第1章 直线与方程 单元测试（含解析）-高中数学苏教版（2019）选择必修第一册

第1章　直线与方程
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若直线x=-2的倾斜角为α,直线x+y=0的倾斜角为β,则β-α=(　　)
A.0　　　　　B.
C.
2.“a=-”是“A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　　
B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　　
D.既不充分也不必要条件
3.如图,在同一平面直角坐标系中作出直线y=ax与y=x+a,正确的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
4.王老师在课堂上与学生探究直线l时,有四位同学分别给出了一个结论,甲:直线l经过点(1,2);乙:直线l经过点(3,9);丙:直线l经过点(0,-1);丁:直线l的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是(　　)
A.甲　　　　　B.乙
C.丙　　　　　D.丁
5.已知点M(1,-2),N(4,4),H是直线l:2x-y+1=0上的动点,则HM+NH的最小值为(　　)
A.
C.
6.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P(P不与A、B重合),则△PAB面积的最大值为(　　)
A.4　　　　　B.
C.2　　　　　D.
7.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,a≠b,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)
A.1,
C.
8.在平面直角坐标系中,已知点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线l:x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为(　　)
A.1　　　　　B.2
C.3　　　　　D.4
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知直线l1:ax-(a+3)y+a=0,l2:x-2ay+a-1=0,则下列说法正确的是(　　)
A.若l1⊥l2,则a=-
B.若l1∥l2,则a=或a=-1
C.若l1与l2相交于点(-1,0),则a=2
D.若a=,则l2在两坐标轴上的截距相等
10.已知直线l:(a+1)x-ay-3a-4=0,O为坐标原点,下列说法正确的是(　　)
A.若a≠0,则a越大,直线l的倾斜角越小
B.若直线l关于直线x=4对称的直线方程是2x+y-9=0,则a=1
C.若直线l过定点P,直线m经过点P和点O,则m绕点P旋转45°后得到的直线方程是5x-3y-17=0或3x+5y-13=0
D.若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,则当OA+OB的值最小时,a=-
11.已知O为坐标原点,A(3,1),P为x轴上一动点,Q为直线l:y=x上一动点,则(　　)
A.PQ+QA+PA的最小值为4
B.AP+AQ的最小值为1+
C.AP+PQ的最小值为2
D.AP+OP的最小值为4
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知直线l与直线x+3y-5=0垂直,且点P(-1,0)到直线l的距离为,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.
13.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则的取值范围是　　　　　　,(x+1)2+y2的取值范围是　　　　　　.
14.已知两点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B,则AP+PQ+QB的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)如图,平行四边形ABCD的面积为8,A为原点,点B(2,-1),点C,D在第一象限.
(1)求直线CD的方程;
(2)若BC=,求点D的横坐标.
16.(本小题满分15分)已知直线l:kx-y+1+2k=0.
(1)当k=1时,求直线l与直线2x+y-1=0的交点坐标;
(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B.
①求△AOB的面积的最小值和此时直线l的方程;
②已知点P(-2,1),当PA+PB取最小值时,求直线l的方程.
17.(本小题满分15分)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的点N处.
(1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程;
(2)若b=8,求反射光线所在直线的斜率的取值范围;
(3)若b≥6,求光从C出发,到达点N时所走过的最短路程s.
18.(本小题满分17分)已知点P和非零实数λ,若两条不同的直线l1,l2 均过点P,且斜率之积为λ,则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”,如直线l1:y=2x,l2:y=-x 是一组“O-1共轭线对”,其中O是坐标原点.
(1)已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,求l1,l2的夹角的最小值;
(2)已知点A(0,1),B(-1,0),C(1,0)分别是三条直线PQ,QR,RP上的点(A,B,C与P,Q,R均不重合),且直线PR,PQ是“P1 共轭线对”,直线QP,QR是“Q4共轭线对”,直线RP,RQ是“R9共轭线对”,求点P的坐标;
(3)已知点Q(-1,-),直线a,b是“Q-2共轭线对”,当直线a的斜率变化时,求原点O到直线a,b的距离之积的取值范围.
19.(本小题满分17分)已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,将矩形折叠,使A点落在线段DC上(包括端点),设折痕所在直线的斜率为k.
(1)求折痕所在直线的方程;
(2)当-2+≤k≤0时,求折痕长度的最大值;
(3)当-2≤k≤-1时,折痕为线段PQ,设t=k(2PQ2-1),试求t的最大值.
答案与解析
1.C　由题意得α=,直线x+y=0的斜率为-1,故β=,所以β-α=.故选C.
2.A　若A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,
则,即|3a+3|=|6a+4|,解得a=-或a=-,
故为充分不必要条件,故选A.
3.D　直线y=ax过坐标原点,直线y=x+a的倾斜角为45°,A,B均不符合题意;
对于C,由图知a>0,则直线y=x+a在y轴上的截距应大于零,不符合题意;
对于D,由图知a<0,则直线y=x+a在y轴上的截距应小于零,符合题意.故选D.
4.B　设A(1,2),B(3,9),C(0,-1),易知A,B,C三点不共线,kAB=,kAC=3,所以甲、乙、丙同学的结论中至少有一个错误,由于只有一位同学的结论错误,所以丁同学的结论正确,故A,C在直线l上,B不在直线l上.所以乙同学的结论错误.故选B.
5.C　设点M(1,-2)关于直线l的对称点为M'(x0,y0),
则即M'(-3,0),
所以HM+NH=HM'+NH≥NM'=,当且仅当M',H,N三点共线时取“=”.故选C.
6.B　将(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点A(0,2),
将x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,
令可知定点B(-3,5),
又(a+1)×1-1×(a+1)=0,∴两直线垂直,且P为垂足,
∴PA⊥PB,则PA2+PB2=AB2=(0+3)2+(2-5)2=18.
则S△PAB=PA·PB≤,当且仅当PA=PB=3时,等号成立,即△PAB面积的最大值为.故选B.
7.C　因为a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,所以a+b=-1,ab=c,
所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c.
又0≤c≤,所以≤1-4c≤1,所以≤|a-b|≤1.
由于直线x+y+a=0与x+y+b=0(a≠b)平行,所以它们之间的距离d=,所以≤d≤,即所求距离的最大值和最小值分别为.故选C.
8.C　如图所示,易知点P的运动轨迹为正方形,直线l:x-my-2=0过定点(2,0),设A(2,0),
对于任意确定的点P,连接PA,
当PA⊥l时,d=PA,
当PA不垂直于l时,过点P作PB⊥l,此时d=PB,
因为PB⊥AB,所以PA>PB,所以dmax=PA,
因为P在正方形上运动,所以dmax=(PA)max,
易知当点P与点(-1,0)重合时,PA取最大值,为2-(-1)=3,所以dmax=3,故选C.
9.BC　若l1⊥l2,则a+2a(a+3)=0,解得a=0或a=-,故A错误;
若l1∥l2,则a·(-2a)-1×[-(a+3)]=0,且a(a-1)-a≠0,解得a=-1或a=,故B正确;
若l1与l2相交于点(-1,0),则解得a=2,故C正确;
若a=,则l2:x-y-=0,在x轴和y轴上的截距分别为和-,
显然不相等,故D错误.故选BC.
10.BD　当a≠0时,直线l的斜率为,当a=-1时,斜率为0,倾斜角为0°,当a>0时,斜率大于0,倾斜角大于0°,故A错误;
易知l的斜率与直线2x+y-9=0的斜率互为相反数,所以=2,解得a=1,故B正确;
由(a+1)x-ay-3a-4=0得a(x-y-3)+x-4=0,令即P(4,1),又直线m过点O和点P,所以直线m的斜率为,设直线m的倾斜角为α,直线m绕点P逆时针旋转45°后所得直线的倾斜角为θ,则tan α=,tan θ=tan(α+45°)=,同理得直线m绕点P顺时针旋转45°后所得直线的斜率为tan(α-45°)=-,所以旋转后的直线方程为y=(x-4)+1或y=-(x-4)+1,即5x-3y-17=0或3x+5y-17=0,故C错误;(或者根据直线3x+5y-13=0不过点P(4,1)直接排除C选项)
设直线l:=1(s>0,t>0),因为直线l过点(4,1),所以=1,则OA+OB=s+t=(s+t)+5≥2+5=9,当且仅当s=6,t=3时等号成立,此时直线l的方程为=1,即x+2y-6=0,由,得a=-,故D正确.故选BD.
11.BCD　易知点A(3,1)关于直线l的对称点为(1,3),关于x轴的对称点为(3,-1),设A1(1,3),A2(3,-1),可知QA=QA1,PA=PA2.
对于A,PQ+QA+PA=PQ+QA1+PA2≥A1A2=,当且仅当A1,P,Q,A2四点共线时等号成立,所以PQ+QA+PA的最小值为2,故A错误;
对于B,设点A(3,1)到x轴和到直线l的距离分别为d1,d2,则d1=1,d2=,可得AP+AQ≥d1+d2=1+,所以AP+AQ的最小值为1+,故B正确;
对于C,易得A2(3,-1)到l的距离d3=,
则AP+PQ=A2P+PQ≥d3=2,当且仅当A2,P,Q三点共线时等号成立,所以AP+PQ的最小值为2,故C正确;
对于D,过点P作PC⊥l,垂足为C,可得CP=OP,
则(A2P+CP)≥d3=4,
所以AP+OP的最小值为4,故D正确.故选BCD.
12.答案　3x-y+9=0或3x-y-3=0
解析　因为直线l与直线x+3y-5=0垂直,所以设l的方程为3x-y+m=0,
由点到直线的距离公式得,解得m=9或m=-3,
故直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
13.答案　∪[1,+∞);
解析　如图.
易得直线AB的方程为4x+3y-12=0,设C(2,-1),
则的几何意义为直线PC的斜率,易得kAC=,
所以∪[1,+∞).
设D(-1,0),则(x+1)2+y2的几何意义为点P与D之间距离的平方,
过D作DF⊥AB,交AB于点F.则DF=,又DA=4,DB=,所以(x+1)2+y2∈.
14.答案　
解析　如图,易知l1∥l2,由平行线间的距离公式得PQ=.
过点A作垂直于l1的直线,并截取AA'=PQ.
设A'(x0,y0),则
所以A'.
连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,A'B=,故AP+QB=A'Q+QB≥A'B=.因此,AP+PQ+QB≥.
故AP+PQ+QB的最小值为.
15.解析　(1)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,则kAB=kCD=-.(3分)
设直线CD的方程为y=-x+m(m>0),即x+2y-2m=0.
易得AB=,因为平行四边形ABCD的面积为8,所以直线AB与直线CD之间的距离为.(6分)
易得直线AB的方程为x+2y=0,于是,解得m=4(负值舍去),故直线CD的方程为x+2y-8=0.(9分)
(2)设D(a,b),由BC=,得AD=.(11分)
所以故点D的横坐标为或2.(13分)
16.解析　(1)当k=1时,直线l为x-y+3=0,
由.(3分)
(2)①设A(-a,0),B(0,b),a>0,b>0,则直线l的方程为=1,
由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)-(y-1)=0,令所以直线l过定点(-2,1),(5分)
将(-2,1)代入方程=1,可得=1,所以1=≥2,则ab≥8,当且仅当,即a=4,b=2时等号成立,则S△AOB=ab≥4,(8分)
所以△AOB的面积的最小值是4,此时直线l的方程为=1,即x-2y+4=0.(9分)
②设直线l的倾斜角为α,则PA=,
所以PA+,α∈,(11分)
令t=sin α+cos α=,t∈(1,],
则sin α·cos α=,所以PA+,(13分)
设f(t)=t-,t∈(1,],易知f(t)在(1,]上单调递增,所以当t=时, f(t)取得最大值,即PA+PB取得最小值,
当t=时,有sin=1,α∈,解得α=,
所以直线l的倾斜角为,则斜率为tan=1,
故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.(15分)
17.解析　(1)设C(1,2)关于x轴的对称点为C',则C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3,
由得x=5∈[3,5],此时N(5,2),(2分)
所以光所走过的路程为C'N=.(4分)
(2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],其端点坐标分别为(3,5),(5,3),(6分)
设A(3,5),B(5,3),由(1)知C'(1,-2),
则kC'A=,所以反射光线所在直线的斜率的取值范围是.(8分)
(3)当反射光线所在直线与直线y=-x+b垂直时,光所走过的路程最短,此时反射光线所在直线的方程为y=x-1-2=x-3.
由得x=.因为b≥6,所以x=.(10分)
若x=,则6≤b≤7,光从C出发,到达点N时所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离,此时s=;(13分)
若x=∈(5,+∞),则b>7,光从C出发,到达点N时所走过的最短路程为线段C'B'的长,其中B'(5,b-5),
此时s=.
综上,s=(15分)
18.解析　(1)设l1的斜率为m(m≠0),l1,l2的夹角为α,则l2的斜率为,
由夹角公式得tan α=,当且仅当m=±时等号成立,所以α的最小值为.(4分)
(2)设直线RP,PQ,QR的斜率分别为k1,k2,k3,
则(6分)
当k1=,k3=6时,直线RP的方程为y=(x-1),直线PQ的方程为y=x+1,联立即P(3,3).(8分)
当k1=-,k3=-6时,直线RP的方程为y=-(x-1),直线PQ的方程为y=-x+1,联立即P.(10分)
故点P的坐标为(3,3)或.(11分)
(3)设直线a:y+(x+1),其中k≠0,原点到直线a,b的距离分别为d1,d2,(12分)
则d1d2=.(15分)
由于k2++5≥9(当且仅当k2=2,即k=±时等号成立),
故1-∈[0,1),所以d1d2∈[0,).
故原点O到直线a,b的距离之积的取值范围为[0,).(17分)
19.解析　(1)当k=0时,点A与点D重合,折痕所在直线的方程为y=.(1分)
当k≠0时,将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1),0所以A与G关于折痕所在的直线对称,则kAG·k=-1,即·k=-1,解得a=-k,故G点坐标为(-k,1),-2≤k<0,(3分)
则线段AG的中点坐标为,设为M,易知点M在折痕所在直线上,
所以折痕所在直线的方程为y-,即y=kx+.(5分)
故折痕所在直线的方程为y=kx+,-2≤k≤0.(6分)
(2)当k=0时,折痕的长度为2.(7分)
当折痕刚好经过B点时,将(2,0)代入折痕所在直线的方程得k2+4k+1=0,解得k=-2+或k=-2-(此时A点不在线段DC上,舍去).(9分)
当-2+≤k<0时,折痕的两个端点一定分别在线段BC和y轴上,设折痕所在直线交BC于点E,交y轴于点F,则E,(10分)
则EF2=(-2)2+=4+4k2≤4+4(7-4,
所以EF≤),
又2()>2,故折痕长度的最大值为2().(12分)
(3)当-2≤k≤-1时,折痕的两个端点一定分别在线段DC和x轴上,不妨设P在线段DC上,Q在x轴上,则P,所以PQ2=+1,所以t=k(2PQ2-1)=k+,(15分)
因为-2≤k≤-1,所以k+≤-2(当且仅当k=-时取“=”),
所以当k=-时,t取最大值,且最大值是-2.(17分)