25.2用列举法求概率 教学设计 人教版（2024）数学九年级上册

教学设计
课时教学内容 用列举法求概率
课时教学目标
① 在具体情景中进一步理解概率的意义，能运用画树状图法求事件概率，体会画树状图列举结果的直观性、便利性.能正确认识什么条件下用直接列举法、表格法和画树状图法.
② 通过用画树形图求概率的过程培养思维的条理性，能将实际问题数学化，能通过比较概率大小，进行简单决策.
③ 经历探究画树状图的过程，沟通概率知识与代数知识之间的联系，感受数学的简洁美及数学应用的广泛性.形成和发展数据观念和模型观念.
教学重点与难点
本课是在学生已经学习了用列表法求概率的基础上，继续用画树状图法求概率，深化学生对用列举法求概率的认识，更深入理解分步分析对思考较复杂问题时所起的作用.当每次实验涉及两个因素或两步时也可以用画树状图法来列举，和列表法相比，画树状图法更适用于每个实验超过两个因素或两步时的情形，是一种适用性比较广泛的方法. 学生在高中阶段还要学习概率的乘法，因此列举法的探究为高中学习复杂的概率问题做了铺垫.学生通过学习计算日常生活中的随机事件发生的概率，进一步体会用数学的眼光，观察现实世界的客观现象，发现数量关系，能够理解现象背后的数学原理. 对发展数据观念、模型观念和应用意识有重要意义.
基于此确定本节课的教学重点：运用画树状图法列举试验结果，求事件发生的概率.
列表法和画树状图法的选取.
上节课的学习中，学生已经理解了用直接列举和列表法求出等可能事件的概率， 初步了解了“分步”分析方法对“不重不漏列举”的重要性.学生易出现的问题是，对于涉及两个（两步）或两个（两步）以上因素的实验学生会较好的用列表法或树状图法列出所有可能结果，但对于涉及三个（三步）或三个（三步）以上因素的试验，画树状图会出现阅读文字信息、分析问题、理清步骤等方面出现迷茫，局限在简单的模仿，独立画树状图和恰当运用两种列举法灵活解决问题会出现困难.
教学过程中将采用启发引导和探究相结合的教学方法.以学生活动为主，在“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的探索和研究中获取知识、提高分析能力和应用意识。
基于此确定本节课的教学难点是：①文字信息的阅读、明确具体分几步，画树状图. ②根据题意选择适当的方法求概率.
教学过程设计
环节一：复习回顾，引入新知
填空，并说明理由：
（1）掷一枚硬币，正面向上的概率是____；
（2）同时掷两枚质地均匀的硬币，落地后，两枚都是正面向上的概率是多少？
问题：影响可能结果的因素有几个？
每个因素可能出现的结果有几个？
如何方便、清楚地表示可能出现的所有结果？
师生活动：学生自主回答，教师对学生的回答情况进行评价和总结.
设计意图：通过对概率基本公式、列表法求概率的步骤等知识的回顾，为新知学习创造条件，领悟随机观念.
新知探究：双减实施以来，学校开展了丰富多彩的社团活动，“过山车”和“无线电”两个社团都邀请小田同学加入，他左右为难，最后决定用抛硬币的方式确定.规则如下：连续抛掷硬币三次，如果两次正面朝上一次反面朝上，则加入“过山车”社团，如果两次反面朝上一次正面朝上，则加入“无线电”社团.这个方法公平吗？为什么？
问题1 如何理解“公平”？
问题2 影响可能结果的因素有几个？
问题3 你能写出所有可能的结果吗？能用列表法吗？为什？
问题4 能否设计出一种更好的方式，能清晰的把所有可能出现的结果不重不漏地列举出来？
师生活动：教师提出问题，引导学生进行解答，学生利用学过的知识自主探究回答问题，教师点评引导，发现这个实验分三步完成，这在二维的平面内难以画出表格，因此不宜采用列表法.
学生小组合作探究新的列举方法，教师深入小组倾听学生的见解. 最后综合意见，总结方法和过程.
教师总结并板书：画树状图法.
用列举的方式写下来，所有可能结果也是8种，如下：
正 正 正 正 反 反 反 反
正 正 反 反 正 正 反 反
正 反 正 反 正 反 正 反
设计意图：让学生发现问题，探究解决问题的方法，培养数学的应用意识，提升分析能力、培养探索精神和创新能力.
活动预设：部分学生会用直接列举的方法，寻找规律，写出可能的结果，但是难度较大，会出现重复或遗漏，也会出现混淆.进而激发学生思考创新.会有个别思维灵活的学生想到用画图的方法，完成问题4的回答，进入新课.
问题5 如果是同时抛掷四枚质地均匀的硬币，所有硬币均正面向上的概率呢？
问题6 复习回顾中的问题“同时掷两枚质地均匀的硬币，落地后，两枚都是正面向上的概率是多少？”能用树状图法吗？
问题7 用树状图法或列表法求概率的前提是什么？主要步骤？
问题8 用树状图法或列表法求概率的优点是什么？
问题9 什么时候使用列表法方便？什么时候使用树状图法方便？
师生活动：共同总结画树状图法求等可能事件概率的一般步骤；体会树状图与列表法的异同.
设计意图：通过交流和引导，学生体会并理解树状图法解决问题的思路和步骤；通过两种方法的对比，学会选取适当的方法解决问题，提升分析问题的能力，形成模型观念.
活动预设：大多数学生在解决这个问题的过程中，掌握了画树状图求概率的方法，增强了学生学习的自信，但是会有少部分学生有似懂非懂的情况，需要在后面的习题中多关注.
环节二：应用方法，落实基础
例：甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有字母 C，D 和 E；丙口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 H 和 I． 从三个口袋中各随机取出 1 个小球．（注：本题中A，E，I是元音字母，B，C，D是辅音字母）
（1）取出的 3 个小球上恰好有1个元音字母的概率是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
师生活动：教师提出问题，引发学生思考
问题1：本题一次试验中有几个步骤？顺序是怎样的？
问题2：选用哪种列举方法？
问题3：请尝试独立画出树状图，如何写出所有的可能结果？完成问题的解答.
设计意图：再次体会随机事件的过程，培养学生的随机意识，巩固画树状图的步骤和方法 总结求出概率公式中的n，m的方法， 画树形图求概率体现了数形结合及分类的思想.
活动预设：学生通过互相交流能画出树状图，基本掌握方法.
环节三：巩固基础，学以致用
练习1：生物张老师带领同学们观察小鸡孵化的过程，假定孵化后，雏鸡为母鸡与公鸡的概率相同.如果3枚鸡蛋全部成功孵化，那么3只雏鸡中恰有2只母鸡的概率是多少？
练习2（提升）：齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢.已知田忌的马比齐王的马略逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马.田忌屡败后，接受了孙膑的建议，结果两胜一负，赢了比赛.
（1）你知道孙膑给的是怎样的建议吗？
（2）假如在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢的概率是多少呢？
师生活动：学生完成练习，教师点评答疑.
设计意图：复习巩固用列表法和画树状图法求概率，培养学生应用概率知识解决问题的意识，渗透随机观念. 能从概率的角度描述和表达随机现象.
活动预设：学生比较有兴趣，能积极思考，但是由于刚接触新知识，部分学生可能会只是简单的模仿，独立完成有一定困难，需要提示和多次反复体会领悟。
环节四：小结归纳，自我完善
师生活动：回顾本节课的内容，归纳总结：
问题1：本节课学习了哪些主要内容？ 学了哪些方法能列举出所有可能的结果？
问题2：画树状图法求等可能事件概率的步骤、关键是什么？
问题3：怎样选用列表法和树状图法？
问题4：还有哪些收获？（方法上、能力上）
设计意图：归纳小结，巩固树状图法求概率的意义和方法.学生通过梳理本节课所学内容，培养总结概括的能力，形成知识体系.知道了两个典型概率试验模型（抛掷硬币实验和摸球试验）及其概率求法发展数据观念、应用意识、模型观念.
目标检测设计
基础题
1.在一个不透明的袋子里,有2个黑球和1个白球,小球除了颜色外其余均相同,从中任意摸两个小球.
(1)请你完成下面表示所有可能出现的结果的树形图(如图);
(2)由上面的树形图可知,共有　种等可能的结果,其中恰有1黑1白的有　种,所以摸到1黑1白的概率是　　.
2.2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．
他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
提升题：同学们，你们玩过“手心、手背”游戏吗？现有甲、乙、丙三名同学打乒乓球，想通过“手心、手背”游戏来决定其中哪两人先打.规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定.那么你知道通过一次“手心、手背”游戏能决定甲先打乒乓球的概率是多少吗？