2.3.4两条平行直线间的距离公式 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学（含解析）

2.3.4 两条平行直线间的距离公式
一、选择题
1．已知两直线与，则与间的距离为( )
A. B. C. D.
2．两条平行直线和间的距离为,则( )
A., B., C., D.,
3．直线关于点对称的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4．已知直线与直线间的距离为，则( )
A.或 B.-9 C.-9或11 D.6或-4
二、多项选择题
5．已知直线，，则( )
A.直线过定点 B.当时，
C.当时， D.当时，两直线，之间的距离为1
6．下列说法正确的有( )
A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大；
B.直线必过定点；
C.直线与直线的距离为；
D.斜率为3，且在y轴上的截距为2的直线方程为.
7．若两平行线分别经过点，，则它们之间的距离d可能等于( )
A.0 B.5 C.12 D.13
三、填空题
8．已知直线和，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______.
9．若直线l与其平行直线之间的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是______.
10．已知直线，，则直线与之间的距离的最大值为__________.
11．已知直线与0，其中k，.若直线，则与间距离的最小值是__________.<
四、解答题
12．已知两条不同直线,．
(1)若,求实数a的值; (2)若,求实数a的值;并求此时直线与之间的距离．
13．已知直线：.
（1）若直线在x轴上的截距为2，求实数a的值；
（2）若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离.
14．直线，，点A和点B分别是直线，上的动点.
(1)若直线AB经过原点O，且，求直线AB的方程；
(2)设线段AB的中点为P，求点P到原点O的最短距离.
15．已知两直线与,直线经过点,直线过点,且．
（1）若与的距离为4,求两直线的方程;
（2）若与之间的距离最大,求最大距离,并求此时两直线的方程．
参考答案
1．答案：D
解析：直线的方程可化为（使用两条平行直线间的距离公式时，x，y的系数要对应相等），显然，所以与间的距离为.
故选：D.
2．答案：C
解析：因为直线与直线平行,所以,所以两直线分别为和,所以.故选C.
3．答案：B
解析：方法一：设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称的点为，
又因为在直线上，所以，即.故选B.
方法二：设直线关于点对称的直线的方程为，所以，所以，所以或（舍），即直线关于点对称的直线的方程为.故选B.
4．答案：A
解析：直线可化为，所以，解得或.故选A.
5．答案：CD
解析：依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；
当时，直线，而直线，显然，即直线，不垂直，B不正确；
当时，直线，而直线，显然，即，C正确；
当时，有，解得，即直线，
因此直线，之间的距离，D正确.
故选：CD.
6．答案：BC
解析：对于A，当斜率为时，倾斜角为，当斜率为时，倾斜角为，故A错误；
对于B，将直线化为，
则，解得，
即直线必过定点，故B正确；
对于C，将直线化为，
则这两平行直线间的距离为，
故C正确；
由斜截式方程的定义可知斜率为3，且在y轴上的截距为2的直线方程为，故D错误.
故选：BC.
7．答案：BCD
解析：易知当两平行线与A,B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，即，所以，故距离d可能等于5,12,13.
8．答案：或
解析：直线可化为，所以，且直线l与直线与平行,所以设直线的方程为(且).
由题意可得：，解得：或，
故直线的方程为或.
故答案为：或.
9．答案：
解析：根据题意，设直线l的方程为，
因为直线l与直线的距离和原点到直线l的距离相等，
所以，解得，
故直线l的方程为.
故答案为：.
10．答案：5
解析：直线化为，令且，解得，，所以直线过定点.直线化为，令且，解得，，所以直线过定点.因为，所以当AB与直线，垂直时.直线，间的距离最大，且最大值为.
11．答案：
解析：因为与，且，所以，得，所以直线，即，所以与间的距离，所以当时，d取得最小值，为.
12．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由,得,解得;
（2）当时,有,解得,
,,即,
两直线与的距离为．
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，在直线：中，
令，可得，
直线在x轴上的截距为，
解得：.
（2）由题意及（1）得，在直线：中，
直线与直线：平行，
，
直线的方程可化为，
两平行线之间的距离为：.
14．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题得两直线的距离为，
所以直线AB与两直线垂直.
因为，的斜率为，所以.
所以直线AB的方程为.
(2)因为，互相平行，所以线段AB的中点P的轨迹方程为，即，
所以点P到原点O的最短距离即点O到直线的距离.
因为点O到直线的距离为.
所以点P到原点O的最短距离为.
15．答案：（1）,或,．
（2）最大距离为12;,．
解析：（1）当,斜率不存在时,,,与的距离为4,满足条件;
当,斜率存在时,设,,
则,即,解得,
此时,,．
综上,,或,．
（2）若与之间的距离最大,则,均与,连线垂直,而的斜率,
所以,的斜率均为,
此时,．