2.3 圆与圆的位置关系 分层同步练习（含答案）-高中数学苏教版（2019）选择必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.3 圆与圆的位置关系 分层同步练习（含答案）-高中数学苏教版（2019）选择必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 48.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-24 21:11:56 | ||
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文档简介
2.3 圆与圆的位置关系
A级 基础达标练
1.若圆x2+y2=2与圆=r2内切,则r= ( )
A.4 B.3 C.2 D.
2.若两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0有3条公切线,则a=( )
A.-1或-2 B.-1或-5
C.-2或2 D.-5或2
3.圆x2+y2+4x-6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.3x+5y+9=0 B.3x-5y-9=0
C.3x-5y+9=0 D.3x+5y-9=0
4.已知圆A、圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为 .
5. 已知圆C的圆心为,若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点,则圆C的方程为 .
6.圆O1的方程为(x+2)2+(y-3)2=1,圆O2的圆心为O2(1,7).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且AB=,求圆O2的方程.
B级 能力提升练
7.已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2+x-y-m2=0(m>0).若圆C2平分圆C1的圆周,则正数m的值为( )
A.3 B.2 C.4 D.1
8.已知圆M:=1,圆N:=1,则下列不是M,N两圆公切线的直线方程为( )
A.y=0 B.4x-3y=0
C.x-2y+=0 D.x+2y-=0
9.(多选题)(2024南通调研)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则下列结论正确的有( )
A.a2+b2=1
B.a2+b2=3
C.AB中点的轨迹方程为x2+y2=
D.AB中点的轨迹方程为x2+y2=
10.已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(0,-a),B(0,a)(a>0).若圆C上有且只有一点P,使得∠APB=90°,则a= .
11.已知圆O1:x2+y2=4与圆O2:x2+6x+y2=0相交于点A,B,则四边形AO1BO2的面积为 .
12.在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=4与圆 C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q两点.
(1)求线段PQ的长;
(2)记圆O与x轴正半轴交于点M,点N在圆C上运动,求△MNC面积最大时的直线MN的方程.
C级 拓展探究练
13.(2024盐城质检)与两圆(x-1)2+y2=1,x2+y2-10x+6y+18=0均相切的一条直线方程为 .
14. 已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=3,点P,A,B分别在x轴和圆C1,C2上.
(1)判断两圆的位置关系;
(2)求PA+PB的最小值.
15.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点.
(1)求公共弦AB所在的直线方程;
(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程;
(3)求经过A,B两点,且面积最小的圆的方程.
参考答案
1.A 2.D 3.D 4.6 cm或14 cm
5. (x-2)2+(y-1)2=4
6.解(1)圆O1的方程为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心坐标为(-2,3),半径为1,圆O2的圆心O2(1,7).
圆心距为=5,圆O2与圆O1外切,所求圆O2的半径为4,所以圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=16.
(2)圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=,所以圆心O1到弦AB的距离为.
当圆心O2到弦AB的距离为5-时,圆O2的半径为=5.圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=25.
当圆心O2到弦AB的距离为5+时,圆O2的半径为
=3.
圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=27.
综上,圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=25或(x-1)2+(y-7)2=27.
7.A 8.D
9.BC 解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by-a2-b2=0.因为圆C1的圆心为C1(0,0),半径为1,且公共弦AB的长为1,则C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为,所以,解得a2+b2=3,故A错误,B正确;由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB,所以C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为AB中点与点C1的距离.设AB中点坐标为(x,y),因此,即x2+y2=,故C正确,D错误.故选BC.
10.4或6 解析由题意,两点A(0,-a),B(0,a)(a>0),且∠APB=90°,可得点P落在以AB为直径的圆上,即圆P:x2+y2=a2(a>0),
要使得圆C:(x-4)2+(y-3)2=1上有且只有一点P,使得∠APB=90°,等价于圆C与圆P只有一个公共点,即两圆相切,可得两圆的圆心距为d==5.
当两圆相外切时,可得d=1+a,即a+1=5,解得a=4;
当两圆相内切时,可得d=a-1,即a-1=5,解得a=6.
综上,实数a的值为4或6.
11.4 解析根据条件易知O1(0,0),O2(-3,0),所以|O1O2|=3,把x2+y2=4代入(x+3)2+y2=9,得x=-,把x=-代入x2+y2=4,得y=±,所以|AB|=.因为O1O2⊥AB,所以四边形AO1BO2的面积为AB·O1O2=×3=4.
12.解(1)由圆O与圆C方程相减可知,相交弦PQ所在直线的方程为3x+y-3=0.
点(0,0)到直线PQ的距离d=,
|PQ|=2.
(2)因为|MC|=,|NC|=2.
S△MNC=|MC|·|NC|sin∠MCN=2sin∠MCN.
当∠MCN=90°时,S△MNC取得最大值,此时MC⊥NC.又kCM=1,则直线NC的方程为y=-x+4.
由得N(1,3)或N(5,-1),
当点N(1,3)时,kMN=-3,此时直线MN的方程为3x+y-6=0;
当点N(5,-1)时,kMN=-,此时直线MN的方程为x+3y-2=0.
所以直线MN的方程为3x+y-6=0或x+3y-2=0.
13.y=1(答案不唯一) 解析由(x-1)2+y2=1,知圆心为(1,0),半径为1,由x2+y2-10x+6y+18=0,即(x-5)2+(y+3)2=16,知圆心为(5,-3),半径为4,所以圆心距为=5=1+4,故两圆外切,如图所示,
公切线斜率存在,设公切线方程为y=kx+m,所以解得所以公切线方程有y=1或4x-3y-9=0或24x+7y+1=0.
14.解 (1)圆C1的圆心为C1(1,2),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,4),半径为.因为C1C2=2>1+,所以两圆外离.
(2)(PA+PB)min=
(PC1+PC2-1-)min,如图,作C1(1,2)关于x轴的对称点C1'(1,-2),则当C1',P,C2三点共线时,所求最小值为C1'C2-1-=2-1-.
15.解(1)将两圆方程相减得x-2y+4=0,此即为所求直线方程.
(2)易知圆C1的圆心不在直线y=-x上,则设经过A,B两点的圆的方程为x2+y2+2x+2y-8+λ(x2+y2-2x+10y-24)=0(λ为常数),则圆心坐标为.又圆心在直线y=-x上,故=0,
解得λ=-,故所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小.两圆心所在直线的方程为2x+y+3=0,与直线AB的方程联立,得所求圆心的坐标为(-2,1),由弦长公式可知所求圆的半径为.故经过A,B两点,且面积最小的圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.
A级 基础达标练
1.若圆x2+y2=2与圆=r2内切,则r= ( )
A.4 B.3 C.2 D.
2.若两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0有3条公切线,则a=( )
A.-1或-2 B.-1或-5
C.-2或2 D.-5或2
3.圆x2+y2+4x-6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.3x+5y+9=0 B.3x-5y-9=0
C.3x-5y+9=0 D.3x+5y-9=0
4.已知圆A、圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为 .
5. 已知圆C的圆心为,若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点,则圆C的方程为 .
6.圆O1的方程为(x+2)2+(y-3)2=1,圆O2的圆心为O2(1,7).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且AB=,求圆O2的方程.
B级 能力提升练
7.已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2+x-y-m2=0(m>0).若圆C2平分圆C1的圆周,则正数m的值为( )
A.3 B.2 C.4 D.1
8.已知圆M:=1,圆N:=1,则下列不是M,N两圆公切线的直线方程为( )
A.y=0 B.4x-3y=0
C.x-2y+=0 D.x+2y-=0
9.(多选题)(2024南通调研)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则下列结论正确的有( )
A.a2+b2=1
B.a2+b2=3
C.AB中点的轨迹方程为x2+y2=
D.AB中点的轨迹方程为x2+y2=
10.已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(0,-a),B(0,a)(a>0).若圆C上有且只有一点P,使得∠APB=90°,则a= .
11.已知圆O1:x2+y2=4与圆O2:x2+6x+y2=0相交于点A,B,则四边形AO1BO2的面积为 .
12.在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=4与圆 C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q两点.
(1)求线段PQ的长;
(2)记圆O与x轴正半轴交于点M,点N在圆C上运动,求△MNC面积最大时的直线MN的方程.
C级 拓展探究练
13.(2024盐城质检)与两圆(x-1)2+y2=1,x2+y2-10x+6y+18=0均相切的一条直线方程为 .
14. 已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=3,点P,A,B分别在x轴和圆C1,C2上.
(1)判断两圆的位置关系;
(2)求PA+PB的最小值.
15.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点.
(1)求公共弦AB所在的直线方程;
(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程;
(3)求经过A,B两点,且面积最小的圆的方程.
参考答案
1.A 2.D 3.D 4.6 cm或14 cm
5. (x-2)2+(y-1)2=4
6.解(1)圆O1的方程为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心坐标为(-2,3),半径为1,圆O2的圆心O2(1,7).
圆心距为=5,圆O2与圆O1外切,所求圆O2的半径为4,所以圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=16.
(2)圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=,所以圆心O1到弦AB的距离为.
当圆心O2到弦AB的距离为5-时,圆O2的半径为=5.圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=25.
当圆心O2到弦AB的距离为5+时,圆O2的半径为
=3.
圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=27.
综上,圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=25或(x-1)2+(y-7)2=27.
7.A 8.D
9.BC 解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by-a2-b2=0.因为圆C1的圆心为C1(0,0),半径为1,且公共弦AB的长为1,则C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为,所以,解得a2+b2=3,故A错误,B正确;由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB,所以C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为AB中点与点C1的距离.设AB中点坐标为(x,y),因此,即x2+y2=,故C正确,D错误.故选BC.
10.4或6 解析由题意,两点A(0,-a),B(0,a)(a>0),且∠APB=90°,可得点P落在以AB为直径的圆上,即圆P:x2+y2=a2(a>0),
要使得圆C:(x-4)2+(y-3)2=1上有且只有一点P,使得∠APB=90°,等价于圆C与圆P只有一个公共点,即两圆相切,可得两圆的圆心距为d==5.
当两圆相外切时,可得d=1+a,即a+1=5,解得a=4;
当两圆相内切时,可得d=a-1,即a-1=5,解得a=6.
综上,实数a的值为4或6.
11.4 解析根据条件易知O1(0,0),O2(-3,0),所以|O1O2|=3,把x2+y2=4代入(x+3)2+y2=9,得x=-,把x=-代入x2+y2=4,得y=±,所以|AB|=.因为O1O2⊥AB,所以四边形AO1BO2的面积为AB·O1O2=×3=4.
12.解(1)由圆O与圆C方程相减可知,相交弦PQ所在直线的方程为3x+y-3=0.
点(0,0)到直线PQ的距离d=,
|PQ|=2.
(2)因为|MC|=,|NC|=2.
S△MNC=|MC|·|NC|sin∠MCN=2sin∠MCN.
当∠MCN=90°时,S△MNC取得最大值,此时MC⊥NC.又kCM=1,则直线NC的方程为y=-x+4.
由得N(1,3)或N(5,-1),
当点N(1,3)时,kMN=-3,此时直线MN的方程为3x+y-6=0;
当点N(5,-1)时,kMN=-,此时直线MN的方程为x+3y-2=0.
所以直线MN的方程为3x+y-6=0或x+3y-2=0.
13.y=1(答案不唯一) 解析由(x-1)2+y2=1,知圆心为(1,0),半径为1,由x2+y2-10x+6y+18=0,即(x-5)2+(y+3)2=16,知圆心为(5,-3),半径为4,所以圆心距为=5=1+4,故两圆外切,如图所示,
公切线斜率存在,设公切线方程为y=kx+m,所以解得所以公切线方程有y=1或4x-3y-9=0或24x+7y+1=0.
14.解 (1)圆C1的圆心为C1(1,2),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,4),半径为.因为C1C2=2>1+,所以两圆外离.
(2)(PA+PB)min=
(PC1+PC2-1-)min,如图,作C1(1,2)关于x轴的对称点C1'(1,-2),则当C1',P,C2三点共线时,所求最小值为C1'C2-1-=2-1-.
15.解(1)将两圆方程相减得x-2y+4=0,此即为所求直线方程.
(2)易知圆C1的圆心不在直线y=-x上,则设经过A,B两点的圆的方程为x2+y2+2x+2y-8+λ(x2+y2-2x+10y-24)=0(λ为常数),则圆心坐标为.又圆心在直线y=-x上,故=0,
解得λ=-,故所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小.两圆心所在直线的方程为2x+y+3=0,与直线AB的方程联立,得所求圆心的坐标为(-2,1),由弦长公式可知所求圆的半径为.故经过A,B两点,且面积最小的圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.