂线段及点到直线的距离4.1.3同位角、 内错角、 同旁内角1.知道同位角、内错角、同旁内角的概念，会识别同位角、内错角、同旁内角.2.在根据不同的位置特点寻找同位角、内错角、同旁内角的过程中，养成善于观察、勤于动脑的好习惯.1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念2.会熟练识别同位角、内错角、同旁内角任务一：借助风筝骨架引出新课任务二：同位角、内错角、同旁内角4.2.1平行线1.认识平行线，能说出平行线的定义，会表示平行线.2.会用三角板和直尺画平行线，通过画图得到关于平行线的基本事实及相关结论.1.了解平行线的定义，会表示平行线.2.会用三角板和直尺画平行线3.理解并掌握关于平行线的基本事实任务一：由生活中的事物，引出新课任务二：平行线的概念及表示任务三：关于平行线的基本事实4.2.2平行线的判定1.通过画图得到判定直线平行的基本事实,并能由这个基本事实推导出平行线的另外两个判定.2.能利用尺规作图过已知直线外一点作该直线的平行线.3.会根据平行线的判定进行简单的推理,体会用“∵" “∴"符号的方便.1.理解平行线的3个判定定理2.能利用尺规作图过已知直线外一点作该直线的平行线.3.会根据平行线的判定进行简单的推理,体会用“∵" “∴"符号的方便.任务一：回忆判定两条直线平行的方法，思考是否还有其他的方法任务二：平行线的判定任务三：利用尺规作平行线任务四：运用平行线的判定定理解决问题4.2.3平行线的性质1.知道平行线的性质.2.能应用平行线的性质进行简单的计算和推理，体会推理过程的严密性.1.理解并掌握平行线的性质.2.能应用平行线的性质进行简单的计算和推理任务一：回顾平行线的判定方法任务二：平行线的性质任务三：平行线的性质的应用
《第4章 》相交线和平行线 单元教学设计
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分课时教学设计
《4.1.1对顶角》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要研究两条直线相交所成的角——对顶角,它是图形与几何中的一个基本概念,它的性质是学习平行线的基础,在求解与证明中有着广泛的应用。教材通过探究活动展开对顶角和邻补角概念的学习，让学生体会知识的形成及探索过程，渗透“分类”思想。在“图形认识初步”，学生已经接触了简单说理，本节课要借助“对顶角性质”的证明，进一步加强说理能力的训练。本节课的重点是对顶角的概念和性质，难点是在复杂图形中找对顶角。
学习者分析 七年级的学生刚从小学步入初中，对初中的各方面都存在好奇心，敢于去认知、探索，这些是七年级学生的独特之处，如果能够很好地利用这些特点，正确的引导，将激发学生学习的兴趣与热情。从知识的储备上来说，学生经常见到的熟悉的数学问题不能用演绎推理证明，不理解数学证明的必要性，所以学生在数学推理过程中的书写格式以及推理的严密性都存在很大的问题。
教学目标 1.能准确理解对顶角的概念，会在图形中判断两个角是对顶角； 2.会通过简单说理得到对顶角的性质，理解对顶角的性质并能运用对顶角的相关知识进行简单的运算； 3.经历观察、猜想、说明、交流等过程，进一步发展空间观念和有条理的表达能力。
教学重点 邻补角、对顶角的概念及对顶角的性质.
教学难点 理解对顶角的相关性质.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 我们已经知道，两条直线相交，只有一个交点,那么，当两条直线相交时，形成了几个角 这些角在数量和位置上有什么关系呢 学生活动1： 学生动脑思考，并积极回答.活动意图说明： 通过设置问题，激发学生的求知欲，主动思考，引出新课。环节二：对顶角的定义教师活动2： 我们可以用不同的字母表示不同的直线 . 如图, 两条直线 AB、 CD 都经过同一个点 O, 我们就说这两条直线相交于点O, 点O是它们的交点. 可以说成“直线 AB、CD 相交于点 O” . 如图, 两条直线相交形成了∠1、 ∠2、 ∠3和∠4, 我们已经知道, 有些角之间存在一定的关系, 例如: 如果两个角既相邻又互补, 那么这两个角互为邻补角. 如∠1 与∠2. 从位置关系与数量关系上看, 图中还有哪些角之 间存在某种关系呢 看一看, 想一想, 将你的发现填入下面的表中: 我们可以直观地发现图中的∠1 与∠3 是相对的两个角, 而且似乎相等. 1与∠3具有相同的顶点, 且∠1的两边 OA、OC 分别与∠3 的两边OB、OD互为反向延长线, 我们把这样的两个角叫做对顶角.∠2 与∠4 也是对顶角. 注意：射线OA的反向延长线是指从点A到点O方向延长得到的一条射线,即射线OB. 对顶角： 两个角具有相同的顶点，并且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角． 如图，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角． 对顶角的特点: ①两个角有公共顶点; ②两个角的两边互为反向延长线.学生活动2： 学生观察图形，动脑思考，积极回答。 学生在教师的引导下总结对顶角的定义，会识别对顶角。 活动意图说明： 通过探究观察，让学生找出对顶角的特征，进而得出对顶角的概念，培养学生的识图能力、观察能力及总结能力。环节三：对顶角的性质教师活动3： 例 1 在图中, ∠1 = 30°, 那么∠2、∠3 和∠4 各等于多少度 图中存在哪些相等关系 解：∠2=180° -∠1 = 180° - 30° = 150°, ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 150° = 30°, ∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 30° = 150°. 由此, 我们得到 ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4. 对于任意两条直线相交形成的对顶角, 由于它们都有一个相同的补角, 所以它们是相等的. 例如, 图中的∠1、 ∠3 都与∠2 互补, 即∠1 + ∠2 = 180°, ∠3 + ∠2 = 180°. 因此 ∠1 = ∠3. 同理 ∠2 = ∠4. 对顶角的性质： 对顶角相等. 应用格式：∵直线AB与CD相交于O点， ∴∠1=∠3，∠2=∠4. 例2 如图, 直线AB、CD相交于点E, ∠AEC=50°, 求∠BED的度数. 解：因为直线 AB、 CD 相交于点 E, 所以∠AEC 与∠BED 是对顶角. 根据对顶角相等, 得 ∠BED = ∠AEC = 50°.学生活动3： 学生小组合作，完成例题。 学生通过例题，总结出对顶角相等这一性质. 学生利用对顶角的性质完成例题。活动意图说明： 经历观察，猜想等过程，得出对顶角相等这一性质，培养学生的推理表达能力。
板书设计 课题：4.1.1对顶角 1.对顶角的定义： 2.对顶角的性质：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,∠1,∠2是对顶角的是（ C ） 2.下列说法中，正确的有（ B ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3.如图,直线AB,CD相交于点O.若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的度数为( B ) A.30° B.50° C.60° D.80° 4.如图所示，直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ，那么图中共有几对对顶角？请分别写出来. 解:图中共有6对对顶角， 分别是：∠ AOC 和∠ BOD ，∠ COE 和∠ DOF ， ∠ AOE 和∠ BOF ，∠ AOF 和∠ BOE ， ∠ COB 和∠ DOA ，∠ EOD 和∠ FOC . 选做题： 如图，已知直线 AB ， CD 相交于点 O ， OA 平分∠EOC ，∠EOC＝100°，则∠BOD 的度数是（ C ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 6.如果直线AB与直线CD交于点O,且∠AOC=(x+ 50)°,∠BOD=(110-x)°,那么这两条直线所夹的锐角是 80° . 【综合拓展类作业】 7.探究与发现： （1）观察图①，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线交于一点，共有6对对顶角；四条直线交于一点，共有 12 对对顶角.试猜想：10条直线交于一点，共有 90 对对顶角； （2）观察图②，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有 12 对对顶角.试猜想：10条直线两两相交于不同的点，共有 90 对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论. 解：（3）在同一平面内， n 条直线两两相交，共有 n （ n －1）对对顶角.
课堂总结 1.对顶角的定义： 两个角具有相同的顶点，并且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角． 2.对顶角的性质： 对顶角相等.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 如图,图中的对顶角共有( A ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 2.如图,两根木棒AB,CD用钉子钉在一起,转动木棒CD使∠AOC增大20°,则∠BOD的度数( B ) A.减少20° B.增大20° C.不变 D.增大70° 3.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( D ) A.90° B.120° C.150° D.180° 选做题： 4.如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O ， ON 平分∠ DOB . 若∠ BOC ＝110°，则∠ AON 的度数为 145° . 5．如图，光线从空气射入水中，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象.图中∠1＝42°，∠2＝28°，则光线的传播方向改变了 14 °. 【综合拓展类作业】 6.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠BOD=35°,求∠EOC 的度数. 解:因为∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以∠AOC=∠BOD=35°. 因为OA平分∠EOC, 所以∠EOC=2∠AOC=70°.
教学反思 本节课通过设置问题，进而引出对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步.
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