课题：2.1.1 直线的斜率
授课教师：江苏省江浦高级中学 陈久贵
教学目的
（1）初步了解解析几何的研究方法，培养学生数形结合的思想；
（2）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；
（3）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究斜率的变化规律.
教学重、难点
（1）使学生明确直线的斜率的概念，熟练掌握已知两点坐标求这两点所在直线斜率的公式；
（2）使学生清楚直线的方向的变化规律，在于如何培养学生自觉应用数形结合思想考虑和解决问题．
教学策略
以问激学、以景激情、师生共同探讨.这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学发现过程，能调动学生学习的积极性与主动性.
教学工具
多媒体、三角板等辅助教学.
教学过程设计
设计意图
引 言
情境：几幅美丽图片。
笛卡尔的平面直角坐标系。
引进平面直角坐标系,用有序数对(x,y)表示平面内的点.根据曲线的几何性质,可以得到关于x,y的一个代数方程f(x,y)=0.反过来,把代数方程f(x,y)=0的解(x,y)看做平面上点的坐标,这些点的集合是一条曲线.
以代数的方法（以平面直角坐标系为桥梁）研究几何问题
平面解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程研究平面曲线的性质。
用拉格朗日的名言结束引言：
如果代数与几何各自分开发展，那它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限．但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进．
通过现实生活中的美妙曲线，唤起同学们对几何的向往
介绍平面解析几何的产生及其研究的主要问题和解决问题的方法
以名言结束引言激励同学们探索新知识的信心
新 课 ( 直 线 的 斜 率 )
（1）引人
①观察以下三个函数所表示
的直线异同：如何刻画直线,换句
话说: 几个要素确定直线位置?
确定直线位置的几何要素
有两个：
一个点和直线的方向．
②楼梯倾斜程度:
结论：坡度越大，楼梯越陡．
③如果我们也想给直线用一个新的量来表示倾斜程度，
我们把这一个量叫斜率，那么应该怎样定义斜率呢？
斜率
思考1: 会不会由于点P的位置不同得到不同的比值呢?
从同学熟悉的一次函数入手，刻
画直线的几何要素
通过楼梯的倾斜程度（坡度）来
刻画直线的方向
由坡度引出直线
的斜率
由特殊直线开始
引入斜率的定义
新 课 ( 直 线 的 斜 率 )
结论:
（2）直线的斜率的定义：
已知两点,
如果，那么直线PQ的斜率为
；
如果,那么直线PQ的斜率不存在．
例1 如图，已知直线l1, l2 , l3都经过
P(3, 2)，又l1,l2,l3分别经过点Q1(－3, 2 ) ,
Q2 (－2,－1) ,Q3 (4,－2) ,试计算直线
l1, l2 ,l3的斜率．
让学生自己发现
斜率的唯一性
从上面的特殊情
况不难想到一般
直线如何构造一
直角三角形，从
而给出一般直线
斜率的定义
与P、Q点的选择
有关吗
分母为零怎么办
巩固公式
(学生口答)
三种情况比较
新 课 ( 直 线 的 斜 率 )
我们把三条直线的斜率与三条直线的方向联系
起来看有何对应关系呢?
演示斜率的变化规律，让学生发现：
①当直线的斜率的正、负及0时的方向；
②当直线的斜率为正、负时，k的值按逆
时针方向旋转越来越大；
③当斜率绝对值越大，直线倾斜程度越大；
应用：如图直线l1, l2 , l3的斜率分别为k1, k2 , k3,
则有( )
A. k1 B. k3 C. k3 D. k1思考2：三点A(0,－1), B(2，3),
C(5，9)是否在一条直线上？
结论:如果KAB=KBC，那么A，B，C
三点共线;反过来,也正确.
直线的斜率与三条直线的方向关系
动画演示，让学生发现变化规律
规律的应用
应用：判断三点
共线
新 课 ( 直 线 的 斜 率 )
思考3：将直线l上的点P沿x轴方向向
右平移4个单位，再沿y轴方向向上平移3个
单位，得到点Q仍在直线l上，那么直线l的
斜率为多少？
演示平移变化规律
例2 经过点（3，2）画直线，使直线的
斜率分别为：
(1) ; (2)
变题: 如果直线l按x轴负方向平移
m(m>0)个单位，再沿y轴正方向平移n(n>0)
个单位后，又回到了原来的位置，那么直线l
的斜率为多少？
体会横纵增量，
为例2作铺垫
(学生板书)
延伸、拓展
课堂小结
（1）斜率定义；
（2）直线的方向与直线的斜率之间的对应关系；
（3）求斜率；
（4）三点共线；
（5）画直线;
（6）数形结合思想.
等等．
(学生口答)
课
后作业
作业
课本P72. 1,2,3,4,5
本 节 课 板 书 设 计
本节课教育评注（课堂设计理念，教学后记及教学心得）
课堂设计理念
课堂设计理念
一、关于引言教学
通过几幅美丽图片，激发学生擦究的兴趣。
解析几何引言要回答两个问题：
（1）解析几何产生？
（2）什么是解析几何？
为了节省篇幅，简要地引出三个问题：
1. 笛卡尔的平面直角坐标系；
2. 解析几何研究问题的方法；
3. 平面解析几何研究的主要问题。
最后，以拉格朗日的名言结束引言来激励同学们探索新知识的信心。
二、关于直线的斜率教学
本节课主要内容和要求：
（1）斜率概念：体验——感知——理解
（2）斜率公式：理解——记忆——应用
针对上述内容和要求，需要寻求新旧知识的结合点，有序地架构新知识的桥梁，这成为本课教学设计的出发点。
学生已有的知识基础是坡度概念，坡度与斜率本质相同，因此坡度是引进斜率概念比较合理的切入点。斜率是坡度的发展，如何在坡度概念的基础上建构斜率概念，是教学设计的核心问题。据此，本课作了如下构思：
（一）情境唤醒
以简洁的构图，楼梯的倾斜程度的情境。这一情境的出现，先唤醒的是平时的上下楼的感觉，贴近实际；再唤起体验——不同的坡度，不同的上下楼感受；最后自然回归数学的概念——坡度的大小问题。
（二）情境利用
好的情境应体现问题的数学本质，直达概念的核心，具有多重承载：
（1）知识——坡度概念；
（2）方法——坡度计算；
（3）本质——两点定直线
（三）情境转入
“从数学角度看……”自然转入课题，从几何长度计算坡度入手，转入直角三角形两直角边的比，而后引入坐标计算斜率。
概念教学按以下层次逐步展开：
（1）由特殊直线（过原点）开始引入斜率的定义，此时和坡度等同。然后让
学生自己发现斜率的唯一性，由于点P的位置不同得到不同的斜率。
（2）确信坐标公式的正确性、两点选择的任意性。
为了印证坐标公式的正确性，提出“交换两点位置，结果如何？”学生此时并未发生“坡度值为负”的认知冲突。而是更加坚信坐标公式的正确性、两点选择的任意性。
（3）引发认知冲突，理解斜率公式合理性
怎样让学生自行发现斜率的可负性呢？
这里设计了一组计算斜率的题。通过学生计算和画图，发现坡度的可负性，引起认知矛盾。再通过“负号”的去留，以及零坡度、无坡度的讨论，斜率概念呼之即出。
（4）动画演示，让学生自己发现变化规律
直线的方向与斜率的变化规律不容易掌握，通过多媒体动画演示让学生自己发现变化规律，从而突破难点；另外横纵增量的变化与斜率关系也是难点，通过动画演示，同学们很容易理解，并为例2作了很好铺垫。
（四）借助问题解决，深化理解
应用中深化概念的理解，是概念教学重要一环。本节课中由点和斜率画直线是学习的另一个难点。如何克服难点，提高是进一步探究的愿望？需要一个好的问题引路。好的问题同样是一个好的情境，问题和方法都蕴藏其中，同时能够激起学生的好奇、求胜心理。
问题设计：
问题一：将直线l上的点P沿x轴方向向右平移4个单位，再沿y轴方向向上平移3个单位，得到点Q仍在直线l上，那么直线l的斜率为多少？
问题二：已知点和斜率，画直线
问题三：如果直线l按x轴负方向平移m(m>0)个单位，再沿y轴正方向平移n(n>0)个单位后，又回到了原来的位置，那么直线l的斜率为多少？
三个问题环环相扣．问题一简单计算，似无大用，却是概念的根本，从此引导学生从问题一的情境中寻找问题二的解决办法，再通过问题三帮助学生归纳总结解题规律。
思考2旨在提升灵活运用斜率知识学生分析解决问题的能力。
教学后记
新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉。从知识接受上讲似乎并无大碍，但是从知识的联系性、思维的丰富性上讲多了数学文科感觉——记住结论会用就行！这或许就是新课程的理念吧。但本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求。
教学心得
如何构建和谐有趣、充满活力的数学课堂？
首先，让学生既能智力参与，又有情感参与。做演员不做观众，并且自己创造角色而不是模仿角色；
其次，教师应当懂得做导演不做演员，并努力做一个能激发演员创造力和想象力的导演。
第三，适当的时候，需要教师和学生都置于观众位置对教与学进行反思和评判。
新课程未来之前，心弛神往。阅读高中新课程标准，深感理念之先进、课程之合理、改革之必须。特别是使用必修一教材，更觉课改思路清晰。但是随着教学的实施，教材中“文科”特点愈显突出，时常打乱的逻辑顺序，使知识的内部联系及发生发展过程，显得紊乱。似不利学生数学的学习，尤其不利于学生数学思维习惯的养成。另一方面，书浅题深，时短量大也给教师的教学造成诸多不便。
